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1 樹 2 Michael Tsai 2013/3/26

2 2 期中考 (4/16)!! 我的想法 : 關書 A4 大小一張, 雙面, 抄到你開心為止 ( 期末考沿用 ) 禁止使用放大鏡 顯微鏡 ( 供過小字體辨識用 ) XD 題目可能有 是非題 ( 並解釋原因 ) 填空題 問答題 ( 寫 algorithm, 證明題, 問 complexity) 請把答案寫清楚, 部分正確就有部分給分 作弊的直接砍頭 ( 當掉 + 送學校議處 )

3 3 線頭樹?? root left A right left B right left C right 浪費浪費 left D right left E right 浪費浪費 left F right left G right 浪費浪費浪費浪費 複習 : 浪費了幾個 pointer? ( 總共有 n 個 node 的話 ) A: 總共有 2n 個 pointer, (n-1) 個 edge/pointer 不是 NULL, 所以 2n-(n-1)=n+1. 所以可以把這些 NULL pointer 欄位拿來做什麼?

4 4 怎麼做 Inorder Traversal? 要記得柏智, 因為等一下要回來跑他的右邊 柏智 要記得祖詒, 因為等一下要回來跑他的右邊 祖詒 子欽 要記得紹詮, 因為等一下要回來跑他的右邊 Pointer to 紹詮 Pointer to 祖詒 紹詮 翊祥 Pointer to 柏智 需要多少空間? Stack O(h)=O(n) 我們就拿 NULL pointers 來幫忙這件事!

5 5 浪費掉的 pointer 們 線頭樹 : (Inorder) Threaded Binary Tree 1. 如果 leftchild 是 null, 那就改成指到 inorder traversal 的前一個 node ( 又稱為 inorder predecessor) ( 此為線頭 ) 2. 如果 rightchild 是 null, 那就改成指到 inorder traversal 的後一個 node ( 又稱為 inorder successor) ( 此為線頭 ) 3. node 的 structure 裡面放兩個額外的 boolean 欄位, 說明是 link 還是 thread 效果 : 之後做 inorder traversal 不需要 stack 了! O(1)!

6 6 Threaded binary tree 長這樣 root Dummy node, 用來辨識 root A 1 1 B 1 0 C 0 0 D 0 1 E 1 1 F 0 0 G 0 0 H 0

7 Inorder Traversal? 7 怎麼找到 inorder successor? 1. 如果右邊不是 thread, 那就找 rightchild 的 leftchild 一直走到底 2. 如果右邊是 thread, 那麼就是 thread 指到的地方 root A 1 1 B 1 0 C 0 0 D 0 1 E 1 1 F 0 0 G 0 0 H 0

8 8 Threaded Binary Tree 接著, 要做 inorder traversal 就很簡單了 void InOrderTraversal(struct TreeNode *root) { struct TreeNode *temp=root; while(1){ temp=inordersuccessor(temp); if (temp==root) return; printf( %d, temp->data); } } Space Complexity: O(1) < 動腦時間 > 如果要用 threaded binary tree 做 preorder traversal 呢? 首先要先想想怎麼找到 preorder successor Postorder 仍然無法不使用 stack 來做 traversal! Karumanchi p.141

9 9 在 Threaded Binary Tree 裡面加一個 node root A 1 1 B 1 0 C 0 0 D 0 1 E 1 1 F 0 0 G 01 0 H 0 0 I 0

10 10 root A 1 1 B 1 0 C 0 0 D 0 0 I 1 1 E 1 1 F 0 0 G 0 0 H 0 Code 請參考 Karumanchi p.142

11 11 Priority Queue 一種每次都可以拿到 priority 最高的 element 的 queue 直接來定義 operations Insert(element) 把 element 放進 queue 裡面 DeleteMax() 把 element 拿出來. 這個 element 有最高的 priority ( 可以想像, 放進去的時候有做一些排序 ) 另外也有 FindMax(), isempty(), isfull 等等的 operation 請同學想想看, 要怎麼用已經學過的東西來做 priority queue?

12 12 用以前學過的方法效果如何? Insert DeleteMax FindMax Unordered Array O(1) O(n) O(n) 我是遮板 Unordered Linked List O(1) O(n) O(n) 我是遮板 Ordered Array O(n) O(1) 我是遮板 O(1) Ordered Linked List O(n) O(1) O(1) 我是遮板 Binary Search Tree O(h) (average case O log n ) (worst case O(n)) O(h) (average case 我是遮板 O log n ) (worst case O(n)) Binary Heap O log n 我是遮板 O log n O(1) O(h) (average case O log n ) (worst case O(n))

13 13 Heap Definition: A max tree is a tree in which the key value in each node is no smaller (larger) than the key values in its children (if any). Definition: A max heap is a complete binary tree that is also a max tree. A min heap is a complete binary tree that is also a min tree. 有了 heap, 我們要怎麼用它來做 priority queue? Root 是不是永遠都是最大?

14 14 Insert 一個 element 到 Heap 加入的時候每次都能夠繼續維持是一個 max heap 14 怎麼加? 既然是 complete binary tree, 所以一定要加在下一個該出現的地方, 把新的 element 放在那邊. 2. 循序往 root 的方向移動, 一直到不違反 parent > child 的規則為止 Time complexity? O(log n) 10 8 需要和 6 比嗎? 不用! 因為原本 6 的 parent 就會比它大了! 因此 20 只會更大! 6 20

15 15 從 Heap DeleteMax 一個 element 從 root 拿走一個 element ( 最大的 ) 調整位置, 繼續維持是一個 max heap 首先既然是 complete binary tree 拿掉的位置就沒有別的選擇 把拿掉的位置的 element, 拿到 root 的地方. 和 child 中比較大的比較. 如果比其小則與其交換. 重複以上步驟直到不再違反 parent > child 的規則為止. Time complexity? O(log n) 需要跟 15 和 20 都比! 因為如果拿到不是最大的 child, 則可能違反 heap 原則!

16 16 用什麼 data structure 來 implement heap? Array? 比較簡單? 偷懶? 可以. 因為每次都只會加在最後面 (complete binary tree) 複習 怎麼在記憶體裡面記一棵樹呢? Array 法, Binary Tree 版

17 17 怎麼在記憶體裡面記一棵樹呢? Array 法 Binary Tree ( 每個 node 最多有 2 個 children) 某個 node 的 parent? 觀察 : Index 為 i 的 node, 其 parent 之 index 為 (i 1)/2 B A [0] [1]-[2] D 怎麼找某個 node 的 children 觀察 : Index 為 i 的 node, 其 children 之 index 為 2i + 1 ~ 2i + 2 [3]-[4] [5]-[6] E F H J 這樣要找 parent 或是 child 都非常方便!

18 18 討論時間 給一個沒有處理過的 array, 怎麼用最少的時間把它變成 heap? 概念 : 原本的 array 可以看成一個還沒排好的 binary tree( 還不是 heap) Leaf 的部分不用處理 ( 因為它們沒有 children, 不會違反 heap 原則 ) 從最後一個 (index 最大的 ) 非 leaf node 開始處理 ( 跟下面的比 ) Time complexity=o(n)!

19 19 How to heapify an array? 方法一 : 每次 Insert 一個 element 進去 heap 所花的時間為 h 這樣所花的時間複雜度是多少? 每新 insert 一個 element 進去 heap, 所花的時間最多為 O(h)=O(log n) h: 當時的高度 n: 當時的 element 數目 假設最後總共有 N 個 element, 總時間複雜度會是 O(N log N) 嗎?

20 20 方法一 : 時間複雜度分析 h=0 則所花時間為 : H 2 H = H i=1 H = H j=1 i=j 2 i + H i=2 2 i 2 i + + H i=h 2 i h=1 = H j=1 2 j 1 H i=j 2 i j+1 h=2 = H j=1 2 j 1 H j+1 i=1 2 i h=h = j=1 = H j=1 H 2 j H j H+1 2 j = H 2 H H 1 = H 1 2 H+1 + 2

21 21 方法一 : 時間複雜度分析 時間為 : H 1 2 H h=0 h=1 h=2 又 H 為 heap 高度, N 為 element 數目, 則兩者可有下列關係 : H = log 2 N + 1 否?) 因此所花時間以 N 表示為 : 1 ( 檢查看看對 h=h log 2 N log 2 N (log 2 N + 1) 2 (log 2 N +1) + 2 = (log 2 N + 1) 2N + 2 = O N log N

22 22 How to heapify an array? 方法二 : 從最後一個 element 開始往前, 每次組成一個以該 node 為 root 的小 heap 所花的時間為 H-h Leaves 不用看 ( 下面沒有東西, 一定是 heap) 要怎麼找到第一個非 leaf 的 node? 從第一個非 leaf 的 node 開始檢查, 往下檢查 / 移動到符合 heap 性質為止. 每處理完一個 node, 那個 node 為 root 的 sub-tree 會變成一個 heap 等到第一個 node(root) 也處理好的時候, 整個 binary tree 就變成 heap 了 這樣的話, 時間複雜度會變好嗎?

23 23 h=0 h=1 h=2 h=h 方法二 : 時間複雜度分析 所花的時間為 : H + 2 H H H 1 1 = H i=0 2 i (H i) Let S = H i=0 2 i (H i). 2S = 2H + 4 H H 2S S = H H S = 2 H+1 H 2 又 H = log 2 N log 2 N+1 log 2 N N log 2 N = O(N)

24 24 Heapsort: 利用 heap 來排序 如何利用 heap 排序? 1. 先用剛剛的 heapify 方法把整個 array 變成 heap. 2. 每次從 heap 拿出一個最大的, ( 和尾巴交換 ), 然後把原本尾巴的 element 依序往下檢查 / 交換直到符合 heap 性質. 3. 重複步驟 2 一直到 heap 變成空的. O(N) O(N log N) Total: O(N log N) 請同學試試看! ( 參考 Cormen p.161 Figure 6.4)

25 25 Expression Tree 用一棵樹來代表 expression Leaf nodes: operand Non-leaf nodes: operator (A+B*C)/D 如何以 expression tree 表示? + D / Traversal 的方法可以對應到不同的 expression 表示法 : Preorder prefix Inorder infix Postorder postfix 因此 expression tree 建好以後可以 : 轉換不同的 expression 表示法 計算結果 (Boolean 或一般數學式 ) Evaluate satisfiability of a boolean expression 使用標準 traversal 方法 : code 非常簡單! A * B C

26 26 建立 Expression Tree 假設給的 expression 為 postorder 例 : ABC*+D/ Stack which can hold pointers to a node / 最後在 stack 裡面的一個 entry 就是我們要的 expression tree! C + D B A * A B C

27 27 計算邏輯運算式 變數可為 True or False 三種 operator: not, and, or 可以使用括號 例如 x 1 x 2 x 1 x 3 x 3 1. 如何計算當 x 1, x 2, x 3 = (T, T, F) 時的結果? 2. 進階題 : 如何找出所有組合使得結果為 true?

28 28 計算邏輯運算式 x 1, x 2, x 3 = (T, T, F) x 1 x 2 x 1 x 3 x 3 =? typedef struct TreeNode { struct TreeNode *left, *right; int data; //either operator or operand int value; } ; 儲存此一 subtree 的計算結果 用什麼 traversal 方法? Postorder! x 3 x 1 x 3 x 2 x 1

29 29 邏輯運算式 : Satisfiability Problem Satisifiability: 是否可以被滿足 有沒有一組 truth assignment 可以使得最後 boolean expression 的結果為 true 如何 evaluate satisfiability of a boolean expression? for (all 2 n possible combinations) { generate the next combination; replace the variables by their values; evaluate root by traversing it in postorder; if (root->value) { printf(<combination>); return; } } printf("no satisfiable combination\n"); Pseudo-code: 不是真的程式碼, 但是每一個步驟 ( 可用文字表示 ) 夠詳細, 足以解釋如何執行.

30 30 Today s Reading Assignments Karumanchi 6.11, Problem [49-52],59 Cormen ch 6 Karumanchi , Problem 7,12,13

樹 HW3 今天出爐. 加油! 樹 2 Michael Tsai 2012/3/27 HW2 星期四 due. 下周放假. 下下周上課. 嚇嚇嚇周期中考! 2 期中考 (4/17)!! 我的想法 : 關書 A4 大小一張, 雙面, 抄到你開心為止 ( 期末考沿用 ) 禁止使用放大鏡 顯微鏡 ( 供過小字體辨識用 ) XD 題目可能有 是非題 ( 並解釋原因 ) 填空題 問答題 ( 寫 algorithm,

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