44 說 : 數 : 數 數 數 數 列 律 :

中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作品說明書國中組數學科 030405 臺北縣立丹鳳國民中學指導老師姓名朱蕙苓黃宇暄作者姓名林芸群許娟維白宇辰巫宗樺

44 說 : 數 : 數 數 數 數 列 律 :

錄..P.1......P.1 參......P.1.... P.1..... P.2 陸...... P.4 論........ P.18 論.....P.22 參 料..P.24

數 數 8 5 8 理 老 利 數 數 念 數 老 利 羅 4 4 4 4=16 4 4 4 4 16 數 1, 2, 4, 8, 162 8 16 了 5 6 老 5 6 列 數 數 參 列 5 8 不 數 LCM 數 LCM 錄 1

8 5 8 理 說 令 1 1 1 例 不 類 例 類 6 行 6 六 例 65+14+24+1+1 律 列 + = 1 + 5 = 6 151 1+5 = 5+1=6 列 ( 律 ) 1+5 5+1 論 242 2+4=4+2 列 2 411 1+1+4 = 4+1+1 = 1+4+1 1+1+4 = 4+1+1 論 3 行 列 4 行 列 列 度 2 + 3 + 1 列 1+3+1+1 1+3+1+1 列 類 1+3+1+1 2

LCM 數 LCM LCM 1 4 2 4 4 4 2 2 LCM [ 1, 2, 4, 2 ] 4 [ 4, 4, 4, 2 ] 4 數 1 LCM 2 LCM 理 例 44 = 16 16 數 124816 44 = 16 了 2816 3

陸 列 6 7 8 見 料 6 6 列 6 AA 1 6 5 + 1 BA 1 BB 1 BC 1 5+1 5+1 5+1 4 + 2 CA 1 CB 1 數 列 4+2 CC 1 CD 1 CE 1 4 + 1 + 1 DA 1 DB 1 4+1+1 4+1+1 DC 1 DD 1 DE 1 數 列 1 + 4 + 1 DF 1 DG 1 DH 1 3 + 3 EA 1 EB 1 EC 1 ED 1 數 列 3 + 3 4

FB 1 FC 1 FD 1 FE 1 數 列 3 + 2 + 1 3 + 2 + 1 FC 2 FG 1 FI 1 3 + 1 + 2 3 + 1 + 2 3 + 1 + 2 FB 2 FJ 1 FK 1 FL 1 FM 1 FI 1 FO 1 數 列 2+3+1 DC 2 DA 2 3+1+1+1 3+1+1+1 3 + 1 + 1 + 1 DB 2 FK 2 FG 2 FE 2 DG 2 數 列 1+3+1+1 2 + 2 + 2 FJ 2 FO 2 GA 1 EA 2 數 列 2 + 2 + 2 2 + 2 + 1 + 1 CA 2 DD 2 FD 2 數 列 2+2+1+1 CB 2 EB 2 DE 2 FM 2 數 列 2+1+2+1 CC 2 DF 2 2+1+1+2 2+1+1+2 CD 2 DH 2 EC 2 FL 2 GA 2 數 列 1+2+2+1 5

2 + 1 + 1 + 1+ 1 BA 2 BB 2 CE 2 BC 2 ED 2 數 列 2+1+1+1+1 1+ 1 + 1 + 1 + 1+ 1 AA 2 1+1+1+1+1+1 AA 1 AA 2 AB 1 AB 2.. 33 六 行數 2+3+1 列數 2+3+1 行數 3+2+1 列數 3+2+1 6 33 不 2 = 35 n LCM n 2 11 不 12 不 3 13 不 23 論 3 LCM [ 1, 1, 1, 2 ][ 1, 1, 3, 3 ] 23 = 6 2 2 13 LCM 26 數 1236 3 6

4 14 不 24 44 22 不 論 4 LCM [ 1, 2, 4,2 ][ 4, 4, 4, 2 ] 44=16 4 4 4 4 14 LCM 44=16 216 數 1, 2, 4, 8,16 3 8 16 3 (8) 7

5 15 不 25 25 105 論 5 LCM [ 5, 5, 5,5 ][ 1, 2, 2,10 ] 510 10 10 10 10 15 LCM 510=50 250 數 1, 2, 5, 10, 25, 50 3 (10) (25) ( 見 料 ) 25 8 500 論說 8

6 16 不 26 26 46 34 34 34 23 不 9

6 論 5 LCM [ 1, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2 ] [ 6, 6, 6, 6, 3, 3, 3, 3 ] 46 4 4 4 4 4 4 4 4 16 LCM 46=24 224 數 1, 2, 3, 4, 8, 6, 12, 24 3 (6) (8) (12) 10

7 17 不 27 27 27 論 7 LCM [ 1, 2, 2, 2 ][ 7, 7, 7, 7 ] 27 2 2 2 2 17 LCM 27=14 214 數 1, 2, 7, 14 3 11

8 18 不 28 28 28 44 44 44 44 24 不 44 論 7 LCM [ 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4, 2, 4 ] [ 8, 8, 8, 8, 4, 4, 4, 4, 4, 4 ] 48 4 12

8 4 4 4 4 4 4 4 4 18 LCM 48=32 232 數 1, 2, 4, 8, 16, 32 816 32 3 (8) 16) ( 見 料 ) 16 8 數 40 論說 13

LCM 列 論 1 mn mn 數 n1 1 1 2 1 3 1. 4 1 5 1 6 1 7 1 n2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 2.. mn 2P An-x+ x = y + x 狀 P x = 1 y+x 2+1 3+1 4+1 5+1 y+1 6+1 7+1 x = 2 y+x 3+2 y+2 4+2 5+2 6+2 x = 3 y+x 4+3 5+3 類 P 2(y+x)=2n y+3 14

B 2x +2x+ +2x+x+x+ +x( 2x, x ) 數 ( m, n ) m 行數 n 行數 (m, n) X=1 x=2 x=3 =(1, 1) 2x+x 2+1 4+2 6+3..(2x+x) (m, n) x=1 x=2 x=3 =(1, 2). ( 2x+x+x ) 2x+x+x 2+1+1 4+2+2 6+3+3 (m, n) =(1, 3) 2x+x+x (m, n) =2, 1 2x+2x+x (m, n) =(2, 2) 2x+2x+x+x x=1 x=2 x=3 2+1+1+1 4+2+2+2 6+3+3+3 (2x+x+x+x) x=1 x=2 x=3.. 2+2+1 4+4+2 6+6+3.(2x+2x+x) x=1 x=2 x=3.. 2+2+1+1 4+4+2+2 6+6+3+3. (2x+2x+x+x) 類 類 2(m+n) 3T 論 T 律 1+2+1 1+2+1 1+2+1 1+2+1+1 1+2+2+1 8 類 T T 不 論 15

4 x+ +x+y+ +y+z z x+y=z, zxy (xyz) 數 (mmn) m 行數 n 藍 行數 (m, n) =(1, 1) x+y+z 2+1+3 3+1+4 3+2+5 4+1+5 (2+1=3) (3+1=4) (3+2=5) (4+1=5) (x+y=z) (m, n) =(2, 1) x+x+y+y+z 2+2+1+1+33+3+1+1+43+3+2+2+54+4+1+1+5 x+x+y+y+z (2+1=3) (3+1=4) (3+2=5) (4+1=5). (x+y=z) (m, n) =(1, 2) x+y+z+z 2+1+3+3 3+1+4+4 3+2+5+5 4+1+5+5 x+y+z+z (2+1=3) (3+1=4) (3+2=5) (4+1=5) (x+y=z) (m, n) =(3, 1) x+x+x+y+y+y+z 2+2+2+1+1+1+33+3+3+1+1+1+44+4+4+1+1+1+5 (2+1=3) (3+1=4) (4+1=5) (x+y=z) 類 類 2(m+n) 5F x+ +x+y+ +y+z z+w w x=z y=w x w 數 my z 數 n (m 行數 n 藍 行數 ) (m, n) =(1, 1) x+y+z+w 1+2+1+2 1+3+1+3 2+3+2+3 1+4+1+4 (m, n) =(1, 2) x+x+y+z+w+w 1+1+2+1+2+21+1+3+1+3+32+2+3+2+3+31+1+4+1+4+4. (m, n) =(2, 1) x+y+y+z+z+w 1+2+2+1+1+21+3+3+1+1+32+3+3+2+2+31+4+4+1+1+4 類 類 2(m+n) 16

6F 聯 F 8 數 a 1 + b 1 + c 1 + +y 1 + z 1 + z 2 + y 2 + +c 2 + b 2 + a 2 a 1 + a 2 = b 1 + b 2 = c 1 + c 2 = = y 1 + y 2 = z 1 + z 2 =m ( 數 a 1 a 2 ) m = 3=1+2 1+2+1+2 1+1+2+1+2+2 2+1+2+1+2+1 1+2+2+1+1+2 m = 4 =1+3 =2+2 1+2+2+31+3+1+32+3+1+21+2+3+1+2+31+2+1+3+2+3 m = 5 =1+4 =2+3 2+4+1+33+2+2+4+1+3+3+2 1+3+1+2+4+1+3+4+2+4 m = 6 =1+5 =2+4 =3+3 2+3+2+2+5+1+4+4+3+4 類 兩 7 樓 樓 (x 2)+(x 1)+x x+(x+ 1)+(x + 2) x 兩 n=1 不 n x 數 x=2 x=3 x=4 n=1 n=2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+4+5 x=2 x=3 x=4 n=3 1+2+2+3 1+2+3+3+4+5 1+2+3+4+4+5+6+7 x=2 x=3 x=4 1+2+2+2+3 1+2+3+3+3+4+5 1+2+3+4+4+4+5+6+7 類 類 兩 17

論 () 來 數不 不 不 六 來 了 錄 論 數 行 老 說 裡 列 念 利 列 不 不 六 不 () 5~8 數量 落 不 裡 行 列 列 漏 了 量 行 列 不 行 漏 列 列 來 數量 LCM () 5~8 來 力 不 5 10 樂 類 令 數不 量 不 更 更 索 力 18

() LCM LCM 1 + 2 +2 +10 1 + 2 15 5 +2 + 2 六 7 7 1 + 1 1 + 2 +1 +2 +2 +2 +1 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 +2 9 8 8 17 老 老 說 不 數 數連 3 2+5 2=16 不 說 3 5 數 16 老 來 LCM 不 念 數 更 了 19

() LCM LCM LCM 了 六 六 = = 1 6 1 6 = 2 6 2 6 = 2 6 2 6 = 4 6 4 6 = 3 4 4 3 = 3 4 4 3 = 3 4 4 3 = 2 3 2 3 論 LCM 六 LCM LCM = [ 1, 2, 2, 4, 3, 3, 3, 2 ] = 12 LCM = [ 6, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 3 ] = 12 六 LCM 12 12 更 4 6 六 1212 不 六 LCM LCM [ 1, 2, 2, 2, 4, 4, 4, 4 ] = 4[ 6, 6, 6, 6, 3, 3, 3, 3 ] = 6 46 LCM 20

數 了 利 漏 LCM 數 (1) LCM LCM 易 漏 16 數 16 數 1,2,4,8,16 8 16 六 數 (2) 510 = 50 數 1,2,5,10.25,50 10 25 50 8 10 25 了 陸 10 25 510 = 50 10 25 陸 --F 聯 裡 聯 不 25 25 --F 聯 a 1 + b 1 + c 1 + d 1 +e 1 + e 2 +d 2 +c 2 + b 2 +a 2 = 25 a 1 + a 2 = b 1 + b 2 = c 1 + c 2 =d 1 +d 2 = e 1 + e 2 = m = 5 = 1+4 = 2+3 類 兩 510= 50 1+3+1+2+4+1+3+4+2+4=25 論 a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 老 參 列 列 列 n 異 r 列 若 數 n r nr 數 n 理 512 更 論見 錄 C 利 F 聯 68 46=2448=32 14 見 論 16 41 見 錄 D 21

論 類 不 料 不 不 料 不 料 2 3=6 6 數 1, 2, 3, 6 4 4=16 16 數 1, 2, 4, 8,16 (8) (10) 5 10=50 50 數 1, 2, 5, 10, 25, 50 4 6=24 (25 ) (6) 24 數 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 (12 ) (8) 2 7=14 14 數 1, 2, 7, 14 4 8=32 32 數 1, 2, 4, 8, 16, 32 (8 ) (16 ) 22

LCM 列 論 類 數 論 mn mn 數 mn 數 P (n-x)+ x = y + x 2 (y+x) 2x+2x+ +2x+x+x+ +x 2x 數 mx 數 n 2 (m+n) T T 論 x+ +x+y+ +y+z z x+y=z, yzx x y 2(m+n) 數 mz 數 n F. x+ +x+y+ +y+z z+w w x=z y=w x w 2(m+n) my z 數 n F 聯.. a 1 + b 1 + c 1 + +y 1 + z 1 + z 2 +y 2 + +c 2 + b 2 + a 2 兩 a 1 + a 2 = b 1 + b 2 = c 1 + c 2 = = y 1 + y 2 = z 1 + z 2 =m 樓.. (x 2)+(x 1)+x x+(x+1)+(x+2) x 兩 23

參 料 數 律 柳 林 列 24