折 紙 與 數 學 教 學 折 紙 與 數 學 相 結 合 的 開 始 大 約 可 追 溯 到 西 元 8 世 紀 中 期, 處 於 文 化 鼎 盛 時 期 的 阿 拉 伯 人 獨 立 發 展 了 折 紙 藝 術, 他 們 將 歐 洲 幾 何 學 原 理 運 用 到 折 紙 中, 並 且 利 用 折 紙 來 研 究 幾 何 學 從 19 世 紀 開 始, 折 紙 在 西 方 成 爲 了 數 學 和 科 學 研 究 的 工 具, 解 決 在 折 紙 過 程 中 發 現 的 一 些 數 學 之 迷 已 經 發 展 成 爲 現 代 幾 何 學 的 一 個 分 支 折 紙 作 爲 一 種 人 們 熟 悉 的 娛 樂 活 動, 已 被 一 些 教 師 運 用 到 了 數 學 教 學 的 過 程 中 上 學 期, 我 也 在 學 校 嘗 試 開 了 一 門 拓 展 性 課 程 折 紙 數 理 學, 初 步 體 驗 了 折 紙 在 數 學 教 學 中 的 一 些 應 用 一 學 期 來 我 在 教 學 過 程 中 遇 到 過 問 題, 對 折 紙 教 學 的 現 狀 有 思 考, 對 折 紙 教 學 的 未 來 也 有 憧 憬 一. 紙 應 用 於 數 學 教 學 的 現 狀 目 前 我 國 的 一 些 中 學 教 師 和 高 校 教 授 陸 續 發 表 過 文 章, 對 折 紙 在 數 學 教 學 中 的 應 用 作 了 探 討 和 研 究 上 海 師 範 大 學 數 理 資 訊 學 院 的 陸 新 生 老 師 于 曾 對 01 級 數 學 與 應 用 數 學 師 範 班 的 學 生 開 設 的 數 學 教 育 科 研 方 法 一 課 中 介 紹 了 折 紙 與 中 學 數 學 相 關 的 一 系 列 課 題 同 時, 他 也 在 上 海 師 範 大 學 附 屬 中 學 裏 開 設 折 紙 數 理 學, 以 原 版 日 本 折 紙 書 爲 教 材, 積 極 推 廣 折 紙 在 數 學 教 學 中 的 應 用 雖 然, 折 紙 或 是 作 爲 一 種 專 門 的 選 修 課, 或 是 作 爲 教 學 ( 大 多 是 幾 何 教 學 ) 的 輔 助 工 具 有 著 除 娛 樂 之 外 的 教 育 功 能, 但 它 的 某 些 教 學 應 用 價 值 和 使 用 手 段 尚 未 被 廣 大 師 生 所 認 知 認 可 同 時, 其 自 身 還 面 臨 著 來 自 各 方 面 的 挑 戰 和 阻 力, 所 有 的 應 用 和 教 學 活 動 也 都 只 是 在 摸 索 和 嘗 試 的 過 程 中 折 紙 應 用 於 數 學 教 學 按 其 應 用 形 式, 一 般 有 : 課 堂 上 的 專 題 討 論 課 堂 上 應 用 折 紙 作 爲 輔 助 教 學 工 具 演 示 幾 何 形 態 提 供 課 後 學 生 思 考 的 操 作 題 [1] 出 現 在 試 題 中 的 探 索 開 放 題 1. 折 紙 活 動 中 豐 富 的 數 學 探 索 上 海 市 青 浦 教 育 進 修 學 院 的 宋 偉 倩 孫 志 遠 老 師 和 華 東 師 範 大 學 數 學 系 的 黃 榮 金 老 師 以 如 何 在 實 驗 操 作 中 讓 學 生 體 驗 數 學 發 現 的 過 程, 感 悟 數 學 思 想 方 法 和 本 質 [2] 作 爲 研 究 的 主 題 在 課 堂 上 討 論 了 用 紙 片 折 幾 何 圖 形 的 課 題 問 題 是 讓 學 生 思 考 能 否 將 一 張 長 方 形 紙 片 折 出 等 腰 三 角 形, 用 直 角 三 角 形 以 及 任 意 三 角 形 紙 片 折 成 一 個 長 方 形 ( 要 求 重 疊 部 分 只 能 有 兩 層 紙 ) 學 生 們 通 過 折 紙 活 動 和 小 組 交 流 發 現 了 很 多 不 同 的 折 法, 然 後 各 自 分 別 在 實 物 投 影 上 演 示 折 紙 過 程, 並 說 明 理 由 江 蘇 省 武 進 高 級 中 學 的 劉 紹 周 老 師 曾 嘗 試 以 作 業 的 形 式 要 求 學 生 在 課 後 完 成 幾 何 體 的 製 作, 然 後 在 上 課 時 展 示 其 製 作 的 過 程 [3] 材 料 是 一 張 16K 紙, 要 求 是 將 它 折 疊 或 剪 下 後 拼 成 三 棱 錐, 並 且 不 能 廢 料 後 來 分 別 有 五 位 同 學 展 示 了 他 們 不 同 的 巧 妙 做 法 我 國 山 西 省 中 考 題 中 的 一 道 探 究 型 考 題 就 以 一 張 矩 形 的 紙 進 行 折 疊, 給 出 操 作 過
程, 在 第 (1) 題 中 讓 學 生 確 認 並 證 明 其 中 的 數 學 現 象, 並 且 在 第 (2) 題 中 提 出 對 任 意 矩 形 這 種 折 法 是 否 具 有 普 遍 性 的 問 題 請 學 生 探 索 [4] 這 些 鮮 活 的 案 例 都 取 得 了 良 好 的 教 學 效 果, 在 課 堂 中 課 堂 外 都 提 高 了 學 生 學 習 數 學 的 熱 情 又 由 於 折 紙 的 內 容 在 考 題 中 的 出 現, 使 一 些 學 生 對 折 紙 教 學 重 視 了 起 來 2. 折 紙 在 數 學 教 學 中 的 困 境 儘 管 折 紙 活 動 進 入 課 堂 對 活 躍 課 堂 氣 氛 調 動 學 生 學 習 數 學 的 積 極 性 等 方 面 起 到 了 明 顯 作 用 然 而 折 紙 的 數 學 教 學 功 能 依 然 沒 有 被 廣 大 師 生 所 認 知, 折 紙 在 數 學 教 學 中 的 應 用 依 然 不 普 及 歸 納 起 來, 大 致 有 : 1. 教 學 課 時 緊, 而 折 紙 與 教 材 內 容 相 關 不 大, 比 較 費 時 間 ; 2. 師 資 缺 乏, 廣 大 師 生 沒 有 這 方 面 的 認 知, 無 人 認 可, 不 被 推 廣 ; 3. 不 利 於 低 年 級 學 生 集 中 思 想, 高 年 級 同 學 又 覺 得 對 問 題 研 究 太 複 雜 ; 時 代 性 不 強, 展 示 能 力 不 如 電 腦 好 二. 折 紙 的 教 學 優 勢 折 紙 不 僅 可 以 作 爲 幾 何 教 學 的 輔 助 工 具, 即 幫 助 學 生 形 象 地 認 識 到 一 些 較 爲 抽 象 的 空 間 圖 形, 而 且 還 是 一 種 學 習 數 學 探 究 數 學 創 新 數 學 知 識 點 的 載 體 折 紙 過 程 中 所 體 現 出 來 的 許 多 幾 何 的 概 念, 諸 如 正 方 形 矩 形 直 角 三 角 形 梯 形 等 幾 何 形 狀 ; 對 角 線 中 點 垂 直 平 分 線 等 幾 何 名 稱 ; 全 等 畢 氏 定 理 等 幾 何 法 則 ; 內 接 面 積 及 其 他 一 些 幾 何 代 數 的 概 念, 就 給 學 生 提 供 了 彌 補 思 維 過 程 中 斷 缺 的 部 分, 符 合 學 生 認 知 的 習 慣 我 們 現 行 的 教 學 方 式 難 以 給 學 生 創 造 出 動 手 實 驗 直 覺 判 斷 合 情 推 理 這 樣 的 認 知 過 程, 也 不 能 給 學 生 根 據 自 己 的 能 力 得 到 不 同 層 次 結 論 的 機 會 而 相 比 之 下, 折 紙 的 應 用 能 有 助 於 激 勵 每 一 個 學 生 參 與 到 力 所 能 及 的 探 索 中, 它 能 提 供 學 生 仔 細 觀 察, 廣 泛 聯 想, 多 方 向 多 角 度 多 層 次 去 思 考 的 機 會, 因 此 它 是 發 展 學 生 高 層 次 思 維 品 質 的 有 效 材 料 在 折 紙 過 程 中 去 體 驗 數 學 研 究 中 的 一 些 方 法, 其 研 究 趣 味 濃 探 索 性 強, 學 生 能 通 過 觀 察 嘗 試 猜 測 轉 移 類 推 特 殊 化 等 途 徑 去 認 識 到 其 中 的 數 學 原 理, 同 時 也 培 養 了 學 生 樹 立 一 種 形 成 正 確 的 答 案 或 解 題 方 案 可 能 不 止 一 個 的 數 學 觀 其 次, 折 紙 符 合 新 課 標 倡 導 自 由 合 作 探 究 的 學 習 方 式, 使 學 生 獲 得 生 動 活 潑 的 主 動 而 富 有 個 性 的 發 展 ; 新 課 程 四 大 學 習 領 域 之 一 空 間 與 圖 形 主 要 表 現 的 內 容 是 : 能 由 實 物 的 形 狀 想 象 出 幾 何 圖 形, 由 幾 何 圖 形 想 象 出 實 物 形 狀, 進 行 幾 何 體 與 三 視 圖 展 開 圖 之 間 的 轉 化 ; 能 根 據 條 件 做 出 立 體 模 型 或 畫 出 圖 形 其 中 再 次 提 出 學 生 動 手 操 作 在 數 學 幾 何 教 學 中 的 重 要 作 用 新 課 程 標 準 還 提 出, 數 學 課 程 的 基 本 出 發 點 是 促 進 學 生 全 面 持 續 和 諧 地 發 展 它 不 僅 要 考 慮 數 學 自 身 的 特 點, 更 應 遵 循 學 生 學 習 數 學 的 心 理 規 律 強 調 從 學 生 已 有 的 生
活 經 驗 出 發, 讓 學 生 親 身 經 歷 將 實 際 問 題 抽 象 成 爲 數 學 模 型 並 進 行 解 釋 與 應 用 的 過 程, 進 而 使 學 生 獲 得 對 數 學 理 解 的 同 時, 在 思 維 能 力, 情 感 態 度 與 價 值 觀 等 多 方 面 得 到 進 步 和 發 展 折 紙 活 動 讓 學 生 動 手 實 踐 就 是 遵 循 了 這 一 基 本 出 發 點, 使 他 們 在 獲 得 知 識 的 同 時, 在 思 維 開 發 動 手 能 力 方 面 都 有 更 大 的 進 步 另 外, 用 折 紙 的 方 法 來 探 索 數 學 結 論 這 種 教 學 方 法 具 有 普 適 性 折 紙 就 其 本 身 而 言, 取 材 方 便, 只 需 要 我 們 日 常 生 活 中 最 常 見 的 紙, 不 受 時 間, 場 合 的 限 制 而 且, 它 的 操 作 過 程 簡 明 易 懂, 一 般 的 同 學 都 能 接 受, 不 論 是 學 習 能 力 好 的 或 是 欠 缺 的 同 學 都 能 參 與 進 行 它 是 一 種 大 衆 的 教 學 而 非 英 才 教 育, 這 與 當 前 倡 導 的 人 人 學 習 有 用 的 數 學 ; 人 人 學 習 想 學 的 數 學 是 一 致 的 所 以, 折 紙 在 數 學 教 學 中 具 有 改 善 課 堂 氣 氛 ; 培 養 學 生 的 學 習 熱 情 和 探 索 能 力 ; 能 有 效 闡 述 數 學 原 理 ; 解 決 論 證 難 以 解 決 的 問 題 等 優 勢 三. 折 紙 在 數 學 教 學 中 應 用 的 建 議 1. 折 紙 自 身 教 學 資 源 的 進 一 步 提 升 對 紙 張 的 進 一 步 開 發 在 折 紙 的 教 學 過 程 中, 折 痕 線 是 非 常 重 要 的 教 學 痕 迹, 爲 了 更 好 地 呈 現 折 紙 中 的 數 學 原 理, 建 議 可 以 用 有 網 格 的 折 紙, 這 樣 折 痕 線 的 位 置 就 方 便 考 察, 有 些 操 作 也 就 能 更 方 便, 更 精 確 一 些 比 如, 在 討 論 決 定 一 次 折 返 片 形 狀 的 頂 點 分 佈 圖 [5] 的 操 作 時, 爲 了 觀 察 點 的 位 置 分 佈, 找 出 規 律, 學 生 將 紙 張 進 行 反 復 折 疊 形 成 網 格 來 探 究, 這 樣 要 花 去 不 少 課 堂 內 的 時 間, 同 時 也 增 加 了 紙 張 的 褶 皺 如 果 換 成 帶 有 網 格 的 紙 張, 就 可 以 減 少 畫 網 格 的 時 間, 也 使 折 疊 出 來 的 折 痕 效 果 更 清 晰, 便 於 觀 察 所 以 如 能 研 製 出 專 門 的 數 學 教 學 專 用 折 紙 紙 張, 能 有 網 格 來 表 示 座 標, 有 不 同 的 顔 色 來 表 示 折 疊 後 的 區 域 等 特 殊 性 質, 那 麽 不 僅 是 解 決 了 上 述 調 研 中 引 發 的 問 題, 也 是 促 使 折 紙 教 學 進 一 步 專 門 化 的 一 種 方 法 多 媒 體 輔 助 教 學 現 在 許 多 數 學 內 容 已 製 作 成 多 媒 體 課 件, 爲 的 是 使 學 生 能 更 好 地 理 解 一 些 複 雜 難 以 精 確 畫 出 的 幾 何 圖 形 已 無 須 教 師 費 時 在 黑 板 上 畫 出 所 以 在 折 紙 課 上, 我 們 可 以 保 留 讓 學 生 折 紙 操 作, 但 是 在 教 師 示 範 展 示 時 可 以 結 合 同 步 電 腦 幾 何 畫 板 或 Flash 動 畫 的 演 示, 這 樣 既 能 使 每 一 步 操 作 留 下 先 後 順 序 的 痕 迹, 又 能 使 坐 在 不 同 位 置 的 學 生 都 觀 察 到 放 大 了 的 清 晰 畫 面, 起 到 了 單 一 教 學 法 所 不 能 起 到 的 效 果 建 立 科 學 完 備 的 教 學 體 系 日 本 和 我 國 同 屬 東 亞 文 化 系 統, 他 們 的 數 學 教 材 頗 具 東 亞 文 化 傳 統, 十 分 重
視 課 題 學 習, 力 求 實 現 使 學 生 參 與 操 作 觀 察 實 驗 等 活 動 的 目 標 在 新 初 中 數 學 教 學 大 綱 的 教 學 內 容 中, 如 讓 學 生 測 量 A4 B4 紙 的 長 和 寬, 再 將 其 對 折 得 到 A5 B5 紙, 依 次 類 推, 從 得 到 的 資 料 中 發 現 長 寬 之 比 爲 定 值 各 圖 形 間 的 相 似 關 係 等 性 質 [6] 新 高 等 學 校 數 學 課 程 的 教 材 數 學 基 礎 中 的 一 章 數 學 和 人 類 的 活 動 中, 用 芳 賀 第 一 定 理 來 展 現 平 面 圖 形 的 教 學 內 容 這 樣 就 很 自 然 流 暢 地 將 折 紙 引 入 數 學 教 材 中, 進 入 數 學 課 堂 所 以, 在 折 紙 教 材 選 擇 的 問 題 上, 我 們 也 可 以 借 鑒 日 本 的 經 驗, 當 然 還 要 符 合 我 國 學 生 的 實 際 情 況, 細 分 各 年 級 的 適 應 程 度, 對 內 容 做 相 應 的 增 減 和 調 整 充 分 考 慮 不 同 年 級 學 生 的 數 學 課 內 容 和 課 時 進 度, 以 不 同 難 易 程 度 的 折 紙 教 學 與 之 相 適 應, 在 適 當 的 章 節 中 推 薦 教 師 使 用, 同 時 配 以 練 習, 留 給 學 生 在 課 外 思 考 這 樣 就 能 解 決 折 紙 內 容 與 教 材 無 關 這 一 矛 盾 了 另 外, 在 開 設 選 修 課 之 前, 可 以 先 舉 辦 一 個 講 座 或 是 進 行 適 當 的 宣 傳, 目 的 是 讓 學 生 們 瞭 解 折 紙 課 真 正 的 內 容 因 爲, 大 多 數 學 生 在 接 觸 折 紙 課 之 前 並 不 瞭 解 這 門 課 程 的 真 正 內 容, 而 選 修 課 本 來 就 應 該 是 學 生 憑 自 己 的 喜 好 和 需 要 來 選 擇, 如 果 學 生 並 不 真 正 瞭 解 該 課 程 而 在 將 來 選 修 的 過 程 中 十 分 勉 強 甚 至 後 悔, 則 就 違 背 了 學 校 開 設 選 修 課 的 初 衷 了 教 學 力 量 的 加 強 針 對 師 資 的 缺 乏, 教 學 力 量 薄 弱 這 一 問 題, 就 應 該 從 教 師 自 身 素 質 的 提 升 做 起 當 然 這 要 靠 專 家 對 新 手 的 宣 傳 和 培 訓 最 好 我 們 能 先 確 立 前 面 提 到 的 專 門 教 學 材 料 和 課 程 設 置, 提 倡 一 部 分 人 先 用 起 來, 各 個 學 校 進 行 交 流, 以 點 帶 面 國 外 有 折 紙 協 會, 我 們 也 可 以 成 立 自 己 專 門 的 折 紙 協 會, 從 事 收 集 案 例, 交 流 經 驗, 翻 譯 國 際 上 優 秀 教 材 從 而 轉 換 爲 適 合 中 國 國 情 的 教 材, 開 展 教 師 的 培 訓 等 工 作, 以 次 來 普 及 提 高 我 國 的 折 紙 教 學, 獲 得 社 會 更 多 的 認 可 2. 外 界 教 學 氛 圍 的 支 援 目 前 教 學 的 氣 氛 和 觀 念 是 在 以 往 應 試 教 育 這 種 時 代 下 所 形 成 的, 這 種 急 功 近 利 的 教 學 氣 氛 使 得 教 師 不 捨 得 佔 用 較 長 教 學 時 間 去 研 究 與 考 試 不 太 相 關 的 教 材 上 不 曾 出 現 過 的 從 前 的 教 學 經 驗 中 不 曾 涉 及 到 的 新 內 容 學 生 當 然 也 不 願 意 把 本 來 就 很 寶 貴 的 時 間 用 到 這 一 類 新 事 物 中 去, 雖 有 興 趣, 但 也 只 能 望 之 興 歎 甚 至 有 些 學 生 認 爲 學 習 折 紙 中 的 數 學, 僅 在 折 紙 的 具 體 操 作 時 是 有 趣 的, 在 發 現 其 中 的 數 學 現 象 時 是 興 奮 的, 但 在 確 認 數 學 原 理 時 的 計 算 或 是 證 明 是 複 雜 的 枯 燥 無 味 的, 因 此 而 遠 離 了 折 紙 教 學 當 然, 我 們 不 否 認 數 學 的 計 算 或 證 明 是 以 簡 潔 爲 最 佳, 也 是 教 師 在 教 學 過 程 中 提 倡 學 生 去 追 求 的, 但 並 不 是 所 有 的 數 學 結 論 和 方 法 都 應 該 是 輕 鬆 簡 單 的, 這 不 是 我 們 在 數 學 探 索 的 道 路 上 應 有 的 科 學 觀 和 應 具 備 的 品 質 所 幸 的 是, 隨 著 時 代 的 進 步, 我 國 教 育 部 十 分 關 注 學 生 的 成 長 成 材, 並 寄 予 了 極 大 的 期 望 二 期 課 改 的 新 精 神 給 我 們 的 教 育 注 入 了 新 的 活 力 目 前 很
多 有 條 件 的 學 校 已 經 開 始 在 學 校 裏 開 設 多 種 選 修 課, 給 學 生 提 供 第 二 課 堂, 在 抓 升 學 率 的 同 時, 更 保 證 了 學 生 的 學 能 與 學 習 興 趣 的 培 養 只 有 在 這 種 教 學 環 境 下, 折 紙 教 學 才 能 有 的 放 矢 地 開 展 但 是 改 革 是 需 要 時 間 的, 新 事 物 也 只 有 在 實 踐 過 程 中, 體 現 出 其 優 勢 時, 才 會 被 大 家 所 接 受 我 們 希 望 廣 大 師 生 能 大 膽 嘗 試, 給 予 這 類 新 的 好 的 教 學 法 以 支 援 和 回 應, 使 它 們 在 教 學 中 發 揮 出 應 有 的 價 值 四. 結 束 語 本 文 僅 在 學 習 了 部 分 相 關 書 籍, 根 據 筆 者 的 一 些 親 身 體 驗 及 心 得 寫 成, 希 望 不 僅 能 給 目 前 的 教 改 提 供 一 種 可 參 考 的 新 式 教 學 法, 也 能 給 類 似 折 紙 這 樣 能 激 發 學 生 的 探 索 能 力 培 養 動 手 能 力 ; 形 成 生 活 化 趣 味 化 形 象 化 的 數 學 觀 ; 提 高 數 學 教 學 的 其 他 方 法, 應 如 何 應 用 於 課 堂 教 學 優 化 數 學 教 學 提 供 了 一 個 實 例 以 作 借 鑒 對 於 折 紙 教 學 應 用 建 議 的 可 行 性, 以 及 怎 樣 將 建 議 較 好 地 實 施 是 有 待 於 進 一 步 探 討 和 研 究 的 課 題 筆 者 希 望 有 志 於 數 學 教 學 工 作 熱 忠 於 折 紙 教 學 的 老 師 和 同 學 們 共 同 來 關 心 探 索 發 展 我 國 的 折 紙 教 學 事 業 參 考 文 獻 [1] 張 思 明, 白 永 瀟 編 著 : 數 學 課 題 學 習 的 實 踐 與 探 索, 高 等 教 育 出 版 社,2003 年 8 月 第 1 版,206-217 [2] 宋 偉 倩, 黃 榮 金 : 在 折 紙 活 動 中 想 數 學 和 說 數 學, 數 學 教 學,2004 年 第 5 期, 封 二 -4 [3] 劉 少 周 : 小 紙 片 簡 單 幾 何 製 作 的 研 究 性 學 習, 數 學 教 學,2004 年 第 11 期,14-15 [4] 何 昌 俊, 初 永 梅 : 探 究 型 中 考 題 說, 數 學 教 學,2004 年 第 1 期,33 [5] 芳 賀 和 夫 著 : 折 紙 數 理 學 的 課 堂 教 學 ( 日 文 ), 明 治 圖 書,1996 [6] 陸 書 環, 傅 海 倫 編 著 : 數 學 教 學 論, 科 學 出 版 社,2004 年 3 月 第 一 版,245-249