34 賴 思 帆 余 清 祥 文 摘 要 除 了 美 國 外, 經 濟 較 為 發 達 的 國 家 近 年 來 總 生 育 率 絕 大 多 數 都 在 2.1 的 口 替 代 水 準 之, 台 灣 區 在 民 國 93 年 的 總 生 育 率 首 次 降 至 1.2 以 的 歷 史 新 低, 民 國

口 學 刊 第 33 期,2006 年 12 月, 頁 33-59 Journal of Population Studies No. 33, December 2006, pp. 33-59 研 究 論 文 台 灣 與 各 國 生 育 率 模 型 之 實 證 與 模 擬 比 較 賴 思 帆 * 余 清 祥 ** * ** 國 立 政 治 大 學 統 計 研 究 所 碩 士 國 立 政 治 大 學 統 計 系 教 授, 為 本 文 之 通 訊 作 者,E-mail: csyue@nccu.edu.tw 收 稿 日 期 :95/02/28, 接 受 刊 登 :95/11/01

34 賴 思 帆 余 清 祥 文 摘 要 除 了 美 國 外, 經 濟 較 為 發 達 的 國 家 近 年 來 總 生 育 率 絕 大 多 數 都 在 2.1 的 口 替 代 水 準 之, 台 灣 區 在 民 國 93 年 的 總 生 育 率 首 次 降 至 1.2 以 的 歷 史 新 低, 民 國 94 年 的 嬰 兒 出 生 數 進 ㆒ 步 降 至 約 20 萬, 預 計 又 將 創 新 紀 錄, 加 速 台 灣 區 的 口 老 化 由 於 台 灣 區 的 生 育 率 變 化 較 大, 筆 者 之 前 的 研 究 發 現 其 他 各 國 的 生 育 率 模 型 不 見 得 適 用 於 台 灣, 本 文 希 望 能 以 系 統 式 探 討 各 國 生 育 率, 確 定 哪 些 生 育 率 模 型 適 用 經 濟 較 為 發 達 的 國 家 本 文 引 用 台 灣 日 本 ( 亞 洲 ) 荷 蘭 ( 歐 洲 ) 美 國 ( 美 洲 ) 等 經 濟 發 達 國 家 的 實 證 資 料, 加 電 腦 模 擬 與 敏 感 度 分 析, 評 估 包 括 Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 (Principal Component Analysis) 單 ㆒ 個 別 估 計 法 擴 散 模 型 (Diffusion Model) 等 較 為 常 用 的 模 型, 比 較 這 些 國 家 配 適 結 果 的 異 同 實 證 分 析 發 現 台 灣 日 本 美 國 都 是 以 生 育 率 個 別 配 適 擴 散 模 型 的 總 生 育 率 最 佳, 荷 蘭 則 是 單 ㆒ 個 別 估 計 法 ; 在 生 育 率 的 預 測 方 面, 台 灣 日 本 荷 蘭 都 是 以 生 育 率 個 別 配 適 擴 散 模 型 最 好, 美 國 則 是 以 單 ㆒ 個 別 估 計 最 好 電 腦 模 擬 的 結 果 則 以 單 ㆒ 個 別 估 計 法 最 佳, 個 別 配 適 擴 散 模 型 次 之 關 鍵 字 : 生 育 率 Lee-Carter 擴 散 模 型 交 叉 驗 證 電 腦 模 擬

口 學 刊 35 Comparing Fertility Models of Four Countries: An Empirical and Simulation Study Sz-Fan LAI * Jack C. YUE ** Abstract Except in the U.S., the total fertility rates of developed countries have been smaller than the replacement level of 2.1. Without exception, the total fertility rates in Taiwan dropped to a historic low (1.2) in 2004 and are expected to be even smaller in 2006. In this study, we used the fertility data of four developed countries, Taiwan, Japan, the Netherlands and the USA (representing countries in Asia, Europe, and America), to fit the frequently used models (Gamma, Lee-Carter, Principal Component Analysis, Age- Group Fertility Rate, and Diffusion models) and determine which model has the best fit. We found that, for the total fertility rates, the best model in Taiwan, Japan, and the USA is our modified diffusion model, while in the Netherlands it is the age-group fertility rate model. For the age-specific fertility rates, the best model in Taiwan, Japan, and the Netherlands is the modified diffusion model, while in the USA it is the age-group fertility rate model. In addition, we use computer simulation to check the relative * Master, Department of Statistics, National Chengchi University ** Professor, Department of Statistics, National Chengchi University, Corresponding author, E-mail: csyue@nccu.edu.tw

36 賴 思 帆 余 清 祥 stability and relative efficiency of these fertility models. The age-group fertility rate model and the modified diffusion model also outperform other models. In conclusion, we recommend the readers use these two models. Key Words: Fertility rate, Lee-Carter model, Diffusion model, Cross validation, Computer simulation

口 學 刊 37 壹 導 論 近 年 來 世 界 各 先 進 國 家 因 為 經 濟 發 展 和 社 會 觀 念 轉 變 等 原 因, 不 少 婦 女 選 擇 少 生 或 甚 至 不 生 小 孩, 導 致 不 少 國 家 的 生 育 率 (Fertility) 急 速 降, 這 種 情 形 在 台 灣 尤 其 明 顯 根 據 內 政 部 的 資 料, 台 灣 區 在 民 國 93 年 (2004 年 ) 的 總 生 育 率 首 次 跌 破 1.23, 遠 低 於 2.1 的 替 代 水 準, 這 個 數 字 與 世 界 大 多 數 國 家 相 比 皆 屬 偏 低 同 樣 的 情 形 也 出 現 在 日 本 荷 蘭 等 已 開 發 國 家 ( 參 考 圖 1), 除 了 美 國 的 總 生 育 率 維 持 在 2.0 左 右, 大 多 數 國 家 的 總 生 育 率 低 於 替 代 水 準, 因 此 總 生 育 率 的 變 化 已 成 為 世 界 各 先 進 國 家 所 關 注 的 議 題 3.5 3.0 2.5 總 生 2.0 育 1.5 率 1.0 0.5 0.0 1975 1977 1979 1981 1983 1985 1987 1989 1991 1993 1995 台 灣 日 本 荷 蘭 美 國 1997 1999 2001 2003 圖 1 台 灣 日 本 荷 蘭 美 國 等 ㆕ 國 1975-2003 年 總 生 育 率 生 育 率 與 死 亡 率 的 降 低, 使 整 體 口 結 構 趨 向 高 齡 化, 老 年 口 比 例 也 相 對 增 加 而 老 年 口 通 常 使 用 較 多 社 會 資 源, 因 此 老 年 口 比 例 的 增 加, 意 謂 年 輕 的 負 擔 增 加, 也 影 響 教 育 經 濟 等 國 家 的 資 源 分 配 與 政 策 台 灣 在 民 國 94 年 底 65 歲 以 的 口 佔 全 部 口 的 9.74%, 早 已 超 過 聯 合 ( 年 )

38 賴 思 帆 余 清 祥 國 世 界 衛 生 組 織 所 定 義 的 7% 高 齡 化 社 會 門 檻, 其 扶 老 比 也 增 為 13.60% ( 平 均 每 7.35 位 15~64 歲 工 作 口 扶 養 ㆒ 位 65 歲 以 老 年 ) 其 生 育 率 的 降 低 對 國 家 的 影 響 尤 為 重 要, 因 為 今 日 出 生 嬰 兒 數 的 減 少, 代 表 未 來 可 能 發 生 勞 動 力 或 就 業 口 不 足, 直 接 影 響 國 家 未 來 的 競 爭 力, 因 此 世 界 各 國 在 制 訂 教 育 福 利 等 相 關 政 策 時, 通 常 都 會 把 生 育 率 和 口 的 未 來 變 化 考 慮 在 內, 以 確 保 國 家 的 永 續 發 展 關 於 生 育 率 的 實 證 研 究, 大 多 數 都 以 ㆒ 個 國 家 的 資 料 套 入 幾 種 模 型 ( 余 清 祥 與 藍 銘 偉,2003), 或 是 同 ㆒ 模 型 套 入 不 同 國 家 資 料 (Bell, 1997), 鮮 少 同 時 考 慮 多 國 資 料 與 不 同 模 型 有 鑑 於 此, 本 文 考 慮 以 台 灣 日 本 荷 蘭 和 美 國 ㆕ 個 國 家 的 資 料, 套 用 不 同 生 育 率 模 型, 希 冀 找 出 在 這 些 國 家 都 有 不 錯 表 現 的 模 型, 提 供 讀 者 實 證 使 用 本 文 將 使 用 五 種 較 為 常 見 的 生 育 率 模 型 :Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 單 ㆒ 個 別 估 計 法 擴 散 模 型 等, 使 用 的 資 料 為 這 ㆕ 國 在 1975-2003 年 的 生 育 資 料, 主 要 使 用 的 軟 體 是 S-Plus Minitab 和 Excel 此 外, 本 文 也 提 出 修 正 現 行 擴 散 模 型 的 操 作 方 式 本 文 各 節 安 排 如, 第 ㆓ 節 介 紹 本 文 所 使 用 生 育 模 型, 第 ㆔ 節 介 紹 使 用 的 資 料 及 評 量 標 準, 第 ㆕ 節 為 ㆕ 個 國 家 的 實 證 分 析 結 果, 第 五 節 為 電 腦 模 擬 及 其 結 果, 第 六 節 則 是 結 論 未 來 研 究 方 向 和 建 議 貳 模 型 介 紹 本 節 先 介 紹 本 研 究 使 用 的 五 種 生 育 率 模 型, 包 括 Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 單 ㆒ 個 別 估 計 法 擴 散 模 型 ㆒ Gamma 模 型 Gamma 模 型 主 要 是 假 設 年 齡 別 生 育 率 為 Gamma 函 數, 也 就 是

口 學 刊 39 α 1 α x β f( x) =...(1) Γ β x ( α) e 其 x 為 年 齡,f(x) 為 生 育 率 令 K 為 代 表 的 常 數, 並 對 等 號 Γ( α ) 兩 邊 取 自 然 對 數 (Natural Logarithm, 寫 成 ln) 後 可 轉 成 線 性 方 程 式 : ln( f( x )) = ln K + ( α 1) ln x β x + ε..(2) t t t t t t t t 表 示 年 份, ε t 是 誤 差 項 (Error Term) 再 利 用 最 小 平 方 法 (Ordinary Least Square) 求 得 各 年 度 ln K t ( αt 1) β t 的 估 計 值, 然 後 再 分 別 對 ln K t ( αt 1) β t 配 適 迴 歸 模 型, 求 出 ln K t ( αt 1) β t 的 預 測 值, 代 回 公 式 (2) 以 指 數 還 原 Gamma 模 型 是 本 文 考 慮 五 種 方 法 最 早 被 提 出 者, 它 的 優 點 是 簡 單 容 易 操 作, 缺 點 是 如 果 生 育 率 與 Gamma 函 數 稍 有 差 異, 預 測 結 果 往 往 不 盡 理 想 ㆓ Lee-Carter 模 型 (Lee and Carter, 1992) Lee-Carter 模 型 是 將 生 育 率 取 自 然 對 數 後 按 照 年 份 寫 成 ㆒ 矩 陣, 再 利 用 SVD(Singular Value Decomposition) 求 得 模 型 的 各 參 數, Lee-Carter 模 型 假 設 ln( f ( x )) = a + b k + ε..(3) t x x t x, t f( x t ) 表 示 在 t 年 時,x 歲 婦 女 的 生 育 率 ;a x b x k t 是 模 型 的 參 數 ; ε, 誤 差 項 ㆔ 個 參 數 可 使 用 SVD 或 SVD 近 似 法 求 解, 其 步 驟 如 : α β xt 是 1. a x 為 各 的 ln( f( x t )) 在 各 年 度 的 平 均 通 常 會 有 七 組 的 生 育 率, 所 以 a x 通 常 有 七 個 2. k t 為 每 年 的 (ln( f( xt)) ax) 在 各 的 總 和,㆒ 年 有 ㆒ 個 k t 3. b x 是 (ln( f( xt)) ax) 對 k t 配 適 的 無 截 距 迴 歸 式 的 斜 率,b x 的 個 數 和 a x 相 同 為 了 讓 k t 和 b x 的 表 示 法 唯 ㆒, 我 們 另 外 加 k t = 0 b = x 1這

40 賴 思 帆 余 清 祥 兩 個 條 件 4. 以 時 間 序 列 的 方 式 預 測 未 來 k t 的 值 5. 將 a x b x 和 預 測 的 k t 代 入 公 式 (3), 再 取 指 數, 可 得 到 生 育 率 預 測 值 6. 把 各 生 育 率 的 預 測 值 相 加 總, 就 可 得 到 總 生 育 率 的 預 測 值 ㆔ 主 成 份 分 析 主 成 份 分 析 基 本 和 Lee-Carter 很 類 似, 差 別 是 在 矩 陣 分 解 方 法 的 不 同 主 成 份 分 析 是 將 生 育 率 標 準 化 後, 分 解 成 loading(coefficient) 和 score ㆓ 個 部 分,㆒ 個 有 ㆒ 個 loading,㆒ 年 有 ㆒ 個 score, 之 後 再 以 時 間 序 列 預 測 未 來 的 score, 還 原 後 可 得 到 標 準 化 後 的 未 來 生 育 率 預 測 值, 再 進 ㆒ 步 可 還 原 成 生 育 率 的 預 測 值, 加 總 後 就 是 總 生 育 率 預 測 值 主 成 份 分 析 在 20 歲 至 35 歲 生 育 率 高 峰 的 效 果 通 常 不 錯, 但 在 生 育 率 較 低 或 生 母 年 齡 較 高 組 的 效 果 較 差, 甚 至 生 育 率 的 預 測 值 可 能 是 負 數, 使 用 時 必 須 注 意 ( 參 考 余 清 祥 與 藍 銘 偉,2003) ㆕ 單 ㆒ 個 別 估 計 法 單 ㆒ 個 別 估 計 法 是 假 設 每 個 生 育 率 間 互 相 獨 立, 每 個 年 齡 組 生 育 率 取 自 然 對 數 後 單 獨 對 時 間 t 配 適 ㆒ 條 迴 歸 模 型 為 了 使 迴 歸 模 型 符 合 迴 歸 假 設 及 增 加 預 測 的 效 果, 通 常 還 要 對 殘 差 配 適 時 間 序 列 模 型 ( 參 考 黃 意 萍 與 余 清 祥,2002) 單 ㆒ 年 齡 別 估 計 法 的 好 處 是 預 測 結 果 通 常 不 錯, 但 是 不 同 的 分 組 方 式 結 果 就 不 同, 且 相 鄰 的 生 育 率 通 常 存 有 某 些 關 係, 卻 可 能 因 為 分 組 的 關 係 而 未 被 考 慮 在 內 五 擴 散 模 型 因 為 目 前 生 育 率 的 降 並 不 代 表 婦 女 ㆒ 生 的 總 生 育 數 降, 有 可 能 只

口 學 刊 41 是 生 育 時 機 (Tempo Component) 延 後 而 已, 不 見 得 生 育 數 量 (Quantum Component) 會 改 變 因 此 Bongaarts and Feeney(1998) 提 出 了 擴 散 模 型, 將 生 育 時 機 的 影 響 考 慮 在 內, 提 出 了 時 間 對 世 代 的 生 育 數 量 等 式 (Period-Cohort Quantum Equation, 簡 稱 B-F 法 ), 公 式 為 TFR ' t t t TFR = CFR =..(4) 1 r ( t) p 其 MAC( t + 1) MAC( t 1) rp () t = (5) 2 r p (t) 是 第 t 年 觀 察 到 的 生 育 時 機 改 變 率,MAC(t) 是 第 t 年 的 平 均 生 育 年 齡 (Mean Age at Childbearing) 其 關 於 平 均 生 育 年 齡 的 計 算,Bongaarts and Feeney 最 初 提 出 擴 散 模 型 時 乃 假 設 為 所 有 生 母 的 平 均 年 齡, 但 各 的 生 母 年 齡 變 化 不 見 得 ㆒ 致, 與 年 齡 別 生 育 率 在 各 組 的 變 化 類 似, 有 必 要 對 每 ㆒ 個 別 配 適 ㆒ 個 擴 散 模 型 因 此 本 文 考 慮 的 擴 散 模 型 除 了 原 先 的 所 有 生 母 平 均 年 齡 外, 也 將 考 慮 各 個 的 生 母 平 均 年 齡 本 文 先 算 出 各 年 度 各 組 MAC(t) 和 r p (t), 再 算 出 各 的 CFR t, 然 後 以 時 間 序 列 預 測 未 來 的 r p (t) 和 CFR t, 再 利 用 公 式 (4) 得 到 各 生 育 率 的 預 測 值 在 各 的 CFR t 的 計 算, 藍 銘 偉 與 余 清 祥 (2003) 是 利 用 胎 次 別 生 育 率 來 計 算, 但 這 部 分 資 料 不 易 取 得, 所 以 本 文 是 利 用 時 間 序 列 的 方 式 來 計 算 另 外, 因 為 本 文 以 期 間 (Period) 的 TFR 為 比 較 對 象, 以 的 生 育 率 比 較 需 將 CFR 還 原 至 TFR Zeng and Land(2002) 提 出 以 r c (t) 來 代 替 r p (t):

42 賴 思 帆 余 清 祥 rp () t rc () t =.(6) 1 r ( t) 原 本 的 公 式 變 成 p TFR ' t t t TFR = CFR =.(7) 1 r ( t) c 但 因 為 修 正 前 後 的 結 果 相 近, 所 以 本 文 就 不 再 利 用 r c (t) 做 修 正 參 資 料 介 紹 和 評 量 標 準 文 是 使 用 1975-1998 年 的 資 料 來 建 立 模 型 1, 預 測 1999-2003 年 的 年 齡 組 生 育 率 和 總 生 育 率, 預 測 方 法 皆 為 迴 歸 分 析 及 時 間 數 列, 結 果 並 和 實 際 的 生 育 率 比 較 台 灣 和 荷 蘭 的 資 料 比 較 完 整, 計 算 並 無 問 題 日 本 資 料 只 紀 錄 部 分 年 度 的 五 歲 組 年 齡 別 生 育 率 和 總 生 育 率, 對 於 資 料 不 完 整 的 部 分, 皆 以 線 性 內 插 (Interpolate) 或 外 推 (Extrapolate) 的 方 式 估 計 ; 在 計 算 單 ㆒ 年 齡 別 生 育 率 時, 假 設 組 的 生 育 率 為 生 育 率 的 五 分 之 ㆒, 再 利 用 內 插 和 外 推 的 方 式 估 計 出 其 他 的 單 ㆒ 生 育 率 美 國 資 料 的 處 理 大 致 和 日 本 相 同 在 計 算 擴 散 模 型 時, 必 須 使 用 到 各 的 平 均 生 育 年 齡, 台 灣 和 荷 蘭 都 可 以 算 出 正 確 值, 日 本 和 美 國 則 用 列 的 公 式 來 近 似 : MAC( x, t) = 4 i= 0 ( x+ i) f(( x+ i) t )..(8) 4 i= 0 f(( x+ i) ) t 1 使 用 1975 年 以 後 資 料 的 原 因 是 各 國 在 1975 年 以 後 的 資 料 比 較 完 整, 台 灣 在 1975 年 以 後 可 以 取 得 完 整 的 生 母 年 齡 的 新 生 兒 出 生 數, 能 夠 算 出 正 確 的 各 組 平 均 生 育 年 齡

口 學 刊 43 MAC(x,t) 是 在 t 年 時 x 到 (x+4) 這 組 的 平 均 生 育 年 齡,x = 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45 評 量 標 準 為 Mean Absolute Percentage Error( 簡 稱 MAPE) 和 Root Mean Square Percentage Error( 簡 稱 RMSPE) ㆓ 者 的 計 算 公 式 分 別 為 n 1 Y ˆ i Yi MAPE = 100% n (9) Y i= 1 i 2 n 1 Y ˆ i Y i RMSPE = 100%.(10) n i= 1 Yi MAPE 和 RMSPE 越 小, 代 表 配 適 的 結 果 越 好 由 於 本 文 MAPE 與 RMSPE 的 結 果 類 似, 而 且 RMSPE 較 易 受 離 群 值 影 響 而 產 生 震 盪, 除 非 需 要, 以 僅 就 MAPE 討 論 結 果 肆 實 證 分 析 結 果 比 較 將 ㆕ 個 國 家 的 生 育 率 資 料 代 入 五 個 生 育 率 模 型, 分 析 結 果 詳 見 表 1 (MAPE 數 值 ) 附 錄 表 2(RMSPE 數 值 ) 先 以 台 灣 及 荷 蘭 的 1999-2003 年 總 生 育 率 預 測 為 例 說 明 預 測 結 果 ( 詳 見 圖 1 及 圖 2) 近 五 年 台 灣 總 生 育 率 變 化 甚 大, 其 包 含 了 龍 年 (2000 年 ) 效 應, 因 此 各 方 法 的 誤 差 都 不 小, 其 Gamma 及 Lee-Carter 模 型 尤 有 偏 高 的 趨 勢 ; 荷 蘭 近 五 年 總 生 育 率 變 化 較 小, 單 ㆒ 年 齡 個 別 估 計 與 擴 散 模 型 的 結 果 最 佳,Lee-Carter 模 型 與 主 成 份 分 析 誤 差 較 大 日 本 與 美 國 的 總 生 育 率 配 適 ( 附 錄 圖 3 及 圖 4) 與 荷 蘭 較 為 類 似, 各 方 法 的 誤 差 都 比 台 灣 情 形 稍 微 好 ㆒ 些, 也 是 以 單 ㆒ 年 齡 個 別 估 計 與 擴 散 模 型 的 結 果 最 好

44 賴 思 帆 余 清 祥 1.70 1.60 1.50 1.40 1.30 1.20 台 灣 1999 2000 2001 2002 2003 實 際 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 1 台 灣 總 生 育 率 與 五 種 方 法 預 測 之 總 生 育 率 1.80 1.70 1.60 1.50 荷 蘭 1999 2000 2001 2002 2003 實 際 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 2 荷 蘭 總 生 育 率 與 五 種 方 法 預 測 之 總 生 育 率 整 體 而 言,Gamma 模 型 在 台 灣 日 本 美 國 的 預 測 結 果 都 不 夠 理 想, 雖 然 Gamma 模 型 在 預 測 荷 蘭 的 總 生 育 率 的 MAPE 和 RMSPE 只 有 2%, 但 這 是 因 為 某 些 生 育 率 的 估 計 值 偏 高, 與 另 ㆒ 些 生 育 率 被 低 估 相 抵 銷 後 產 生 的 假 象, 不 ㆒ 定 代 表 Gamma 模 型 適 合 用 來 預 測 荷 蘭 的 總 生 育 率

口 學 刊 45 Lee-Carter 模 型 則 是 在 預 測 日 本 和 美 國 的 總 生 育 率 時 有 比 較 好 的 預 測 結 果,MAPE 都 在 10% 以 ; 預 測 台 灣 和 荷 蘭 總 生 育 率 的 MAPE 也 離 10% 不 遠, 可 看 出 Lee-Carter 基 本 還 不 算 是 太 差 的 模 型 表 1 各 生 育 率 模 型 預 測 各 國 1999-2003 年 總 生 育 率 之 MAPE ( 單 位 :%) 模 型 Gamma Lee-Carter 主 成 份 國 家 個 別 估 計 台 灣 9.95 13.32 6.78 ( 修 正 後 ) 6.75 ( 修 正 前 ) 7.30 日 本 17.76 6.28 7.87 3.08 荷 蘭 1.99 10.70 7.80 0.80 美 國 22.55 5.39 3.53 2.94 擴 散 6.09 ( 修 正 後 ) 18.48 ( 修 正 前 ) 0.76 5.43 1.14 2.61 0.84 2.12 註 : 加 網 底 者 為 各 國 最 小 誤 差 者, 修 正 後 的 擴 散 模 型 為 單 ㆒ 使 用 主 成 份 分 析 來 預 測 台 灣 的 總 生 育 時 需 要 注 意, 因 為 2000-2003 年 的 45~49 歲 這 ㆒ 組 的 年 齡 別 生 育 率 預 測 值 是 負 數, 明 顯 不 合 理 這 種 預 測 值 是 負 數 的 情 形 只 出 現 在 近 ㆕ 年 的 台 灣 45~49 歲 的 最 高, 不 會 出 現 在 日 本 荷 蘭 美 國 等 國, 推 究 原 因, 可 能 是 台 灣 區 近 年 生 育 率 變 動 幅 度 較 大,45~49 歲 的 數 值 原 先 已 經 幾 乎 為 0, 些 微 的 估 計 誤 差 足 以 產 生 負 的 預 測 值 不 對 這 個 負 的 預 測 值 修 正, 台 灣 總 生 育 率 的 MAPE 是 6.75%; 如 果 以 單 ㆒ 個 別 估 計 法 的 預 測 45~49 歲 生 育 率, 使 其 產 生 合 理 預 測 值, 則 台 灣 總 生 育 率 的 MAPE 略 微 提 高 至 6.78% 整 體 而 言, 無 論 是 否 考 慮 45~49 歲 生 育 率 預 測 的 修 正, 主 成 份 分 析 的 預 測 誤 差 都 相 當 小, 與 Lee- Carter 模 型 比 較 絲 毫 不 遜 色, 這 個 結 果 與 Bell(1997) 使 用 歐 洲 國 家 的 生 育 率 資 料, 比 較 主 成 份 分 析 與 Lee-Carter 模 型 的 結 果 類 似 而 主 成 份 分 析 在 預 測 日 本 荷 蘭 美 國 的 總 生 育 率 效 果 也 不 錯,MAPE 都 不 超 過 8%, 美 國 的 MAPE 更 是 不 到 4%

46 賴 思 帆 余 清 祥 單 ㆒ 個 別 估 計 法 預 測 總 生 育 率 的 結 果 都 不 錯,MAPE 都 在 10% 以, 對 荷 蘭 而 言 此 模 型 是 所 有 模 型 最 好 的,MAPE 只 有 0.8% 在 無 法 得 到 較 正 確 的 平 均 生 育 年 齡 情 形, 可 以 考 慮 使 用 單 ㆒ 個 別 估 計 法 配 合 對 殘 差 配 適 時 間 序 列 模 型, 但 要 注 意 預 測 出 來 的 生 育 率 有 可 能 是 負 數 擴 散 模 型 的 總 生 育 率 分 成 修 正 前 和 修 正 後 ㆓ 種 修 正 前 的 總 生 育 率 計 算 是 直 接 用 總 生 育 率 來 配 適 擴 散 模 型,㆒ 個 國 家 只 算 ㆒ 個 擴 散 模 型 ; 修 正 後 的 總 生 育 率 是 每 個 生 育 率 都 配 適 ㆒ 個 擴 散 模 型,㆒ 個 國 家 共 配 適 七 個 擴 散 模 型, 最 後 再 將 各 組 的 預 測 值 相 加 得 到 總 生 育 率 的 預 測 值 大 致 而 言, 修 正 後 總 生 育 率 是 預 測 值 是 本 文 所 用 的 各 種 模 型 最 好 的, 修 正 後 的 MAPE 明 顯 有 改 善 由 RMSPE 所 得 到 的 結 果 大 致 與 MAPE 相 同, 見 附 錄 表 2 在 生 育 率 的 估 計 結 果 方 面, 台 灣 日 本 荷 蘭 以 個 別 配 適 擴 散 模 型 最 佳, 單 ㆒ 個 別 估 計 法 次 之 ; 美 國 則 是 以 單 ㆒ 個 別 估 計 法 最 好, 個 別 配 適 擴 散 模 型 次 之 ( 詳 細 數 值 參 考 附 錄 表 3) 以 台 灣 及 荷 蘭 情 形 為 例 說 明 五 種 方 法 的 預 測 誤 差 ( 圖 5 圖 6), 日 本 與 美 國 情 形 也 類 似, 參 考 附 錄 圖 7 及 圖 8 明 顯 可 看 出 擴 散 模 型 的 配 適 結 果 較 佳, 單 ㆒ 個 別 估 計 法 及 主 成 份 分 析 的 結 果 次 之,Lee-Carter 及 Gamma 模 型 在 台 灣 荷 蘭 都 有 較 高 的 誤 差, 這 個 結 果 與 總 生 育 率 的 情 形 頗 為 ㆒ 致 進 ㆒ 步 檢 視 圖 5 及 圖 6, 可 發 現 各 方 法 在 年 輕 (20 歲 之 前 ) 及 年 長 (40 歲 以 ) 的 誤 差 都 較 高, 其 原 因 有 可 能 是 因 為 這 幾 個 的 生 育 率 原 本 就 較 低, 估 計 的 數 值 稍 有 ㆒ 些 震 盪, 即 可 能 在 這 幾 個 產 生 較 大 的 相 對 誤 差

口 學 刊 47 M A P E 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 台 灣 15~19 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 5 五 種 方 法 在 台 灣 各 生 育 率 的 預 測 誤 差 (MAPE) M A P E 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 荷 蘭 15~19 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 6 五 種 方 法 在 荷 蘭 各 生 育 率 的 預 測 誤 差 (MAPE) 因 此, 無 論 以 總 生 育 率 或 生 育 率 而 言, 這 ㆕ 個 國 家 的 分 析 結 果 都 以 個 別 配 適 擴 散 模 型 的 預 測 結 果 最 好 單 ㆒ 個 別 估 計 法 次 之, 這 個 結 果 大 致 與 之 前 的 結 果 類 似 ( 例 如 : 余 清 祥 與 藍 銘 偉,2003), 但 本 文 提 出 個 別 的 修 正 使 擴 散 模 型 的 優 勢 更 為 明 顯, 計 算 也 相 當 容 易, 推 薦 讀 者 參 考 使 用 伍 電 腦 模 擬 ㆒ 節 是 利 用 各 國 資 料 配 適 常 用 的 生 育 率 模 型, 以 交 叉 驗 證 的 預 測 誤

48 賴 思 帆 余 清 祥 差 來 比 較 各 模 型 的 優 缺 點 但 實 證 分 析 的 交 叉 驗 證 受 到 時 間 點 的 影 響 ( 例 如 龍 虎 年 效 應 ), 預 測 誤 差 較 小 的 模 型 未 必 較 佳, 故 本 章 將 更 進 ㆒ 步 以 類 似 比 較 平 均 數 的 相 對 穩 定 性 (Relative Stability) 和 類 似 比 較 變 異 數 的 相 對 效 率 (Relative Efficiency) 來 判 斷 各 模 型 的 優 劣 與 前 ㆒ 節 相 比, 本 節 是 從 理 論 的 觀 點 判 斷 模 型 的 好 壞, 首 先 在 某 ㆒ 模 型 為 真 模 擬 各 年 度 各 年 齡 層 的 生 育 數, 再 套 用 各 生 育 率 模 型 計 算 MAPE 其 MAPE 的 計 算 可 分 為 訓 練 (Training) 及 檢 驗 (Testing) 誤 差 兩 部 分, 訓 練 誤 差 即 是 ㆒ 般 的 配 適 誤 差 (Goodness of fit), 預 測 誤 差 類 似 之 前 的 交 叉 驗 證 若 某 模 型 在 不 同 假 設 都 有 較 低 的 MAPE, 這 個 模 型 應 是 較 佳 的 生 育 率 模 型 模 擬 的 作 法 如 : 首 先, 假 設 實 際 的 生 育 率 模 型 是 Gamma 模 型, 我 們 利 用 台 灣 區 的 1975-1998 年 的 實 際 資 料, 配 適 Gamma 模 型, 求 出 Gamma 模 型 在 1975-1998 年 每 年 各 生 育 率 的 估 計 值, 而 因 為 生 育 率 是 由 新 生 兒 數 除 以 育 齡 婦 女 數, 所 以 可 以 看 成 是 ㆒ 位 育 齡 婦 女 在 這 ㆒ 年 會 生 出 ㆒ 位 新 生 兒 的 機 率 對 於 育 齡 婦 女 而 言, 在 ㆒ 年 的 生 育 情 形 只 有 有 生 育 和 無 生 育 ㆓ 種, 進 ㆒ 步 假 設 育 齡 婦 女 的 生 育 情 形 服 從 ㆓ 項 (Binomial) 分 配, 或 寫 成 B(n, p), 其 n 是 各 年 度 各 的 育 齡 婦 女 數,p 是 各 年 度 各 的 生 育 率, 然 後 模 擬 產 生 ㆓ 項 分 配 的 亂 數, 也 就 是 模 擬 產 生 出 各 年 度 各 的 新 生 兒 數, 再 除 以 育 齡 婦 女 數, 就 可 以 得 到 1975-1998 年 各 年 度 各 生 育 率 的 模 擬 結 果 將 這 些 結 果 用 2 Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 生 育 率 擴 散 等 不 同 生 育 率 來 配 適, 計 算 1975-1998 年 的 總 生 育 率 及 配 適 後 的 MAPE( 不 用 RMSPE 的 原 因 是 RMSPE 較 易 受 離 群 值 影 響, 且 MAPE 和 RMSPE 的 結 果 通 常 ㆒ 致, MAPE 還 有 Lewis 的 標 準 可 以 參 考 ); 重 複 這 個 模 擬 步 驟 ㆒ 千 次, 計 算 平 均 的 MAPE, 再 將 Lee-Carter 主 成 份 分 析 生 育 率 擴 散 等 不 同 模 型 的 平 均 MAPE 和 Gamma 模 型 的 平 均 MAPE 相 除, 算 出 相 對 穩 定 性 如 果 相 對 穩 定 性 越 低, 表 示 該 生 育 率 模 型 在 實 際 生 育 模 型 為 Gamma 模 型 2 第 伍 節 的 擴 散 模 型 都 是 指 個 別 配 適 擴 散 模 型

口 學 刊 49 的 情 形, 配 適 的 結 果 越 好 而 我 們 預 期 在 1975-1998 年 計 算 出 的 相 對 穩 定 性, 應 該 都 大 於 1, 因 為 實 際 的 模 型 是 Gamma 模 型, 因 此 用 Gamma 模 型 去 配 適 的 平 均 MAPE 應 該 最 小 述 是 假 設 在 實 際 生 育 率 為 Gamma 模 型 的 模 擬 情 形, 在 實 際 生 育 率 模 型 為 其 他 ㆕ 種 時 模 擬 方 法 也 類 似, 省 略 不 再 贅 述 我 們 僅 是 利 用 1975-1998 年 的 資 料 來 計 算 相 對 穩 定 性, 並 沒 有 對 未 來 的 生 育 率 做 預 測, 這 部 分 的 結 果 是 訓 練 的 結 果 如 果 有 對 未 來 生 育 率 做 預 測, 再 計 算 1999-2003 年 的 相 對 穩 定 性, 就 是 檢 驗 的 結 果 表 5-1 相 對 穩 定 性 ( 訓 練 部 分 ) 3 實 際 模 型 配 適 模 型 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 Gamma 1.460 1.118 1.818 2.656 Lee-Carter 23.527 1.877 1.069 1.436 主 成 份 21.458 10.342 1.309 1.927 23.890 6.522 7.279 1.525 擴 散 15.456 4.130 4.539 1.695 表 5-2 相 對 效 率 性 ( 訓 練 部 分 ) 4 實 際 模 型 配 適 模 型 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 Gamma 0.465 0.447 0.527 0.572 Lee-Carter 0.192 0.589 0.995 0.357 主 成 份 0.343 2.335 1.766 1.108 0.263 1.767 0.612 0.606 擴 散 1.133 5.694 2.843 3.714 3 4 若 相 對 穩 定 性 小 於 1.0, 表 示 配 適 模 型 的 平 均 MAPE 比 實 際 模 型 還 小, 配 適 模 型 的 結 果 比 用 實 際 模 型 還 好 若 相 對 效 率 性 小 於 1.0, 表 示 配 適 模 型 的 MAPE 的 標 準 差 比 實 際 模 型 的 MAPE 的 標 準 差 還 小, 配 適 模 型 的 MAPE 的 變 動 程 度 比 實 際 模 型 還 小

50 賴 思 帆 余 清 祥 表 5-1 是 訓 練 部 分 的 相 對 穩 定 性,㆒ 如 先 前 所 預 期, 相 對 穩 定 性 都 大 於 1, 使 用 與 實 際 模 型 相 同 的 來 配 適 結 果 自 然 比 較 好 總 體 而 言, 我 們 發 現 相 對 穩 定 性 最 好 的 是 生 育 率 模 型, 表 示 即 使 實 際 生 育 率 模 型 是 其 他 ㆕ 種 生 育 率 模 型, 用 生 育 率 模 型 來 配 適 也 會 有 不 錯 的 結 果 次 佳 的 是 擴 散 模 型, 配 適 結 果 也 會 不 錯 主 成 份 分 析 模 型 則 是 在 實 際 生 育 模 型 為 Gamma 模 型 時 較 好, 甚 至 是 所 有 模 型 最 好 的 Lee-Carter 也 是 在 配 適 Gamma 模 型 時 有 比 較 好 的 結 果, 但 在 其 他 生 育 率 模 型 的 表 現 欠 佳, Gamma 模 型 則 的 訓 練 模 擬 結 果 最 差 表 4-2 是 訓 練 部 分 的 相 對 效 率 性, 大 致 相 對 效 率 都 不 太 大, 除 了 Lee- Carter 在 配 適 擴 散 模 型 時 有 較 大 的 變 異, 其 他 配 適 結 果 的 MAPE 變 異 都 不 大, 有 不 少 數 值 是 在 1 以, 表 示 配 適 模 型 的 MAPE 變 異 比 實 際 生 育 模 型 MAPE 變 異 還 小 結 合 以 相 對 效 率 和 相 對 穩 定 性 的 訓 練 資 料 模 擬 結 果, 我 們 發 現 生 育 率 模 型 擴 散 模 型 兩 個 模 型 相 當 不 錯, 即 使 不 知 道 真 實 的 生 育 率 模 型, 套 入 這 兩 個 模 型 也 有 機 會 能 得 到 不 錯 的 結 果 表 5-3 相 對 穩 定 性 ( 檢 驗 部 分 ) 實 際 模 型 配 適 模 型 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 Gamma 4.735 2.067 0.184 3.389 Lee-Carter 4.955 0.633 3.121 1.952 主 成 份 6.712 9.321 0.757 0.873 21.605 41.918 5.365 8.302 擴 散 11.720 23.958 9.545 1.814 表 5-4 相 對 效 率 性 ( 檢 驗 部 分 ) 實 際 模 型 配 適 模 型 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 Gamma 4.515 1.791 0.156 2.113 Lee-Carter 0.375 0.597 0.151 0.223 主 成 份 0.907 4.124 0.234 0.445 3.255 14.082 4.285 3.310 擴 散 1.304 5.938 2.408 0.473

口 學 刊 51 除 了 述 的 訓 練 資 料 角 度 比 較 模 型, 我 們 更 關 心 生 育 率 模 型 的 預 測 能 力, 也 就 是 說 能 否 找 到 ㆒ 個 生 育 率 模 型, 在 不 同 的 生 育 率 模 型 之, 都 有 好 的 預 測 能 力? 對 於 這 個 問 題, 我 們 可 計 算 檢 驗 部 分 (1999-2003 年 ) 的 相 對 穩 定 性 比 較 模 型 的 優 劣, 檢 驗 部 份 的 模 擬 類 似 訓 練 部 份 以 實 際 模 型 為 Gamma 模 型 為 例, 利 用 台 灣 區 1975-2003 年 的 生 育 率 資 料 來 配 適 Gamma 模 型, 得 到 1975-2003 年 的 配 適 結 果, 再 利 用 1975-1998 年 配 適 結 果 模 擬 出 1975-1998 年 的 生 育 率, 利 用 模 擬 出 的 Gamma 模 型 生 育 率, 用 不 同 生 育 率 模 型 預 測 1999-2003 年 的 生 育 率, 將 預 測 的 1999-2003 年 生 育 率 和 先 前 配 適 Gamma 模 型 的 1999-2003 年 配 適 結 果 比 較, 計 算 出 預 測 的 MAPE, 進 ㆒ 步 算 出 檢 驗 部 分 的 相 對 穩 定 性 和 相 對 效 率 在 檢 驗 的 相 對 穩 定 性 方 面, 預 測 結 果 最 好 的 是 生 育 率 模 型, 不 論 真 實 生 育 模 型 為 其 他 ㆕ 種 生 育 模 型 的 哪 ㆒ 種, 都 有 不 錯 的 預 測 結 果, 在 預 測 Gamma 模 型 和 主 成 份 分 析 模 型 時, 甚 至 比 原 本 模 型 預 測 的 還 好 擴 散 模 型 預 測 能 力 也 不 錯, 在 預 測 Lee-Carter 模 型 時 比 生 育 率 模 型 還 好, 預 測 主 成 份 分 析 模 型 時 效 果 也 很 好, 只 是 在 預 測 生 育 率 模 型 時, 結 果 差 了 ㆒ 點 主 成 份 分 析 模 型 則 是 最 適 合 用 來 預 測 Lee-Carter 模 型, 是 所 有 模 型 預 測 Lee-Carter 最 佳 者, 這 個 結 果 與 前 述 Bell(1997) 實 證 研 究 結 果 相 同 Gamma 和 Lee-Carter 模 型 則 是 不 適 合 用 來 預 測 其 他 生 育 率 模 型 檢 驗 部 分 的 相 對 效 率 和 訓 練 部 分 的 相 對 效 率 類 似, 通 常 都 不 大, 表 示 不 論 預 測 結 果, 每 次 預 測 的 MAPE 都 不 會 差 太 多, 唯 ㆒ 比 較 大 的 是 Lee- Carter 模 型 檢 驗 部 分 同 時 考 慮 相 對 穩 定 性 和 相 對 效 率, 依 然 是 以 生 育 率 模 型 和 擴 散 模 型 最 好, 最 適 合 用 於 預 測

52 賴 思 帆 余 清 祥 陸 結 論 與 建 議 因 為 生 育 率 研 究 鮮 少 同 時 考 慮 多 國 資 料 與 不 同 模 型, 因 此 本 文 以 台 灣 荷 蘭 日 本 美 國 ㆕ 個 國 家 的 資 料, 套 入 五 種 較 常 用 的 生 育 率 模 型, 試 圖 找 出 最 適 合 各 國 生 育 率 的 模 型 實 證 分 析 研 究 發 現, 無 論 在 預 測 各 年 齡 組 生 育 率 或 總 生 育 率 時, 都 以 本 文 提 出 的 修 正 擴 散 模 型, 也 就 是 個 別 配 適 擴 散 模 型 有 最 佳 的 效 果, 個 別 估 計 法 的 效 果 也 有 不 錯 的 效 果 因 此 在 能 獲 得 各 平 均 生 母 年 齡, 建 議 讀 者 使 用 個 別 配 適 擴 散 模 型 ; 如 果 資 料 無 法 支 持, 建 議 讀 者 使 用 年 齡 個 別 估 計 法 若 以 考 量 相 對 穩 定 性 和 相 對 效 率, 也 就 是 計 算 誤 差 的 平 均 數 與 標 準 差, 個 別 配 適 擴 散 模 型 及 個 別 估 計 法 也 的 確 有 比 較 好 的 表 現, 配 適 後 的 平 均 MAPE 和 用 正 確 模 型 來 配 適 的 平 均 MAPE 相 比, 比 例 並 不 會 相 差 太 大, 而 且 配 適 的 MAPE 標 準 差 也 小, 模 型 相 對 較 為 穩 定 因 此, 不 論 是 以 實 際 資 料 驗 或 是 電 腦 模 擬, 都 以 個 別 配 適 擴 散 模 型 和 個 別 估 計 模 型 最 好 以 主 成 份 分 析 估 計 生 育 率, 在 台 灣 的 2000-2003 年 的 45~49 歲 這 組 會 出 現 負 數 估 計 值, 但 1999 年 的 估 計 結 果 是 正 數, 且 這 種 現 象 在 日 本 荷 蘭 美 國 並 未 發 生 單 ㆒ 年 齡 個 別 估 計 法 也 有 類 似 的 問 題, 在 年 輕 (20 歲 之 前 ) 及 較 高 (40 歲 以 ) 生 育 的 誤 差 也 較 大, 然 而 個 別 配 適 擴 散 模 型 並 無 此 ㆒ 情 形, 因 此 如 何 修 正 主 成 份 分 析 與 單 ㆒ 年 齡 個 別 估 計 法 在 生 育 年 齡 兩 端 誤 差 較 大 的 現 象, 是 ㆒ 個 未 來 也 可 以 繼 續 討 論 的 課 題 本 文 不 推 薦 Gamma 及 Lee-Carter 兩 個 模 型 Gamma 模 型 ㆒ 如 早 期 使 用 的 參 數 模 型, 稍 有 不 符 合 模 型 假 設, 這 些 參 數 模 型 會 產 生 較 大 的 誤 差 至 於 Lee-Carter 模 型, 雖 然 此 模 型 在 死 亡 率 的 實 證 研 究 有 很 好 的 結 果, 但 在 許 多 國 家 的 生 育 率 實 證 研 究, 主 成 份 分 析 的 結 果 都 優 於 Lee-Carter 模

口 學 刊 53 型 ( 例 如 :Bell, 1997), 加 Lee-Carter 模 型 的 操 作 不 如 主 成 份 分 析 方 便, 因 此 不 予 推 薦 本 文 的 生 育 率 研 究 僅 考 慮 總 生 育 率 與 年 齡 別 生 育 率, 並 不 代 表 作 者 認 為 這 是 研 究 生 育 率 變 化 的 唯 ㆒ 方 法 事 實, 生 育 率 的 變 化 與 許 多 因 素 有 關, 諸 如 政 府 的 口 政 策 ( 兩 個 孩 子 恰 恰 好 ) 經 濟 環 境 婦 女 教 育 婚 姻 等 社 會 各 項 變 數 有 關, 因 為 資 料 統 計 分 析 方 法 等 限 制 條 件, 單 純 以 年 齡 別 生 育 率 預 測 未 來 的 生 育 率 趨 勢, 實 乃 不 得 已 之 變 通 方 法 因 此 如 果 有 更 完 整 資 料, 配 合 更 適 宜 的 統 計 方 法, 生 育 率 預 測 應 該 可 以 更 ㆒ 層 樓 近 年 台 灣 區 與 生 育 率 有 關 的 資 料 紀 錄, 較 完 整 的 有 教 育 婚 姻 經 濟 等 變 數, 作 者 建 議 未 來 生 育 率 的 計 量 研 究 可 朝 這 幾 個 方 向 嘗 試 其 國 婚 姻 狀 況 的 變 化 與 生 育 率 的 降 頗 有 同 步 趨 勢, 近 年 年 輕 族 群 的 有 偶 率 降 幅 度 甚 大,20~45 歲 的 婦 女 有 偶 率 在 過 去 十 年 內 降 10% 以,20~30 歲 的 婦 女 有 偶 率 降 幅 度 高 於 20%, 此 ㆒ 現 象 與 近 幾 年 生 育 率 屢 創 新 低 ㆒ 致, 以 有 偶 率 的 觀 點 探 討 生 育 率 不 失 ㆒ 個 可 行 的 方 向 謝 誌 本 文 作 者 感 謝 兩 位 匿 名 評 審 的 寶 貴 建 議, 更 感 謝 國 科 會 對 本 文 在 研 究 進 行 與 撰 寫 時 的 補 助, 補 助 計 畫 編 號 NSC 93-2118-M-004-004

54 賴 思 帆 余 清 祥 參 考 文 獻 文 部 分 華 民 國 內 政 部 統 計 資 訊 網,http://www.moi.gov.tw/W3/stat 內 政 部 統 計 處 (1949-2001) 華 民 國 台 閩 區 口 統 計, 台 北 : 內 政 部 戶 役 政 為 民 服 務 公 用 資 料 庫,http://www.ris.gov.tw 余 清 祥 藍 銘 偉 (2003) 台 灣 區 生 育 率 模 型 之 研 究, 口 學 刊,27: 105-131 黃 意 萍 余 清 祥 (2002) 台 灣 區 生 育 率 模 式 的 推 估 研 究, 口 學 刊,25: 145-171 曾 奕 翔 余 清 祥 (2002) 台 灣 區 死 亡 率 推 估 的 實 證 方 法 之 研 究, 華 民 國 口 學 年 會 學 術 研 討 會, 台 北 : 口 學 會 英 文 部 分 Bell, W. R. 1997. Comparing and Assessing Time Series Methods for Forecasting Age-Specific Fertility and Mortality Rates. Journal of Official Statistics 13(3): 279-303. Bongaarts, J. 1999. The Fertility Impact of Changes In the Timing of Childbearing In the developing World. Population Studies 53: 277-289. Bongarrts, J. and G. Feeney. 1998. On the quantum and tempo of fertility. Population and Development Review 24(2): 271-291. Bozik, J. E. and W. R. Bell. 1987. Forecasting age specific fertility using principal components. American Statistical Association, Proceedings of the Social Statistics Section 396-401. Brown, R. L. 1997. Introduction to the Mathematics of Demography. ACTEX Publications, Inc. Kohler, H. and Ortega, J. A. 2002. Tempo-Adjusted Period Parity Progression Measures, Fertility Postponement and Completed Cohort Fertility. Demographic

口 學 刊 55 Research 6(6): 91-144. Lee, R. D. 2000. The Lee-Carter method for forecasting mortality, with various extensions and applications. North American Actuarial Journal 4(1): 80-93. Lee, R. D. and Carter, L. R. 1992. Modeling and Forecasting U. S. Mortality. Journal of the American Statistical Association 87(419): 659-675. Lewis, C. D. 1982. Industrial and Business Forecasting Methods: A practical Guide to Exponential Smoothing and Curve Fitting. London: Butterworth Scientific. Zeng, Y. and Land, K. C. 2001. A Sensitivity Analysis of The Bongaarts-Feeney Method for Adjusting Bias in Observed Period Total Fertility Rates. Demography 38(1): 17-28. Zeng, Y. and Land, K. C. 2002. Adjusting period tempo changes with an extension of Ryder s basic translation equation. Demography 39(2): 269-285.

56 賴 思 帆 余 清 祥 附 錄 表 2 各 生 育 率 模 型 預 測 各 國 1999-2003 年 總 生 育 率 之 RMSPE ( 單 位 :%) 模 型 Gamma Lee-Carter 主 成 份 國 家 個 別 估 計 台 灣 11.73 15.36 8.28( 修 正 後 ) 8.25( 修 正 前 ) 8.81 日 本 17.81 6.42 7.99 3.42 荷 蘭 2.19 10.88 8.09 1.04 美 國 22.62 5.62 4.08 3.79 擴 散 7.86( 修 正 後 ) 22.20( 修 正 前 ) 0.85 5.74 1.24 2.75 1.08 2.30 註 : 加 網 底 者 為 各 國 最 小 誤 差 者 表 3 各 生 育 率 模 型 預 測 各 國 1999-2003 生 育 率 MAPE 及 RMSPE 台 灣 Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 個 別 估 計 擴 散 MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE 15~19 23.39% 23.77% 22.95% 24.28% 8.35% 10.04% 10.59% 12.15% 12.34% 13.25% 20~24 41.52% 43.37% 40.72% 42.14% 5.73% 7.66% 4.93% 6.57% 7.08% 8.89% 25~29 20.47% 25.25% 25.94% 29.50% 16.85% 20.42% 13.98% 15.93% 9.82% 10.86% 30~34 19.55% 20.57% 16.30% 17.79% 5.62% 7.99% 7.73% 9.79% 7.66% 9.67% 35~39 40.61% 40.73% 35.91% 36.06% 21.80% 22.45% 8.77% 9.98% 3.98% 6.25% 40~44 49.64% 49.84% 39.20% 39.60% 52.56% 53.84% 27.62% 30.25% 8.53% 9.79% 45~49 41.06% 42.04% 14.82% 19.09% 127.99% 135.75% 13.20% 15.19% 34.35% 35.73%

口 學 刊 57 表 3 各 生 育 率 模 型 預 測 各 國 1999-2003 生 育 率 MAPE 及 RMSPE ( 續 ) 日 本 Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 個 別 估 計 擴 散 MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE 15~19 52.79% 53.01% 19.80% 20.38% 13.90% 15.06% 23.71% 25.53% 14.23% 15.65% 20~24 45.01% 45.20% 8.21% 10.49% 45.01% 45.62% 8.77% 10.26% 10.06% 11.68% 25~29 49.99% 50.21% 2.99% 4.58% 3.47% 4.41% 3.75% 4.19% 0.80% 1.05% 30~34 2.14% 2.74% 8.94% 10.22% 3.66% 4.03% 11.19% 12.30% 3.37% 4.20% 35~39 37.58% 37.63% 9.84% 11.89% 2.13% 2.33% 1.44% 1.95% 2.90% 3.43% 40~44 46.39% 46.50% 11.46% 12.04% 4.89% 5.71% 9.21% 11.01% 3.65% 4.20% 45~49 25.28% 26.10% 17.13% 19.23% 17.18% 18.79% 16.10% 17.66% 13.34% 14.22% Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 個 別 估 計 擴 散 荷 蘭 MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE 15~19 53.31% 53.57% 7.21% 9.25% 27.78% 29.51% 27.16% 28.16% 25.36% 26.33% 20~24 35.95% 36.42% 38.91% 39.14% 37.98% 41.05% 26.30% 27.77% 18.16% 19.60% 25~29 36.00% 36.03% 21.41% 21.44% 12.88% 13.43% 6.76% 7.74% 2.14% 2.25% 30~34 19.83% 19.87% 30.34% 30.36% 3.76% 4.88% 11.63% 12.62% 2.80% 3.00% 35~39 40.47% 40.50% 49.68% 49.77% 3.68% 3.99% 3.17% 3.87% 1.23% 1.47% 40~44 35.48% 35.54% 42.37% 42.51% 12.87% 13.48% 11.76% 13.06% 9.28% 10.10% 45~49 52.17% 53.30% 28.21% 30.31% 17.29% 18.31% 10.90% 12.49% 15.03% 16.50% Gamma Lee-Carter 主 成 份 分 析 個 別 估 計 擴 散 美 國 MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE MAPE RMSPE 15~19 9.57% 10.89% 28.88% 30.20% 26.13% 28.10% 19.40% 24.03% 11.65% 13.52% 20~24 50.66% 50.88% 3.92% 4.66% 3.20% 3.94% 2.97% 3.77% 3.02% 3.72% 25~29 57.20% 57.21% 0.74% 1.09% 1.31% 1.58% 0.75% 0.99% 2.69% 2.95% 30~34 3.13% 3.35% 2.70% 3.02% 1.77% 2.07% 1.59% 1.94% 4.40% 4.74% 35~39 39.22% 39.23% 6.27% 6.38% 1.57% 1.80% 2.50% 2.73% 7.02% 8.24% 40~44 44.57% 44.58% 1.52% 2.03% 3.78% 4.08% 5.95% 6.63% 6.78% 7.68% 45~49 22.40% 23.91% 24.53% 25.05% 21.35% 22.08% 11.18% 12.18% 16.47% 18.28%

58 賴 思 帆 余 清 祥 1.60 1.50 1.40 1.30 1.20 日 本 1999 2000 2001 2002 2003 實 際 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 3 日 本 總 生 育 率 與 五 種 方 法 預 測 之 總 生 育 率 2.60 2.50 2.40 2.30 2.20 2.10 2.00 美 國 1999 2000 2001 2002 2003 實 際 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 4 美 國 總 生 育 率 與 五 種 方 法 預 測 之 總 生 育 率 M A P E 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 日 本 15~19 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 7 五 種 方 法 在 日 本 各 生 育 率 的 預 測 誤 差 (MAPE)

口 學 刊 59 M A P E 70.00% 60.00% 50.00% 40.00% 30.00% 20.00% 10.00% 0.00% 美 國 15~19 20~24 25~29 30~34 35~39 40~44 45~49 Gamma Lee-Carter 主 成 份 擴 散 圖 8 五 種 方 法 在 美 國 各 生 育 率 的 預 測 誤 差 (MAPE)