數 學 乙 考 科 101 年 台 中 一 中 / 陳 正 明 老 師 指 考 試 題 關 鍵 解 析 前 言 今 年 是 95 暫 綱 的 最 後 一 次 指 考, 數 學 乙 的 考 題 重 視 基 本 定 義 觀 念 的 理 解, 整 份 考 題 題 目 數 不 多, 不 需 要 繁 瑣 的 計 算, 考 題 算 中 間 偏 易, 試 題 內 容 可 能 是 95 暫 綱 上 路 四 年 來 最 簡 單, 所 以, 評 估 滿 分 人 數 應 不 少, 而 且 平 均 分 數 應 該 會 比 去 年 高 針 對 今 年 數 乙 的 考 題, 以 下 提 出 一 些 個 人 的 觀 點, 請 先 進 同 仁 們 不 吝 指 教 : (1) 今 年 考 題 不 脫 離 3 顆 星 的 部 分, 下 表 是 101 年 數 學 乙 試 題 配 分 表 : 數 乙 測 驗 內 容 題 型 (3 顆 星 部 分 ) 單 選 題 多 選 題 選 填 題 非 選 題 配 分 多 項 式 1 A 一 27 指 數 與 對 數 6 C 16 排 列 組 合 3 5 14 機 率 與 統 計 ( I ) 4, 7 B 24 機 率 與 統 計 (II) 矩 陣 2 6 不 等 式 二 13 (2) 多 選 題 7 考 分 析 個 人 所 得 差 距, 可 能 呼 應 目 前 社 會 貧 富 不 均 的 現 象, 這 一 題 相 當 生 活 化, 但 語 句 敘 述 及 名 詞 容 易 誤 導 學 生 解 題, 有 些 選 項 具 有 誘 答 性, 不 是 那 麼 容 易 回 答 (3) 往 年 熱 門 的 信 賴 區 間 信 心 水 準 以 及 二 為 數 據 分 析, 今 年 沒 有 出 現, 反 而 是 往 年 少 考 的 題 材 入 題, 例 如 多 選 題 5 考 的 是 二 項 式 定 理 (4) 非 選 題 第 二 題 考 的 是 線 性 規 劃, 第 (1) 小 題 配 分 太 少, 第 (2) 小 題 配 分 太 高, 作 答 指 引 不 夠 明 確, 學 生 不 清 楚 是 否 需 畫 出 可 行 解 區 域 (5) 整 體 而 言, 今 年 數 乙 的 試 題, 具 有 鼓 勵 學 生 不 要 輕 言 放 棄 學 習 數 學, 程 度 中 等 的 學 生, 只 要 觀 念 清 晰, 臨 場 不 緊 張, 可 以 有 機 會 拿 高 分 數 學 乙 考 科 1
試 題 詳 解 與 分 析 第 壹 部 分 : 選 擇 題 ( 單 選 題 多 選 題 及 選 填 題 共 占 74 分 ) 一 單 選 題 ( 占 18 分 ) 說 明.. 第 1 題 至 第 3 題, 每 題 有 5 個 選 項, 其 中 只 有 一 個 是 正 確 或 最 適 當 的 選 項, 請 畫 記 在 答 案 卡 之 選 擇 ( 填 ) 題 答 案 區 各 題 答 對 者, 得 6 分 ; 答 錯 未 作 答 或 畫 記 多 於 一 個 選 項 者, 該 題 以 零 分 計 算 1. 已 知 實 係 數 多 項 式 方 程 式 x 3 +ax 2 +bx+8=0 的 三 根 相 同, 請 問 b 的 值 等 於 下 列 哪 一 個 選 項? (1) 6 (2) 8 (3) 10 (4) 12 (5) 14 答 案 (4) 概 念 中 心 三 次 方 程 式 根 與 係 數 關 係 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 一 冊 3-5 多 項 式 方 程 式 試 題 解 析 令 方 程 式 的 根 為 α, 由 題 意 知 x 3 +ax 2 +bx+8=( x-α) 3 =x 3-3αx 2 +3α 2 x-α 3 1 比 較 係 數 知 8=-α 3 α 3 =-8 α=-2,-2ω,-2ω 2 α 取 -2 ( 因 為 其 它 根 -2ω,-2ω 2 代 入 1 式 知 a,b 非 實 數 ) 所 以 b=3α 2 =3 ( -2 ) 2 =12, 故 選 (4) 2. 請 問 下 列 哪 一 個 選 項 中 的 矩 陣 乘 積 等 於 (1) (4) a b c d 2 3 2 0 0 3 a b c d (2) [ 2 3 ] (5) a b c d 2a 3b 2c 3d? a b c d 2 0 0 3 答 案 (5) 概 念 中 心 矩 陣 的 乘 法 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I) 2-2 矩 陣 的 乘 法 及 其 意 義 試 題 解 析 (1) : a b c d 2 3 = 2a+3b 2c+3d a b (2) :[ 2 3 ] c d =[ 2a+3c 2b+3d ] (3) : 2 3 2 3 a b c d = 2a+3c 2b+3d 2a+3c 2b+3d (4) : 2 0 0 3 a b c d = 2a 2b 3c 3d (5) : a b c d 2 0 0 3 = 2a 3b 2c 3d 故 選 (5) (3) 2 3 2 3 a b c d 2 101 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
3. 一 乒 乓 球 隊 有 6 位 選 手, 其 中 甲 乙 丙 為 右 手 持 拍 的 選 手, 丁 戊 為 左 手 持 拍 的 選 手, 而 己 為 左 右 手 皆 可 持 拍 的 選 手 現 在 要 派 出 兩 名 選 手 參 加 雙 打, 規 定 由 一 名 可 以 右 手 持 拍 的 選 手 與 一 名 可 以 左 手 持 拍 的 選 手 搭 配 請 問 共 有 多 少 種 可 能 的 搭 配? (1) 7 (2) 9 (3) 11 (4) 13 (5) 15 答 案 (3) 概 念 中 心 簡 單 組 合 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 2-4 組 合 試 題 解 析 搭 配 方 式 : 甲 乙 丙 配 丁 戊 :C 3 1C 2 1=6 甲 乙 丙 配 己 :C 3 1C 1 1=3 丁 戊 配 己 :C 2 1C 1 1=2 共 有 11 種, 故 選 (3) 二 多 選 題 ( 占 32 分 ) 說 明.. 第 4 題 至 第 7 題, 每 題 有 4 個 選 項, 其 中 至 少 有 一 個 是 正 確 的 選 項, 請 將 正 確 選 項 畫 記 在 答 案 卡 之 選 擇 ( 填 ) 題 答 案 區 各 題 之 選 項 獨 立 判 定, 所 有 選 項 均 答 對 者, 得 8 分 ; 答 錯 1 個 選 項 者, 得 4 分 ; 答 錯 多 於 1 個 選 項 或 所 有 選 項 均 未 作 答 者, 該 題 以 零 分 計 算 4. 某 個 城 市 的 普 查 ( 全 面 調 查 ) 發 現 60% 的 高 中 生 有 打 工 的 經 驗, 也 發 現 70% 的 高 中 生 有 意 願 就 讀 大 學 如 果 使 用 簡 單 隨 機 抽 樣, 由 該 城 市 的 高 中 生 中 抽 出 一 位 同 學 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) 被 抽 出 同 學 有 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 為 0.7 (2) 被 抽 出 同 學 有 打 工 的 經 驗 且 有 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 至 多 為 0.6 (3) 被 抽 出 同 學 有 打 工 的 經 驗 且 有 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 至 少 為 0.35 (4) 被 抽 出 同 學 有 打 工 的 經 驗 但 是 無 意 願 就 讀 大 學 的 機 率 為 0.18 答 案 (1)(2) 概 念 中 心 機 率 的 性 質 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3-2 機 率 的 性 質 試 題 解 析 設 A 表 示 高 中 生 有 打 工 經 驗 的 事 件, B 表 示 高 中 生 有 意 願 就 讀 大 學 的 事 件 由 題 意 知 P ( A )=0.6,P ( B )=0.7 (1) :P ( B )=0.7 (2) :P ( A B ) P ( A ) 且 P ( A B ) P ( B ), 可 知 P ( A B ) 至 多 0.6 (3) : P ( A B )=P ( A )+P ( B )-P ( A B ) P ( A B )=P ( A )+P ( B )-P ( A B ) 0.6+0.7-1=0.3 ( P ( A B ) 1 ) (4) :P ( A B )=P ( A )-P ( A B ), 因 題 目 未 告 知 P ( A B ) 值, 故 無 法 得 知 故 選 (1)(2) 數 學 乙 考 科 3
5. 將 ( x 2 +y ) 12 展 開 集 項 後, 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) x 24 的 係 數 小 於 x 10 y 7 的 係 數 (2) x 12 y 6 的 係 數 小 於 x 10 y 7 的 係 數 (3) x 14 y 5 的 係 數 小 於 x 10 y 7 的 係 數 (4) x 8 y 8 的 係 數 小 於 x 10 y 7 的 係 數 答 案 (1)(4) 概 念 中 心 二 項 式 定 理 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 2-5 二 項 式 定 理 試 題 解 析 ( x 2 +y ) 12 12 = C 12 k ( x 2 ) 12-k y k, k=0 其 中 x 10 y 7 的 係 數 為 C 12 7,x 24 的 係 數 為 C 12 0, x 12 y 6 的 係 數 為 C 12 6,x 14 y 5 的 係 數 為 C 12 5, x 8 y 8 的 係 數 為 C 12 8 又 C 12 0 =1,C 12 7 =792=C 12 5,C 12 6 =924,C 12 8 =495 只 有 (1)(4) 正 確, 故 選 (1)(4) 6. 設 0<x<1 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) x 2 < x <x (2) log 10 ( x 2 )<log 10 x<log 10 x (3) log 2 ( x 2 )<log 10 ( x 2 )<log 2 x (4) log 10 ( x 2 )<log 2 x <log 10 x 答 案 (2)(4) 概 念 中 心 對 數 的 大 小 性 質 的 應 用 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 二 冊 1-3 對 數 1-4 對 數 函 數 及 其 圖 形 試 題 解 析 (1) : x -x= x ( 1- x )>0 ( 0< x <1 ) x-x 2 =x ( 1-x )>0 ( 0<x<1 ) 可 知 x 2 <x< x (2) : x 2 <x< x log 10 ( x 2 )<log 10 x<log 10 x (3) : log 2 x=log 2 2 x 2 =log 4 ( x 2 ) 又 0<x 2 <1 log 2 ( x 2 )<log 4 ( x 2 )<log 10 ( x 2 ) 即 log 2 ( x 2 )<log 2 x<log 10 ( x 2 ) (4) : log 2 x =log 4 x=log 16 ( x 2 );log 10 x=log 100 ( x 2 ) 又 0<x 2 <1 log 10 ( x 2 )<log 16 ( x 2 )<log 100 ( x 2 ) 即 log 10 ( x 2 )<log 2 故 選 (2)(4) x <log 10 x 4 101 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
7. 所 謂 個 人 稅 前 所 得, 是 指 納 稅 義 務 人 在 納 稅 前 之 個 人 所 得, 以 下 簡 稱 所 得 依 照 某 國 1997 年 的 官 方 資 料, 依 每 人 所 得 高 低 將 人 數 等 分 為 5 組, 最 高 20% 的 人 的 總 所 得 占 全 體 總 所 得 的 44.6%, 而 最 低 20% 的 人 的 總 所 得 占 全 體 總 所 得 的 3.6%, 所 有 資 料 如 下 圖 所 示 所 得 差 距 倍 數 是 指 最 高 20% 的 個 人 平 均 所 得 與 最 低 20% 的 個 人 平 均 所 得 的 比 值 請 選 出 正 確 的 選 項 (1) 此 項 資 料 顯 示 所 得 差 距 倍 數 超 過 13 倍 (2) 最 高 30% 的 人 的 總 所 得 超 過 全 體 總 所 得 的 55% (3) 最 少 有 60% 的 人, 其 個 人 所 得 低 於 全 體 平 均 所 得 (4) 最 低 20% 的 人 的 平 均 所 得 為 全 體 平 均 所 得 的 3.6% 答 案 (2) 概 念 中 心 統 計 圖 表 分 析 一 維 數 據 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3-5 分 析 一 維 數 據 試 題 解 析 設 全 體 總 所 得 為 T, 全 體 總 人 數 為 T 44.6% (1) : 最 高 20% 的 個 人 平 均 所 得 為 0.2 T 3.6% 最 低 20% 的 個 人 平 均 所 得 為 0.2 2.23 T 所 得 差 距 倍 數 = 0.18 T (2) :T 44.6%+T 28% 1 (3) : 全 體 平 均 所 得 為 (4) : 故 選 (2) =2.23 T =0.18 T = 2.23 0.18 ~12.38<13 2 =T 58.6%>T 55% T ;5 組 的 個 人 平 均 所 得 由 低 至 高 分 別 為 0.18 T,0.445 T,0.745 T,1.4 T,2.23 T ; 有 可 能 第 三 20% 中, 一 些 人 個 人 所 得 大 於 T, 使 得 平 均 所 得 為 0.745 T 0.18 T T =0.18=18% T, 但 絕 大 多 數 人 個 人 所 得 小 於 數 學 乙 考 科 5
三 選 填 題 ( 占 24 分 ) 說 明..1. 第 A 至 C 題, 將 答 案 畫 記 在 答 案 卡 之 選 擇 ( 填 ) 題 答 案 區 所 標 示 的 列 號 (8-14) 2. 每 題 完 全 答 對 給 8 分, 答 錯 不 倒 扣, 未 完 全 答 對 不 給 分 A. 設 a,b 均 為 正 整 數, 而 方 程 式 x 2 -ax+15=0 與 x 2 -bx+3b-1=0 有 一 共 同 根, 且 此 共 同 根 為 質 數, 則 b= 8 9 答 案 12 概 念 中 心 多 項 式 方 程 式 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 一 冊 3-5 多 項 式 方 程 式 試 題 解 析 x 2 -ax+15=0 其 中 有 一 個 根 為 質 數 ( x 2 -ax+15 )=( x-3 ) ( x-5 )=0 x=3 或 5 若 x=3 代 入 x 2 -bx+3b-1=0 9-3b+3b-1 0, 不 合 若 x=5 代 入 x 2 -bx+3b-1=0 25-5b+3b-1=0 24=2b,b=12 B. 一 顆 特 別 的 骰 子, 其 六 個 面 中 有 兩 面 為 2 點 兩 面 為 4 點 其 餘 兩 面 為 5 點 假 設 投 擲 這 顆 骰 子 每 面 出 現 的 機 率 都 相 等 擲 這 顆 骰 子 兩 次, 所 得 點 數 和 的 數 學 期 望 值 為 10 11 ( 化 為 最 簡 根 式 ) 12 答 案 22 3 概 念 中 心 期 望 值 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 四 冊 3-3 數 學 期 望 值 試 題 解 析 擲 一 次, 所 得 點 數 的 期 望 值 =2 1 6 +2 1 6 +4 1 6 +4 1 6 +5 1 6 +5 1 6 = 22 6 擲 二 次, 所 得 點 數 和 的 期 望 值 = 22 6 2= 22 3 C. 觀 察 2 的 次 方 所 形 成 的 等 比 數 列 :2, 2 2, 2 3,2 4,, 設 其 中 出 現 的 第 一 個 13 位 數 為 2 n, 則 n= ( 13 14 註 :log 10 2~0.3010 ) 答 案 40 概 念 中 心 首 數 與 尾 數 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 二 冊 1-5 查 表 內 插 法 試 題 解 析 若 出 現 13 位 數 為 2 n, 則 log 2 n =12+α,0 α<1 即 12 log 2 n <13 12 n log 2<13 12 0.3010 所 以 n=40 n< 13 0.3010 12 log 2 n< 13 log 2 39.8 n<43.1 n=40,41,42,43 6 101 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析
第 貳 部 分 : 非 選 擇 題 ( 占 26 分 ) 說 明.. 本 部 分 共 有 二 大 題, 答 案 必 須 寫 在 答 案 卷 上, 並 於 題 號 欄 標 明 大 題 號 ( 一 二 ) 與 子 題 號 ((1) (2)), 同 時 必 須 寫 出 演 算 過 程 或 理 由, 否 則 將 予 扣 分 甚 至 零 分 作 答 務 必 使 用 筆 尖 較 粗 之 黑 色 墨 水 的 筆 書 寫, 且 不 得 使 用 鉛 筆 每 一 子 題 配 分 標 於 題 末 一 設 二 次 實 係 數 多 項 式 函 數 f ( x )=ax 2 +2ax+b 在 區 間 -1 x 1 上 的 最 大 值 為 7 最 小 值 為 3 試 求 數 對 ( a, b ) 的 所 有 可 能 值 (13 分 ) 答 案 ( 1, 4 ) 或 ( -1, 6 ) 概 念 中 心 二 次 函 數 圖 形 的 特 徵 命 題 出 處 南 一 版 數 學 第 一 冊 3-4 多 項 式 函 數 試 題 解 析 f ( x )=a ( x+1 ) 2 +b-a, 且 -1 x 1 (1) a=0 時,f ( x )=b 非 二 次 函 數 ( 不 合 ) (2) a>0 時 :f ( x ) 開 口 向 上, 頂 點 ( -1, b-a ) 最 大 值 =f ( 1 )=3a+b=7, 最 小 值 =f ( -1 )=b-a=3 ( a, b )=( 1, 4 ) (3) a<0 時 :f ( x ) 開 口 向 下, 頂 點 ( -1, b-a ) 最 大 值 =f ( -1 )=b-a=7, 最 小 值 =f ( 1 )=3a+b=3 ( a, b )=( -1, 6 ) 數 學 乙 考 科 7
二 某 公 司 生 產 兩 種 商 品, 均 以 同 型 的 箱 子 裝 運, 其 中 甲 商 品 每 箱 重 20 公 斤, 乙 商 品 每 箱 重 10 公 斤 公 司 出 貨 時, 每 趟 貨 車 最 多 能 運 送 100 箱, 最 大 載 重 為 1600 公 斤 設 甲 商 品 每 箱 的 利 潤 為 1200 元, 乙 商 品 每 箱 的 利 潤 為 1000 元 (1) 設 公 司 調 配 運 送 時, 每 趟 貨 車 裏 的 甲 商 品 為 x 箱, 乙 商 品 為 y 箱 試 列 出 x,y 必 須 滿 足 的 聯 立 不 等 式 (2 分 ) (2) 當 x,y 的 值 各 為 多 少 時, 可 使 每 趟 貨 車 出 貨 所 能 獲 得 的 利 潤 為 最 大? 此 時 利 潤 為 多 少 元?(11 分 ) 答 案 (1) x 0 y 0 概 念 中 心 線 性 規 畫 x+y 100 2x+y 160 且 x,y ;(2) x=60,y=40 時 利 潤 最 大, 為 112000 元 命 題 出 處 南 一 版 選 修 數 學 (I)3-3 線 性 規 畫 x 0 y 0 x 0 y 0 試 題 解 析 (1) x+y 100 且 x,y x+y 100 且 x,y 20x+10y 1600 2x+y 160 (2) 目 標 函 數 : 利 潤 f ( x, y )=1200x+1000y 可 行 解 範 圍 : ( x, y ) f ( x, y ) ( 0, 0 ) 0 ( 80, 0 ) 96000 ( 0, 100 ) 100000 ( 60, 40 ) 112000 當 x=60,y=40 時 利 潤 最 大, 為 112000 元 結 論 從 100 及 101 指 考 的 考 題 看 來, 這 兩 年 的 題 目 平 易 近 人, 朝 中 間 偏 易 的 方 向 命 題, 代 表 把 基 本 觀 念 弄 懂 認 真 做 題 目 的 同 學 就 有 可 能 拿 高 分, 同 學 們 應 朝 向 基 本 觀 念 多 加 強 閱 讀 解 題 能 力 再 提 升 計 算 更 精 確 的 目 標 邁 進 明 年 指 考 命 題 將 以 99 課 綱 加 以 命 題,99 課 綱 內 容 部 分 和 95 課 綱 有 諸 多 差 異, 以 近 幾 年 的 大 考 趨 勢, 主 要 仍 在 測 驗 學 生 觀 念 理 解 而 非 複 雜 計 算, 考 生 準 備 方 向 應 該 掌 握 各 單 元 的 重 要 觀 念 定 理 定 義 的 理 解 圖 形 的 意 涵 以 及 思 考 能 力 的 練 習, 以 增 加 解 題 的 靈 活 度 8 101 年 指 考 試 題 關 鍵 解 析