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時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 ARCH-GARCH 模型 陳旭昇 2013.12 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 1/36

1 時間序列的波動性 2 ARCH 模型 3 GARCH 模型 4 檢定 ARCH 效果 5 GARCH 模型的擴充 6 GARCH 模型的最大概似估計 7 GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 2/36

時間序列的波動性 時間序列的波動性 所謂時間序列的波動性就是資產報酬的條件變異數 (conditional variance) 之前各章的討論中, 都假設時間序列的條件變異數不會因時點 t 改變而改變 舉例來說, 考慮簡單的 AR(1) 模型 : 因此, y t+1 條件期望值 y t+1 = β 1 y t +ε t+1, ε t i.i.d. (0,σ 2 ). 會隨著時點 t 改變而改變 E t (y t+1 )= E t (β 1 y t +ε t+1 )=β 1 y t 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 3/36

時間序列的波動性 時間序列的波動性 y t+1 條件變異數 Var t (y t+1 )=Var t (β 1 y t +ε t+1 ) =Var t (β 1 y t )+Var t (ε t+1 ) = β 2 1Var t (y t )+Var(ε t+1 ) =0+σ 2 = σ 2 卻不會因時點 t 改變而改變 其中 Var t (y t )=0 係因為 y t 在給定 t 期的資訊集合下為常數 而 Var t (ε t+1 )=Var(ε t+1 ) 係因為 ε t 為 i.i.d. 序列 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 4/36

時間序列的波動性 時間序列的波動性 一般而言, 資產報酬序列有以下重大特徵 : 1 條件變異數似乎是因時點 t 改變而改變 2 波動具有很強的持續性, 亦即大波動伴隨著大波動, 小波動緊跟著小波動, 是謂 波動的群聚現象 (volatilityclustering) 3 資產報酬序列的實證分配 (empiricaldistribution) 具有厚尾 (heavytail) 現象 ( 極端值較多 ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 5/36

時間序列的波動性 例子 : 道瓊指數月報酬率 圖 : 道瓊指數月報酬率,1990:1 1999:12 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 6/36

時間序列的波動性 例子 : 道瓊指數月報酬率 上圖畫出了道瓊指數月報酬率 (monthlyreturnsofthedow-jones index),1990:1 1999:12 我們不難看出之前提到的特徵 : 波動因時點改變而改變以及群聚現象 資產報酬序列的實證分配比常態分配更為高狹, 尾部的機率密度較高 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 7/36

時間序列的波動性 例子 : 道瓊指數月報酬率 圖 : 道瓊指數月報酬率實證分配 ( 實線 ) 與標準常態分配 ( 虛線 ) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 8/36

時間序列的波動性 例子 : 道瓊指數月報酬率 將道瓊指數月報酬率的實證分配 ( 實線 ) 與標準常態分配 ( 虛線 ) 畫在上圖 顯然地, 常態分配並不適用於股票報酬, 股票報酬的分配較高 (taller) 也較瘦 (skinner), 且存在較厚的尾部 (fattertails) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 9/36

時間序列的波動性 時間序列的波動性 資產報酬序列之三大特點 : 因時而變, 群聚現象與厚尾現象, 都可以利用 ARCH-GARCH 模型捕捉 然而, 必須強調的是, 模型是一個完全單純的統計模型, 它只是 捕捉 到資產報酬序列的特徵, 卻不是用來 解釋 為何資產報酬序列有這些特徵 它只是提供了一個 機械式 的方法 (mechanicalway) 來描繪資產報酬序列的條件變異數 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 10/36

ARCH 模型 ARCH 模型 ARCH 模型全名為 自我迴歸條件異質變異 模型 (AutoRegressive ConditionalHeteroskedasticityModel), 係由 RobertEngle 所提出 考慮以下資產報酬模型, y t = µ+ε t, (1) 其中 E(ε t )=0, E(ε 2 t)= σ 2 >0, 且 E(ε t ε t j )=0, j 0. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 11/36

ARCH 模型 ARCH 模型 ARCH 模型的主要概念就是, 既然波動具有群聚現象, 何不就令 ε t 的條件變異數 σ 2 t 與前期報酬率平方有正相關 : 其中 σ 2 t= c+ q i=1 u t i.i.d. WN(0,1). α i ε 2 t i +u t, (2) 如果 ε t 的條件變異數如上所示, 則我們稱 ε t 服從一 ARCH(q) 過程 (ARCH(q)process), 以 ε t ARCH(q) 示之 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 12/36

ARCH 模型 ARCH 模型 為了保證 ε t >0, 我們必須限制 c 0,α i 0, i, 且 1 α 1 z α 2 z 2 α q z q =0, 的所有根都要落在單位圓之外 把這些條件彙整在一起, 也就是要求 q i=1 α i <1. 總結來說, 最簡單的 ARCH 模型中包含兩個方程式 1 均數方程式 : 資產報酬率的均數為常數, 如式 (1) 所示 對於均數方程式, 我們可以設定成更為複雜的 ARMA 模型 2 變異數方程式 : 它的變異數與前期的報酬率平方有正相關, 如式 (2) 所示 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 13/36

ARCH 模型 ARCH 模型 我們可以用另一種方式表示 ARCH(q) 過程 定義 (ARCH(q) 過程 ) 其中 v t i.i.d. (0,1), 且對於所有 i>0,v t 與 ε t i 為獨立 ε t = h t v t, h t = c+ q i=1 α i ε 2 t i, 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 14/36

ARCH 模型 ARCH 模型 因此, 我們可以得到以下結果 1 h t 就是 ε t 二階動差的條件期望值, 2 ε t 的條件期望值為零, E t 1 (ε 2 t)=e(ε 2 t I t 1 ), = E(ε 2 t ε t 1,ε t 2,...), = c+ = h t. q i=1 α i ε 2 t i, E t 1 (ε t )=E(ε t I t 1 )=0. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 15/36

ARCH 模型 ARCH 模型 3 ε t 的期望值為零, 4 ε t 無序列相關, 5 ε t 的變異數為 E(ε t )=0. E(ε t ε t j )=0, for j 0. σ 2 = E(ε 2 c t)= 1 q i=1 α. i 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 16/36

GARCH 模型 GARCH 模型 Bollerslev(1986) 將 ARCH 過程擴充為一般化 ARCH 過程 (Generalized AutoRegressiveConditionalHeteroskedasticity), 簡稱 GARCH 過程 定義 (GARCH(p,q) 過程 ) 其中 v t i.i.d. (0,1) 且 h t = c+ ε t =v t ht, q i=1 α i ε 2 t i+ p j=1 β j h t j. 且對於所有 i>0,v t 與 ε t i 為獨立 我們稱之 GARCH(p,q) 過程 (GARCH(p,q) process) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 17/36

GARCH 模型 GARCH 模型 顯然地, σ 2 t= E t 1 (ε 2 t)= h t. 此外, 為了保證 σ 2 t>0, 我們必須限制 α i 0foralli,β j 0forall j 且 q i=1 α i + p j=1 最後值得注意的是,ε t 的非條件變異數為 β j <1. σ 2 c = 1 q i=1 α i p j=1 β. j 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 18/36

檢定 ARCH 效果 檢定 ARCH 效果 Engle(1982) 建議以殘差來檢定 ARCH 效果 步驟一 : 對於均數建構一個適當的 ARMA 模型, 並得到殘差 {ˆε t } 與殘差的平方 {ˆε 2 t} 步驟二 : 估計以下迴歸式 ˆε 2 t= a 0 +a 1ˆε 2 t 1. 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 19/36

檢定 ARCH 效果 檢定 ARCH 效果 如果不存在 ARCH 效果, 則隱含 a 1 =0, 你可以據此檢定 ARCH 效果存在與否 如果不存在 ARCH 效果, 則此迴歸式的解釋能力非常小, 判定係數 R 2 也會很小 在 沒有 ARCH 效果 的虛無假設成立下, T R 2 d χ 2 (1). 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 20/36

GARCH 模型的擴充 GARCH-M 模型 財務市場上, 持有具風險之資產往往會要求風險貼水, 亦即部分之資產報酬會由風險 ( 波動 ) 所決定 這樣的模型係由 Engleetal.(1987) 所提出, 稱之為 GARCHinMean 模型, 簡稱 GARCH-mean h t = c+ y t = µ t +ε t, µ t = β+δh t, ε t =v t ht, q i=1 α i ε 2 t i+ p j=1 v t i.i.d. (0,1). β j h t j, 亦即, 在均數方程式中, 我們設定 µ t 為 h t 的函數 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 21/36

GARCH 模型的擴充 自積 GARCH 模型 在 GARCH(p,q) 模型中, 如果我們要求 q i=1 α i + p j=1 β j =1, 則 EngleandBollerslev(1986) 稱之為自積 GARCH 模型 (integrated GARCHmodel), 簡稱 IGARCH 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 22/36

GARCH 模型的擴充 指數 GARCH 模型 注意到 ε t = h t v t, v t i.i.d. (0,1). 為了捕捉資產報酬為正或是為負對於財務波動產生非對稱效果, 亦即壞消息 ( 負的資產報酬 ) 對於資產報酬未來的波動較好消息 ( 正的資產報酬 ) 的影響來得大 這種現象又稱 槓桿效應 (leverageeffect) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 23/36

GARCH 模型的擴充 指數 GARCH 模型 Nelson(1991) 提出一個新的設定 : 指數 GARCH 模型以捕捉當期資產報酬與資產報酬未來的波動之間的不對稱關係 logh t = c+ q i=1 注意到給定 v t 為標準常態, 則 α i g(v t i )+ p j=1 g(v t )=θv t + v t E v t, v t = ε t ht, v t i.i.d. N(0,1). E v t =( 2 π ) 0.5 γ j logh t j, 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 24/36

GARCH 模型的擴充 指數 GARCH 模型 我們將 EGARCH 模型的性質彙整如下 1 如果 v t 為正向的衝擊 (v t >0), 則 g(v t ) 為 v t 的線性函數且斜率為 θ+1 如果 v t 為負向的衝擊 (v t <0), 則 g(v t ) 為 v t 的線性函數且斜率為 θ 1 這就是 槓桿效應 2 在變異數方程式放的是 ε t i 的標準數 :v t i =(ε t i / h t i ), 而非 ε t i 本身 3 由於變異數方程式設定為條件變異數的對數, 則 EGARCH 在估計時, 不須限制係數必須為正 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 25/36

GARCH 模型的最大概似估計 GARCH 模型的最大概似估計 我們以一個簡單的迴歸模型為例子, 說明如何利用最大概似法估計 GARCH 模型 y t = b 0 +b 1 x t +ε t, 則最大概似函數可以寫成 L= T t=1 ε t =v t ht, h t = c+α 1 ε 2 t 1, v t i.i.d. N(0,1). 1 ( )exp( ε2 t ). 2πht 2h t 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 26/36

GARCH 模型的最大概似估計 GARCH 模型的最大概似估計 因此, 對數最大概似函數為 lnl= T 2 ln(2π) 1 2 = T 1 2 1 2 T i=2 T i=1 ln(2π) 1 2 lnh t 1 2 T i=2 T i=1 ( ε2 t h t ), ln(c+α 1 ε 2 t 1 ) [ (y t b 0 b 1 x t ) 2 c+α 1 ε 2 ]. t 1 由於一階條件為非線性函數, 我們必須以數值方法來找出 c,α 1,b 0 以及 b 1 的極大值 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 27/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 在國際金融理論中, 匯率的波動主要來自以下三種因素 : 1 市場基本面的波動 (volatilityinmarketfundamentals), 2 預期的變動 (changesinexpectations) 3 投機活動 (speculativeactivities) 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 28/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 我們可以由一個簡單的理性預期匯率資產定價模型 (asset-pricing model) 來討論這些因素 : e t =(1 δ) j=0 δ j E(f t+j Ω t ), (3) 其中,e t 為名目匯率,Ω t 為第 t 期的資訊集合,δ 為折現因子 (discount factor), 而 f t 就是第 t 期的基本面總體經濟變數 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 29/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 首先, 市場基本面 f t 包含實質產出, 利率水準以及貨幣政策等總體經濟變數, f t 的變動將直接影響匯率的波動 相對而言, 預期的變動則是透過 Ω t 的改變影響匯率的波動 預期的變動可能來自於 (a) 對未來市場基本面預期的改變, 以及 (b) 市場參與者對自己的預期的信心程度 ( 亦即對於自己預期的正確性有多大把握 ) 舉例來說, 如果投資人對於自己的預期充滿不確定感, 則任何新的資訊進入市場, 都會使投資人不斷更新他的預期, 進而不斷改變其交易決策, 最終造成匯率的波動 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 30/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 最後, 匯率的波動可能來自與市場基本面 ( 現今的基本面或是預期的未來基本面 ) 完全無關的投機活動 譬如, 自我預言實現的匯價變動 (self-fulfillingexchangeratemovements) 或是雜訊交易行為 (noisetrading) 的存在等 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 31/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 探討央行的外匯市場干預如何影響匯率的波動, 事實上就是探討央行干預如何影響上述三種因素 如果央行所執行的是沖銷性干預, 則干預政策並不會造成第一項基本面因素的變動 然而, 無論是沖銷性干預或是非沖銷性干預, 央行的干預 ( 以下以 I t 表示 ) 會將 (3) 式改變成 : e t =(1 δ) j=0 δ j E(f t+j Ω t +I t ). (4) 此時, 央行的干預行為或是央行的干預宣告, 就如同是一個進入資訊集合的 訊號 (signal),ω t +I t > Ω t 而央行的干預可能增加或是降低匯率的波動, 端賴 I t 的性質而定 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 32/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 考慮以下簡單的 GARCH(2,1) 模型 : y t = µ+ρy t 1 +ε t, ε t =v t ht, v t i.i.d. (0,1), h t = c+α 1 ε 2 t 1+α 2 ε 2 t 2+βh t 1 +θ x t. 其中, y t 為外匯報酬,x t 為外匯存底 由於台灣的央行並未公布其外匯買賣之細節, 故我們無法得知央行之干預金額, 只能以外匯存底變動的絕對值 x t 作為央行干預金額,I t, 的替代變數 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 33/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 圖 :ARCH/GARCH 效果檢定 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 34/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 圖 : 外匯報酬的 GARCH(2,1) 模型估計結果 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 35/36

GARCH 模型的實例應用 : 央行在外匯市場的干預 實例應用 : 央行在外匯市場的干預 顯然地, 由於 ˆθ=0.030696>0, 亦即 θ= σ 2 t x t >0, 代表央行的干預並無法有效降低匯率的的波動程度, 反而會加劇其不穩定性! 簡而言之, 若外匯市場具有效率性, 而且央行的宣示或行動是可信且明確, 則干預政策可以降低匯率的波動 循此角度解釋, 對於外匯市場的交易者而言, 台灣央行的宣示或行動可能是模糊或不盡可信的, 匯率干預行動因而提高了匯市的不確定性, 導致匯率波動擴大 陳旭昇 ( 國立台灣大學經濟學系 ) 時間序列分析 總體經濟與財務金融之應用 2013.12 36/36