粒子物理标准模型拉氏量和费曼规则 余钊焕 中山大学物理学院 年 4 月 8 日 目录 1 约定 2 2 标准模型概述 2 3 QCD 拉氏量和费曼规则 3 4 费米子电弱规范相互作用拉氏量和费曼规则 6 5 电弱规范场自相互作用拉氏

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1 粒子物理标准模型拉氏量和费曼规则 余钊焕 中山大学物理学院 htt://yzhxxzxy.github.io/cn 09 年 4 月 8 日 目录 约定 标准模型概述 3 QCD 拉氏量和费曼规则 3 4 费米子电弱规范相互作用拉氏量和费曼规则 6 5 电弱规范场自相互作用拉氏量和费曼规则 0 6 正规范下 iggs 场相关拉氏量和费曼规则 3 7 R ξ 规范相关拉氏量和费曼规则 6 8 内外线一般费曼规则 8 9 常用单位和标准模型参数 9

2 约定 本文采用自然单位制, 各种约定主要遵从文献, 推导和计算参考文献,, 3, 4 Minkowski 度规张量 g µν = g µν =. Pauli 矩阵 σ =, σ = i i, σ 3 =, σ µ, σ, σ µ, σ. 3 手征表示中的 Dirac 矩阵 γ µ = σ µ σ µ, γ 5 =. 4 左右手投影算符 P L γ 5 = 0, P R + γ 5 = 0. 5 Lei-Ciita 张量约定取 ε 03 = ε 3 = +. 6 费曼规则约定 : 对于指向相互作用顶点的动量, 时空偏导数 µ 在动量空间费曼规则里贡献一个 i µ 因子 实线表示费米子, 实线上的箭头表示费米子数流动的方向 虚线表示标量玻色子, 虚线上的箭头表示电荷数流动的方向 螺旋线表示胶子 ; 波浪线表示其它规范玻色子, 波浪线上的箭头表示电荷数流动的方向 点线表示 粒子, 点线上的箭头表示 粒子数流动的方向 如果没有额外箭头标记, 动量方向与粒子线上的箭头方向一致 ; 否则与额外箭头方向一致 标准模型概述 粒子物理标准模型是一个 SU3 C SU L U Y 规范理论 模型中有三代费米子, 包括三代中微子 ν i = ν e, ν µ, ν τ, 三代带电轻子 l i = e, µ, τ, 三代上型夸克 u i = u, c, t 和三代下型夸克 d i = d, s, b i =,, 3 规范玻色子传递费米子间相互作用 SU3 C 部分描述夸克的强相互作用, 称为量子色动力学 Quantum Chromodynamics, QCD, 相应的规范玻色子是胶子 SU L U Y 部分统一描述夸克和轻子的电磁和弱相互作用, 称为电弱统一理论 理论中有一个 iggs 二重态, 通过 Brout Englert iggs 机制引发规范群的自发对称性破缺, 使 SU L U Y 群破缺为 U EM 群 U EM 规范理论称为量子电动力学 Quantum Electrodynamics, QED

3 破缺前 理论中存在 4 个无质量的规范玻色子和 4 个 iggs 自由度 ; 左手费米子和右手费米子都没有质量 具有不同量子数 破缺后,3 个规范玻色子与 3 个 iggs 自由度结合, 从而获得质量, 成为 ± 和 Z 0 玻色子, 传递弱相互作用 ; 剩下的 个无质量规范玻色子是光子, 即是 U EM 群的规范玻色子, 传递电磁相互作用 ; 剩下的 个中性 iggs 自由度称为 iggs 玻色子 ; 与 iggs 二重态的 Yukawa 耦合导致左手费米子和右手费米子获得质量, 组合成 Dirac 费米子 理论中的中微子没有右手分量, 因而没有获得质量 998 年实验发现中微子振荡, 证明中微子具有质量, 所以需要扩充标准模型才能正确描述中微子物理 3 QCD 拉氏量和费曼规则 QCD 的拉氏量可表达成 L QCD = q qiγ µ D µ m q q 4 Ga µνg aµν, q = u, d, s, c, b, t, a =,, 8, 7 其中 D µ = µ ig s G a µt a, G aµν µ G aν ν G aµ + g s f abc G bµ G cν. 8 SU3 C 群基础表示生成元 t a = λ a /, 其中 λ a 为 Gell-Mann 矩阵 生成元对易关系为 t a, t b = if abc t c 结构常数 f abc 是全反对称的, 其非零分量为 f 3 =, f 47 = f 46 = f 57 = f 345 = f 56 = f 637 =, f 458 = f 678 = 3. 9 由 4 Ga µνg aµν = 4 µg a ν ν G a µ + g s f abc G b µg c ν µ G aν ν G aµ + g s f ade G dµ G eν = µg a ν µ G aν µ G a ν ν G aµ g s f abc µ G a νg bµ G cν 4 g s f abc f ade G b µg c νg dµ G eν, 0 可得 L QCD = q qiγ µ µ m q q + g s G a µ qγ µ t a q + µg a ν ν G aµ µ G a ν µ G aν g s f abc µ G a νg bµ G cν 4 g s f abc f ade G b µg c νg dµ G eν. 设用于固定胶子场规范的函数 G a x = µ G a µx ω a x, 其中 ω a x 是某个任意函数, 规范固定条 件是 G a x = 0 这是 Lorenz 规范的推广,ω a x = 0 对应于 Lorenz 规范 在路径积分量子化中, 以 中心为 ω a x = 0 的 Gauss 权重对 ω a x 作泛函积分, 有 Dω a ex i d 4 x ξ ωa δg a = ex i d 4 x ξ µ G a µ. 3

4 可, 拉氏量中的规范固定项为 L QCD,GF = ξ µ G a µ. 3 ξ 的任何一个取值对应于一种规范 ξ = 称为 Feynman- t ooft 规范,ξ = 0 称为 Landau 规范 于 是, 胶子传播子相关拉氏量为 L QCD,ro = Ga µ µ G aν ν G aµ µ G aν µ G aν ξ µ G aµ g µν µ ν G a ξ ν. 4 变换到动量空间, 得 g µν + µ ν, 5 ξ 它的逆矩阵是 这是因为 g µν µ ν ξ, 6 g ρµ ρ µ ξ g µν + = δρ ν ρ ν ρ ν ξ ξ + ρ ν µ ν ξ ξ = δ ν ξ ρ. 7 从而, 胶子传播子的形式为 SU3 C 规范变换为 q Uq, 其中 Ux = exiα a xt a 胶子场的无穷小规范变换形式是 iδ ab g µν µ ν ξ. 8 + iε G a µt a + iα a t a G b µt b iα c t c + i g s + iα a t a µ iα c t c G a µt a UG a µt a U + i g s U µ U, 9 = G b µt b + iα a G b µt a, t b + µ α c t c + Oα = G a g µt a f abc α a G b µt c + µ α a t a + Oα s g s = G aµ + f abc G bµα c + gs µ α a t a + Oα, 0 即 δg a µ = g s µ α a + f abc G b µα c = 因而规范固定函数 G a 的无穷小规范变换为 δ ac µ + f abc G b µ α c, g s δg a = µ δg a µ = g s δ ac α c + f abc µ G b µα c, g s δg a δα c = δab + g s f abc µ G b µ. 4

5 Faddee-Poo 场的拉氏量是 L QCD,FP = η a g g s δg a δα c 下面列出 QCD 费曼规则 QCD 顶点 : η c g = η a gδ ac + g s f abc µ G b µη c g η a gδ ab η b g + g s f abc µ η a gg b µη c g. 3 G a µ = ig s γ µ t a q q G a µ k = g s f abc g µν k ρ + g νρ q µ + g ρµ q k ν G b ν q G c ρ G a µ G b ν = ig s f abe f cde g µρ g νσ g µσ g νρ + f ace f bde g µν g ρσ g µσ g νρ +f ade f bce g µν g ρσ g µρ g νσ G c ρ G d σ G b µ = g s f abc µ η c g η a g 胶子传播子 : G a µ G b ν = iδab g µν µ ν ξ + iε 粒子传播子 : η a g η b g = iδab + iε 5

6 4 费米子电弱规范相互作用拉氏量和费曼规则 表 列出标准模型费米子场的量子数电荷数 Q 弱同位旋第 3 分量 T 3 弱超荷 Y 重子数 B 和轻子数 L e /L µ /L τ 每代左手费米子场构成 个 SU L 二重态 P L ν i L il = = P L l i ν il l il P L u i, Q il = P L d i = u il d il, i =,, 3. 4 下型夸克的质量本征态 d j 与规范本征态 d j 通过 Cabibbo-Kobayashi-Maskawa CKM 矩阵 V ij 联系起来 : d i = V ij d j. 5 右手费米子场 l ir = P R l i u ir = P R u i 和 d ir = P Rd i 是 SU L 单态 它们的电荷数 Q 弱同位旋第 3 分量 T 3 和弱超荷 Y 满足关系 Q = T 3 + Y. 6 表 : 标准模型费米子场的量子数 统一记号第一代第二代第三代 Q T 3 Y B L e /L µ /L τ L il = ν il ν el ν µl ν τl 0 / / 0 l il e L µ L τ L / / 0 Q il = u il u L c L t L /3 / /6 /3 0 /3 / /6 /3 0 d il d L s L b L l ir e R µ R τ R 0 0 u ir u R c R t R /3 0 /3 /3 0 d ir d R s R b R /3 0 /3 /3 0 SU L U Y 规范不变的费米子协变动能项为 L EF = Q il i /DQ il + ū ir i /Du ir + d iri /Dd ir + L il i /DL il + l ir i /Dl ir. 7 对于 SU L 二重态 Q il 和 L il, 协变导数为 D µ = µ ig B µ Y ig a µ τ a, τ a = σa. 8 弱同位旋第 3 分量 T 3 是生成元 τ 3 的本征值 对于 SU L 单态 u ir d ir 和 l ir, 协变导数为 D µ = µ ig B µ Y. 9 规范场 µ a x 和 B µ x 跟左手费米子场的相互作用与右手费米子场不同, 而在 QED 中, 电磁场 A µ x 跟左手费米子场的相互作用却与右手费米子场相同 为了回到 QED 的情况, 需要把 µx 3 和 B µ x 混 6

7 合起来, 得到电磁场 A µ x 和另一个中性规范场 Z µ x, 即定义 A µ Z µ g + g g 3 µ + gb µ = s 3 µ + c B µ, 30 g + g g 3 µ g B µ = c 3 µ s B µ, 3 ± µ µ i µ, 3 或 B µ = c A µ s Z µ, µ 3 = s A µ + c Z µ, 33 µ = µ + + µ, µ = i µ + µ. 34 参数间有如下关系, s sin θ = g g + g, c cos θ = g g + g, e gg g + g = gs = g c. 35 这里 θ 称为 einberg 利用 g Y B µ + gt 3 µ 3 = g Y c A µ s Z µ + gt 3 s A µ + c Z µ = ey + T 3 A µ + gc T 3 gs s Y Z µ = QeA µ + g T 3 c Y s c c Z µ = QeA µ + g c T 3 Qs Z µ, 36 有 D µ Q il = µ ig B µ Y igµ a τ a g Y B µ + gt 3 3 µ Q il = µ Q il i g µ iµ g Q il µ + iµ g Y B µ + gt 3 µ 3 QeA µ + g T 3 Qs = µ Q il i c Z µ g µ + gµ QeA µ + g T 3 Qs c Z Q il µ QeA µ + g T 3 Qs = µ Q il i c Z µ u il + g µ + d il, 37 g µ u il + QeA µ + g c T 3 Qs d il 故 Q il i /DQ il QeA µ + g T 3 Qs c Z µ ū il γ µ u il + QeA µ + g T 3 Qs c Z µ d ilγ µ d il + g + µ ū il γ µ d il + g µ d ilγ µ u il 7

8 = QeA µ + g g L Z µ c ū i γ µ γ 5 u i + QeA µ + g g L Z µ c d i γ µ γ 5 d i + g µ + ū i γ µ γ 5 V ij d j + g d µ j V γ ji γµ 5 u i, 38 其中 g L T 3 Qs. 39 另一方面, D µ d ir = µ ig B µ Y d ir = µ d ir ig Qc A µ s Z µ d ir = µ d ir iqea µ d ir+i g c Qs Z µ d ir, 40 则 ū ir i /Du ir + d iri /Dd ir = QeA µ g Qs c Z µ QeA µ + g g R Z µ c ū ir γ µ u ir + ū i γ µ + γ 5 u i + QeA µ g Qs c Z µ d irγ µ d ir QeA µ + g g R Z µ c d i γ µ + γ 5 d i, 4 其中 定义 g R Qs. 4 g V g L + g R = T 3 Qs, g A g L g R = T 3, 43 可得 Q il i /DQ il + ū ir i /Du ir + d iri /Dd ir Qeū i γ µ u i A µ + Qe dγ µ d i A µ + g ū i γ µ g V g A γ 5 u i Z µ + g di γ µ g V g A γ 5 d i Z µ c c + g + µ ū i γ µ P L V ij d j + g µ d j V ji γµ P L u i. 44 同理, 有 L il i /DL il + l ir i /Dl ir Qe l i γ µ l i A µ + g li γ µ g V g A γ 5 l i Z µ + g ν i γ µ g V g A γ 5 ν i Z µ c c + g + µ ν i γ µ P L l i + g µ l i γ µ P L ν i. 45 总结起来, 可以写成流耦合的形式, L EF f Q f e fγ µ fa µ + g fγ µ g f V c gf A γ 5fZ µ + g µ + J +µ + µ J µ = ea µ J µ EM + gz µj µ Z + µ + J +µ + µ J µ, 46 8

9 其中, 流的定义为 J µ EM f Q f fγ µ f, J µ Z c f fγ µ g f V gf A γ 5f = g f c f L L γ µ f L + g f f R R γ µ f R, J +µ ū il γ µ V ij d jl + ν il γ µ l il, J µ d jl V ji γµ u il + l il γ µ ν il. 47 对于各种费米子, 相关系数如下, f Q ui = 3, Q d i = 3, Q ν i = 0, Q li = ; 48 g u i V = 4 3 s, g u i A = ; gd i V = + 3 s, g d i A = ; 49 g ν i V =, gν i A = ; gl i V = + s, g l i A = ; 50 g u i L = 3 s, g u i R = 3 s ; g d i L = + 3 s, g d i R = 3 s ; 5 g ν i L =, gν i R = 0; gl i L = + s, g l i R = s. 5 下面给出费米子电弱规范相互作用顶点的费曼规则 QED 顶点 : A µ = iq f eγ µ 对于电子,Q e = f f 费米子与 Z 玻色子的耦合 : Z µ g = i γ µ g f V c gf A γ 5 f f g u i V = 4 3 s, g u i A = ; gd i V = + 3 s, g d i A = ; g ν i V =, gν i A = ; gl i V = + s, g l i A =. 费米子与 ± 玻色子的耦合 : µ µ = i g V ij γ µ P L = i g V ji γµ P L d j u i u i d j 9

10 µ µ = i g γ µ P L = i g γ µ P L l i ν i ν i l i 5 电弱规范场自相互作用拉氏量和费曼规则 电弱规范场自相互作用拉氏量是 L EG = 4 a µν aµν 4 B µνb µν, 53 其中 aµν µ aν ν aµ + gε abc bµ cν, B µν µ B ν ν B µ. 54 利用 33 式和 34 式, 可得 µ 3 ν 3 µ ν = i + µ µ s A ν + c Z ν s A µ + c Z µ + ν ν = i s + µ A ν A µ + ν + c + µ Z ν Z µ + ν s µ A ν A µ ν c µ Z ν Z µ ν, 3 µ ν µ 3 ν = s A µ + c Z µ + ν + ν + µ + µ s A ν + c Z ν = s + µ A ν A µ + ν + c + µ Z ν Z µ + ν + s µ A ν A µ ν + c µ Z ν Z µ ν. 从而, µν = µ ν ν µ + gε bc µ b ν c = µ ν ν µ + gµ ν 3 gµ 3 ν = µ ν + ν µ + + µ ν ν µ + gµ ν 3 gµ 3 ν = { µ + ν ν + µ + igs + µ A ν A µ + ν + c + µ Z ν Z µ + ν } + { µ ν ν µ igs µ A ν A µ ν + c µ Z ν Z µ ν } = F + µν + F µν, 57 其中, F + µν µ + ν ν + µ + ie + µ A ν A µ + ν + igc + µ Z ν Z µ + ν, 58 F µν µ ν ν µ ie µ A ν A µ ν igc µ Z ν Z µ ν. 59 0

11 另一方面, µν = µ ν ν µ + gε bc µ b ν c = µ ν ν µ gµ ν 3 + gµ 3 ν = i µ ν + ν µ + i µ ν ν µ + gµ 3 ν µ ν 3 = i { µ + ν ν + µ + igs + µ A ν A µ + ν + c + µ Z ν Z µ + ν } i { µ ν ν µ igs µ A ν A µ ν + c µ Z ν Z µ ν } = i F + µν F µν. 60 因此, 4 µν µν 4 µν µν = 8 F µν + + FµνF +µν + F µν + 8 F µν + FµνF +µν F µν = F µνf + µν = µ ν + ν µ + + ie µ + A ν A µ ν + + igc µ + Z ν Z µ ν + µ ν ν µ ie µ A ν A µ ν igc µ Z ν Z µ ν = µ ν + µ ν + µ ν + ν µ +ie µ ν + µ A ν µ ν + ν A µ µ + µ ν A ν + ν + µ ν A µ +igc µ ν + µ Z ν µ ν + ν Z µ µ + µ ν Z ν + ν + µ ν Z µ +e µ + ν A ν A µ µ + µ A ν A ν + g c µ + ν Z ν Z µ µ + µ Z ν Z ν +egc µ + ν A ν Z µ + µ + ν A µ Z ν µ + µ A ν Z ν. 6 由 µ ν µ ν = i + µ + µ + ν ν i + µ µ + ν + ν = i + µ ν µ + ν, 6 可得 µν 3 = µ ν 3 ν µ 3 + gε 3bc µ b ν c = µ ν 3 ν µ 3 + gµ ν gµ ν = s µ A ν + c µ Z ν s ν A µ + c ν Z µ + gµ ν µ ν = s µ A ν ν A µ + c µ Z ν ν Z µ ig µ + ν µ ν +, 63 B µν = µ c A ν s Z ν ν c A µ s Z µ = c µ A ν ν A µ s µ Z ν ν Z µ. 64 于是, 4 µν 3 3µν 4 B µνb µν = µa ν µ A ν µ A ν ν A µ µz ν µ Z ν µ Z ν ν Z µ +ie +µ ν µ A ν +ν µ µ A ν + igc +µ ν µ Z ν +ν µ µ Z ν + g µ + +µ ν ν µ + +ν ν µ. 65

12 综合起来, 有 L EG = µa ν ν A µ µ A ν µ A ν + µz ν ν Z µ µ Z ν µ Z ν + µ ν + ν µ µ ν + µ ν + g µ + +µ ν ν µ + +ν ν µ +ie µ ν + µ A ν µ ν + ν A µ +µ µ ν A ν + +ν µ ν A µ + +µ ν µ A ν +ν µ µ A ν + e µ + ν A ν A µ µ + µ A ν A ν +igc µ ν + µ Z ν µ ν + ν Z µ +µ µ ν Z ν + +ν µ ν Z µ + +µ ν µ Z ν +ν µ µ Z ν + g c µ + ν Z ν Z µ µ + µ Z ν Z ν +egc µ + ν A ν Z µ + µ + ν A µ Z ν µ + µ A ν Z ν. 66 下面是电弱规范玻色子自耦合的费曼规则 : A ρ k = ieg µν q ρ + g νρ q k µ + g ρµ k ν µ q ν Z ρ k = igc g µν q ρ + g νρ q k µ + g ρµ k ν µ q ν A ρ A σ = ie g µρ g νσ + g µσ g νρ g µν g ρσ µ ν Z ρ Z σ = ig c gµρ g νσ + g µσ g νρ g µν g ρσ µ ν A ρ Z σ = iegc g µρ g νσ + g µσ g νρ g µν g ρσ µ ν

13 ρ σ = ig g µρ g νσ + g µσ g νρ g µν g ρσ µ ν 6 正规范下 iggs 场相关拉氏量和费曼规则 iggs 场的协变动能项和势能项为 L = D µ Φ D µ Φ V Φ, V Φ = µ Φ Φ + λφ Φ, 67 其中 + x Φx = 0, D µ Φ = µ ig B µ Y igµ a τ a Φ, Y = x. 68 当 λ > 0 且 µ > 0 时,iggs 场势能 V Φ 呈现出图 所示墨西哥草帽状的形式, 势能最小值位于方程 Φ Φ = Re + + Im + + Re 0 + Im 0 = 69 对应的 4 维球面上, 其中 µ /λ, 满足 µ = λ. 70 V Φ Reφ 0 Imφ 0 图 : iggs 场势能示意图 这里压缩掉 Re + 和 Im + 两个维度 iggs 场的真空期待值位于这个 4 维球面上的某一点, 不失一般性, 可将它取为 其它真空期待值可通过整体变换 Φ = 0. 7 Φ exiα a τ a exiα Y Y Φ 7 3

14 得到, 因为 Φ Φ 在这样的变换下保持不变 若 α = α = 0 且 α 3 = α Y, 则 Φ 在变换下不变 因此, 有 个方向的规范对称性没有受到破坏, 只有 3 个方向的规范对称性发生自发破缺 根据 Goldstone 定 理, 破缺后生成 3 个无质量的 Nambu-Goldstone 玻色子 最终, 有 3 个规范玻色子自由度通过 Brout Englert iggs 机制获得质量 以 Φ 为基础, 将 iggs 场一般地参数化为 Φx = ex i a x τ a 0, 73 + x 其中 a x 和 x 都是实标量场 ex i a xτ a / 因子能够通过 SU L 规范变换消去, 因而可将 Φx 直接取为 Φx = 0, Φ Φ = + x 此时 iggs 场只剩下一个物理自由度 x, 对应于 iggs 玻色子, 这种取法称为 正规范 在 正规范下, 势能项化为 V Φ = µ Φ Φ λφ Φ = µ + λ = µ λ = 4 µ + 4 µ λ + µ λ + µ λ λ λ 3 4 λ4 = 8 m m m 3 m 8 4, 75 其中 iggs 玻色子的质量为 m µ, m = µ = λ. 76 利用 g B µ + g 3 µ = g c A µ s Z µ + gs A µ + c Z µ = ea µ + g g g + g Z µ = ea µ + g c c s Z µ, 77 有 g B µ Y + gµ a τ a = g B µ + gµ 3 gµ iµ gµ + iµ g B µ gµ 3 ea µ + g c c s Z µ g µ + = g µ g c Z µ. 78 于是, 在 正规范下, D µ Φ D µ Φ 4

15 µ iea µ ig c c s Z µ i g µ + = i gµ µ + ig Z µ c = i gµ +, µ ig Z µ + c µ + = g µ µ µ + µ + g 8c Z µ Z µ = µ µ + m + µ µ + m ZZ µ Z µ 0 + i g + µ + ig c Z µ + +gm µ + µ + gm Z Z µ Z µ + g c 4 µ + µ + g 8c Z µ Z µ. 79 故 ± 和 Z 玻色子获得质量, 分别为 m g, m Z g = m = g c c + g. 80 Y = / 的 iggs 场共轭态为 Φx = iσ Φ x = x 0 x 0 = x, 8 x 其中 + 在 正规范下, Φx 化为 Yukawa 耦合项是 Φx = L Y = ỹ ij d Q il d jrφ y ui QiL u ir Φ yli LiL l ir Φ + h.c. 0 = + x. 8 + x 0 = + d ll V liỹij d V jkd kr y u i + ū il u ir y l i + l il l ir + h.c. = m di di d i m ui ū i u i m li li l i m d i d i d i m u i ū iu i m l i l i l i. 83 这里 CKM 矩阵将 ỹ ij d 对 化 : V liỹij d V jk = y dk δ lk. 84 通过 Yukawa 耦合, 费米子获得了质量, m di y di, m ui y ui, m li y li. 85 下面给出 正规范下的顶点费曼规则 5

16 iggs 玻色子自耦合 : = 3i m = 6iλ = 3i m = 6iλ iggs 玻色子与电弱规范玻色子的耦合 : = igm g µν = i gm Z c g µν µ ν = i g gµν Z µ Z ν = i g c g µν = i g gµν = i g c g µν µ ν Z µ Z ν iggs 玻色子与费米子的耦合 : = i m f = i y f f f 7 R ξ 规范相关拉氏量和费曼规则 将 iggs 场参数化为 + x Φx =, 86 + x + ix 其中 + 和 是 Nambu-Goldstone 标量场 那么, Φx 的形式是 Φx = 由 0 x + x ix =. 87 x x Φ Φ = , 6

17 Φ Φ = , 88 可得 iggs 场势能项 V Φ = µ Φ Φ λφ Φ = µ µ + 4 λ λ + 4 λ = µ λ + µ 3λ + µ λ + µ λ 4 λ4 4 λ4 λ 3 λ λ + µ λ + λ + 4 λ = 4 λ4 λ 4 λ4 4 λ4 λ 3 λ λ λ = 8 m m m 3 m 8 4 m m 4 m 8 4 m 由于 V liỹij d V jk = y dk δ lk, ỹ ij d = V iky dk V kj, 90 有 ỹ ij Q d il d jrφ = ỹ ij d ū il d jr + + d il d jr + + i = ū il V ik y dk V kj V jld lr + + dll V liỹij d V jkd kr + + i = y dj ū il V ij d jr + + y di dil d ir + + i, 9 则 Yukawa 耦合项为 L Y = ỹ ij Q d il d jrφ y ui QiL u ir Φ yli LiL l ir Φ + h.c. = y dj ū il V ij d jr + + y di dil d ir + + i y li ν il l ir + + lil l ir + + i + h.c. y ui ū il u ir + i d jl V ji u ir = m di dil d ir m ui ū il u ir m li lil l ir m d i d il d ir + i m u i ūilu ir i m l i l mdj il l ir + i ū il V ij d jr + mui + d jl V ji u ir mli ν il l ir + + h.c. = m di di d i m ui ū i u i m li li l i m d i d i d i m u i ū iu i m l i l i l i Vij m d i d i iγ 5 d i + m u i ū iiγ 5 u i m l i l i iγ 5 l i + + ū i m ui P L m dj P R d j V ji mli dj m dj P L m ui P R u i + ν i P R l i + li P L ν i. 9 7

18 利用 D µ Φ = = µ iea µ µ + i ig c c s Z µ i g + µ i gµ µ + ig Z + + i µ c ea µ + gc s Z µ + ig c µ + + i im µ + µ + i igµ ig Z µ + i + im Z Z µ c, 93 可将 iggs 场协变动能项化为 = D µ Φ D µ Φ µ + i ea µ + gc s Z µ + ig c µ + + i im µ + + µ + i igµ + + ig Z µ + i + im Z Z µ c = µ + µ + µ µ + µ µ { + i µ ea µ + gc s Z µ + + g c µ + + i + m µ + { + i µ i gµ + g } Z µ + i m Z Z µ + h.c. c + ea µ + gc s Z µ c + g µ + g Z µ + i m Z Z µ c + + g + µ + i + m + µ = µ + µ + µ µ + µ µ +m µ + µ + m ZZ µ Z µ + gm + µ µ + gm Z c Z µ Z µ } + h.c. + g + µ i µ + i + h.c. + ea µ i µ + + g c Z µ ii µ + c s i µ + + g 4 µ + µ e A µ A µ + + g 4c eg + µ + A µ + i g s µ + Z µ + i + h.c. c Z µ Z µ c s eg c c s A µ Z µ + +em A µ + µ gs m Z Z µ + µ + h.c. + L b, 94 其中 L b = im µ + µ + im µ + µ + m Z µ Z µ. 95 R ξ 规范的规范固定函数设为 G ± = ξ µ ± µ iξm ±, G Z = ξ µ Z µ ξm Z, G γ = ξ µ A µ, 96 8

19 它们在路径积分量子化中的泛函积分形式为 Dω + Dω Dω Z Dω γ ex i d 4 x ω + ω + ωz ω Z + ωγ ω γ δg + ω + δg ω δg Z ω Z δg γ ω γ = ex i d 4 x G + G + GZ G Z + Gγ G γ. 97 由此可得拉氏量中的规范固定项 L E,GF = G + G GZ Gγ = ξ µ µ + iξm + ν ν + iξm ξ µ Z µ ξm Z ξ µ A µ = ξ µ µ + ν ν ξ µ Z µ ξ µ A µ ξm + ξm Z + L b. 98 可,Nambu-Goldstone 玻色子在 R ξ 规范下具有依赖于 ξ 的非物理质量, m = ξm, m = ξm Z. 99 这里, 由于 L b = im µ + µ + im + µ µ + m Z µ Z µ. 00 L b + L b = im µ + µ + im µ + µ + m Z µ Z µ, 0 这两项体现为全散度, 不会有物理效应 可, 协变动能项中规范场与 Nambu-Goldstone 标量场之间的 双线性耦合项 L b 被规范固定项中的 L b 抵消掉, 这就是如此选取规范固定函数的目的 这样一来, 电弱规范场传播子相关拉氏量变成 L E,ro = µ ν + ν µ µ ν + µ ν ξ µ µ + ν ν + m µ µ + + µ Z ν ν Z µ µ Z ν µ Z ν ξ µ Z µ + m ZZ µ Z µ + µ A ν ν A µ µ A ν µ A ν ξ µ A µ µ + g µν + m µ ν ν + ξ Z µ + A µ g µν ξ g µν + m Z µ ν Z ν ξ µ ν A ν. 0 于是, 光子的传播子与胶子形式类似, 为 i g µν µ ν ξ iε 9

20 将 ± 传播子相关拉氏量变换到动量空间, 得 g µν m + µ ν = g µν µ ν ξ m µ ν ξm ξ, 04 它的逆矩阵是 m g µν µ ν ξ ξm µ ν = m g µν µ ν ξm ξ, 05 这是因为由 g ρµ ρ µ µ ν = ρ ν ρ ν = 0, g ρµ ρ µ g µν µ ν = δ νρ ρ ν 06 可得 m = δρ ν ρ ν g ρµ ρ µ + ρ ν = δ ν ρ. ξ ξm ρ µ g µν µ ν m µ ν ξm ξ 07 从而, ± 传播子的形式为 同理,Z 传播子的形式为 i m + iε g µν i m Z + iε g µν µ ν ξm µ ν ξm Z ξ. 08 ξ. 09 电弱规范场的无穷小规范变换形式是 δ a µ = g µα a + ε abc b µα c, δb µ = g µα Y. 0 定义 α ± α iα, α Z α 3 α Y, α γ s α 3 + c α Y, 利用 ε bc b µα c = µα 3 3 µα, ε bc b µα c = µα µα, ±i α ± = ±iα + α, ±i ± µ = ±i µ + µ, 3 有 ε bc b µα c iε bc b µα c = µα 3 3 µα i µα µα = µ ± i µα 3 3 µα ± iα = ±i ± µ c α Z + α γ i s A µ + c Z µ α ±, 4 ε 3bc µα b c = µα µα = µ + + µ i α + α i µ + µ α + + α = i + µ α µ α

21 因此, δ + µ = δ µ iδ µ = g µ α iα + ε bc b µα c iε bc b µα c = g µα + is A µ + c Z µ α + + i + µ c α Z + α γ, 6 δ µ = δ + µ = g µα + is A µ + c Z µ α i µ c α Z + α γ, 7 δz a µ = c δ 3 µ s δb µ = c g µα 3 +c ε 3bc b µα c s g µ α Y = c g µα Z ic + µ α µ α +, 8 δa µ = s δ 3 µ + c δb µ = s g µα 3 + s ε 3bc b µα c + c g µα Y = e µα γ is + µ α µ α +. 9 另一方面, 根据 α a T a + α Y Y = αa σ a + α Y = 可知 iggs 场的无穷小规范变换形式为 α 3 + α Y α iα α + iα α 3 + α Y = α γ + c s αz α + α α Z, 0 δφ = iα a T a + α Y Y Φ = i α γ + c s αz α + + α α Z + + i i = + α γ + c s αz iα + δ i + α + i + i =. αz δ + iδ 利用 Re + α = + α + α +, Im + α = i + α α +, 可得 δ + = i {+ α γ + c s α Z iα + }, 3 δ = i { α γ + c s α Z + + iα }, 4 δ = i+ α α + + α Z, δ = + α + α + + α Z. 5 于是, 规范固定函数的无穷小规范变换为 ξδg + = µ δ µ + iξm δ + = µ g µα + is A µ + c Z µ α + + i µ + c α Z + α γ + ξm { + α γ + c s α Z iα + }, 6 ξδg = µ δµ + iξm δ = µ g µα + is A µ + c Z µ α iµ c α Z + α γ + ξm { α γ + c s α Z + + iα }, 7

22 ξδg Z = µ δz µ ξm Z δ = µ c g µα Z ic µ + α µ α + ξm Z + α + α + + α Z, 8 ξδg γ = µ δa µ = µ e µα γ is µ + α µ α +. 9 因此, ξg δg + δα + = + ξm ie µ A µ igc µ Z µ + gξm + i, 30 ξg δg + c δα Z = igc µ µ + + gc s ξm + δg +, ξe c δα γ = ie µ µ + + eξm +, 3 δg ξg δα = + ξm + ie µ A µ + igc µ Z µ + ξgm i, 3 ξg δg c δα Z = igc µ µ + gc s ξm δg, ξe c δα γ = ie µ µ + eξm, 33 δg Z ξg δα + = igc µ µ gξm Z δg Z, ξg δα = igc µ µ + gξm Z +, 34 ξg δg Z c δα Z = + ξm Z + gξm Z, 35 c δg γ ξg δα + = ie µ µ δg γ, ξg δα = ie µ µ + δg γ, ξe δα γ =. 36 最后, 得到以下 Faddee-Poo 场拉氏量, ξg L EG,FP = η + δg + ξg δα + η + η Z δg Z ξg δα + η + η γ δg γ ξg δα + η + η δg δα ξg η Z δg Z ξg δα η η γ δg γ ξg δα η η Z δg Z ξg c δα Z η Z η + δg + c δα Z ξg η δg ξe c δα Z η Z η γ δg γ ξe δα γ η γ η + δg + ξe δα γ η γ η δg δα γ = η + ξm ie µ A µ igc µ Z µ gξm + i + η Z igc µ µ + gξm Z η + + ie µ η γ µ η + + η ξm + ie µ A µ + igc µ Z µ gξm i + η Z igc µ µ + + gξm Z + η ie µ η γ µ + η + η Z ξm Z gξm Z η Z + η + igc µ µ + gc s ξm c η + η + c η Z η η Z η γ + η igc µ µ gc s ξm η Z c η γ η γ + η + ie µ µ + eξm + η γ + η ie µ µ eξm η γ. 37 粒子的质量为 m η + = m η = ξm, m η Z = ξm Z, m η γ = 0. 38

23 下面给出 R ξ 规范下的费曼规则 ξ = 对应 Feynman- t ooft 规范,ξ = 0 对应 Landau 规范, ξ 对应 正规范 传播子 : A µ Z µ µ A ν Z ν ν = = i m + iε i ξm Z + iε i = ξm + iε = i g µν µ ν ξ + iε = = i m Z + iε g µν i m + iε g µν µ ν ξm Z µ ν ξm ξ ξ η γ η γ = i + iε η Z η Z = i ξm Z + iε η ± η ± = i ξm + iε 标量玻色子三线性耦合 : = 3i m = i m = i m = 6iλ = iλ = iλ 标量玻色子四线性耦合 : = 3i m = i m = 3i m = 6iλ = iλ = 6iλ = i m = i m = i m = iλ = iλ = 4iλ 3

24 Yukawa 耦合 : = i m f = m l i γ 5 = i y f = y l i γ 5 f f l i l i = m u i γ 5 = y u i γ 5 = m d i γ 5 = y d i γ 5 u i u i d i d i d j u i = i Vij m ui P L m dj P R = iv ij y ui P L y dj P R u i d j V ji = i m dj P L m ui P R = iv ji y d j P L y ui P R = i mli P R = i mli P L = iy li P R ν i l j = iy li P L l i ν i 标量玻色子与电弱规范玻色子的三线性耦合 : Z µ Z ν = i gm Z c g µν = i g c g µν µ ν = igm g µν = i g gµν = iem g µν = iem g µν = i eg gµν µ A ν = i eg gµν µ A ν = igs m Zg µν = igs m Zg µν µ Z ν = i g s c g µν µ Z ν = i g s c g µν 4

25 A µ Z µ q = ie + q µ q = i gc s c + q µ Z µ q = g c + q µ µ µ q = i g + qµ q = i g + qµ µ µ q = g + qµ q = g + qµ 标量玻色子与电弱规范玻色子的四线性耦合 : = i g c g µν = i g gµν Z µ Z ν µ ν = i g c g µν = i g gµν Z µ Z ν µ ν = ie g µν = i egc s c g µν A µ A ν A µ Z ν 5

26 = i g c s c g µν = i g gµν Z µ Z ν µ ν = i eg gµν = i eg gµν A µ ν A µ ν = i g s c g µν = i g s c g µν Z µ ν Z µ ν = eg gµν = eg gµν A µ ν A µ ν = g s c g µν = g s c g µν Z µ ν Z µ ν 粒子与标量玻色子的耦合 : η Z η Z = i gξm Z c = i g ξ 4c η + η + = i gξm = i g ξ 4 η η = i gξm = i g ξ 4 6

27 = gξm = g ξ 4 η + η + η η = gξm = g ξ 4 η γ η + = ieξm = i egξ η γ η = ieξm = i egξ η Z η + = i gc s ξm c = i g c s ξ 4c η + η Z = i gξm Z = i g ξ 4c η η Z = i gξm Z = i g ξ 4c η Z η = i gc s ξm c = i g c s ξ 4c 粒子与电弱规范玻色子的耦合 : A µ A µ = ie µ η + η + η = ie µ η Z µ Z µ η + η + = igc µ η = igc µ η µ µ η γ η + = ie µ η + = ie µ η γ 7

28 µ µ = ie µ = ie µ η η γ η γ η µ µ η Z η + = igc µ η + = igc µ η Z µ µ = igc µ = igc µ η η Z η Z η 8 内外线一般费曼规则 标量玻色子传播子 : = i m + iε Dirac 费米子传播子 : = i / + m m + iε 无质量规范玻色子 如光子 传播子 : µ ν = ig µν + iε Feynman 规范 µ ν 有质量规范玻色子 如 ± 和 Z 传播子 : µ ν = ig µν µ ν / + iε = ig µν µ ν /m m + iε Landau 规范 正规范 µ ν = ig µν m + iε Feynman 规范 标量玻色子外线 : = 初态或末态 Dirac 费米子外线 : 8

29 = u, s 正粒子初态 = ū, s 正粒子末态 =, s 反粒子初态 =, s 反粒子末态 在计算非极化截面时, 可利用自旋求和关系 u, sū, s = / + m, s, s, s = / m. 39 s 矢量玻色子外线 : µ = ε µ, λ 初态 µ = ε µ, λ 末态 在计算非极化截面时, 若包含无质量矢量玻色子外线, 可作替换 若包含有质量矢量玻色子外线, 可作替换 9 常用单位和标准模型参数 λ ε µ, λε ν, λ g µν ; 40 λ ε µ, λε ν, λ g µν + µ ν m. 4 本节数据来自 Particle Data Grou 发布的 08 版 Reiew of Particle Physics 5 在有理化的自然单位制中, 光速 约化 Planck 常数和真空介电常数均取为, 即 c = ħ = ε 0 = 从 而, 速度没有量纲 dimension; 度量纲与时间量纲相同, 是能量量纲的倒数 ; 能量 质量和动量具有 相同的量纲 ; 精细结构常数表达为 α = e /4π, 而单位电荷量 e = 4πα 是没有量纲的 可以将能量 单位电子伏特 ev 视作上述有量纲物理量的基本单位 单位间转换关系取为 = c = cm s, 4 = ħ = GeV s, 43 = ħc = GeV cm, 44 括号内数字代表测量值的 σ 不确定度, 由此可得 s = cm, cm = s, 45 s = GeV, GeV = s, 46 9

30 cm = GeV, GeV = cm, 47 cm = GeV, GeV = cm, 48 cm 3 s = GeV, GeV = cm 3 s. 49 靶 barn 是散射截面的常用单位, 记作 b, 满足 b = 0 4 cm = 0 9 nb = 0 b = 0 5 fb = 0 8 ab, 50 b = 0 36 cm = GeV, GeV = b. 5 Fermi 耦合常数是 由树图阶关系式 可得 iggs 场真空期待值为 G F = GeV. 5 G F = = g 8m, 53 = G F / = GeV. 54 在低能标 Thomson 极限 处, 精细结构常数为 α = = 在 MS 重整化方案 以 为标志 中,α 跑动到 µ = m Z 能标处的数值是 ; 55 α m Z = ± 在 MS 方案中,µ = m Z 能标处强耦合常数 α s = g s /4π 的数值为 α s m Z = 0.8 ± 0.00, 57 einberg θ 的数值对应于 ŝ = sin θ m Z = 0.3 ± 在标准模型中, 光子 胶子和中微子没有质量, 其它基本粒子的质量为 m = ± 0.0 GeV, m Z = ± 0.00 GeV, m = 5.8 ± 0.6 GeV, 59 m e = MeV, m µ = MeV, m τ = ± 0. MeV, 60 m u = MeV, m d = MeV, m s = MeV, 6 m c = GeV, m b = GeV, m t = 73.0 ± 0.4 GeV. 6 这里,u d s 夸克的质量是 µ GeV 能标处的流夸克质量 current-quark mass,c b 夸克的质量 是 MS 方案中的跑动质量 running mass, 其余粒子的质量均为极点质量 ole mass 质子和中子的质 量为 m = MeV, m n = MeV

31 在电弱能标附近作领头阶计算时, 可将单位电荷量 e 取为 e = 4π αm Z = , 64 将强耦合常数 g s 取为 g s = 4π α s m Z = 从树图阶关系计算 iggs 场四线性耦合常数 λ 和 Yukawa 耦合常数 y t y b y τ y c, 得 λ = m = , y mt mb t = = , y b = = , 66 mτ y τ = = mc, y c = = 耦合常数 g 和 g 有以下两种取值方式. 根据树图阶关系 sin θ = m /m Z 计算 einberg, 得 s = m s = m Z = 0.303, c = s = , 68 s = , c = c = , 69 故 g = e = , g = e = s c. 根据 MS 方案中 einberg 的数值 58 计算 g 和 g, 得 c = ŝ = , s = ŝ = , c = c = , 7 g = e = , g = e = s c CKM 矩阵分量 V ij 之模的测量值为 ± ± ± V ij = ± ± ± ± 如果仅仅近似地考虑 Cabibbo 转动 θ C, 有 cos θ C sin θ C V ij sin θ C cos θ C, sin θ C = V = 参考文献 M. E. Peskin and D. V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory, Reading, USA: Addison-esley 995, 84 ages. 3

32 T. P. Cheng and L. F. Li, Gauge Theory of Elementary Particle Physics, Oxford, UK: Clarendon 984, 536 ages. 3 A. Denner, Techniques for calculation of electroweak radiatie corrections at the one loo leel and results for hysics at LEP-00, Fortsch. Phys. 4, arxi: he-h. 4 杜东生, 杨茂志, 粒子物理导论, 中国北京 : 科学出版社 04,40 5 M. Tanabashi et al. Particle Data Grou, Reiew of Particle Physics, Phys. Re. D 98,