淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 47 問 題 了, 現 在 我 們 試 著 用 流 程 圖 中 的 各 步 驟 來 解 答 這 個 問 題 I. 了 解 實 際 問 題 : 在 此 例 子 中, 我 們 關 心 的 是 雞 與 兔 子 的 個 數, 與 問 題 有 關 的 因 素 是 腳

淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 吳 志 揚 第 一 節 引 言 這 篇 短 文 是 根 據 作 者 在 清 華 大 學 應 用 數 學 所 通 識 課 程 的 演 講 改 寫 而 成 的 在 生 活 中 身 處 逆 境 或 危 機 時, 我 們 常 自 勉 要 能 以 不 變 應 萬 變 來 應 付 危 機 在 數 學 的 理 論 及 應 用 中 也 常 利 用 這 個 觀 點 ( 或 精 神 ) 來 了 解 一 些 複 雜 的 現 象 首 先 我 們 先 簡 要 地 說 明 數 學 是 如 何 應 用 到 各 種 不 同 領 域, 這 過 程 大 概 可 用 下 面 的 流 程 圖 來 描 述 I 了 解 並 描 述 實 際 問 題 ( 包 括 各 種 工 程 社 會 科 學 經 營 管 理 等 等 問 題 ) II 模 型 化 為 數 學 問 題 ( 例 如 : 圖 論 方 程 幾 何 代 數 及 結 構 等 等 ) IV 解 釋 數 學 解 答, 在 實 際 問 題 的 意 義 及 考 慮 其 合 理 性, 並 加 以 應 用 III 解 決 該 問 題 並 得 到 解 答, 無 法 得 到 精 確 解 答 時 則 考 慮 近 似 解 現 在 讓 我 們 舉 一 個 大 家 熟 知 的 例 子 來 說 明 如 何 使 用 這 個 流 形 圖 : 雞 兔 同 籠 問 題 : 雲 林 縣 鄉 下 有 位 農 夫 養 有 一 群 雞 和 兔 子, 某 日 突 然 下 起 西 北 雨, 農 夫 46 和 他 的 兒 子 急 忙 把 雞 和 兔 子 一 起 趕 進 籠 子 避 雨, 因 為 時 間 緊 迫, 顧 不 得 將 他 們 分 開, 所 以 農 夫 和 兒 子 分 別 計 算 頭 數 與 腳 數 數 得 結 果 是 共 有 1010 個 頭 和 2820 隻 腳, 那 麼 雞 和 兔 子 各 有 幾 隻 呢? 相 信 大 家 小 學 時 就 會 處 理 這 個

淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 47 問 題 了, 現 在 我 們 試 著 用 流 程 圖 中 的 各 步 驟 來 解 答 這 個 問 題 I. 了 解 實 際 問 題 : 在 此 例 子 中, 我 們 關 心 的 是 雞 與 兔 子 的 個 數, 與 問 題 有 關 的 因 素 是 腳 數 及 頭 數, 至 於 尾 巴 有 多 少 就 不 是 我 們 所 關 心 的 了 我 們 知 道 正 常 的 雞 有 兩 隻 腳 和 一 個 頭, 而 兔 子 有 四 隻 腳 和 一 個 頭, 在 此, 我 們 特 別 強 調 正 常 兩 個 字, 因 為 在 實 際 的 況 狀 下, 農 夫 所 養 的 兔 子 可 能 有 些 是 三 隻 腳 的 這 不 是 抬 槓, 因 為 雞 與 兔 子 數 量 太 大, 那 麼 不 正 常 的 情 況 發 生 的 機 會 也 就 提 高 了, 不 信 的 話, 各 位 讀 者 到 養 雞 場 及 養 兔 場 看 看 就 能 了 解 了 記 得 幾 年 前 有 位 仁 兄 講 過 一 個 政 治 笑 話 說, 以 前 第 一 屆 老 立 委 還 沒 退 休, 立 法 院 開 會 時 常 常 從 豪 華 轎 車 下 來 了 三 位 老 立 委, 共 有 九 隻 腳 II. 模 型 化 為 數 學 問 題 ( 或 建 立 數 學 模 型 ) 就 像 自 然 科 學 或 社 會 科 學 一 樣, 要 建 立 模 型 必 須 有 一 些 假 設 ( 當 然, 假 設 必 須 經 得 起 實 驗 或 時 間 的 考 驗 ) 在 此 例 子 中, 我 們 不 妨 假 設 : (A1) 每 一 隻 雞 有 2 隻 腳 和 1 個 頭 (A2) 每 一 隻 兔 子 有 4 隻 腳 和 1 個 頭 讓 我 們 再 強 調 一 次, 這 兩 個 假 設 不 一 定 是 對 的, 不 過 可 以 檢 查 每 隻 雞 和 兔 子 來 確 認 更 重 要 的 是 我 們 也 假 設 (A3) 農 夫 與 兒 子 都 沒 算 錯 要 不 然, 問 題 就 大 了 現 在 我 們 可 以 把 這 問 題 數 學 化 了 假 設 農 夫 有 x 隻 雞 和 y 隻 兔 子, 那 麼 我 們 根 據 (A1), (A2) 和 (A3) 得 到 一 個 聯 立 方 程 組 : III. 解 決 數 學 問 題 x + y = 1010 (1) 2x + 4y = 2820 (2) 在 中 學 時, 我 們 已 經 知 道 如 何 解 決 聯 立 方 程 組 實 際 解 得 : x = 610 及 y = 400 IV. 解 釋 數 學 解 答 在 實 際 問 題 的 意 義 及 考 慮 其 合 理 性 並 加 以 應 用 根 據 (II) 及 (III) 我 們 知 道 共 有 610 隻 雞 及 400 隻 兔 子 這 結 果 蠻 合 理 的, 如 果 得 到 1 的 答 案 是 610 又 隻 雞, 那 就 奇 怪 了 不 過 2 從 數 學 的 眼 光 說 一 個 方 程 組 的 解 答 是 可 以 有 分 數 的 各 位 讀 者 試 想, 如 果 農 夫 和 兒 子 早 先 數 的 結 果 是 頭 有 1010 個, 腳 有 2821 隻 ( 注 意 2821 是 奇 數 ), 那 會 如 何 呢? 顯 然 (A1), (A2) 和 (A3) 不 可 能 三 個 都 同 時 成 立 吧! 不 然 在 第 II 步 驟 時 我 們 會 得 到 下 面 的 方 程 組 x + y = 1010 (1) 2x + 4y = 2821 (2) 解 得 x = 609.5, y = 400.5, 那 麼 這 結 果 就 1 1 解 釋 成 雞 有 609 又 隻, 而 兔 子 有 400 又 2 2

48 數 學 傳 播 20 卷 2 期 民 85 年 6 月 隻, 只 有 半 個 頭 的 兔 子 或 雞 可 以 活 嗎? 這 一 點 也 不 合 乎 常 理, 所 以 不 是 有 不 正 常 的 雞 或 兔 子, 就 是 農 夫 或 兒 子 數 錯 了, 而 這 些 情 況 在 實 際 上 是 常 發 生 的 各 位 讀 者 對 數 學 如 何 應 用 的 過 程 已 經 有 了 初 步 的 了 解, 在 下 一 節 我 們 將 開 始 談 一 些 固 定 點 的 現 象 第 二 節 模 型 化 後 的 一 些 數 學 問 題 在 前 節 裡, 我 們 已 經 大 略 了 解 到 如 何 應 用 數 學 去 處 理 各 種 實 際 問 題 的 過 程, 在 這 節 裡, 我 們 將 舉 出 幾 個 常 見 的 模 型 化 後 的 數 學 問 題 從 工 程 自 然 科 學 及 社 會 科 學, 甚 至 日 常 生 活 中 的 問 題, 各 自 依 據 該 領 域 的 原 理 (Principle) 所 建 立 的 數 學 模 型, 可 說 是 各 色 各 樣, 在 此 我 們 大 概 列 舉 下 列 四 種 問 題 : (a) 方 程 問 題 : 求 解 f(x 1, x 2,...x k ) = 0 (b) 極 值 問 題 ( 或 最 佳 化 問 題 ): 求 f(x 1,...,x k ), 在 x 1, x 2,... 和 x k 滿 足 特 定 條 件 下 的 最 大 值 或 最 小 值 (c) ( 偏 ) 微 分 方 程 問 題 : 了 解 各 種 微 分 方 程 解 的 性 質, 或 者 求 出 它 們 的 解 函 數 (d) 矩 陣 問 題 : 求 一 個 方 形 矩 陣 A 的 冪 矩 陣 A k ( 例 如 : Markov Chain 等 等 ) 這 些 問 題 各 自 有 它 們 自 己 的 數 學 理 論, 在 本 文 中 我 們 主 要 是 用 一 個 共 同 的 觀 點 來 描 述 如 何 處 理 這 些 看 似 各 不 相 關 的 課 題, 這 個 觀 點 即 是 固 定 點 理 論 為 了 避 免 過 於 複 雜 的 討 論, 我 們 只 討 論 一 個 變 數 的 問 題 相 信 讀 者 也 能 從 這 個 基 本 的 情 況, 了 解 到 它 們 的 相 通 性 及 一 般 性 首 先, 我 們 先 說 明 一 下, 在 很 多 情 況 下 問 題 (b) 可 以 轉 換 成 問 題 (a) 一 個 變 數 的 問 題 (b) 具 有 下 面 的 形 式 : 問 題 (b): 當 x 落 在 區 間 [a, b] 裡, 求 f(x) 的 極 值 在 此, 我 們 考 慮 函 數 f(x) 是 可 微 分 的, 那 麼, 從 微 積 分 課 裡 我 們 知 道, 處 理 問 題 (b) 就 相 當 於 了 解 函 數 f(x) 的 奇 點 問 題, 即 求 解 f (x) = 0, 這 就 歸 結 到 問 題 (a) 了 接 著 我 們 來 審 視 一 下 問 題 (a), 即 : 問 題 (a): 當 x [a, b] 時, 求 解 f(x) = 0 當 函 數 f(x) 是 連 續 時, 我 們 有 以 下 一 個 關 於 解 的 存 在 定 理 : 存 在 定 理 : 如 果 函 數 f(x) 是 連 續 的, 且 f(a) 和 f(b) 是 異 號 ( 即 一 正 一 負 ), 那 麼, 存 在 有 一 數 x 0 介 於 a 和 b 之 間, 使 得 f(x 0 ) = 0 各 位 讀 者 不 要 小 看 這 個 定 理, 雖 然 它 淺 顯 易 懂, 但 它 的 應 用 極 廣, 即 使 在 很 高 深 的 數 學 理 論 中, 也 常 可 見 到 它 的 身 影 舉 個 例 子 來 說, 任 意 給 定 一 個 三 角 形 和 一 條 直 線, 那 麼 一 定 存 在 一 條 平 行 於 該 線 的 直 線, 將 此 三 角 形 分 成 面 積 相 等 的 兩 個 區 域 各 位 讀 者, 不 妨 試 著 用 此 存 在 定 理, 推 想 看 看 若 相 信 這 是 對

淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 49 的, 那 麼 也 請 試 著 用 直 尺 和 圓 規 來 找 出 這 條 平 行 線 另 一 方 面 各 位 可 能 會 問 函 數 f(x) 一 定 是 連 續 的 嗎? 從 筆 者 的 經 驗 來 說, 與 自 然 界 或 各 領 域 有 關 的 函 數 十 之 八 九 不 是 連 續 的 就 是 片 段 連 續 的 至 於 當 f(x) 不 是 連 續 時, 那 要 求 解 f(x) = 0, 幾 乎 是 沒 有 一 般 性 的 方 法 或 許 各 位 讀 者 可 以 想 想 看! 現 在 我 們 打 算 換 一 個 角 度 來 討 論 求 解 的 問 題, 首 先 我 們 分 析 一 下 什 麼 是 解 呢? 如 果 我 們 將 此 函 數 f(x) 當 成 一 個 映 射 ( 變 換 ), 那 麼 它 將 區 間 [a, b] 映 射 至 實 數 集 R 求 解 f(x) = 0 就 相 當 於 問 那 些 x 0 [a, b] 在 變 換 後 會 對 應 到 值 0 從 這 個 觀 點 來 看 求 解 f(x) = 0 與 求 解 f(x) = a (a 是 個 常 數 ) 在 本 質 上 並 無 不 同 倒 是 那 些 在 變 換 之 下 是 不 動 的 點 x 0, 即 f(x 0 ) = x 0, 反 而 顯 得 特 殊 從 這 個 固 定 點 的 觀 念 來 探 討 求 解 問 題 f(x) = 0, 我 們 可 以 考 慮 函 數 g(x) = x + εf(x), 其 中 ε 是 個 很 小 且 不 為 零 的 實 數 問 題 (a): 求 解 f(x) = 0 就 相 當 於 問 題 (A): 找 函 數 g(x) 的 固 定 點 為 了 方 便 我 們 可 以 假 設 定 義 域 [a, b] = [ 1, 1], 只 要 實 數 ε 0 夠 小, 那 麼 函 數 g 就 是 個 從 [ 1, 1] 到 [ 1, 1] 的 映 射 上 面 提 到 的 存 在 定 理 也 就 等 價 於 固 定 點 定 理 : 任 何 連 續 函 數 g : [ 1, 1] [ 1, 1] 必 定 有 固 定 點, 即 存 在 點 x 0 [ 1, 1] 使 得 g(x 0 ) = x 0 從 圖 形 來 看, 即 y = g(x) 的 軌 跡, 必 然 與 直 線 y = x 相 交 Y y = x X y=g(x) x = 1 x = 1 關 於 問 題 (c) 及 (d), 也 可 以 用 固 定 點 的 理 論 來 探 討, 詳 細 情 況 我 們 留 到 第 四 第 五 節 再 談 第 三 節 空 間 決 定 了 固 定 點 的 存 在 從 上 一 節 裡, 我 們 了 解 到 極 值 問 題 與 求 解 問 題, 本 質 上 都 是 找 固 定 點 的 問 題, 在 這 一 節 裡, 我 們 將 更 深 入 地 探 討 固 定 點 理 論 的 一 些 重 要 內 涵 首 先 回 顧 一 下 連 續 函 數 g : [ 1, 1] [ 1, 1] 關 於 函 數 g 有 兩 件 事 是 非 常 重 要 的 : 1. 函 數 g 的 定 義 域 和 值 域 一 樣, 也 就 是 空 間 [ 1, 1] 2. 連 續 函 數 g 是 一 個 從 空 間 [ 1, 1] 到 它 自 己 的 映 射

50 數 學 傳 播 20 卷 2 期 民 85 年 6 月 這 兩 個 不 同 的 東 西 - 空 間 與 映 射 - 對 函 數 g 來 說 是 最 重 要 的 在 這 一 節 和 下 一 節 中, 我 們 將 分 別 從 空 間 和 映 射 的 觀 點 來 探 討 固 定 點 的 存 在 問 題 首 先 我 們 回 顧 一 下 上 一 節 得 到 的 固 定 點 定 理 固 定 點 定 理 : 任 何 連 續 函 數 g : [ 1, 1] [ 1, 1] 必 定 有 一 固 定 點 因 為 對 每 一 個 函 數 g 從 空 間 [ 1, 1] 到 它 自 己 的 連 續 映 射 都 會 有 固 定 點, 所 以, 具 有 固 定 點 的 性 質 主 要 是 來 自 空 間 [ 1, 1] 本 身 的 結 構, 而 非 函 數 g 所 引 起 的 譬 如 空 間 (, ) ( 開 集 合 ) 就 沒 有 這 個 性 質 了 各 位 讀 者 只 要 考 慮 函 數 g(x) = x + 1 就 知 道 了 另 外, 我 們 舉 個 小 朋 友 常 玩 的 遊 戲 來 進 一 步 說 明 : 有 十 位 小 朋 友, 各 自 坐 在 自 己 的 位 子 上, 當 老 師 吹 一 聲 哨 子, 大 家 就 再 找 個 位 子 坐, 大 家 可 以 了 解 的 是, 不 一 定 有 小 朋 友 會 坐 在 同 一 位 子, 也 就 是 說, 空 間 ( 十 個 位 子 ) 在 變 換 下 ( 換 位 子 ) 不 一 定 會 有 固 定 點 當 我 們 考 慮 實 際 問 題 時, 與 問 題 相 關 的 因 素 往 往 不 止 一 項, 所 以 將 其 模 型 化 為 數 學 問 題 時, 變 數 (variable) 就 可 能 不 止 一 個, 因 此, 我 們 也 就 必 須 考 慮 高 維 度 ( 例 如 : 二 百 維 度 或 二 仟 維 度 ) 的 空 間 R n 了 一 般 不 了 解 數 學 或 數 學 應 用 的 讀 者, 可 能 常 感 困 惑 地 以 為 我 們 只 生 活 在 三 維 的 空 間 R 3 裡, 為 什 麼 需 要 討 論 高 維 度 呢? 各 位 讀 者, 必 須 了 解 在 五 維 度 空 間 裡, 考 慮 的 是 有 五 項 變 數 ( 因 素 ), 至 於 這 五 項 變 數 所 代 表 的 意 義 是 與 你 所 關 心 的 問 題 有 關, 例 如 : 五 種 不 同 物 品 的 價 格 等 等, 考 慮 五 維 度 空 間 R 5, 並 不 表 示 我 們 就 必 須 生 活 在 五 度 空 間 裡 剛 才 所 提 的 固 定 點 定 理 在 高 維 度 時 也 有 類 似 的 結 果, 這 就 是 有 名 的 Brouwer 固 定 點 定 理 了 Brouwer 固 定 點 定 理 : 任 何 連 續 函 數 g : D n D n 必 定 有 一 固 定 點 其 中 D n = {(x 1, x 2,...,x n ) R n x i 1, i = 1, 2,..., n} 是 R n 中 的 立 方 體 同 樣 地, 固 定 點 的 性 質 是 空 間 D n 所 與 生 俱 來 的 至 於 固 定 點 的 位 置 則 與 函 數 g 有 很 大 的 關 聯 要 證 明 這 個 結 果, 必 須 用 到 蠻 現 代 的 數 學 知 識, 不 是 一 般 讀 者 可 以 了 解 的, 所 以, 我 們 在 此 也 不 便 詳 細 說 明, 以 免 把 大 家 搞 得 頭 昏 腦 脹 特 別 值 得 一 提 的 是, 不 只 空 間 D n 有 固 定 點 的 性 質, 只 要 是 它 的 連 續 變 形 也 同 樣 具 有 這 個 性 質 例 如 下 面 這 三 個 在 平 面 上 的 圖 形, 它 們 是 D 2 的 連 續 變 形 : 但 下 面 的 圖 形 不 具 有 這 個 性 質 現 在 我 們 利 用 Brouwer 固 定 點 的 定 理 來 說 明 我 們 中 學 時 所 熟 知, 卻 不 懂 得 證 明 的 代 數 基 本 定 理

淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 51 代 數 基 本 定 理 : 每 一 個 多 項 式 至 少 有 一 複 數 根, 也 就 是 說, 任 何 多 項 式 P(x) = 0 至 少 有 一 複 數 解 表 面 上 看 這 個 定 理 與 我 們 上 面 所 談 的 固 定 點 理 論 一 點 相 似 性 也 沒 有, 這 種 現 象 對 很 多 讀 者 來 說 是 不 陌 生 的, 很 多 人 因 為 看 不 出 實 際 問 題 與 數 學 理 論 的 關 聯, 所 以 不 了 解 數 學 的 有 用 性 及 重 要 性, 而 常 常 用 不 屑 的 態 度 質 問 數 學 工 作 者, 數 學 有 什 麼 用? 這 實 在 是 很 可 笑 也 很 悲 哀 的 事 啊! 現 在 言 歸 正 傳, 應 用 固 定 點 定 理 要 注 意 的 事 有 二 : 第 一 是 須 建 構 一 個 好 的 空 間 (domain), 第 二 要 有 一 個 從 此 空 間 到 它 自 己 的 連 續 映 射 在 代 數 基 本 定 理 的 敘 述 中, 我 們 想 找 一 個 複 數 解 ( 注 意 : 它 也 可 以 是 實 數!), 所 以 應 該 從 複 數 平 面 上 去 找 這 個 空 間 ( 定 義 域 ) 考 慮 多 項 式 P(X) = a n X n +a n 1 X n 1 +...+a n X+a 0. 為 了 方 便, 我 們 可 以 假 設 a n = 1, 並 取 常 數 R = 2 + a 0 + a 1 +... + a n, 那 麼, 圓 盤 D D = {z z R}. 是 複 數 平 面 的 一 個 子 集, 讀 者 很 容 易 看 出 它 是 在 Brouwer 固 定 點 定 理 中 空 間 D 2 的 連 續 變 形, 所 以, 圓 盤 D 也 具 有 固 定 點 的 性 質 接 著 我 們 考 慮 下 面 函 數 g, 它 是 從 D 到 它 自 己 的 連 續 變 換 : z = g(z) = P(z) Re i(n 1)θ, z 1 且 z = z e iθ z P(z) Rz n 1, 1 z R. 我 們 很 容 易 驗 證 出 函 數 g 是 連 續 的, 並 且 當 z R 時, g(z) R 所 以 g 是 個 從 圓 盤 D 到 它 自 己 的 連 續 映 射 根 據 Brouwer 固 定 點 定 理, 我 們 可 以 在 圓 盤 D 中 找 到 一 點 z 0, 使 得 g(z 0 ) = z 0 代 入 函 數 g 的 表 示 式, 不 難 推 出 P(z 0 ) = 0 所 以 代 數 基 本 定 理 是 對 的 各 位 讀 者 相 信 聽 過 數 學 王 子 高 斯 這 個 人, 他 在 現 代 物 理 數 學 天 文 及 地 理 都 有 很 傑 出 的 貢 獻, 代 數 基 本 定 理 就 是 他 的 博 士 論 文 的 主 要 內 容 之 一 不 過, 上 面 所 提 的 形 式 是 用 現 代 的 言 語 來 表 現 的 在 高 斯 (1777-1855) 年 青 時 還 沒 有 虛 數 的 概 念, 這 概 念 是 他 後 來 才 提 出 的 請 問 各 位 讀 者, 如 果 不 用 複 數, 那 麼 代 數 基 本 定 理 要 如 何 表 達 呢? 各 位 不 妨 試 試 看 第 四 節 映 射 決 定 了 固 定 點 的 存 在 在 上 一 節 裡 我 們 說 明 了 有 些 空 間 本 身 就 具 有 固 定 點 的 性 質, 而 有 些 空 間 卻 不 具 有, 但 這 並 不 表 示 任 何 連 續 函 數 作 用 在 這 些 空 間 就 一 定 沒 有 固 定 點, 事 實 上, 只 要 所 談 的 函 數 ( 映 射 ) 夠 好 的 話, 也 一 樣 會 有 固 定 點 在 本 節 所 要 探 討 的 好 函 數 是 收 縮 映 射 (contraction mappings) 在 精 確 地 描 述 這 類 函 數 前, 我 們 先 看 看 下 面 的 例 子 來 體 會 一 下 例 子 : 考 慮 R 是 所 有 實 數 的 集 合, 我 們 給 定 兩 個 映 射 f 和 g, 如 下 : f(x) = x + 1, x R.

52 數 學 傳 播 20 卷 2 期 民 85 年 6 月 g(x) = x 2, x R. 很 明 顯 地, 映 射 f 沒 有 固 定 點, 而 映 射 g 有 一 固 定 點 0, 即 g(0) = 0 我 們 來 想 想 是 什 麼 性 質 造 成 映 射 g 有 固 定 點 而 映 射 f 卻 沒 有 呢? 從 幾 何 ( 或 距 離 ) 的 觀 點 來 說, 對 任 何 兩 個 實 數 x 和 y, 簡 單 的 計 算 給 出 (1) f(x) f(y) = x y 且 (2) g(x) g(y) = 1 x y 2 在 中 學 時, 我 們 知 道 兩 數 相 減 的 絕 對 值 可 以 代 表 為 這 兩 數 在 直 線 R 上 的 距 離, 所 以 (1) 式 和 (2) 式 告 訴 我 們, 映 射 f 對 直 線 R 的 作 用 是 保 距 的, 而 映 射 g 的 作 用 卻 使 距 離 減 半 也 就 是 說 g 是 個 收 縮 的 映 射 給 定 兩 個 實 數 ( 點 ) x 和 y, f 作 用 在 x 和 y 上 k 次 後 的 距 離, 仍 然 是 x 和 y 的 距 離, 即 (3) f k (x) f k (y) = x y 而 對 映 射 g 來 說, g k (x) 和 g k (y) 的 距 離 卻 越 來 越 近, 即 (4) g k (x) g k (y) = 1 x y. 2k 所 以 大 家 可 以 了 解 ( 或 相 信 ), g k (x) 會 趨 近 於 一 個 定 數 x 0 ( 在 這 例 子 中 x 0 = 0), 且 x 0 是 g 的 固 定 點 事 實 上 這 個 例 子 的 性 質 有 其 一 般 性, 這 就 是 有 名 的 收 縮 映 射 原 理 收 縮 映 射 原 理 : 如 果 X 是 一 個 完 備 的 距 離 空 間 ( 例 如 : 有 限 維 的 R N 及 無 限 維 的 巴 氏 空 間 等 ), 而 T 是 從 X 到 它 自 己 的 收 縮 映 射, 亦 即 任 意 兩 點 x, y X, T(x) 和 T(y) 的 距 離 小 於 x 和 y 的 距 離 乘 於 一 固 定 正 數 α < 1 那 麼, 可 以 得 到 (1) 映 射 T 有 一 個 唯 一 的 固 定 點, 我 們 記 作 x 1, 即 T(x ) = x (2) 給 定 任 一 點 x 0 X, T k (x 0 ) x α k x 0 x, 在 此, 記 號 x y 代 表 x 和 y 在 X 中 的 距 離 這 個 原 理 在 應 用 上 非 常 重 要, 因 為 從 任 何 點 x 出 發, 每 經 過 一 次 映 射 那 麼 T(x) 就 向 唯 一 的 固 定 點 x 靠 近 一 點, 並 且 T k (x) 以 指 數 的 速 度 趨 近 x 通 常 在 處 理 一 個 數 學 化 後 的 實 際 問 題 時, 起 先 我 們 並 不 知 道 其 解 答 的 位 置 通 常 給 定 一 個 起 始 點 (initial point), 然 後 透 過 映 射, 譬 如 使 用 Algorithm 去 求 解, 跑 一 個 iteration 就 得 到 另 一 個 點 x 1, 經 過 k 次 後, 得 到 x k, 我 們 希 望 幾 次 之 後 就 得 到 答 案 但 從 實 際 或 理 論 上 來 說 這 是 不 太 可 能 的 所 以, 退 而 求 其 次 希 望 x k 以 很 快 的 速 度 趨 近 我 們 所 要 的 答 案, 並 且 能 估 算 出 x k 與 解 答 x 的 可 能 最 大 誤 差 在 微 積 分 課 裡, 我 們 知 道 用 牛 頓 法 來 求 解 f(x) = 0 就 是 一 個 相 當 令 人 滿 意 的 Algorithm 了 接 著, 我 們 談 一 下 如 何 用 收 縮 映 射 原 理 來 找 出 一 個 微 分 方 程 的 解 首 先 在 使 用 這 個 原 理 時, 也 有 兩 件 事 必 須 注 意 : 第 一 我 們 必 須 考 慮 一 個 適 當 的 空 間 X, 第 二 要 構 造 出 一 個 自 然 的 收 縮 映 射 T, 並 且 T 和 X 必 須 巧 妙 的 配 合 如 果 空 間 X 太 小 了, 那 麼 T(X) 可 能 就 不 會 落 在 X 裡 面 如 果 太 大 了, 映 射 T 就 很 難 會 是 收 縮 的, 這 些 都 是 應 用 收 縮 映 射 原 理 的 困 難 所 在, 所 以 往 往 只 有 專 家 才 能 掌 握 得 很 好

淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 53 考 慮 微 分 方 程 : dy = f(x), x [0, 1] ( ) dx y(x 0 ) = y 0 我 們 希 望 找 到 一 個 函 數 y = y(x) 滿 足 方 程 式 ( ), 在 適 當 的 條 件 下, 解 函 數 是 存 在 的, 然 而 在 應 用 上, 我 們 往 往 也 需 要 知 道 解 函 數 y = y(x) 本 身 或 至 少 得 到 它 的 近 似 解 上 面 談 到 用 收 縮 映 射 原 理 時, 有 兩 樣 東 西 要 注 意, 即 空 間 X 及 映 射 T 在 這 個 問 題 裡, 我 們 考 慮 X 是 所 有 在 [0, 1] 上 的 連 續 函 數 g 而 映 射 T 是 給 定 如 下 : x T(g)(x)= f(s, g(s))ds+y 0, x [0, 1] x 0 所 以, 函 數 T(g)(x) 具 有 性 質 : (1) T(g)(x 0 ) = y 0 (2) T(g 1 )(x) T(g 2 )(x) α g 1 g 2 在 適 當 條 件 下, 常 數 α 是 個 小 於 1 的 正 數, 這 兒 代 表 sup norm 所 以 T : X X 是 一 個 收 縮 映 射 因 此, 根 據 收 縮 映 射 原 理, 映 射 T 有 一 固 定 點 ( 函 數 ), y X 使 得 T(y ) = y, 也 就 是 (3) T(y )(x) = y (x) 0 f(s, y (s))ds + y 0 = 微 積 分 基 本 定 理 告 訴 我 們, 式 子 (3) 可 以 得 出 (4) dy dx = f(x) 所 以 y 就 是 解 函 數 了, 更 重 要 的 是, 收 縮 映 射 原 理 也 告 訴 我 們, 如 果 我 們 從 任 意 一 個 函 數 g 出 發 T k (g) 就 以 指 數 的 速 度 趨 近 解 函 數 y, 所 以 利 用 電 腦 程 式 來 計 算, 我 們 可 以 計 算 出 T k (g)(a) 並 估 算 出 T k (g)(a) 與 y (a) 的 可 能 誤 差 了 有 了 這 些 就 能 用 以 了 解 相 關 微 分 方 程 ( ) 的 實 際 問 題 了 第 五 節 矩 陣 的 計 算 及 特 徵 向 量 在 前 兩 節 裡, 大 家 已 大 致 了 解 到 固 定 點 理 論 的 兩 個 主 要 內 涵 : 好 的 空 間 本 身 決 定 固 定 點 的 存 在 及 好 的 映 射 也 可 決 定 是 否 有 固 定 點 並 且 也 明 白 了 很 多 問 題, 即 使 外 在 的 形 式 或 表 達 的 方 式 很 不 同, 可 是 其 數 學 的 本 質 卻 可 能 是 一 致 的 在 這 一 節 裡, 我 們 也 利 用 固 定 點 的 觀 念 來 說 明 一 些 矩 陣 的 計 算 在 數 學 各 種 理 論 中, 微 積 分 與 矩 陣 理 論 可 說 是 當 代 應 用 最 廣 的 兩 門 學 問, 相 信 各 位 讀 者 對 它 們 都 不 陌 生 其 中 關 於 矩 陣 的 應 用, 最 常 遇 到 的 情 況 就 是 計 算 一 個 方 形 矩 陣 A 的 冪 矩 陣 A k, 也 就 是 第 二 節 所 談 到 的 問 題 (d) 首 先 我 們 舉 一 個 較 實 際 的 問 題 來 說 明 為 什 麼 需 要 計 算 冪 矩 陣 A k, 譬 如, 我 們 想 了 解 台 灣 地 區 未 來 幾 年 人 口 可 能 分 布 百 分 比 的 情 況 為 了 方 便 起 見, 我 們 假 設 現 在 (1995 年 ) 大 台 北 地 區 ( 新 竹 以 北 ) 的 人 口 占 台 灣 總 人 口 數 約 35%, 想 要 了 解 十 年 後 該 地 區 的 人 口 是 總 人 口 的 百 分 之 幾? 大 家 都 知 道 大 台 北 地 區 交 通 及 居 住 環 境 已 相 當 飽 和, 品 質 也 很 差, 所 以 越 來 越 多 人 願 意 搬 到 大 台 北 以 外 的 地 區 生 活 為 使 討 論 簡 易 起 見, 我 們 不 妨 假 說 :

54 數 學 傳 播 20 卷 2 期 民 85 年 6 月 (A1) 每 年 約 有 2% 住 在 大 台 地 區 的 人 搬 離 該 地 區 (A2) 每 年 約 有 1% 住 在 大 台 北 地 區 以 外 的 人 搬 進 大 台 北 地 區 (A3) 出 生 率 與 死 亡 率 對 人 口 分 佈 的 百 分 比 影 響 微 乎 其 微 根 據 這 些 假 設, 將 此 問 題 數 學 化 後, 我 們 將 得 到 以 下 的 數 學 問 題 : (1) x n 代 表 n 年 後 大 台 北 地 區 的 人 口 百 分 比 0.98 0.01 (2) A = 的 變 換 矩 陣 0.02 0.99 x n (3) 1 x n = A n 0.35 0.65. 所 以 要 知 道 n 年 後 大 台 北 地 區 的 人 口 百 分 比 x n, 就 相 當 於 計 算 變 換 矩 陣 A 的 冪 次 方 A k 關 於 冪 矩 陣 A k 的 計 算, 大 致 分 為 兩 種 情 況, 由 k 值 的 大 小 來 決 定, 譬 如 : k = 2, 3 甚 至 10 以 內, 利 用 矩 陣 的 乘 法 直 接 計 算 A 2 和 A 3 等 等 比 較 省 時 也 較 方 便, 但 當 k 值 很 大 時 ( 相 對 於 矩 陣 的 維 度 n 而 言 ), 那 麼 就 必 須 考 量 新 的 處 理 方 法, 常 用 的 方 式 是 將 矩 陣 三 角 化, 甚 至 能 夠 的 話 就 對 角 化, 也 就 是 說 找 一 個 可 逆 的 矩 陣 B 使 得 B 1 AB 變 成 三 角 矩 陣 或 對 角 矩 陣 矩 陣 的 找 法 必 須 用 到 特 徵 向 量 (Eigenvector) 的 觀 念 即 找 非 零 向 量 v, 使 得 Av = λv 換 句 話 說, 就 是 要 找 出 各 個 在 變 換 A 之 下 不 動 的 方 向 v, 即 Av 和 v 同 方 向 如 果 A 可 以 對 角 化 的 話, 那 麼 矩 陣 B 的 各 個 行 向 量 就 是 互 為 線 性 獨 立 的 特 徵 向 量 ( 不 變 的 方 向 ) 了, 這 就 是 固 定 點 的 觀 點 在 矩 陣 理 論 中 最 重 要 且 基 本 的 應 用 現 在 我 們 試 著 找 出 上 面 例 子 中 矩 陣 A 的 特 微 向 量 : 從 Av = λv, 我 們 知 道 合 成 矩 陣 (A λi) 將 向 量 v 映 射 到 零 向 量, 所 以 A λi 的 行 列 式 就 等 於 零, 利 用 這 概 念, 我 們 可 以 從 det(a λi) = 0, 推 出 λ 2 1.97λ + 0.97 = 0, 解 得 λ = 1 或 0.97 由 此, 不 難 得 到 兩 個 根 所 對 應 的 特 徵 向 量 (4) 當 λ = 1 時, v = 1, 2 (5) 當 λ = 0.97 時, v = 所 以 B = B 1 0 0 0.97 x n 1 x n 1 1 2 1 1 1 B 1 由 此 得 到. 且 A = = B 1 0 0 (0.97) n B 1 0.35. 0.65 代 入 n = 10, 解 得 x 10 = 1 3 (1 + (0.97) 10 (0.05)), 這 大 約 是 34.6% 所 以 在 (A1) (A2) 及 (A3) 大 致 成 立 之 下, 十 年 後 大 台 北 地 區 的 人 口 約 佔 台 灣 總 人 口 的 34.6%, 比 現 在 的 百 分 比 35%, 稍 為 下 降 一 點 點, 所 以 十 年 後, 除 非 政 策 上 有 重 大 的 改 變, 否 則 大 台 北 地 區 的 人 口 擁 擠 程 度 並 不 會 有 太

淺 談 固 定 點 定 理 及 其 應 用 55 大 的 改 善 各 位 讀 者 實 在 應 該 認 真 考 慮 是 否 搬 到 中 南 部 求 發 展 第 六 節 結 語 在 本 文 中, 我 們 簡 單 地 介 紹 了 數 學 應 用 的 流 程, 並 利 用 固 定 點 的 觀 點 來 探 討 很 多 不 同 形 態 的 數 學 問 題 最 後 想 再 一 次 提 醒 各 位 讀 者, 利 用 數 學 處 理 各 種 實 際 問 題 時, 必 須 根 據 各 領 域 的 有 關 學 說 理 論 事 實 甚 至 假 設 來 建 立 數 學 模 型 及 問 題, 在 這 過 程 中, 可 能 本 身 就 無 法 掌 握 所 有 可 能 的 相 關 因 素, 所 以 數 學 解 答 也 不 必 然 是 實 際 問 題 的 解 答, 因 為, 第 一, 我 們 的 假 設 不 一 定 永 遠 成 立, 第 二, 即 使 所 有 假 設 都 成 立 並 且 數 學 問 題 求 解 的 過 程 也 沒 有 錯 誤, 但 可 能 問 題 出 在 各 相 關 學 說 或 理 論 所 建 立 的 模 型 與 實 際 狀 況 有 所 差 距 雖 然 有 這 兩 個 可 能 的 缺 失, 利 用 數 學 來 處 理 各 種 問 題 的 重 要 性 仍 然 不 可 小 覦, 例 如 : 選 舉 前 的 民 意 調 查 等 等 有 了 這 些 了 解, 相 信 各 位 讀 者 以 後 聽 到 專 家 學 者 的 話 時, 大 可 不 必 全 然 接 受, 反 倒 要 了 解 他 們 的 模 型 理 論 及 假 設 後, 再 做 獨 立 思 考 和 判 斷 這 正 是 大 家 所 熟 知 的 盡 信 書, 不 如 無 書 的 道 理 了, 這 個 觀 點 也 是 本 文 所 要 表 達 的 主 要 觀 念 之 一 附 記 : 非 常 感 謝 中 正 大 學 數 學 系 助 理 馬 雪 珠 小 姐 的 繕 打 及 校 對 本 文 作 者 任 教 於 國 立 中 正 大 學 數 學 系