科 組 別 : 物 理 科 別 : 高 中 組 作 品 名 稱 : 非 線 性 振 動 - 單 擺 運 動 方 程 式 之 數 值 分 析 與 研 究 關 鍵 詞 : 非 線 性 單 擺 數 值 分 析 編 號 :416

作 品 名 稱 : 非 線 性 振 動 - 單 擺 運 動 方 程 之 數 值 分 析 與 研 究 壹. 摘 要 : 在 我 們 的 這 主 題 中, 以 單 擺 為 主 要 研 究 對 象, 及 探 討 其 中 在 於 我 們 所 學 之 外, 所 無 法 經 由 更 精 確 的 運 算, 求 出 其 運 動 方 程 式 之 解 析 解 但 如 何 利 用 數 值 方 法 寫 成 計 算 程 式, 並 藉 以 整 理 運 用 繪 圖 軟 體, 描 繪 其 運 動 的 模 式 之 物 理 意 義, 便 是 我 們 此 主 題 的 重 點 所 在, 並 且 我 們 更 深 入 於 實 際 物 理 情 況 中, 消 耗 力 或 摩 擦 力 終 將 阻 滯 運 動 以 迄 振 動 不 在 發 生 就 我 們 而 言 一 開 始 利 用 RK4 寫 成 Visual Basic 6. 計 算 程 式 來 解 其 運 動 方 程 得 到 等 時 距 之 角 度 及 角 速 度, 再 藉 由 統 整 後 使 用 Matlab 5.3 繪 出 我 們 想 要 的 圖 形 - 角 度 與 時 間, 角 速 度 與 時 間 以 及 角 速 度 與 角 度 之 相 圖 所 得 的 圖 形 中, 也 分 為 有 或 無 阻 尼, 每 項 中 又 有 不 同 的 討 論, 如 : 在 已 知 的 任 何 一 個 初 始 狀 態 下, 其 擺 動 的 情 況 當 然 也 有 互 相 之 對 照 比 較, 最 終 得 出 精 采 且 史 無 前 例 的 成 果 : 且 將 單 擺 作 了 完 整 且 一 般 性 的 分 析 初 角 度 無 阻 尼 週 期 性 封 閉 相 徑 ( 力 學 能 守 恆 ) 初 角 速 度 次 阻 尼 無 固 定 週 期 性 振 動 ( 非 封 閉 臨 界 阻 尼 無 週 期 性 非 振 動 最 快 到 達 終 點 相 徑, 力 超 阻 尼 無 週 期 性 非 振 動 較 慢 到 達 終 點 學 能 耗 散 ) 貳. 研 究 動 機 : 在 上 學 期 物 理 課 中, 我 們 學 到 了 單 擺 與 簡 諧 運 動 ; 但 是 所 接 觸 到 的 僅 是 小 角 度 ( 擺 幅 5 度 以 內 ) 的 擺 動, 因 為 小 角 度 擺 動 時, 才 近 似 於 簡 諧 運 動 ; 它 的 角 度 與 時 間 的 關 係 是 正 餘 弦 函 數 而 且 其 相 圖 是 橢 圓 函 數 但 是 非 小 角 度 的 時 候 呢? 經 詢 問 老 師 及 查 閱 參 考 資 料 後 發 現 了 它 的 運 動 方 程 式 並 不 是 線 性 的, 也 無 法 找 到 exactly solution, 所 以 只 能 夠 利 用 各 種 數 學 方 法, 去 尋 找 它 的 近 似 解, 而 所 可 利 用 的 數 學 方 法 中, 有 幾 種 是 蠻 簡 單 而 易 懂 的, 包 括 Runge-Kutta method 四 階 (RK4, 即 在 泰 勒 展 開 中 可 準 確 至 第 四 階 ) 及 Verlet method 及 Euler-Cromer method, 我 們 於 是 使 用 上 述 之 方 法, 去 找 出 非 小 角 度 單 擺 之 數 值 解 希 望 對 單 擺 之 運 動 有 一 個 完 整 的 認 識 : 究 竟 在 各 種 擺 角 下 它 的 週 期 如 何 變 化? 角 度 與 時 間 的 關 係 如 何 呢? 相 圖 又 是 長 的 怎 樣 呢? 參. 研 究 目 的 : 一. 已 知 無 阻 尼 單 擺 之 運 動 方 程 式 為 : g θ = - Sin θ = -Ω Sin θ l 二. 有 阻 尼 單 擺 之 運 動 方 程 式 為 : θ = -a* θ - l g Sin θ = -a*θ - Ω Sin θ 1

上 兩 式 為 非 線 性 微 分 方 程 式, 在 給 定 初 值 條 件 下 我 們 要 使 用 微 分 方 程 式 的 數 值 方 法 找 出 θ (t) 及 θ (t) 在 t = h,h,3h,4h nh 各 等 時 距 所 對 應 之 近 似 解 θ 1, θ, θ 3,., θ n 及 θ 1, θ, θ 3 θ n ( 其 中 h 為 近 似 法 中 所 選 取 之 時 間 間 隔 ), 並 且 畫 出 θ n -t 及 θ n -t 之 關 係 圖 以 及 θ n- θ n 之 相 圖 肆. 研 究 設 備 及 器 材 : 工 程 用 電 子 計 算 機,Visual Basic 6., Matlab 5.3 伍. 研 究 過 程 及 方 法 : 一. 所 使 用 的 方 法 及 其 原 理 : ( 一 ) 關 於 RK4: RK4 是 實 用 上 極 為 廣 泛 的 方 法 之 一, 其 精 神 在 於 這 是 一 個 精 確 度 與 計 算 量 妥 協 後 的 最 佳 選 擇, 我 們 在 此 不 擬 推 導 此 方 法 之 由 來, 僅 將 其 原 理 列 於 下 表 : R-K-4( f, t, θ, θ, h, N ) 本 演 算 法 計 算 出 值 問 題 θ = f(t, θ, θ ), θ (t) = θ, θ (t) = θ 在 等 時 距 t1 = t + h, t = t + h,, tn = t+nh 之 解 ; 此 處 f 為 使 得 本 問 題 在 區 間 t, tn 有 唯 一 解 INPUT : 初 值 t, θ, θ, 間 距 h, 步 驟 數 n OUTPUT: 解 θ (tn+1) 在 tn+1 = t + ( n+1 )h 的 近 似 θ n+1, 其 中 n =, 1,,, N-1 對 n =, 1,,, N-1 做 : k1=h f(tn, θ n, θ n )/ k=h f(tn+h/, θ n +k, θ n +k1)/ 其 中 k= h(θ n +1/k1)/ k3=h f(tn+h/, θ n+k, θ n +k)/ k4=h f(tn+h, θ n+l, θ n +k3)/ 其 中 L=h(θ n +k3) tn+1= tn+h θ n+1= θ n+h( θ n + (k1+k+k3)/3) OUTPUT θ n+1, θ n+1 { 解 在 θ n+1 的 近 似 值 } θ n+1= θ n +1/3(k1+k+k3+k4) [ 下 一 步 要 用 到 的 輔 助 值 ] STOP END R-K-4 得 到 k1 = - h(a θ n + Ω Sin θ n)/ k = - h[a( θ n + k1)+ Ω Sin( θ n+k)]/ k=h(θ n + k1/)/

k3 = - h[a( θ n + k)+ k4 = - h[a( θ n + k3)+ Ω Sin( θ n+k)]/ Ω Sin( θ n+l)]/ L= h(θ n + k3) θ n+1 = θ n+h[ θ n +( k1+ k+ k3)/3] θ n+1 = θ n +( k1+ k+ k3+ k4)/3 ( 二 ) 使 用 Microsoft Visual Basic6. 將 上 述 RK4 的 方 法 寫 成 計 算 程 式 : Private Sub Command1_Click() h = Text1.Text a = Text.Text w = Text3.Text x = Text4.Text y = Text5.Text n = Text6.Text For i = 1 To n xo = x yo = y k1 = -.5* h *(a* yo + w * Sin(xo)) k = -.5* h *(a*(yo + k1) + w * Sin(xo +.5 * h * yo +.5 * h * k1)) k3 = -.5* h *(a*(yo + k) + w * Sin(xo +.5 * h * yo +.5 * h * k1)) k4 = -.5* h *(a*(yo + * k3) + w * Sin(xo + h * yo + h * k3)) x = xo + h *(yo + (k1 + k + k3) / 3) y = yo + (k1 + * k + * k3 + k4) / 3 Text7.Text = Text7.Text &" x(" & Str(i) &")= "& Str(x) &" y(" & Str(i) &")= "& Str(y) Text8.Text = Text8.Text &" x(" & Str(i) &")= " & Str(x) Text9.Text = Text9.Text &" y(" & Str(i) &")= " & Str(y) Next End Sub Private Sub Command_Click() Text7.Text = "" Text8.Text = "" Text9.Text = "" End Sub Private Sub Command3_Click() h = Text1.Text a = Text.Text w = Text3.Text x = Text4.Text y = Text5.Text n = Text6.Text 3

For i = 1 To n xo = x yo = y k1 = -.5* h *(a* yo + w * Sin(xo)) k = -.5* h *(a*(yo + k1) + w * Sin(xo +.5 * h * yo +.5 * h * k1)) k3 = -.5* h *(a*(yo + k) + w * Sin(xo +.5 * h * yo +.5 * h * k1)) k4 = -.5* h *(a*(yo + * k3) + w * Sin(xo + h * yo + h * k3)) x = xo + h *(yo + (k1 + k + k3) / 3) y = yo + (k1 + * k + * k3 + k4) / 3 Text7.Text = Text7.Text &" "& Str(x) &" "& Str(y) Text8.Text = Text8.Text &" "& Str(x) Text9.Text = Text9.Text &" "& Str(y) Next End Sub Private Sub Command4_Click() If Command4.Caption = "x,y,x,y" Then Command4.Caption = "x,x,y,y" Text7.Visible = False Text8.Visible = True Text9.Visible = True Exit Sub Else Command4.Caption = "x,y,x,y" Text7.Visible = True Text8.Visible = False Text9.Visible = False End If End Sub Private Sub Form_Load() Dim h, a, w, x, y, xo, yo, n, test, i, k1, k, k3, k4 WindowState = End Sub ( 三 ) 如 何 選 擇 適 當 的 時 間 間 距 h? 以 及 步 驟 數 N? 因 為 RK4 的 方 法 中 每 一 步 驟 的 截 斷 誤 差 為 h 5 階 ( 此 證 明 可 參 考 Collatz,L.,The Numerical Treatment of Differential Equations. 3rd ed.),h 不 可 過 大 否 則 每 一 步 驟 之 截 斷 誤 差 將 會 增 大 ( 例 如 以 h 來 代 替 h, 每 一 步 驟 之 截 斷 誤 差 會 增 大 約 3 倍 ), 因 為 我 們 將 在 每 個 已 知 的 Ω 下 考 慮 不 同 的 初 始 條 件 時 皆 固 定 使 用 相 同 的 步 驟 數, 似 乎 h 之 選 擇 當 然 是 越 小 越 好, 然 而 步 驟 數 N 與 h 之 乘 積 也 不 可 過 小 否 則 我 們 將 看 不 到 一 個 週 期 T 的 循 環 即 h*n 最 好 是 超 過 一 個 週 期, 所 以 h 太 小 時 步 驟 數 N 必 須 相 當 大, 這 會 我 們 的 作 業 時 間 延 誤 許 多 ( 電 腦 處 理 速 度 ) 所 以 h 值 需 適 當 小 即 可 4

( 四 ) 如 何 可 知 所 做 出 之 結 果 其 誤 差 大 或 小 呢? 因 為 無 阻 力 之 單 擺 運 動 為 力 學 能 守 恆 的, 也 就 是 其 相 圖 在 力 學 能 E < mgl( 取 最 低 位 置 為 零 位 能 ) 時 必 須 是 封 閉 的, 所 以 我 們 可 以 在 一 開 始 時 嘗 試 各 種 不 同 的 h 值, 去 分 別 作 出 其 相 圖 並 觀 察 其 封 閉 性 與 唯 一 性, 從 嘗 試 中 去 體 驗 h 的 控 制 二. 過 程 及 步 驟 ; ( 一 ) 先 考 慮 無 阻 力 時 : 設 Ω =1, a = θ ()= θ = π/9, π/3, π/18, π/9, π/6, π/4, π/3, 5π/1, π/, π/3, 5π/6,179π/18 θ ()= θ 步 驟 數 N=1 1. 先 分 別 用 h=1.,.8,.6,.4,.,.1 來 計 算, 用 MatLeb5.3 將 所 得 到 的 θ n 及 θ n 去 作 θn -tn, θ n - tn, θn - θ n 圖 並 特 別 留 意 相 圖 的 部 分. 重 複 上 述 步 驟 將 N 改 為 及 4 並 做 同 樣 之 觀 察 3. 由 前 兩 步 驟 中 體 驗 出 h 與 N 之 取 法 之 最 佳 搭 配 並 做 為 爾 後 步 驟 之 參 考 ( 二 ) 改 Ω =.1,.6,.1,.6, 1., 6., 1, 6, 1, 6, 1 重 複 ( 一 ) 中 之 步 驟, 但 h 必 須 根 據 ( 一 ) 之 經 驗 及 原 理 中 之 敘 述 作 適 當 的 更 換 同 樣 找 出 相 圖, θ n -tn, θ n - tn 圖 ( 三 ) 由 ( 一 ) 及 ( 二 ) 所 得 之 較 佳 結 果 中, 觀 察 θ = 上 述 初 角 且 θ = 之 θn -tn, θ n - tn 圖 中 : 1. 由 數 據 中 利 用 內 插 法 尋 找 θ n = 及 θ m = 所 對 應 之 時 間 ntn+1 及 mtm+1 ; 即 θ (ntn+1) =, ntn+1 是 位 於 nh 及 (n+1)h 之 間, 又 θ (mtm+1)=, mtm+1 是 位 於 mh 及 (m+1)h 之 間 ; 利 用 牛 頓 向 前 差 分 內 插 公 式 Newton s forward difference interpolation formula 如 下 : n r f(x) pn(x) = ( s ) s f (x = x+h, r = (x-x)/h) s= r( r 1) r ( r 1)( r ) ( r n + 1) = f+r f+ f+ +! n! n f 去 逼 近 找 出 所 找 出 之 ntn+1 即 相 當 於 1/4 週 期, 3/4 週 期,5/4 週 期, ; 所 找 出 之 mtm+1 即 相 當 於 1/ 週 期,1 週 期,. 將 ( 一 ) 及 ( 二 ) 中 θ 改 為 π, θ = +.15, +.5, +.4, 同 樣 找 出 相 圖, θ n -tn, θ n - tn 圖 ( 四 ) 由 力 學 能 守 恆 知 :(θ ) = Ω (Cos θ -Cos θ )+( θ ) 將 式 中 θ 取 ( 一 ) 中 之 諸 初 角 度 θ 取 π 時, θ = 所 對 應 之 θ 之 值 叫 作 ( θ )min, 再 取 比 ( θ )min 為 大 之 值 當 作 新 的 θ 並 配 合 θ =( 一 ) 中 之 諸 初 角 度 之 初 始 條 件 同 樣 找 出 相 圖, θ n -tn, 5 θ n - tn 圖 ( 五 ) 再 考 慮 有 阻 力 時 : 同 樣 使 用 無 阻 力 時 之 Ω 值 以 及 θ, 因 為 阻 尼 擺 動 分 為 次 阻 尼, 臨 界 阻 尼 以 及 超 阻 尼 所 以 必 須 嘗 試 配 合 各 種 θ : 1. 要 區 分 這 三 種 運 動, 首 先 要 找 出 臨 界 阻 尼 所 對 應 的 a = a, 也 就 是 說 (1) a< a 時 為 次 阻 尼 () a=a 時 為 臨 界 阻 尼

(3) a>a 時 為 超 阻 尼. 如 何 尋 找 在 已 知 Ω 及 θ 時 之 a : 因 為 所 謂 臨 界 阻 尼 即 是 在 已 知 θ 之 下 其 運 動 最 快 回 到 θ= 的 位 置, 所 以 在 使 用 Microsoft Visual Basic 6. 來 跑 程 式 時, 就 必 須 多 次 觀 察 a 取 何 值 時 θ n 最 快 接 近 3. 當 找 到 a 之 後, 就 分 為 次 阻 尼 與 超 阻 尼 來 分 頭 進 行 4. a< a, 使 用 各 種 Ω ; 各 種 θ 及 θ 找 出 相 圖, θ n -tn, θ n - tn 圖, 並 利 用 內 插 法 求 出 θn -tn 圖 中 曲 線 與 t 軸 之 交 點 並 與 相 同 初 始 條 件 之 無 阻 尼 時 作 比 較 5. a>a, 使 用 各 種 Ω ; 各 種 θ 及 θ 找 出 相 圖, θ n -tn, θ n - tn 圖 陸. 研 究 結 果 與 討 論 : ( 一 到 七 為 無 阻 尼, 八 到 九 為 有 阻 尼 ) 一. 在 某 初 角 θ ()= θ o < π, 初 角 速 度 θ ()= θ 'o = 在 (, θ o ) 之 切 線 斜 率, 所 得 之 θ -t 圖 : 此 圖 中 諸 曲 線 分 佈 可 被 代 表 著 不 穩 定 振 動 (E= mgl) 之 兩 條 分 界 虛 線 : θ 'o = ± Ω Cos( θ o ) 分 為 三 個 區 域 : ' ( 一 ) θ o < ± Ω Cos( θ o ) 此 區 內 表 示 為 穩 定 振 動 (E<mgl), 且 各 有 不 同 週 期, 圖 中 紅 和 紫 之 θ ' o 大 小 相 等, 方 向 相 反 ( 即 具 有 相 同 能 量 E), 有 相 同 週 期 T, 而 因 其 θ ' 甚 小 故 T 與 o θ ' o = 之 T 很 接 近 ; 綠 和 黃 亦 有 等 大 之 θ ', T 也 同 ( 見 圖 中 粗 箭 頭 o 所 指 ), 已 可 發 現 : E 愈 大 則 T 愈 大 之 定 性 關 係. 後 面 再 詳 述 T 與 E 及 Ω 之 關 係. θ o ) 及 θ ' θ o ) 此 區 內 曲 線 以 θ = θ o 之 虛 ' ( 二 ) θ o > Ω Cos( o < Ω Cos( 點 線 為 對 稱, 表 示 為 非 振 動 的, 仍 是 週 期 性 繞 支 軸 作 全 周 旋 轉 的 擺 (E>mgl). 在 θ = θ o + π 所 對 應 之 t 即 為 T ' ( 三 ) θ o = Ω Cos( θ o ) 表 示 擺 可 恰 好 衝 達 最 高 點 瞬 間 停 下, 但 再 來 如 何? 這 是 不 穩 定 的 平 衡 ; 有 可 能 的 情 形 是 (1) 受 到 任 何 極 微 小 地 擾 動, 造 成 E=mgl ± δ ; 擺 必 以 確 切 為 零 之 角 速 到 達 θ = nπ 各 點 之 一, 有 確 切 T, () 否 則 只 在 無 限 長 時 間 後 (T ) 6

二. 此 圖 為 θ =π ; θ ' > 及 θ ' <; ( 亦 即 E >mgl) 條 件 下, θ -t 圖, 當 然 以 θ =π 之 水 平 線 為 對 稱 的, 圖 中 θ ' 為 綠 > 紅 > 藍, E 綠 > E 紅 > E 藍, 這 些 全 都 是 繞 支 軸 作 7

全 周 旋 轉 的 擺, 可 由 虛 線 對 應 之 t 值 看 出 E 愈 大 者 旋 轉 週 期 愈 小. 這 些 情 形 之 旋 轉 周 期 可 以 由 θ ' = g Sin ( θ θ l )-Sin ( )+ l g θ ' 1 dt= 1 l g 1-Sin ( θ )+ g l θ ' 1 d θ,( θ =π ) T= l g π π 1-Sin ( θ )+ g l θ ' 1 d θ T= 4k Ω 1 dx ( 1 k x )(1 x ) T= 4k Ω ' = θ Ω g 其 中 Ω =, 1 k [( ) + 1], x = Sin( θ ) l 因 為 k<1, 故 (1-k x ) -1/ 可 展 開 為 級 數 後 : 4 4 6 6 1 dx k x 3k x 5k x [1 + + + +...]. 5 (1 x ) 8 16 πk = Ω 4 6 8 k 9k 5k 35 k 1+ + + + 4 64 56 18 ( +...) 如 果 k 近 於 1 則 需 許 多 項 方 能 產 生 準 確 結 果, 不 過 對 於 甚 小 的 k( 即 θ ' 甚 大 ;E>>mgl) 上 式 迅 速 收 斂 8

三. 這 兩 張 圖 是 週 期 T 與 E*( 小 於 1) 之 關 係 圖 : θ ' 同 樣 地, 我 們 將 各 種 給 定 之 Ω, 使 用 θ = 及 = π π, 9 45 π π π π π π π 5π 35π,,,,,,,, 去 計 算 出 3 18 9 6 3 3 6 36 θ 與 t 之 關 係 圖, 在 n 利 用 內 插 法 得 出 T 與 θ 之 關 係, 因 為 E*=Sin ( θ ), 故 也 就 可 以 得 到 T 與 E* 之 關 係 了, 上 圖 為 全 圖, 下 圖 為 局 部 份 放 大 圖, 對 各 曲 線 而 言, T 皆 隨 E* 之 增 加 而 增 大, 並 且 當 E* 愈 接 近 1, T 增 加 特 別 快, 可 以 用 左 邊 板 第 πk 4 6 8 k 9k 5k 35 k 二 圖 之 分 析 中 : T= ( 1+ + + + +...) for E*>1, 令 k=1 Ω 4 64 56 18 π 1 9 5 35 則 T ( 1+ + + + +...) 或 是 使 用 前 述 之 E*<1 之 週 期 Ω 4 64 56 18 4 6 π k 9k 5k 35 T= (1 + + + + +...), 令 k=1 Ω 4 64 56 18 π 1 9 5 35 則 T ( 1+ + + + +...) Ω 4 64 56 18 π 1 9 5 35 故 當 E* 1 時, 週 期 T 會 近 似 於 ( 1+ + + + +...) Ω 4 64 56 18 不 論 從 E*<1 或 是 E*>1 去 趨 近 都 是 相 同 的, 9

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四. 此 部 份 為 ( E*<1) 週 期 之 討 論 : 這 個 圖 為 各 種 給 定 之 E* 時 ( E*<1), 經 由 所 算 出 θ n 與 t 之 關 係 再 利 用 內 插 法 得 出 週 期 T 與 Ω 關 係 於 上 圖 是 全 圖, 下 圖 是 局 部 放 大 圖, 現 在 說 明 之 : ( 一 ) 圖 中 E*1< E*<..< E*1 < E*11 分 別 代 表 著 θ ' = 且 θ = π π, 9 45 π π π π π π π 5π 35π,,,,,,,, ; 可 以 理 解 的 隨 著 E* 之 增 加 3 18 9 6 3 3 6 36 而 週 期 迅 速 增 大, 且 因 E*1 及 E* 近 似 簡 諧 運 動, 故 週 期 幾 乎 重 合, 可 說 明 再 很 小 擺 角 下 單 擺 近 似 等 時 性 的 對 於 大 角 度 之 擺 動 討 論 如 下 ( 二 ) 對 於 任 意 角 度 之 擺 動 週 期 討 論 如 下 : E 因 為 E* = = [ 1 ' θ θ θ ( ) + Sin ( ) ] = ( ' Sin ) mgl 4 Ω θ = θ 1 ' g θ l θ θ = [ Sin ( ) Sin ( )] T = g l θ 1 θ [ Sin ( ) Sin ( )] dθ 4 1 1 T = [(1 x )(1 k x )] dx Ω, g Ω =, l sin( θ ) x =, k = Sin( ) sin( ) θ θ 欲 產 生 振 動 須 θ <π 即 k<1 如 此 上 式 可 展 開 (1 x ) 1 4 4 k x 3k x k =1+ + +... 8 4 6 4 1 dx k x 3k x π k 9k 5k 35 T = [1 + + +...]. 5 Ω = (1 + + + + +...) (1 x ) 8 Ω 4 64 56 18 π = Γ( n +.5) n [ ( E*) ] Ω = π Γ( n + 1) n, E*=k 當 然, 若 E* 為 某 定 值, 則 T 與 Ω 成 反 比, 所 以 此 兩 圖 為 各 種 E* 之 下 之 反 比 等 週 期 曲 線, 11

五. 此 圖 為 將 所 得 θ n 及 θ 繪 成 之 相 圖, 因 力 學 能 ( 最 低 點 為 零 位 能 ) ' θ ' n 1 θ E = mgl [ + Sin ( ) ] 4 Ω E E* = = [ 1 ' θ θ ( ) + Sin ( ) ] 圖 中 E=mgl 即 mgl 4 Ω ' θ θ E*=1 即 = Cos( ) 曲 線 為 分 界 相 徑, 在 物 理 中 一 個 分 Ω 界 相 徑 永 遠 經 過 一 個 不 穩 定 的 平 衡 點, 此 分 界 相 徑 分 隔 局 部 束 縛 運 動 (E*<1, 穩 定 擺 動 ) 與 局 部 非 束 縛 運 動 (E*>1, 繞 支 軸 旋 轉 ) : 前 者 (E*<1) 之 情 況 等 於 一 個 質 點 束 縛 於 位 井 U=mgl(1-Cosθ ) 之 中, 所 以 這 區 域 的 相 徑 為 封 閉 的 曲 線, 由 於 位 能 對 θ 是 對 稱 且 週 期 性 的, 在. 3 π < θ < π, π < θ < π, π θ < 3π 穩 定 平 衡 位 置 如 預 料 中, 對 於 甚 小 之 E* 而 言, 相 徑 幾 近 乎 圓 圈, 再 此 時 運 動 大 略 為 簡 諧 性 後 者 (E*>1) 之 情 況, 運 動 不 是 振 動 而 是 繞 支 軸 作 週 期 性 旋 轉 的 擺 <... 諸 區 域 內 存 在 著 相 同 的 相 徑, 在 θ =., -π,, π,.. 各 點 為 如 果 E*=1, 其 相 徑 不 實 際 代 表 擺 的 可 連 續 運 動, 如 擺 θ =π ( 此 乃 在 E*=1 相 徑 上 一 點 ), 1

則 任 何 小 的 擾 動 便 會 使 運 動 密 切 但 不 確 切 地 沿 循 由 θ = π 分 歧 的 相 徑 之 一, 此 因 E=mgl+δ 如 果 運 動 是 沿 E*=1 相 徑 之 一, 擺 必 以 確 切 為 零 之 角 速 到 達 θ = nπ 各 點 之 一, 但 只 在 無 限 長 時 間 後! θ ' 六. 此 圖 為 將 θn, n, 和 E * 三 者 繪 成 3D 之 圖, 可 以 更 明 顯 且 容 易 地 看 出 三 者 之 關 Ω 係 : E 因 為 E* = = [ 1 ' θ θ ( ) + Sin ( ) ], 每 一 條 等 能 量 曲 線 為 同 一 相 徑, 非 封 mgl 4 Ω 閉 之 相 徑 能 量 較 高 代 表 繞 支 軸 之 旋 轉 運 動, 而 封 閉 之 相 徑 能 量 低 ; 代 表 來 回 之 擺 動, 而 E*=1 之 相 徑 代 表 不 穩 定 之 運 動 ; 將 空 間 隔 成 上 下 兩 區, 其 觀 念 如 同 平 面 相 圖 中 所 述 3D 相 空 間 幾 何 式 地 代 表 簡 單 振 動 系 統 的 動 力 學 是 極 有 用 的, 在 往 後 研 究 中 預 計 朝 向 多 質 點 系 統 之 相 空 間 探 討 並 驗 證 Liouville s Theorem 13

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七. 此 圖 為 T 與 E*, Ω 之 關 係 3D 圖, 由 前 述 中 : π T= Γ( n +.5) n [ ( E*) ] Ω = π Γ( n + 1) n 可 以 驗 證 此 3D 圖 之 長 相 由 Ω 處 看 去 即 可 得 T- Ω 圖, 由 E* 處 看 去 即 可 得 T-E* 圖 至 此, 研 究 單 擺 之 力 學 架 構 之 結 語 與 心 得 : ( 一 )E*(θ, θ ' ) : 能 量 守 衡 觀 點 與 運 動 分 析 ( 二 )T (E*, Ω ) : 週 期 性 運 動 之 週 期 探 索 方 法 ( 三 ) 使 用 了 很 好 的 微 分 方 程 數 值 分 析 對 於 非 線 性 力 學 有 了 初 步 之 認 識 ( 四 ) 數 學 軟 體 在 數 據 分 析 時 提 供 了 適 當 之 協 助 八. 次 阻 尼 擺 動 : - 雖 然 不 像 簡 諧 阻 尼 振 動 ( 參 考 質 點 和 系 統 的 古 典 動 力 學 一 書 :(p94~p11) 有 著 解 析 的 分 類 阻 尼 參 數 去 分 隔 次 阻 尼, 臨 界 阻 尼, 超 阻 尼 三 種 情 形, 我 們 還 是 可 以 15

利 用 數 值 分 析 的 方 法 配 合 前 面 所 述 寫 下 的 程 式, 再 將 對 一 組 已 知 的 初 始 條 件 下 臨 界 阻 尼 接 近 平 衡 的 時 間 較 次 阻 尼 或 超 阻 尼 都 要 來 得 短 的 特 性, 也 可 以 找 出 在 已 知 的 Ω 下 所 對 應 的 臨 界 阻 尼 參 數 a, 所 找 出 的 結 果 如 下 表 : Ω.1.6.1.6 1 5 6 1 6 1 a.1948.48774.63394 1.54795 1.999331 4.4713595 4.899317 6.36748 15.944 4.666 在 質 點 和 系 統 的 古 典 動 力 學 一 書 中 對 簡 諧 阻 尼 振 動 有 詳 細 求 出 臨 界 的 阻 尼 參 數 a = Ω 今 以 Ω =1 對 應 臨 界 阻 尼 參 數 a =1.9993317 為 例 來 討 論 各 種 阻 尼 擺 動 : 這 六 張 圖 是 阻 尼 參 數 a=.1 和.5 之 次 阻 尼 擺 動 的 θ- t,θ -t 以 及 相 圖, 我 們 發 現 ( 一 ) 因 為 θ = -a*θ - l g Sinθ = -a*θ - Ω Sinθ 故 所 有 可 能 的 擺 動 過 程 中 平 衡 點 ( 合 力 矩 =) 必 出 現 在 θ =, 即 曲 線 Ω θ = - a Sinθ = -1* Sinθ 代 表 的 點 集 合 上 面. 當 其 相 徑 通 過 該 平 衡 曲 線 時, θ ' 恰 為 極 大 值 或 極 小 值 ( 在 圖 中 以 黑 逗 點 標 示 ), 可 以 理 解 平 衡 點 並 不 一 定 是 在 最 高 或 最 低 點 上 : (1) 若 通 過 最 高 點 之 速 度 不 為, 則 平 衡 點 出 現 在 重 力 的 切 線 分 量 與 阻 力 抵 銷 之 處 ( 如 右 圖 ) () 若 通 過 最 高 點 之 速 度 恰 為, 則 平 衡 點 出 現 在 最 高 點 但 卻 為 不 穩 定 的 平 衡 點, 如 相 圖 中 所 示 : 深 藍 色 的 平 衡 曲 線 通 過 在 -3π,-π,π,3π 這 16

些 位 置 上, 水 藍 色 箭 頭 可 表 示 出 其 為 不 穩 定 的 平 衡 點 ( 二 ) 運 動 不 是 週 期 性 的, 或 者 說 單 擺 永 不 會 以 相 同 的 速 度 通 過 一 點 兩 次, 與 前 所 討 論 的 無 阻 力 單 擺 對 比, 阻 尼 單 擺 的 能 量 不 是 持 久 不 變 的, 它 的 能 量 是 持 續 地 付 給 阻 尼 性 介 質 並 消 耗 為 熱 ( 或 者 可 能 以 流 體 波 的 形 式 化 為 輻 射 ). 能 量 消 耗 率 與 θ 平 方 成 正 比, 當 單 擺 於 平 衡 點 上 而 到 達 最 大 速 度 時, 耗 損 率 將 為 最 大 ( 三 ) 相 圖 中 所 標 示 的 A(pi),A(4pi),A(6pi) 代 表 各 種 初 狀 態 之 相 徑 終 點 分 別 為 pi,4pi,6pi, 也 就 是 說 給 定 任 何 一 組 (θ, θ ' ) 我 們 就 可 以 根 據 相 圖 中 相 徑 終 點 的 分 隔 區 域 來 決 定 它 的 相 徑 路 線 和 終 點 這 和 之 前 所 討 論 的 無 阻 力 情 形 是 截 然 不 同 的 17

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九. 超 阻 尼 擺 動 : 依 θn -tn 圖 可 分 為 三 類 現 在 是 有 關 於 超 阻 尼 擺 動 的 討 論 我 們 以 Ω =1, 阻 尼 參 數 a=.5 來 作 例 子 : ( 一 ) 首 先 如 同 在 次 阻 尼 所 討 論 的 一 樣, 仍 然 是 有 著 一 條 以 平 衡 點 為 集 合 的 曲 線 : Ω θ = - a Sinθ =-.4* Sinθ 也 就 是 所 有 的 相 徑 和 該 曲 線 之 交 點 皆 為 平 衡 點 ( 二 ) 在 這 種 超 阻 尼 的 擺 動 所 有 的 相 徑 最 後 都 會 極 趨 近 於 一 條 直 線 ( 相 圖 中 黑 色 虛 線 ), 且 終 點 必 在 -π,,π 這 些 位 置 上 那 這 些 黑 色 虛 線 是 如 何 得 的 到 呢? 因 為 當 任 何 相 徑 極 靠 近 終 點 的 時 候 角 度 和 角 速 度 都 非 常 的 小, 那 就 可 以 將 運 動 視 為 簡 諧 阻 尼 振 動, 所 以 運 動 方 程 式 就 可 以 近 似 為 at θ =-a*θ - Ω t t θ, 此 時 方 程 式 之 解 為 θ(t)= ( ω + ω ) e A 1 e A e

其 中 = a ω Ω, 再 代 入 初 始 條 件 後 就 可 得 到 θ = 1 + A 4 a = A ( ) A ( ω + a A ' 及 θ 1 ω ) 可 解 出 A1 及 A, 另 令 當 t = T 時 θ(t) = at + = A A1 A θ e 1 A1 A1 ' a θ + + ω θ 即 生 出 所 需 的 線 方 程 式 因 此 ( 三 ) 超 阻 尼 情 形 產 生 一 種 非 振 動 性 而 漸 近 於 零 的 幅 度 減 小 但 隨 θ ' 不 同, 在 θ 接 近 於 零 之 前,θ 可 能 改 變 符 號 對 於 任 一 個 初 始 條 件 (θ, θ ' ) 所 產 生 的 各 種 相 徑 可 分 為 三 類 : Ⅰ. 擺 動 過 程 中 會 出 現 兩 個 平 衡 點,θ 一 成 不 變 趨 近 於 終 點 : Ω 即 相 徑 會 與 平 衡 點 集 合 曲 線 θ = - a Sinθ =-.4* Sinθ 有 兩 個 交 點 ( 放 大 相 圖 中 黑 色 逗 點 處 ), 其 中 一 個 代 表 速 率 極 大 處, 另 一 個 代 表 速 率 極 小 處, 此 種 情 況 是 初 狀 態 (θ, θ ' ) 位 於 相 平 面 分 界 圖 中 A(1),A(4),B(1), B(4),C(1), C(4) 區 塊 內 換 句 話 說 當 初 狀 態 (θ, θ ' ) 1

例 如 (-4.8,5),(4.8,-5),(1.5,5),(-1.5,-5) 是 在 這 些 區 塊 內 則 其 擺 動 過 程 中 必 會 有 一 個 極 大 速 率 與 一 個 極 小 速 率 的 位 置 現 在 用 (-4.8,5) 作 例 說 明 之 : 如 右 圖 從 出 發 點 到 第 一 個 平 衡 點 的 過 程 中, 阻 力 大 於 重 力 分 量,θ 持 續 變 小, 且 阻 力 減 少 得 比 重 力 分 量 減 少 來 得 快, 當 兩 力 相 等 時 合 力 矩 為 零 即 為 第 一 個 平 衡 點, 此 時 θ 為 極 小 ( 約.85) 由 第 一 個 平 衡 點 到 第 二 個 平 衡 點 的 過 程 中, 重 力 分 量 大 於 阻 力,θ 逐 漸 變 大, 且 重 力 分 量 增 加 比 阻 力 增 加 來 得 快, 當 兩 力 再 度 相 等 時 合 力 矩 為 零, 即 到 達 第 二 個 平 衡 點, 此 時 θ 為 極 大 ( 約.39) 由 第 二 個 平 衡 點 到 終 點 的 過 程 中, 阻 力 大 於 重 力 分 量,θ 迅 速 地 減 少, 重 力 分 量 和 阻 力 均 同 時 迅 速 減 少 至 零 終 歸 於 原 點 Ⅱ. 擺 動 過 程 中 只 出 現 一 個 平 衡 點,θ(t) 在 趨 近 於 零 之 前 某 t > 時 到 達 一 個 Ω 極 值 : 即 相 徑 會 與 平 衡 點 集 合 曲 線 θ = - a Sinθ =-.4* Sinθ 只 有 一 個 交 點 ( 放 大 相 圖 中 黑 色 逗 點 處 ), 此 平 衡 點 處 必 出 現 速 率 極 大, 此 種 情 況 是 初 狀 態 (θ, θ ' ) 位 於 相 平 面 分 界 圖 中 A(3),A(6),B(3),B(6), C(3), C(6) 區 塊 內, 換 句 話 說 當 初 狀 態 (θ, θ ' ) 例 如 (-1.5,6),(1,4), (1.5,-6),(-1,-4) 是 在 這 些 區 塊 內 則 其 擺 動 過 程 中 必 只 有 一 個 速 率 極 大 之 處 現 在 用 (1,4) 來 為 例 說 明 ( 如 右 圖 ): 由 出 發 點 到 最 大 角 度 之 過 程 中, 重 力 分 量 與 阻 力 同 方 向 使 得 速 率 持 續 減 少 至 零 由 最 大 角 度 到 平 衡 點 的 過 程 中, 重 力 分 量 大 於 阻 力 使 得 速 率 漸

增 且 阻 力 漸 增, 當 阻 力 等 於 重 力 分 量 時 即 到 達 平 衡 點, 此 時 速 率 出 現 極 大 值 由 平 衡 點 到 終 點 的 過 程 中, 阻 力 恆 大 於 重 力 分 量 且 反 方 向 故 速 率 持 續 減 少 至 零 Ⅲ. 擺 動 過 程 中 不 會 出 現 平 衡 點,θ 一 成 不 變 趨 近 於 終 點 : 即 相 徑 在 到 達 終 點 前 決 不 會 與 平 衡 點 集 合 的 曲 線 Ω θ = - a Sinθ =-.4* Sinθ 有 任 何 相 交, 此 種 情 況 是 初 狀 態 (θ, θ ' ) 位 於 相 平 面 分 界 圖 中 A(), A(5),B(),B(5),C(), C(5) 區 塊 內, 換 句 話 說 當 初 狀 態 (θ, θ ' ) 例 如 (-4, 6),(-3., 6),(3., -6),(4, -6) 是 在 這 些 區 塊 內 則 其 擺 動 過 程 中 θ 和 θ 都 一 成 不 變 得 減 少 至 零 現 以 (4, -6) 為 例 說 明 : 由 出 發 點 到 最 高 點 的 過 程 中, 重 力 分 量 與 阻 力 同 方 向 且 皆 與 速 度 反 向, 故 速 率 漸 減 由 最 高 點 到 終 點 的 過 程 中, 重 力 分 量 與 阻 力 反 方 向 且 阻 力 恆 大 於 重 力, 故 速 率 仍 然 持 續 減 少 至 零 3

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柒. 結 論 : 一. 其 實 所 有 無 阻 尼 的 實 驗 結 果 可 以 分 為 三 部 份 : ( 一 ) 力 學 能 E<mgl( 以 最 低 點 為 零 位 能 ): 在 此 條 件 之 下, 不 論 初 角 度 與 初 角 速 度 如 何 其 相 圖 皆 為 封 閉 的, 而 且 E 越 小 時 相 圖 越 接 近 橢 圓 也 就 是 其 運 動 越 接 近 簡 諧 運 動, 當 E 越 大 時 期 相 圖 會 以 類 似 菱 形 放 大 但 會 到 達 一 個 極 限 ( 二 ) 力 學 能 E=mgl( 以 最 低 點 為 零 位 能 ): 在 此 條 件 之 下, 不 論 初 角 度 與 初 角 速 度 如 何 其 相 圖 為 餘 弦 函 數 此 乃 代 表 不 穩 定 之 情 況 ( 在 最 高 點 為 不 穩 定 的 平 衡 點 ) ( 三 ) 力 學 能 E>mgl( 以 最 低 點 為 零 位 能 ): 在 此 條 件 之 下, 不 論 初 角 度 與 初 角 速 度 如 何 其 相 圖 皆 為 非 封 閉 的, 這 代 表 著 它 不 是 一 個 振 動 而 是 同 方 向 的 迴 旋 轉 動 二. 有 阻 尼 時 其 相 圖 皆 為 非 封 閉 的, 代 表 著 力 學 能 為 遞 減, 且 角 速 度 出 現 極 值 的 地 方 並 不 是 在 最 高 或 最 低 點, 由 數 據 發 現 次 阻 尼 時 不 可 能 界 定 出 一 個 固 定 的 週 期, 而 且 也 不 會 以 相 同 的 速 度 通 過 同 一 點 兩 次, 而 臨 界 阻 尼 與 超 阻 尼 並 不 是 振 動 的 同 時, 在 超 阻 尼 的 情 況 相 徑 最 終 會 趨 近 於 一 條 直 線, 該 直 線 方 程 式 為 Ω ' a a 4 θ = ( ) *θ 4 該 方 程 式 可 由 θ 和 θ 都 趨 近 於 時 振 動 近 似 為 線 性 簡 諧 阻 尼 振 動, 找 出 其 方 程 式 的 解, 便 可 求 出 三. 關 於 實 際 情 況 中 之 單 擺 擺 動, 我 們 歸 納 出 : 6

捌. 參 考 資 料 : 一.(1) 編 譯 者 : 冉 長 壽 () 書 名 : 質 點 和 系 統 的 古 典 動 力 學 (3) 版 次 : 增 定 八 版 (4) 出 版 地 : 新 店 市 (5) 出 版 社 : 徐 氏 基 金 會 (6) 頁 數 :55 頁 (7) 出 版 年 : 民 國 77 年 月 9 日 二.(1) 作 者 :ERWIN KREYSZIG () 書 名 : 高 等 工 程 數 學 (3) 版 次 : 第 6 版 (4) 出 版 地 : 臺 北 (5) 出 版 社 : 松 崗 圖 書 公 司 (6) 頁 數 :3 頁 (7) 出 版 年 : 民 國 79 年 7

( 第 二 名 ) 本 作 品 是 用 RK4 方 法 模 擬 非 小 角 度 單 擺 的 運 動, 除 了 說 明 有 阻 尼 與 無 阻 尼 的 兩 種 狀 況 下 的 擺 角 隨 時 間 之 變 化 外, 也 能 解 釋 反 折 點 附 近 的 能 量 及 其 消 耗 變 化 提 供 單 擺 運 動 相 當 完 整 的 認 識, 作 品 嚴 謹 完 整, 有 學 術 性 8