牌 戲 與 數 學 一 搶 24 計 算 24 點 是 腦 力 遊 戲, 規 則 簡 單, 每 個 學 過 數 學 加 減 乘 除 四 則 運 算 的 學 生 都 能 玩 玩 的 次 數 愈 多, 愈 會 發 現 的 數 字 組 合 變 化 豐 富, 趣 味 無 窮 遊 戲 的 基 本 玩 法 是 將 一 副 樸 克 牌 中 的 J Q K 牌 拿 掉, 在 剩 下 的 的 4 張 樸 克 牌 中 隨 意 取 出 四 張, 把 每 張 牌 的 點 數 用 加 減 乘 除 的 方 法, 計 算 出 答 數 24 每 張 牌 的 點 數 只 能 計 算 一 次, 不 能 重 複 運 算 中 可 使 用 小 括 號 和 中 括 號 例 如 :6 6 2 => 6 + 6 + 2 + = 24 4 6 2 8 => 6 (4 2) 8 = 24 24 點 樸 克 牌 遊 戲 既 可 以 一 人 玩, 也 可 以 二 人 三 人 四 人 一 起 玩 二 人 玩 時, 每 人 各 出 二 張 牌 ; 三 人 玩 時, 可 輪 流 每 次 由 一 人 出 兩 張 牌, 其 他 二 人 各 出 一 張 牌 ; 四 人 玩 時, 每 人 分 十 張 牌, 每 次 隨 意 各 出 一 張 牌 在 四 人 玩 時, 其 中 三 人 已 叫 好 ( 算 出 答 案 ), 最 後 一 個 就 是 輸 者, 必 須 把 四 張 牌 拿 進 輸 者 在 拿 進 前 有 權 讓 先 算 出 的 三 人 中 任 何 一 人 回 答 解 題 方 法 被 叫 人 須 立 即 回 答, 不 能 再 思 考, 如 不 能 馬 上 回 答 就 把 這 四 張 牌 拿 進 ; 其 他 兩 人 不 能 代 替 回 答, 誰 回 答 誰 拿 進 四 張 牌, 遊 戲 以 先 將 手 中 牌 脫 手 者 為 勝 這 裡 特 別 強 調 的 是 四 人 必 須 統 一 時 間 出 牌, 可 由 一 人 喊 一 二 三, 同 時 出 手 計 算 24 點 的 基 本 方 法 () 最 後 一 步 成 為 8 = 24, 例 如 :9 6 8 9 (6 ) 8 = 24 (2) 最 後 一 步 成 為 4 6 = 24, 例 如 : 2 2 4 4 ( 2 2) = 24 () 最 後 一 步 成 為 2 2 = 24, 例 如 :2 2 ( + ) 2 2 = 24 利 用 以 上 三 種 基 本 方 法 及 其 衍 生 之 許 多 解 題 的 定 式, 可 以 說 包 括 了 計 算 24 點 的 絕 大 部 份 解 題 方 法 除 了 以 上 介 紹 的 以 外, 其 他 還 有 一 些 解 題 方 法, 如 全 數 相 加 和 個 別 特 殊 的 解 題 方 法 : 例 (): 5 6 + 5 + 6 + = 24 例 (2):7 7 2 ( 7 7 ) 2 = 24 例 ():5 7 9 2 5 7 9 2 = 24 相 連 數 的 計 算 方 法 玩 搶 24 點 遊 戲, 經 常 出 現 四 張 牌 中 有 二 個 數 相 連 三 個 數 相 連 或 四 個 數 相 連 的 情 況, 下 面 分 別 來 介 紹 出 現 相 連 數 的 計 算 方 法. 二 個 相 連 數 四 張 牌 中 經 常 會 出 現 這 種 情 況, 機 率 最 高 能 熟 練 地 運 用 二 個 數 相 連 的 計 算 規 律, 可 大 大 加 快 演 算 速 度 () 二 相 連 數 看 成, 例 如 :8 7 8 2 ( 8 7 + 2) 8 = 24 (b) 二 相 連 數 可 不 作 計 算, 例 如 :4 6 8 7 6 4 (8 7) = 24
從 上 面 的 例 子 我 們 已 經 知 道 當 四 張 牌 出 現 任 何 一 組 二 個 數 相 連, 而 另 二 張 牌 是 和 8, 或 4 和 6 時 即 可 解 根 據 二 相 連 數 看 成 的 原 理, 當 四 張 牌 有 任 何 一 組 二 個 相 連 數 而 另 二 張 牌 有 下 列 情 況 時 可 解 : 例 :8 9 7 [( 9 8) + 7] = 24 8 9 9 [ 9 (9 8)] = 24 8 9 8 2 ( 9 8 + 2) 8 = 24 8 9 8 [( 9 8) 8] = 24 8 9 8 4 [ 4 (9 8)] 8 = 24 8 9 6 ( 9 8 + ) 6 = 24 8 9 4 6 [( 9 8) 4] 6 = 24 8 9 5 6 [ 5 (9 8)] 6 = 24 8 9 5 4 ( 5 + 9 8) 4 = 24 8 9 7 4 [ 7 (9 8)] 4 = 24 上 面 各 題 中 的 一 組 相 連 數 8 9, 可 以 換 成 其 他 任 何 一 組 二 個 相 連 數, 解 法 均 一 樣 2. 三 個 相 連 數 () 可 看 成 三 個 相 連 數 中 最 前 面 一 個 數 例 :4 5 6 6 4 6 (6 5) = 24 (b) 可 看 成 三 個 相 連 數 的 中 間 一 個 數 例 :2 4 8 8 (4 + 2) = 24 (c) 可 看 成 三 個 相 連 數 中 最 後 面 一 個 數 例 :2 4 6 4 6 ( 2) = 24 (d) 可 看 成 三 個 相 連 數 中 最 前 面 一 個 數 減 去 例 :4 5 6 8 [ 4 (6 5)] 8 = 24 (e) 可 看 成 三 個 相 連 數 中 最 後 面 一 個 數 加 上 例 : 4 5 4 ( 4 + 5) 4 = 24 從 以 上 五 例 可 以 知 道, 當 出 現 三 個 相 連 數 時, 既 可 以 看 成 三 個 相 連 數 中 的 任 何 一 個, 又 可 以 看 成 三 個 相 連 數 前 後 的 任 何 一 個, 換 句 話 說, 可 以 把 三 個 數 看 作 五 個 數 中 的 任 意 一 個 例 如 出 現 5 6 7 三 個 數 相 連 時, 你 即 可 以 把 它 看 成 4 5 6 7 8 五 個 數 中 的 其 中 一 個, 這 時 如 另 一 張 牌 是 或 是 4 或 是 6 時, 都 可 以 計 算 成 24 另 外, 三 個 數 相 連 還 可 用 以 下 方 法 計 算 : (f) 可 看 成 三 個 相 連 數 中 間 一 個 數 的 二 倍 數 例 :2 4 4 ( 4 2) 4 = 24 (g) 可 看 成 三 個 相 連 數 中 間 一 個 數 的 三 倍 數 例 :6 7 8 (6 + 7 + 8) + = 24 2
. 四 個 相 連 數 四 個 數 相 連 出 現 的 機 率 極 少, 一 共 只 有 七 個 組 合, 每 個 組 合 均 可 解, 有 的 還 有 2 個 或 個 解 法 例 : 2 4 ( + 2 + ) 4 = 24 2 4 = 24 2 4 5 ( 5 + 2) 4 = 24 4 5 6 ( 5 4 + ) 6 = 24 相 同 數 的 計 算 方 法 玩 計 算 24 點 時, 也 經 常 出 現 二 個 以 上 相 同 的 數 四 張 牌 中 的 相 同 數 有 二 個 數 相 同 三 個 數 相 同 和 四 個 數 相 同 的 情 況, 下 面 就 其 速 算 方 法 分 別 作 一 介 紹. 二 個 數 相 同 這 種 情 況 在 四 張 牌 中 出 現 的 機 率 略 低 於 二 個 數 相 連, 出 現 的 頻 率 也 非 常 高 () 二 個 相 同 數 可 看 成 例 :5 5 2 8 ( 5 5 + 2) 8 = 24 7 7 6 ( 7 7 + ) 6 = 24 (2) 二 個 數 相 同 看 成 例 :7 7 8 8 (5 5) = 24 9 9 4 6 4 6 + (9 9) = 24 () 可 看 成 二 個 相 同 數 的 和 例 :5 5 2 7 5 + 5 + 2 7 = 24 4 4 2 6 ( 4 + 4) 6 2 = 24 (4) 可 看 成 二 相 同 數 的 乘 積, 數 目 較 大 時 不 宜 採 用 例 :5 5 2 5 5 + 2 = 24 6 8 ( 6) 8 = 24 從 上 面 的 例 子 我 們 已 經 知 道, 當 四 張 牌 中 出 現 任 何 一 對 數 相 同 時, 另 二 張 牌 如 是 和 8, 或 4 和 6 時 即 可 解 並 且 根 據 二 個 相 同 數 可 以 看 成 的 道 理, 當 四 張 牌 中 有 二 個 相 同 數, 而 另 二 張 牌 有 下 列 情 況 時 可 解 : 例 :9 9 7 ( 9 9 + 7) = 24 9 9 9 ( 9 9 9) = 24 9 9 2 8 ( 9 9 + 2) 8 = 24 9 9 8 ( 9 9) 8 = 24 9 9 4 8 ( 4 9 9) 8 = 24 9 9 6 ( 9 9 + ) 6 = 24 9 9 5 6 ( 5 9 9) 6 = 24 9 9 7 4 ( 7 9 9) 4 = 24 9 9 6 4 9 9 6 4 = 24 9 9 5 4 ( 9 9 + 5) 4 = 24 這 裡,9 9 一 對 相 同 數 可 以 任 意 換 成 其 他 一 對 相 同 數, 解 法 均 一 樣
2. 三 個 數 相 同 () 三 個 數 相 同 可 看 成 其 中 一 個 數 上 面 已 經 講 過, 兩 個 數 相 同 時 可 看 成, 同 理, 也 可 把 三 個 相 同 數 中 的 二 個 看 成, 留 下 一 個 相 同 數 和 另 一 個 數 計 算 例 : 8 ( ) + 8 = 24 (2) 可 以 看 成 其 中 的 個 數 加 上 例 :7 7 7 ( 7 + 7 7) = 24 () 可 以 看 成 其 中 的 個 數 減 去 例 :5 5 5 6 ( 5 5 5) 6 = 24 (4) 可 以 看 成 其 中 的 個 數 例 : 8 ( ) 8 = 24 從 上 面 例 子 可 以 知 道, 四 張 牌 中 出 現 三 個 相 同 數 時, 可 看 成 三 個 不 同 的 數 如 出 現 個 7 時, 可 看 成 6 7 8, 當 另 一 個 數 是 或 4 時, 應 用 此 法 就 可 解 出 其 他 依 次 類 推. 四 個 數 相 同 四 個 數 相 同 的 機 率 較 少, 一 共 只 有 個 這 些 組 合 中, 只 有 四 個 四 個 4 四 個 5 和 四 個 6 能 夠 求 解, 其 餘 的 都 沒 有 解 例 : = 24 4 4 4 4 4 4 + 4 + 4 = 24 的 活 用 在 24 點 計 算 中, 數 字 扮 演 著 極 為 重 要 的 角 色 因 為 不 僅 可 看 成, 用 作 與 其 他 數 字 相 乘 或 相 除 還 可 看 成 ( 不 作 計 算 ) 作 為 是 奇 數, 作 為 時 既 不 是 奇 數, 也 不 是 偶 數 另 外, 從 正 負 數 角 度 看, 可 以 看 成 三 個 數, 即 + 因 此 可 以 說 的 不 同 數 中 是 最 具 靈 活 性 的 數, 是 運 算 過 程 中 的 潤 滑 劑, 換 句 話 說, 有 出 現 的 題 目 相 對 容 易 解 答 例 如 : 8 8 2 ( 2 8 + 8) = 24 難 題 的 速 算 策 略 9 2 ( 9 ) ( + 2) = 24 所 謂 難 題 是 相 對 而 言 的, 一 般 是 指 四 張 牌 中 奇 數 較 多 或 者 是 數 字 較 大 的 情 況 因 為 計 算 時 以 搶 時 間 爭 第 一, 大 腦 處 於 高 度 緊 張 狀 態, 在 看 到 單 數 多 和 數 字 大 時 更 為 緊 張, 心 裡 慌 兮 兮 的, 就 會 影 響 思 路 的 展 開 實 際 上 難 題 與 其 它 題 目 是 一 樣 的, 都 只 要 通 過 三 步 運 算 就 能 求 得 答 案 例 如 : 出 現 5 7 及 8 時, 一 般 先 預 留 或 8 不 動, 將 5 7 8 或 5 7 處 理 成 8 或, 用 乘 於 8 等 於 24 的 方 法 但 這 一 步 走 不 通 時, 就 要 穩 住 情 緒, 爭 取 時 間, 及 早 改 變 思 路 例 如 : 5 7 8 7 + (8 5) = 24 5 7 8 = 24 9 9 ( 9 ) (9 ) = 24 一 題 多 解 法 9 + + 9 + = 24 現 在 我 們 來 講 一 道 題 目 多 種 解 法 的 問 題 一 道 題 目, 有 的 只 有 一 種 解 法, 有 的 甚 至 解 不 出, 但 大 多 數 的 題 目 往 往 會 有 很 多 種 解 法, 有 的 可 達 近 十 種 因 此, 在 規 定 時 間 內, 比 解 題 4
列 式 的 多 少, 更 是 一 種 高 級 的 比 賽 方 法 例 如 : 2 8 ( + ) (8 2) = 24 8 (2 ) = 24 ( + + 8) 2 = 24 5 6 8 ( 6 5) 8 = 24 8 (5 ) 6 = 24 這 理 需 要 說 明 的 是, 一 題 多 解 是 指 不 同 的 解 題 方 法, 如 僅 僅 是 四 個 數 字 或 加 減 乘 除 四 個 符 號 前 後 移 動 換 位, 未 作 加 減 乘 除 符 號 實 質 性 改 變 的, 不 能 作 為 一 種 新 的 解 題 方 法 例 如 : 8 A 8 = 24 B 8 = 24 C 8 = 24 D 8 + = 24 E ( + ) 8 = 24 F ( 8 + ) = 24 8 的 基 本 解 法 有 以 上 六 種, 但 如 能 把 數 字 和 加 減 乘 除 符 號 前 後 移 動 換 位 的 話, 那 麼 與 A 式 相 應 的 就 有 : 8 = 24 8 = 24 8 = 24 8 = 24 8 = 24 8 = 24 這 些 解 題 方 法, 都 和 A 式 相 同, 僅 僅 是 數 字 和 符 號 前 後 移 動, 不 應 作 為 另 一 種 新 的 解 題 方 法 來 計 算 遊 戲 難 易 度 的 變 化 上 邊 講 的 是 範 圍 內 的 4 張 牌, 運 用 算 術 運 算 的 搶 24 遊 戲 你 也 可 以 將 遊 戲 的 方 法 改 變 一 下, 例 如 : 將 數 的 範 圍 擴 大 ( 含 J Q K 三 種 牌 色, 其 中 J 作 點 數,Q 作 點 數 2,K 作 點 數 來 計 算 ); 將 運 算 的 結 果 改 成 2 6 等 等, 甚 至 或 例 如 :J 8 5 J + 8 + 5 = 24 Q 2 4 Q 2 (4 ) = 24 K J 7 8 K + J (8 7) = 24 當 然 在 範 圍 擴 大 的 計 算 中, 也 可 以 運 用 相 同 數 相 連 數 的 一 些 速 算 規 則, 您 可 以 參 考 先 前 給 的 方 法 試 試 看, 是 否 這 些 解 題 方 法 一 樣 可 以 套 用 呢? 分 數 解 題 法 與 乘 開 方 之 運 用 有 時 有 些 組 合 在 運 用 前 面 所 述 方 法 仍 不 能 求 解, 這 時, 學 過 分 數 開 方 乘 方 的 同 學, 還 可 以 用 分 數 的 計 算 方 法 或 乘 開 方 的 方 法 來 解 決 部 份 題 型 但 是, 這 一 類 的 題 目 一 般 難 度 很 高, 很 需 要 動 一 番 腦 筋 例 如 :() 4 6 6 ( 4) = 24 (2) 8 8 8 ( 8 ) = 24 () 6 6 8 6 ( 6 8) = 24 (4) 2 4 ( 4 + 2) = 24 (5) 2 5 5 5 (5 2 ) = 24 5
4 從 例 () 到 () 的 解 題 過 程 中 可 以 發 現, 要 在 6 l 和 8 l 中, 找 到 4 和 兩 個 分 數, 而 這 和 是 分 別 由 4 和 8 中 巧 算 出 來 的 用 分 數 來 解 題, 必 須 熟 悉 以 下 能 變 程 24 的 主 要 分 數 式, 如 : 等 等 5 7 5 2 4 5 6 7 8 9 24 2 8 6 24 4 24 8 2 對 中 學 生 來 講, 還 可 以 利 用 乘 開 方 來 解 決 一 些 四 則 運 算 不 能 解 答 的 題 目 具 體 的 方 法 是 將 一 個 組 合 中 的 四 個 數, 抽 出 其 中 一 個 作 為 指 數 或 根 指 數, 並 作 一 步 運 算, 再 加 另 外 二 步 運 算, 完 成 解 答 例 如 : 2 5 5 2 = 24 2 6 5 5 5 2 + 5 6 = 24 5 5 5 5 = 24 7 ( 7) = 24 8 ( ) = 24 8 4 8 8 ( 8 8) 6 = 24 遊 戲 口 訣 當 你 熟 練 地 掌 握 了 基 本 方 法 和 其 他 一 些 方 法 後, 有 時 就 會 一 看 到 四 張 牌 就 知 道 能 解 24 點 的 計 算 口 訣 : 8 4 6 最 基 本,2 乘 2 不 可 忘 ; 相 連 相 同 都 是, 常 見 組 合 一 百 九 ; 經 乘 除 看 成, 是 最 佳 潤 滑 劑 ; 三 位 相 連 五 個 數, 任 君 挑 選 變 化 多 ; 最 佳 組 合 廿 餘 組, 一 見 就 好 爭 第 一 ; 思 路 轉 換 要 靈 活, 切 莫 死 鑽 牛 角 尖 問 題 演 練 : 用 加 減 乘 除 的 計 算 方 法, 將 下 面 四 個 數 字 組 成 答 數 為 24 的 等 式 如 果 可 能 的 話, 請 找 出 不 同 的 解 答 方 法 () 7 (2) 6 6 () 2 2 (4) K J Q (5) 5 7 9 2 (6) 4 6 8 7 (7) 8 9 5 6 (8) J Q K (9) 4 6 8 () 9 9 7 4 () 5 5 5 6 (2) 9 2 () 4 5 6 (4) 7 7 (5) 7 9 6
二 洗 牌 在 實 際 的 世 界 中, 事 實 上 是 存 在 有 某 些 動 作 是 在 時 間 上 不 可 回 溯 的 譬 如 在 不 經 意 中, 打 散 了 一 堆 沙 土, 是 不 可 能 重 新 恢 復 到 未 打 散 前 的 狀 態 ; 但 是, 卻 也 有 些 存 在 奧 妙 的 現 象, 緊 抓 住 我 們 的 目 光, 譬 如 魔 術 師 在 舞 台 上 賣 弄 著 雙 手 靈 活 的 技 巧, 台 下 的 驚 嘆 聲 讚 美 聲 不 斷 地 隨 著 他 手 中 紙 牌 的 變 化 產 生! 一 副 看 似 打 散 了 的 紙 牌 竟 在 手 邊 幾 次 洗 牌 後 又 回 到 最 初 它 們 排 列 的 次 序 是 魔 術 師 的 雙 手 夠 巧 有 神 通, 還 是 背 後 有 些 規 則? 將 一 疊 52 張 的 撲 克 牌, 由 上 而 下 的 排 列 方 式 共 有 52 5 5 2 種, 這 是 一 個 以 數 字 8 為 開 頭 的 68 位 數 在 紙 牌 遊 戲 中, 為 求 公 平 性 與 公 正 性, 通 常 會 在 遊 戲 開 始 發 牌 時, 對 手 邊 的 牌 進 行 洗 牌 的 動 作, 使 這 些 紙 牌 的 排 列 規 則 避 免 掉 人 為 的 操 作, 引 起 一 些 不 公 平 的 作 弊 行 為 那 麼, 什 麼 是 洗 牌 呢? 可 以 這 麼 說, 洗 牌 就 是 改 變 撲 克 牌 排 列 的 順 序 所 謂 洗 牌, 是 指 : 將 一 副 牌 一 分 為 二, 一 半 置 於 左 手 邊, 另 一 半 於 右 手, 把 它 們 依 序 任 意 交 錯 合 併 為 一 疊 完 成 這 樣 一 次 動 作 稱 為 一 次 洗 牌 思 考 問 題 :. 能 不 能 將 一 副 牌 經 過 適 當 安 排, 使 得 它 經 過 一 次 任 意 的 洗 牌 後, 洗 完 牌 後 的 這 一 疊 牌 由 上 而 下 依 序 每 兩 張 牌 都 是 一 紅 一 黑 的 花 色? 2. 能 不 能 將 一 副 牌 經 過 適 當 安 排, 使 得 它 經 過 一 次 任 意 的 洗 牌 後, 洗 完 牌 後 的 這 一 疊 牌 由 上 而 下 依 序 每 四 張 牌 都 有 黑 桃 紅 心 方 塊 梅 花 各 一 張? 專 家 洗 牌 法 : 將 一 副 牌 一 分 為 二, 一 半 置 於 左 手 邊, 另 一 半 於 右 手, 由 這 兩 疊 牌 依 序 各 取 一 張 牌 互 相 交 錯 把 它 們 合 併 為 一 疊 牌, 稱 為 專 家 洗 牌 法 任 意 張 數 的 一 疊 牌 經 過 若 干 次 的 專 家 洗 牌 法 洗 牌 後, 總 可 以 使 牌 回 復 到 原 來 的 順 序 專 家 洗 牌 法 又 分 為 外 洗 與 內 洗 二 種 : 一 外 洗 : 將 一 疊 牌 進 行 洗 牌, 原 先 在 最 頂 端 ( 或 最 上 層 ) 的 牌, 經 過 洗 牌 後 仍 然 在 新 形 成 的 一 疊 牌 中 的 最 頂 端 也 就 是 說, 外 洗 是 將 任 意 張 數 將 順 序 為, 2,,, 2n 的 2n 張 牌 變 成, + n, 2, n + 2,, n, 2 n, 即 原 先 的 後 n 張 牌 分 別 移 至 第 2, 4,,2n 張, 而 前 n 張 牌, 依 照 原 來 順 序 排 在 奇 數 位 置,, 5,, 2n 例 如 : 2 4 5 6 4 2 5 6 2 4 5 4 2 5 ( 右 手 較 多 張 ) 二 內 洗 : 將 一 疊 牌 進 行 洗 牌, 原 先 在 最 頂 端 ( 或 最 上 層 ) 的 牌, 經 過 洗 牌 後 變 成 在 新 形 成 的 一 疊 牌 中 的 第 二 張 也 就 是 說, 內 洗 是 將 任 意 張 數 將 順 序 為, 2,,, 2n 的 2n 張 牌 變 成 n +,, n + 2, 2,, n, 2 n, n, 即 原 先 的 前 n 張 牌 移 至 第 2, 4,,2n 張, 而 其 餘 的 n 張 牌, 依 照 原 來 順 序 排 在 奇 數 位 置,, 5,, 2n 例 如 : 2 4 5 6 4 5 2 6 2 4 5 4 2 5 ( 左 手 較 多 張 ) 7
下 表 為 2 52 張 紙 牌 分 別 用 外 洗 內 洗 回 復 至 原 來 順 序 所 須 的 洗 牌 次 數 紙 牌 數 所 須 的 洗 牌 次 數 所 須 的 洗 牌 次 數 紙 牌 數 外 洗 內 洗 外 洗 內 洗 2 2 28 8 28 2 2 29 28 28 4 2 4 28 5 5 4 4 5 5 6 4 2 5 7 8 6 4 2 9 6 6 5 2 2 6 6 2 6 7 6 6 2 2 8 6 2 2 2 9 2 2 4 2 4 4 2 2 5 4 4 4 2 2 6 4 8 42 2 4 7 8 8 4 4 4 8 8 8 44 4 2 9 8 8 45 2 2 2 8 6 46 2 2 2 6 6 47 2 2 22 6 48 2 2 2 49 2 2 24 2 5 2 8 25 2 2 5 8 8 26 2 8 52 8 52 27 8 8 仔 細 觀 察 上 表 可 發 現 : () 2n 張 紙 牌 與 2 n 張 紙 牌 的 外 洗 所 須 次 數 相 同 (2) 2 n 張 紙 牌 與 2 n + 張 紙 牌 的 內 洗 所 須 次 數 相 同 () 取 2, 4, 8, 6, 2, 2 k 張 牌, 其 外 洗 的 次 數 為, 2,, 4, 5, k; 而 內 洗 的 次 數 為 2, 4, 6, 8,, 2k (4) 2 n 張 紙 牌 內 洗 所 須 次 數 與 2 n + 2 張 紙 牌 外 洗 所 須 次 數 相 同 x (5) 2 n 張 紙 牌 外 洗 所 須 次 數 x 滿 足 2 (mod 2n ) x (6) 2 n 張 紙 牌 內 洗 所 須 次 數 x 滿 足 2 (mod 2n + ) 8
(7) 適 當 地 合 併 使 用 若 干 次 內 洗 與 外 洗, 您 總 可 以 把 任 意 位 置 的 牌 送 到 任 意 位 置 例 如 :52 張 牌 外 洗, 因 為 2 8 (mod 5), 所 以 只 須 洗 8 次 即 可 回 復 原 來 的 位 置 如 何 用 數 學 來 描 述 洗 牌 的 動 作 : 為 了 有 效 地 運 用 數 學 來 描 述 洗 牌 動 作, 觀 察 52 張 紙 牌 進 行 外 洗 及 內 洗 的 結 果, 可 以 歸 納 得 到 下 面 結 果 : 外 洗 紙 牌 次 序 位 置 第 次 2 4 5 6 7 5 52 第 次 27 2 28 29 9 4 4 26 52 ( 2n )(mod5) 第 2 次 4 27 4 2 7 2 46 8 2 4 47 52 ( 4n )(mod5) 第 次 4 46 27 8 4 2 2 52 ( 2 ( n ) + )(mod5) k 第 k 次 52 ( 2 ( n ) + )(mod5) 內 洗 紙 牌 次 序 位 置 第 次 2 4 5 6 7 5 52 第 次 27 28 2 29 4 4 52 26 2n (mod 5) 第 2 次 4 27 4 4 28 5 2 4n (mod 5) 第 k 次 2 k n(mod 5) n n 矩 陣 : 此 外, 還 有 很 多 的 方 法 可 以 將 洗 牌 的 流 程 表 示 清 楚, 這 裡 我 們 想 到 用 矩 陣 來 試 一 試 2 4 2 22 2 42 2 4 4 24 4 44 4 4, 7 5 2 2 2 2 4 6,., I = Μ Μ Ο Ο Μ Μ n n 矩 陣 的 乘 法 運 算 : 給 定 矩 陣 A = ( ij ) mxn 與 B = (b ij ) nxk, 在 矩 陣 的 運 算 中 只 有 定 義 加 減 法 及 乘 法, 並 沒 有 給 除 法 運 算 做 出 定 義 若 我 們 以 矩 陣 C = AB 來 表 示 矩 陣 A 與 B 的 乘 積, 則 有 2 Μ m 2 Ο Ο n Μ Μ mn m n b b2 Μ bn b 2 Ο Ο b k Μ Μ b nk n k c c2 = Μ cm c 2 Ο Ο ck Μ Μ c mk m k 其 中 c ij = i b j + i2 b 2j + + in b nj. 9
怎 麼 會 想 到 用 矩 陣 呢? 我 們 知 道, 在 矩 陣 的 運 算 中, 矩 陣 的 行 列 置 換 的 動 作 可 以 用 來 將 另 一 個 矩 陣 或 向 量 作 分 量 位 置 的 互 換, 所 以, 我 們 想 到 將 紙 牌 排 成 一 列, 表 示 成 是 一 個 n 的 矩 陣, 而 任 意 洗 牌 後 的 結 果, 紙 牌 數 是 不 變 量, 會 產 生 變 化 的 是 紙 牌 的 前 後 排 列 次 序, 所 以 它 也 是 一 個 n 的 矩 陣 利 用 單 位 矩 陣 I( 即 主 對 角 線 元 素 為, 其 他 元 素 為 的 矩 陣, 也 就 是 說 這 個 矩 陣 當 i = j 時, 分 量 元 素 = ; 當 i j 時, 分 量 元 素 = ) 進 行 行 列 置 換 產 生 的 基 本 矩 陣 與 n 的 ij ij 矩 陣 的 乘 積, 我 們 可 用 來 表 示 紙 牌 在 外 洗 內 洗 後 的 結 果 例 如 : 取 六 張 紙 牌 為 一 個 6 的 矩 陣 : (, 2,, 4, 5, 6), 經 過 一 次 外 洗 後 應 該 呈 現 (, 4, 2, 5,, 6), 可 以 表 示 如 下 : 第 一 次 外 洗 : (,2,,4,5,6) = (,4,2,5,,6) 其 中 6 6 的 矩 陣 X = (X : 表 示 一 次 洗 牌 動 作 ) 就 是 將 這 六 張 牌 做 一 次 外 洗 牌 的 運 算 函 數 取 任 何 六 張 紙 牌 表 示 成 6 的 矩 陣, 都 可 以 在 矩 陣 X 的 作 用 下 得 到 它 一 次 洗 牌 的 結 果 再 將 上 述 6 的 矩 陣 (, 4, 2, 5,, 6) 在 代 入 迭 代 式 X = 中 的, 可 以 算 出 (, 2,, 4, 5, 6) 經 過 二 次 外 洗 後 所 得 的 排 列 順 序 : (, 5, 4,, 2, 6), 因 此 可 以 發 現 X 2 的 表 示 法 : 2 X = X 2 =, (,2,,4,5,6) =(,5,4,,2,6). 依 此 法 可 以 得 出 三 次 外 洗 四 次 外 洗 牌 等 等 的 各 個 矩 陣 表 示 同 理, 一 次 內 洗 的 矩 陣 可 以 表 示 為 Y, 如 下 :
Y = 所 以 (, 2,, 4, 5, 6) 的 第 一 次 內 洗 為 : (,2,,4,5,6) = (4,,5,2,6,) 思 考 問 題 : 前 面 提 到, 任 意 張 數 的 一 疊 牌 經 過 若 干 次 的 專 家 洗 牌 法 洗 牌 後, 總 可 以 使 牌 回 復 到 原 來 的 順 序 所 以 對 列 向 量 (, 2,, 4, 5, 6) 而 言, 必 定 存 在 某 一 個 正 整 數 n, 使 得 這 六 張 牌 洗 牌 n 次 後 可 以 回 到 原 來 的 順 序, 化 成 數 學 模 式 就 是 找 出 滿 足 下 面 等 式 的 n 值 : 或 n n 外 洗 : X =, 即 X = I n n 內 洗 : Y =, 即 Y = I 對 列 向 量 (, 2,, 4, 5, 6) 而 言, 您 能 不 能 找 出 外 洗 與 內 洗 所 對 應 的 n 值 呢? ( 提 示 : X 4 = I, Y = I ) 三 與 數 學 有 關 的 紙 牌 魔 術 A. 將 一 疊 張 紅 心 的 牌 和 一 疊 張 黑 桃 的 牌 面 朝 上 併 排 放 置, 紅 心 放 在 左 邊, 黑 桃 放 在 右 邊 做 以 下 的 操 作, 同 時 用 左 手 拿 一 張 紅 心, 右 手 拿 一 張 黑 桃, 不 得 翻 面 地 各 自 放 在 這 二 疊 牌 的 前 面 接 著 再 各 拿 一 張 牌, 但 放 置 時 左 右 手 交 錯, 即 將 紅 心 放 到 右 手 邊, 黑 桃 放 到 左 手 邊, 然 後 的 操 作 又 是 左 右 手 不 交 錯, 左 右 手 交 錯, 繼 續 上 述 的 動 作 共 5 次 此 時 在 左 邊 有 5 張 面 朝 上 的 紅 心 牌, 及 紅 黑 交 錯 的 5 張 牌 ; 在 右 邊 有 5 張 面 朝 上 的 黑 桃 牌, 及 紅 黑 交 錯 的 5 張 牌 將 這 些 交 錯 的 牌 合 併 在 一 起, 然 後 左 邊 一 張 右 邊 一 張 發 牌, 結 果 所 有 張 紅 心 牌 都 回 到 左 邊, 張 黑 桃 牌 都 回 到 右 邊 再 重 複 以 上 的 動 作, 把 2 張 牌 分 成 二 疊 紅 黑 交 錯 的 牌, 將 它 們 合 併 然 後 把 牌 翻 面, 左 一 張 右 一 張 的 發 牌, 將 頭 張 牌 翻 面 後 放 在 桌 上, 它 應 該 是 紅 心 在 左 邊, 黑 桃 在 右 邊 接 下 來 的 張 發 牌 時 不 翻 面 把 在 紅 心 下 的 5 張 牌 與 在 黑 桃 下 的 5 張 牌 對 調, 您 猜 是 否 每 疊 牌 各 有 5 張 紅 心 5 張 黑 桃?
合 併 後 合 併 後 分 開 後 : 表 示 面 朝 下 B. 任 取 十 張 紅 心 牌 與 十 張 黑 桃 牌, 將 它 們 合 併 在 一 起 置 於 桌 面 上, 何 者 在 上, 何 者 在 下 無 關 將 它 面 朝 下 展 開 成 扇 形, 請 觀 眾 任 意 選 其 中 的 十 張 牌, 並 將 所 選 的 牌 稍 稍 移 向 前, 用 右 手 將 被 選 中 的 牌 由 右 至 左 仍 保 持 面 朝 下, 逐 一 抽 出 放 到 左 手 (A), 然 後 合 成 一 疊 同 時 也 將 留 在 桌 上 的 牌 依 序 合 成 一 疊 (B) 奇 妙 的 事 情 發 生 了, 由 上 而 下 從 這 二 疊 牌 中 每 次 各 翻 開 一 張, 竟 然 這 二 張 牌 的 花 色 全 都 是 一 張 黑 桃 一 張 紅 心 選 出 的 張 牌 分 開 看 上 下 將 放 在 上 面 的 牌 反 序 C. 若 2 張 牌 由 上 而 下 依 黑 紅, 黑 紅, 排 列, 並 要 求 觀 眾 依 下 列 方 式 洗 牌 : 將 首 二 張 牌 一 起 翻 面 放 回 原 位, 然 後 切 牌 觀 眾 可 以 重 複 上 述 洗 牌 任 意 次 然 後 要 求 觀 眾 將 這 疊 牌 的 第 一 張 放 到 這 疊 牌 的 最 底 下, 把 第 二 張 放 到 桌 上, 接 下 來 的 一 張 放 到 最 底 下, 再 放 下 一 張 到 桌 上 直 到 桌 面 上 共 有 張 牌 為 止 ( 注 意 : 最 後 這 些 過 程 不 可 以 把 牌 翻 面 ) 結 果 可 發 現 在 桌 面 上 的 牌, 面 朝 上 的 牌 都 是 同 色, 面 朝 下 的 牌 為 另 一 顏 色 D. 剩 下 的 張 牌, 要 求 再 分 成 二 疊, 然 後 可 將 牌 內 洗 或 外 洗 任 意 多 次, 戲 完 後 再 翻 過 面 來, 再 洗 牌 任 意 多 次, 切 牌, 然 後 依 照 將 第 一 張 放 到 最 底 下, 第 二 張 放 到 桌 上, 第 三 張 牌 放 到 最 底 下, 的 規 則 操 作, 直 到 張 牌 都 在 桌 上 您 可 以 發 現 正 面 的 牌 都 是 同 色, 反 面 的 牌 為 另 一 顏 色 2
放 在 桌 上 的 牌, 面 朝 上 的 牌 都 是 同 色, 面 朝 下 的 牌 為 另 一 顏 色 : 表 示 面 朝 下 四 撲 克 ( 梭 哈 ) 撲 克 也 是 一 種 使 用 52 張 紙 牌 進 行 的 紙 牌 遊 戲, 每 一 位 玩 家 手 上 持 5 張 牌 所 以 從 52 張 牌 取 5 張 牌 的 可 能 組 合 數 為 52 52 5 5 49 48 N = = = 2,598,96 種 5 5 4 2 n n! 其 中, =, 意 思 是 從 n 張 牌 中 任 取 m 張 的 組 合 數 m ( n m)! m! 拿 到 一 個 同 花 大 順 是 指 手 邊 的 五 張 牌 具 有 相 同 花 色, 而 且 點 數 分 別 為 Ace, King, Queen, Jck 及 點 ; 一 個 同 花 順 是 指 手 邊 的 五 張 牌 具 有 相 同 花 色, 而 且 為 五 張 點 數 連 續 的 紙 牌 ( 但 不 是 同 花 大 順 ), 這 裡 Ace 牌 可 以 看 成 最 大 一 張 牌 或 最 小 點 數 一 個 福 祿 是 指 這 五 張 牌 中 有 三 張 同 點 數, 另 外 二 張 也 是 同 點 數 的 一 對 牌 ; 一 個 同 花 是 指 這 五 張 牌 都 具 有 相 同 花 色 ( 但 不 是 同 花 大 順 或 同 花 順 ); 一 個 順 子 是 指 這 五 張 牌 為 五 張 點 數 連 續 的 牌 ( 但 不 是 同 花 大 順 或 同 花 順 ), 這 裡 Ace 牌 可 以 看 成 最 大 的 一 張 牌 或 最 小 的 點 數 下 表 列 出 某 些 牌 色 出 現 的 機 率 : 牌 色 次 數 比 率 機 率 勝 負 比 同 花 大 順 (royl flush) 4 649,79.: 同 花 順 (stright flush) 8,26.5: 鐵 枝 (four of kind) 4,64.: 福 祿 (full house) 69.2: 同 花 (flush) 57.8: 順 子 (stright) 282.2: 三 條 (three of kind).2 46.:
二 對 (two pir).475 2.: 一 對 (one pir).42.66: 計 算 方 式 : () 福 祿 的 形 式 為 XXXYY,X 的 點 數 可 以 為 A, 2,,, Q, K, 有 種 取 法 同 點 數 有 4 張 牌, 4 取 張 為 Y 的 點 數 可 以 為 A, 2,,, Q, K 中 與 X 不 同 的 點, 故 有 2 種 取 法 同 點 4 4 4 數 有 4 張 牌, 取 2 張 為 因 此 取 福 祿 的 組 合 數 為 2 = 744. 2 2 (b) 一 對 的 形 式 為 XXYZW, X Y Z W X 的 點 數 可 以 為 A, 2,,, Q, K, 有 種 取 法 4 同 點 數 有 4 張 牌, 取 2 張 為 Y 的 點 數 可 以 為 A, 2,,, Q, K 中 與 X 不 同 的 點, 故 有 2 4 2 種 取 法 同 點 數 有 4 張 牌, 取 張 為,Y 共 有 2 4 = 48 種 取 法 Z 的 點 數 可 以 為 4 A, 2,,, Q, K 中 與 X Y 不 同 的 點, 故 有 種 取 法 同 點 數 有 4 張 牌, 取 張 為, Z 共 有 4 = 44 種 取 法 W 的 點 數 可 以 為 A, 2,,, Q, K 中 與 X Y Z 不 同 的 點, 故 有 4 種 取 法 同 點 數 有 4 張 牌, 取 張 為,W 共 有 4 = 4 種 取 法 但 是 X Y Z 4 (48)(44)(4) 與 取 出 之 順 序 排 列 無 關, 應 除 以!, 因 此 取 一 對 的 組 合 數 為. 2! 五 橋 牌 橋 牌 是 一 種 使 用 52 張 紙 牌 進 行 的 紙 牌 遊 戲, 每 一 位 玩 家 手 上 持 張 牌 從 52 張 牌 取 張 牌 的 可 能 組 合 數 為 52 = 65,,559,6 種 然 而, 手 邊 所 持 張 牌 為 同 一 花 色 的 情 形 只 有 同 為 紅 心, 黑 桃, 方 塊 或 同 為 梅 花 這 四 種, 所 以 拿 到 這 種 牌 色 的 機 率 只 有 4 = 52 58,75,89,9 我 們 對 於 一 些 特 殊 的 牌 色, 給 一 些 特 殊 名 稱 Jck Queen King 或 Ace 牌 稱 為 大 牌, 手 邊 拿 到 的 張 牌 為 三 種 花 色 的 Ace, King, Queen 及 第 四 種 花 色 的 Jck, Queen, King 及 Ace 稱 為 十 三 大 頭 ; 拿 到 的 張 牌 都 為 同 花 色 的 牌 稱 為 十 三 張 同 花 ; 拿 到 的 2 張 牌 都 為 同 花 色 的 牌 ( 包 含 此 花 色 的 Ace 牌 ) 及 第 十 三 張 不 是 Ace 的 其 它 花 色 的 牌 稱 為 Ace 帶 頭 十 二 張 同 花 ; 手 邊 拿 到 的 張 牌 沒 有 任 何 一 張 大 牌 稱 為 全 無 大 牌 4
下 表 列 出 某 些 牌 色 出 現 的 機 率 : 牌 色 理 想 率 近 似 值 勝 負 比 十 三 大 頭 ( top honors) 58,75,89,899: 十 三 張 同 花 (-crd suit) 58,75,89,899: A 帶 頭 十 二 張 同 花 (2-crd suit, ce high) 67,484,697.8: 全 無 大 牌 (Yrborough),827.: 四 張 Ace (four ces) 77.6: 九 張 大 牌 (nine honors) 4.: 計 算 方 式 : () A 帶 頭 十 二 張 同 花 的 形 式 為 A + {2,, 4,, J, Q, K} 中 的 任 意 張 牌 + X,X 為 任 意 不 同 花 色 且 不 為 A 的 牌 從 {2,, 4,, J, Q, K} 中 取 任 意 張 牌, 即 從 中 取 張 不 要, 有 2 種 方 法, 又 其 花 色 可 以 從 4 種 花 色 中 取 種, 有 4 種 選 法 X 可 以 從 剩 下 不 同 花 色 的 9 張 牌 中 除 去 張 Ace 的 6 張 牌 中 選 張, 共 有 6 種 方 法, 所 以 A 帶 頭 十 二 張 同 花 有 4 2 6 種 組 合 2 (b) 九 張 大 牌 的 形 式 為 9 張 大 牌 + 4 張 非 大 牌, 而 大 牌 共 有 2 張, 從 中 選 取 9 張 有 種 方 9 2 2 2 法, 剩 下 的 4 張 牌 可 從 不 是 大 牌 的 2 張 中 任 選, 有 種 方 法 故 九 張 大 牌 有 4 9 4 種 組 合 六 同 花 順 與 異 花 順 若 一 疊 紙 牌 有 三 種 花 色, 每 種 花 色 各 有 三 種 號 碼 ( 2 ), 則 這 疊 牌 共 有 九 張 牌 規 定 手 上 的 牌 中 若 有 三 張 牌 有 下 列 之 一 種 情 形 : () 同 花 色, 但 號 碼 全 不 同 ; (b) 同 號 碼, 但 花 色 全 不 同 ; (c) 花 色 全 不 同 且 號 碼 也 全 不 同 ; 則 可 得 分 試 問 最 少 要 抽 幾 張 牌 才 能 保 證 可 得 分? 例 如 : 2 2 2 選 擇 虛 線 框 內 這 4 張 牌 還 不 能 得 分, 必 須 再 從 虛 線 框 外 選 張 才 能 得 分 ( 不 管 選 那 一 張 都 一 定 得 分 ), 所 以 至 少 要 選 5 張 牌 才 能 保 證 得 分 5
習 題. 將 52 張 牌 編 號 52 號, 正 面 朝 上, 然 後 將 編 號 為 2 的 倍 數 的 牌 翻 面, 之 後 再 將 編 號 為 的 倍 數 的 牌 翻 面, 再 將 編 號 為 4 的 倍 數 的 牌 翻 面, 直 到 將 編 號 為 52 的 倍 數 的 牌 翻 面 為 止 請 問 最 後 有 那 些 牌 正 面 著 朝 上? 2. 將 一 副 有 52 張 牌 的 樸 克 牌 由 上 而 下 依 序 取 牌 分 發 成 為 四 疊 : 第 一 疊 一 張, 第 二 疊 一 張, 第 三 疊 一 張, 第 四 疊 一 張 ; 第 一 疊 一 張, 第 二 疊 一 張, 直 到 發 完 為 止 然 後 把 這 四 疊 牌 合 在 一 起, 第 一 疊 的 牌 放 最 下 面, 第 二 疊 放 在 第 一 疊 上 面, 第 三 疊 再 放 在 它 們 的 上 面, 第 四 疊 放 在 最 上 面 接 著 把 整 疊 紙 牌 翻 轉 過 來, 重 複 進 行 以 上 的 操 作 ( 注 意 : 分 發 牌 的 時 候, 不 可 以 把 紙 牌 翻 面 ) 請 問 至 少 需 要 進 行 以 上 的 操 作 多 少 次 才 能 使 整 副 牌 恢 復 原 來 的 次 序?. 將 張 黑 桃 牌 由 Ace (A) 依 序 排 到 King (K), 在 每 一 張 黑 桃 牌 上 面 逐 一 放 置 一 張 紅 心 的 牌, 使 得 每 組 兩 張 牌 的 點 數 和 是 完 全 平 方 數 這 裡 Ace 為 點 數,Jck 為 點 數,Queen 為 點 數 2,King 為 點 數 請 證 明 這 種 安 排 只 有 唯 一 的 一 個 解 4. 承 上 題, 證 明 若 改 為 點 數 4 的 牌, 則 有 二 個 解 5. 用 4 種 花 色 A K Q J 各 一 張, 排 成 一 個 4 4 的 拉 丁 方 陣 6. 一 副 牌 52 張, 第 9 張 牌 經 過 外 洗 5 次 後, 位 置 在 第 幾 張? 內 洗 次 後, 第 張 牌 是 原 來 的 第 幾 張 牌? 研 究 問 題. 將 點 數 9 的 牌 各 張 排 成 一 列, 使 得 相 鄰 兩 張 點 數 的 牌 中 間 只 有 張 牌 ; 相 鄰 兩 張 點 數 2 的 牌 中 間 只 有 2 張 牌 ; 相 鄰 兩 張 點 數 的 牌 中 間 只 有 張 牌 ; 相 鄰 兩 張 點 數 9 的 牌 中 間 只 有 9 張 牌 例 如 :895267285296475846974 試 找 出 所 有 可 能 的 排 法 2. 承 上 題, 若 改 為 點 數 的 牌 各 張 排 成 一 列, 結 果 為 何?. 有 n 張 黑 桃 由 n 依 序 排 列, 在 每 一 張 黑 桃 牌 上 面 逐 一 放 置 一 張 紅 心 的 牌, 使 得 每 組 兩 張 牌 的 點 數 和 是 完 全 立 方 數 例 如 : 2 4 5 6 7 7 6 5 4 2 8 8 8 8 8 8 8 試 求 出 在 n 5 時, 有 那 些 n 可 以 符 合 以 上 的 配 對? 4. 若 一 疊 紙 牌 有 三 種 花 色, 每 種 花 色 有 三 種 號 碼 ( 2 ), 且 每 種 號 碼 又 有 紅 藍 綠 三 種 顏 色, 每 一 種 顏 色 又 有 三 種 不 同 的 花 邊 規 定 手 上 的 牌 中 若 有 三 張 牌 有 下 列 之 一 種 情 形 : () 花 色 號 碼 顏 色 花 邊 有 n 種 相 同, 有 4 n 種 不 同, n < 4 ; (b) 花 邊 全 不 同 顏 色 全 不 同 花 色 全 不 同 且 號 碼 也 全 不 同 ; 則 可 得 分 試 問 最 少 要 抽 幾 張 牌 才 能 保 證 可 得 分? 5. 試 證 明 : 當 n 4, n 為 質 數 時,n 張 牌 經 過 n 2 次 外 洗 後, 可 以 恢 復 到 原 來 的 順 序 6