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- 路律 萧
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1 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 陳旭昇 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
2 1 蒙地卡羅模擬 2 蒙地卡羅模擬的應用 3 樣本重抽法與 Bootstrap 4 Bootstrap 偏誤與標準差 5 Bootstrap 信賴區間 6 BootstrapP-values( 假設檢定 ) 7 迴歸模型的 Bootstrap 8 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 9 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
3 蒙地卡羅模擬 蒙地卡羅模擬 假設 {x i } n i=1 為隨機抽樣自母體分配 F 的隨機樣本資料 令 T n = T n (x 1,...,x n,θ) 為我們有興趣的統計量, 其中 θ 為母體未知參數, 且一般而言我們假設 θ 足以代表母體分配的所有特徵 因此,T n 的實際抽樣分配為 G n (τ,f)=p(t n τ F). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
4 蒙地卡羅模擬 蒙地卡羅模擬 由於 F ( 或是說 θ) 未知, 則 G n 也是未知 甚至於在某些情況下, 即使 F 已知, 我們也未必能夠推導出 G n 分配 而蒙地卡羅模擬就是在研究者自己選擇的 F 下, 利用數值模擬 (numericalsimulation) 來計算 G n (τ,f), 因此, 你可以把執行蒙地卡羅模擬的研究人員想像成造物者, 透過不同的環境設定 ( 選擇的不同的 F ), 觀察並記錄萬物的運作 茲簡述蒙地卡羅模擬應用在統計學 ( 計量經濟學 ) 的執行方式如下 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
5 蒙地卡羅模擬 蒙地卡羅模擬 定義 ( 蒙地卡羅模擬 ( 續 )) 4 重複 B 次步驟 2 與 3, 一般來說,B 為很大的數字如 B=1000 或是 B=5000 等 令第 b 次抽樣得到的統計量以 T nb 表示, 根據 B 次的反覆計算 ( 亦即樣本大小為 B), 我們得到了 T nb 的實證分配函數 (empiricaldistributionfunction,edf), Ĝ n (τ)= 1 B B b=1 其中 1( ) 為指標函數 (indicatorfunction), 1(T nb τ), 1(T nb τ)={ 1, if T nb τ 0, if T nb > τ 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
6 蒙地卡羅模擬 蒙地卡羅模擬 定義 ( 蒙地卡羅模擬 ) 1 研究者選擇 θ 以及樣本大小 n 以建構一個虛擬的資料生成過程 (data generating process, DGP) 2 利用電腦的隨機變數產生器 ( 亂數產生器,randomnumbergenerater) 由 θ 所代表的分配 F 中抽出一組隨機樣本 {x i }n i=1 更明確地說, 應該是擬真亂數產生器 (pseudorandomnumbergenerater) 因為所有的亂數產生器都是 幾可亂真 的程式 3 由這組虛擬樣本計算統計量 T n = T n (x 1,...,x n,θ). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
7 蒙地卡羅模擬 蒙地卡羅模擬 應用蒙地卡羅模擬的理論基礎為 統計學基本定理 (fundamental theoremofstatistics,fts) 亦即, 我們知道 則根據 WLLN, Ĝ n (τ)= 1 B G n (τ)= P(T n τ)= E(1(T n τ)), B b=1 1(T nb τ) p E(1(T n τ))=g n (τ). 也就是說, 在給定某資料生成過程下我們抽出一組隨機樣本並計算統計量 T nb, 重複 B 次後, 我們會得到 T nb 的實證分配函數 Ĝ n (τ), 而 FTS 告訴我們此實證分配函數 Ĝ n (τ) 機率收斂到該資料生成過程下的統計量之實際抽樣分配 G n (τ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
8 蒙地卡羅模擬 蒙地卡羅模擬 性質 ( 隨機變數產生器 ) 在做電腦模擬時, 我們會設定隨機變數產生器的起始值, 其目的是為了讓別人可以重製我們的模擬結果 舉例來說, 在 EViews 以及 GAUSS, 我們使用以下指令, RNDSEED 在 RATS, 我們用 SEED 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
9 蒙地卡羅模擬的應用 蒙地卡羅模擬的應用 蒙地卡羅模擬在計量經濟學中的主要應用在於評估統計推論程序的表現好壞, 譬如估計式與檢定量的表現 而統計推論程序的表現一般而言決定於樣本大小 n 以及真正的資料生成過程 F, 舉例來說, 我們可以透過蒙地卡羅模擬來檢視一個檢定量的 檢定大小 (size) 以及 檢定力 (power) 此外, 我們也可以用蒙地卡羅模擬來近似估計式的小樣本分配, 建構其標準差以及區間估計式 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
10 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 AR(1) 係數 OLS 估計式的小樣本偏誤 考慮以下的 DGP: y t = c+ϕy t 1 +e t, 其中 e t i.i.d. N(0,1). 以起始值 y 0=0 並遞迴地 (recursively) 製造模擬資料 {y t} n t=1 將樣本大小設定為 150, 然後丟棄掉前 50 個資料點以降低起始值的影響 給定此樣本大小為 100 的模擬資料, 以 OLS 估計一個 AR(1) 模型, 重複以上所述步驟 1000 次, 就會得到 1000 個 ˆϕ, 即 ˆϕ 的抽樣分配 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
11 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 AR(1) 係數 OLS 估計式的小樣本偏誤 在 DGP 中, 設定 c=0.1, 且考慮以下不同的真實 ϕ 值 :ϕ=0.50,0.90, 0.95,0.99 以及 1.0. 表 1 報告了估計值 ˆϕ 小於真實 ϕ 值的機率 ( 亦即, 1000 個 ˆϕ 中有多少比率使得 ˆϕ<ϕ) 可以很清楚地由表中看出, ˆϕ 在小樣本中存在向下偏誤 (downwardbiase), 且此小樣本向下偏誤隨著真實的 ϕ 趨近於 1 而越來越嚴重 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
12 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 AR(1) 係數 OLS 估計式的小樣本偏誤 ϕ 表 : 模擬小樣本向下偏誤 E(ˆϕ) P(ˆϕ<ϕ) % % % % 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
13 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 AR(1) 係數 OLS 估計式的小樣本偏誤 圖 : 實證分配函數 (ϕ=0.99) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
14 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 考慮以下簡單的迴歸模型, y t = α+βx t +e t. 當樣本夠大時, 在虛無假設 H 0 β=0 成立下,t 比率 (t-ratio) 的極限分配為標準常態, t= ˆβ SE(ˆβ) d N(0,1). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
15 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 在此應用中, 將檢視迴歸係數的 t 檢定量的實證檢定力 (empirical power) 與實證檢定大小 (empiricalsize) 1 在虛無假設 H 0 β=0 成立下,DGP 為 y t =2.5+e t, 其中 e t 服從自由度為 3 的 student-t 分配 2 在對立假設 H 1 成立下, y t =2.5+βx t +e t, 其中簡單設定 x t N(0,1) 我們考慮對立假設下的 β 值有 β=0.1, 0.5,1.0 以及 0.1 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
16 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 接下來, 我們執行顯著水準為 5% 的假設檢定 檢定大小 (size) 的定義為 P( t >1.96 H 0 為真 ), 而 檢定力 (power) 的定義為 P( t >1.96 H 1 為真 ). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
17 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 我們也可以計算 調整檢定大小後之檢定力 (size-adjustedpower) 利用虛無假設 H 0 β=0 成立下的 DGP, 我們可以找出臨界值 (critical value,cv),t 使得 P( t > t H 0 為真 )=0.05. 則 調整檢定大小後之檢定力 定義為 P( t >t H 1 為真 ). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
18 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 下表報告了當樣本大小為 25 時, 不同的 β 所對應的檢定大小, 真實 5% 臨界值, 檢定力以及調整檢定大小後之檢定力 模擬次數為 1000 次 我們不難發現, 隨著真實的 β 距離零越遠, 實證檢定力就越大 表 : 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 β Size True5%cv(t ) Power Size-adjustedPower 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
19 蒙地卡羅模擬的應用 模擬 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 我們也可以檢視樣本大小如何影響 t 檢定的實證檢定力與檢定大小 在下表中, 我們考慮 β=0.1 於對立假設中 顯然地, 實證檢定力隨著樣本變大而變大 表 : 模擬樣本大小的影響 SampleSize Size True5%cv(t ) Power Size-adjustedPower 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
20 樣本重抽法與 Bootstrap 樣本重抽法 傳統的計量經濟學在做統計推論時, 必須仰賴實際抽樣分配或是大樣本漸近分配 樣本重抽法 (resamplingmethod) 則是一個與實際抽樣分配或是大樣本漸近分配完全迥異的做法, 其統計推論的基礎, 來自 原有樣本的重複抽樣 樣本重抽法與蒙地卡羅模擬的關係十分密切, 都是借助模擬來建構一個人造的體系 其主要的不同處在於, 蒙地卡羅模擬所製造出來的資料可以抽樣自完全虛擬的 DGP, 而樣本重抽法的模擬必須根據實際資料重抽 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
21 樣本重抽法與 Bootstrap 樣本重抽法與 Bootstrap 樣本重抽法的優點如下 1 較少假設 舉例來說, 樣本重抽法不需假設 DGP 的分配為常態或是 其他特定分配 2 較為精確 一般而言, 在大多數的情況下, 樣本重抽法的統計推論較 傳統大樣本漸近理論來的精確 3 較易操作 樣本重抽法在大多數的情況下都可以使用, 你不必辛苦地尋找樞紐統計量 (pivotalstatistics) 此外, 傳統大樣本漸近理論需要 DeltaMethod 來處理非線性函數, 而樣本重抽法可以輕易地應用到各種不同設定如非線性函數 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
22 樣本重抽法與 Bootstrap 樣本重抽法種類 樣本重抽法中, 有以下四種最為重要 : 1 隨機檢定 (randomizationtest), 又稱排列檢定 (permutationtest); 2 交互驗證法 (cross-validation); 3 Jackknife 重抽法 ; 4 Bootstrap 重抽法 其中又以 Bootstrap 重抽法為計量經濟學中應用最廣的樣本重抽法 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
23 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 簡介 Bootstrap 重抽法是由 BradleyEfron 所提出 這個單字原意是指一種靴子後面的小環帶, 拉著可以讓自己方便脫下靴子, 而不需他人幫助, 因此 bootstrap 引申為由原有樣本不斷重複抽樣後得到許多新樣本 信賴區間, 假設檢定以及標準差在傳統的統計學中必須應用實際抽樣分配或是大樣本漸近分配 然而, 在許多情況下, 我們無法推導出實際抽樣分配, 而樣本數又不足以讓我們應用漸近理論 bootstrap 想法為, 把手頭擁有的這組樣本視為母體, 然後根據這個虛擬母體重複多次抽樣進而得到 bootstrap 分配 接下來的統計推論則不再使用抽樣分配, 而是以 bootstrap 分配取代之 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
24 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 簡介 在正式介紹 bootstrap 之前, 我們先呈現一個利用大樣本漸近分配來做統計推論時, 結果未盡理想之例子 考慮以下的迴歸模型, {y i,x 1i,x 2i } n i=1 y i = β 0 +x 1i β 1 +x 2i β 2 +e i, ( x 1i x 2i ) N(0,I 2 ), e i N(0,3 2 ), 且 β 0 =0, β 1 =1, β 2 =0.5,n=300. 我們感興趣的參數為 因此,θ 的真實參數值為 θ 0 =2 θ= β 1 β 2. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
25 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 簡介 θ 的估計式為 ˆθ= ˆβ 1 ˆβ 2. 根據 DeltaMethod, t(ˆθ)= ˆθ θ S n (ˆθ) d N(0,1) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
26 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 簡介 其中 S n (ˆθ)= n 1 (Ĥ ˆVĤ β β ), 且 ˆV 為變異數 - 共變數矩陣的估計式, Ĥ β = 0 1/ˆβ 2 ˆβ 1 /ˆβ 2 2, ˆV=[ 1 n i x i x i ] 1 [ 1 n i x i x iê2 i ][1 n i x i x i ] 1. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
27 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 簡介 以重複 的模擬建構 t(ˆθ) 在虛無假設下的實際抽樣分配, 並將 t(ˆθ) 的實際抽樣分配與標準常態分配一起畫在圖中 顯然地, 兩者的差異極大, 實際抽樣分配具有長左尾 (skewed) 而非對稱 (asymmetric) 犯型 I 誤差的機率為 P( t >1.96)=0.084=8.4%, 實證檢定大小 (empiricalsize) 大於 5%, 即以大樣本漸近分配來做統計推論會造成 過度拒絕 的現象 事實上, 這個模擬分析告訴我們即使樣本數增加到 n=300, 以大樣本漸近分配來做統計推論的表現依然很差 Thebootstrap 對此問題提供一種解決之法 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
28 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 簡介 圖 : t(ˆθ) 的實際抽樣分配 ( 實線 ) 與大樣本極限分配 ( 虛線,N(0,1)) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
29 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 定義 假設資料 {x i } n i=1 來自未知的分配 F, 且令 T n = T n (x 1,...,x n,f) 為我們有興趣的統計量 在大部分的情況下, 該統計量又可寫成 T n = T n (x 1,...,x n,θ). 舉例來說, T n = ˆθ, ( 估計式 ) T n = ˆθ θ, ( 偏誤 ) T n = (ˆθ θ) S(ˆθ), (t- 統計量 ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
30 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 定義 由於參數 θ 為 F 的函數, 因此, θ= θ(f), T n = T n (x 1,...,x n,θ)= T n (x 1,...,x n,θ(f))= T n (x 1,...,x n,f). 給定資料抽樣自分配 F, 令 G n (τ,f)= P(T n τ F) 為 T n 的實際抽樣分配函數 T n 取決於 {x i } n i=1 以及 θ, 則其抽樣分配 G( ) 取決於 F 以及 θ, 然而 θ= θ(f), 則 G( ) 透過兩個管道受到 F 影響 : {x i } n i=1 以及 θ 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
31 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 定義 1 理想上,T n 的統計推論應該根據實際抽樣分配函數, G n (τ,f). 然而, 由於一般來說 F 未知, 實務上是不可能知道實際抽樣分配函數 2 傳統的大樣本理論就是利用 G (τ,f)=lim n G n (τ,f) 來近似 G n (τ,f) 函數 當 G (τ,f)=g (τ) 與 F 無關, 我們就稱 T n 為漸近樞紐統計量 (asymptoticallypivotalstatistics), 並且以極限分配 G (τ) 做為統計推論的基礎 然而, 在大多數的應用中, 漸近樞紐統計量並不存在 此外, 就算漸近樞紐統計量存在, 其大樣本近似也可能表現不盡理想 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
32 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 定義 Efron(1979) 提出一種不同於漸近理論的近似方式 : thebootstrap Bootstrap 最迷人的地方就在於我們可以盡情地使用它, 而不需擔心統計量 T n 有多複雜, 也不必辛苦地應用 Deltamethod, 皓首窮究於繁瑣的計算中 T n 不需要存在任何一個已知的極限分配 Bootstrap 的做法是, 首先找出 F 的一致估計式,F n, 然後將 F n 代入 G n (τ,f) 函數並得到 G n(τ)=g n (τ,f n ) 做為 G n (τ,f) 的估計式 我們將 G n(τ) 稱做 bootstrap 分配, 而 T n 的統計推論就是根據 G n(τ) 的 bootstrap 分配 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
33 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 定義 由於 F(x)=P(x i x)=e(1(x i x)), 則根據類比原則 (analogyprinciple),f(x) 的類比估計式 (analog estimator) 為實證分配函數 (empiricaldistributionfunction,edf), 根據 WLLN, 對於任意 x, 為 F 的一致估計式 F n (x)= 1 n n i=1 1(x i x). F n (x) p F(x), 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
34 樣本重抽法與 Bootstrap Bootstrap 定義 給定一些技術性的條件, 我們可以得到 lim n G n(τ)=g n (τ,f) 以及 lim n G n(τ)=g (τ,f) 也就是說,bootstrap 分配函數,G n(τ) 在樣本夠大時, 會趨近於 T n 的實際抽樣分配函數 G n (τ,f) 此外, 由於我們知道當樣本很大時, T n 的極限分配為 G (τ,f)=lim n G n (τ,f), 因此, 當樣本很大時,bootstrap 分配,G n(τ) 也會趨近於 T n 的極限分配,G (τ,f) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
35 樣本重抽法與 Bootstrap 模擬 Bootstrap 分配 步驟 1: 以抽出放回 (drawwithreplacement) 的方式, 從樣本 {x i } n i=1 抽出一組 bootstrap 樣本 (bootstrapsample), 以 {x i }n i=1 表示之 注意到相同的樣本點可能會被抽到一次以上, 而有的樣本點可能沒被抽到 步驟 2: 利用這組 bootstrap 樣本計算 bootstrap 的統計量 T n= T n (x 1,...,x n,f n ), 一般來說,T n 之所以是 F 的函數, 係透過參數 θ, 因此, 我們又可將 bootstrap 統計量寫成 其中,θ n = ˆθ, 為 θ 的估計式 T n= T n (x 1,...,x n,θ n ), 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
36 樣本重抽法與 Bootstrap 模擬 Bootstrap 分配 步驟 3: 重複步驟 1 與步驟 2 共 B 次, 得到 B 個 bootstrap 統計量 T nb, b=1,2,...,b. 因此,T nb 的實證分配函數 (EDF) 為 當 B, Ĝ n(τ)= 1 B B b=1 1(T nb τ). Ĝ n(τ) p G n(τ). 這樣的做法稱做無母數 bootstrap(nonparametricbootstrap) 理由在於, 我們在做重抽時, 沒有使用任何母體參數的資訊 一般而言, 我們要求很大的 B 值, 如 B=1000 或是 B=5000 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
37 樣本重抽法與 Bootstrap 無母數 Bootstrap 的實際執行方式 以下說明實務上如何對樣本 {x 1,x 2,...,x n } 執行無母數 bootstrap 的重抽 1 首先, 我們從均等分配 (uniformdistribution),u[0,1] 抽出 n 個隨機變數 {υ i } n i=1 2 對於每一個 υ i, 計算 κ i =round(0.4+υ i n) 其中 round 代表取到最接近的整數 因此,κ i [1,n]. 3 令第 i 個 bootstrap 樣本,x i 為第 κ i 個 x 樣本點 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
38 樣本重抽法與 Bootstrap 無母數 Bootstrap 的實際執行方式 舉例來說, 給定 n=10, 原有樣本 {x i } 10 i=1 為 假設抽出來的 υ i 為 {x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10 } , 0.277, 0.745, 0.202, 0.914, 0.136, 0.851, 0.878, 0.120, 0.00 則 κ i 等於 7, 3, 8, 3, 10, 2, 9, 9, 2, 1 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
39 樣本重抽法與 Bootstrap 無母數 Bootstrap 的實際執行方式 因此,bootstrap 樣本 {x i }10 i=1 為 {x 1, x 2 x 3, x 4, x 5, x 6, x 7, x 8, x 9, x 10} ={x 7, x 3, x 8, x 3, x 10, x 2, x 9, x 9, x 2, x 1 } 顯然地, 如前所述, 原來樣本點會在 bootstrap 樣本中出現一次以上 ( 如 x 2,x 3 以及 x 9 ), 或是完全沒被選到 ( 如 x 4,x 5 以及 x 6 ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
40 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 偏誤 估計式 ˆθ 的偏誤 (bias) 定義成 ω n = E(ˆθ θ). 如果我們令統計量 T n (θ)= ˆθ θ, 則偏誤可以寫成 ω n = E[T n (θ)]= τdg n (τ,f). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
41 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 偏誤 而對應的 bootstrap 估計式與統計量為 ˆθ = ˆθ(x 1,...,xn), 以及 Tn= ˆθ ˆθ. 因此,bootstrap 偏誤 (bootstrapbias) 為 ω n= τdgn(τ), 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
42 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 偏誤 且 ω n 的模擬估計式 (simulationestimator) 為 ˆω n= 1 B = 1 B =( 1 B B Tnb b=1 B b=1 = ˆθ ˆθ. (ˆθ b ˆθ) B ˆθ b ) ˆθ b=1 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
43 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 偏誤 給定 ˆθ 為偏誤估計式, 則 θ 的不偏估計式為 θ= ˆθ ω n, 使得 E( θ)=e(ˆθ) E(ω n ), = E(ˆθ) ω n, = E(ˆθ) E(ˆθ θ), = E(ˆθ) [E(ˆθ) θ], = θ. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
44 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 偏誤 因此, 偏誤修正 (bias-adjusted) 的 bootstrap 估計式為 θ = ˆθ ˆω n = ˆθ (ˆθ ˆθ) =2ˆθ ˆθ. 簡單地說, 我們可以透過 bootstrap 估計偏誤, 然後建構出偏誤修正的 bootstrap 估計式 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
45 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 標準差 令 T n = ˆθ, 則其變異數為 V n = Var(ˆθ) = Var(T n ) = E(T n E[T n ]) 2. 在 bootstrap 分配中, 若 T n=ˆθ, 則其變異數為 V n= E(T n E(T n)) 2. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
46 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 標準差 因此,V n 的模擬估計式 ( 亦即 bootstrap 變異數 ) 為 ˆV n= 1 B B b=1 (ˆθ b ˆθ ) 2. 而 bootstrap 標準差就是 ˆV n. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
47 Bootstrap 偏誤與標準差 Bootstrap 標準差 在早期的文獻中, 許多人應用 bootstrap 的目的是找出 bootstrap 標準差, 進而從事信賴區間的建構 弔詭的是, 這些研究在建構信賴區間時, 還是使用傳統大樣本分配, 唯一不同的只是用 bootstrap 標準差替換掉傳統的標準差 這樣的做法相當奇怪, 因為, 使用 bootstrap 的原因就是來自我們不信任極限分配! 如果 bootstrap 的目的是統計推論 ( 例如建構信賴區間 ), 何不直接建構 bootstrap 信賴區間? 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
48 Bootstrap 信賴區間 Bootstrap 信賴區間 T n 的實際抽樣分配為 若 G n (τ,f). α=g n (q n (α,f),f), 我們稱 q n (α,f) 為 α% 的分量函數 (quantilefunction) 同理, bootstrap 分配中的分量函數為 q n(α)=q n (α,f n ). 給定 T n = ˆθ 為我們有興趣的統計量, 則樣本中有 100 (1 α)% 的比例, ˆθ 被以下區間所包含 : [q n ( α 2 ), q n(1 α 2 )]. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
49 Bootstrap 信賴區間 Bootstrap 信賴區間 以上的區間提供我們建構 bootstrap 信賴區間的靈感 亦即,Efron 提出以下的 bootstrap 信賴區間 CI =[q n( α 2 ), q n(1 α 2 )]. 一般來說, 我們稱此區間為百分位信賴區間 (percentileconfidence interval) 而實務上 CI 的模擬估計式為 ĈI =[ˆq n( α 2 ), ˆq n(1 α 2 )], 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
50 Bootstrap 信賴區間 Bootstrap 信賴區間 其中 ˆq n( ) 為 bootstrap 統計量 {T n1,...,t nb } 的樣本分量 (sample quantile) 也就是說, 我們透過模擬得到 bootstrap 統計量, {T n1,...,t nb }, 將它們由小排到大, 然後找出第 Bα 個 T nb 做為分量 q n(α) 的模擬估計式 舉例來說, 在 1000 次的重複抽樣中 (B=1000), 95% 的百分位信賴區間就是第 25 位以及第 975 位的 T nb ( 排序後 ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
51 Bootstrap 信賴區間 Bootstrap 信賴區間 百分位信賴區間的缺點在於不夠精確 (notaccurate), 舉例來說,95% 百分位信賴區間的實際覆蓋機率事實上不到 95%, 然而, 由於百分位信賴區間 ĈI 建構程序簡單, 從而成為實證研究中, 最常使用的一種 bootstrap 信賴區間 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
52 BootstrapP-values( 假設檢定 ) 單尾檢定 我們想要在顯著水準為 α 之下檢定底下的假設, 令 { H 0 θ=θ 0 H 1 θ>θ 0 T n (θ)= ˆθ θ S(ˆθ) 為我們感興趣的統計量 傳統的大樣本檢定為找出一個臨界值 c 使得 P(T n (θ 0 )>c)=α, 則根據 T n (θ 0 ) 的虛無分配 ( 一般來說是 N(0,1)),c=q n (1 α) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
53 BootstrapP-values( 假設檢定 ) 單尾檢定 bootstrap 檢定的步驟則是先模擬 T n=ˆθ ˆθ S(ˆθ ), 的 bootstrap 分配, 其中 S(ˆθ ) 為 ˆθ 的 bootstrap 標準差 接下來, 找出 bootstrap 臨界值 q n(1 α) 使得 P(T n> q n(1 α))=α, 且拒絕域為 RR={ 拒絕 H 0, 當 T n (θ 0 )> q n(1 α)}. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
54 BootstrapP-values( 假設檢定 ) 單尾檢定 此外, 我們也可以計算 bootstrapp-value: p = 1 B B b=1 1(T nb > T n(θ 0 )). 亦即, 在 B 個 T nb 中, 有多少比例的 T nb 大於 T n (θ 0 ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
55 BootstrapP-values( 假設檢定 ) 雙尾檢定 我們想要在顯著水準為 α 之下檢定底下的假設, { H 0 θ=θ 0 H 1 θ θ 0 令 為我們感興趣的統計量 T n = ˆθ θ S(ˆθ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
56 BootstrapP-values( 假設檢定 ) 雙尾檢定 如同單尾檢定的例子, 我們模擬 T n=ˆθ ˆθ S(ˆθ ). 的 bootstrap 分配 接著將 T nb 由小排到大, 然找出 100 (1 α)% 的分量函數,q n(1 α), 則拒絕域為 而 bootstrapp-value 為 RR={ 拒絕 H 0, 當 T n (θ 0 ) >q n(1 α)}. p = 1 B B b=1 1( T nb > T n(θ 0 ) ). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
57 迴歸模型的 Bootstrap 迴歸模型的 Bootstrap 考慮以下的迴歸模型, y t = βx t +ε t (1) 假設我們想要檢定的虛無假設為 ε t i.i.d. (0,σ 2 ). H 0 β=β 0. 將無母數 bootstrap 應用在迴歸模型有 不具效率 之虞, 原因在於, 我們所擁有的資訊比過去多 : 我們多了一個迴歸模型來說明 y 與 x 之間的關係 因此, 對於迴歸模型的 bootstrap, 建議採用 殘差 bootstrap (residualbootstrap), 茲將其執行步驟說明如下 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
58 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 步驟 1: 估計迴歸模型並得到估計式, ˆβ, ˆσ, 以及殘差 ˆε={ˆε 1,...,ˆε T } 步驟 2: 以底下任一模擬方法得到 bootstrap 殘差 (bootstrap residuals),ε ={ˆε 1,...,ˆε T }, 1 無母數法 : 自 {ˆε 1,...,ˆε T } 重抽 ( 抽出放回 ), 2 母數法 : 自分配 N(0, ˆσ 2 ) 抽出 ε 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
59 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 步驟 3: 迴歸模型的解釋變數 x 的 bootstrap 樣本,x t 可以來自 1 無母數 bootstrap, 2 母數 bootstrap, 3 直接設定 x t = x t. 步驟 4: 考慮以下兩種模擬方式以得到 y 的 bootstrap 樣本, y t S 1 y t= ˆβx t+ε t S 2 y t= β 0 x t+ε t 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
60 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 步驟 5: 考慮以下兩種 t 檢定量, T 1 T n = ˆβ ˆβ S(ˆθ ) T 2 T n = ˆβ β 0 S(ˆθ ) 因此, 有四種不同的組合可以用來從事 bootstrap 檢定 : [S 1,S 2 ] [T 1,T 2 ]. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
61 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 注意到如果解釋變數為前期的被解釋變數, 譬如說, y t = βy t 1 +ε t, 則 y t 必須以遞迴的方式 (recursively) 製造出來 而起始值 y 0 可以是 y t 的均值, 或是由 y t 的實證分配抽出 一般來說, 我們會製造 T+R 個 bootstrap 樣本, 然後丟棄掉前 R 個, 以降低起始值的影響 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
62 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 1 S 1 T 1 的組合符合 HallandWilson 法則 (HallandWilsonrule) 所謂的 HallandWilson 法則就是在建構任何與 bootstrap 有關的樣本, 估計式, 或是統計量, 永遠以參數估計式替代掉真實參數, 在我們的例子中, 就是以 ˆβ( 參數估計式 ) 替代 β 0 ( 真實參數 ) 2 VanGiersbergenandKiviet(1993) 根據 AR(1) 模型的蒙地卡羅模擬分析發現, 在小樣本時, 使用 S 2 T 2 的組合勝過 S 1 T 1, 不過在大樣本時兩者沒有差別 此外, 他們建議不要使用 S 1 T 2 或是 S 2 T 1 這兩種組合 簡單地說, 在時間序列分析應用 bootstrap 時, 文獻上傾向於建議 不遵循 HallandWilson 法則 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
63 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 3 MacKinnon(2002),MacKinnon(2006) 建議對於先對殘差做 重 校 (rescale), ε t ( T T k ) 1/2 ˆε t. 然後 bootstrap 殘差 ε 再由 ε 中重抽 重校 的目的在於使得 bootstrap 殘差與誤差項 ε 具有相同的變異數 4 注意到我們在步驟 4 中使用了參數的資訊 (ˆβ 或是 β 0 ), 即使我們在步驟 2 與步驟 3 中採用的是無母數法, 嚴格來說, 這樣的殘差 bootstrap 應該稱為半母數殘差 bootstrap(semi-parametric residualbootstrap) 不過一般來說, 只要步驟 2 與步驟 3 中採用的是無母數法, 就會稱做無母數殘差 bootstrap 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
64 迴歸模型的 Bootstrap 殘差 Bootstrap 5 至於步驟 2 與步驟 3 中採用的是母數法時, 無庸置疑地應稱做母數 殘差 bootstrap 6 最後要說明的是, 在步驟 1 中, 我們的殘差是來自未受限制的迴歸模型估計, 亦即, 我們在估計式 (1) 時, 並未加入 β=β 0 的限制 然而,MacKinnon(2006) 說明當 x t = y t 1 且 AR(1) 係數接近 1, 如果樣本數較少, 則建議利用加入限制的迴歸模型估計後得到的殘差來做重複抽樣, 不過在樣本大時, 使用未受限制殘差或是受限制殘差的結果相差不大 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
65 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 長期追蹤資料 (paneldata) 係指資料同時具有時間序列 (timeseries) 與橫斷面 (crosssection) 資料的形式, 在長期追蹤資料中, 個體個別殘差之間往往具有同期的相關性 (cross-sectionaldependenceofthe contemporaneousresiduals) 文獻中發現, 如果我們忽略了這種相關性, 在統計推論上會造成極大的型 I 誤差機率 (substantialsize distortion). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
66 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 MaddalaandWu(1999) 建議一種 bootstrap 的程序, 可以保留殘差之間同期相關性的結構, 做為上述問題的解決方法之一 考慮以下的長期追蹤資料迴歸模型, 其中 i=1,...,n,t=1,...,t. y it = α i +β i x it +ε it. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
67 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 令迴歸殘差為 ˆε 1 =(ˆε 11,ˆε 21,...,ˆε N1 ) ˆε 2 =(ˆε 12,ˆε 22,...,ˆε N2 ) ˆε 3 =(ˆε 13,ˆε 23,...,ˆε N3 ) ˆε T =(ˆε 1T,ˆε 2T,...,ˆε NT ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
68 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 Bootstrapping 長期追蹤調查資料 則某一組可能的 bootstrap 樣本為 ˆε 1 =(ˆε 17,ˆε 27,...,ˆε N7 ) ˆε 2=(ˆε 14,ˆε 24,...,ˆε N4 ) ˆε 3 =(ˆε 19,ˆε 29,...,ˆε N9 ) ˆε T =(ˆε 13,ˆε 23,...,ˆε N3 ) 依此類推,bootstrap 樣本將會保留原來殘差之間同期相關性的結構 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
69 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 實例 I:AR(1) 係數的 Bootstrap 偏誤修正估計式 在第 節中提過,OLS 的 AR(1) 係數估計具有小樣本向下偏誤 ( 參見表 1) 在此, 利用 bootstrap 建構偏誤修正的 bootstrap 估計式 (bias-correctedbootstrapestimator) 資料生成過程如同第 節的應用 I, 而誤差修正的 bootstrap 估計式為 ϕ =2ˆϕ ˆϕ. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
70 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 實例 I:AR(1) 係數的 Bootstrap 偏誤修正估計式 圖 : 給定真實參數值 ϕ=0.99 時的實證密度函數 : ˆϕ( 實線 ) 以及 ϕ ( 虛線 ) 上圖畫出了未修正偏誤的估計式 (ˆϕ) 以及偏誤修正的估計式 ( ϕ ) 的實證密度函數 (empiricaldensityfunctions), 真實參數設定為 ϕ=0.99, 注意到 E(ˆϕ)=0.94 而 E( ϕ )=0.98, 亦即改善了小樣本向下偏誤 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
71 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 VAR 衝擊反應函數的信賴區間 : (A) 蒙地卡羅法 1 給定 ˆΦ1,..., ˆΦ p 為 VAR 係數估計式 2 令 其中 ϕ (1) ϕ= ϕ (2) ϕ (k) k 2 p 1 (Φ 1 的第 i 列 ) ϕ (i) = (Φ 2 的第 i 列 ) (Φ p 的第 i 列 ) kp 1 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
72 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 VAR 衝擊反應函數的信賴區間 : (A) 蒙地卡羅法 3 自 N(ˆϕ, ˆΣ ˆQ 1 ) 分配抽出 k 2 p 1 的向量, 其中, ˆΣ= 1 T Σˆε tˆε t ˆε t = y t ˆΦ 1 y t 1 ˆΦ p y t p ˆQ= x x T 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
73 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 VAR 衝擊反應函數的信賴區間 : (A) 蒙地卡羅法 4 將此向量以 ϕ (1) 表示 5 利用 ϕ (1) 建構 A (1) 6 利用 A (1) 計算 Ψ (1) s (A (1),Ĉ) 7 再抽一次得到 ϕ (2),A (2) andψ (2) s 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
74 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 VAR 衝擊反應函數的信賴區間 : (A) 蒙地卡羅法 8 重複多次 ( 如 次 ) 後得到 Ψ s (1),Ψ s (2),...Ψ s (10000) 9 將 [Ψ s (1),Ψ s (2),...Ψ s (10000) ] 由小排到大, 然後挑選第 500 位及第 9501 位的 Ψ s 10 分別將它們以 Ψ L s 與 Ψ U s 表示之 則 [Ψ L s,ψ U s] 就稱做衝擊反應函數 95% 的蒙地卡羅模擬信賴區間 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
75 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 VAR 衝擊反應函數的信賴區間 : (B)Bootstrap 法 1 估計 VAR 得到係數估計式 ˆΦ1, ˆΦ 2,..., ˆΦ p 以及殘差 {ˆε 1,ˆε 2,...,ˆε T } 2 建構 bootstrap 殘差 {ˆε 1,ˆε 2,...,ˆε T } 3 給定起始值 {y 0,y 1,y 2...y p+1 }, 建構 bootstrap 樣本 y t=ˆφ 1 y t 1+ + ˆΦ p y t p+ε t 4 利用 bootstrap 樣本估計 VAR 與建構衝擊反應函數 Ψs 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
76 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 VAR 衝擊反應函數的信賴區間 : (B)Bootstrap 法 5 重複步驟 2 到步驟 4 多次 ( 如 次 ), 並得到 Ψ (1) Ψ (2) s 6 將 [Ψ (1) s,...,ψ (10000) s,ψ (2) s 9501 位的 Ψ s s,,...,ψs (10000) ] 由小排到大, 然後挑選第 500 位及第 7 分別將它們以 Ψ L s 與 Ψ U 表示之 則 [Ψ L s,ψ U s ] 就稱做衝擊反應函數 95% 的 bootstrap 信賴區間 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
77 蒙地卡羅模擬與 Bootstrap 的實例應用 蒙地卡羅法 v.sbootstrap 法 在定態 VAR 模型中, 蒙地卡羅法與 Bootstrap 法在大樣本的表現均佳, 然而, 它們的小樣本性質令人堪慮 尤其是 VAR 係數估計存在小樣本向下偏誤的問題, 導致其信賴區間的建構也出問題 Kilian(1998) 提出一種改善的方法, 此方法在第一階段先以 bootstrap 修正小樣本偏誤後, 再以 bootstrap 建構信賴區間 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 /77
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8 第八章線性迴歸 ( 考古題 ) 006 年 4 月 9 日最後修改 8.1(94- 逢甲 - 國貿 ) (a) y = 7.776 1.77x (b) 006 陳欣得統計學 線性迴歸 ( 考古題 ) 第 8-1 頁 β 表示 x 變動一單位會導致 y 變動 ˆ β = 1.77 單位, 即每增加 1,000 磅重量, 汽車每公升汽油行駛里程會減少 1.77 公里 (c) () (e) SSR 134.717
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Microsoft PowerPoint - 第9章 簡單隨機抽樣與抽樣分配.ppt [相容模式]
![Microsoft PowerPoint - 第9章 簡單隨機抽樣與抽樣分配.ppt [相容模式]](/thumbs/52/30713581.jpg "Microsoft PowerPoint - 第9章 簡單隨機抽樣與抽樣分配.ppt [相容模式]")
第 9 章 簡單隨機抽樣與抽樣分配 1 1-1 統計學方法與應用 學習目的 1. 了解抽樣的意義以及為什麼要抽樣 2. 了解機率抽樣與非機率抽樣及其優缺點與使用時機 3. 知悉樣本大小 抽樣成本和抽樣誤差的關係 4. 了解樣本統計量 : 樣本平均數 樣本比例的抽樣分配的形狀及其平均數 變異數的計算 5. 了解中央極限定理及其應用 6. 利用 Excel 來做抽樣 2 林惠玲陳正倉著雙葉書廊發行 2000
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C19 (1)
Ch 19 實習 (1) Agenda Nonparametric statistic 使用時機 Wilcoxon Rank Sum Test Sign Test Wilcoxon Signed Rank Sum Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Spearman Rank Correlation Coefficient 2 1. Nonparametric
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Microsoft Word - ACI chapter00-1ed.docx
前言 Excel Excel - v - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 5 相關 平衡 敏感 - vi - 前言 模擬 If-Then 規劃 ERP BI - vii - 財務管理與投資分析 -Excel 建模活用範例集 ERP + BI + ERP BI Excel 88 Excel 1. Excel Excel 2. Excel 3. Excel - viii - 前言 1.
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– – - ARCH-GARCH 9525
時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 ARCH-GARCH 模型 陳旭昇 2013.12 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 1/36 1 時間序列的波動性 2 ARCH 模型 3 GARCH 模型 4 檢定 ARCH 效果 5 GARCH 模型的擴充 6 GARCH 模型的最大概似估計 7 GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預
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When the rejection rule for a test at every level α can be re-written as then xxx is the p-value of the test. xxx < α, If p-value < α, then the test c
Hypothesis Testing - review The null hypothesis (H 0 ) and the alternative hypothesis (H 1 ) Type I error: rejecting H 0 when H 0 is true Type II error: failing to reject H 0 when H 1 is true (H 0 is false)
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第十七章 : Mei-Yuan Chen Department of Finance National Chung Hsing University February 19, 2013 參數檢定 (Parametric Tests) 在隨機變數 X 和 Y 常態分配的假設下, ( D xn = N µ X, σ2 X n Dȳm = N ( µ Y, σ2 Y m ), D (n 1)s 2 x σ
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物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f
Microsoft Word - 94_4_stat_handout_06假設檢定_考古題.doc
6 第六章假設檢定 ( 考古題 ) 6 年 8 月 1 日最後修改 6.1(94- 淡江 - 企管 ) 單一樣本平均數假設檢定 (1) 基本資料 : 左尾, μ = 15, σ = 3, = 36, x = 13, α =.5, z值法 (1) 虛無假設 H : μ 15 x μ () 檢定統計量 z = σ (3) 左尾 z 分配.5 (4) 樣本檢定統計量值 α =, 求得拒絕區域 R= { z
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Microsoft Word - 95_1_stat_handout_04抽樣與抽樣分配.doc
4 第四章抽樣與抽樣分配 006 年 8 月 9 日最後修改 4. 抽樣與抽樣方法 4. 抽樣分配概論 4. 常見的抽樣分配 4.4 中央極限定理 4. 抽樣與抽樣方法 母體 (populatio): 我們有興趣的研究對象, 一般是由許多個體或所組成的集合 樣本 (sample): 母體的部分集合 我們有興趣的是母體, 但是實際測量 研究的是樣本 我們希望經由樣本提供的資訊來推測母體的狀況 ( 推論統計
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基本概念 -- 虛無假設 統計上對參數的假設 (hypothesis) 為對一個或多個參 數的論述 (statement) 其中欲檢驗其正確性者稱為 虛無假設 (null hypothesis) 例如: 我們想知道均數 µo 是否為 70 分 則虛無假設可以設為 H0: µo = 70 若我們想驗證標準差 σo 是否為 10 則虛無假設為 H0: σo 10 以上例子中只包含一個特定假設值的假設 稱之為簡單假
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