付息频率对债券到期收益率、价格和久期的影响

付息频率对债券价格久期和到期收益率的影响管圣义杨艳摘要 : 债券的付息频率的变化对债券定价和收益率的具有不同的影响, 这使得研究付息频率对债券定价和价格风险的研究变得十分必要, 本文探讨了在其它条件可比的情况下, 付息频率不同对债券价格久期的影响, 并介绍了将不同付息频率债券收益率转化成年实质收益率的方法关键字 : 付息频率价格久期年实质收益率一研究背景在上篇债券定价中的息票效应一文中, 我们的研究小组分析了债券定价中的息票效应对债券定价的影响, 本篇我们研究小组继续探讨另一个基础性问题, 即债券付息频率对债券定价和收益率的影响在很多读者看来, 这是个简单的话题, 但在实际接触中才发现, 仍有很多人并不能完全理解, 甚至在市场上部分债券分析的文献中也有提出了债券定价与付息频率没有关系的论述, 本文的研究表明, 债券的付息频率对债券的定价及其它相关指标的计算具有较大的影响作用, 在实际报价成交中必须充分考虑到这一点美国债券市场上, 固定利率债券基本都是半年支付一次利息同观中国的情况,2001 年后我国招标发行的固定利率债券一年付息 2 次的情况开始增多, 下表 1 显示了中国在 2000 年到 2008 年间发行的以付息频率统计的固定利率债券的情况 :

表 1:2001 年至 2008 年发行的付息债券的付息频率统计付息方式选择权类别付息频率 ( 次数 / 年 ) 12 4 2 1 总计发行人选择权 0 1 4 9 14 附息式浮动利投资人选择权 0 4 2 2 8 率无选择权 8 31 34 88 161 发行人选择权 0 0 0 55 55 附息式固定利投资人选择权 0 0 5 46 51 率无选择权 1 16 65 606 688 债券总数 9 52 110 806 977 占比 0.92% 5.32% 11.26% 82.50% 100.00% 注 : 本表中不含零息贴现和利随本清债券可以清楚地看到,977 只固定利率债券中, 付息频率为 1 年 1 次的债券占全部债券的 82.50 %, 付息频率为 1 年 2 次的债券有 110 只, 占全部债券的 11.26% 下图为 2001 年到 2008 年发行的付息频率为 1 年 2 次的的付息式固定利率债券的数量图从图中可以看出, 虽然现在每年发行的付息频率为 1 年 2 次的固定利率债券的数量还不是很多, 而且数量有升有降, 但是从整体上看, 半年付息债券的数量呈现上升趋势 2001 年到 2008 年发行的半年付息债券的数量 20 15 数量 10 5 0 2001 年 2002 年 2003 年 2004 年 2005 年 2006 年 2007 年 2008 年年份图 1:2001 年到 2008 年发行的半年付息一次的固定利率债券的发行数量我们有必要研究这种付息频率和息票 1 年 1 付这两种情况下, 债券的价格和久期受到了什么影响

二付息频率对债券的价格到期收益率和久期影响的研究债券付息频率变化会导致债券现金流产生的时间变化, 进一步根据不同时间的现金流得到的债券的到期收益率价格和久期也会相应发生变化 ( 一 ) 债券付息频率对债券价格和到期收益率的影响为了便于比较不同付息频率对债券价格的影响, 我们以债券 A 和 B 作为分析对象债券 A 和 B 的剩余代偿期都为 10 年, 息票利率都为 10%, 债券 A 每年付息 2 次, 债券 B 每年付息 1 次为了便于分析, 我们假设市场上 6 个月即期利率为 2.5%, 以后每半年的即期利率增加 0.5% 此假设表明本文选取的收益率曲线为市场利率结构正常情况下的向右上方倾斜的常态, 而收益率曲线向右下方倾斜平行和更复杂的情况, 暂不在本文中进行分析按债券的即期市场利率计算的债券价格可表示为 : cm / i cm / i cm / i + 100 P = + +... + (1 + y /) i (1 + y /) i (1 + y /) i i* n 1 2 1 2 n 公式 (1) 其中 :i 表示利息支付频率 c 表示债券的息票率 M 表示债券的面值 yi 表示 i 时期债券的即期收益率 n 表示债券的剩余代偿期 P 表示债券的价格则现在可以分析债券 A 和 B 的价格如下 :

表 2 债券 A 和 B 的价格比较期限债券 A 现金流债券 B 现金流即期收益率债券 A 现值债券 B 现值 0.5 年 5 2.50% 4.9382716 1.0 年 5 10 3.00% 4.8533087 9.7087379 1.5 年 5 3.50% 4.7464264 2.0 年 5 10 4.00% 4.6192271 9.2455621 2.5 年 5 4.50% 4.4735616 3.0 年 5 10 5.00% 4.3114843 8.638376 3.5 年 5 5.50% 4.1352064 4.0 年 5 10 6.00% 3.9470462 7.9209366 4.5 年 5 6.50% 3.74938 5.0 年 5 10 7.00% 3.5445941 7.1298618 5.5 年 5 7.50% 3.3350384 6.0 年 5 10 8.00% 3.1229852 6.3016963 6.5 年 5 8.50% 2.910591 7.0 年 5 10 9.00% 2.6998643 5.4703424 7.5 年 5 9.50% 2.4926398 8.0 年 5 10 10.00% 2.2905576 4.6650738 8.5 年 5 10.50% 2.0950492 9.0 年 5 10 11.00% 1.9073295 3.9092477 9.5 年 5 11.50% 1.7283944 10.0 年 105 110 12.00% 32.739496 35.417056 债券价格 98.64045 98.40689 可以看到, 尽管债券 A 和 B 的到期期限和息票率都相同, 但是由于付息频率不同, 导致债券的现金流产生的时间不同, 用不同时间对应的即期收益率折现得到的债券价格就会产生差异 A 债券一年付息两次, 所以 A 的现金流产生的时间早于 B 债券产生的时间, 早期的现金流对应更短的即期收益率, 用更短的即期收益率折现得到的现值也就更大最终, 债券 A 的价格要稍大于债券 B 的价格债券 A 和 B 的现金流分布如下图所示 :

债券 A 的现金流现值分布债券 A 现值 35.00 30.00 25.00 20.00 15.00 10.00 5.00 0.00 0.5 年 1.0 年 1.5 年 2.0 年 2.5 年 3.0 年 3.5 年 4.0 年 4.5 年 5.0 年 5.5 年 6.0 年 6.5 年 7.0 年 7.5 年 8.0 年 8.5 年 9.0 年 9.5 年 10.0 年期限图 3 债券 A 的现金流现值分布债券 B 的现金流现值分布 100 80 债券 B 现值 60 40 20 0 1 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年年份图 4 债券 B 的现金流现值分布进一步计算债券 A 和 B 的到期收益率, 计算公式可以表示为 : cm / i cm / i /... cm i + P = + + + M + + + 1 2 (1 YTM /) i (1 YTM /) i (1 YTM /) i i* n 公式 (2) 其中 :i 表示利息支付频率 c 表示债券的息票率 M 表示债券的面值 YTM 表示债券的到期收益率 n 表示债券的剩余代偿期 P 表示债券的价格我们可以计算得到, 债券 A 的到期收益率为 10.22%, 债券 B 的到期收益率为 10.26%, 可见付息频率与债券的到期收益率成反比, 付息频率越高, 债券的到期收益率更低 ( 二 ) 债券付息频率对债券久期的影响为了衡量债券价格对利率的敏感性, 我们引入了久期这个概念分了分析的

简便, 我们在这里讨论债券的修正久期久期的计算方式可以表示为 : cm/i cm/i cm/i+100 1+ 2 +... + n 1 2 i* n 1 (1 + YTM /) i (1 + YTM /) i (1 + YTM /) i D MD = = i PV (1 + YTM / i) (1 + YTM / i) 其中 D 为债券的麦考拉久期,MD 为修正久期根据久期计算的公式, 我们得到 : 期限 ( 年 ) 债券 A 的现金流表 3 债券 A 和 B 的久期组成按 YTM 折现的现金流债券 A 的久期组成债券 B 的现金流按 YTM 折现的现金流公式 (4) 债券 B 的久期组成 0.5 5 4.756916 0.024112 1 5 4.52565 0.04588 10 9.069291 0.092161 1.5 5 4.305628 0.065475 2 5 4.096302 0.083055 10 8.225204 0.167167 2.5 5 3.897153 0.098772 3 5 3.707686 0.112764 10 7.459678 0.227413 3.5 5 3.52743 0.125162 4 5 3.355938 0.136088 10 6.765399 0.274997 4.5 5 3.192783 0.145655 5 5 3.03756 0.153971 10 6.135737 0.311753 5.5 5 2.889884 0.161134 6 5 2.749387 0.167237 10 5.564679 0.339286 6.5 5 2.615721 0.172365 7 5 2.488553 0.1766 10 5.046769 0.358993 7.5 5 2.367567 0.180015 8 5 2.252464 0.182681 10 4.577062 0.372093 8.5 5 2.142956 0.184662 9 5 2.038773 0.186019 10 4.151071 0.379645 9.5 5 1.939654 0.186807 10 105 38.75245 3.928657 110 41.412 4.208242 总和 200 98.64045 6.51711 200 98.40689 6.73175 麦考利久期 6.51711 6.73175 修正久期 6.20027 6.10522 从表中可以看到, 债券 A 的麦考利久期为 6.51711, 债券 B 的麦考利久期为 6.73175, 债券 A 的麦考利久期要小于债券 B 的麦考利久期因为付息债券在每个付息日都会产生利息支付现金流, 所以固定利率债券的剩余代偿期并不是衡量债券到期的一个太好指标, 而麦考拉久期就是付息债券到期日的一个较好替代

债券 A 的麦考利久期短于债券 B 的麦考利久期, 这正说明了债券 A 现金流的加权平均期限短于债券 B 的加权平均期限这一特点因为债券 A 和债券 B 在生命期内现金流的总数相等, 都为 200, 但是债券 A 半年付息一次, 所以债券 A 现金流产生的平均时间早于债券 B 的平均时间但是考察债券 A 和债券 B 的修正久期, 就会得出相反的结果图中显示, 债券 A 的修正久期为 6.200269, 债券 B 的修正久期为 6.10522, 债券 A 的修正久期要大于债券 B 的修正久期修正久期是用来衡量债券价格对利率变动敏感性的一个指标, 既然债券 A 的修正久期大于债券 B 的久期, 我们似乎能得出结论 : 在其他情况相同的情况下, 付息频率越高的债券, 对利率变动越敏感也就是债券的付息频率与债券的久期成正方向变动为什么会出现这样的结果? 先考虑麦考拉久期和修正久期的关系 : D MD = (1 + YTM / i) 公式 (5) 债券的修正久期与麦考拉久期成正比, 与债券的到期收益率成反比, 与债券的付息频率成正比如果两个债券到期收益率和麦考利久期都相等, 那么付息频率高的债券的修正久期也更大在息票率相等, 剩余代偿期相等的情况下, 我们已经计算得到, 付息频率高的债券, 价格更高, 到期收益率更低, 更低的收益率相对使得久期更大, 加上付息频率导致的久期变大, 这二者的力量对比超过了付息频率使得麦考拉久期变小的力量, 最终使得高付息频率债券的修正久期更大假设债券的的到期收益率下降, 对应的各个时期的贴现率下降, 那么各个时期现金流的现值会增加, 使得债券的价格上升付息频率更高的债券, 现金流产生的时间更早, 收益率下降导致的贴现因子的增加, 会使得债券相比付息频率更低的债券的现金流现值增加得更快, 结果, 债券的价格也就上升得更多三不同付息方式的可比收益率计算前面两部分虽然分析总结了在同一市场上, 剩余待偿期和息票率完全相同, 仅付息频率不同的债券, 因为付息频率的影响, 而导致了债券价格久期和名义

到期收益率的不同但是这些分析还不足以给我们一个完全可比的指标, 这部分的分析, 为如何对等地比较付息频率不同的同期债券的收益率提供了一个解决途径我们知道, 付息频率高于一年一付的债券的名义到期收益率可以计算为 : C / i C / i C / i+ M P = + +... + 1 2 (1 / ) (1 / ) (1 / ) i + YTM n i i + YTM i i + YTM i i 但是这样的名义到期收益率不能直接用来和一年付息一次的债券的到期收益率进行比较, 所以接下来我们将债券的明名义到期收益率转化为与年付息债券收益率等价的实质收益率, 这样, 付息频率不同的债券的到期收益率就变得可比了一年付息 i 次, 按年复利的债券的实质收益率 YTM 可以表示如下 : C / i C / i C / i+ M P = + +... + 1/ i 2/ i (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) n 公式 (6) 在这个公式中, 我们计算得到的就是债券按年复利的实质收益率, 它与我们按照债券市场上最常用的按年付息, 按年复利得到的年到期收益率可以进行直接的比较在第二部分, 我们已经计算得到一年付息两次的债券 A 的名义到期收益率为 10.22%, 但是根据公式 (6), 我们就能够计算得到债券 A 相对一年付息债券 B 的实质收益率 : 5 5 105 98.640452 = + +... + (1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM ) 0.5 1 10 我们可以计算得到债券 A 按年复利的实质收益率为 10.48%, 所以我们可以看到, 虽然债券 A 的名义年利率利率 10.22% 小于债券 B 的年利率 10.26%, 但是通过公式 (6) 转换得到的按年复利的实质收益率为 10.48%, 大于债券 B 的年利率在下图中我们将债券 A 中全部半年支付的利息按年实际收益率复利到对于整年时间点, 则我们可以对债券 A 和 B 在每年末的现金流进行比较

年份表 4 债券 A 和 B 的年现金流和折现值比较债券 A 的年现金流按实质到期收益率折现的现值债券 B 的年现金流债券 B 的年现金流现值 1 年 10.25551 9.28256648 10 9.069291 2 年 10.25551 8.40192995 10 8.225204 3 年 10.25551 7.60483936 10 7.459677 4 年 10.25551 6.88336871 10 6.765399 5 年 10.25551 6.23034393 10 6.135737 6 年 10.25551 5.63927157 10 5.564679 7 年 10.25551 5.10427422 10 5.046769 8 年 10.25551 4.62003203 10 4.577062 9 年 10.25551 4.18172987 10 4.151071 10 年 110.2555 40.6921062 110 41.41199 总和 202.5551 98.64046 200 98.4069 其中, 债券 A 每年年末的债券现金流计算如下 : i CF = C i + YTM = + + = t= 1 (1 ti / ) / (1 ) 5 (1 10.48136%) 5 10.2551 债券 A 和债券 B 的年现金流比较现金流 120 100 80 60 40 20 0 1 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年年债券 A 的年现金流债券 B 的年现金流图 5 债券 A 和 B 的年现金流比较

债券 A 和 B 的年现金流现值比较现金流现值 120 100 80 60 40 20 0 1 年 2 年 3 年 4 年 5 年 6 年 7 年 8 年 9 年 10 年价格年按实质到期收益率折现的现值债券 B 的年现金流现值图 6 债券 A 和 B 的年现金流现值比较从图 5 中可以看出, 债券 A 每年年末的现金流都大于债券 B 的现金流 0.0251, 这是半年期付息债券在付息后半年按实质收益率积累到年末所获得的利息值在图 6 中, 我们可以看到, 虽然债券 A 的年末现金流大于债券 B 的年末现金流, 但是债券 A 的年复利实质到期收益率高于债券 B 的到期收益率, 因此年末现金流的贴现因子更大, 在开始时年现金流的影响大于贴现因子的影响, 但是随着时间的推移, 贴现因子的影响越来越大, 在第 10 年, 债券 B 的现值超过了债券 A 的现值四结论和启示如果同一发行人发行的债券, 剩余代偿期和息票都相等, 且市场收益率结构为正常向上倾斜的情况下, 我们可以得到 : (1) 付息频率与债券的价格成反比, 付息频率高的债券的市场价格高于付息频率低的债券的市场价格 ; (2) 付息频率与债券的到期收益率成反比, 付息频率高的债券的名义到期收益率低于付息频率高的债券的到期收益率 ; (3) 付息频率与麦考拉久期成反比, 付息频率高的债券的麦考拉久期低于付息频率低的债券的麦考拉久期 ;

(4) 付息频率与债券的修正久期成正比, 付息频率高的债券的修正久期高于付息频率低的债券的修正久期随着中国债券市场的不断发展完善, 债券市场的付息方式也将更加多样化, 分析付息方式不同对债券的价格的影响, 以及其对债券的风险特征的影响, 具有很强的实际价值本文的以上分析可以得出一些债券投资的初步建议, 在市场收益率结构正常的情况下, 对于其它条件完全一致, 仅有付息频率的差别的债券, 在进行分析比较时, 我们可以得到一些有意义的结论, 付息频率不同的债券的价格和到期收益率也不一致 ; 虽然付息频率高的债券的加权平均期限更低, 但是其价格对利率的敏感性更高 ; 要想使得不同付息频率的债券进行对等的比较, 必须将这些债券的到期收益率转化为按统一的期限复利的收益率, 文中介绍了如何将付息频率高于一年一付的债券的收益率转化为年复利实质收益率, 以消除付息频率的影响, 使债券的到期收益率可比管圣义 : 中央国债登记结算有限责任公司, 邮箱 :guanshengyi@sina.com 杨艳 : 财政部财政科学研究所, 邮箱 :yangyan-22@163.com