6.1.1 AR(1) 模 型 1 AR(1) 模 型 的 意 義 現 在 的 某 一 變 數 值, 和 同 一 變 數 上 一 期 的 變 數 值 有 關 以 數 學 模 型 ( 函 數 形 式 ) 來 說 明 AR(1) 模 型 y 表 示 變 數 y 在 時 間 點 時 的 數 值 y = f

第 6 章 ARMA: 報 酬 之 預 測 6 ARMA: 報 酬 之 預 測 本 章 重 點 : AR(1) 與 MA(1) 模 型 白 噪 音 (whie noise) ARMA 模 型 ARMA 模 型 之 估 計 利 用 ARMA 模 型 進 行 預 測

6.1.1 AR(1) 模 型 1 AR(1) 模 型 的 意 義 現 在 的 某 一 變 數 值, 和 同 一 變 數 上 一 期 的 變 數 值 有 關 以 數 學 模 型 ( 函 數 形 式 ) 來 說 明 AR(1) 模 型 y 表 示 變 數 y 在 時 間 點 時 的 數 值 y = f(y -1 ) (6.1.1.1)

2 用 最 簡 單 ( 不 包 含 常 數 項 ) 的 線 性 式 來 說 明 AR(1) 模 型 y = a 1 y -1 (6.1.1.2 ) 前 述 AR(1) 模 型 的 特 性 - 可 利 用 遞 迴 推 算 的 方 法 來 推 算 該 變 數 未 來 的 值 假 設 : a 1 = 0.5, 而 y 0 =100 y 1 = 0.5 y 0 = 0.5 100 =50 y 2 =0.5 y 1 = 0.5 50 =25 y 3 =0.5 y 2 = 0.5 25 = 12.5... ( 以 此 類 推 ) y 9 = 0.1953125

3 遞 迴 推 算 (soluion by ieraion) 之 規 則 y 1 =0.5 y 0 y 2 =0.5 (0.5 y 0 ) =(0.5) 2 y 0 y 3 =0.5 (0.5 0.5 y 0 ) = (0.5) 3 y 0 y 9 = (0.5) 9 y 0 = 0.001953125 100 = 0.1953125 遞 迴 推 算 規 則 之 一 般 式 y = (a 1 ) y 0 (6.1.1.3) 如 果 某 一 時 間 序 列 的 變 數 具 有 以 上 的 函 數 性 質, 而 且 已 知 第 1 期 的 變 數 值, 我 們 就 可 以 很 快 地 算 出 未 來 任 何 一 期 的 變 數 值

4 包 含 截 距 項 的 AR(1) 模 型 y = a 0 + a 1 y -1 (6.1.1.4) 利 用 遞 迴 推 算 來 推 算 該 變 數 未 來 的 值 y = a 0 + a 1 y -1 y -1 = a 0 + a 1 y -2 y -2 = a 0 + a 1 y -3 以 此 類 推 下 去 可 以 發 現... y 1 = a 0 + a 1 y 0

5 遞 迴 推 算 過 程 y = a 0 + a 1 y -1 y -1 = a 0 + a 1 y -2 y -2 = a 0 + a 1 y -3 把 y = a 0 + a 1 y -1 中 的 y -1 用 a 0 + a 1 y -2 代 入 y = a 0 + a 1 (a 0 + a 1 y -2 ) 把 y = a 0 + a 1 (a 0 + a 1 y -2 ) 中 的 y -2 用 a 0 + a 1 y -3 代 入 y = a 0 + a 1 [a 0 + a 1 (a 0 + a 1 y -3 )]

遞 迴 推 算 過 程 ( 續 ) 6 如 此 反 覆 代 入, 直 到 最 後 用 y 1 = a 0 + a 1 y 0 代 入 為 止, 可 發 現 其 規 則 是 y = a 0 (1 + a 1 + a 1 2 + a 1 3 + a 1 4 +...+ a 1-1 ) + (a 1 ) y 0 (6.1.1.5) 利 用 等 比 級 數 公 式 可 得 1 a 1 y = a 0 + (a 1 a 1 1 ) y 0 (6.1.1.6) 因 此 只 要 知 道 a 0 和 a 1 的 值, 以 及 y 數 列 的 起 始 值 y 0, 亦 可 以 很 快 速 地 算 出 任 一 期 的 y 變 數 值

7 在 AR(1) 數 學 模 型 中 加 入 誤 差 觀 念 前 述 數 學 AR(1) 模 型, 是 描 述 某 種 經 濟 行 為 使 經 濟 變 數 與 其 上 一 期 的 變 數 值 發 生 某 一 種 延 續 性 的 關 係 時 間 序 列 計 量 方 法 中 所 定 義 的 AR(1) 模 型 : 在 模 型 或 數 學 方 程 式 中 加 入 隨 機 誤 差 的 觀 念, 可 能 會 更 有 說 服 力, 或 更 接 近 實 際 發 生 的 現 象 人 類 行 為 所 生 成 之 經 濟 變 數 多 少 會 有 些 許 誤 差, 在 這 樣 的 AR(1) 函 數 關 係 是 真 的 之 前 提 下, 那 麼 些 許 誤 差 長 期 平 均 而 言 應 該 會 相 互 抵 消

8 6.1.2 加 入 誤 差 觀 念 的 AR(1) 模 型 y = a 0 + a 1 y -1 + ε (6.1.2.1) ε 表 示 某 一 時 點 所 發 生 的 隨 機 誤 差 加 入 隨 機 誤 差 後 的 AR(1) 模 型 之 遞 迴 推 算 y = a 0 + a 1 y -1 + ε y -1 = a 0 + a 1 y -2 + ε -1 y -2 = a 0 + a 1 y -3 + ε -2 y 1 = a 0 + a 1 y 0 + ε 1

9 加 入 隨 機 誤 差 後 的 AR(1) 模 型 之 遞 迴 推 算 ( 續 ) 把 y = a 0 + a 1 y -1 中 的 y -1 用 a 0 + a 1 y -2 + ε -1 代 入 y = a 0 + a 1 (a 0 + a 1 y -2 + ε -1 ) + ε = a 0 (1+ a 1 ) + (a 1 ) 2 y -2 + a 1 ε -1 + ε (6.1.2..2) 把 y = a 0 + a 1 (a 0 + a 1 y -2 + ε -1 ) + ε 中 的 y -2 用 a 0 + a 1 y -3 + ε -2 代 入 y = a 0 (1+ a 1 ) + (a 1 ) 2 (a 0 + a 1 y -3 + ε -2 ) + a 1 ε -1 + ε = a 0 [1+ a 1 + (a 1 ) 2 ] + (a 1 ) 3 y -3 +(a 1 ) 2 ε -2 + a 1 ε -1 + ε (6.1.2.3)

10 加 入 隨 機 誤 差 後 的 AR(1) 模 型 之 遞 迴 推 算 ( 續 ) 反 覆 代 入, 直 到 最 後 用 y 1 = a 0 + a 1 y 0 + ε 1 代 入 為 止 y = a 0 [1+ a 1 + (a 1 ) 2 +... + (a 1 ) -1 ] + (a 1 ) y 0 + [(a 1 ) -1 ε 1 +...+(a 1 ) 2 ε -2 + a 1 ε -1 + ε ] (6.1.2.4) 可 以 一 般 式 表 示 為 y 1 1 i i 0 a1 + a1y 0 + a1ε i (6.1.2.5) i= 0 i= 0 = a

11 加 入 隨 機 誤 差 項 後 的 AR(1) 模 型 隱 含 的 意 義 將 (6.1.2.5) 式 等 號 左 右 兩 邊 都 取 期 望 值 : E(y 1 = i ) E a + 0 a1 E a1 0 1 i= 0 i= 0 1 ( ) i y + E a ε a 0 和 a 1 都 是 常 數 項, 時 間 序 列 的 起 始 值 y 0 也 是 一 個 固 定 的 數, 另 外 隨 機 項 的 期 望 值 都 是 0, 所 以 E(ε i ) = 0 i (6.1.2.6) (6.1.2.6) 式 可 以 化 簡 成 為 : 1 = a 0 i= 0 E (y ) a + i 1 a 1 y 0 (6.1.2.7)

12 數 學 AR(1) 模 型 和 時 間 序 列 的 AR(1) 模 型 之 差 異 數 學 AR(1) 模 型 時 間 序 列 的 AR(1) 模 型 1 a 1 y = a 0 + (a 1 a 1 1 ) y 0 (6.1.1.6) 1 i = a 0 a1 a1y 0 i= 0 (6.1.2.7) E (y ) + 兩 者 的 差 異 僅 在 於 時 間 序 列 AR(1) 模 型 的 y 取 期 望 值,(6.1.2.7) 式 代 表 著 符 合 AR(1) 型 態 經 濟 變 數 的 長 期 均 衡 值 從 統 計 意 義 來 看 :E(y ) 代 表 很 多 很 多 y 的 平 均 數 ; 從 經 濟 模 型 的 角 度 來 看 : E(y ) 代 表 長 期 均 衡 值

13 簡 單 AR(1) 模 型 之 係 數 對 y 長 期 均 衡 值 之 影 響 : a 1 >1 1 i = a 0 a1 a1y 0 i= 0 (6.1.2.7) E (y ) + lim E(y ) = a 0 (1 a 1) (6.1.2.8) a 1 >1 (a 1 ),E(y ) 在 時 也 會 趨 近 正 或 負 無 窮 大 (6.1.2.7) 式 具 有 數 學 上 所 謂 發 散 (divergence) 的 特 性 這 種 無 窮 大 的 長 期 均 衡 值 是 沒 有 意 義 的, 因 為 這 不 符 合 經 濟 上 均 衡 的 意 義

14 簡 單 AR(1) 模 型 之 係 數 對 y 長 期 均 衡 值 之 影 響 : a 1 <1 1 i = a 0 a1 a1y 0 i= 0 (6.1.2.7) E (y ) + lim E(y ) = a 0 (1 a 1) (6.1.2.8) a 1 < 1 E(y ) 在 時 會 漸 漸 收 歛 因 此 a 1 < 1 是 讓 此 計 量 模 型 具 有 經 濟 意 義 的 必 要 條 件

15 簡 單 AR(1) 模 型 之 係 數 對 y 長 期 均 衡 值 之 影 響 : a 1 =1 a 1 = 1 也 會 讓 AR(1) 的 時 間 序 列 模 型 失 去 經 濟 上 的 意 義, 我 們 將 a 1 =1 和 a 1 =-1 兩 種 情 況 分 別 說 明 如 下 a 1 =1 lim E(y ) = a 0 (1 a 1) (6.1.2.8) 等 式 右 邊 分 母 會 變 成 0, 當 然 E(y ) 在 數 學 上 就 無 意 義 了 ( 或 是 說 會 變 成 無 限 大 的 數 ), 因 此 當 然 也 不 符 經 濟 上 的 長 期 均 衡 概 念

16 a 1 = 1 等 於 奇 數 時, a y 1 0 等 於 偶 數 時 或 a y 1 0 1 i = a 0 a1 a1y 0 i= 0 (6.1.2.7) E (y ) + 會 變 成 ( 1)y 0 會 變 成 (+1) y 0 也 就 是 E(y) 會 隨 著 的 奇 偶 數 來 回 變 動, 因 此 也 不 符 合 經 濟 上 所 要 求 的 長 期 均 衡 之 意 義 綜 合 以 上 所 述, 可 知 在 AR(1) 的 模 型 中, 時 間 序 列 變 數 符 合 經 濟 長 期 均 衡 存 在 的 意 義 之 必 要 條 件 是 a 1 < 1

17 白 噪 音 之 定 義 6.1.3 白 噪 音 (whie noise) 白 噪 音 就 是 滿 足 下 列 特 定 統 計 定 義 的 時 間 序 列 隨 機 變 數 (a) 期 望 值 為 0 (b) 變 異 數 為 固 定 常 數 E(ε ) = 0, for all, var(ε ) = σ 2, for all, (c) 自 我 共 變 數 (auocovariance) 也 等 於 零 cov(ε ε -k ) = cov(ε -j ε -k-j ) = 0, for all j, k, j k

18 獨 立 相 同 分 配 (independenly idenical disribuion, 縮 寫 為 iid) 隨 機 變 數 文 獻 上 亦 將 符 合 以 上 要 求 ( 白 噪 音 ) 之 隨 機 變 數, 稱 為 獨 立 相 同 分 配 (independenly idenical disribuion) 隨 機 變 數 白 噪 音 之 重 要 性 及 概 念 ε ~ iid (0, σ 2 ) 在 時 間 序 列 的 研 究 或 文 獻 中, 白 噪 音 這 個 專 有 名 詞 出 現 的 頻 率 很 高, 所 以 這 是 一 個 很 重 要 的 基 本 觀 念 可 以 將 它 當 做 統 計 學 上 所 學 過 的 隨 機 變 數 來 想 像, 而 將 之 視 為 是 一 種 時 間 序 列 上 的 隨 機 變 數 亦 可 以 說 白 噪 音 就 是 一 種 平 均 數 為 0 的 時 間 序 列 隨 機 變 數

19 MA(q) 的 一 般 化 模 型 6.1.4 MA(q) 模 型 MA 是 英 文 moving average ( 中 譯 為 移 動 平 均 ) 的 縮 寫 y a 0 : 常 數 的 截 距 項 q: 落 後 期 數 b i :ε -i 的 係 數 ( 也 是 常 數 ) ε : 白 噪 音 q = a 0 + ε + bi ε i (6.1.4.1) i= 1

20 MA(q) 模 型 的 例 子 MA(1) 模 型 MA(2) 模 型 y = a 0 + ε + b1ε 1 (6.1.4.2) y = a0 + ε + b1ε 1 + b2ε 2 (6.1.4.3) MA 模 型 之 意 義 MA(q) 的 意 義, 簡 單 來 說 就 是 現 在 的 y 和 過 去 幾 個 q 期 的 隨 機 項 ( 即 ε -q ) 有 關 係 理 論 上 則 隱 含 經 濟 行 為 體 系 的 結 構 式 中, 含 有 誤 差 修 正 的 特 性 ( 詳 見, 楊 奕 農 (2005))

21 6.2.1 ARMA 模 型 6.2 ARMA 模 型 與 估 計 ARMA 模 型 : 就 是 一 種 時 間 序 列 的 資 料 產 生 過 程 (daa generaing process, 常 以 縮 寫 表 示 為 DGP) 在 時 間 序 列 理 論 來 看 資 料 產 生 過 程 其 實 就 是 現 在 的 變 數 和 過 去 的 變 數 的 函 數 或 統 計 關 係 ARMA 是 係 由 兩 種 DGP, 即 AR 和 MA 結 合 而 成 ARMA = AR + MA

22 ARMA 模 型 AR(p) 的 部 份 AR(p) 的 一 般 化 模 型 y p = a 0 + a i y i i= 1 + ε (6.2.1) a 0 表 示 常 數 的 截 距 項 p 代 表 落 後 期 數 (lag) a i 代 表 y -i 的 係 數 ( 也 是 常 數 ) ε 是 白 噪 音

23 AR(p) 之 例 子 AR(1) 模 型 y = a 0 + a 1 y -1 + ε AR(2) 模 型 y = a 0 + a 1 y -1 + a 2 y -2 + ε AR(5) 模 型 y = a 0 + a 1 y -1 + a 2 y -2 + a 3 y -3 + a 4 y -4 + a 5 y -5 + ε AR(p) 的 意 義 現 在 的 y 變 數 和 過 去 幾 個 p 期 的 y 變 數 都 有 關 係

24 ARMA(p,q) 模 型 i q 1 i i i p 1 i i 0 ε b ε y a a y = = + + + = (6.2.2) ARMA(p,q) 是 AR 項 或 MA 項 之 指 落 後 期 是 連 續 的 情 形, 亦 即 落 後 期 -i 的 i =1, 2,..., p, 或 者 是 i = 1, 2,..., q

25 ARMA 模 型 落 後 期 不 連 續 之 表 示 方 式 ARMA[(1,3,5),(2,4)] y = a 0 + a 1 y -1 + a 3 y -3 + a 5 y -5 + ε + b 2 ε -2 + b 4 ε -4 AR(1,3,5) 或 ARMA[(1,3,5),0] y = a 0 + a 1 y -1 + a 3 y -3 + a 5 y -5 + ε MA(2,4) 或 ARMA[0, MA(2,4)] y = a 0 + ε + b 2 ε -2 + b 4 ε -4

26 6.2.2 ARMA(p, q) 模 型 之 估 計 ARMA(p, q) 模 型 之 估 計 方 法 完 全 最 大 概 似 法 (exac maximum likehood) 條 件 最 大 概 似 法 (condiional maximum likehood) ARMA(p, q) 模 型 不 能 用 一 般 最 小 平 方 法 來 估 計 之 原 因 因 為 用 OLS 估 計 時, 只 會 產 生 當 期 的 殘 差, 而 若 變 數 的 DGP 具 有 MA 特 性 時,OLS 無 法 將 前 期 的 殘 差 同 時 一 起 放 進 來 估 計 如 果 變 數 的 DGP 不 具 有 MA 特 性 時, 即 變 數 的 DGP 只 有 AR 項, 則 OLS 也 是 可 以 用 來 估 計 的

27 以 完 全 最 大 概 似 法 估 計 ARMA(p, q) 模 型 ARMA(p,q) 模 型 如 下 ( 以 符 合 統 計 軟 體 慣 用 的 符 號 重 新 表 示 ) y p q φi y i + ε + θi ε i (6.2.2.1) i= 1 i= 1 = c + 以 ARMA(1,1) 為 例, 最 大 概 似 法 估 計 以 下 式 y = µ + φ1 (y 1 µ ) + ε + θ1ε 1 (6.2.2.2) 若 將 上 式 中 的 常 數 項 移 到 等 式 左 邊 y µ = φ1 (y 1 µ ) + ε + θ 1 ε 1 (6.2.2.2a) 相 當 於 估 計 扣 除 y 變 數 的 平 均 數 µ 之 後 來 進 行 估 計 ( 因 為 µ 其 實 也 未 知, 所 以 µ 當 然 也 是 用 估 計 的 )

28 以 完 全 最 大 概 似 法 估 計 ARMA(p, q) 模 型 之 含 意 y µ = φ1 (y 1 µ ) + ε + θ 1 ε 1 (6.2.2.2a) 令 z = y µ, 此 法 即 是 估 計 z = φ1z 1 + ε + θ1ε 1 (6.2.2.2b) 此 估 計 法 隱 含 著 特 殊 的 意 義 : 當 時,E(z ) 0 此 種 情 況 下 y 變 數 在 文 獻 上 被 稱 為 具 有 均 值 回 復 (mean reversion) 的 特 性 ( 均 值 回 復 係 指 y 變 數 在 長 期 來 看, 有 往 它 的 平 均 值 移 動 的 傾 向 )

29 以 條 件 最 大 概 似 法 估 計 ARMA(p, q) 模 型 即 用 最 大 概 似 法 估 計 以 下 的 式 子 y = α + φ1 y 1 + ε + θ1ε 1 (6.2.2.3) 上 式 所 估 計 而 得 的 α 和 完 全 最 大 概 似 法 之 間 的 關 係 是 µ = α 1 φ 1 (6.2.2.4) 在 計 量 的 文 獻 上,µ 被 稱 為 非 條 件 均 數 ( 因 為 E(y ) = µ), 不 直 接 估 計 µ, 而 估 計 α φ 1, 故 此 方 法 才 會 被 稱 為 條 件 最 大 概 似 法

30 ARMA(p, q) 模 型 估 計 方 法 之 選 擇 不 同 的 統 計 軟 體 估 計 ARMA(p, q) 模 型 時, 可 能 使 用 以 上 其 中 之 一 的 方 法 ( 像 Eviews), 有 的 軟 體 提 供 兩 種, 由 使 用 者 自 行 決 定 要 用 哪 一 種 ( 像 grel) (6.2.2.4) 式 是 理 論 上 的 µ 和 α 間 的 關 係, 在 實 際 進 行 估 計 時, 該 式 並 不 見 得 會 完 全 成 立 不 過, 這 對 於 使 用 ARMA(p, q) 來 進 行 預 測 時, 兩 種 最 大 概 似 法 所 得 之 估 計 值 φ 1 θ 1 相 去 不 遠

31 6.2.3 ARMA(p, q) 的 估 計 步 驟 如 何 判 斷 ARMA(p,q) 模 型 的 落 後 期 Sep 1. 先 對 要 估 計 的 變 數 進 行 Q 檢 定 若 無 法 拒 絕 無 自 我 相 關 之 假 設 則 表 示 此 變 數 沒 有 自 我 相 關 的 現 象, 因 此 無 法 也 不 須 用 ARMA 模 型 進 行 估 計 若 拒 絕 無 自 我 相 關 之 假 設 則 先 估 計 AR(1)

32 如 何 判 斷 ARMA(p,q) 模 型 的 落 後 期 ( 續 ) Sep 2. 估 計 AR 模 型, 再 利 用 Q 統 計 量 檢 定 殘 差 中 是 否 仍 有 自 我 相 關 的 問 題 若 無 法 拒 絕 殘 差 無 自 我 相 關 之 假 設 Sep 3 若 拒 絕 殘 差 無 自 我 相 關 之 假 設 重 覆 Sep 2, 增 加 落 後 期 的 長 度 若 落 後 期 數 p 已 經 很 長, 而 殘 差 中 仍 有 自 我 相 關 的 現 象 時, 則 可 考 慮 加 MA 項 ( 但 此 時 必 需 改 用 最 大 概 似 法, 而 不 能 用 OLS)

33 如 何 判 斷 ARMA(p,q) 模 型 的 落 後 期 ( 續 ) Sep 3. 再 利 用 JB 統 計 量 檢 查 殘 差 是 否 符 合 常 態 性 不 過 殘 差 是 否 符 合 常 態 性 並 不 影 響 迴 歸 係 數 的 BLUE 性 質, 所 以 如 果 你 不 要 建 立 預 測 的 信 賴 區 間, 則 殘 差 是 否 為 常 態 的 假 設 就 不 用 太 在 意 再 注 意 迴 歸 係 數 是 否 顯 著, 必 要 時 刪 去 不 顯 著 的 變 數 Sep 4. 最 後, 如 果 有 好 幾 種 p q 的 組 合 都 符 合 步 驟 3 4 的 條 件, 則 用 精 簡 AIC 或 SBC 等 準 則 來 選 擇 其 中 一 種 為 最 後 選 取 的 模 型

34 範 例 6.2.1 以 ARMA 模 型 估 計 台 灣 金 融 類 股 指 數 月 報 酬 利 用 前 一 章 FE-ex1.dg 所 處 理 過 的 資 料 檔 ( 已 經 將 類 股 指 數 計 算 成 報 酬 率 ) 進 行 示 範 在 grel 主 畫 面 中, 點 r_wfi 變 數, 再 按 右 鍵, 選 Correlagram 看 Q 檢 定 填 20, 按 OK

範 例 6.2.1 ARMA 模 型 估 計 台 灣 金 融 類 股 指 數 月 報 酬 ( 續 ) r_wfi 變 數 之 Q 檢 定 結 果 35 Q 檢 定 的 Q(1) Q(2)... Q(4) 的 p 值 >0.05, 表 示 r_wifi 有 自 我 相 關 故 可 以 先 試 試 AR(1) 模 型

36 範 6.2.1 以 ARMA 模 型 估 計 台 灣 金 融 類 股 指 數 月 報 酬 ( 續 ) 2. 估 計 AR 模 型, 然 後 檢 查 殘 差 是 否 有 自 我 相 關 點 \Model\Time series\arima 選 應 變 數 r_wfi 填 1 是 估 AR(1) 勾 包 含 常 數 項 選 完 全 最 大 概 似 法 Exac Maximum Likelihood

r_wifi 的 AR(1) 含 常 數 項 模 型 的 估 計 結 果 37

在 估 計 結 果 視 窗 功 能 表 中, 選 \Graphs\Residual plo\correlogram 38 Q(1) = 0.1039,p 值 =[0.747] Q(4) =3.8926,p 值 = [0.421], 一 直 到 落 後 期 = 20,p 值 都 滿 大 顯 示 此 時 含 常 數 項 的 AR(1) 之 殘 差, 並 無 自 我 相 關 的 問 題

3. 利 用 JB 統 計 量 檢 查 殘 差 是 否 符 合 常 態 性 選 \Save\Residuals 將 殘 差 存 成 另 一 個 變 數 ( 如 uha1), 再 顯 示 其 敘 述 統 計 ( 樣 本 數 T=84, 參 數 個 數 n=2) 39 殘 差 偏 態 係 數 0.29783 超 峰 態 係 數 -0.79687 JB 84 2 = 0.29783 6 2 + 1 4 ( 0.79687) 2 = 3.3819 所 對 應 χ 2 (2) 的 p 值 約 為 0.1844, 無 法 拒 絶 殘 差 為 常 態 分 配 之 虛 無 假 設

4. 不 含 常 數 項 的 AR(1) 模 型 估 計 結 果 由 於 常 數 項 不 顯 著 異 於 零 所 以 刪 除 常 數 項, 再 進 行 估 計 不 含 常 數 項 的 AR(1) 模 型, 再 檢 查 殘 差 之 自 我 相 關 和 常 態 性 表 5.2.1 r_wfi 變 數 之 AR(1) 不 含 常 數 項 之 估 計 結 果 40 完 全 最 大 概 似 法 (Exac ML) 條 件 最 大 概 似 法 (condiion ML) OLS 係 數 p 值 係 數 p 值 係 數 p 值 r_wfi(-1) -0.2579 [0.017 ] -0.2528 [0.014 ] -0.2528 [0.020 ] adj R 0.0638 Q(1) 0.1049 [0.746] 0.0760 [0.783] 0.0760 [0.783 ] Q(12) 8.2489 [0.765] 8.1742 [0.771] 8.1742 [0.771 ] Q(24) 27.5744 [0.278] 27.4183 [0.285] 27.4183 [0.285 ] Q 2 (1) 0.1491 [0.699] 0.1857 [0.666] 0.1857 [0.666 ] Q 2 (12) 15.9149 [0.195] 15.8293 [0.199] 15.8293 [0.199 ] Q 2 (24) 31.5229 [0.139] 31.1485 [0.150] 31.1485 [0.150 ] Whie es 0.3247 [0.850 ] JB 3.4195 [0.181 ] 3.3065 [0.191 ] 3.3463 [0.188 ]

6.3 ARMA 樣 本 外 預 測 評 估 41 6.3.1 樣 本 外 預 測 指 標 比 較 不 同 模 型 預 測 力 的 常 見 指 標 誤 差 均 方 根 RMSE (Roo Mean Square Error) 平 均 誤 差 絕 對 值 MAE (Mean Absolue Error) 平 均 誤 差 百 分 比 值 MAPE (Mean Absolue Percenage Error) 什 麼 是 預 測 誤 差 預 測 誤 差 = y ŷ (6.3.1) y 表 示 樣 本 資 料 的 實 際 觀 察 值 ; ŷ 表 示 模 型 之 預 測 值

42 樣 本 外 (ou-of-sample) 預 測 誤 差 全 部 的 樣 本 數 為 T+N, 保 留 了 N 筆 當 做 樣 本 外 資 料 第 1 筆 到 第 T 筆 為 樣 本 內 資 料 來 估 計 模 型, 再 以 第 T+1 筆 開 始, 一 直 到 第 T+N 筆 為 止 當 做 樣 本 外 資 料 ( 共 N 筆 樣 本 外 資 料 觀 察 值 ) 向 前 1 期 (one-sep-ahead) 的 樣 本 外 預 測 誤 差 可 分 別 表 示 如 下 ê T+ 1 yt+ 1 ŷt+ 1 = (6.3.2) y T+1 表 示 樣 本 外 1 期 資 料 的 實 際 觀 察 值, ŷ T+ 1 表 示 模 型 之 預 測 值 ( 如 何 計 算 ŷ T + n 將 於 後 面 詳 細 說 明 ) 向 前 2 期... 向 前 n 期 的 樣 本 外 預 測 誤 差 亦 可 表 示 如 下 ê T+ 2 yt+ 2 ŷt+ 2 = (6.3.3) ê T+ n yt+ n ŷt+ n = (6.3.4)

43 樣 本 外 資 料 之 預 測 力 指 標 RMSE 將 預 測 誤 差 平 方 和 的 平 均 值 再 開 根 號, 相 對 於 MAE, 對 誤 差 有 放 大 的 效 果 RMSE = 1 N T + N = T+ 1 (y ŷ ) 2 (6.3.5) MAE 將 所 有 誤 差 取 絕 對 值 加 總 的 平 均 值 MAE = 1 N T + N = T+ 1 y ŷ (6.3.6)

樣 本 外 資 料 之 預 測 力 指 標 ( 續 ) MAPE MAPE 則 是 將 誤 差 佔 實 際 值 的 比 例 取 平 均 值, 由 於 此 指 標 將 預 測 誤 差 除 以 y, 所 以 較 適 合 做 相 同 模 型 但 資 料 原 始 值 大 小 不 同 之 比 較 44 MAPE = 1 N T + N = T+ 1 y y ŷ (6.3.7)

45 向 前 n 期 預 測 ( 6.3.2 ARMA 模 型 之 預 測 ŷ T + n ) 之 計 算 方 式 說 明 利 用 樣 本 內 的 資 料 (1~T) 和 已 估 計 出 的 參 數, 計 算 出 第 T+n 期 ( 又 稱 為 下 n 期 ) 的 預 測 值 n=1 時 即 為 向 前 1 期 預 測 (one-sep-ahead forecas) n=2 時 即 為 向 前 2 期 預 測 (wo-sep-ahead forecas)... 向 前 n 期 預 測 (n-sep-ahead forecas) 以 下 便 以 AR(2) 模 型 為 例 說 明 如 何 計 算 向 前 n 期 之 預 測 值

46 AR(2) 模 型 向 前 n 期 預 測 之 計 算 : n=1 假 設 樣 本 內 估 計 出 來 的 AR(2) 模 型 如 下 : ŷ = 0.2y 1 + 0.5y 2 若 要 計 算 出 第 T+1 期 的 預 測 值, 則 需 要 第 T 期 和 第 T 1 期 的 資 料 ( 分 別 用 y T 和 y T-1 來 表 示 ) ŷ T+ 1 = 0.2y T + 0.5y T 1

47 AR(2) 模 型 向 前 n 期 預 測 之 計 算 : n>1 當 n>1 時, 向 前 n 期 預 測 的 AR(2) 時 候 就 分 成 兩 種 情 況 (1) 動 態 預 測 法 (Dynamic Forecas Mehod) 又 稱 之 為 重 覆 代 入 預 測 法 (Ieraive Forecass) (2) 靜 態 預 測 法 (Saic Forecas Mehod) 又 稱 逐 次 更 新 預 測 法 (Recursive Updaing Forecass) 以 上 兩 種 方 式 最 大 的 不 同 處, 在 於 計 算 下 一 期 的 預 測 值 時, 倒 底 是 用 前 期 的 預 測 值, 還 是 前 期 的 實 際 觀 察 值 分 別 說 明 如 下

48 動 態 預 測 法 (Dynamic Forecas Mehod) 將 第 T+1 期 的 預 測 值 代 入 模 型, 再 計 算 第 T+2 的 預 測 值, 以 此 類 推 代 入 估 計 模 型 n 次 ( 以 n=3 為 例 ) 計 算 第 T+1 期 預 測 值 : ŷ T + 1 = 0.2 y T + 0.5 y T-1 計 算 第 T+2 期 預 測 值 : ŷ T + 2 = 0.2 ŷ T + 1 + 0.5 y T 計 算 第 T+3 期 預 測 值 : ŷ T + 3= 0.2 ŷ T + 2 + 0.5 ŷ T + 1 動 態 預 測 法 就 是 不 斷 地 用 預 測 值 代 替 未 知 的 實 際 資 料 來 進 行 預 測 ŷ + 在 n 時, 預 測 值 T n 將 收 歛 至 模 型 的 長 期 值, 亦 即 若 將 所 有 的 預 測 畫 成 圖 時 預 測 線 會 漸 漸 呈 現 水 平 狀, 往 AR 模 型 的 長 期 值 的 位 置 收 歛

49 靜 態 預 測 法 (Saic Forecas Mehod) 將 第 T 期 和 第 T 1 期 的 實 際 資 料 觀 察 值, 直 接 代 入 模 型, 計 算 出 第 T+1 的 預 測 值 ; 再 用 第 T+1 期 和 第 T 期 的 實 際 觀 察 值 (y T+1 和 y T ) 代 入 模 型, 計 算 出 第 T+2 的 預 測 值, 以 此 類 推 n 次 ( 以 n=3 為 例 ) 計 算 第 T+1 期 預 測 值 : ŷ T + 1 = 0.2 y T + 0.5 y T-1 計 算 第 T+2 期 預 測 值 : ŷ T + 2 = 0.2 y T+1 + 0.5 y T 計 算 第 T+3 期 預 測 值 : ŷ T + 3= 0.2 y T+2 + 0.5 y T +1

50 預 測 方 式 和 預 測 力 指 標 之 選 擇 動 態 預 測 法 和 靜 態 預 測 法 都 有 人 使 用,RMSE MAE MAPE 那 一 種 較 好 文 獻 上 亦 無 一 致 看 法 RMSE 較 常 被 使 用, 亦 有 研 究 列 出 所 有 的 指 標 進 行 比 較, 不 過 也 可 能 出 現 結 果 不 一 致 之 現 象 值 得 一 提 的 是,RMSE MAE MAPE 這 些 預 測 力 的 評 估 指 標, 和 AIC SBC 一 樣, 也 不 是 正 規 的 統 計 檢 定, 只 能 做 數 學 值 的 大 小 比 較, 無 法 進 行 統 計 的 顯 著 性 檢 定

51 範 例 6.3.1 以 ARMA 模 型 預 測 台 灣 金 融 類 股 指 數 月 報 酬 最 大 概 似 法 (exac maximum likelihood) 所 得 到 的 不 含 常 數 項 之 AR(1) 模 型 為 : r_wfi = -0.2579 r_wfi(-1) 在 grel 主 畫 面 中, 點 \Analysis\Forecass 設 定 樣 本 外 預 測 之 範 圍 :2007/1~2007/8 採 靜 態 預 測 法 這 個 值 不 用 管

如 此 即 已 經 完 成 樣 本 外 預 測 ( 由 於 篇 幅 故 省 略 部 分 中 間 內 容 ) 52 實 際 值 按 + 符 號 可 存 預 測 值 預 測 值 此 即 為 採 靜 態 預 測 法 之 樣 本 外 預 測 值

2. 儲 存 預 測 值 按 + 符 號 後, 出 現 如 下 視 窗, 此 時 給 一 個 預 測 變 數 名 稱 ( 此 例 為 r_wfha) 並 記 住 有 8 個 樣 本 外 預 測 值 53 填 入 預 測 變 數 名 稱 ( 此 例 為 r_wfha)

3. 計 算 樣 本 外 RMSE 先 將 樣 本 範 圍 設 成 2007:01~2007:08 54 在 grel 主 畫 面 中, 點 \Add\Define new varaible 輸 入 RMSE 的 公 式 RMSE = (sum((r_wfi-r_wfha)^2)/8)^0.5 最 後 按 OK

RMSE 之 值 之 後 你 會 發 現 grel 主 視 窗 中 會 多 了 一 個 名 為 RMSE 的 變 數 點 擊 兩 次 開 啟 一 個 視 窗 如 下, 0.0585 ( 略 以 下 小 數 點 ) 即 為 樣 本 外 之 RMSE 值 55

4. 計 算 樣 本 外 MAE 重 覆 步 驟 3, 輸 入 MAE 的 公 式 : MAE=sum(abs(r_wfi-r_wfha))/8 56 在 grel 主 畫 面 中, 點 \Add\Define new varaible 輸 入 MAE 的 公 式 按 OK 點 擊 兩 次 MAE 變 數 便 可 看 到 MAE=0.0489183

5. 計 算 樣 本 外 MAPE 請 再 重 覆 步 驟 3, 即 在 grel 主 畫 面 中, 點 \Add\Define new varaible, 輸 入 MAPE 的 公 式 : MAPE=sum(abs(r_wfi-r_wfha)/abs( r_wfi))/8 57 MAPE 之 值 一 樣 你 會 發 現 grel 主 視 窗 中 會 多 了 一 個 名 為 MAPE 的 變 數 ( 畫 面 省 略 ), 你 可 以 點 擊 兩 次 MAPE 變 數, 以 開 啟 一 個 視 窗, 其 中 的 值 1.25909 即 為 樣 本 外 之 MAPE 值