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部齐
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1 第 33 卷第 4 期 2013 年 4 月北京理工大学学报 TransacionsofBeijingInsiueofTechnology Vol33 No4 Apr2013 包含弹体动力学的终端角约束弹道成型制导律刘大卫 12 夏群利 1 左媞媞 2 何镜 2 (1 北京理工大学宇航学院北京 ;2 中国兵器科学研究院北京 ) 摘要 : 针对侵彻型导弹弹道终端对命中位置和入射角度提出严格约束的制导问题引入弹体动力学环节采用 Schwarz 不等式方法推导了最优制导律在小角假设基础上将其表述为便于工程实现的包含弹体动力学的终端角约束弹道成型制导律分别利用 Schwarz 不等式和伴随函数法研究了制导律量纲一化制导指令解析解位置脱靶量及角度偏差特性结果表明该制导律不但能同时满足终端位置和角度约束而且可确保终端过载指令归零从而为侵彻型制导武器末端攻角控制提供了一种可行的制导策略关键词 : 弹体动力学 ; 终端角约束 ; 弹道成型中图分类号 :V 文献标志码 :A 文章编号 : (2013) TrajecoryShapingGuidanceLawwihTerminalImpacAngle ConsrainIncludingMissileBodyDynamics LIU Da-wei 12 XIA Quṉli 1 ZUO Tiṯi 2 HEJing 2 (1SchoolofAerospaceEngineeringBeijingInsiueofTechnologyBeijing100081China; 2ChinaResearchandDevelopmenAcademyofMachineryEquipmenBeijing100089China) Absrac:To meeheerminalguidancerequiremenofpeneraingguided weapon wihboh impacposiionandangleconsrainsopimalguidancelaw wihfirsṯorderguidancesysem dynamicswasdeducedbyschwarzinequaliy mehodthentrajecoryshapingguidancelaw wih missilebodydynamics(tsgl-d)wasobainedbasedonsmalangleassumpioninordero beaccomplishedinengineeringeasilyfurherhe noṉdimensionalguidedcommandmiss disanceandimpacangleerrorofheguidancelaw weresudiedby Schwarzinequaliyand adjoinṯmehodsimulaiondemonsraeshaheguidancelawisnoonlysaisfied wihhe demandsofheimpacposiionandangleconsrainsbualsocan makeheoverloadaimpac poinreurnozerowhichcouldprovideafeasibleguidancesraegyforconrolingheimpac aackangleofpeneraingguidedweapon Keywords:missilebodydynamics;impacangleconsrain;rajecoryshapingguidancelaw 现代战争中为实现对地下硬目标和特殊防护特殊形状目标的有效打击侵彻型导弹制导炸弹反坦克导弹等大落角侵彻武器以及机载布撒器反舰导弹和电磁脉冲炸弹等特殊方位攻击武器不仅要求制导系统精确命中目标而且对命中点入射角提出了严格要求 [1] 自从 Kim 和 Grider [2] 首次在机动弹头再入制导问题中引入落角约束以来产生了基于最优控制理论推导出的最优制导律滑模变结构控制自适应控制智能控制预测控制控制和模糊控制等诸多的具有终端角约束的制导律设计方法其中最优控制方法发展最快并已成功应用于潘兴 Ⅱ 地地战术导弹 [3] 国外 Zarchan [3] 采用收稿日期 : 基金项目 : 航空科学基金资助项目 ( ) 作者简介 : 刘大卫 (1984 ) 男博士工程师 @bieducn 通信作者 : 夏群利 (1971 ) 男副教授博士生导师 1010@bieducn

2 364 北京理工大学学报第 33 卷 Schwarz 不等式方法以制导指令平方的积分为目标函数推导了包含落角约束的最优制导律并将其表述为比例导引 + 落角约束形式的弹道成型制导律 ;Ryoo [4] 采用线性二次型的最优控制方法获得了包含制导系统零阶和一阶动力学的闭环最优制导 [5] 律国内陈克俊赵汉元等尝试在再入飞行器中 [68] 应用这类最优制导律刘丹常超等对这类制导律进行了最优推导并尝试其在战术导弹方面的应用本文将弹体响应简化为一阶系统建立了包含弹体动力学的制导模型基于 Schwarz 不等式获得最优制导律揭示需用加速度产生的本质原因且给出了包含弹体动力学的弹道成型与标准弹道成型的区别与联系在确保终端位置和角度约束的同时将加速度指令控制到 0 1 制导律建模与推导在制导律研究领域将导弹控制系统等价为一阶系统基本能反映其主要动力学特性取典型一阶动力学环节 : a r = 1 τs+1 (1) 式中 : 和 a r 分别为加速度指令和加速度响应 ;τ 为动力学系统时间常数假设目标机动加速度为 a 导弹的法向位置速度和加速度分别为 zż 和 z 则包含弹体动力学环 [3] 节的线性制导系统简化动力学模型如图 1 所示图 1 线性制导系统一阶动力学简化模型 Fig1 Dynamicsmodeloflinearguidancesysem wihfirsṯorder lag 取 x 为状态变量 A 为 4 4 系统矩阵 B 为 4 1 的控制矩阵 u 为控制量则上述动力学系统的状态方程为式中 : ẋ=ax +Bu (2) x= [ z ż a a ] r T ;u= ; é ù é 0 ù ú ú ú 0 ú Α= ú ;Β= ú ú 0 ú ë / τû ú ë 1/ τû ú 在小角假设下终端时刻 f 的角度约束可等价为法向速度约束 ż f 即终端约束为 z( f )=0 { ż( f )=żf (3) 为使制导过程消耗的控制能量最小取目标函数为控制量平方的积分即 a 2 cd (4) 0 状态方程 (2) 在终端时刻 f 的通解为 x( f )=Φ( f-)x()+ Φ( f-) 其中 Φ 为状态转移矩阵且 B(λ)u(λ)dλ (5) Φ()=L -1 [ ( si- A) - ] 1 = é τ+τ 2 (1-e -/τ ) ù ú 0 1 -τ(1-e -/τ ) ú ú (6) ú ë0 0 0 e -/ τ ú û 空地精确打击的硬目标多为固定目标故 a ()=0 以时刻为起点终端时刻 f 的位置与速度项通解为式中 : z( f )=f1 - ì cdλ ż( f )=f 2 * - h 2 cdλ (7) ìf1 =z()+ ( f-)ż()- [τ( f-)- τ 2 (1-e - ( f -)/τ )] f 2 * =ż()-τ(1-e - ( f -)/τ )a r () (8) (λ)=( f-λ)-τ(1-e - ( f -λ)/τ ) h 2 (λ)=1-e - ( f -λ)/τ 要实现终端脱靶量为 0 且法向速度达到期望约束由式 (7) 可得到 f1 = ì cdλ f 2 * -ż( f )= h 2 cdλ=f2 引入变量 δ 将式 (9) 线性组合为 (9) f1 -δf2 = [ (λ)-δh 2 (λ)]dλ (10) 采用 Schwarz 不等式可得到 a 2 cdλ (f 1 -δf 2 ) 2 (11) [ (λ)-δh 2 (λ)] 2 dλ 当以上不等式中的等号成立时目标函数最小

3 第 4 期刘大卫等 : 包含弹体动力学的终端角约束弹道成型制导律 365 根据 Schwarz 不等式引入一个常值 K 当等号成立时有 =K[ (λ)-δh 2 (λ)] (12) 为了运算方面定义对式 (13) 两边积分有 Λ= (f a 2 1 -δf 2 ) 2 cdλ= h 2 1-2δ h 2 +δ 2 h 2 2 最佳 δ 满足 dλ/dδ=0 故 (14) h 2 1 = ì (λ) 2 dλ δ= f1 h1h2 -f2 h2 1 f1 h 2 2 -f2 h 2 h 2 = 将式 (15) 代入式 (9) 得 (λ)h 2 (λ)dλ (13) K =f1/ ( h 2 1 -δ h 2 h 2 2 = h 2 (λ) 2 dλ 因此时域内最优控制量可描述为 ) (15) (16) ()h = f1h h 2 [ f 2 ()+f 1h 2 ( )] +f 2h 2 ()h 2 1 h 2 1 h h 2 (17) 对任意时刻式 (8) 即为 ìf1 =z+ ( f-)ż- [τ( f-)- τ 2 (1-e - ( f -)/τ )] f2 =ż-τ (1-e - ( f -)/τ )-żf ()=( f-)-τ(1-e - ( f -)/τ ) h 2 ()=1-e - ( f -)/τ 因此任意时刻式 (13) 即为 ì h 2 1 = ( τ 3-2τ 2 e - go / τ ) go -τ 2 go go τ3 1-e -2 / ( go ) τ h 2 = go τ1-e- ( go / ) h 2 2 = 1 2 τ1-e- ( go [ / τ ) - g o] 2 τ ( 3-e - go / ) τ (18) (19) 将式 (18)(19) 带入式 (17) 并令 go= f- 即得最优制导律表达式为其中 : u()=- [ k 1 ()z()+k 2 ()ż( )+ k 3 () z()+k 4 ()ż f ]/Ω (20) Ω= 4 go -2(3+2e - go /τ +e -2 go /τ )τ 3 go +12(1- e - go /τ -e -2 go /τ )τ 2 2 go +24τ 3 e - go /τ (1- e - go /τ ) go -24τ 4 (1-e - go /τ ) 2 k 1 ()=6(1+e - go /τ ) 2 go -6τ(3-2e - go /τ - e -2 go /τ ) go +12τ 2 (1-e - go /τ ) 2 k 2 ()=2(2+e - go /τ ) 3 go -6τ(2-e - go /τ - e -2 go /τ ) 2 go +6τ 2 (1-4e - go /τ +3e -2 go /τ ) go + 12τ 3 (1-e - go /τ ) 2 k 3 ()=4τ(1+e - go /τ +e -2 go /τ ) 3 go -18τ 2 (1+ e - go /τ )(1-e - go /τ ) 2 go +24τ 3 (1-e - go /τ ) 2 go k 4 ()=2(1+2e - go /τ ) 3 go -6τ(1-e - go /τ ) 2 go + 6τ 2 (1-e -2 go /τ ) go -12τ 3 (1-e - go /τ ) 2 至此得到了以状态量 zż z 和终端约束 z f= 0ż f 形式表述的包含弹体动力学的终端位置和角度约束最优制导律 2 制导律工程化应用图 2 给出了弹目交汇几何关系其中 vv r v e 分别为导弹合速度沿弹目线方向相对速度和终端期望法向速度 ;zv z 分别为法向位置和速度即 v z=ż;q q 分别为弹目视线角和角速度 ;R 为弹目相对距离 θ 为弹道倾角 qf 为期望落角 ἐ 为初始速度指向误差角 ;a m a z 分别为导弹合过载和法向过载图 2 弹目交汇几何关系图 Fig2 Geomeryofmissileṯargeengagemen 式 (20) 是以法向位移 z 速度 ż 和加速度 a z 剩余飞行时间 go 和终端约束 z f ż f 表示的最优制导律而目前末制导段主流制导信息来自导引头因此式 (20) 表示的最优制导律在工程上不易实现当弹目视线角 q 较小时可将法向位移和速度用弹目视线角及其变化率代替即 q() anq()=- z () =- z () ;(21) ( f-)v r gov r q() - ż() - z () = ( f-)v r ( f-) 2 v r

4 366 北京理工大学学报第 33 卷由式 (21) 得由式 (22) 得 -ż() - z () (22) gov r 2 gov r z()=-q() gov r ; (23) ż()=- q() gov r-z()/ go (24) 将式 (23) 代入式 (24) 得 ż()=- q() gov r+q()v r (25) 将式 (23)(25) 代入式 (20) 得工程化的包含弹体动力学弹道成型制导律 : ()=[K p ()v ṙq()+k q ()v r (q()- qf)+k a ()a()]/λ (26) 其中 : Γ=e - go /τ Λ= 4 go -2(3+2Γ+Γ 2 )τ 3 go +12(1-Γ- Γ 2 )τ 2 2 go +24τ 3 Γ(1-Γ) go -12τ 4 (1-Γ) 2 K p ()=2(2+Γ) 4 go -6τ(2-Γ-Γ 2 ) 3 go + 6τ 2 (1-4Γ+3Γ 2 ) 2 go +12τ 3 (1-Γ) 2 go K q ()=2(1+2Γ)Γ 4 go -6τ(1-Γ) 3 go + 6τ 2 (1-Γ 2 ) 2 go -12τ 3 (1-Γ) 2 go K a ()=-4τ(1+Γ+Γ 2 ) 3 go +18τ 2 (1+ Γ)(1-Γ) 2 go -24τ 3 (1-Γ) 2 go 该制导律由 3 部分组成第 1 项为保证终端位置精度的比例导引项 K pv ṙq(); 第 2 项为保证终端角度的落角约束项 K qv r ( q()-q f ) ; 第 3 项为加速度反馈项 K a ()a() 可确保命中点加速度指令归 0 在实际工程中弹体动力学时间常数 τ 可通过控制系统设计获取弹目视线角速度 q() 可由导引头直接获取或由组合导航系统解算得到 ; 弹目视线角 q() 可由弹载组合导航系统计算得到或由导引头框架角和姿态陀螺测出的弹体姿态角计算得到 ; 剩余飞行时间 go 可由弹目相对距离 R 与弹目相对接近速度 v r 之比近似得到加速度反馈可由弹载加速度计得到故当前主流制导体制可满足该最优制导律工程实现要求取末制导段初始高度 H =15km 初始速度 v=250m/s 初始弹道倾角 θ=0 ; 目标坐标 X = 4km 期望落角 qf 分别取采用式 (26) 所给制导律进行数学仿真图 3 给出了仿真曲线 Fig3 图 3 弹道弹目视线角与加速度指令曲线 Hisoriesofrajecoriesline-of-sighanglesandacceleraioncommands 理论分析和数学仿真结果表明采用该制导律导弹能精确命中目标达到落角期望且命中点需用法向过载指令为 0 另外研究表明该制导律对低速运动目标也具有一定适应性 3 制导律特性分析 31 量纲一化加速度特性评价制导律特性的一项关键指标是需用加速度特性取 =0 时刻为起点计算终端时刻 f 的通解则可得到基于初始状态和终端状态的制导指令表达形式为 ()= () ε + () qf + () z0 = 1 æ vε vq f x 2 ö ç Δ Cε x+c qf x+c z0 z è f f f 2 0 (27) ø 式中 :x= f /τ 췍 = / f ; Δ=x 4-2x 3 (3+2e -x +e -2x )+12x 2 (1- e -x -e -2x )+24xe -x (1-e -x )-12(1-e -x ) 2 C ε =6[-x 3 +x 2 (e -x -1) 2 +x(e -x -1) 2 ] 췍 + 2(2+e x 췍 e -x )x 3-6(e -2x -e x 췍 e -x -2e x 췍 e -2x + 2)x 2-6(e -2x -4e x 췍 e -2x +2e x 췍 e -x +2e -x -1)x+ 12(1-e x 췍 e -x ) 2

5 第 4 期刘大卫等 : 包含弹体动力学的终端角约束弹道成型制导律 367 C qf =-6(e -x -x+1) 2 x 췍 +2(1+2e x 췍 e -x )x 3 + 6(2e -x -e x 췍 e -x -1)x 2 +6(e -2x -2e x 췍 e -2x + 1)x+12(e x 췍 e -x +e -x -e x 췍 e -2x -1) C z0 =[6(e -2x -1)-24(e -x -1)-12x]x 췍 + 6(1+e x 췍 e -x )x 2 +6(2e -x -e -2x +2e x 췍 e -2x - 3)x+12(-e -x +e -2x e x 췍 -e -x e x 췍 +1) 式 (27) 将制导指令表述为初始速度指向偏差角终端约束角和初始位置 3 部分引起的需用加速度的组合将其量纲归一化即 ì ( 췍 ) z0 f 2 = 1 z 0 Δ Cz 0 x2 ( 췍 ) ε f vε =1 Δ Cεx (28) ( 췍 ) qf f = 1 vqf Δ C q f x 图 4 为 f /τ=10 时 3 项量纲一化过载当制导问题中同时存在 εqf 和 z 0 时总需用过载为各分量与其量纲一化值乘积之和图 5 包含一阶动力学的弹道成型结构框图 Fig5 TSGLdiagram wihfirsṯorderlagcomponen 图 6 量纲一化位置伴随系统 Fig6 Adjoinsysemofnoṉdimensionalmissdisance 图 7 ε=qf 时的量纲一化位置脱靶量 Fig7 Noṉdimensionalmissdisancewhenε=qf 图 4 z0 ε 和 qf 引起的量纲一化加速度 Fig4 Noṉdimensionalacceleraionscausedbyiniialposiion z0headingerrorangleεandimpacangleqf 32 量纲一化位置和角度脱靶量特性由于该制导律是包含终端位置和角度约束的最优制导律所以其脱靶量应包含位置脱靶量和角度脱靶量图 5 给出了包含一阶动力学环节的弹道成型制导律结构框图其中 z 为目标位置 τ 为一阶环节时间常数 Z miss 表示位置脱靶量 Q miss 表示角度脱靶量令췍 f= f /τ 췍 s=sτ 图 6 为包含一阶动力学环节弹道成型制导律制导系统的量纲一化位置伴随系统为了对比包含弹体动力学弹道成型与标准弹道成型制导律的脱靶量特性图 7 给出了两种制导律在 ε=qf 时由初始速度指向误差角 ε 及终端约束角 qf 引起的量纲一化位置脱靶量由式 (22) 知存在脱靶量 Z miss 时有 q( f )=lim an Zmiss = go 0 v r go ì π/2 Z miss >0 0 Z miss=0 -π/2 Z miss < 0 (29) 因而只要 Z miss 0 终端弹目视线角为 3 个常值而非期望落角值考虑到工程上对带落角约束的制导问题中人们更关心终端速度矢量方向即弹道倾角故采用弹道倾角替代弹目视线角更有实际意义图 8 以弹道倾角与期望弹目视线角误差为落角偏差建立量纲一化角度伴随系系统模型图 8 量纲一化角度伴随系统 Fig8 Adjoinsysemofnoṉdimensionalimpacangleerror

6 368 北京理工大学学报第 33 卷靶量图 9 为两种制导律在 ε=q f 时的量纲一角度脱飞行力学 (4):1 4 Sun Weimeng Liu Xianghong Survey on he developmensonheguidancelaw wihimpacangular consrains[j]flighdynamics201028(4):1 4(in Chinese) [2] 蔡洪胡正东曹渊具有终端角约束的导引律总述 [J] 宇航学报 (2): Cai Hong Hu ZhengdongCao YuanA survey of 图 9 ε=qf 时的量纲一化角度脱靶量 Fig9 Noṉdimensionalimpacangleerrorwhenε=qf 仿真结果表明由于考虑了制导系统动力学环节所以包含弹体动力学的弹道成型制导律在绝大部分相对末导时间 f /τ 内均能确保量纲一化位置和角度脱靶量为 0 即在不考虑可用过载限制时该制导律的制导精度基本不受相对末导时间的限制 ; 相比而言标准弹道成型制导律若要使量纲一化位置和角度脱靶量近似为 0 则末导时间须大于 10~12 倍的动力学时间 4 结论构建包含一阶弹体动力学的制导系统模型采用 Schwarz 不等式方法得到了包含弹体动力学的弹道成型制导律研究了其量纲一化加速度位置和角度脱靶量特性探索了该制导律的理论特性与工程应用问题结果表明 : 1 该制导律能同时满足终端位置和角度约束且工程适用性强可应用于侵彻型空地制导武器电磁脉冲弹和反舰导弹等具有终端位置和角约束的制导武器 2 该制导律可确保命中目标时需用加速度为 0 大大减小末端需用过载且相对于标准弹道成型制导律减小了命中点位置和角度脱靶量 3 该制导律终端过载归零特性为侵彻型制导武器终端攻角控制提供了一种切实可行的制导策略可通过终端过载归零间接控制攻角趋向于 0 参考文献 : [1] 孙未蒙刘湘洪多约束条件下的制导律研究综述 [J] guidancelaw wih erminalimpac angle consrains [J]JournalofAsronauics201031(2): (inchinese) [3]ZarchanPTacicalandsraegicmissileguidance[M] 4h ed Reson VA:Progressin Asronauics and AeronauicsAIAA2002: [4]RyooCKChoHJTahk MJOpimalguidancelaws wiherminalimpacangleconsrain[j]journalof Guidance Conrol and Dynamics (4): [5] 陈克俊赵汉元一种适用于攻击地面固定目标的最优再入机动制导律 [J] 宇航学报 (1):1 7 Chen Kejun Zhao Hanyuan An opimal reenry maneuverguidancelaw applyingoaackheground fixedarge[j]journalofasronauics199415(1): 1 7(inChinese) [6] 刘丹祁载康限制导弹落角和落点的最优制导律 [J] 北京理工大学学报 (3): LiuDanQiZaikangImpacangleandfinalposiion consrainedopimalguidancelaw[j]transacionsof BeijingInsiueofTechnology200121(3): (inchinese) [7] 常超林德福祁载康等带落点和落角约束的最优末制导律研究 [J] 北京理工大学报 (3): ChangChaoLinDefuQiZaikangealSudyonhe opimalerminal guidancelaw wih inercepion and impacangle[j]transacionsofbeijinginsiueof Technology200929(3): (inChinese) [8]Liu Dawei Xia Qunli Wu Taoe al Trajecory shaping guidance law wih erminal impac angle consrain [J] Journal of Beijing Insiue of Technology201120(3): ( 责任编辑 : 刘雨 )

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10-03.indd 1 03 06 12 14 16 18 é 19 21 23 25 28 30 35 40 45 05 22 27 48 49 50 51 2 3 4 é é í 5 é 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 é 20 21 22 23 ü ü ü ü ü ü ü ü ü 24 ü 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38