Chapter2 基本統計方法

Chater 基 本 統 計 方 法 Outlie. 敘 述 統 計. 機 率 分 配 3. 抽 樣 分 配 4. 估 計 5. 假 設 檢 定 6. 變 異 數 分 析

. 敘 述 統 計 敘 述 統 計 (decritive tatitic 的 主 要 目 的 在 於 利 用 統 計 圖 表 與 數 值 方 法 來 表 達 與 呈 現 資 料 之 特 性 資 料 之 型 態 可 分 為 質 化 型 資 料 (qualitative data 與 量 化 型 資 料 (quatitative data 質 化 型 資 料, 主 要 是 依 據 其 性 質 的 不 同 而 加 以 區 分 量 化 型 資 料 又 可 分 為 離 散 型 資 料 (dicrete data 與 連 續 型 資 料 (cotiuou data 3 Summary Table & Bar Chart Summary Table -Examle 收 集 有 00 個 產 品, 依 照 等 級 做 區 分 並 製 作 摘 要 表 長 條 圖 之 主 要 目 的 在 於 將 摘 要 表 的 數 據 以 圖 形 的 方 式 呈 現 出 來 4

Pie Chart &Dot Plot 圓 餅 圖 乃 將 摘 要 表 用 圖 形 方 式 顯 示 出 來, 其 做 法 主 要 是 將 一 圓 形 依 照 發 生 次 數 之 百 分 比 進 行 分 割 Dot Plot -Examle 考 慮 一 筆 數 據 :, 4, 4, 6, 7, 7, 30, 3, 38, 4 5 Stem-ad-Leaf & Hitogram 假 設 某 一 數 值, 至 少 是 兩 位 數, 枝 葉 圖 的 做 法 就 是 將 該 數 值 分 成 兩 個 部 分 : 枝 與 葉 枝 葉 圖 適 用 於 少 量 資 料 之 描 述, 當 資 料 量 大 時 我 們 就 須 繪 製 直 方 圖 (hitogram 直 方 圖 的 繪 製 Ste 0. 決 定 量 測 變 數, 蒐 集 數 據, 將 數 據 由 小 至 大 排 列 Ste. 找 出 全 體 數 據 中 之 最 大 值 與 最 小 值, 計 算 全 距 Ste. 決 定 組 數 Ste 3. 決 定 組 距 = 全 距 / 組 數 Ste 4. 求 出 各 組 上 下 組 界, 以 及 組 的 中 心 點 Ste 5. 製 作 次 數 分 配 表 Ste 6. 繪 製 直 方 圖 6 3

Cetral Tedecy 集 中 趨 勢 主 要 目 的 在 於 描 述 資 料 的 中 心 位 置 樣 本 平 均 數 (Samle mea 假 設 某 樣 本 存 在 個 觀 測 值 x, x,, x, 則 樣 本 平 均 數 可 計 算 如 下 x + x + L+ x x = (. 中 位 數 (Media 資 料 從 小 到 大 排 序 後, 中 位 數 即 為 最 中 間 的 數 換 句 話 說, 中 位 數 可 將 一 筆 資 料 切 割 為 相 等 的 兩 部 分 眾 數 (Mode 即 是 在 一 筆 資 料 中, 出 現 次 數 頻 率 最 多 的 數 眾 數 (Mo 可 能 發 生 的 情 況 包 含 單 一 眾 數 無 眾 數 及 多 重 眾 數 7 Dierio Tedecy(/ 離 散 趨 勢 主 要 目 的 在 於 描 述 資 料 的 離 散 程 度 全 距 (Rage 全 距 即 一 組 資 料 中 的 最 大 值 與 最 小 值 的 差 距 全 距 = Max( xi Mi( xi 四 分 位 距 (Iter-quartile rage 將 資 料 由 小 至 大 排 序 並 分 割 成 四 個 等 分, 每 一 個 切 割 點 稱 為 四 分 位 數 (quartile 四 分 位 距 (Iter-Quartile Rage; IQR 即 是 第 一 與 第 三 分 位 數 之 差, 表 示 如 下 (.3 IQR = Q 3 Q (. 8 4

Dierio Tedecy(/ 樣 本 變 異 數 (Samle variace: 樣 本 變 異 數 主 要 是 將 各 個 觀 測 值 與 樣 本 平 均 數 之 差 取 平 方 加 總 後 再 取 其 平 均 值, 表 示 如 下 : ( xi x i= (.4 = 一 般 而 言, 樣 本 變 異 數 越 大, 樣 本 變 異 性 就 越 大 樣 本 標 準 差 (Samle tadard deviatio 標 準 差 是 最 常 用 且 最 重 要 的 離 散 趨 勢 衡 量 尺 度 其 表 示 如 下 : = i= ( x i x 使 用 樣 本 標 準 差 最 大 的 優 點 是 能 以 原 始 的 單 位 作 為 標 準 (.5 9 Box-ad-Whiker Plot 盒 鬚 圖 (box-ad-whiker lot 又 稱 箱 型 圖 或 箱 鬚 圖, 主 要 目 的 在 利 用 圖 形 視 覺 化 資 料 的 集 中 趨 勢 離 散 趨 勢 及 對 稱 性 此 外 也 可 用 以 比 較 兩 組 以 上 資 料 之 差 異 性, 以 及 偵 測 資 料 的 離 群 值 盒 鬚 圖 中 間 的 箱 子 是 由 Q 及 Q 3 所 組 成, 因 此 箱 內 包 含 了 50% 的 數 值 資 料, 其 中 Media 描 述 了 資 料 中 心 位 置, 而 IQR 解 釋 了 中 央 散 佈 的 情 形 此 外, 鬚 分 別 是 由 箱 子 延 伸 至 最 大 及 最 小 值, 而 Rage 描 述 了 整 體 資 料 散 佈 的 情 況 0 5

. Probability Ditributio 機 率 分 配 (robability ditributio 主 要 目 的 在 於 將 品 質 特 性 模 式 化, 並 解 釋 其 參 數 行 為 機 率 分 配 將 觀 測 之 品 質 特 性 視 為 一 個 隨 機 變 數 (Radom Variable; R.V., 因 其 值 在 母 體 中 是 隨 機 變 動 的, 因 此 機 率 分 配 即 在 描 述 品 質 特 性 的 某 些 值 在 母 體 中 出 現 的 機 率 分 佈 情 況 機 率 分 配 依 品 質 特 性 的 資 料 型 態, 可 分 為 離 散 型 機 率 分 配 (dicrete robability ditributio 與 連 續 型 機 率 分 配 (cotiuou robability ditributio.. Dicrete Probability Ditributio 當 隨 機 變 數 屬 於 可 計 數 的 離 散 型 資 料 型 態, 如 產 品 缺 點 數 書 本 錯 字 數 產 品 不 良 品 數 等, 其 所 形 成 之 機 率 分 佈 稱 為 離 散 型 機 率 分 配 離 散 型 機 率 分 配 的 形 狀 類 似 一 釘 狀 物, 其 高 度 即 代 表 隨 機 變 數 所 對 應 之 機 率 當 隨 機 變 數 X 的 值 為 x i 時, 其 機 率 表 示 為 Pr( X = x = ( x 其 中 0 ( x, i i i i= ( x i = 6

Hyergeometric Ditributio 超 幾 何 分 配 (Hyergeometric ditributio 常 應 用 於 自 一 批 量 大 小 為 有 限 的 送 驗 批 中 進 行 抽 樣 檢 驗 時, 計 算 貨 批 之 允 收 機 率 假 設 有 一 大 小 為 N 之 有 限 群 體, 其 中 有 二 類 物 品,D 個 為 合 格 品 而 有 N - D 個 為 不 合 格 品, 則 超 幾 何 分 配 的 隨 機 變 數 (X 代 表 從 N 中 採 不 放 回 方 式 隨 機 抽 取 個, 其 中 有 x 個 屬 於 合 格 品 之 機 率 分 配 為 : D N D x x f ( X x Pr( X x = = = = x = 0,, K, mi (,D N 超 幾 何 分 配 之 平 均 數 與 變 異 數 分 別 為 D D D N µ = = ( ( N N N N (.6 (.7 (.8 3 Biomial Ditributio 伯 努 力 實 驗 (Beroulli trial 即 是 進 行 一 次 實 驗, 其 實 驗 結 果 不 是 成 功 就 是 失 敗, 每 次 成 功 之 機 率 都 為, 每 次 失 敗 的 機 率 都 為 - 二 項 式 分 配 (Biomial ditributio 做 了 次 獨 立 的 Beroulli 實 驗 二 項 式 分 配 的 隨 機 變 數 (X 代 表 次 實 驗 中 成 功 的 次 數, 其 機 率 分 配 如 下 : 母 體 平 均 數 或 稱 為 期 望 值 為 µ = E ( X = 變 異 數 為 = Var( X = ( x x f ( X = x = Pr( X = x = ( x = 0,, K, x (.9 (.0 (. 4 7

Poio Ditributio 卜 氏 分 配 的 隨 機 變 數 X 表 示 在 某 特 定 單 位 內 事 件 發 生 的 次 數, 而 所 謂 某 特 定 單 位 可 以 是 某 特 定 時 間 內 某 特 定 面 積 某 晶 圓 等 x λ 機 率 分 配 λ e f ( X = x = Pr( X = x = x = 0,, K, x! 參 數 λ 表 示 單 位 內 平 均 發 生 之 次 數, 且 λ > 0 卜 氏 分 配 的 平 均 數 與 變 異 數 相 等 µ = E(X = λ = Var( X = λ (. (.3 (.4 卜 氏 分 配 運 用 層 面 很 廣, 常 用 於 等 候 線 理 論 品 質 管 制 中 的 缺 點 數 管 制 圖 等 5.. Cotiuou Probability Ditributio 當 隨 機 變 數 屬 於 連 續 型 資 料 型 態, 其 所 形 成 之 機 率 分 佈 稱 為 連 續 型 機 率 分 配 不 同 於 離 散 型 機 率 分 配 (f(x = (x, 連 續 型 機 率 分 配 的 高 度 (f(x 並 不 代 表 隨 機 變 數 所 對 應 之 機 率 值 ((x 連 續 型 機 率 分 配 的 圖 形 為 一 平 滑 之 曲 線, 假 設 存 在 某 區 間 (a 到 b, 則 其 機 率 即 為 曲 線 下 所 圍 成 之 面 積, 表 示 如 下 = ( a x b f ( x dx b a 6 8

Normal Ditributio 常 態 分 配 (Normal ditributio 又 稱 高 斯 分 配 (Gauia ditributio 或 鐘 型 分 配 (Bell haed ditributio 在 推 論 統 計 學 中, 無 論 是 估 計 假 設 檢 定 迴 歸 分 析, 甚 至 是 變 異 數 分 析, 無 不 以 常 態 分 配 作 為 基 礎 假 設 存 在 一 連 續 隨 機 變 數 X, 則 常 態 分 配 之 機 率 分 配 如 下 : xµ (.5 f ( X = x = e, < x < π 其 中 µ 為 母 體 平 均 數, 為 母 體 標 準 差 7 Stadard Normal Ditributio 欲 求 常 態 分 配 之 機 率, 必 須 算 出 函 數 在 某 範 圍 內 所 圍 成 之 面 積, 然 常 態 分 配 之 函 數 相 當 的 複 雜, 且 不 易 直 接 進 行 積 分 因 此, 我 們 通 常 的 作 法 就 是 將 常 態 分 配 的 隨 機 變 數 做 標 準 化 的 程 序, 並 使 之 成 為 標 準 常 態 分 配 所 謂 標 準 化 的 程 序, 就 是 針 對 常 態 分 配 之 變 數 (X 進 行 以 下 之 變 數 轉 換 : µ Z = X (.6 轉 換 過 後 之 變 數 Z 會 符 合 一 平 均 數 為 0, 標 準 差 為 之 常 態 分 配 (Z~N(0, 8 9

.3 Samlig Ditributio 母 體 與 樣 本 間 之 關 係 未 知 母 體 分 配 與 抽 樣 分 配 之 關 連 性 統 計 量 所 形 成 的 機 率 分 配 就 稱 為 抽 樣 分 配 (amlig ditributio 換 言 之, 抽 樣 分 配 就 是 將 樣 本 統 計 量 視 為 隨 機 變 數, 並 考 慮 所 有 可 能 樣 本 組 合 而 形 成 之 機 率 分 配 9.3. XSamlig Ditributio 假 設 存 在 一 母 體 ( 無 論 何 分 配, 其 平 均 數 為 µ, 標 準 差 為 隨 機 自 母 體 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x, 則 樣 本 平 均 數 的 抽 樣 分 配 之 平 均 數 與 變 異 數 分 別 如 下 : µ = E X = (.7 ( µ X ( X X = Var = X 抽 樣 分 配 之 標 準 差 是 母 體 標 準 差 的 / 倍 X 抽 樣 分 配 之 標 準 差 即 代 表 抽 樣 誤 差 (amlig error 若 欲 使 抽 樣 誤 差 為 0, 則 須 實 行 普 查 = X lim x = lim = 0 (.8 0 0

Cetral Limit Theorem 中 央 極 限 定 理 (Cetral Limit Theorem; CLT 在 統 計 推 論 中 扮 演 一 極 重 要 之 角 色 假 設 存 在 一 母 體 ( 無 論 分 配 為 何, 其 平 均 數 為 µ, 標 準 差 為 今 隨 機 自 母 體 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x, 並 計 算 樣 本 平 均 數 x, 如 果 抽 樣 的 樣 本 數 很 大 ( 30, 則 抽 樣 分 配 會 接 近 常 態 分 配 X X ~ N µ, 換 言 之, 當 不 知 道 母 體 分 配 為 何 時, 只 要 抽 樣 的 樣 本 數 夠 大, 則 我 們 可 將 之 抽 樣 分 配 視 為 常 態 分 配 X.3. Z, t Ditributio 自 常 態 母 體 (N(µ, 下 隨 機 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x, 則 其 抽 樣 分 配 同 樣 會 符 合 一 常 態 分 配, X µ Z = X ~ N µ, 標 準 化 X, 得 則 Z 會 符 合 一 平 均 值 為 0, 變 異 數 為 的 標 準 常 態 分 配 Z~N(0, (.9 當 常 態 母 體 µ 為 已 知 的 情 況 下, 統 計 量 X µ Z = 會 符 合 標 準 常 態 分 配 / 今 若 母 體 標 準 差 未 知, 並 以 樣 本 標 準 差 代 替, 則 統 計 量 X µ X µ Z = 會 符 合 自 由 度 為 - 之 t 分 配, 記 為 ~ t ( / (.0 所 謂 自 由 度 (Degree of Freedom 是 指 統 計 量 中 隨 機 變 數 可 以 自 由 變 動 的 數 目

χ Ditributio 從 一 常 態 母 體 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x, 並 計 算 樣 本 平 均 數 x 與 樣 本 變 異 數 假 設 母 體 平 均 數 µ 未 知, 則 統 計 量 ( x i x 會 符 合 自 由 度 為 - 之 卡 方 分 配 i = ( x x i i= ( = ~ χ ( (. 隨 著 樣 本 數 的 增 加, 其 變 異 數 也 會 跟 著 增 加 樣 本 數 越 大, χ 圖 形 越 趨 近 常 態 分 配 卡 方 分 配 常 用 於 機 率 分 配 適 合 度 之 檢 定 獨 立 性 檢 定 以 及 對 母 體 變 異 數 進 行 推 估 3 F Ditributio 考 慮 兩 獨 立 常 態 母 體 :X~N(µ, 及 Y~N(µ,, 自 第 一 個 常 態 母 體 抽 取 個 隨 機 樣 本 x, x,, x, 計 算 出 樣 本 變 異 數 另 外, 自 第 二 個 常 態 母 體 抽 取 個 隨 機 樣 本 y, y,, y, 計 算 出 樣 本 變 異 數 則 統 計 量 ( / /( / 會 符 合 F 分 配 ( -, - / χ = / χ / / ~ F ( ν, ν 其 中 ν ν 分 別 為 分 子 與 分 母 卡 方 分 配 之 自 由 度 F 分 配 常 用 於 變 異 數 分 析 以 及 對 兩 獨 立 母 體 變 異 數 比 值 進 行 推 論 (. 4

.3.3 Samlig From a Beroulli Poulatio 假 設 有 一 隨 機 變 數 Y, 若 y= 代 表 成 功,y=0 代 表 失 敗, 則 伯 努 力 機 率 分 配 (Beroulli ditributio 如 下 : y y f ( Y = y = (, y = 0 or (.3 隨 機 自 伯 努 力 分 配 母 體 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x, 則 樣 本 之 總 和 ( 即 成 功 之 次 數 X = x + x + + x 會 符 合 一 參 數 為 及 之 二 項 式 分 配 母 體 參 數 通 常 為 未 知, 則 可 利 用 樣 本 比 例 進 行 估 計, 如 下 : 出 現 成 功 次 數 X x + x + L+ x ˆ = = = 實 驗 次 數 抽 樣 分 配 之 平 均 數 為 µ ˆ = E( ˆ = (.4 ( 變 異 數 為 ˆ = Var ( ˆ = (.5 5.4 Etimatio.4. 點 估 計 點 估 計 之 目 的 在 於 利 用 樣 本 資 料, 求 得 一 估 計 值 以 表 示 未 知 母 體 參 數 值 通 常 以 ^ 符 號 表 示 參 數 的 點 估 計 值 一 個 好 的 點 估 計 量 (oit etimator 須 具 許 多 重 要 之 性 質, 如 充 分 性 (ufficiet 不 偏 性 (ubiaed 效 率 性 (efficiecy 一 致 性 (coitece 等 ; 而 最 重 要 的 性 質 為 不 偏 性 所 謂 不 偏 性 指 的 就 是 點 估 計 量 的 期 望 值 必 須 等 於 被 估 計 的 參 數 值 假 設 有 一 母 體 參 數 θ, 其 點 估 計 值 為 θˆ, 若 E( ˆ θ =, θ 則 θˆ 為 一 不 偏 估 計 量 (ubiaed etimator 6 3

Ubiaed Etimator µ 不 偏 估 計 量 E(X = µ 樣 本 平 均 數 x 為 母 體 平 均 數 µ 的 不 偏 估 計 量 不 偏 估 計 量 = ( 樣 本 變 異 數 為 母 體 變 異 數 的 不 偏 估 計 量 不 偏 估 計 量 ( 利 用 樣 本 標 準 差 E 為 的 不 偏 估 計 量, 但 並 非 母 體 標 準 差 之 不 偏 估 計 量 利 用 估 計 之 不 偏 估 計 量 為 不 偏 估 計 量 ( 利 用 全 距 E ( = c4 ˆ = / c 隨 機 變 數 W = R/ 稱 為 相 對 全 距 (relative rage, 則 W 抽 樣 分 配 之 期 望 值 為 E ( W = E( R / = d 利 用 R 估 計 之 不 偏 估 計 量 為 ˆ = R / d 4 ( 重 要 (.8 (.9 (.30 (.3 (.3 (.34 7 主 要 目 的 在 於 根 據 樣 本 資 料 所 得 之 點 估 計 值, 並 利 用 點 估 計 量 的 抽 樣 分 配 建 構 一 區 間 範 圍, 以 使 得 參 數 之 真 實 值 落 在 此 區 間 內 之 統 計 方 法 我 們 希 望 所 建 構 之 區 間 能 夠 包 含 真 正 的 母 體 參 數 值 譬 如, 利 用 點 估 計 值 x及 X 抽 樣 分 配 建 構 一 區 間 來 包 含 常 態 母 體 之 平 均 數 µ, 可 表 示 如 下 : 我 們 希 望 估 計 誤 差 會 小 於 某 個 允 差 因 為 所 以.4. Iterval Etimatio Z = X µ / x µ Z, 將 允 差 設 為 即 Z x Z µ x + Z X µ tolerace 8 4

Cofidece Iterval ( 重 要 基 本 上, 所 建 構 出 之 區 間 只 有 包 含 與 不 包 含 真 值 區 間 越 寬, 涵 蓋 真 值 的 機 率 就 越 大 因 此, 建 構 區 間 前 必 須 先 決 定 信 賴 水 準 (cofidece level,- X µ 由 Pr Z Z = Pr X Z µ X + Z = / (.35 所 產 生 之 區 間 x Z µ x + Z (.36 稱 為 未 知 平 均 數 µ 的 (-00% 信 賴 區 間 (cofidece iterval 常 用 之 信 賴 水 準 信 賴 水 準 (- 00% / Z / 90% 0.0 0.05 Z 0.05 =.64 95% 0.05 0.05 Z 0.05 =.96 99% 0.0 0.005 Z 0.005 =.58 9.4.3 Sigle Poulatio Mea Kow- 從 一 常 態 母 體 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x, 並 計 算 樣 本 平 均 數 x, 假 設 母 體 標 準 差 已 知, 則 µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 x Z µ x + Z (.37 Ukow- 自 常 態 母 體 抽 取 一 組 樣 本 x, x,, x, 計 算 樣 本 平 均 數 x, 若 樣 本 數 30( 大 樣 本, 且 母 體 標 準 差 未 知, 以 代 替, 則 µ 的 (-% 信 賴 區 間 為 : x Z µ x + Z (.38 Ukow- 自 常 態 母 體 抽 取 一 組 樣 本 x, x,, x, 計 算 樣 本 平 均 數 x, 若 樣 本 數 < 30( 小 樣 本, 且 母 體 標 準 差 未 知, 則 µ 的 (-% 信 賴 區 間 為 : x t ( µ x + t ( ( 重 要 (.39 30 5

Sigle Poulatio Variace & Proortio 自 常 態 母 體 抽 取 一 組 樣 本 x, x,, x, 計 算 樣 本 變 異 數, 則 ( ~ χ ( ( P r ( χ χ χ =,, χ ( ( χ 的 (-% 信 賴 區 間 為 : ( χ ( ( χ ( 由 中 央 極 限 定 理 得 知, 當 樣 本 數 30, 則 因 此, ˆ 的 (-% 信 賴 區 間 為 (.40 (.4 ( ˆ ~ N, ˆ Z ˆ( ˆ ˆ + Z ˆ( ˆ (.4 3.4.4 Two Poulatio Mea: Matched Samle 獨 立 樣 本 (ideedet amle 指 的 是 從 一 母 體 抽 出 的 樣 本 不 會 影 響 到 從 另 一 個 母 體 所 抽 出 的 樣 本 成 對 樣 本 (matched amle 指 的 是 母 體 分 配 彼 此 為 相 關, 或 在 抽 樣 時 樣 本 間 具 有 成 對 的 情 形 假 設 有 兩 相 關 常 態 母 體 X~N(µ, 與 Y~N(µ,, 其 差 值 仍 符 合 一 常 態 分 配 今 抽 取 一 組 樣 本 大 小 為 之 樣 本, 計 算 其 差 值 d, d,, d 及 樣 本 平 均 數 d 與 樣 本 標 準 差 d 若 30 ( 大 樣 本, 則 兩 母 體 平 均 數 差 µ -µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : d d d Z µ µ d + Z 若 < 30 ( 小 樣 本, 則 兩 母 體 平 均 數 差 µ -µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : d d d t ( µ µ d + t ( (.43 (.44 3 6

Two Ideedet Poulatio Mea: (Variace Kow &Variace Ukow, Large Samle Size 從 兩 獨 立 常 態 母 體 (X~N(µ, 與 Y~N(µ, 分 別 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x 和 y, y,, y, 並 分 別 計 算 樣 本 平 均 數 x 與 y, 若 母 體 標 準 差 未 知 並 計 算 之 若 兩 母 體 標 準 差 與 已 知, 則 兩 母 體 平 均 數 差 µ -µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : ( x y Z + µ µ ( x y + Z + 若 兩 母 體 標 準 差 與 未 知, 且 30 與 30, 則 兩 母 體 平 均 數 差 µ -µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : (.45 (.46 33 Two Ideedet Poulatio Mea: (Variace Ukow, Small Samle Size, Homogeeity of Variace 從 兩 獨 立 常 態 母 體 (X~N(µ, 與 Y~N(µ, 分 別 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x 和 y, y,, y ( < 30 與 < 30, 並 分 別 計 算 樣 本 平 均 數 x y 與 樣 本 標 準 差 若 兩 母 體 標 準 差 與 未 知, 但 具 同 質 性 (homogeeity, 即 = =, 則 可 求 出 共 同 樣 本 標 準 差 (ooled tadard deviatio: ( + ( S = + 而 兩 母 體 平 均 數 差 µ -µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : (.47 ( x y t ( + S + µ µ ( x y + t ( + S + (.48 34 7

8 35 Two Ideedet Poulatio Mea: (Variace Ukow, Small Samle Size, Heterogeeity of Variace 從 兩 獨 立 常 態 母 體 (X~N(µ, 與 Y~N(µ, 分 別 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x 和 y, y,, y ( < 30 與 < 30, 並 分 別 計 算 樣 本 平 均 數 與 樣 本 標 準 差 若 兩 母 體 標 準 差 與 未 知, 也 不 具 同 質 性 (heterogeeity, 即, 則 兩 母 體 平 均 數 差 µ -µ 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : 而 其 中 自 由 度 為 : x y ( ( ( ( v t y x v t y x + + + µ µ + + = υ (.49 (.50 36 Two Poulatio Variace 從 兩 獨 立 常 態 母 體 (X~N(µ, 與 Y~N(µ, 分 別 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x 和 y, y,, y, 並 分 別 計 算 樣 本 變 異 數 與 則, ~ / / F 因 為 兩 母 體 變 異 數 比 值 / 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : =,,,, F F F, ( /, ( / / / F F F 分 配 (.5

9 37 Two Poulatio Proortio 從 兩 獨 立 伯 努 力 分 配 分 別 抽 出 一 組 樣 本 x, x,, x 和 y, y,, y 令 X = x +x + +x,y = y +y + +y, 樣 本 比 例 分 別 為 : 由 中 央 極 限 定 理 得 知, 當 樣 本 數 30, 則 將 進 行 標 準 化, 得 的 (-00% 信 賴 區 間 為 : / ˆ X = / ˆ = Y (, ~ ˆ N (, ~ ˆ N + ( (, ~ ˆ ˆ N ( ( ( ˆ ˆ ( Z + = ˆ ˆ ( ( ˆ (ˆ ( ( ˆ (ˆ Z Z + + + (.5 38.5 Hyothei Tetig 假 設 檢 定 (hyothei tetig 就 是 對 有 關 母 體 參 數 進 行 假 設, 並 利 用 樣 本 的 資 訊, 檢 定 是 否 拒 絕 該 假 設 的 一 個 統 計 方 法 虛 無 假 設 (ull hyothei H 0 Ex: 水 果 冷 凍 後 水 分 不 流 失, 即 H 0 :µ = 0 對 立 假 設 (alterative hyothei H 或 H a Ex: 水 果 冷 凍 後 水 分 衰 減, 即 H :µ < 0

39.5. Tetig Procedure 當 抽 出 樣 本 值 後, 我 們 會 選 擇 適 當 的 檢 定 統 計 量 (Tet tatitic, 並 計 算 其 值, 若 此 統 計 量 之 值 落 在 接 受 域 (accetace regio, 則 不 拒 絕 H 0 反 之, 若 檢 定 統 計 量 之 值 不 落 在 接 受 域, 則 拒 絕 H 0 檢 定 可 分 為 單 邊 (oe-ided 檢 定 與 雙 邊 (two-ided 檢 定, 完 全 取 決 於 對 立 假 設 40 0

The Proce of Hyothei Tetig. 設 立 虛 無 假 設 與 對 立 假 設. 選 擇 檢 定 統 計 量 3. 給 定 顯 著 水 準, 並 獲 得 檢 定 的 臨 界 值 4. 計 算 檢 定 統 計 量 之 值 5. 制 訂 決 策 ( 拒 絕 或 不 拒 絕 H 0 4.5.3 Hyothei Tetig for a Sigle Poulatio Mea 考 慮 單 一 母 體 平 均 數 等 於 某 一 特 定 值 (µ 0, 雙 邊 檢 定 之 假 設 為 H 0 :µ = µ 0 H :µ µ 0 右 尾 檢 定 之 假 設 為 H 0 :µ = µ 0 H :µ > µ 0 左 尾 檢 定 之 假 設 為 H 0 :µ = µ 0 H :µ < µ 0. 已 知, 以 Z 為 檢 定 統 計 量, 並 進 一 步 計 算 檢 定 值 如 下 * x µ 0 (.60 Z = /. 未 知, 樣 本 數 30, 則 以 Z 為 檢 定 統 計 量, 並 計 算 檢 定 值 * x µ Z = 0 (.6 / 3. 未 知, 樣 本 數 < 30, 則 以 t 為 檢 定 統 計 量, 並 計 算 檢 定 值 * x µ t = 0 / (.6 範 例.9 (.57 (.58 (.59 4

單 一 母 體 變 異 數 比 例 與 P-value 單 一 母 體 變 異 數 雙 邊 檢 定 的 假 設 為 H 0 : = 0 ;H : 0 * ( = 以 χ 為 檢 定 統 計 量, 並 計 算 檢 定 值 單 一 母 體 比 例 雙 邊 檢 定 為 H 0 : = 0 ;H : 0 以 Z 為 檢 定 統 計 量, 並 計 算 檢 定 值 P-value 若 P-value <, 則 拒 絕 虛 無 假 設 H 0 ; 若 P-value >, 則 不 拒 絕 假 設 Z * 為 檢 定 統 計 量 的 值, 則 P-value 計 算 如 下 * [ Pr( Z < Z ] * P value = Pr( Z < Z * Pr( Z < Z χ Z * = 0 ˆ 雙 尾 檢 定 : H 上 尾 檢 定 : H 下 尾 檢 定 : H ( 0 0 0 : µ µ 0 : µ > µ 0 : µ < µ 0 (.63 (.64 (.65 (.66 (.67 43 Hyothei Tetig for Two Poulatio Mea 兩 母 體 平 均 數 雙 邊 檢 定 之 假 設 為 H 0 :µ = µ ;H :µ µ (.68 右 尾 檢 定 之 假 設 為 H 0 :µ = µ ;H :µ > µ (.69 左 尾 檢 定 之 假 設 為 H 0 :µ = µ ;H :µ < µ (.70 兩 母 體 變 異 數 雙 邊 檢 定 之 假 設 為 H 0 : = ;H : (.7 * 計 算 樣 本 標 準 差 與, 則 F 檢 定 統 計 量 之 值 為 F = / 兩 母 體 比 例 (.73 雙 邊 檢 定 之 假 設 為 H 0 : = ;H : 計 算 檢 定 統 計 量 之 值 * ˆ ˆ ( Z = ( + (.74 (.75 44

.6 Aalyi of Variace 變 異 數 分 析 ANOVA 為 ANalyi Of VAriace 之 縮 寫, 其 目 的 是 用 來 檢 定 三 個 或 三 個 以 上 母 體 平 均 數 是 否 相 等 的 假 設 變 異 數 分 析 這 個 名 詞 似 乎 並 不 恰 當, 因 為 我 們 要 檢 定 的 是 母 體 平 均 數 而 非 變 異 數, 然 而 事 實 上, 變 異 數 分 析 的 檢 定 過 程 是 根 據 樣 本 資 料 的 變 異 分 析 為 基 礎 的 使 用 變 異 數 分 析 檢 定 多 個 (a 個 母 體 平 均 數 差 異 時, 其 假 設 如 下 H 0 H : µ = µ = L = µ a : 母 體 平 均 數 並 不 全 相 等 (.76 45.6. Variatio 變 異 數 分 析 將 總 變 異 (total variatio 區 分 為 : 組 間 變 異 (betwee variatio 組 內 變 異 (withi variatio 總 變 異 = 組 間 變 異 + 組 內 變 異 總 平 方 和 = 因 子 平 方 和 + 誤 差 平 方 和 SST = SSF + SSE SST = SSF = a i i= j= a i= ( x ij x i i ( xi x SSE = ( x a i= j= ij x i (.77 (.78 (.79 46 3

.6.3 Pricile of ANOVA 因 子 變 異 (betwee variatio: 為 可 解 釋 的 變 異 隨 機 變 異 (withi variatio: 為 不 可 解 釋 之 變 異 變 異 數 分 析 的 方 法 即 是 利 用 樣 本 統 計 量 (F 來 比 較 因 子 變 異 和 隨 機 變 異 的 大 小, 以 檢 定 因 子 所 引 起 的 變 異 是 否 大 到 足 以 拒 絕 虛 無 假 設 SSF 和 SSE 會 受 樣 本 個 數 多 少 的 影 響, 因 此 必 須 進 一 步 求 平 均 變 異 將 平 方 和 除 以 其 對 應 的 自 由 度, 所 得 稱 之 為 均 方 (mea quare, 因 此 有 : SSF SSE MSF = MSE = a N a 檢 定 統 計 量 MSF F = MSE 其 中 N: 所 有 樣 本 數 a: 母 體 個 數 47 表.7 ANOVA 變 異 來 源 自 由 度 (df 平 方 和 (Sum of Square 均 方 (Mea Square F* 組 間 (betwee a- SSF 組 內 (withi N-a SSE 總 和 (total N- SST MSF =SSF / (a- MSE =SSE / (N-a SSF: um of quare due to factor SSE: um of quare due to error SST: total um of quare 48 4

補 充 篇 : 變 異 數 分 析 Referece: 書 名 : 統 計 學 : 觀 念 方 法 應 用 3/e 作 者 : 賀 力 行 林 淑 萍 蔡 明 春 出 版 : 前 程 文 化 事 業 有 限 公 司 49 名 詞 介 紹 (/3 變 異 數 分 析 是 用 來 檢 定 兩 個 以 上 平 均 數 是 否 相 等 或 某 個 變 數 是 否 受 某 些 因 子 所 影 響 之 統 計 方 法 例 如 : ( 不 同 的 行 銷 策 略 是 否 會 影 響 產 品 之 銷 售 量?( 不 同 的 行 銷 策 略, 其 產 品 之 平 均 銷 售 量 是 否 相 等? ( 不 同 的 教 育 程 度 與 不 同 的 性 別 對 工 作 滿 意 度 是 否 有 影 響?( 不 同 的 教 育 程 度 與 不 同 的 性 別 之 員 工, 其 平 均 之 工 作 滿 意 度 是 否 相 等 50 5

名 詞 介 紹 (/3 變 異 數 分 析 常 用 之 名 詞 : ( 實 驗 單 位 (exerimet uit: 實 驗 所 衡 量 的 對 象 例 如 : 產 品 員 工 為 其 實 驗 單 位 ( 因 子 (factor: 研 究 者 所 控 制 調 整 的 因 素 例 如 : 行 銷 策 略 教 育 程 度 為 其 因 子 5 名 詞 介 紹 (3/3 (3 處 理 方 法 (treatmet: 因 子 之 各 種 水 準 或 類 別 例 如 : 不 同 的 行 銷 策 略 不 同 的 教 育 程 度 不 同 的 性 別, 如 不 同 性 別 中 的 男 女 為 兩 種 不 同 的 處 理 方 法 (4 依 變 數 (deedet variable: 實 驗 單 位 對 不 同 處 理 方 法 的 反 應 變 數 例 如 : 銷 售 量 工 作 滿 意 度 為 其 依 變 數 5 6

單 因 子 變 異 數 分 析 完 全 隨 機 設 計 由 定 理 3-3 得 知, 進 行 變 異 數 分 析 需 滿 足 以 下 基 本 假 設 條 件 : ( 常 態 母 體 : 各 組 樣 本 需 取 自 於 常 態 母 體 ( 變 異 數 具 同 質 性 : 各 組 母 體 變 異 數 需 假 設 相 等 而 變 異 數 是 否 具 同 質 性, 可 利 用 樣 本 變 異 數 檢 定 之 (3 獨 立 性 : 各 組 樣 本 彼 此 獨 立 53 表 3. 單 因 子 變 異 數 分 析 表 變 異 來 源 平 方 和 自 由 度 均 方 f 0 值 處 理 方 法 隨 機 誤 差 SSB SSE k- -k MSB MSE M S B M S E 總 和 SST - 54 7

例 題 3. 某 市 場 調 查 公 司 欲 調 查 市 面 上 四 種 品 牌 之 相 同 口 味 飲 料 之 平 均 銷 售 量 是 否 相 同, 於 是 由 每 一 品 牌 隨 機 選 定 5 個 地 區 作 調 查, 得 其 每 個 地 區 一 個 月 之 銷 售 量 如 下 表 ( 單 位 : 千 箱 品 牌 A B C D 6.5 8.7 5. 9.3 5.3 9.0 7.6 5.4 8.3 9.7 6.9 8.3 7.8 6. 5.8 30.5 3. 9.9 8. 30.3 55 例 題 3.( 續 ( 請 寫 出 此 問 題 之 假 設 ( 請 寫 出 此 問 題 之 變 異 數 分 析 表 (3 請 根 據 ( 之 結 果, 以 =0.05 檢 定 此 四 種 品 牌 飲 料 之 平 均 銷 售 量 是 否 相 等 56 8

解 µ i ( 令 表 第 i 種 品 牌 銷 售 量 之 平 均 數, 則 此 問 題 之 假 設 為 H: µ = µ = µ = µ & H: µ µ µ µ 不 全 相 等 0 A B C D A B C D ( 每 種 品 牌 之 樣 本 平 均 數 X A X B X C X D 及 總 樣 本 平 均 數 如 下 : X A = (6.5 + 8.7 + 5. + 9.3 + 5.3 = 7 5 X B = (9.0 + 7.6 + 5.4 + 8.3 + 9.7 = 8 5 X X C = (6.9 + 8.3 + 7.8 + 6. + 5.3 = 7 5 57 解 X D = (30.5 + 3. + 9.9 + 8. + 30.3 = 30 5 X = (5 7+5 8+5 7+5 30 = 8 0 經 計 算 後 可 得 SST = (6.5-8 + (8.7-8 + (5. - 8 + (9.3-8 + (5.3-8 + (9.0-8 + (7.6-8 + (5.4-8 + (8.3-8 + (9.7-8 + (6.9-8 + (8.3-8 + + + (7.8-8 (6. - 8 (5.8-8 + (30.5-8 + (3. - 8 + (9.9-8 + (8. - 8 + (30.3-8 = 65.8 58 9

解 SSB = 5 (7-8 + 5 (8-8 + 5 (7-8 + 5 (30-8 = 30 SSE = SST - SSB = 65.8-30 = 35.8 SSB 之 自 由 度 為 4-=3, 因 此 SSE 之 自 由 度 為 -k = 0-4 = 6, 因 此 SSE 35.8 MSE = = =.05 - k 6 MSB 0 由 此 可 得, f 0 = = = 4.535 MSE.05 SSB 30 MSB = = = 0 k - 3 59 解 其 變 異 數 分 析 表 如 下 : 變 異 來 源 處 理 方 法 隨 機 誤 差 平 方 和 30 35.8 自 由 度 3 6 總 和 65.8 9 均 方 0.05 f 0 值 4.535 MSB (3 因 為 ~ F (3,6, 因 此 其 拒 絕 域 { f0 f0.05(3,6 } = { f0 3.39} MSE 而 檢 定 值 f 落 在 拒 絕 域 中, 因 此 拒 絕, 即 0 = 4.535 > 3.39 H0 四 種 不 同 品 牌 飲 料 之 平 均 銷 售 量 有 顯 著 地 差 異 60 30

例 題 3. 某 研 究 人 員 想 瞭 解 A B C 三 種 不 同 廠 牌 800c.c. 汽 車 之 耗 油 率, 於 是 此 研 究 人 員 蒐 集 了 資 料, 並 以 完 全 隨 機 設 計 方 式 蒐 集 資 料 並 計 算 得 到 以 下 之 變 異 數 分 析 表, 如 下 表 所 示 變 異 來 源 處 理 方 法 隨 機 誤 差 平 方 和 0 50 自 由 度 7 總 和 70 9 均 方?? f 0? 值 6 例 題 3.( 續 ( 請 完 成 此 變 異 數 分 析 表 ( 請 以 =0.05 來 檢 定 H : ( 表 第 i 種 品 牌 汽 車 平 0 µ A = µ B = µ C µ i 均 每 公 升 汽 車 可 行 駛 之 里 程 數 是 否 成 立 6 3

解 ( 因 為 所 以 SSB 0 MSB = = = 0 k - MSB 0 f0 = = = 5.4 MSE.85 SSE 50 MSE = = =.85 - k 7 因 此 其 完 整 變 異 數 分 析 表 如 下 所 示 : 變 異 來 源 處 理 方 法 隨 機 誤 差 平 方 和 0 50 自 由 度 7 總 和 70 9 均 方 0.85 f 0 值 5.4 63 3. 單 因 子 變 異 數 分 析 完 全 隨 機 設 計 (6/6 解 ( 因 為 MSB ~ F (, 7, 因 此 其 拒 絕 域 { 0 0.05 (, 7=3.35} MSE f f 而 檢 定 值 f 落 在 拒 絕 域 中, 因 此 拒 絕, 即 0 = 5.4 > 3.35 H0 三 種 品 牌 800c.c. 汽 車 之 耗 油 率 有 顯 著 地 差 異 64 3