作 品 摘 要 : 從 總 數 7000 盤 的 實 驗 操 作 中 發 現 麻 將 賓 果 是 很 難 連 線 中 獎 的 遊 戲, 但 卻 由 於 店 家 的 巧 訂 規 則 誤 導 顧 客, 透 過 提 高 聽 牌 的 重 要 性, 以 及 多 送 一 局 的 小 獎 勵, 造 成 心 理 錯

嘉 義 市 第 32 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 科 別 : 數 學 科 組 別 : 國 小 組 作 品 名 稱 : 麻 將 的 賓 果 奇 緣 關 鍵 詞 : 麻 將 賓 果 機 率 編 號 : 1

作 品 摘 要 : 從 總 數 7000 盤 的 實 驗 操 作 中 發 現 麻 將 賓 果 是 很 難 連 線 中 獎 的 遊 戲, 但 卻 由 於 店 家 的 巧 訂 規 則 誤 導 顧 客, 透 過 提 高 聽 牌 的 重 要 性, 以 及 多 送 一 局 的 小 獎 勵, 造 成 心 理 錯 覺, 來 讓 顧 客 泥 足 深 陷, 難 以 自 拔 的 玩 下 去 其 中 我 們 也 發 現 不 只 是 遊 戲 規 則, 在 遊 戲 中 使 用 的 36 格 的 遊 戲 盤 面, 以 及 抽 15 張 麻 將 牌 來 排 列 的 方 式 也 都 是 對 店 家 最 有 利 的 規 則 最 後 我 們 利 用 數 學 中 機 率 的 算 法 算 出 遊 戲 的 期 望 值, 發 現 店 家 提 供 的 獎 品 至 少 要 在 600 元 以 上, 顧 客 在 遊 戲 中 才 有 優 勢 2

目 錄 : 壹 研 究 動 機 ----------------------------------------------------------------------------4 貳 研 究 目 的 ----------------------------------------------------------------------------4 參 研 究 器 材 與 設 備 -------------------------------------------------------------------5 肆 研 究 方 法 及 結 果 -------------------------------------------------------------------5 伍 結 論 ---------------------------------------------------------------------------------16 陸 參 考 資 料 ---------------------------------------------------------------------------17 附 錄 : 記 錄 用 紙 ------------------------------------------------------------------------18 3

壹 研 究 動 機 幾 個 月 前, 我 和 家 人 一 起 去 逛 夜 市, 在 人 來 人 往 的 夜 市 裡, 我 發 現 有 一 個 攤 販 大 排 長 龍, 客 人 絡 繹 不 絕, 帶 著 好 奇 的 心 擠 進 人 群 裡 觀 看, 發 現 是 一 個 麻 將 賓 果 的 遊 戲 攤 位, 遊 戲 桌 上 低 頭 猛 玩 的 顧 客, 貨 架 上 琳 琅 滿 目 的 娃 娃 獎 品, 在 在 都 吸 引 了 我 的 目 光, 因 此, 後 來 我 著 意 的 尋 找 夜 市 中 同 樣 的 攤 位, 沒 想 到, 光 是 一 個 嘉 樂 福 夜 市 就 有 五 個 麻 將 賓 果 攤 位, 而 且 每 個 攤 位 都 門 庭 若 市, 這 情 形 引 發 了 我 強 烈 的 好 奇 心, 為 什 麼 可 以 吸 引 到 那 麼 多 的 顧 客 上 門? 店 家 不 怕 顧 客 的 運 氣 好, 把 獎 品 都 贏 光, 反 而 虧 本 嗎? 我 向 老 師 提 出 這 個 疑 惑, 因 而 開 始 了 這 次 的 科 展 研 究 貳 研 究 目 的 我 們 的 研 究 有 下 列 五 項 : 一 統 計 一 般 賓 果 麻 將 連 線 與 聽 牌 的 機 率 二 比 較 抽 出 不 同 張 數 麻 將 的 中 獎 機 率 三 比 較 不 同 格 數 賓 果 盤 的 中 獎 機 率 四 計 算 出 麻 將 賓 果 連 線 的 機 率 五 整 理 出 麻 將 賓 果 店 家 的 投 資 報 酬 率 針 對 上 述 目 的, 本 研 究 擬 定 下 列 幾 個 問 題 進 行 研 究 : 一 麻 將 賓 果 的 連 線 中 獎 機 率 有 多 大? 二 麻 將 賓 果 的 聽 牌 機 率 有 多 大? 三 賓 果 盤 上 的 麻 將 圖 樣 排 列 順 序 會 不 會 影 響 中 獎 機 率? 四 如 果 不 是 抽 出 15 張 麻 將, 而 是 抽 出 不 同 張 數 的 麻 將 會 不 會 影 響 中 獎 機 率? 五 如 果 賓 果 盤 不 是 36 格, 而 是 其 他 格 數 盤 面 會 不 會 影 響 中 獎 機 率? 六 以 數 學 的 方 法 計 算 出 賓 果 麻 將 的 中 獎 機 率 及 期 望 值 會 是 多 少? 參 研 究 器 材 與 設 備 : 4

麻 將 賓 果 盤 實 驗 素 材 紀 錄 設 備 數 位 設 備 36 格 盤 四 盤 25 格 盤 二 盤 49 盤 二 盤 電 腦 夜 市 賓 果 麻 將 遊 戲 App 麻 將 二 套 麻 將 賓 果 紀 錄 紙 700 張 數 位 照 相 機 一 台 電 腦 一 台 印 表 機 一 台 肆 研 究 方 法 及 結 果 問 題 一 麻 將 賓 果 的 連 線 中 獎 機 率 有 多 大? ( 一 ) 實 驗 準 備 : 1. 遊 戲 規 則 : 研 究 開 始 前, 為 了 瞭 解 麻 將 賓 果 的 遊 戲 規 則, 我 們 先 到 夜 市 裡 去 觀 察 麻 將 賓 果 攤, 也 上 網 查 詢 麻 將 賓 果 遊 戲, 發 現 雖 然 已 經 衍 生 出 許 多 種 玩 法, 但 是 下 列 規 則 為 最 多 人 接 受, 簡 單 敘 述 如 下 : (1) 把 麻 將 裡 的 一 至 九 萬 一 至 九 筒 一 至 九 索 東 南 西 北 中 發 白 七 張 字 牌 各 1 張, 加 上 2 張 花 牌 共 計 36 張, 隨 意 排 列 印 成 多 種 6x6 方 陣 圖 卡, 如 此 一 來 橫 直 對 角 每 一 線 都 是 6 張 (2) 平 均 每 玩 一 局 20 元 ( 通 常 是 5 局 收 100 元 ), 玩 的 時 候 選 一 張 圖 卡, 然 後 從 老 闆 備 妥 的 上 述 36 張 麻 將 牌 中 任 選 15 張, 再 將 它 們 排 在 圖 卡 中 對 應 的 牌 上, 如 連 成 6 張 一 條 連 線 就 算 中 獎, 送 一 個 娃 娃, 兩 條 連 線 則 送 兩 個 娃 娃, 有 些 店 家 可 以 累 計 連 線 數, 玩 家 可 以 以 累 計 的 連 線 數 換 取 更 大 的 獎 項 (3) 若 15 張 牌 排 完 沒 有 連 線, 但 有 聽 牌 ( 差 一 張 就 連 線 的 狀 況 ) 的 話, 不 管 聽 幾 條 線, 都 可 以 多 抽 3 張 牌, 若 因 這 3 張 牌 而 出 現 連 線 了, 則 送 給 玩 家 多 玩 一 局 的 機 會 2. 研 究 步 驟 : (1) 製 作 麻 將 賓 果 盤, 我 們 依 照 其 花 牌 花 色 命 名 為 春 夏 秋 冬 梅 蘭 竹 菊, 共 四 盤 春 夏 盤 盤 面 秋 冬 盤 盤 面 梅 蘭 盤 盤 面 竹 菊 盤 盤 面 (2) 至 網 路 下 載 夜 市 麻 將 賓 果 遊 戲 程 式, 遊 戲 中 提 供 兩 種 盤 面 供 玩 家 選 擇, 我 們 分 別 稱 之 為 電 腦 盤 1 與 電 腦 盤 2 5

電 腦 盤 1 盤 面 電 腦 盤 2 盤 面 麻 將 賓 果 遊 戲 操 作 與 紀 錄 情 形 (3) 依 據 麻 將 賓 果 遊 戲 規 則, 利 用 六 個 不 同 排 列 的 盤 面, 各 完 成 500 次 的 遊 戲, 並 將 連 線 的 次 數 聽 牌 的 次 數, 以 及 聽 牌 後 抽 3 張 而 連 線 的 次 數 分 別 記 錄 起 來 (4) 由 於 抽 15 張 牌 最 多 只 可 能 出 現 三 連 線, 因 此 只 統 計 到 三 連 線 ; 聽 牌 後 抽 3 張 不 管 連 多 少 條 線, 都 只 送 一 局, 因 此, 聽 牌 後 連 線 只 計 算 次 數, 不 計 算 連 線 數 ( 二 ) 實 驗 結 果 : 表 1: 各 盤 玩 500 次 連 線 次 數 與 連 線 機 率 春 夏 盤 秋 冬 盤 梅 蘭 盤 竹 菊 盤 電 腦 盤 1 電 腦 盤 2 一 連 線 次 數 21 21 18 16 15 17 二 連 線 次 數 2 1 1 0 0 1 三 連 線 次 數 0 0 0 0 0 0 總 連 線 次 數 23 22 19 16 15 18 一 連 線 中 獎 機 率 4.2% 4.2% 3.6% 3.2% 3.0% 3.4% 二 連 線 中 獎 機 率 0.4% 0.2% 0.2% 0% 0% 0.2% 三 連 線 中 獎 機 率 0% 0% 0% 0% 0% 0% 總 中 獎 機 率 4.6% 4.4% 3.8% 3.2% 3.0% 3.6% 平 均 中 獎 機 率 3.77% ( 三 ) 我 們 發 現 : 1. 由 表 1 的 結 果 我 們 發 現, 原 來 麻 將 賓 果 的 中 獎 機 率 相 當 的 低, 平 均 一 連 線 得 獎 機 率 只 有 3-4%, 二 連 線 則 驟 降 至 0.2-0.4%, 而 三 連 線 在 本 次 實 驗 所 做 的 總 數 3000 次 的 操 作 中, 完 全 沒 有 出 現 過 其 實 我 們 在 漫 長 的 實 驗 過 程 中 也 有 感 受 到 連 線 中 獎 的 難 度, 因 為 難 以 中 獎, 組 員 們 想 要 繼 續 玩 的 意 願 越 來 越 低 落, 如 果 不 是 因 為 想 要 一 探 究 竟, 可 能 半 途 就 放 棄 了, 我 們 免 費 玩 遊 戲 尚 且 如 此, 何 況 要 自 掏 腰 包 玩 的 顧 客, 因 此 我 們 猜 想, 一 定 還 有 別 的 因 素, 讓 麻 將 賓 果 的 店 家 在 連 線 中 獎 率 如 此 低 的 情 況 下, 還 能 吸 引 到 絡 繹 不 絕 的 玩 家, 因 此, 我 們 將 注 意 力 轉 到 另 一 個 獎 勵 : 聽 牌 上 2. 電 腦 盤 的 機 率 與 其 他 盤 面 差 不 多, 因 此 由 電 腦 隨 機 模 擬 的 結 果 與 真 實 狀 況 相 符 問 題 二 麻 將 賓 果 的 聽 牌 機 率 有 多 大? 6

( 一 ) 實 驗 方 式 : 將 六 個 盤 面, 各 完 成 500 次 遊 戲, 將 聽 牌 以 及 聽 牌 後 抽 3 張 連 線 次 數 紀 錄 並 統 計 ( 二 ) 實 驗 結 果 : 表 2: 各 盤 玩 500 次 聽 牌 以 及 聽 牌 後 抽 3 張 連 線 次 數 與 連 線 機 率 春 夏 盤 秋 冬 盤 梅 蘭 盤 竹 菊 盤 電 腦 盤 1 電 腦 盤 2 聽 牌 次 數 192 176 179 185 179 161 聽 牌 機 率 38.4% 35.2% 35.8% 37.0% 35.8% 32.2% 總 聽 牌 機 率 35.7% 聽 牌 連 線 次 數 49 37 41 32 44 31 聽 牌 連 線 機 率 9.8% 7.4% 8.2% 6.4% 8.8% 6.2% 總 聽 牌 連 線 機 率 7.8% 聽 牌 後 連 線 機 率 ( 聽 牌 連 線 / 聽 牌 次 數 ) 25.5% 21.0% 22.9% 17.3% 24.6% 19.3% 平 均 聽 牌 連 線 機 率 21.8% ( 三 ) 我 們 發 現 : 1. 聽 牌 的 機 率 相 當 高, 有 35.7%, 平 均 玩 三 局 就 會 有 一 局 聽 牌, 由 於 聽 牌 給 玩 家 的 感 覺 是 只 差 一 點 點 就 能 連 線 中 獎 了, 再 玩 一 盤 或 許 就 能 中 獎, 會 讓 人 躍 躍 欲 試, 因 此, 我 們 認 為 如 此 高 的 聽 牌 機 率 正 是 店 家 能 夠 吸 引 顧 客 的 原 因 2. 我 們 認 為 聽 牌 後 能 抽 三 張 的 規 則 也 是 吸 引 顧 客 上 門 的 一 大 利 器, 原 因 如 下 : (1) 聽 牌 後 抽 三 張 的 中 獎 機 率 為 7.8%, 平 均 玩 100 局 送 出 8 局, 實 際 送 出 局 數 不 多 (2) 連 線 後 只 能 多 玩 一 局, 並 不 需 實 際 送 出 獎 品, 且 多 玩 的 一 局 連 線 中 獎 機 率 一 樣 只 有 3-4%, 所 須 付 出 的 機 會 成 本 並 不 大, 送 人 局 數 又 可 以 讓 顧 客 有 中 獎 的 錯 覺, 更 能 提 高 顧 客 玩 下 去 的 意 願 (3) 已 經 聽 牌 的 盤 面, 再 抽 三 張 導 致 連 線 的 機 率 為 21.8%, 也 就 是 說 聽 牌 後 的 盤 面, 有 五 分 之 一 是 可 以 連 線 的, 這 樣 更 加 強 化 的 顧 客 差 一 點 就 連 線 的 心 理, 讓 顧 客 更 捨 不 得 離 開 3. 若 與 實 驗 一 結 果 綜 合 討 論, 我 們 發 現 : (1) 整 體 中 獎 與 準 中 獎 ( 聽 牌 ) 機 率 為 39.47%, 將 近 四 成 的 機 會, 看 起 來 很 有 機 會, 但 其 實 在 這 四 成 中 僅 有 十 分 之 一 的 機 會 是 真 正 拿 到 獎 品, 其 餘 都 只 是 聽 牌 而 已 (2) 遊 戲 中 的 獎 勵 包 括 兩 種, 娃 娃 ( 實 質 獎 勵 ) 和 送 一 局 ( 虛 擬 獎 勵 ), 兩 者 合 計 的 機 率 為 11.57%, 連 線 機 率 大 約 是 一 成, 讓 顧 客 覺 得 連 線 不 難 實 現, 但 這 一 成 中 只 有 約 三 分 之 一 是 實 質 獎 勵, 其 餘 都 只 是 對 店 家 而 言 不 痛 不 癢 的 虛 擬 獎 勵 4. 總 而 言 之, 麻 將 賓 果 的 中 獎 機 率 很 低, 玩 100 局 只 能 連 線 中 獎 3-4 局, 但 是 準 中 獎 ( 聽 牌 ) 機 率 高, 已 經 能 提 高 顧 客 續 玩 意 願, 店 家 又 設 計 聽 牌 抽 三 張 連 線 送 一 局 的 虛 擬 獎 勵, 更 進 一 步 的 讓 顧 客 留 下 問 題 三 賓 果 盤 上 的 麻 將 圖 樣 排 列 順 序 會 不 會 影 響 中 獎 機 率? 7

( 一 ) 實 驗 方 式 : 1. 六 個 盤 面 上 的 圖 樣 排 列 順 序 不 盡 相 同, 我 們 先 不 管 圖 樣 變 化, 在 格 子 裡 標 記 上 數 字 做 為 記 號, 若 每 個 位 置 出 現 的 次 數 相 同, 則 意 謂 不 管 位 置 上 原 來 是 哪 個 圖 樣, 並 不 會 影 響 那 個 位 置 的 出 現 機 率 2. 為 減 少 統 計 與 操 作 上 的 繁 瑣, 我 們 將 總 數 36 格 的 盤 面 以 對 稱 圖 形 與 相 對 位 置 的 方 法 加 以 簡 化 : (1) 將 36 格 沿 中 心 線 劃 開 成 為 4 個 相 同 的 區 塊, 則 其 相 對 稱 的 情 形 如 下 圖, 相 同 的 號 碼 為 相 對 應 位 置 (2) 而 每 一 區 塊 的 九 宮 格 中, 沿 著 146 線 對 折, 又 可 以 依 對 稱 圖 形 與 相 對 位 置 形 成 如 下 圖 的 對 應 方 式 (3) 如 此 一 來, 在 36 格 盤 上, 位 置 與 對 應 關 係 可 簡 化 至 6 個 種 類 劃 分 4 區 塊 對 應 情 形 區 塊 中 對 應 情 形 實 驗 記 錄 方 式 3. 將 六 個 盤 面, 各 完 成 500 次 遊 戲, 記 錄 其 1-6 號 位 置 出 現 次 數, 為 了 使 每 次 抽 牌 數 都 固 定 為 15 張, 聽 牌 後 抽 三 張 並 不 算 在 此 紀 錄 中 ( 二 ) 實 驗 結 果 : 8

表 3: 各 盤 玩 500 次 1-6 號 位 置 出 現 次 數 春 夏 盤 秋 冬 盤 梅 蘭 盤 竹 菊 盤 電 腦 盤 1 電 腦 盤 2 平 均 1 號 位 置 203 215 214 208 200 219 209.8 2 號 位 置 196 207 215 191 227 208 207.3 3 號 位 置 192 202 197 203 215 209 203.0 4 號 位 置 198 204 215 211 222 218 211.3 5 號 位 置 196 193 211 205 216 199 203.3 6 號 位 置 204 210 201 199 223 196 205.5 平 均 每 格 出 現 次 數 206.7 ( 三 ) 我 們 發 現 : 1. 實 驗 統 計 結 果 為 203-211.3 次, 平 均 為 206.7 次, 平 均 出 現 次 數 的 起 伏 並 不 大, 我 們 認 為 出 現 次 數 相 當 平 均, 而 此 結 果 也 可 以 證 明, 格 子 出 現 的 次 數 是 採 取 隨 機 分 配 的, 並 不 受 到 格 子 內 圖 樣 的 影 響 2. 若 以 數 學 方 式 計 算, 理 論 上 平 均 每 格 的 出 現 次 數 應 為 15 500 36=208.3 次, 我 們 認 為 本 次 實 驗 的 平 均 206.7 次 相 當 接 近 理 論 值, 也 可 說 明 隨 機 分 配, 每 個 格 子 出 現 的 機 率 都 一 樣 的 結 果 問 題 四 抽 出 不 同 張 數 的 麻 將 會 不 會 影 響 中 獎 機 率? ( 一 ) 實 驗 方 式 : 1. 首 先, 我 們 稍 微 改 變 一 下 實 驗 規 則, 春 夏 盤 抽 12 張 牌, 秋 冬 抽 14 張 牌, 梅 蘭 抽 16 張 牌, 竹 菊 抽 18 張 牌 進 行 遊 戲, 聽 牌 後 抽 三 張 的 規 則 並 不 改 變 2. 將 四 個 盤 面, 各 完 成 500 次 遊 戲, 紀 錄 連 線 聽 牌 及 聽 牌 後 抽 3 張 連 線 次 數 並 統 計 ( 二 ) 實 驗 結 果 : 實 驗 直 接 記 錄 於 黑 板 上 36 格 要 三 連 線 至 少 要 抽 15 張 牌 表 4: 不 同 抽 牌 數 操 作 500 次 的 連 線 次 數 與 連 線 機 率 春 夏 盤 12 牌 秋 冬 盤 14 牌 梅 蘭 盤 16 牌 竹 菊 盤 18 牌 9

一 連 線 次 數 13 14 27 55 二 連 線 次 數 0 0 2 0 三 連 線 次 數 X X 0 0 總 連 線 次 數 13 14 29 55 一 連 線 中 獎 機 率 2.6% 2.8% 5.4% 11.0% 二 連 線 中 獎 機 率 0.0% 0.0% 0.4% 0% 三 連 線 中 獎 機 率 X X 0% 0% 總 中 獎 機 率 2.6% 2.8% 5.8% 11.0% 表 5: 不 同 抽 牌 數 操 作 500 次 的 聽 牌 以 及 聽 牌 後 抽 3 張 連 線 次 數 與 連 線 機 率 春 夏 盤 12 牌 秋 冬 盤 14 牌 梅 蘭 盤 16 牌 竹 菊 盤 18 牌 聽 牌 次 數 48 131 190 234 聽 牌 機 率 9.6% 26.2% 38.0% 46.8% 聽 牌 連 線 次 數 18 22 48 69 聽 牌 連 線 機 率 3.6% 4.4% 9.6% 13.8% 不 同 抽 牌 數 與 連 線 聽 牌 及 聽 牌 連 線 機 率 之 關 係 50.0% 45.0% 40.0% 35.0% 30.0% 25.0% 20.0% 15.0% 10.0% 5.0% 0.0% 12 牌 14 牌 15 牌 16 牌 18 牌 連 線 中 獎 機 率 聽 牌 機 率 聽 牌 連 線 機 率 ( 三 ) 我 們 發 現 : 圖 1: 不 同 抽 牌 數 與 中 獎 機 率 關 係 圖 10

1. 由 圖 1 的 統 計 結 果 可 以 發 現, 不 管 是 連 線 中 獎 機 率 聽 牌 機 率, 還 是 聽 牌 抽 三 張 連 線 機 率, 都 隨 著 抽 牌 數 上 升 對 店 家 而 言, 中 獎 機 率 高 意 味 著 成 本 提 高, 但 過 低 的 中 獎 率 也 無 法 吸 引 顧 客 繼 續 玩 ; 由 於 聽 牌 機 率 與 聽 牌 抽 三 張 連 線 機 率 都 可 以 造 成 顧 客 類 似 中 獎 的 錯 覺, 進 而 提 高 顧 客 繼 續 玩 的 意 願, 且 付 出 的 代 價 並 不 高 ( 送 一 局 ), 因 此 這 兩 種 情 形 的 機 率 則 是 越 高 越 好, 2. 從 連 線 中 獎 機 率 曲 線 ( 藍 色 ) 來 說, 以 抽 15 牌 作 為 基 礎 來 比 較,12 牌 和 14 牌 的 中 獎 機 率 很 低, 都 不 到 3%,16 牌 和 18 牌 的 中 獎 機 率 都 升 高, 尤 其 是 18 牌, 中 獎 機 率 高 達 11%, 將 近 15 牌 中 獎 機 率 的 3 倍 3. 拿 聽 牌 抽 三 張 連 線 機 率 曲 線 ( 綠 色 ) 與 連 線 中 獎 機 率 曲 線 ( 藍 色 ) 來 比 較, 從 圖 形 上 來 看 兩 條 曲 線 幾 乎 是 平 行, 由 於 聽 牌 抽 三 張 連 線 可 以 造 成 中 獎 錯 覺 而 不 必 送 出 實 際 商 品, 因 此 兩 者 的 比 率 是 越 高 越 好, 我 們 可 以 進 一 步 的 從 表 6 看 出, 最 高 的 比 率 是 在 抽 15 張 牌 的 玩 法 中, 聽 牌 連 線 機 率 是 連 線 中 獎 機 率 的 2 倍, 也 就 是 說 在 玩 到 最 後 都 連 線 的 情 況 下 ( 約 占 10%), 只 有 1/3 的 機 率 是 真 的 需 要 送 出 娃 娃 的, 在 這 方 面, 抽 牌 的 張 數 並 沒 有 顯 著 的 影 響 表 6: 聽 牌 抽 三 張 連 線 機 率 與 連 線 中 獎 機 率 比 較 12 牌 14 牌 15 牌 16 牌 18 牌 連 線 中 獎 機 率 2.6% 2.8% 3.77% 5.8% 11.0% 聽 牌 連 線 機 率 3.6% 4.4% 7.8% 9.6% 13.8% 比 率 ( 聽 牌 連 線 / 連 線 ) 1.385 1.571 2.069 1.655 1.255 4. 拿 聽 牌 機 率 曲 線 ( 紅 色 ) 與 連 線 中 獎 機 率 曲 線 ( 藍 色 ) 來 比 較, 圖 形 上 兩 者 的 曲 線 就 差 相 當 多 了, 而 聽 牌 可 以 給 顧 客 快 要 中 獎 的 錯 覺, 因 此 兩 者 間 的 比 率 也 是 越 高 越 好, 從 表 7 可 以 看 出, 比 率 最 高 落 在 14 牌 與 15 牌 兩 種 情 形 之 中, 但 是 14 牌 完 全 沒 有 形 成 三 連 線 的 機 會, 三 連 線 雖 然 在 我 們 操 作 能 夠 三 連 線 的 盤 面 4000 盤 中 完 全 沒 有 出 現 過, 但 我 們 認 為 三 連 線 也 是 一 種 難 以 出 現 卻 能 帶 給 顧 客 希 望, 繼 續 玩 下 去 的 條 件, 在 這 個 理 由 之 下, 我 們 認 為 抽 15 張 牌 還 是 比 抽 14 張 牌 來 說, 對 店 家 比 較 有 利 表 7: 聽 牌 機 率 與 連 線 中 獎 機 率 比 較 12 牌 14 牌 15 牌 16 牌 18 牌 連 線 中 獎 機 率 2.6% 2.8% 3.77% 5.8% 11.0% 聽 牌 機 率 9.6% 26.2% 35.7% 38.0% 46.8% 比 率 ( 聽 牌 / 連 線 ) 3.692 9.357 9.469 6.552 4.255 5. 統 計 與 分 析 過 這 個 實 驗 後, 我 們 驚 訝 的 發 現, 抽 15 張 牌 真 的 是 所 有 抽 牌 數 中 對 店 家 最 有 利 的 方 式, 聽 牌 與 聽 牌 連 線 的 機 率 高, 容 易 吸 引 顧 客, 相 對 於 前 兩 項, 真 正 連 線 中 獎 的 比 率 就 比 較 低 了, 能 夠 有 效 的 降 低 店 家 成 本 問 題 五 不 同 盤 面 格 數 會 不 會 影 響 中 獎 機 率? ( 一 ) 實 驗 方 式 : 11

1. 我 們 變 更 盤 面 的 格 數, 分 別 製 作 出 25 格 盤 面 與 49 格 盤 面 (1)25 格 盤 面 : 一 至 九 萬 一 至 九 筒 東 南 西 北 中 發 白 字 牌 各 1 張 (2)49 格 盤 面 : 一 至 九 萬 一 至 九 筒 東 南 西 北 中 發 白 字 牌 各 1 張, 以 及 6 張 花 牌, 一 至 九 索 各 2 張, 為 了 做 出 區 別, 把 其 中 一 組 一 至 九 索 貼 上 標 籤 25 格 盤 面 49 格 盤 面 2. 由 於 36 格 盤 面 抽 牌 數 是 15 張, 這 產 生 兩 種 方 式 可 以 解 釋 : (1) 最 少 三 連 線 張 數 : 換 算 為 25 格 盤 面 為 12 張,49 格 盤 面 為 18 張 (2) 佔 36 格 比 率 :15 張 牌 佔 36 格 比 率 為 0.416, 換 算 為 25 格 盤 面 約 為 10 張,49 格 盤 面 為 20 張 3. 操 作 25 格 盤 面 10 與 12 張 牌,49 盤 面 18 與 20 張 牌 各 500 盤, 紀 錄 連 線 聽 牌 及 聽 牌 後 抽 3 張 連 線 次 數 並 統 計 ( 二 ) 實 驗 結 果 : 表 8: 不 同 格 數 盤 面 操 作 500 次 的 連 線 次 數 與 連 線 機 率 25 格 盤 10 牌 25 格 盤 12 牌 49 格 盤 18 牌 49 格 盤 20 牌 一 連 線 次 數 49 72 2 3 二 連 線 次 數 0 2 1 1 三 連 線 次 數 0 0 0 0 總 連 線 次 數 19 74 3 4 一 連 線 中 獎 機 率 9.8% 14.4% 0.4% 0.6% 二 連 線 中 獎 機 率 0 0.4% 0.2% 0.2% 三 連 線 中 獎 機 率 X 0 0 0 總 中 獎 機 率 9.8% 14.8% 0.6% 0.8% 表 9: 不 同 格 數 盤 面 操 作 500 次 的 聽 牌 以 及 聽 牌 後 抽 3 張 連 線 次 數 與 連 線 機 率 25 格 盤 10 牌 25 格 盤 12 牌 49 格 盤 18 牌 49 格 盤 20 牌 聽 牌 次 數 250 367 64 93 聽 牌 機 率 50% 73.4% 12.8% 18.6% 聽 牌 連 線 次 數 76 163 9 12 聽 牌 連 線 機 率 15.2% 32.6% 1.8% 2.4% ( 三 ) 我 們 發 現 : 1. 從 實 驗 結 果 我 們 發 現, 不 管 是 抽 10 張 牌 還 是 12 張 牌,25 格 盤 在 連 線 中 獎 機 率 聽 12

牌 機 率, 還 是 聽 牌 連 線 機 率, 都 大 量 的 提 升, 但 是 比 起 36 格 盤 15 牌 的 基 本 盤 來 說, 連 線 中 獎 機 率 提 升 了 約 3-4 倍, 聽 牌 機 率 卻 只 提 升 約 1.5-2 倍, 在 連 線 中 獎 機 率 上 升 比 聽 牌 機 率 還 要 少 的 情 況 下, 等 於 店 家 付 出 的 成 本 變 高, 但 吸 引 顧 客 的 誘 因 卻 上 升 沒 那 麼 多, 因 此, 以 店 家 的 角 度 來 說,25 格 的 盤 面 是 不 如 36 格 的 盤 面 的 2.49 格 盤 也 是 不 管 是 抽 18 張 牌 還 是 20 張 牌, 其 連 線 中 獎 機 率 聽 牌 機 率, 還 是 聽 牌 連 線 機 率, 都 大 量 的 降 低, 比 起 36 格 盤 15 牌 的 基 本 盤,49 格 的 連 線 機 率 約 只 有 36 格 盤 的 1/6-1/5 備, 聽 牌 機 率 也 只 有 1/3-1/2 倍, 如 此 低 的 機 率, 難 以 吸 引 顧 客 上 門 持 續 的 玩 下 去 問 題 六 以 數 學 的 方 法 計 算 出 賓 果 麻 將 的 中 獎 機 率 與 期 望 值 會 是 多 少? ( 一 ) 實 驗 方 式 : 從 前 面 的 實 驗 我 們 可 以 知 道, 麻 將 賓 果 遊 戲 中, 不 管 是 連 線 聽 牌 或 每 一 格 出 現 的 機 會, 都 是 隨 機 出 現 的 方 式, 如 此 一 來, 我 們 應 該 可 以 運 用 數 學 中 機 率 的 算 法 來 算 出 其 各 項 機 率, 與 我 們 先 前 實 驗 的 結 果 相 驗 證, 並 計 算 出 遊 戲 的 期 望 值 ( 二 ) 實 驗 結 果 : 一 計 算 連 線 機 率 : 1. 計 算 出 36 張 牌 抽 15 張 牌 所 有 可 能 組 合 有 幾 種 : 由 於 抽 牌 的 順 序 並 沒 有 影 響 中 獎, 因 此 我 們 使 用 C(36,15) 來 計 算, 總 共 是 5567902560 種 組 合 2. 計 算 出 一 連 線 可 能 組 合 數 : 盤 面 上 可 能 連 成 一 連 線 的 方 式 共 有 直 行 6 種 + 橫 列 6 種 + 斜 線 2 種 共 14 種 的 連 線 方 式, 從 14 種 可 能 中 選 出 連 成 一 連 線 後 再 從 剩 餘 的 30 張 牌 取 9 張 牌 出 來 排 列 計 算 方 式 :C(14,1) C(30,9)=200300100 3. 計 算 出 二 連 線 可 能 組 合 數 : 二 連 線 須 考 慮 兩 條 連 線 是 否 有 相 交, 有 相 交 的 情 形 還 要 考 慮 其 相 交 是 直 橫 相 交, 還 是 斜 直 ( 橫 ) 相 交, 計 算 如 下 : (1) 沒 有 相 交 : 必 為 兩 條 直 線 兩 條 橫 線 或 兩 條 斜 線, 以 直 線 來 說, 從 6 條 直 線 中 選 兩 條 後, 用 掉 了 12 張 牌, 接 下 來 從 剩 下 的 24 張 牌 選 3 張, 橫 線 也 是 相 同 的 做 法 ; 斜 線 只 有 一 組, 因 此 為 1 C(24,3) 計 算 方 式 :C(6,2) C(24,3) 2+1 C(24,3)=62744 (2) 直 橫 相 交 : 直 線 6 條 中 選 一 條, 橫 線 6 條 中 選 一 條, 再 從 剩 下 的 25 張 牌 中 選 4 張 牌 計 算 方 式 :C(6,1) C(6,1) C(25,4)=455400 (3) 直 ( 橫 ) 斜 相 交 : 兩 條 斜 線 選 一 條, 直 線 橫 線 選 一 條, 剩 下 25 格 選 4 張 計 算 方 式 :C(2,1) C(12,1) C(25,4)=303600 故 二 連 線 組 合 共 有 62744+455400+303600=821744 種 4. 計 算 出 三 連 線 可 能 組 合 數 : 只 要 一 直 線 一 橫 線 和 一 斜 線 的 組 合 中 有 三 個 格 子 共 用, 就 可 以 出 現 三 連 線 因 此 算 出 一 直 線 一 橫 線 和 一 斜 線 的 組 合 再 扣 掉 只 有 共 用 一 格 子 的 情 況 即 可 13

計 算 方 式 :C(6,1) C(6,1) C(2,1)-12=60 5. 根 據 排 容 原 理, 一 連 線 可 能 組 合 - 二 連 線 可 能 組 合 + 三 連 線 可 能 組 合 = 所 有 連 線 可 能 組 合 ( 至 少 有 一 連 線 的 組 合 ), 因 此 所 有 連 線 可 能 組 合 數 200300100-821744+60=199478416 6. 所 以 連 線 機 率 = 所 有 連 線 可 能 組 合 數 所 有 可 能 組 合 計 算 方 式 :199478416 5567902560 100%=0.0358 100%=3.58% 二 計 算 顧 客 玩 遊 戲 中 獎 期 望 值 : 1. 玩 一 盤 連 線 中 獎 的 機 率 為 3.58%, 所 以 不 中 獎 的 機 率 為 (1-3.58%), 由 於 100 元 可 以 玩 5 盤, 所 以 玩 5 盤 不 中 獎 的 機 率 為 (1-3.58%)^5=83.34%=0.8334 2. 因 此 玩 5 盤 至 少 中 獎 一 次 的 機 率 為 (1-0.8334)=0.1666 3. 也 就 是 說, 顧 客 花 了 100 元 得 到 0.1666 的 至 少 一 次 中 獎 機 會, 那 麼, 獎 品 的 價 錢 至 少 要 在 100/0.1666=600.24 元 以 上, 才 對 顧 客 有 利, 反 之, 則 對 店 家 有 利 ( 三 ) 我 們 發 現 : 1. 我 們 實 際 模 擬 實 驗 連 線 中 獎 機 率 的 3.77% 與 我 們 計 算 出 來 的 連 線 機 率 3.58% 相 當 接 近, 由 此 也 可 以 印 證 我 們 前 面 的 實 驗 結 果, 應 該 相 當 準 確 2. 若 獎 品 的 價 格 在 600.24 元 以 上, 則 中 獎 期 望 值 對 顧 客 有 利, 反 之, 則 對 店 家 有 利 3. 根 據 我 們 觀 察 夜 市 裡 麻 將 賓 果 攤 位 的 獎 品, 大 部 分 都 沒 有 600 元 的 價 格, 因 此, 整 個 遊 戲 是 對 店 家 有 利, 對 顧 客 不 利 的 狀 態 伍 結 論 一 根 據 問 題 一 的 實 際 實 驗 結 果, 麻 將 賓 果 的 平 均 連 線 中 獎 機 率 3.77%, 使 用 數 學 機 率 計 算 14

結 果 則 是 3.58%, 不 論 是 哪 種 方 式 得 到 的 連 線 中 獎 機 率 都 很 低, 因 此, 我 們 得 到 了 結 論, 麻 將 賓 果 是 一 個 很 難 連 線 中 獎 的 遊 戲 二 2 盤 電 腦 盤 的 連 線 中 獎 機 率 聽 牌 機 率 以 及 聽 牌 連 線 機 率 與 其 他 4 盤 實 際 操 作 盤 面 差 不 多, 因 此 由 電 腦 隨 機 模 擬 的 結 果 與 真 實 狀 況 相 符 三 在 如 此 低 的 連 線 中 獎 機 率 下, 還 能 吸 引 顧 客 玩 的 原 因, 我 們 歸 類 於 下 列 三 項 : 1. 高 聽 牌 機 率 : 聽 牌 的 機 率 35.7%, 平 均 玩 三 局 就 會 有 一 局 聽 牌, 可 以 強 化 玩 家 只 差 一 點 點 就 能 連 線 中 獎 的 感 覺, 再 玩 一 盤 或 許 就 能 中 獎, 會 讓 人 欲 罷 不 能 2. 聽 牌 後 抽 三 張 牌 的 策 略 : 這 樣 的 規 定 讓 聽 牌 也 得 到 店 家 的 獎 勵, 強 化 聽 牌 的 特 殊 性, 提 高 聽 牌 在 顧 客 心 中 的 地 位, 讓 顧 客 錯 認 為 收 穫 是 相 當 多 的 3. 抽 三 張 牌 連 線 再 送 一 局 規 則 : 聽 牌 後, 再 抽 三 張 牌 連 線 的 機 率 高 達 21.8%, 可 以 更 進 一 步 的 強 化 顧 客 心 中 那 聽 牌 = 快 要 連 線 的 想 法, 讓 顧 客 覺 得 更 有 希 望, 事 實 上, 抽 15 張 牌 連 線 中 獎, 和 抽 15+3=18 張 牌 連 線 中 獎 的 機 率 相 差 了 3 倍 有 餘 店 家 幾 乎 就 是 用 18 張 牌 的 連 線 中 獎 機 率 的 加 成 ( 還 要 聽 牌 才 能 抽, 且 只 送 一 局 ), 來 提 高 15 張 牌 的 連 線 中 獎 率 四 麻 將 賓 果 獎 勵 綜 合 討 論 : 1. 抽 三 張 獎 勵 與 實 際 獎 品 獎 勵 合 一 : 聽 牌 與 連 線 中 獎 機 率 加 起 來 為 39.47%, 將 近 四 成 的 機 會, 其 實 在 這 四 成 中 僅 有 1/10 的 機 會 是 真 正 拿 到 獎 品, 其 餘 都 只 是 聽 牌 抽 三 張 的 獎 勵, 雖 有 鼓 舞 士 氣 的 作 用, 實 則 什 麼 都 沒 有 拿 到 2. 都 是 連 線, 但 獎 勵 差 別 很 大 : 遊 戲 中 玩 到 最 後 有 連 線 的 獎 勵 包 括 兩 種, 實 質 獎 品 和 送 一 局, 兩 者 合 計 的 機 率 為 11.57%, 連 線 機 率 大 約 是 一 成, 讓 顧 客 覺 得 連 線 不 難 實 現, 但 這 一 成 中 只 有 約 1/3 是 店 家 真 正 要 付 出 成 本 的 實 質 獎 品, 其 餘 都 只 是 對 店 家 而 言 損 失 不 大 的 送 一 局 五 由 問 題 三 的 實 驗 結 果 我 們 知 道, 格 子 出 現 的 次 數 是 採 取 隨 機 分 配 的, 並 不 受 到 格 子 內 圖 樣 的 影 響, 因 此, 所 謂 特 別 容 易 連 線 中 獎 的 盤 面 是 不 存 在 的, 也 沒 有 特 別 的 必 勝 法, 一 15

切 只 能 靠 顧 客 的 運 氣 六 抽 15 張 牌 是 所 有 抽 牌 數 中 對 店 家 最 有 利 的 方 式, 理 由 如 下 : 1. 聽 牌 抽 三 張 連 線 機 率 與 連 線 中 獎 機 率 比 率 最 大 : 聽 牌 抽 三 張 連 線 可 以 吸 引 顧 客 上 門 又 不 需 付 出 太 多 成 本, 機 率 越 高 越 好, 連 線 中 獎 則 會 讓 店 家 付 出 獎 品 的 成 本, 當 然 是 能 低 就 低, 因 此 聽 牌 抽 三 張 連 線 機 率 是 連 線 中 獎 機 率 2 倍 的 抽 15 張 牌 當 然 是 最 好 的 選 擇 2. 聽 牌 機 率 與 連 線 中 獎 機 率 比 率 最 大 : 聽 牌 的 功 能 也 是 能 吸 引 顧 客 上 門, 且 還 不 一 定 要 付 出 成 本, 機 率 也 是 越 高 越 好, 而 連 線 中 獎 機 率 同 上 述, 能 低 就 低, 這 一 項 比 率 最 高 點 落 在 14 牌 與 15 牌 兩 種 情 形 之 中, 但 是 14 牌 完 全 沒 有 形 成 三 連 線 的 機 會, 三 連 線 雖 然 在 我 們 操 作 能 夠 三 連 線 的 盤 面 4000 盤 中 完 全 沒 有 出 現 過, 但 我 們 認 為 三 連 線 也 是 一 種 難 以 出 現 卻 能 帶 給 顧 客 希 望, 繼 續 玩 下 去 的 條 件, 在 這 個 理 由 之 下, 我 們 認 為 抽 15 張 牌 還 是 比 抽 14 張 牌 來 說, 對 店 家 比 較 有 利 七 36 格 盤 面 是 所 有 盤 面 中 對 店 家 最 有 利 的 盤 面, 理 由 如 下 : 1. 不 管 是 抽 10 張 牌 還 是 12 張 牌,25 格 盤 面 的 所 有 機 率 都 大 幅 度 上 升, 但 是 連 線 中 獎 機 率 上 升 太 多, 但 聽 牌 機 率 與 聽 牌 連 線 機 率 卻 上 升 沒 那 麼 多, 在 成 本 提 高 較 多 和 吸 引 顧 客 效 果 提 高 較 少 的 情 況 下, 當 然 是 不 受 到 店 家 歡 迎 的 2. 不 管 是 抽 18 張 牌 還 是 20 張 牌,49 格 盤 面 的 所 有 機 率 都 大 幅 度 下 降, 連 線 中 獎 機 率 低 到 只 有 0.6-0.8%, 就 算 加 上 聽 牌 連 線 機 率 的 1.8-2.4% 也 難 以 吸 引 顧 客 上 門 玩 遊 戲 八 根 據 連 線 中 獎 機 率 所 算 出 來 100 元 玩 5 局 的 期 望 值 是 600.24 元, 由 於 前 面 實 驗 的 結 果 告 訴 我 們, 麻 將 賓 果 遊 戲 並 沒 有 必 勝 法, 只 能 隨 機 分 配 的 運 氣, 因 此, 如 果 不 想 在 麻 將 賓 果 的 遊 戲 中 吃 虧, 就 只 能 選 貨 架 上 的 獎 品 價 值 高 過 600.24 元 的 店 家 去 玩, 才 有 勝 算, 否 則, 笑 到 最 後 的 永 遠 的 麻 將 賓 果 的 店 家 陸 參 考 資 料 16

( 一 ) 張 崇 賢 等 十 人 ( 民 71) 傳 統 的 吃 角 子 老 虎 -- 滾 彈 珠 的 研 究 中 華 民 國 第 22 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會, 高 小 組, 數 學 科 ( 二 ) 林 桂 香 等 六 人 ( 民 97) 中 大 獎, 不 容 易 中 華 民 國 第 48 屆 中 小 學 科 學 展 覽 會, 國 小 組, 數 學 科 ( 三 )Mengwen( 無 日 期 ) 排 列 組 合 與 機 率 103 年 3 月 20 日 引 用 自 http://phys.thu.edu.tw/~mengwen/note/213.pdf 17

附 錄 : 紀 錄 用 紙 18

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