第 3 章 推 理 可 概 分 為 必 然 推 理 與 或 然 推 理 兩 大 類 必 然 推 理 就 是, 只 要 前 提 為 真 且 推 演 過 程 遵 循 推 理 法 則 而 無 謬 誤, 則 結 論 為 必 然 真 確 數 學 上 的 定 理 大 都 是 由 而 得 ; 科 學 上 的 定 律, 則 是 由 觀 察 有 限 數 據 歸 納 類 推 而 得, 其 結 論 未 必 然 正 確, 而 是 或 然 的, 往 往 會 隨 時 空 之 變 遷 而 做 修 正
第 一 節 聯 言 推 理 法 則 兩 命 題 P, Q 的 聯 言 命 題 為 P Q 如 果 P 與 Q 皆 為 真, 那 麼 P Q 為 真 ; 反 之, 若 P Q 為 真, 則 P 真,Q 也 真
例 題 3.1 大 家 公 認 : 萊 布 尼 茲 是 一 位 偉 大 的 數 學 家, 也 承 認 萊 布 尼 茲 是 有 內 涵 的 哲 學 家, 所 以 萊 布 尼 茲 既 是 一 位 偉 大 的 數 學 家, 也 是 一 位 有 內 涵 的 哲 學 家 是 一 句 真 的 命 題
例 題 3.2 李 遠 哲 獲 得 諾 貝 爾 化 學 獎, 也 當 過 中 央 研 究 院 院 長, 所 以 命 題 李 遠 哲 獲 得 諾 貝 爾 化 學 獎 與 命 題 李 遠 哲 當 過 中 央 研 究 院 院 長 都 是 真 的 命 題
第 二 節 選 言 推 理 法 則 兩 命 題 P, Q 的 選 言 命 題 為 P Q 若 P 與 Q 至 少 有 一 為 真, 則 P Q 為 真 ; 反 之, 若 P Q 為 真, 且 P 偽, 則 Q 真 ; 若 P Q 為 真, 且 Q 偽, 則 P 真
例 題 3.3 已 知 張 三 或 為 台 大 畢 業 生, 或 為 清 華 肄 業 生, 經 過 證 實, 張 三 沒 上 過 清 華, 所 以 張 三 是 台 大 畢 業 生
例 題 3.4 有 人 如 此 論 證 : 因 李 四 或 是 數 學 家, 或 是 作 家, 且 李 四 是 作 家, 所 以 李 四 不 是 數 學 家, 這 樣 的 推 理 是 不 成 立 的 因 為 李 四 可 以 同 時 兼 有 數 學 家 與 作 家 的 身 分 同 樣 地, 因 李 四 或 是 數 學 家, 或 是 作 家, 且 李 四 是 作 家, 所 以 李 四 也 是 數 學 家 也 是 無 效 的 推 理, 因 為 李 四 的 身 分 可 以 單 獨 為 作 家
第 三 節 假 言 推 理 法 則 假 言 推 理 法 則 可 分 為 二 型 來 描 述 : 1. 肯 前 式 2. 否 後 式 大 前 提 ( 前 提 1) : P 小 前 提 ( 前 提 2) : P 結 論 : Q 大 前 提 : P 小 前 提 : ~ Q 結 論 : ~ P Q Q
例 題 3.5 ( 傳 統 的 三 段 論 法 ) 大 前 提 : 凡 動 物 都 會 死 小 前 提 : 人 是 動 物 結 論 : 凡 人 都 會 死
又 細 分 為 1. 添 加 法 則 2. 傳 遞 法 則 3. 合 取 法 則
例 題 3.6 李 四 被 控 貪 污, 他 在 法 庭 上 自 我 辯 護 : 凡 有 婚 外 情 的 公 務 員 都 不 是 好 的 公 務 員, 我 沒 有 婚 外 情, 所 以 我 是 優 良 的 公 務 員, 法 官 大 人 應 判 我 無 罪, 請 問 李 四 的 論 述 合 理 嗎? 解 : 在 李 四 的 辯 辭 中, 令 P 表 敘 述 有 婚 外 情,Q 表 敘 述 不 是 好 的 公 務 員, 於 是 李 四 的 論 述 型 態 為 : 大 前 提 : P Q 小 前 提 :~ P 結 論 :~ Q 這 與 三 段 論 法 不 合, 所 以 李 四 的 辯 論 不 合 理, 毫 無 說 服 力
添 加 法 則
例 題 3.7 設 P Q, Q R與 P 三 命 題 皆 為 真, 試 證 R 為 真 證 明 : 因 P Q 與 P 皆 為 真, 故 由 三 段 論 法 得 知 Q 為 真 其 次, 以 Q R 為 大 前 提, 並 添 加 Q 為 小 前 提, 由 三 段 論 法 得 知 R 為 真
例 題 3.8 從 下 列 三 前 提 : (a) 若 官 場 貪 污 腐 敗, 則 社 會 黑 金 當 道 (b) 若 政 治 清 明, 則 民 生 樂 利 (c) 民 不 聊 生 你 可 推 出 何 種 結 論? 證 明 : 令 P Q R 分 別 表 敘 述 官 場 貪 污 腐 敗 社 會 黑 金 當 道 與 民 生 樂 利, 則 (a), (b), (c) 分 別 為 : (a) P Q (b)~ P ~ R (c) R 前 提 (b) 相 當 於 R P, 以 它 為 大 前 提, R 為 小 前 提, 由 三 段 論 法 推 得 P 再 以 P Q 為 大 前 提, 並 添 加 P 為 小 前 提, 由 三 段 論 法 得 知 Q 為 真, 所 以 社 會 黑 金 當 道
傳 遞 法 則
例 題 3.9 小 張 每 次 發 酒 瘋 鬧 事, 都 被 送 去 警 局 過 夜, 而 且 每 次 喝 酒 總 是 不 醉 不 休, 所 以 小 張 每 次 喝 酒 後 都 在 警 局 過 夜, 試 就 上 述 內 容 分 析 邏 輯 推 理 過 程 解 : 令 P Q R 分 別 表 敘 述 : 小 張 發 酒 瘋 鬧 事 送 警 局 過 夜 與 小 張 喝 酒, 則 所 予 內 容 包 含 三 前 提 : P Q, R P 與 R, 依 傳 遞 原 則, 得 R Q 即 小 張 每 次 喝 酒 後 都 在 警 局 過 夜,
例 題 3.10 設,, R Q P Q R Q S P P Q 與 P 皆 為 真, 試 證 S 為 真 解 : 因 R Q S 與 R Q P Q 皆 為 真, 故 由 傳 遞 原 則 得 知 P Q S 為 真 因 P P Q與 P 皆 為 真, 故 由 三 段 論 法 得 知 P Q 為 真 最 後, 以 P Q S 與 P Q 為 大 小 前 提, 得 到 S 為 真
合 取 法 則
例 題 3.11 每 當 小 華 的 數 學 考 試 得 滿 分, 爸 爸 就 帶 小 華 看 電 影, 媽 媽 則 送 給 小 華 小 禮 物, 所 以, 若 小 華 的 數 學 成 績 得 滿 分, 則 小 華 有 電 影 可 看 且 有 小 禮 物
例 題 3.12 設 P Q, Q ( P R) S G, P P R與 P 皆 為 真, 試 證 明 S G 為 真 證 明 : 因 P Q 與 P P R 為 真, 故 由 合 取 法 則 得 知 : P Q ( P R) 為 真 其 次, 以 P Q ( P R) 與 P 為 大 小 前 提, 由 三 段 論 法 得 知 Q ( P R) 為 真 最 後 從 Q ( P R) S G 與 Q ( P R) 皆 真 推 得 : S G 為 真
例 題 3.13 美 日 韓 與 台 灣 舉 行 四 國 棒 球 比 賽, 賽 後 成 績 顯 示 底 下 三 前 提 皆 成 立 : P : 若 美 國 為 第 三, 則 當 日 本 為 第 二 時, 韓 國 為 第 四 Q : 美 國 為 第 三 或 台 灣 不 為 第 一 R : 日 本 為 第 二 試 推 出 結 論 : 若 台 灣 第 一, 則 韓 國 第 四 成 立
解 : 令,,, A J K T 分 別 表 敘 述 美 國 為 第 三 日 本 為 第 二 韓 國 為 第 四 與 台 灣 為 第 一, 則 所 予 三 前 提 為 : P : A ( J K) Q : A (~ T) R : J 我 們 須 在 T 為 真 的 前 提 下, 推 得 K 為 真 之 結 論 由 於 A (~ T) 為 真 且 ~ T 為 偽, 因 此 A 為 真 ; 其 次, 以 A ( J K) 與 A 為 大 小 前 提, 由 三 段 論 法 推 得 : J K 為 真 最 後, 以 J K 為 大 前 提, J 為 小 前 提, 推 得 K 為 真
例 題 3.14 趙 二 張 三 與 李 四 打 算 前 往 墾 丁 春 吶 一 下, 他 們 有 如 下 的 約 定 : (a) 若 趙 二 前 往 春 吶, 則 張 三 和 李 四 會 同 去 (b) 若 趙 二 不 去, 則 張 三 也 不 去 現 在 張 三 確 定 要 去 春 吶, 問 李 四 是 否 會 去 春 吶? 證 明 : 令 PQR,, 分 別 表 敘 述 趙 二 前 往 春 吶 張 三 前 往 春 吶 與 李 四 前 往 春 吶, 則 命 題 (a), (b) 分 別 為 : (a) P Q R (b) ~ P ~ Q (b) 相 當 於 Q P, 又 已 確 定 Q 為 真, 所 以 P 為 真 以 P Q R 與 P 分 別 為 大 小 前 提, 得 證 Q R 成 立, 所 以 李 四 確 定 要 前 往 春 吶
例 題 3.15 南 台 科 大 的 學 生 只 有 兩 類 : 一 類 為 永 遠 說 真 話 的 紳 士 ; 另 一 類 為 永 遠 說 假 話 的 無 賴 該 校 有 甲 乙 丙 三 位 學 生, 甲 說 : 若 乙 是 紳 士, 則 丙 是 無 賴, 乙 說 : 甲 和 我 不 同, 我 們 兩 人 中, 一 個 是 紳 士, 一 個 是 無 賴, 問 這 三 名 學 生 中, 誰 是 紳 士? 誰 是 無 賴? 解 : 或 為 紳 士, 或 為 無 賴, 兩 者 居 其 一 當 乙 為 紳 士 時, 乙 說 為 真, 因 而 甲 為 無 賴 ; 當 乙 為 無 賴 時, 乙 說 不 真, 因 而 甲 和 乙 同 類, 即 甲 為 無 賴 所 以 不 論 乙 為 紳 士 或 無 賴, 都 可 確 定 甲 為 無 賴 接 著, 甲 既 為 無 賴, 其 言 當 然 不 真, 即 : 甲 言 之 前 提 為 真, 而 結 論 不 真, 所 以 乙 丙 皆 為 紳 士
例 題 3.16 張 三 到 甲 乙 兩 國 之 邊 境 某 地 旅 遊, 已 知 兩 國 人 民 都 能 聽 懂 張 三 的 語 言, 但 都 不 會 講, 並 且 甲 國 人 民 有 一 個 與 其 他 國 家 人 民 不 同 的 習 慣 : 以 搖 頭 表 對, 以 點 頭 表 不 對 現 在, 張 三 在 邊 境 遇 到 當 地 一 位 居 民 ( 可 能 是 甲 國 人 民, 也 可 能 是 乙 國 人 民 ), 張 三 以 你 居 住 在 此 地 嗎? 詢 問 這 位 居 民, 張 三 從 居 民 的 搖 頭 推 出 自 己 身 處 甲 國 土 地, 而 從 居 民 的 點 頭 推 出 自 己 身 處 乙 國 土 地, 為 什 麼?
解 : 狀 況 一 : 當 被 詢 問 居 民 搖 頭 時, 若 居 民 為 甲 國 人, 則 其 搖 頭 表 對, 因 而 張 三 身 處 甲 國 土 地 ; 若 居 民 為 乙 國 人, 則 其 搖 頭 表 不 對, 因 而 張 三 不 在 乙 國 土 地, 即 在 甲 國 土 地 狀 況 二 : 當 被 詢 問 居 民 點 頭 時, 若 居 民 為 甲 國 人, 則 其 點 頭 表 不 對, 因 而 張 三 不 在 甲 國 土 地, 即 身 處 乙 國 土 地 ; 若 居 民 為 乙 國 人, 則 其 點 頭 表 對, 因 而 張 三 在 乙 國 土 地
第 四 節 兩 難 推 理 兩 難 推 理 的 推 理 型 式 為 : 大 前 提 : P 小 前 提 : P 結 論 : R R 且 Q R Q 意 思 就 是 說 : 整 個 狀 況 不 是 P 就 是 Q, 而 且 不 論 是 P 狀 況 或 Q 狀 況, 都 有 結 論 R, 所 以 結 論 R 必 然 成 立
例 題 3.17 古 希 臘 有 位 叫 做 Protagoras 的 智 辯 家 收 了 一 位 學 生 Euathlus, 教 授 雄 辯 術 學 費 合 約 為 : 入 學 時 交 一 半 學 費, 另 一 半 等 Euathlus 結 業 並 打 贏 第 一 場 官 司 後 再 付 但 Euathlus 畢 業 後 一 直 不 幫 人 打 官 司,Protagoras 也 就 收 不 到 另 一 半 學 費, 最 後 只 好 向 法 院 提 出 訴 狀, 要 求 Euathlus 付 清 另 一 半 學 費 Protagoras 認 為 無 論 官 司 的 輸 贏, 他 必 定 可 收 到 另 一 半 學 費, 原 來 他 的 如 意 算 盤 是 : 若 Euathlus 打 贏 官 司, 則 按 照 合 約 Euathlus 應 該 付 清 另 一 半 學 費 ; 若 Euathlus 打 輸 官 司, 則 按 照 法 官 的 裁 決,Euathlus 應 該 付 清 另 一 半 學 費 然 而,Euathlus 畢 竟 已 學 通 了 Protagoras 的 雄 辯 技 巧, 甚 至 青 出 於 藍, 他 奉 勸 Protagoras 撤 銷 告 訴, 理 由 是 : 若 你 Protagoras 打 贏 這 場 官 司, 那 麼 根 據 合 約 規 定, 我 Euathlus 尚 未 首 次 打 贏 官 司, 所 以 不 必 付 清 另 一 半 學 費 ; 若 你 Protagoras 打 輸 官 司, 那 麼 根 據 法 官 裁 定, 我 Euathlus 當 然 不 必 付 清 另 一 半 學 費, 所 以 不 論 官 司 輸 贏, 我 都 不 必 付 清 另 一 半 學 費
例 題 3.18 歐 洲 中 世 紀 是 神 權 至 上 的 黑 暗 時 代, 但 仍 有 人 冒 生 命 危 險 對 神 學 家 所 說 上 帝 萬 能 提 出 質 疑 : 偉 大 的 神 學 家 啊, 您 說 上 帝 萬 能, 那 麼 我 請 問 您 : 上 帝 能 不 能 創 造 一 塊 祂 自 己 都 舉 不 起 來 的 石 頭 呢? 這 些 上 帝 萬 能 的 懷 疑 論 者 的 論 述 是 這 樣 : 若 上 帝 創 造 出 一 塊 祂 自 己 舉 不 起 來 的 石 頭, 則 上 帝 不 是 萬 能, 因 為 祂 舉 不 起 那 塊 石 頭 ; 若 上 帝 不 能 創 造 出 一 塊 祂 自 己 舉 不 起 來 的 石 頭, 則 上 帝 當 然 不 是 萬 能
例 題 3.19 一 位 國 王 很 以 智 慧 絕 倫 無 比 的 美 麗 公 主 自 豪, 為 了 公 主 的 婚 事, 國 王 貼 出 一 則 告 示 : 若 有 那 些 先 生 可 以 提 出 任 何 公 主 回 答 不 了 的 問 題, 那 麼 公 主 就 嫁 給 那 位 先 生 請 問 你 如 何 贏 得 美 人 歸? 解 : 你 可 以 向 公 主 如 此 提 問 : 請 問 聰 明 美 麗 的 公 主, 我 應 提 什 麼 問 題 才 能 難 倒 妳 呢? 這 樣 公 主 必 定 陷 入 兩 難 困 境, 而 非 嫁 給 你 不 可 了 理 由 是 : 若 公 主 告 訴 你, 她 回 答 不 了 的 問 題, 則 公 主 就 回 答 不 了 那 個 難 題, 非 嫁 給 你 不 可 了 ; 若 公 主 不 告 訴 你 她 回 答 不 了 的 難 題, 則 公 主 沒 有 回 答 你 的 提 問, 依 徵 婚 條 件, 當 然 要 嫁 給 你
第 五 節 證 明 方 法 主 要 的 證 明 技 巧 有 : 1. 直 接 證 法 2. 矛 盾 證 法 兩 種
壹 直 接 證 法 P Q 成 立 之 直 接 證 法 就 是 由 P 出 發 並 添 加 一 些 前 提, 而 導 出 Q 為 真 的 過 程
例 題 3.20 暗 室 中 有 三 頂 綠 帽 二 頂 白 帽, 甲 乙 丙 三 位 學 生 進 入 暗 室 各 取 一 頂 戴 上, 而 後 走 出 室 外, 其 中 甲 乙 兩 生 可 看 見 別 人 所 戴 帽 子, 但 看 不 到 自 己 的 帽 子 ; 丙 生 為 盲 生, 完 全 看 不 到 別 人 與 自 己 的 帽 子 校 長 走 過 來 依 甲 乙 丙 之 順 序, 詢 問 三 生 所 戴 帽 子 顏 色, 甲 生 答 道 : 我 不 知 道, 接 著 乙 生 答 道 : 我 也 不 知 道, 最 後 丙 生 聽 了 甲 乙 兩 生 的 回 答 後, 向 校 長 報 告 : 校 長, 我 戴 綠 帽 子, 請 仔 細 分 析 為 什 麼 丙 知 道 他 戴 綠 帽?
證 明 : 因 白 帽 只 有 兩 頂, 若 乙 丙 同 戴 白 帽, 則 甲 必 然 知 道 自 己 戴 綠 帽, 但 由 甲 回 答 不 知 道, 可 見 乙 丙 所 戴 帽 子 只 可 能 有 三 種 情 況 : 乙 綠 丙 白 ; 乙 白 丙 綠 ; 乙 綠 丙 綠 現 在, 站 在 丙 的 立 場 來 思 考, 若 乙 看 到 他 ( 丙 ) 戴 白 帽, 那 麼 乙 從 甲 所 言 我 不 知 道 就 可 推 出 他 ( 乙 ) 戴 綠 帽, 然 而 乙 也 說 不 知 道, 可 見 丙 不 可 能 戴 白 帽, 即 丙 戴 綠 帽
例 題 3.21 某 雜 貨 店 所 賣 包 裝 米 只 有 3 斤 與 5 斤 兩 種 規 格 雜 貨 店 老 闆 誇 口 說, 只 要 顧 客 購 買 超 過 7 斤 以 上 的 整 數 幾 斤 米, 他 都 可 以 不 拆 包 裝, 而 讓 顧 客 買 到 所 要 斤 數 的 米, 試 證 老 闆 沒 有 吹 牛 證 明 : 任 意 大 於 7 的 整 數 n 都 可 表 為 下 列 三 者 之 一 : (a) n 3 k ( k 3) (b) n 3k 1( k 3) (c) n 3k 2 ( k 2) 當 n 3k 時, 只 須 拿 k 包 3 斤 米 給 顧 客 即 可 當 n 3k 1( k 3) 時, 將 n 表 為 n 3( k 3) 5 2, 這 表 示 可 以 拿 k 3 包 的 3 斤 米 與 2 包 的 5 斤 米 給 顧 客 當 n 3k 2 ( k 2) 時, 將 n 表 為 n 3( k 1) 5, 這 表 示 可 以 拿 k 1 包 的 3 斤 米 與 1 包 5 斤 米 給 顧 客
例 題 3.22 甲 乙 丙 丁 戊 五 人 參 加 考 試, 試 題 為 七 題 是 非 題, 記 分 規 則 是 : 答 對 一 題 得 一 分, 答 錯 一 題 扣 一 分, 不 答 者 不 得 分 也 不 扣 分 下 表 是 這 五 人 的 答 案, 已 知 甲 乙 丙 丁 各 得 二 分, 試 證 戊 得 四 分 題 號 甲 乙 丙 丁 戊 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 其 中 表 答 是 ; 表 答 非 ; 空 白 表 不 回 答
證 明 : 對 任 意 1,2,,6,7 i, 令 x i 1, 1, 若 第 i 題 之 正 答 為 是 ; 若 第 i 題 之 正 答 為 非 設 第 i 題 之 正 答 為 是, 若 某 人 答 對 了 ( 即 打 ), 則 得 一 分, 亦 即 得 x i 分 ; 若 答 錯 了 ( 即 打 ), 則 扣 一 分, 亦 即 得 xi 分 設 第 i 題 之 正 答 為 非, 若 某 人 答 錯 了 ( 即 打 ), 則 扣 得 一 分, 亦 即 得 x i 分 ; 若 答 對 了 ( 即 打 ), 則 得 一 分, 亦 即 得 xi 分 因 此, 在 答 案 卡 上 打 之 題 得 x i 分, 打 之 題 得 xi 分 依 此 及 甲 乙 丙 丁 之 答 案 表 與 各 得 二 分, 得 到 下 列 等 式 : x1 x3 x4 x5 x6 x7 2 (3-1) x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 (3-2) x2 x3 x4 x5 x6 x7 2 (3-3) x1 x2 x3 x4 x5 x7 2 (3-4) 將 上 列 四 式 相 加, 得 x1 x2 2x3 2x4 x6 x7 8 (3-5) 由 於 xi 1( i 1,2,,7), 故 式 (3-5) 左 邊 8, 只 有 當 x1 1, x2 1, x3 1, x4 1, x6 1, x7 1 時, 式 (3-5) 才 會 有 : 左 邊 8 右 邊 接 著 由 式 (3-1) 導 出 x5 1 於 是, 第 1, 4, 5, 7 題 之 正 答 為 是, 第 2, 3, 6 題 之 正 答 為 非 對 照 標 準 答 案 與 戊 的 答 案 表 得 出 戊 之 得 分 為 四 分
例 題 3.23 甲 乙 丙 丁 為 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 四 科 技 大 學 之 學 生 代 表, 齊 聚 花 蓮 市 參 加 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 競 技 大 賽, 每 人 都 只 參 加 一 項, 各 人 不 同, 並 且 已 知 (a) 甲 不 是 棋 類 選 手, 不 是 醫 藥 類 之 科 大 學 生 ; (b) 乙 是 醫 藥 類 科 大 學 生, 是 棋 類 選 手 ; (c) 丙 和 南 台 科 大 的 選 手 及 創 意 參 賽 員 同 住 一 房 ; (d) 丁 不 是 南 台 科 大 的 選 手, 年 紀 比 崑 山 的 選 手 與 象 棋 參 賽 員 都 大 ; (e) 嘉 藥 科 大 的 選 手 沒 有 參 加 象 棋 比 賽 試 證 : 甲 乙 丙 丁 依 序 來 自 南 台 華 醫 崑 山 嘉 藥, 且 參 加 的 比 賽 依 序 為 電 玩 象 棋 圍 棋 創 意
證 明 : 對 任 意 1,2,,6,7 i, 令 x i 1, 1, 若 第 i 題 之 正 答 為 是 ; 若 第 i 題 之 正 答 為 非 設 第 i 題 之 正 答 為 是, 若 某 人 答 對 了 ( 即 打 ), 則 得 一 分, 亦 即 得 x i 分 ; 若 答 錯 了 ( 即 打 ), 則 扣 一 分, 亦 即 得 xi 分 設 第 i 題 之 正 答 為 非, 若 某 人 答 錯 了 ( 即 打 ), 則 扣 得 一 分, 亦 即 得 x i 分 ; 若 答 對 了 ( 即 打 ), 則 得 一 分, 亦 即 得 xi 分 因 此, 在 答 案 卡 上 打 之 題 得 x i 分, 打 之 題 得 xi 分 依 此 及 甲 乙 丙 丁 之 答 案 表 與 各 得 二 分, 得 到 下 列 等 式 : x1 x3 x4 x5 x6 x7 2 (3-1) x1 x2 x3 x4 x5 x6 2 (3-2) x2 x3 x4 x5 x6 x7 2 (3-3) x1 x2 x3 x4 x5 x7 2 (3-4) 將 上 列 四 式 相 加, 得 x1 x2 2x3 2x4 x6 x7 8 (3-5) 由 於 xi 1( i 1,2,,7), 故 式 (3-5) 左 邊 8, 只 有 當 x1 1, x2 1, x3 1, x4 1, x6 1, x7 1 時, 式 (3-5) 才 會 有 : 左 邊 8 右 邊 接 著 由 式 (3-1) 導 出 x5 1 於 是, 第 1, 4, 5, 7 題 之 正 答 為 是, 第 2, 3, 6 題 之 正 答 為 非 對 照 標 準 答 案 與 戊 的 答 案 表 得 出 戊 之 得 分 為 四 分
例 題 3.22 甲 乙 丙 丁 為 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 四 科 技 大 學 之 學 生 代 表, 齊 聚 花 蓮 市 參 加 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 競 技 大 賽, 每 人 都 只 參 加 一 項, 各 人 不 同, 並 且 已 知 : (a) 甲 不 是 棋 類 選 手, 不 是 醫 藥 類 之 科 大 學 生 (b) 乙 是 醫 藥 類 科 大 學 生, 是 棋 類 選 手 (c) 丙 和 南 台 科 大 的 選 手 及 創 意 參 賽 員 同 住 一 房 (d) 丁 不 是 南 台 科 大 的 選 手, 年 紀 比 崑 山 的 選 手 與 象 棋 參 賽 員 都 大 (e) 嘉 藥 科 大 的 選 手 沒 有 參 加 象 棋 比 賽 試 證 : 甲 乙 丙 丁 依 序 來 自 南 台 華 醫 崑 山 嘉 藥, 且 參 加 的 比 賽 依 序 為 電 玩 象 棋 圍 棋 創 意
證 明 : 如 圖 列 一 表 格 : 甲 乙 丙 丁 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 若 某 人 代 表 某 校 參 加 某 種 競 賽, 則 在 某 人 所 在 列 與 某 校 所 在 行, 及 某 種 競 賽 所 在 行 之 交 會 處 打, 否 則 打, 因 每 人 只 代 表 一 校, 且 只 參 加 一 項 競 賽, 各 列 恰 有 二 處 打, 其 餘 六 處 皆 打, 而 且 每 行 只 有 一 處 打, 其 餘 三 處 打 由 (a), (b), (c), (d), (e) 等 已 知 馬 上 得 有 下 表 :
由 (a), (b), (c), (d), (e) 等 已 知 馬 上 得 有 下 表 : 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 甲 乙 丙 丁 2 由 於 每 一 行 只 有 一 處 打, 其 餘 三 處 打, 所 以 上 表 中 之 ( 甲, 南 台 ) 位 置 應 打, 於 是 ( 甲, 崑 山 ) 處 打 又 由 (c) 知 南 台 科 大 學 生 不 是 創 意 參 賽 員, 所 以 得 有 下 表 : 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 甲 乙 丙 丁
3 接 著, 由 於 每 一 行 恰 有 一 題 打, 所 以 ( 丁, 創 意 ) 與 ( 丙, 崑 山 ) 處 應 打 ;( 丙, 電 玩 ) 與 ( 丁, 電 玩 ) 處 應 打, 而 得 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 甲 乙 丙 丁
4 由 (d) 知 丁 與 崑 山 選 手 不 參 加 象 棋 賽, 所 以 ( 丙, 象 棋 ) 與 ( 丁, 象 棋 ) 處 應 打, 接 著,( 乙, 象 棋 ) 與 ( 丙, 圍 棋 ) 應 打, 而 得 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 甲 乙 丙 丁
5 由 於 丁 列 創 意 行 已 打, 所 以 ( 丁, 圍 棋 ) 應 打, 於 是 接 著 ( 乙, 圍 棋 ) 處 也 應 打, 而 得 象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 甲 乙 丙 丁
6 由 (e) 知 嘉 藥 科 大 學 生 沒 參 加 象 棋 比 賽, 所 以 ( 乙, 嘉 藥 ) 處 應 打, 接 著 ( 乙, 華 醫 ) 處 應 打, 於 是 ( 丙, 華 醫 ) 與 ( 丁, 華 醫 ) 處 都 應 打, 然 後 觀 看 丙 列 已 有 二 處 打, 所 以 ( 丙, 嘉 藥 ) 處 應 打, 最 後 ( 丁, 嘉 藥 ) 處 應 打, 而 得
象 棋 圍 棋 創 意 電 玩 南 台 崑 山 華 醫 嘉 藥 甲 乙 丙 丁 綜 合 之, 甲 是 南 台 科 大 學 生, 參 加 電 玩 比 賽 ; 乙 是 華 醫 科 大 學 生, 參 加 象 棋 比 賽 ; 丙 是 崑 山 科 大 學 生, 參 加 圍 棋 比 賽 ; 丁 是 嘉 藥 科 大 學 生, 參 加 創 意 比 賽
貳 反 證 法 欲 證 P Q 成 立, 我 們 從 ~ Q 出 發, 依 循 推 理 法 則, 最 後 得 到 ~ P, 或 得 到 一 個 與 已 經 論 證 過 之 命 題 或 公 設 相 矛 盾 的 結 論 這 樣 就 可 下 結 論 : P Q 成 立 這 種 證 法 稱 為 反 證 法 或 歸 謬 證 法
例 題 3.24 班 上 50 位 同 學 站 在 操 場 上, 任 三 人 的 距 離 都 不 相 等, 每 人 手 中 握 有 一 把 水 槍, 朝 向 離 他 最 近 的 同 學 射 擊 一 槍, 試 證 : 任 何 一 位 同 學 至 多 只 會 挨 五 槍 證 明 : 設 有 同 學 A 至 少 挨 6 槍 如 圖 所 示, B C 若 B, C 都 射 向 A, 則 在 ABC 中, BC 邊 最 長, 由 於 三 邊 不 等, 所 以 A 60 現 在, 若 有 6 個 人 射 向 A, 則 從 A 出 發 的 6 個 角 中, 每 個 都 大 於 60, 於 是 此 6 個 角 之 總 和 大 於 6 60 360, 此 與 圓 周 角 為 360 相 矛 盾, 所 以 每 位 同 學 至 多 只 會 挨 五 槍 A
例 題 3.25 試 證 : 不 存 在 三 相 異 質 數,, a b c 使 得 3 3 3 a b c 證 明 : 以 反 證 法 證 明, 設 存 在 三 相 異 質 數,, 3 c 若, 得 知 a b 皆 為 奇 數, 則 3 a 與 3 c 為 偶 數 又 因 c 為 質 數, 故 知 c 2 3 a b c, 使 得 a 3 3 b b 亦 皆 為 奇 數, 於 是 由 3 3 3 c a b, 由 2 為 最 小 質 數 推 3 3 3 知 a, b 皆 大 於 2, 因 而 不 可 能 有 a b c 所 以 a 與 b 不 可 能 同 時 為 奇 數, 即 a 與 b 兩 者 中 至 少 有 一 為 偶 數, 不 妨 設 b 為 偶 數, 這 樣 b 既 為 偶 數 且 為 質 數, 所 以 b 2 於 是 3 3 3 2 2 b c a c a c ca a 現 在, 因 a 與 c 為 質 數, 所 以 8 ( )( ) 與 與 2 a c 3 3 2 2 皆 大 於 或 等 於 4, 因 而 c ca a 12, 故 得 c a 12 這 a 8 不 合 得 證 不 存 在 三 相 異 質 數 a, b, c 使 得 3 3 3 3 3 a b c c 2, ca
例 題 3.25 警 察 捉 了 甲 乙 丙 丁 四 個 向 東 海 大 學 恐 嚇 勒 索 的 嫌 疑 犯 甲 嫌 疑 犯 說 : 恐 嚇 勒 索 是 乙 單 獨 所 為 ; 乙 則 氣 憤 的 說 : 是 丙 所 為 ; 丁 悠 然 自 得 的 說 : 不 是 我 所 為 ; 而 丙 若 無 其 事 的 評 論 道 : 乙 說 謊 已 知 四 個 嫌 疑 犯 中 恰 有 一 人 說 真 話, 而 且 只 有 一 人 是 恐 嚇 勒 索 者, 試 證 丁 是 恐 嚇 勒 索 者 證 明 : 從 丙 的 評 論 著 手, 若 丙 說 謊, 則 其 所 說 : 乙 說 謊 不 真, 即 乙 說 真 話, 而 其 他 人 說 假 話, 這 樣 一 來, 丙 是 恐 嚇 勒 索 者, 且 丁 所 說 : 不 是 我 所 為 不 真, 即 丁 亦 為 恐 嚇 勒 索 者, 這 與 只 有 一 個 恐 嚇 勒 索 者 之 假 設 矛 盾 因 此, 丙 所 說 為 真, 其 餘 甲 乙 丁 三 人 都 說 謊, 特 別 地, 丁 所 說 : 不 是 我 所 為 不 真, 故 丁 是 恐 嚇 勒 索 者