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第 章 機 率 概 論 機 率 在 統 計 上 的 應 用 機 率 的 定 義 機 率 的 基 本 觀 念 及 機 率 的 運 算 何 謂 隨 機 變 數? 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 為 何? 連 續 型 隨 機 變 數 和 離 散 型 隨 機 變 數 有 何 差 異? 期 望 值 和 變 異 數 的 意 義 重 要 性 及 其 應 用

第 7 章 機 率 概 論 223 計 推 論 在 下 結 論 前, 一 定 要 交 代 如 果 重 複 使 用 這 個 統 計 方 法, 則 此 統 法 得 到 正 確 結 論 的 頻 率 有 多 少? 統 計 推 論 要 有 效 的 前 提 是 資 料 必 須 由 隨 機 抽 樣 或 隨 機 試 驗 而 得 因 為 利 用 隨 機 性 而 得 的 資 料, 才 能 根 據 機 率 理 論 回 答 : 如 果 重 複 這 個 方 法 很 多 次, 會 發 生 什 麼 情 況? 以 下 幾 節 中, 我 們 將 介 紹 一 些 機 率 的 基 本 概 念, 而 這 些 概 念 將 有 助 於 未 來 統 計 推 論 過 程 中, 機 率 的 計 算 與 了 解 7. 機 率 在 統 計 上 的 角 色 我 們 以 一 個 簡 單 的 例 子, 說 明 機 率 在 統 計 上 所 扮 演 的 角 色 假 設 你 的 手 上 有 一 枚 硬 幣, 丟 這 個 硬 幣 一 次, 結 果 不 是 正 面 就 是 反 面, 如 果 你 重 複 丟 了 上 百 萬 次, 而 且 假 設 硬 幣 是 公 正 的, 則 你 可 以 期 望 上 百 萬 次 的 投 擲 結 果 中, 大 約 的 次 數 出 現 正 面 2, 的 次 數 出 現 反 面 2 這 就 是 機 率 學 家 假 設 母 體 已 知, 就 可 以 推 論 得 到 某 個 樣 本 結 果 的 機 率, 譬 如 說, 假 設 手 上 的 硬 幣 是 公 正 的 ( 這 就 是 母 體 的 假 設 ), 連 丟 這 個 硬 幣 兩 次, 便 可 以 計 算 連 續 得 到 兩 次 正 面 ( 這 就 是 樣 本 ) 的 機 率 為 4 ( 2 2 ) 與 機 率 學 家 相 反 地, 統 計 學 家 則 是 要 由 已 知 的 樣 本, 推 論 未 知 的 母 體 那 機 率 到 底 如 何 應 用 在 統 計 推 論 上 呢? 想 想 下 面 的 例 子 假 設 你 手 上 有 一 個 硬 幣, 但 你 並 不 知 道 這 個 硬 幣 是 否 是 公 正 的 ( 這 就 是 母 體 未 知 ), 若 你 想 知 道 硬 幣 是 不 是 公 正 的, 很 自 然 地, 你 必 須 重 複 丟 這 個 硬 幣 數 次, 假 設 你 重 複 丟 了 0 次, 結 果 0 次 都 是 正 面 ( 這 就 是 一 個 樣 本 ) 統 計 推 論 就 是 利 用 樣 本 所 得 的 資 訊, 對 母 體 做 推 論, 以 這 個 例 子 來 說, 我 們 想 要 推 論 這 個 硬 幣 是 否 為 公 正 的 重 複 丟 了 硬 幣 0 次, 結 果 得 了 0 次 都 是 正 面, 很 自 然 地, 你 應 該 不 會 接 受 : 這 個 硬 幣 是 公 正 的 假 設 吧! 道 理 是, 如 果 我 們 假 設 硬 幣 是 公 正 的, 則 連 得 0 次 正 面, 是 最 不 可 能 出 現 的 結 果 換 句 話 說, 實 際 情 況 只 有 兩 種, 一 種 是 硬 幣 的 確 是 公 正 的, 很 不 幸 的, 卻 出 現 了 最 不 可 能 的 結 果, 另 一 種 是 硬 幣 是 公 正 的 假 設 是 錯 的 以 機 率 理 論 來 看, 因 為 在 公 正 的 假 設 下, 得 到 此 種 樣 本 的 機 率 太 低 了, 所 以, 我 們 的 結 論 是 傾 向 於 後 者 :

224 硬 幣 是 公 正 的 假 設 是 錯 的 7.2 機 率 是 什 麼? 在 日 常 生 活 中, 我 們 常 使 用 機 率 這 個 字 眼 例 如, 我 們 常 說 買 一 張 公 益 彩 券 中 獎 的 機 率 多 大, 另 一 方 面, 我 們 也 會 說, 這 輩 子 我 可 以 買 一 間 上 億 元 的 豪 宅 的 機 率 多 大, 這 兩 個 例 子 的 機 率, 含 義 一 樣 嗎? 前 面 的 例 子, 可 以 較 客 觀 的 方 式 決 定 機 率 大 小, 而 後 者 的 機 率 大 小, 則 是 個 人 根 據 未 來 生 涯 發 展 的 評 價 決 定 的 因 此, 機 率 的 解 釋 可 分 為 以 下 兩 種 7.2. 機 率 是 相 對 頻 率 丟 硬 幣 丟 骰 子 買 彩 券 生 小 孩 等 等, 這 些 事 的 共 同 特 性 是 在 發 生 前 都 不 知 道 結 果 會 如 何, 但 如 果 重 複 做 這 些 事 情 很 多 次, 就 會 出 現 規 則 的 形 態 例 如 丟 一 硬 幣, 只 丟 一 次 兩 次 0 次 很 難 事 先 預 料 結 果 會 如 何, 如 表 7. 是 利 用 電 腦 模 擬 丟 擲 硬 幣 的 情 形, 丟 擲 的 次 數 在 0 次 以 下, 正 面 出 現 的 比 例 差 別 頗 大, 但 當 次 數 增 加 時, 正 面 出 現 的 比 例 亦 隨 著 趨 近 於 0.5 因 此 我 們 可 以 說 丟 擲 這 個 硬 幣, 得 到 正 面 的 機 率 為 0.5 表 7. 丟 擲 硬 幣 實 驗 丟 擲 次 數 2 5 0 00 500,000 2,000 5,000 0,000 正 面 出 現 比 例 0.4 0.4 0.57 0.49 0.477 0.52 0.493 0.505 反 面 出 現 比 例 0 0 0.6 0.7 0.56 0.432 0.496 0.58 0.496 0.498 統 計 上, 我 們 稱 得 到 觀 察 值 ( 或 測 量 值 ) 的 過 程 為 實 驗, 例 如 上 例 丟 硬 幣, 觀 察 其 結 果 是 正 面 或 反 面 的 過 程 就 稱 為 實 驗, 因 其 結 果 無 法 事 先 預 料, 通 常 稱 為 隨 機 實 驗 實 驗 的 一 個 或 多 個 可 能 結 果 所 成 的 集 合 稱 為 事 件, 通 常 以 大 寫 英 文 字 母 表 示 隨 機 實 驗 的 例 子

第 7 章 機 率 概 論 225 丟 一 個 六 面 骰 子 兩 次 的 實 驗, 令 A 表 示 兩 次 點 數 和 為 4 的 事 件, 則 事 件 A 可 表 為 A = {(, 3), (2, 2), (3, )} 如 令 B 表 示 兩 次 點 數 相 同 的 事 件, 則 B 可 表 為 B = {(, ), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)} 我 們 想 知 道 一 事 件 發 生 的 機 率, 例 如 上 述 事 件 A, 我 們 以 P(A) 表 示 事 件 A 發 生 的 機 率 由 上 面 的 討 論, 一 事 件 發 生 的 機 率 可 定 義 如 下 : 重 複 相 同 的 實 驗 非 常 多 次 後, 定 義 一 事 件 出 現 的 比 例 為 此 事 件 發 生 的 機 率 一 決 定 機 率 的 方 法 對 自 然 的 事 物 做 假 設, 以 決 定 事 物 的 機 率 例 如 我 們 常 假 設 硬 幣 是 公 正 的, 也 就 是 丟 擲 此 硬 幣 時, 正 反 面 出 現 的 可 能 性 相 等, 因 此, 我 們 推 論 丟 此 硬 幣 一 次, 得 到 正 面 的 機 率 為 2 又 例 如 某 一 種 彩 券 可 以 由 0 到 9 中, 自 由 選 擇 3 個 數 字, 所 以 頭 獎 就 有,000 種 可 能 (000, 00, 002, Ò, 999), 如 果 抽 獎 的 方 式 是 公 平 的, 也 就 是 每 一 種 組 合 出 現 的 可 能 性 都 相 等, 那 麼 每 次 你 買 一 張 彩 券 中 獎 的 機 率 便 是,000 所 以, 長 期 而 言, 大 概 每,000 次 會 有 一 次 中 獎, 當 然 不 是 指 恰 好 每,000 次 有 一 次 中 獎 由 很 多 次 重 複 中, 觀 察 其 相 對 頻 率 我 們 可 以 觀 察 一 地 區 一 年 內 出 生 男 嬰 的 相 對 頻 率, 利 用 此 方 法, 我 們 可 以 得 到 蠻 準 確 的 數 字, 代 表 一 出 生 嬰 兒 是 男 嬰 的 機 率 例 如 根 據 內 政 部 統 計, 2006 年 臺 灣 的 新 生 兒 有 204,459 人, 其 中 男 嬰 有 06,936 人, 因 此, 2006 年, 一 新 生 兒 是 男 嬰 的 機 率 為 06,936 204,459 = 0.523

226 二 有 關 機 率 是 相 對 頻 率 的 定 義 幾 點 摘 要 這 個 定 義 只 適 用 於 實 驗 可 重 複 任 意 多 次, 且 每 次 實 驗 都 可 以 觀 察 到 結 果 2 當 實 驗 次 數 足 夠 多 時, 一 事 件 發 生 的 頻 率 會 趨 於 一 常 數 值, 那 麼 我 們 就 可 以 定 此 數 值 為 事 件 發 生 的 機 率 3 每 次 的 實 驗 都 是 獨 立 的 意 思 是 每 次 實 驗 的 結 果 不 受 任 何 一 次 實 驗 結 果 影 響 4 機 率 不 適 用 於 預 測 少 數 幾 次 實 驗 的 結 果, 例 如 丟 一 硬 幣, 得 到 正 面 的 機 率 2, 並 不 代 表 丟 兩 次 硬 幣, 其 中 會 有 一 次 出 現 正 面 機 率 是 適 用 於 當 重 複 實 驗 非 常 多 次 之 後, 預 測 事 件 發 生 的 比 例 7.2.2 主 觀 機 率 上 節 機 率 是 相 對 頻 率 的 定 義 只 適 用 於 相 同 實 驗 可 重 複 的 情 況, 然 而 有 些 事 件 一 樣 具 有 不 確 定 的 特 性, 但 不 可 能 重 複 發 生, 此 時 只 能 由 決 策 者 本 身 認 為 事 件 發 生 的 機 會 多 少 來 定 其 機 率, 稱 為 主 觀 機 率 例 如 張 三 認 為 某 一 球 隊 拿 冠 軍 的 機 率 為 30%, 經 濟 學 家 預 測 明 年 景 氣 轉 好 的 機 率 是 50%, 氣 象 播 報 員 預 測 臺 中 市 明 天 下 雨 的 機 率 為 0% 等 等, 都 屬 於 主 觀 機 率 主 觀 機 率 主 要 是 個 人 的 主 觀 意 識 判 斷, 當 然 仍 要 滿 足 機 率 的 一 般 規 則, 例 如 機 率 值 要 介 於 0 和 之 間, 而 且 要 一 致, 也 就 是 若 臺 中 市 明 天 下 雨 的 機 率 是 0%, 則 不 下 雨 的 機 率 就 是 90% 主 觀 機 率 是 人 為 判 斷, 機 率 理 論 並 不 適 用, 但 日 常 生 活 中 仍 舊 有 許 多 情 況 須 要 利 用 主 觀 機 率 來 做 決 策 7.3 機 率 的 基 本 觀 念 實 際 應 用 上, 當 我 們 知 道 一 簡 單 事 件 的 機 率 時, 常 希 望 能 藉 此 求 出 更 複 雜 事 件 的 機 率 例 如 我 們 知 道 丟 擲 一 硬 幣 一 次, 得 正 面 的 機 率 是 2, 那 麼 如 果 共 丟 了 3 次 後, 至 少 一 次 是 正 面 的 機 率 為 何? 藉 由 機 率 的 一 些 基 本 規 則, 便 可 計 算 較 複 雜 事 件 的 機 率

第 7 章 機 率 概 論 227 7.3. 機 率 的 基 本 規 則 規 則 : 任 何 事 件 發 生 的 機 率 不 可 能 小 於 0, 也 不 可 能 大 於 亦 即, 對 任 一 事 件 A, 0 P(A) 機 率 值 為 0 的 事 件, 表 示 此 事 件 不 可 能 發 生, 而 機 率 為, 則 表 示 此 事 件 必 定 發 生 規 則 2: 事 件 A 發 生 的 機 率 和 事 件 A 不 發 生 的 機 率 和 為 亦 即, P(A)+P(A c )= 其 中 A c 表 示 不 屬 於 A 中 的 結 果 所 成 的 集 合, 例 如 丟 一 六 面 骰 子, 若 A 代 表 得 到 偶 數 點 的 事 件, 亦 即 A = {2, 4, 6}, 則 A c = {, 3, 5}, 表 示 所 得 點 數 不 為 偶 數 點 的 事 件, 很 顯 然 地, 得 到 偶 數 點 和 沒 得 到 偶 數 點 的 機 率 和 為 若 是 主 觀 定 出 來 的 機 率, 仍 必 須 滿 足 基 本 的 機 率 規 則, 例 如 某 人 預 估 他 一 生 中, 有 70% 的 機 率, 可 以 買 上 億 元 的 豪 宅, 相 對 地, 他 有 30% 的 機 率, 這 一 生 中 無 法 買 上 億 元 的 豪 宅 規 則 3: 兩 事 件 若 不 可 能 同 時 發 生, 我 們 稱 兩 事 件 互 斥 兩 互 斥 事 件 中, 至 少 有 一 事 件 發 生 的 機 率 為 兩 事 件 發 生 的 機 率 和 以 符 號 說 明 如 下, 令 A B 分 別 代 表 兩 事 件, 則 至 少 有 一 事 件 發 生 的 機 率, 也 可 以 說, A 或 B 發 生 的 機 率 可 寫 成 P(A È B) 若 事 件 A 和 B 互 斥 ( 也 就 是 A Ç B = f), 則 P(A È B)=P(A)+P(B) 2 互 斥 事 件 的 例 子 志 玲 預 定 一 星 期 中 任 選 一 天 到 賣 場 採 購, 則 剛 好 選 到 週 末 的 機 率 為 何? P( 星 期 六 或 星 期 日 )= P( 星 期 六 )+P( 星 期 日 )= 7 + 7 = 2 7

228 3 非 互 斥 事 件 的 例 子 小 明 預 估 數 學 期 中 考 拿 到 班 上 最 高 分 的 機 率 是 50%, 拿 到 第 二 高 分 的 機 率 是 30%, 所 以 小 明 數 學 期 中 考 是 第 一 名 或 第 二 名 的 機 率 是 80% 又 小 明 預 估 英 文 期 中 考 最 高 分 的 機 率 是 60%, 那 小 明 期 中 考 數 學 或 英 文 拿 到 第 一 名 的 機 率 是 50%+60%=0% 嗎? 當 然 不 是, 因 為 機 率 不 可 能 超 過 00% 這 裡 的 問 題 是 小 明 的 數 學 和 英 文 可 以 同 時 是 第 一 名, 所 以 規 則 3 在 此 不 適 用, 必 須 利 用 一 般 的 加 法 規 則, 將 兩 事 件 機 率 和 減 去 兩 事 件 同 時 發 生 的 機 率 4 交 集 合 的 例 子 同 例, 連 續 丟 一 公 正 的 六 面 骰 子 兩 次, 令 A 表 示 兩 次 點 數 和 為 4 的 事 件, 事 件 B 表 示 兩 次 點 數 相 等, 我 們 以 A Ç B 表 示 A B 同 時 發 生 的 事 件 則 P(A Ç B) 為 何? 因 為 A 和 B 中 只 有 (2, 2) 是 共 同 的 元 素, A Ç B = {(2, 2)}, 所 以 P(A Ç B)= 36 計 算 兩 事 件 同 時 發 生 的 機 率, 如 果 兩 事 件 不 會 互 相 影 響, 亦 即 知 道 其 中 一 個 事 件 發 生 的 機 率 並 不 會 改 變 另 一 個 事 件 發 生 的 機 率, 此 時 我 們 稱 兩 事 件 互 相 獨 立 且 兩 事 件 同 時 發 生 的 機 率 等 於 兩 事 件 個 別 機 率 的 乘 積 規 則 4: 假 設 事 件 A 和 B 互 相 獨 立, 則 P(AÇB)=P(A) P(B) 5 獨 立 事 件 的 例 子 同 例 4, 令 C D 分 別 代 表 第 一 二 次 點 數 為 2 的 事 件, 則 P(C Ç D) 為 何?

第 7 章 機 率 概 論 229 很 顯 然 地, 第 一 次 和 第 二 次 的 投 擲 結 果 並 不 會 互 相 影 響, 因 此 事 件 C 和 D 是 獨 立 的, 所 以 P(C Ç D)=P(C) P(D)= 6 6 = 36 若 以 實 際 C D 中 的 元 素 來 看, C = {(2, ), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)}, D = {(, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)}, C Ç D = {(2, 2)}, 所 以 P(C Ç D)= 36, 和 上 面 的 結 果 是 相 吻 合 的 但 例 4 中, P(A Ç B)= 36, P(A)= 3 36, P(B)= 6 36, 則 P(A Ç B) ¹ P(A) P(B), 因 此 事 件 A B 不 獨 立 以 下 例 6 介 紹 關 於 乘 法 規 則 應 用 的 相 關 例 題 6 乘 法 規 則 推 廣 的 例 子 根 據 內 政 部 人 口 統 計, 2006 年 新 生 兒 是 男 嬰 的 機 率 為 0.523, 今 隨 機 抽 取 5 個 2006 年 出 生 的 嬰 兒, 則 5 個 都 是 男 嬰 的 機 率 為 何? 2 至 少 一 個 是 女 嬰 的 機 率 為 何? 令 A 代 表 第 一 個 是 男 嬰 的 事 件, A 2 代 表 第 二 個 是 男 嬰 的 事 件,, 則 P(5 個 都 是 男 嬰 ) = P(A Ç A 2 ÇÒÇA 5 ) = P(A ) P(A 2 ) Ò P(A 5 ) = 0.523 5 =0.039 2 P( 至 少 一 個 是 女 嬰 ) = P(5 個 都 是 男 嬰 ) = 0.039=0.96

230 一 般 加 法 規 則 : 當 兩 事 件 不 互 斥 時, 無 法 利 用 規 則 3 求 兩 事 件 中, 至 少 有 一 事 件 發 生 的 機 率, 而 須 利 用 一 般 的 加 法 規 則 令 A B 為 任 意 兩 事 件, 則 P(A È B)=P(A)+P(B) P(A Ç B) 上 面 等 式 由 下 面 文 式 圖 ( 圖 7.), 便 很 容 易 了 解 外 框 表 示 所 有 可 能 的 結 果 所 成 的 集 合, 稱 為 樣 本 空 間, 以 S 表 之, 而 兩 橢 圓 重 疊 部 分 即 是 A Ç B S A A B B 圖 7. 7 加 法 規 則 的 例 子 根 據 一 項 關 於 成 人 飲 食 習 慣 的 調 查, 有 40% 的 人 喝 茶, 45% 的 人 喝 咖 啡, 5% 的 人 咖 啡 和 茶 都 喝, 今 隨 機 抽 問 一 個 成 人, 則 此 人 喝 茶 或 咖 啡 的 機 率 為 何? 2 此 人 不 喝 茶 也 不 喝 咖 啡 的 機 率 為 何? 令 T 代 表 此 人 喝 茶 的 事 件, C 代 表 此 人 喝 咖 啡 的 事 件, 則 P(T ) = 0.4, P(C)=0.45, P(T Ç C) = 0.5, 所 以 P(T È C)=P(T )+P(C) P(T Ç C) = 0.7 2 P( 此 人 不 喝 茶 也 不 喝 咖 啡 )= P(T È C) = 0.3

第 7 章 機 率 概 論 23 7.3.2 條 件 機 率 前 面 我 們 談 到 若 事 件 A B 互 相 獨 立, 則 A B 兩 事 件 同 時 發 生 的 機 率 為 個 別 機 率 的 乘 積 另 一 方 面, 若 兩 事 件 不 獨 立, 也 就 是 其 中 一 事 件 發 生 與 否, 會 影 響 另 一 事 件 發 生 的 機 率, 如 何 求 兩 事 件 同 時 發 生 的 機 率 呢? 此 時 必 須 利 用 條 件 機 率 所 謂 條 件 機 率 是 指 給 定 某 種 條 件 下, 一 事 件 發 生 的 機 率, 例 如 已 知 事 件 A 發 生 的 條 件 下, 事 件 B 發 生 的 機 率, 寫 成 P(B A) 我 們 以 下 面 例 子 做 說 明 8 條 件 機 率 的 例 子 大 友 公 司 對 員 工 做 健 康 方 面 的 調 查, 公 司 共 有 900 名 員 工, 其 中 男 性 員 工 有 600 名, 女 性 員 工 有 300 名, 而 男 員 工 中 抽 菸 者 有 270 人, 女 員 工 中 抽 菸 者 有 30 人 年 終 尾 牙 公 司 摸 彩, 第 一 特 獎 有 一 位, 若 已 知 抽 到 第 一 特 獎 的 是 男 性, 則 此 人 會 抽 菸 的 機 率 為 何? 將 上 述 資 料 列 表 如 下 : 表 7.2 抽 菸 與 性 別 之 調 查 性 抽 菸 與 否 別 抽 菸 不 抽 菸 合 計 男 性 270 330 600 女 性 30 270 300 合 計 300 600 900 令 M 表 示 男 員 工 的 事 件, S 表 示 員 工 抽 菸 的 事 件 此 題 要 求 的 機 率 便 是 條 件 機 率, 以 符 號 表 示 為 P(S M), 因 為 已 知 抽 到 第 一 特 獎 的 是 男 性, 所 以 只 須 考 慮 男 性 員 工 中 抽 菸 的 比 例, 所 以 P(S M)= 270 600 = 9 20

232 上 例 中, P(S)=300 900 = 3, P(S) ¹ P(S M), 換 句 話 說, 事 件 M 發 生 與 否 會 影 響 事 件 S 發 生 的 機 率, 此 時 我 們 稱 事 件 M 和 S 不 互 相 獨 立 或 稱 兩 事 件 為 相 依 事 件 以 上 述 乘 法 規 則 來 看, P(M)= 600, P(S Ç M)= 270 900 900, 所 以 P(S Ç M) ¹ P(S)P(M), 亦 顯 示 M 和 S 這 兩 事 件 不 獨 立, 也 就 是 抽 菸 和 性 別 是 相 依 的 上 列 式 子 可 以 改 寫 為 P(S M)= 270/900 P(S Ç M) = 600/900 P(M) 意 思 是 已 知 事 件 M 發 生 了, 事 件 S 也 發 生 的 機 率, 也 就 是 事 件 S 在 事 件 M 中 所 占 的 比 例 任 意 兩 事 件 A B, 已 知 事 件 A 發 生 的 條 件 下, 事 件 B 發 生 的 機 率 為 P(B A)= P(A Ç B) P(A), 已 知 P(A) > 0 或 已 知 事 件 B 發 生 的 條 件 下, 事 件 A 發 生 的 機 率 為 P(A B)= P(A Ç B) P(B), 已 知 P(B) > 0 由 上 列 定 義 可 得 一 般 的 乘 法 規 則, P(A Ç B)=P(A) P(B A)=P(B) P(A B) 9 條 件 機 率 的 例 子 假 設 共 有 50 位 同 學 修 統 計 學, 為 了 解 同 學 學 習 狀 況, 老 師 在 一 空 箱 中 放 了 50 張 紙 條, 其 中 45 張 是 空 白 的, 5 張 則 做 了 記 號 請 同 學 一 一 抽 籤, 老 師 要 和 抽 到 記 號 紙 條 者 個 別 談 話, 試 問 : 第 一 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 為 多 少? 2 若 已 知 第 一 位 同 學 抽 中 記 號 紙, 則 第 二 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 為 多 少? 3 若 已 知 第 一 位 同 學 沒 抽 中 記 號 紙, 則 第 二 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 為 多 少?

第 7 章 機 率 概 論 233 4 若 不 知 第 一 位 是 否 抽 中 記 號 紙, 第 二 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 為 多 少? 5 試 推 算 第 三 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 為 多 少? 6 你 覺 得 抽 籤 的 方 式 公 平 嗎? 也 就 是, 不 管 是 先 抽 或 後 抽, 抽 中 記 號 紙 的 機 率 是 否 一 樣? 以 A 代 表 第 一 位 同 學 抽 中 的 事 件, A 2 代 表 第 二 位 同 學 抽 中 的 事 件, 則 顯 然 地, 第 一 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 為 P(A )= 5 50 2 若 已 知 第 一 位 同 學 抽 中, 在 此 情 況 下, 第 二 位 同 學 抽 中 的 機 率 為 條 件 機 率 P(A 2 A ), 因 為 箱 中 剩 下 4 張 有 記 號 紙 45 張 空 白 紙, 所 以 此 時 條 件 機 率 P(A 2 A )= 4 49 3 若 已 知 第 一 位 同 學 未 抽 中, 在 此 情 況 下, 第 二 位 同 學 沒 抽 中 的 機 率 為 條 件 機 率 P(A 2 A c ), 此 時 箱 中 還 有 5 張 有 記 號 的, 44 張 空 白 的, 所 以 P(A 2 A c )= 5 49 4 若 不 知 第 一 位 是 否 抽 中 記 號 紙, 第 二 位 同 學 抽 中 記 號 紙 的 機 率 須 分 成 2, 3 兩 種 情 形 來 討 論, 更 明 白 地 說, 第 二 位 抽 中 的 事 件 可 分 成 第 一 位 抽 中 且 第 二 位 亦 抽 中 或 第 一 位 沒 抽 中 且 第 二 位 抽 中 以 事 件 的 符 號 表 示 如 下 : A 2 =(A 2 Ç A ) È (A 2 Ç A c ) P(A 2 )=P(A 2 Ç A )+P(A 2 Ç A c ) = P(A )P(A 2 A )+P(A c )P(A 2 Ac) = 5 50 4 49 + 45 50 5 49 = 5 50 5 令 A 3 代 表 第 三 位 同 學 抽 中 的 事 件, 仿 照 4 的 做 法, 第 三 位 同 學 抽 中 的 事 件 可 依 第 二 位 同 學 抽 中 或 沒 抽 中 來 討 論, 也 就 是 A 3 =(A 2 Ç A 3 ) È (A c Ç A ) 2 3 而 第 二 位 和 第 三 位 同 學 都 抽 中 的 事 件, A 2 Ç A 3, 又 可 分 成 第 一 位 同 學 抽 中 或 沒 抽 中 兩 種 情 況, 亦 即

234 A 2 Ç A 3 =(A Ç A 2 Ç A 3 ) È (A c Ç A 2 Ç A 3 ) 同 理, 第 二 位 沒 抽 中 而 第 三 位 抽 中 的 事 件, Ac 2 Ç A 3, 亦 可 依 第 一 位 抽 中 與 否 分 成 如 下 兩 種 A c Ç A =(A Ç 2 3 Ac Ç A ) È 2 3 (Ac Ç Ac Ç A ) 2 3 所 以 A 3 =(A 2 Ç A 3 ) È (A c Ç A ) 2 3 =(A Ç A 2 Ç A 3 ) È (A c Ç A 2 Ç A 3 ) È (A Ç Ac 2 Ç A 3 ) È (Ac Ç Ac 2 Ç A 3 ) 上 式 以 白 話 來 說, 也 就 是 第 三 位 抽 中 的 機 率 可 分 成 四 種 情 形 : 第 一 第 二 及 第 三 位 都 抽 中 ; 2 第 一 位 沒 抽 中 而 第 二 及 第 三 位 都 抽 中 ; 3 第 二 位 沒 抽 中, 而 第 一 及 第 三 位 都 抽 中 ; 4 第 一 及 第 二 位 沒 抽 中, 但 第 三 位 抽 中 應 用 機 率 乘 法 規 則 即 可 得 P(A 3 )=P(A Ç A 2 Ç A 3 )+P(A c Ç A Ç A ) 2 3 +P(A Ç A c 2 Ç A 3 )+P(Ac Ç Ac 2 Ç A 3 ) = P(A ) P(A 2 Ç A 3 A )+P(A c ) P(A 2 Ç A 3 Ac ) +P(A ) P(A c 2 Ç A 3 A )+P(Ac ) P(Ac 2 Ç A 3 Ac ) = P(A ) P(A 2 A ) P(A 3 A Ç A 2 ) +P(A c ) P(A 2 Ac ) P(A 3 Ac Ç A 2 ) +P(A ) P(A c 2 A ) P(A 3 A Ç Ac 2 ) +P(A c ) P(Ac 2 Ac ) P(A 3 Ac Ç Ac 2 ) = 5 50 4 49 3 48 + 45 50 5 49 4 48 + 5 50 45 49 4 48 + 45 50 44 49 5 48 = 5 50 6 由 4 5 可 知 抽 中 的 機 率 和 抽 的 順 序 無 關, 每 個 人 抽 中 的 機 率 都 是 5 50 以 下 另 再 補 充 條 件 機 率 的 一 些 觀 念 : P(A B) 和 P(A Ç B) 的 區 別, 主 要 是 事 件 發 生 的 先 後 順 序 不 同, P(A B) 是 指 事 件 B 已 發 生, 事 件 A 再 發 生 的 機 率, 而 P(A Ç B) 是 兩 事 件 同 時 發 生 的 機 率

第 7 章 機 率 概 論 235 2 由 一 般 的 乘 法 規 則, P(A Ç B)=P(A) P(B A)=P(B) P(A B), 而 當 A B 獨 立 時, P(A Ç B)=P(A) P(B), 所 以 此 時 P(A B)=P(A) ( 當 P(B) ¹ 0), 已 知 B 事 件 發 生 並 不 影 響 事 件 A 發 生 的 機 率, 同 理 P(B A)=P(B)( 當 P(A) ¹ 0), 已 知 事 件 A 發 生 並 不 影 響 事 件 B 發 生 的 機 率 0 判 斷 獨 立 或 相 依 的 例 子 全 虹 公 司 最 近 提 出 一 項 新 的 福 利 措 施, 想 了 解 員 工 的 意 見, 做 了 一 項 調 查, 資 料 如 下 : 表 7.3 福 利 措 施 意 見 調 查 表 贊 成 不 贊 成 合 計 男 性 450 50 600 女 性 300 00 400 合 計 750 250,000 今 隨 機 抽 問 一 員 工, 令 M 表 示 此 員 工 為 男 性 的 事 件, A 表 示 此 人 贊 成 的 事 件, 則 M 和 A 獨 立 或 相 依 呢? P(M)= 600,000 = 3, P(A)= 750 5,000 = 3 4, P(M A)=450 750 = 3, P(M Ç A)= 450 5,000 = 9 20, 所 以 P(M)=P(M A) 且 P(M Ç A)=P(M) P(A), 都 表 示 事 件 M 和 A 互 相 獨 立 利 用 樹 枝 圖 計 算 條 件 機 率 根 據 以 往 的 經 驗, 某 公 司 發 現 參 加 行 銷 訓 練 課 程 的 人 員 中, 有 85% 的 人 會 完 成 全 部 的 課 程, 完 成 課 程 的 人 中, 有 60% 變 為 成 功 的 業 務 員, 相 對 地, 沒 有 完 成 全 部 課 程 的 人 中, 只 有 0% 的 人, 變 為 成 功 的 業 務 員 試 問 :

236 如 果 有 一 人 剛 加 入 訓 練 課 程, 則 此 人 變 成 一 個 成 功 的 業 務 員 的 機 率 為 何? 2 若 有 一 人 被 認 為 是 成 功 的 業 務 員, 則 此 人 曾 經 完 成 訓 練 課 程 的 機 率 為 何? 令 A 代 表 某 人 完 成 訓 練 課 程 的 事 件, B 代 表 某 人 是 成 功 業 務 員 的 事 件 利 用 上 述 資 訊 可 用 樹 枝 圖 將 之 表 達 如 下 ( 圖 7.2): B(0.60) A B P(A B) = 0.500 A(0.85) A c (0.5) B c (0.4) B(0.0) A B c P(A B c ) = 0.3400 A c B P(A c B) = 0.050 B c (0.90) 圖 7.2 A c B c P(A c B c ) = 0.350 此 人 成 為 一 個 成 功 的 業 務 員 的 機 率 為 P(B)=P(A Ç B)+P(A c Ç B) = 0.500 + 0.050 = 0.5250 2 被 認 為 是 成 功 的 業 務 員, 則 此 人 曾 完 程 課 程 訓 練 的 機 率 為 P(A B)= P(A Ç B) P(B) = 0.500 0.5250 = 0.974 7.4 隨 機 變 數 很 多 隨 機 實 驗 的 結 果 並 不 是 數 字 例 如 丟 一 個 硬 幣 4 次, 其 結 果 是 正 反 兩 字 形 成 的 字 串, 譬 如 說 正 反 反 正 在 統 計 上, 我 們 習 慣 將 實 驗 的 結 果 數 值 化, 以 便 於 表 達 例 如 上 述 丟 硬 幣 的 實 驗 中, 令 X 表 示 4 次 投 擲 中, 正 面 的 個 數, 若 實 驗 結 果 為 正 反 反 正, 則 X =2, 很 顯 然 地, X 的 可 能 值

第 7 章 機 率 概 論 237 有 0,, 2, 3, 和 4 我 們 稱 X 為 隨 機 變 數 隨 機 變 數 是 一 種 函 數, 將 隨 機 實 驗 的 每 一 個 結 果 都 指 定 一 數 值 與 之 對 應 隨 機 變 數 通 常 以 大 寫 英 文 字 母 表 示, 例 如 X Y Z 等 等 一 隨 機 變 數 的 所 有 可 能 值 所 成 的 集 合, 稱 為 樣 本 空 間, 通 常 以 S 表 之 如 上 述 丟 硬 幣 的 例 子, X 的 樣 本 空 間 為 S = {0,, 2, 3, 4} 一 般 隨 機 變 數 分 離 散 型 和 連 續 型 兩 種 所 謂 離 散 型 隨 機 變 數 是 指 變 數 的 值 是 可 數 的, 可 以 一 一 列 出, 如 上 例 X 的 可 能 值 S = {0,, 2, 3, 4}, 若 把 這 些 X 的 可 能 值 畫 在 數 線 上, 這 些 值 會 被 其 他 不 屬 於 S 的 值 ( 如 0.3,.2, Ò, 等 ) 所 隔 開, 所 以 稱 X 為 離 散 型 隨 機 變 數 而 連 續 型 的 變 數 其 樣 本 空 間 則 是 一 連 續 的 區 間 例 如 某 人 每 天 準 時 於 早 上 七 點 到 家 裡 附 近 的 公 車 站 牌 等 公 車 上 班, 但 由 於 路 上 交 通 常 有 不 確 定 因 素, 每 天 等 車 的 時 間 不 確 定, 可 以 確 定 的 是 等 候 的 時 間 不 會 超 過 30 分 鐘, 因 此 若 以 X 代 表 某 日 早 上 此 人 須 候 車 的 時 間, 則 X 便 是 一 個 隨 機 變 數, 而 且 X 的 可 能 值 為 0 到 30 之 間 的 任 一 個 數, 以 圖 形 表 示, X 的 樣 本 空 間 就 是 0 到 30 的 線 段, 很 顯 然 這 個 線 段 是 連 續 的, 所 以 X 是 一 個 連 續 型 的 隨 機 變 數 7.4. 機 率 分 配 由 於 隨 機 變 數 較 易 於 表 達, 後 面 的 章 節, 我 們 將 主 要 以 隨 機 變 數 做 說 明, 首 先 我 們 要 先 定 義 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 隨 機 變 數 X 的 機 率 分 配 是 一 列 表 或 一 個 公 式, 說 明 X 有 哪 些 可 能 值, 而 且 如 何 指 定 機 率 給 每 一 個 值 由 於 離 散 型 和 連 續 型 隨 機 變 數 的 樣 本 空 間, 在 本 質 上 不 同, 所 以 我 們 分 開 討 論 兩 種 變 數 的 機 率 分 配

238 一 離 散 型 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 一 個 離 散 型 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 是 一 個 表 或 函 數, 以 表 示 出 隨 機 變 數 的 所 有 可 能 值 及 其 機 率 通 常 以 P(x) 表 示 隨 機 變 數 X 的 數 值 等 於 x 時 的 機 率, 須 注 意 的 是, 一 隨 機 變 數 的 機 率 分 配 須 滿 足 兩 個 條 件 : 0 P(x) 2 å P(x)= 所 有 x 的 可 能 值 例 如 上 述 丟 一 公 正 硬 幣 兩 次, X 代 表 兩 次 中 所 得 正 面 的 次 數, 則 X 的 機 率 分 配 可 列 表 為 表 7.4 X 的 機 率 分 配 表 X 0 2 P(x) 4 2 4 也 可 以 機 率 分 配 圖 表 示 X 的 機 率 分 配, 每 一 長 條 的 高 度 代 表 機 率 值 ( 圖 7.3) 0.50 0.40 0.30 0.20 0.0 圖 7.3 0 2 3 X X 的 機 率 分 配 圖

7 239 X X X 2, 3, 4, 5, 6, Ò,, 2 P(x)= ü ï ý ï þ 6 x 7 36 0 x = 2, 3, Ò, 2 0 f (x) 7.4 f (x) a b X f (x) P (a < x < b) a b 7.4 x P(x = a)=0 f (x) a < x < b a x < b

240 的 機 率 為 0 7.4.2 隨 機 變 數 的 期 望 值 機 率 是 指 一 隨 機 現 象 長 期 所 出 現 的 規 則 形 態, 所 以 可 以 用 來 預 測 一 個 隨 機 實 驗 重 複 很 多 次 之 後 的 結 果, 應 用 這 個 觀 念, 我 們 可 求 長 期 的 得 或 失 2 期 望 值 的 例 子 一 某 一 簡 單 的 樂 透 彩, 買 者 可 以 由 0,, 2, Ò, 9 中 任 選 3 個 數 字, 最 後 由 主 辦 單 位 隨 機 抽 出 一 組 數 字, 若 你 簽 中 了, 可 得 0,000 元 如 果 你 買 了 很 多 張, 譬 如 說 0,000 張, 則 平 均 而 言, 每 一 張 的 報 酬 率 是 多 少 元? 因 為 3 個 數 字 的 組 合 共 有,000 種, 所 以 每 買 一 張 中 獎 的 機 率 是 X 代 表 買 一 張 彩 券 的 報 酬, 則 X 的 機 率 分 配 為,000 令 表 7.5 X 的 機 率 分 配 表 X 0 0,000 P(x) 0.999 0.00 一 張 彩 券 的 報 酬 有 兩 種, 0 或 0,000 元, 以 一 般 平 均 數 的 算 法, 0 和 0,000 的 平 均 是 5,000, 以 此 為 買 一 張 彩 券 的 平 均 報 酬 是 沒 有 意 義 的, 因 為 得 到 0,000 元 的 可 能 性 比 得 到 0 元 的 可 能 性 小 很 多 但 長 期 而 言, 大 約 每,000 張 會 有 一 張 中 0,000 元, 其 餘 999 張 則 得 0 元, 所 以 長 期 來 說, 每 買 一 張 的 報 酬 為 0 0.999 + 0,000 0.00 = 0 0 元, 稱 為 隨 機 變 數 X 的 期 望 值 所 以, 如 果 彩 券 一 張 5 元, 那 長 期 而 言, 每 一 張 彩 券 是 賠 5 元 的! 一 離 散 型 隨 機 變 數 X 的 期 望 值 ( 或 稱 平 均 數 ) 定 義 為 m = E(X)= å x P(x) 所 有 可 能 值 x

第 7 章 機 率 概 論 24 由 期 望 值 的 定 義 可 知, 期 望 值 就 是 隨 機 變 數 的 所 有 值 的 加 權 平 均 數, 其 權 數 為 每 個 可 能 值 的 機 率 由 平 均 數 的 概 念, 不 難 了 解 期 望 值 不 是 隨 機 變 數 X 的 一 個 可 能 值, 甚 至 X 的 值 也 不 一 定 要 在 期 望 值 附 近 3 期 望 值 的 例 子 二 小 明 和 爸 爸 玩 丟 骰 子 的 遊 戲, 以 骰 子 的 點 數 決 定 零 用 錢 多 寡 令 X 為 丟 公 正 的 骰 子 一 次 的 點 數, Y =5X +50 為 小 明 可 得 的 零 用 錢 求 X 的 期 望 值 2 Y 的 機 率 分 配 及 期 望 值 3 若 再 加 丟 公 正 的 硬 幣 一 次, 得 正 面 則 爸 爸 再 多 給 小 明 0 元, 若 得 反 面 則 維 持 原 來 的 錢 數, 則 小 明 總 共 可 期 望 拿 到 多 少 零 用 錢? 因 為 每 一 個 點 數 的 機 率 都 是 /6, 所 以 E(X)= 6 (+2+Ò +6)=3.5 2 Y 的 機 率 分 配 可 表 示 如 下 : 表 7.6 Y 的 機 率 分 配 表 X 2 3 4 5 6 Y=5X+50 55 60 65 70 75 80 P(y) 6 6 6 6 6 6 E(Y )= 6 55 + 6 60 + 6 65 + 6 70 + 6 75 + 6 80 = å(5x +50) P(x) = 67.5 3 令 Z 代 表 丟 硬 幣 所 得 的 零 用 錢, 則 Z 的 機 率 分 配 為 表 7.7 Z 的 機 率 分 配 表 Z 0 0 P(z) 0.5 0.5

242 E(Z)=0 0.5 + 0 0.5 = 5 所 以 小 明 總 共 可 期 望 得 的 零 用 錢 為 E(Y + Z)=E(Y )+E(Z) = 67.5 + 5 = 72.5 期 望 值 的 性 質 : 設 G 為 X 的 任 一 函 數, 則 定 義 G(X) 的 期 望 值 為 E(G(X)) = å G(x) p(x) 所 有 可 能 值 x 2 a, b 為 任 意 常 數, 則 E(aX + b)=ae(x)+b 3 X 和 Y 為 任 意 二 隨 機 變 數, 則 E(X + Y )=E(X)+E(Y ) 4 期 望 值 的 例 子 三 大 家 樂 超 市 為 刺 激 買 氣, 發 行 了 8,000 張 彩 券, 每 張 5 元, 唯 一 的 獎 品 是 一 部 價 值 2,000 元 的 相 機, 若 你 買 了 兩 張, 則 你 的 期 望 所 得 是 多 少? 一 : 同 時 考 慮 兩 張 彩 券 的 所 得 令 X 表 示 兩 張 彩 券 的 最 後 所 得, X 只 有 兩 種 可 能 值, 一 種 可 能 是 你 輸 了 0 元, 另 一 種 可 能 是 贏 了,990 元, X 的 機 率 分 配 如 下 : 表 7.8 X 的 機 率 分 配 表 X 0,990 7,998 2 P(x) 8,000 8,000 所 以 E(X) = ( 0)( 7,998 8,000 ) + (,990)( 2 8,000 )= 7 意 思 是 如 果 重 複 買 了 很 多 次, 平 均 每 兩 張 彩 券 賠 了 7 元 二 : 先 考 慮 一 張 彩 券 的 所 得

第 7 章 機 率 概 論 243 令 X 表 示 一 張 彩 券 的 所 得, 則 X 的 值 只 有 兩 種 可 能, 一 種 可 能 是 輸 了 5 元, 另 一 種 可 能 是 贏 了,995 元, X 的 機 率 分 配 如 下 : 表 7.9 X 的 機 率 分 配 表 X 5,995 7,999 P(x) 8,000 8,000 所 以 E(X)=( 5)( 7,999 8,000 ) + (,995)( 8,000 )= 3.5 因 為 兩 張 彩 券 的 總 所 得 為 2X, 買 兩 張 的 期 望 所 得 為 E(2X)=2E(X)=2 ( 3.5) = 7 5 期 望 值 的 例 子 四 保 險 公 司 發 行 一 項 新 的 保 險 產 品, 保 險 時 期 一 年, 賠 償 金 00,000 元, 保 險 發 生 理 賠 的 機 率 是 0.02 一 年 的 保 費 應 定 為 多 少 錢 才 能 使 保 費 和 保 險 賠 償 金 達 到 平 衡?( 註 : 一 般 保 費 的 計 算 還 要 加 上 保 險 公 司 的 行 政 費 和 利 潤, 本 題 為 簡 化 計 算, 捨 棄 行 政 費 和 利 潤 不 計 ) 令 C 為 年 繳 保 費, 若 一 年 內 沒 有 申 請 理 賠, 則 保 險 公 司 賺 C 元, 若 申 請 理 賠, 則 保 險 公 司 損 失 (00,000 C) 元, 令 X 為 保 險 公 司 一 年 內 的 所 得, X 的 機 率 分 配 為 表 7.0 X 的 機 率 分 配 表 X C (00,000 C) P(x) 0.98 0.02 E(X)=C(0.98) + [ (00,000 C)](0.02) = 0 C = 2,000

244 如 果 不 考 慮 保 險 公 司 的 行 政 費 用 和 利 潤, 保 險 公 司 每 年 須 向 保 險 人 收 取 2,000 元 保 費, 才 能 使 保 費 和 保 險 賠 償 金 達 到 平 衡 7.4.3 隨 機 變 數 的 變 異 數 假 設 A B 兩 種 股 票 目 前 的 股 價 相 同, 但 根 據 預 測, 兩 種 股 票 未 來 一 個 月 內 的 報 酬 如 下 : 表 7. A B 股 票 報 酬 股 票 項 目 A B 每 股 報 酬 5 0 5 0 0 20 機 率 3 3 3 3 3 3 未 來 一 個 月 內, 兩 種 股 票 每 股 的 平 均 報 酬 都 是 0 元, 股 價 也 一 樣, 你 要 買 哪 一 種 呢? 很 顯 然 地, B 股 票 每 股 報 酬 的 變 異 性 比 A 股 票 大, 在 機 率 理 論 上, 我 們 以 變 異 數 來 衡 量 一 個 隨 機 變 數 的 變 異 程 度 隨 機 變 數 X 的 變 異 數 定 義 為 s 2 = Var(X)=E(X m) 2, 其 中 m = E(X) 因 為 m 代 表 X 所 有 可 能 值 的 中 心 位 置, 所 以 變 數 的 值 和 m 的 差 距 即 代 表 X 的 所 有 可 能 值 的 離 散 程 度, 取 平 方 是 為 了 避 免 正 負 相 互 抵 消 另 一 種 表 達 方 式 是 取 變 異 數 的 平 方 根, s = Var(X), 稱 為 X 的 標 準 差, 和 變 異 數 等 價, 都 可 以 用 來 表 示 一 個 隨 機 變 數 的 離 散 程 度 而 計 算 變 異 數 的 方 式 有 兩 種 : 根 據 變 異 數 的 定 義, Var(X)= å (x m) 2 P(x) 所 有 可 能 值 x 2 由 進 一 步 推 導 可 得 Var(X)=E(X 2 ) m 2 因 為 Var(X)= å (x m) 2 P(x) 所 有 可 能 值 x

第 7 章 機 率 概 論 245 通 常 2 較 容 易 計 算 = x å(x 2 2xm + m 2 ) P(x) = x å x 2 P(x) 2m x å x P(x)+m 2 x å P(x)( 因 為 P(x)=) = E(X 2 ) m 2 å xp(x)=m, å x x 6 變 異 數 的 例 子 一 如 例 3, X 為 投 一 公 正 骰 子 的 點 數, 試 求 X 的 期 望 值 和 變 異 數 和 E(X)= 6 +2 6 + ÒÒ +5 6 +6 6 = 3.5 E(X 2 )= 2 6 +22 6 +32 6 +42 6 +52 6 +62 6 = 9 6 由 Var(X)=E(X 2 ) m 2 可 知, Var(X)=E(X 2 ) m 2 = 9 6 (3.5)2 = 35 2 = 2.967 變 異 數 運 算 性 質 : a, b 是 任 意 常 數, Var(aX + b)=a2 Var(X) 2 X 和 Y 是 兩 個 獨 立 的 隨 機 變 數, 則 Var(X + Y )=Var(X)+Var(Y ) Var(X Y )=Var(X)+Var(Y ) 7 變 異 數 的 例 子 二 如 例 3 求 Var(Y ) 及 Var(Y + Z)

246 直 接 由 Y 的 分 配 求 Var(Y )=E(Y 2 ) m 2 Y = 6 (552 +60 2 +65 2 +70 2 +75 2 +80 2 ) (67.5 2 ) = 72.967 Var(5X +50)=25Var(X)=25 2.967 = 72.975 (, 的 答 案 有 些 微 的 差 距 是 因 四 捨 五 入 造 成 的 ) 因 為 丟 骰 子 和 丟 硬 幣 是 兩 個 獨 立 的 實 驗, 所 以 Y 和 Z 互 相 獨 立 2 Var(Z)=E(Z 2 ) m 2 Z =00 2 +0 2 52 =25 Var(Y + Z)=Var(Y )+Var(Z) = 72.967 + 25 = 97.967 8 變 異 數 的 例 子 三 假 設 A B 兩 種 股 票 一 個 月 後 的 報 酬 如 下 : 表 7.2 A B 股 票 的 報 酬 股 票 項 目 A B 每 股 報 酬 5 0 5 0 0 20 機 率 3 3 3 3 3 3 每 張 股 票 共 有,000 股, 若 莉 莉 兩 種 股 票 各 買 一 張, 分 別 以 X Y 表 示 A B 兩 種 股 票 未 來 一 個 月 每 股 的 報 酬 試 求 一 個 月 後, 莉 莉 平 均 報 酬 有 多 少? 2 若 這 兩 種 股 票 的 漲 跌 不 相 關, 則 其 報 酬 的 標 準 差 為 多 少? 3 若 兩 種 股 票 的 股 價 相 同, 你 會 選 擇 買 哪 一 種? A B 兩 種 股 票 未 來 一 個 月 每 股 的 報 酬 分 別 為

第 7 章 機 率 概 論 247 E(X)=5 3 +0 3 +5 3 =0 E(Y )=0 3 +0 3 +20 3 =0 一 個 月 後, 莉 莉 的 平 均 報 酬 為 E(,000X +,000Y ) =,000E(X) +,000E(Y )=20,000 2 兩 種 股 票 報 酬 的 變 異 數 分 別 為 Var(X)= 3 (52 +0 2 +5 2 ) 0 2 = 6.6667 Var(Y )= 3 (02 +0 2 +20 2 ) 0 2 = 66.6667 Var(,000X +,000Y ) =,000 2 Var(X + Y ) =,000 2 [Var(X)+Var(Y )] =,000 2 83.3333 所 以 報 酬 的 標 準 差 為,000 2 83.3333 = 9,28.7 3 兩 種 股 票 的 平 均 報 酬 相 等, 但 B 股 票 的 變 異 數 比 A 股 票 的 變 異 數 大 很 多, 表 示 B 股 票 的 漲 跌 起 伏 波 動 較 大, 也 就 是 買 B 股 票 的 投 資 風 險 較 大, 所 以 若 兩 股 票 的 股 價 相 等, 保 守 的 投 資 人 應 選 擇 買 A 股 票 關 於 變 異 數 有 幾 點 註 解 : 由 變 異 數 的 計 算 公 式 Var(X)= ) 2 是 非 負 數, 所 以 變 異 數 永 遠 為 非 負 數 å (x m) 2 P(x) 所 有 可 能 值 x, 因 為 (x m 2 由 上 面 的 結 果 及 變 異 數 的 簡 化 公 式 Var(X)=E(X 2 ) m 2, X 的 平 方 之 期 望 值 E(X 2 ), 和 X 的 期 望 值 的 平 方 (E(X)) 2, 不 相 等, 而 且 E(X 2 ) ³ (E(X)) 2 3 一 隨 機 變 數 的 變 異 數 為 0, 則 此 隨 機 變 數 為 一 常 數

248 某 銀 行 過 去 一 年 來, 各 美 金 支 票 帳 戶 所 開 出 支 票 的 總 金 額 之 分 配 如 下 : 表 7.3 開 出 支 票 總 金 額 的 分 配 金 額 $,000 以 下 $,000 2,999 $3,000 4,999 $5,000 7,999 $8,000 以 上 百 分 比 7% 43% 28%? 3% 今 隨 機 抽 取 一 帳 戶, 事 件 如 下 : A: 此 帳 戶 開 出 的 支 票 總 金 額 小 於 $3,000 B: 此 帳 戶 開 出 的 支 票 總 金 額 在 $,000 到 $4,999 之 間 C: 此 帳 戶 開 出 的 支 票 總 金 額 超 過 $4,999 試 問 : 帳 戶 開 出 的 支 票 總 金 額 在 $5,000 7,999 的 百 分 比 為 多 少? 2 事 件 A B 和 C 的 機 率 分 別 為 多 少? 3 P(B È C)=? 4 P(A Ç B)=? 5 事 件 A B 和 C 互 斥 嗎? 為 什 麼? 圖 書 館 提 供 討 論 室 給 同 學 使 用, 但 欲 使 用 者 須 先 登 記 根 據 以 往 的 經 驗, 一 天 中 借 用 的 次 數 分 配 如 下 : 表 7.4 一 天 中 使 用 次 數 分 配 次 數 0 2 3 4 機 率 0.35 0.2 0.25 0.5 0.05 試 求 下 列 事 件 的 機 率 : 某 日 至 少 借 用 一 次 的 機 率 2 某 日 借 用 次 數 不 超 過 兩 次 的 機 率 3 假 設 圖 書 館 共 有 兩 間 討 論 室, 且 容 許 借 用 一 整 天 的 時 間, 則 某 日 發 生 借 不 到 的 機 率 為 何?

第 7 章 機 率 概 論 249 咖 啡 因 的 主 要 來 源 是 咖 啡 茶 及 可 樂 根 據 這 三 項 來 源 調 查 發 現, 55% 的 成 人 喝 咖 啡, 25% 的 成 人 喝 茶, 35% 的 成 人 喝 可 樂, 5% 同 時 喝 咖 啡 和 茶, 25% 同 時 喝 咖 啡 和 可 樂, 5% 只 喝 茶, 5% 三 種 飲 料 都 喝 利 用 文 式 圖 將 上 面 資 料 表 達 出 來, 並 求 下 列 事 件 的 機 率 : 只 喝 可 樂 的 人 占 多 少 比 例? 2 多 少 比 例 的 人 不 喝 這 三 種 飲 料 的 任 何 一 種? 有 價 證 券 的 漫 步 理 論 是 指 其 價 格 在 不 同 時 期 是 不 相 關 互 相 獨 立 的 假 設 我 們 只 記 錄 每 年 證 券 價 格 是 漲 或 跌, 根 據 記 錄 每 年 證 券 上 漲 的 機 率 是 0.65 試 問 : 我 們 的 證 券 連 續 三 年 上 漲 的 機 率 為 何? 2 若 我 們 的 證 券 已 連 續 漲 了 兩 年, 則 下 一 年 下 跌 的 機 率 為 何? 3 連 續 兩 年 我 們 的 股 票 漲 或 跌 的 方 向 一 樣 的 機 率 為 何? 人 的 血 型 分 O A B 及 AB 四 種, 假 設 其 分 布 情 況 如 下 : 表 7.5 人 的 血 型 分 布 情 況 血 型 O A B AB 機 率 0.45 0.4 0. 0.04 現 在 隨 機 抽 取 一 對 夫 妻, 且 我 們 可 以 合 理 地 假 設 夫 妻 的 血 型 是 獨 立 的 試 問 : 一 個 B 型 的 人 輸 血 時 只 能 接 受 B 型 或 O 型 的 血 假 設 一 血 型 為 B 的 婦 女, 其 先 生 可 以 輸 血 給 她 的 機 率 有 多 少? 2 一 對 夫 妻 血 型 相 同 的 機 率 有 多 少? 3 夫 妻 中 一 人 是 A 型, 而 另 一 人 是 B 型 的 機 率 為 多 少? 4 血 型 除 了 以 O A B 及 AB 區 分 外, 另 一 種 分 法 是 Rh- 陰 性 和 Rh- 陽 性, 大 約 有 84% 的 人 是 Rh- 陽 性 隨 機 抽 取 一 人, 則 此 人 是 Rh- 陰 性, A 型 的 機 率 為 何? 某 大 型 研 究 機 構 對 其 員 工 的 學 歷 和 性 別 的 調 查 結 果 如 下 :

250 表 7.6 員 工 學 歷 與 性 別 調 查 表 專 科 大 學 碩 士 博 士 合 計 女 32 645 227 8 922 男 40 505 6 26 732 合 計 72,50 388 44,654 今 隨 機 選 取 一 位 員 工, 試 問 : 此 員 工 為 女 性 的 機 率 為 何? 2 若 已 知 此 員 工 擁 有 碩 士 學 位, 則 此 員 工 為 女 性 的 機 率 為 何? 3 事 件 A: 選 取 的 員 工 是 女 性, 事 件 B: 選 取 的 員 工 擁 有 碩 士 學 位, 這 兩 個 事 件 互 相 獨 立 嗎? 為 什 麼? 某 衣 服 郵 購 商 有 兩 條 產 品 線, 第 一 條 產 品 線 的 產 品 價 位 較 高, 第 二 條 產 品 線 則 是 一 般 價 位 現 在 做 了 一 項 顧 客 性 別 和 通 路 的 調 查, 結 果 如 下 : 表 7.7 顧 客 性 別 和 通 路 調 查 表 通 路 通 路 2 合 計 女 56 205 72 男 32 47 279 合 計 648 352,000 令 A 為 顧 客 是 女 性 的 事 件, B 為 顧 客 訂 的 產 品 屬 於 第 一 條 產 品 線 的 事 件 今 有 一 顧 客 下 單, 求 此 顧 客 是 女 性 的 機 率 為 何? 2 此 顧 客 訂 的 產 品 屬 於 第 一 條 產 品 線 的 機 率 為 何? 3 此 顧 客 是 女 性 或 訂 的 產 品 屬 於 第 一 條 產 品 線 的 機 率 為 何? 4 說 明 事 件 A B 不 獨 立, 也 就 是 事 件 A 和 事 件 B 是 相 依 的, 而 且 事 件 A B 同 時 發 生 的 機 率 滿 足 機 率 乘 法 規 則, P(A Ç B)=P(A)P(B A) 某 公 司 有 A B 兩 條 生 產 線, A 每 天 生 產 3,000 件 產 品, 不 良 率 為 0.03, B 每 天 生 產 2,000 件 產 品, 不 良 率 為 0.04, 產 品 生 產 完 後 混 合 裝 箱, 某 天 出 廠 時 發 現 一 件 不 良 品, 試 問 此 不 良 品 出 自 於 A 生 產 線 的 機 率 為 何?

第 7 章 機 率 概 論 25 2 如 果 公 司 還 有 C 生 產 線, 每 天 生 產,000 件 產 品, 不 良 率 是 0.0, 三 條 線 的 產 品 混 合 裝 箱, 某 天 出 廠 時 發 現 一 件 不 良 品, 試 問 此 不 良 品 出 自 於 A 生 產 線 的 機 率 為 何? 一 百 貨 公 司 考 慮 一 項 新 的 信 用 卡 管 理 措 施 以 降 低 逾 期 不 繳 費 的 不 良 客 戶 數 目 信 用 卡 部 門 經 理 建 議, 未 來 若 客 戶 有 兩 次 超 過 每 月 繳 費 期 限 一 個 星 期 或 以 上 仍 沒 有 繳 款 的 不 良 記 錄, 公 司 將 停 止 該 客 戶 使 用 信 用 卡 的 權 利 經 理 解 釋 他 提 出 此 建 議 的 理 由, 因 為 根 據 他 過 去 的 觀 察, 在 那 些 信 用 不 良 未 繳 款 的 客 戶 中, 90% 都 至 少 有 兩 次 逾 時 繳 款 的 記 錄 假 設 公 司 的 調 查 部 門 發 現 在 所 有 信 用 卡 客 戶 中, 2% 真 的 是 沒 有 繳 款 的 不 良 客 戶, 而 在 有 繳 款 的 客 戶 中, 有 45% 的 客 戶 都 曾 經 有 至 少 兩 次 逾 時 繳 款 的 記 錄 若 已 知 一 客 戶 至 少 有 兩 次 逾 時 繳 款 的 記 錄, 則 此 客 戶 事 實 上 是 個 不 繳 款 信 用 不 良 的 客 戶 的 機 率 為 何? 若 已 知 臺 灣 地 區 勞 工 中, 有 60% 是 男 性, 40% 是 女 性, 而 男 性 勞 工 中, 有 5% 是 外 籍 勞 工, 女 性 勞 工 中, 有 3% 是 外 籍 勞 工 今 隨 機 抽 取 一 勞 工, 問 : 此 人 為 外 籍 勞 工 的 機 率 為 何? 2 若 已 知 此 人 為 外 籍 勞 工, 則 此 人 是 女 性 勞 工 的 機 率 為 何? 圖 書 館 以 電 子 儀 器 檢 查 欲 離 開 圖 書 館 者 是 否 非 法 攜 帶 館 內 物 品, 若 身 上 帶 有 未 辦 理 借 閱 手 續 的 物 品, 儀 器 偵 測 到 的 機 率 是 97%, 有 時 身 上 即 使 沒 有 非 法 攜 帶 物 品, 也 可 能 發 出 聲 音, 此 機 會 是 4%, 若 一 般 進 館 者, 有 0% 的 人 會 非 法 攜 帶 物 品 出 館 ( 可 能 是 忘 了 辦 理 手 續 或 其 他 原 因 ) 某 日 共 有 200 人 在 圖 書 館 內, 則 約 有 幾 人 出 館 時, 電 子 儀 器 會 發 出 聲 音? 2 若 某 人 經 過 出 口 時, 儀 器 發 出 聲 音, 則 此 人 非 法 攜 帶 物 品 出 館 的 機 率 為 多 少? 某 次 考 試 有 5 個 單 選 題, 每 題 有 5 個 選 項, 若 東 東 完 全 不 會, 則 東 東 全 對 的 機 率 為 多 少? 2 東 東 不 會 得 零 分 的 機 率 為 多 少? 3 若 已 知 參 加 考 試 的 學 生 中 有 6 成 答 對 第 一 題, 但 答 對 者 中 有 些 學 生 是 猜

252 的, 那 麼 真 正 會 做 這 題 的 學 生 有 幾 成? 一 價 值,500,000 元 的 鑽 石, 投 保 全 險 若 一 年 內 鑽 石 被 偷 的 機 率 是 0.0 且 保 險 公 司 期 望 有 30,000 元 的 利 潤, 則 保 險 公 司 應 收 取 多 少 保 費? 某 公 司 生 產 烘 碗 機, 根 據 過 去 的 記 錄, 每 月 市 場 需 求 的 分 配 如 下 : 表 7.8 每 月 市 場 需 求 調 查 表 需 求 臺 數 200 300 400 500 機 率 0. 0.4 0.3 0.2 該 公 司 的 烘 碗 機, 市 場 平 均 每 月 需 求 多 少 臺? 每 個 月 市 場 需 求 的 標 準 差 為 多 少? 2 若 每 臺 烘 碗 機 的 成 本 是 3,000 元, 售 價 是 5,000 元, 則 該 公 司 平 均 每 個 月 的 利 潤 為 多 少? 公 司 每 個 月 利 潤 的 標 準 差 為 多 少? 保 險 公 司 銷 售 一 種 定 期 壽 險 給 2 歲 的 男 性, 五 年 內 若 身 亡, 可 拿 到 00,000 元 保 險 金 保 險 公 司 每 年 收 取 250 元 保 費, 不 考 慮 利 息 的 問 題, 則 保 險 公 司 每 年 所 得 為 X, 等 於 保 費 250 減 去 00,000( 如 果 此 人 在 當 年 內 身 亡 ) X 的 分 布 如 下 : 表 7.9 死 亡 年 齡 與 X 分 布 表 死 亡 年 齡 2 22 23 24 25 ³ 26 所 得 X 99,750 99,500 99,250 99,000 98,750,250 機 率 0.0083 0.0086 0.0089 0.009 0.0093? 完 成 上 述 機 率 表 2 某 人 剛 加 入 此 一 保 險, 則 保 險 公 司 平 均 可 從 此 人 身 上 賺 得 多 少 錢? 3 內 文 中, 我 們 介 紹 統 計 上 的 標 準 差 可 以 表 示 一 項 投 資 的 風 險 大 小, 同 理, 保 險 公 司 的 風 險 也 可 以 計 算 保 險 公 司 所 得 X 的 標 準 差 來 表 示 試 計 算 X 的 標 準 差 4 假 設 有 兩 個 2 歲 男 性 投 保 而 且 他 們 的 存 活 是 獨 立 的 令 X 和 X 2 分 別 代 表 保 險 公 司 由 這 兩 個 保 險 所 得 的 利 潤, 則 保 險 公 司 由 這 兩 個 保 險 所 得

第 7 章 機 率 概 論 253 的 平 均 利 潤 為 Z = X + X 2 2 求 Z 的 平 均 數 和 標 準 差, 比 較 X, Z 的 平 均 數 和 標 準 差 5 若 有 4 個 人 投 保, 則 保 險 公 司 由 這 4 個 保 險 所 得 的 平 均 利 潤 為 Z = X + X 2 + X 3 + X 4 4 求 Z 的 平 均 數 和 標 準 差, 和 3, 4 的 結 果 比 較, 你 有 何 發 現? 6 由 3, 4, 5 的 結 果, 如 果 有 0,000 人 投 保, 此 時 保 險 公 司 的 平 均 利 潤 所 得 為 多 少? 標 準 差 為 多 少? 7 一 個 2 歲 的 人 五 年 內 存 活 的 機 率 高 於 死 亡 的 機 率 許 多, 若 一 被 保 險 人 在 投 保 期 間 存 活, 則 保 險 公 司 可 賺,250 元 保 費 但 萬 一 被 保 險 人 在 被 保 險 期 間 死 亡, 則 保 險 公 司 要 賠 00,000 元 假 設 共 有 0,000 人 投 保, 你 認 為 保 險 公 司 承 做 這 個 保 險 風 險 大 嗎? 試 利 用 6 的 結 果 說 明 之