第章排列組合 4. 某校教務處有 0 人, 學務處有 8 人, 總務處有人, 今欲由各處各選出人組成委員會, 有多少種組成方法? 分成三個步驟完成 : 第一步 : 由教務處任選一人, 方法有

第章排列組合排列組合 - 乘法原理與樹狀圖. 中華職棒聯盟總冠軍賽中, 由 A B 兩隊爭霸, 約定先勝三場者為冠軍, 今已比賽一場, 結果是 A 隊勝出 () 利用樹狀圖描述往後比賽所有的情形 () 往後比賽的局數與結果, 共有多少種可能的情形? () () 由上圖可知, 共有 0 種可能的情形. 龍鳳百貨公司出售兩種品牌香水, 其中青春牌有 5 種不同的香味, 美麗牌有 6 種不同的香味, 阿玲欲在該公司購買一瓶香水, 試問有多少種選購方法? 依據加法原理, 選購方法共有 5 + 6 = ( 種 ). 如右的街道圖中, 由 A 到 B 的捷徑走法 ( 即只許向右向上走 ) 有多少種? 如圖所示 : 依據加法原理可得走法有 9 種

第章排列組合 4. 某校教務處有 0 人, 學務處有 8 人, 總務處有人, 今欲由各處各選出人組成委員會, 有多少種組成方法? 分成三個步驟完成 : 第一步 : 由教務處任選一人, 方法有 0 種 ; 第二步 : 由學務處任選一人, 方法有 8 種 ; 第三步 : 由總務處任選一人, 方法有種, 依據乘法原理得組成方法有 0 8 = 960 ( 種 ) 5. 用四種顏色塗右圖小丑面具中的七個區域, 每個區域恰塗一種顏色, 但相鄰區域不得同色, 試問有幾種塗法? 如圖, 我們依序塗 A B C D E F G 七個區域, 方法有 4 = 6 ( 種 ) 6. 如下的街道圖中, 若規定每一街道必須經過一次且只能經過一次, 則由 A 到 B 的走法有多少種? 依據乘法原理知, 由 A 到 B 的方法有 = 6( 種 )

7. 試求 00 的正因數個數將 00 做質因數分解得 00 = 5, 即的指數有 ( + ) 種取法, 5 的指數有 ( + ) 種取法, 依據乘法原理得 00 的正因數個數共有 ( + )( + ) = ( 個 ) 第章排列組合 8. 甲乙兩人分別從到 9 的正整數中任選一個數, 若兩人可選相同的數, 試問兩數相加是偶數的情形有多少種? 兩數相加是偶數的情形有兩個類別 : 第一類 : 兩數均為偶數時, 方法有 4 4 = 6 ( 種 ) 第二類 : 兩數均為奇數時, 方法有 5 5 = 5 ( 種 ) 故得相加為偶數的情形有 6 + 5 = 4( 種 )

4 第章排列組合 9. 龍龍鞋店為與同業進行促銷戰, 推出第二雙不用錢買一送一的活動該鞋店共有八款鞋可供選擇, 其價格如下 : 款式甲乙丙丁戊己庚辛價格 670 670 700 700 700 800 800 800 規定所送的鞋之價格一定少於所買的價格 ( 例如 : 買一雙丁款鞋, 可送甲乙兩款鞋之一 ) 若有一位龍龍鞋店的顧客買一送一, 則該顧客所帶走的兩雙鞋, 其搭配方法一共有多少種? 可分二個類別完成 : 第一類 : 買丙丁戊三款鞋, 分別可送甲乙兩款鞋, 得搭配方法有 = 6( 種 ) 第二類 : 買己庚辛三款鞋, 分別可送甲乙丙丁戊五款鞋, 得搭配方法有 5 = 5( 種 ) 依據加法原理, 其搭配方法共有 6 + 5 = ( 種 ) 0. 試問方程式 x+ y+ 5z = 0 的正整數解有多少組? ( 提示 : 討論 z =,, 三種類別, 當 z = 時, x+ y = 5; 當 z = 時, x+ y = 0 ; 當 z = 時, x+ y = 5) 當 z = 時, x+ y = 5, 得 ( xy, ) = (,) ( 9, ) ( 6, ) ( ) 當 z = 時, x+ y = 0, 得 ( xy, ) = ( 7,) ( 4, ) ( ) 當 z = 時, x+ y = 5,, 有組解 ;, 4 有 4 組解 ; 得 ( xy, ) = (,) 有組解, 依據加法原理, 共有 4+ + = 8組解

第章排列組合 5 - 排列排列組合. 試求下列各式中的自然數 n : () 0! 8! = n 8! () n! = 40! ( n ), n > () 0! 8! = 0 9 8! 8! 得 n = 89 = ( 90 ) 8! = 89 8!, ( )( ) ( ) n n n! () 原式化為 = 40, n! 即 n( n ) = 40, 整理得 ( n )( n ) 故 n = 6 或 5 ( 不合 ) 6 + 5 = 0, n+ n. 若 P4 = 0 P, 試求自然數 n 之值原式展開得 ( n+ ) n ( n ) ( n ) = 0 ( n ) ( n ), 整理得 n + n 0 = 0, 分解得 ( n 5)( n+ 6) = 0, 故 n = 5或 n = 6( 不合 ). 導師欲從班上成績前十名的 0 位同學中, 選出位分別擔任班長副班長及風紀股長, 則選法有多少種? 即為 0 人取人的排列數 0 P = 0 9 8 = 70 ( 種 )

6 第章排列組合 4. 將甲乙丙等七人, 排成一列, 若 () 任意排, () 甲一定排首位, 乙不排末位, () 甲乙不相鄰, 試問排法各有幾種? () 自七人中全取的排列數有 7! = 5040 ( 種 ) () 甲排首位, 乙不排末位 = ( 甲排首位 ) ( 甲排首位且乙排末位 ) = 6! 5! = 70 0 = 600 ( 種 ) () 先排丙丁等五人, 方法有 5! 種, 再將甲乙二人插入五人前後共 6 個間隔中, 方法有 P 種, 故甲乙不相鄰之排法有 5! P = 0 0 = 600 ( 種 ) 6 6 5. 用 0 4 5 6 7 8 9 十個數字排成三位數, 且數字不重複, 試問 : () 共有多少種排法? () 其中奇數有多少個? () 因為首位不能排 0, 須先排, 方法為自,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 九個數字中任選其一, 有 P 種, 其次自剩下的九個數字中任選二個排在剩下的二個位置, 方法有 9 9 故得排法有 P P = 9 9 8 = 648 ( 種 ) () 因為個位必排奇數, 故先排, 方法為自,,5,7,9 五個數中任選其一, 有 P 種, 次排首位, 因為 0 不得排首位, 所以方法有 8 再排第二位, 方法有 P 種, 故奇數個數有 5 8 8 P P P = 5 8 8 = 0 ( 個 ) 5 8 P 種, 9 9 P 種,

6. 將 banana 中的六個字母全取作直線排列, 若 () 任意排列, () 三個 a 字必相鄰, 試問排法各有幾種? 第章排列組合 7 () 有六個字母, 其中有三個 a 二個 n, 故全取之排列數為 6! 60!! = ( 種 ) () 三個 a 視為一單位, 與其他三個字母合成 4 個單位, 其中有二個 n, 4! 故排法有! = ( 種 ) 7. 如右圖, 棋盤形的街道, 南北向有 8 條街, 東西向有 5 條街, 試問由 A 走到 B 的捷徑中 () 任意的走法, () 必經過 P 點的走法, 各有多少種? () 每一個由 A 到 B 的捷徑是由七個右四個上排列而成, 故走法有 ( 7+ 4! ) = 0 ( 種 ) 7!4! () 必經過 P 點的走法 = ( 由 A 走到 P ) ( 由 P 走到 B ) ( +! ) ( 4+! ) =!! 4!! = 50 ( 種 )

8 第章排列組合 8. 設 A B C D E F 六位小朋友排成一列縱隊郊遊, 其中因為 A 的年紀較小, 不敢排在首尾兩個位置, 則排法有幾種? ( 提示 : 所求排列數 = ( 任意排列數 ) ( A 排首之排列數 ) ( A 排尾之排列數 ) ) 所求排列數 = 6! 5! 5! = 480 ( 種 ) 9. 某地共有 9 個電視頻道, 將其分配給個新聞臺 4 個綜藝臺個體育臺, 共三種類型, 若同類型電視臺的頻道要相鄰, 則頻道分配方式共有幾種? ( 提示 : 將個新聞臺 4 個綜藝臺個體育臺, 分別各視為個單位, 共個單位作直線排列, 方法有! 種次將新聞臺綜藝臺體育臺分別排列, 再由乘法原理, 可得所有分配方式 ) 分配方式 =!! 4!! = 78 ( 種 )

第章排列組合 9 - 重複排列排列組合. 一個多重選擇題, 有 A B C D E 五個選項, 其中至少有一個選項是對的, 試問其作答方法有多少種? 五個選項中, 每一個選項可分選與不選種選法, 5 故至少選一個的方法有 = ( 種 ). 由 0,,,, 4, 5 六個數字中任取三個數, 組成個數字的號碼鎖, 數字可重複, 試問有多少種可能的號碼鎖? 討論每個位置的排法 : 每個位置均有 6 種方法, 故共有 6 6 6 = 6 種可能的號碼鎖. 將本不同的書全部分給甲乙丙丁四人, 若 () 任意給 ( 每人可能分到多本, 也可能本都沒分到 ), () 甲至少得一本, 試問分法各有幾種? () 每本書可分給甲乙丙丁任一人, 分法有 4 種, 故本書的分法有 4 = 64 ( 種 ) () 若甲未得, 則每本書的分法有種, 故本書的分法有 = 7 ( 種 ), 甲至少得一本的分法 = ( 任意分法 ) ( 甲未得的分法 ) = 4 = 7 ( 種 )

0 第章排列組合 4. 假設在招呼站有三輛計程車, 每輛至多可搭乘 4 位客人, 現招呼站來了 5 位要搭乘計程車的旅客, 試問共有幾種不同的載客方式? 5 5 人任意搭乘三輛計程車的方法有 = 4種, 5 人搭同一輛車的方法有種, 故所求方法數共有 4 = 40 種 * 5. 自 8 人中任選 6 人排成一個圓圈, 試問排法共有幾種? 即 8 人中任取 6 人之環狀排列數有 8 P 6 8 7 6 5 4 = = 60 ( 種 ) 6 6 * 6. 一家七口圍圓桌而坐, 若父母二人不相鄰, 試問共有多少種坐法? 五位子女先排, 方法有 ( 5 )! = 4! ( 種 ), 5 再將父母兩人插入 5 個間隔中, 方法有 P 種, 5 故父母不相鄰的坐法有 4! P = 480( 種 )

第章排列組合 -4 組合排列組合 00 00 00 00. 求 C + C + C + C 之值 0 99 00 原式 = C + C + C + C 00 00 00 00 0 0 = + 00 + 00 + = 0. 若 P = 0 C, 試求自然數 n 之值 n+ n+ 5 4 原式化為 ( n+ ) ( n+ ) n ( n ) ( n ) ( n+ ) ( n+ ) n ( n ) = 0 4 整理得 n = 5, 即 n = 7, n,. 若 m 為自然數且 C 0 0 m C m 6 0 0 0 m C m 6 =, 試求 C 之值 0 0 由 C m = C m 6, 得 C =, 即 0 m= m 6, 故 m = 8, 0 9 所以 C m = C 8 = C 4 = = 495 4 m

第章排列組合 4. 因乾旱水源不足, 自來水公司計畫在下週一至週日的 7 天中選擇天停止供水, 試問自來水公司有多少種選擇方式? 即自 7 天中任選天的組合數為 C 7 7 6 = = ( 種 ) 5. 自班上 0 位數學高手中, 任選 4 位參加龍鳳盃數學競試, 試問選法有多少種? 即自 0 位中任選 4 位的組合數為 C 0 4 0 9 8 7 = = 0 ( 種 ) 4 6. 有一籃球隊, 其隊員中有 6 個白人 5 個黑人, 每次選 5 人上場 ( 假設位均是全能球員 ), 試求下列組合各有多少種? () 任意選 () 個白人個黑人 () 特定二人必入選 () 即人中任選 5 人之組合數為 C 5 = 46 ( 種 ) () 自 6 白人中選白人, 方法有 C 種, 自 5 黑人中選黑人, 方法有 C 種, 6 5 故白人黑人之選法有 C C = 0 0 = 00 ( 種 ) () 特定二人必入選, 方法只有種, 再自剩下的 9 人中任選人, 方法有 C = ( 種 ) 6 5 9 84

第章排列組合 7. 平面上有 n 個相異點, 其中任意三點不共線, 今將任二點連成一線, 共得 05 條, 求 n 值 n 因為相異 n 點可決定直線 C 條, n 所以 C = 05, ( ) n n 即整理得 n = 05, n 0 = 0, 分解得 ( n )( n ) 5 + 4 = 0, 故 n = 5或 n = 4( 不合 ) 8. 求凸九邊形的對角線共有多少條? ( 提示 : 凸九邊形的 9 個頂點所決定的線段 9 個邊 ) ( 凸九邊形的 9 個頂點所決定的線段 ) ( 9 個邊 ) 9 = C 9 = 6 9 = 7 ( 條 ) 5 6 7 8 9 0 m 9. 設 m n 為自然數且 n 5, 若 C 0 + C + C + C + C 4 + C 5 = C n, 求 m n 之 5 6 6 6 7 值 ( 提示 : 利用巴斯卡定理 : 得 C + C = C + C = C, 依此類推 ) 因為 C = C, 5 6 0 0 = C + C + C + C + C + C 所以原式 ( ) ( ) ( ) ( ) 6 6 7 8 9 0 0 4 5 = C + C + C + C + C 7 7 8 9 0 4 5 = C + C + C + C 8 8 9 0 4 5 = C + C + C 9 9 0 4 5 = C + C 0 0 4 5 = C 5, 故 m =, n = 5 0 0

4 第章排列組合 -5 重複組合排列組合. 試求方程式 x+ y+ z = 之 () 非負整數解 () 正整數解有多少組? () 其非負整數解組數為 + 4 4 4 C = C = C = = 9( 組 ) () 因為 x, y, z, 所以令 x = x 0, y = y 0, z = z 0, 則 x+ y+ z = 的正整數解組數, 相當於 x + y + z = 9 的非負整數解組數, 故為 + C = C = C = ( 組 ) 9 9 9 55. 將 6 張相同的優待券全部分給甲乙丙丁四人, 試問下列分法各有幾種? () 每人可兼得 () 每人至少得一張 () 設甲乙丙丁分別得 x y z u 張, 則 x+ y+ z+ u = 6 且 x 0, y 0, z 0, u 0, 即求其非負整數解組數為 + C = C = C = ( 組 ), 6 4 9 9 6 6 84 故分法有 84 種 () 第一步 : 先分給每人一張, 分法只有種, 第二步 : 將剩下的張, 任意分給 4 人, 分法為 x+ y+ z+ u = 的非負整數解組數 : C 4 5 C 0 + = = ( 組 ), 由乘法原理得每人至少得一張的分法有 0 = 0 ( 種 )

第章排列組合 5. 龍龍冰店每天準備 8 種不同配料供客人選擇, 若每碗剉冰可以任選 4 種配料, 每種配料可以重複選取, 則一碗剉冰的配料, 有多少種不同可能的情形? 相當於 8 類不同物品, 每次取 4 件的重複組合數, 故有 4+ 8 C 4 = C 4 = 0 ( 種 ) 4. 由相異的 6 本書中, 至少取一本來閱讀, 試問其方法有幾種? 每一本均可分取與不取兩種, 故至少取一本的方法有 6 = 6( 種 ) 5. 設有相同蘋果個梨子個西瓜 4 個, 現由你任意取, 試問你至少取一個的方法有幾種? 至少取一個的方法有 ( + )( + )( 4+ ) = 59( 種 ) 6. 設候選人位, 選舉人 6 位, 若每人限投一票且無廢票, 試問下列開票結果, 人得票的情形各有多少種? () 採記名投票 () 採無記名投票 ( 提示 :() 採記名投票 : 須考慮次序, 故為重複排列問題 () 採無記名投票 : 不須考慮次序, 故為重複組合問題 ) () 因為每位選舉人均有種投法, 6 所以 6 位選舉人投票給位候選人的情形有 = 79 ( 種 ) () 設位候選人所得票數分別為 x x x, 則 x+ x + x = 6 且 x 0 x 0 x 0, 即其非負整數解組數為 6 C + 6 = 8 ( 組 ), 故有 8 種

6 第章排列組合 * -6 二項式定理排列組合. 請利用二項式定理, 寫出 ( x + ) 4 之展開式 ( ) 4 4 4 4 4 4 4 4 x+ = C x + C x + C x + C x + C 0 4 4 = x + 8x + 4x + x+ 6. 試問 ( ) 0 x y 依 x 的降冪展開式中 () 共有多少項? () 第四項為何? () 共 0 + = ( 項 ) () 第四項為 ( ) 0 0 7 C x y = 0xy. 設 n 為自然數, 若 ( ) n 係數相等, 則 n 之值為何? 由已知得 C = C n = 9 + 9 = 8 n n 9 9 x+ y 依 x 的降冪展開式中, 第 0 項的係數與第 0 項的 4. 試求 x x 展開式中的中間項 x 展開式共有項, x 所以其中間項為第 7 項, 6 6 6 故中間項為 6 ( ) C x = 94x x

第章排列組合 7 5. 試求 x 因為 x x x 0 0 展開式中的常數項展開式中一般項為 0 ( ) 0 k C k x x 所以令 0 5k = 0, 得 k = 6, 0 4 故其常數項為 ( ) 6 k ( ) = C k x, 0 0 k 0 5k k C 6 = 60 0 0 0 0 6. 求 C + C + C + + C0 之值原式 0 0 0 0 = C + C + C + C + + C C 0 0 = = 04 = 0 0 0 0 0 0 7. 試求展開後的百位數字 ( ) 0 = + 0 0 = C + C 0 + C 0 + + 0 0 0 0 = + 00 + 4500 + + 0 0, 故得百位數字為 6 0 0 C 0 0

8 第章排列組合自我評量排列組合 ( A ). 龍鳳麵包店出售三種蛋糕, 其中幸福牌有種口味, 美滿牌有 4 種口味, 青春牌有 5 種口味, 阿玲欲在該店選購一個蛋糕, 試問有多少種選購方法? (A) (B) 5 (C) 0 (D) 60 - ( B ). 有一個地區街道線段如圖所示, 現在甲君擬從點 S 走到點 T ; 如果規定甲君必須沿著街道向東或向南行走, 試問會有多少種不同路線走法? (A) 44 (B) 5 (C) 74 (D) 95 - ( A ). 由山腳到山頂有 4 條路可通, 每條路可走人, 今甲乙兩人選擇不同路上山, 試問他們上山的走法有多少種? (A) (B) 6 (C) 9 (D) 56 - ( C ) 4. 三位數中, 十位數字是 7 且個位數字是偶數, 這樣的三位數共有多少個? (A) 6 (B) 40 (C) 45 (D) 50 - ( B ) 5. 將 A B C D E F 六個字母排成一列, 規定 A B 須相鄰,C D 不得相鄰的排列數有多少種? (A) 0 (B) 44 (C) 56 (D) 40 - ( C ) 6. 將 pallmall 一字中之 8 個字母全取排列, 試問將 m 排在首位的方法有幾種? (A) 60 (B) 90 (C) 05 (D) 0 - ( C ) 7. 如右圖, 一棋盤式街道有直街 6 條橫街 5 條, 試問由 A 到 B 的捷徑中, 不經過 C 點的走法有幾種? (A) 6 (B) 96 (C) 66 (D) 60 ( A ) 8. 用 7 種不同顏色塗在右圖甲乙丙丁戊等五個區域中, 若規定顏色不重複使用且每一區域只能塗滿一種顏色, 試問共可塗出幾種不同的著色樣式? (A) P (B) C 5 (C) H (D) 7 ( 提示 : H 7 = C 5+ 7 ) - 7 5 5 5 7 5 7 5 -

第章排列組合 9 ( D ) 9. 渡船三艘, 每船最多可載 5 人, 現有 6 人欲安全渡過, 試問有幾種安排方式? (A) 8 (B) 5 (C) 4 (D) 76 - ( C ) 0. 有 5 件不同的獎品分給甲乙丙丁四位小朋友, 若甲至少得一件, 其方法有多少種? (A) 0 (B) 69 (C) 78 (D) 560 - *( C ). 有 5 對夫婦圍圓桌而坐, 若規定男的坐在一起, 女的也坐在一起, 試問坐法有多少種? (A) 4! 4! (B) 4! 5! (C)5! 5! (D)9! - ( B ). 由,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9 九個數字中任取二個相異數字, 試問其積為偶數的個數有多少個? (A) 0 (B) 6 (C) 0 (D) 6-4 ( D ). 平面上 9 條直線, 若任兩線不平行且任三線不共點, 試問此九條直線可構成多少個三角形? (A) 0 (B) 40 (C) 50 (D) 84-4 ( A ) 4. 由五對夫婦中選出三人組成委員會, 試問恰為二男一女的選法有多少種? (A) 50 (B) 70 (C) 80 (D) 0-4 ( D ) 5. 某班同學共有 50 人, 要舉辦班遊, 提出三個不同地點進行無記名投票, 若每人限投一票, 不得有廢票, 試問有多少種不同的得票結果? 50 (A) P (B) 50 50 5 (C) C (D) C -5 ( D ) 6. 龍龍企業公司設有四個部門, 每個部門均有經理一人, 另有總經理一人管理全公司之業務, 年終時, 董事會發放同面額之禮券 0 張給總經理及四個部門經理, 總經理至少取得張, 其餘經理每人至少張, 試 5 5 問共有多少種發放方法? (A) P (B) C (C) 5 7 (D) C -5 ( A ) 7. 將 8 個相同的球放入 4 個相同的箱子, 每箱至少放進一球, 則其放法共有多少種? (A) 5 (B) 6 (C) 7 (D)8-5 ( C ) 8. 設 n 為自然數, 若 ( ) n a+ b 依 a 的降冪展開式中, 第項的係數與第項的係數相等, 則 n = (A) 0 (B) (C) (D) -6 ( C ) 9. 自相異的 0 本書中, 至少選一本來閱讀, 其方法有多少種? (A) 000 (B) 0 (C) 0 (D) 04-6 4 ( A ) 0. 設 a > 0, 若 ax + 之展開式中 x 項的係數為 6, 則 a 等於 (A) x (B) (C) (D) 4-6

0 第章機率機率 - 樣本空間與事件. 試用列舉法表示下列集合 : () { x x, x } () { x x x 5 = 0, x } () { x x, x } = {,, 0,, } () { x x x 5 = 0, x } = { x ( x 5)( x+ ) = 0, x } = { 5, }. 試寫出集合 S = {,,,4} 的所有子集 S 的所有子集有 { } { } { } { 4 } {, } {, } {,4 } {, } {,4 } {,4 } { } {,,4 } {,,4 } {,,4 } { }. 設 A= {, x, 5}, B {, 5, y} 若 {, x,5} {,5, y} =, 則 x =, y =,,,4, 共有 6 個 =, 若 A= B, 試求 x y 之值 4. 設 A = {,,, 4, 5}, B = {,, 4}, {, 4, 5} () A ( B C) () ( A B) C () A ( B C) = {,,, 4,5} {,, 4,5} = {,, 4,5} () ( A B) C = {,,, 4,5} {, 4,5} = {, } C =, 試求 :,,

5. 設 A = {,,5,7}, B = {, 4, 5, 6}, { 0,,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9} () A B () A B () A B {, 7} = () A B = {,,5,7} { 0,,,7,8,9} = {, 7} 第章機率 U =, 試求 : 6. 自到 00 的正整數中, 試求 : () 或 5 的倍數, () 的倍數但不是 5 的倍數, 各有多少個? () n( A A5) = n( A ) + n( A ) n( A A ) 5 5 00 00 00 = + 5 0 = 60 ( 個 ) () n( A A5) = n( A ) n( A A ) 5 00 00 = 0 = 40 ( 個 ) 7. 擲一硬幣 4 次, 依序觀察其正面或反面的結果, 試問 : () 樣本空間中的元素個數 () 出現三正一反面的事件 4 () n( S ) = = 6 { } () (,,, ),(,,, ),(,,, ),(,,, ) 正正正反正正反正正反正正反正正正

第章機率 8. 擲三粒不同的骰子一次, 觀察其出現的點數, 試問 : () 樣本空間中的元素個數 () 出現點數和為 9 的事件 () 點數和為 5 的事件 () n( S ) = 6 = 6 () { },,,,,,,,,,,,,,,,, () ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9. 小龍自,,, 4, 5 五個數字中任取兩個相異數字, 請 () 列出其樣本空間 S () 列出二數和為偶數的事件 A () 列出二數積為奇數的事件 B (4) 列出 A 與 B 的和事件 (5) 列出 A 與 B 的積事件 (6) 列出 A 的餘事件 A (7) A 與 B 是否為互斥事件 () S = {,,,,,4,,5,,,,4,,5,,4,,5,4,5} () A = {,,,5,,4,,5 } () B = {,,,5,,5 } (4) A B= {,,,5,,4,,5 } (5) A B= {,,,5,,5 } (6) A = {,,,4,,,,5,,4,4,5} (7) 因為 A B, 所以 A 與 B 不是互斥事件

第章機率 - 求機率問題機率. 同時擲四枚均勻的硬幣一次, 試求 : () 恰出現一正面的機率 () 至少出現一正面的機率設樣本空間為 S, A 表恰出現一正面的事件, B 表均為反面的事件, n A = C = 4, 4 4 則 B 表至少一正面的事件, 因為 n( S ) = = 6, ( ) 4 n( B) = C 0 =, 故 4 P A = = 6 4 () ( ) 5 = = = 6 6 () P( B ) P( B). 同時擲兩粒均勻的骰子一次, 試求 : () 點數和大於 0 的機率 () 點數和為的機率設樣本空間為 S, 點數和大於 0 之事件為 A, 則 n( S ) = 6 = 6, A = {( 5,6 ),( 6,5 ),( 6,6) } 即 n( A ) = () 點數和大於 0 的機率為 ( ) P A = = 6 () 點數和為的事件為空事件, 故其機率為 P ( ) = 0

4 第章機率. 袋中有相同的 6 白球 4 紅球, 試求 : () 任取二球, 二球同色的機率 () 任取三球, 一白球二紅球的機率 () 設樣本空間為 S, 二球同色的事件為 A, 0 6 4 則 n( S ) = C =, ( ) 45 n A = C + C =, 7 故 P( A ) = = 45 5 () 設樣本空間為 S, 一白球二紅球的事件為 B, 0 6 4 則 n( S ) = C =, n( B) C C 故 ( ) 0 6 P B = = 0 0 = =, 6 4. 自五男三女中, 任選三人組成委員會, 設每人被選到的機會均等, 試求 : () 恰為二男一女的機率 () 至少有一女生的機率設樣本空間為 S, 恰為二男一女的事件為 A, 三人中均為男生之事件為 B, 至少有一女生的事件為 B, 8 5 5 則 n( S) = C = 56, n( A) = C C =, n( B) = C = 0, 故 () ( ) 0 5 P A = = 56 8 () P( B ) P( B) 0 0 = = = 56 8

第章機率 5 5. 讀者文摘訂閱者中有 40% 閱讀財經資訊,% 閱讀文藝專欄,% 閱讀財經資訊與文藝專欄, 試求任選一位訂閱者, 其閱讀財經資訊或文藝專欄的機率為何? 設 A B 分別表示閱讀財經資訊文藝專欄的事件, 依題意知, P B =, P( A B) = %, P( A ) = 40%, ( ) % 故得其閱讀財經資訊或文藝專欄的機率為 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) = 40% + % % = 6% 6. 設 A B 為二事件, 且 P( A ) = 0.4, P( B ) = 0.7 且 P( A B) 0.9 () P( A ) () P( A B) () P( B A ) () P( A) = P( A ) = 0.4 = 0.6 () P( A B) = P( A) + P( B) P( A B) 得 0.9 = 0.6 + 0.7 P( A B) 故 P( A B) = 0.4 P( A B) () P( B A) P( A) 0.4 = = = 0.6 =, 試求 : 7. 自到 9 的自然數中任取兩個, 機會均等且數字不重複, 若其和為偶數, 試求兩者均為偶數的機率設 A 表示兩數和為偶數的事件, B 表示兩者均為偶數的事件, 4 5 4 則 n( A) = C + C =, ( ) 故 P( B A) 6 ( B) n( A) n A 6 = = = 6 8 n A B = C = 6,

6 第章機率 8. 袋中有大小相同的紅球個黑球個, 自袋中逐次取球, 每次取一球, 連續兩次, 則 () 取後不放回, 依次為紅黑的機率 () 取後放回, 依次為紅黑的機率設 A 表示第一次取到紅球的事件, B 表示第二次取到黑球的事件, 則 () P( A B) = P( A) P( B A) = = 5 4 0 () P( A B) = P( A) P( B) 6 = = 5 5 5 9. 設甲袋中有個紅球個白球, 乙袋中有個紅球個白球, 先依機會均等選一袋, 再依機會均等自所選出的袋中選一球, 試求 : () 此球為紅球的機率 () 此球為紅球的條件下, 取自甲袋的機率分別以 A B 表示球取自甲乙袋的事件, 以 R 表示取到紅球的事件, 則 P( A) = P( B) =, P( R A ) =, P( R B ) =, 5 4 () 由分割性質得 P R = P A P R A + P B P R B ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 = + = 5 4 40 () 由貝氏定理得 P( A R ) P( A R) = = 5 = P( R) 7 7 40

0. 設甲生解題能力為求 : () 兩人同時解出的機率 () 恰有一人解出的機率 () 此題被解出的機率第章機率 7 5 6, 4 乙生解題能力為 5, 現兩人同解一題, 互不影響, 試設 A 表甲解出的事件, B 表乙解出的事件, () 二人同時解出的機率為 5 4 P( A B) = P( A) P( B) = = 6 5 () 恰有一人解出的機率為 ( ) + ( ) = P( A) P( B ) + P( A ) P( B) P A B P A B 5 4 5 4 = + = 6 5 6 5 0 () 此題被解出的機率為 ( 兩人均未解出的機率 ), 即 P( A B) = P( A B ) = P( A ) P( B ) 5 4 9 = = = 6 5 0 0. 設 A B 為二獨立事件且 P( A ) =, P( A B) () P( B ) () P( B A) () 由 P( A B) = P( A) + P( B) P( A B), = +, P B = =, 6 P B = 即 P( B) P( B) 整理得 ( ) 故 ( ) () P( B A) = P( B ) = P( B) = = =, 試求 :

8 第章機率 - 數學期望值機率. 設袋中有相同的紅球個白球個, 現自袋中任取球, 若球同色, 則可得 00 元, 試求取一次的期望值 C + C 4 取球同色的機率為 P = =, 5 C 0 4 取一次的期望值 E = 00 = 40 ( 元 ) 0. 同時擲兩粒均勻的骰子一次, 試求點數和之期望值先求擲一粒骰子的期望值, 再乘以, 故其期望值為 + + + 4+ 5+ 6 = 7( 點 ) 6 ( ). 擲一均勻的硬幣三次, 每出現一個正面得 5 元, 一個反面賠元, 則所得總額之期望值是多少元? 擲三次之期望值 = ( 擲一次的期望值 ), E 5 9 = + = ( 元 ) 故得 ( )

第章機率 9 4. 袋中有代幣 0 個, 其中有 4 個是 0 元代幣, 而其餘 6 個同值, 今自袋中任取二個, 若已知期望值為 4 元, 則其餘 6 個代幣之面值應為多少元? 設其餘 6 個代幣之面值各為 x 元, 4 6 則 0 + x = 4, 0 0 6 整理得 8 + 4 5 x =, 故 x = 5( 元 ) 5. 某公司 0 個產品中有 4 個不良品, 今自其中任取個, 試求含有不良品個數之期望值取個的期望值 ( 取個的期望值 ) = 4 = = ( 個 ) 0 5

0 第章機率 6. 有一種遊戲是投擲三枚均勻的銅板, 若出現三正面可得 8 元, 出現二正面可得元, 出現一正面可得元, 不出現正面須賠 0 元, 試求投擲一次之期望值擲三枚均勻銅板, 樣本空間的個數有 = 8種, C 出現三正面之機率為 p = =, 可得 8 元 ; 8 8 C 出現二正面之機率為 p = =, 可得元 ; 8 8 C 出現一正面之機率為 p = =, 可得元 ; 8 8 C 0 不出現正面之機率為 p 4 = =, 須賠 0 元, 8 8 所以擲一次之期望值為 E = 8 + + + ( 0) = 0 ( 元 ) 8 8 8 8 7. 發行公益彩券 0 萬張, 每張 00 元, 獎額規定如下 : 第一特獎張, 可得 00 萬元 ; 頭獎張, 各得 50 萬元 ; 貳獎 0 張, 各得 0 萬元 ; 普獎 000 張, 各得 000 元, 試求購買一張之期望值買一張之期望值為 0 000 E = 000000 + 500000 + 00000 + 000 00 00000 00000 00000 00000 = 50 ( 元 )

自我評量機率 ( C ). 設 A = {,,, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, {, 4, 6, 8, 0} B =, 第章機率 C = { 5, 7, 9, }, 則 ( A B) C = (A){,,5 } (B){, 5, 7 } (C){ 5, 7, 9 } (D){ 7, 9, } - ( B ). 設 A= { ab, }, B { a, } (D) 4 =, 若 A= B, 則 b = (A) (B) (C) - ( D ). 甲乙丙三人各出剪刀石頭布猜拳, 在只出拳一次的情況下, 試問樣本空間中的元素有多少個? (A) 6 (B) 9 (C)8 (D) 7 - ( B ) 4. 續上題, 試問三人彼此不分勝負的事件 A 中有多少個元素? (A) 6 (B) 9 (C)8 (D) 7 - ( B ) 5. 袋中有大小相同的紅球個白球 4 個黑球 5 個, 現自袋中任取球, 則球同色的機率為 (A) 0 (B) 9 (C) (D) 7 66 66 - ( A ) 6. 擲三粒均勻的骰子一次, 則三粒點數均相同之機率為 (A) (B) 6 7 5 (C) (D) 08 8 - ( D ) 7. 由,,, 4, 5 五個數字中任選二數, 則其積為偶數的機率為 (A) 0 (B) (C) 5 (D) 7 0 0 0 - ( A ) 8. 含甲乙等共有 0 人, 今從中任選人參加比賽假設每人被選出的機會均等, 試問甲與乙二人同時被選出參賽的機率為何? (A) 5 (B) (C) (D) 4 5 5 5 - ( D ) 9. 若某人同時擲 5 枚均勻的硬幣一次, 試問至少有枚出現正面的機率為何? (A) 6 (B) (C) 5 (D) 6 -

第章機率 ( D ) 0. 自到 0 的自然數中, 任取一數, 每數機會均等, 則其為或的倍數之機率為 (A) 6 (B) (C) (D) - ( B ). 擲兩粒均勻的骰子一次, 若已知兩粒骰子的點數和為偶數, 則點數和小於 5 的機率為 (A) 9 (B) 9 (C) (D) 4 9 - ( C ). 袋中有大小相同的紅球個白球 5 個, 今每次取一球, 取後不放回, 則連取兩次皆為白球的機率為 (A) (B) 5 (C) 5 (D) 5 0 6 4 64 - ( D ). 承上題, 若取後放回, 則兩次皆為白球的機率為 (A) (B) 5 0 6 (C) 5 (D) 5 4 64 - ( C ) 4. 玉山國中 % 的男學生有色盲,.5% 的女學生有色盲, 已知全校有 60% 的男學生, 試問全校學生中任選人有色盲的機率為何? (A) 0.04 (B) 0.05 (C) 0.08 (D) 0.0 - ( C ) 5. 若同時投擲一枚不均勻的硬幣與一枚均勻的硬幣一次, 兩枚都出現正面的機率是 log, 試問只投擲該枚不均勻的硬幣一次時, 出現正面的機率為何? (A) log (B) log (C) log (D)( ) log - ( C ) 6. A B 兩人投籃, 互不影響, 其投籃的命中率分別是與 4, 若 A B 兩人各投一球, 試問至少有一人投進的機率為何? (A) (B) 7 6 (C) 4 (D) 5 6 - ( B ) 7. 將編號,,,, 0 之球放入球袋中, 抽取號球, 抽中號得分, 抽中號得分, 依此類推, 則任意抽取球得分之期望值為 (A) 5 (B) 5.5 (C) 6 (D) 6.5 分 - ( B ) 8. 單一選擇題, 每題有 5 個選項, 若每題答對可得 4 分, 答錯倒扣分, 現小龍隨意猜答, 則他得分的期望值為 (A) (B) 0 (C) (D) 分 -

第章機率 ( D ) 9. 設袋中有 50 元及 0 元代幣各枚, 自袋中任取枚, 每枚取到的機率均等, 則取一次之期望值為 (A) 0 (B) 40 (C) 50 (D) 60 元 - ( D ) 0. 袋中有大小完全相同的 0 個球, 其中有 6 個紅球 4 個綠球假設每一個球被取出的機會均等, 現在從袋中任意取出個球 ( 同時取出 ), 並規定 : 取出之個球中, 恰好出現一個綠球之彩金為 0 元, 恰好出現二個綠球之彩金為 0 元, 三個都是綠球之彩金為 0 元時, 則期望值為 (A) 4 元 (B) 6 元 (C)8 元 (D) 元 -

4 第章統計 - 抽樣方法統計. 學期即將結束, 某高中三年班舉辦同學會, 導師提供 5 份紀念品, 給全班 40 位同學摸彩班長將相同的竹籤, 標上到 40 的號碼, 放入竹筒中攪勻後, 請導師任意抽取 5 枝, 所得 5 個號碼對應的同學就是中獎同學, 試問這是屬於哪一種抽樣方法? 簡單隨機抽樣. 續上題, 試問每位同學中獎的機率為多少? 5 p = = 40 8. 本縣警察局為拚治安, 每天晚上十點鐘開始, 在中山高速公路泰山收費站攔檢車輛, 每通過 00 輛小客車攔檢一輛, 直到隔日凌晨兩點為止, 試問此一攔檢是屬於哪一種抽樣方法? 系統抽樣

第章統計 5 4. 華騰國中三年級學生共 000 人, 現以上學期數學成績分成三組 : 第一組為 80 分 ( 含 ) 以上者, 第二組為 60 分 ( 含 ) 到 80 分, 其餘為第三組若打算依各組人數比例分層隨機抽樣 50 位學生, 且已知第一組有 00 人, 第二組有 500 人, 第三組有 00 人, 則第一組應抽出多少人? 因為第一二三組學生人數比例為 00 : 500 : 00 = : 5 :, 故第一組應抽出學生人數為 50 = 0( 人 ) + 5+ 5. 華騰國中編班時, 採常態分班制, 每一班可視為全校的縮影, 今欲了解該校一年級學生之英語學習能力, 舉行一次模擬考後, 從該年級任選一班作普查, 試問此種抽樣方法是屬於哪一種抽樣方法? 部落抽樣 6. 體操委員會由 0 位女性委員與 5 位男性委員所組成, 今委員會要由 6 位委員組團出國考察, 如以性別作分層, 並在各層依比例隨機抽樣, 試問此考察團共有多少種組成方式?( 提示 : 女性 : 男性 = :, 若依性別比例分層, 則可知女性應取 4 位, 男性應取位 ) 因為女性 : 男性 = :, 若依性別比例分層, 則可知女性應取 4 位, 男性應取位, 故得組成方式有 0 5 C 4 C = 00 ( 種 )

6 第章統計統計 - 資料整理與圖表編製. 已知 40 個電池的壽命表如下 : 40 個電池的壽命表單位 : 月 4 5 45 7 0 6 50 8 4 6 8 47 7 5 4 4 4 9 9 9 40 7 4 4 4 7 4 5 () 試求全距 () 試以 5 為組距, 將資料分成 6 組, 最小組下限為 0, 製作次數分配表 () 試畫出對應的直方圖及次數分配曲線圖 (4) 試作出對應的累積次數分配表 (5) 試作出對應的累積次數分配曲線圖 () 50 = 9 () 次數分配表如下 : 組別 ( 月 ) 畫記計算次數 ( 個 ) 0~5 5~0 4 0~5 正正正一 6 5~40 正正 0 40~45 正 5 45~50 總計 40 () 直方圖及次數分配曲線圖如下 :

(4) 累積次數分配表如下 : 第章統計 7 組別 ( 月 ) 次數 ( 個 ) 以下累積次數 ( 個 ) 以上累積次數 ( 個 ) 0~5 40 5~0 4 6 8 0~5 6 4 5~40 0 8 40~45 5 7 8 45~50 40 0,0, (5) 描點 ( 5, ) ( 0,6 ) ( 5, ) ( 40, ) ( 45,7 ) ( 50,40 ) 及 ( ) 得以下累積次數分配曲線圖如下 : 描點 ( 0,40 ) ( 5,8 ) ( 0,4 ) ( 5,8 ) ( 40,8 ) ( 45, ) 及 ( 50,0 ), 得以上累積次數分配曲線圖如下 :

8 第章統計. 某高中一年班 50 位同學第一次段考數學成績的次數分配表如下 : 成績 ( 分 ) 0~0 0~40 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 次數 ( 人 ) 5 8 6 5 () 試畫直方圖 () 試作出次數分配曲線圖 () 直方圖如下 : () 次數分配曲線圖如下 :

第章統計 9. 某高中二年班 40 位同學體重的直方圖如下 : () 試作出累積次數分配表 () 試作出累積次數分配曲線圖 () 累積次數分配表如下 : 組別 ( 公斤 ) 次數 ( 位 ) 以下累積次數 ( 位 ) 以上累積次數 ( 位 ) 40~50 40 50~60 5 7 8 60~70 0 7 70~80 0 7 80~90 40 40,0, () 描點 ( 50, ) ( 60,7 ) ( 70,7 ) ( 80,7 ) ( 90,40 ) 及 ( ) 得以下累積次數分配曲線圖如下 : 描點 ( 40,40 ) ( 50,8 ) ( 60, ) ( 70, ) ( 80, ) 及 ( 90,0 ), 得以上累積次數分配曲線圖如下 :

40 第章統計 4. 某高中二年班 40 位同學數學的段考成績之以下累積次數分配曲線圖如下 : 試問 :() 不及格者占全班人數的百分比為何? () 90 分以上者占全班人數的百分比為何? () 由圖可知不及格者有 8 位, 全班人數 40 位, 8 故占全班的 00% 0% 40 = () 90 分以上者有 40 6 = 4 ( 位 ), 4 故占全班的 00% 0% 40 =

第章統計 4 統計 - 算術平均數中位數百分等級. 由某班學生隨機抽出 0 位學生, 測得其身高依次為 70, 65, 60, 7, 80, 75, 76, 68, 8, 6 ( 公分 ) 試求其平均身高 70 + 65 + 60 + 7 + 80 + 75 + 76 + 68 + 8+ 6 平均身高為 x = 0 = 7( 公分 ). 小明期末考五科成績如下 : 科目國文英文數學會計企管成績 ( 分 ) 80 70 65 78 8 上課時數 ( 小時 ) 5 4 4 5 試求其加權平均成績 80 5 + 70 4 + 65 4 + 78 5 + 8 加權平均成績為 W = = 74.8 ( 分 ) 5+ 4+ 4+ 5+. 本校 50 位學生的體重次數分配表如下, 試求其算術平均數體重 ( 公斤 ) 40~50 50~60 60~70 70~80 80~90 90~00 人數 ( 人 ) 7 5 體重 ( 公斤 ) 人數 f ) ( i 組中點 ( x i ) d xi 75 0 fd i = i i 40~50 45 6 50~60 7 55 4 60~70 65 70~80 75 0 0 80~90 5 85 5 90~00 95 總和 50 6 6 由上表知算術平均數 x = 0 + 75 = 69.8 ( 公斤 ) 50

4 第章統計 4. 試求下列二組數值的中位數 : (), 8, 6, 9, 7, 9, 4, 48, 5 () 7, 0, 8, 8, 6,, 5, 4 () 先由小而大排列得 7 6 9 9 8 4 48 5, 因為 n = 9, 所以中位數 Me = x5 = () 先由小而大排列得 6 7 8 8 0 5 4, 因為 n = 8, = 4 + 5 = 8 + 0 = 9 所以中位數 Me ( x x ) ( ) 5. 擲骰子 00 次, 將結果記錄如下表 : 點數 4 5 6 次數 0 5 0 0 0 5 試求 :() 算術平均數 () 中位數 0 + 5 + 0 + 4 0 + 5 0 + 6 5 () 算術平均數 x = =.4 ( 點 ) 0 + 5 + 0 + 0 + 0 + 5 () 因為總次數 n = 00, 所以中位數 Me = ( x50 + x5) = ( + ) = ( 點 )

第章統計 4 6. 設有位學生的學期成績如下 : 44, 50, 66, 7, 77, 79, 8, 85, 89, 9, 94, 95( 分 ) 試求得分為 77 分的這位學生之百分等級依題意知總人數 n =, 小於 77 分的人數有 4 人, 即 F x = 4, F x 4 由公式 PR = 00 = 00, n 可得這位學生的百分等級為 7. 試求全校 600 位學生中, 成績第 60 名的學生之 PR 值由題意知 : n = 600, F = 600 60 = 40, F x x 40 得 PR = 00 = 00 = 40, 即 PR 值為 40 n 600

44 第章統計統計 -4 四分位距與標準差. 有 9 位學生的數學抽考分數分別為 0, 40, 60, 50, 70, 80, 60, 90, 60 ( 分 ) 試求 : () 全距 () 四分位距 () 全距 R = 90 0 = 60 ( 分 ) () 將數值由小而大排列 0, 40, 50, 60, 60, 60, 70, 80, 90 40 + 50 70 + 80 得中位數 Me = 60, Q = = 45, Q = = 75, 故四分位距 IQR = 75 45 = 0 ( 分 ). 續第題, 試求其母體標準差 0 + 40 + 60 + 50 + 70 + 80 + 60 + 90 + 60 算術平均數 µ = = 60, 9 得母體標準差為 σ = 0 60 + 40 60 + 60 60 + 50 60 + 70 60 + 80 60 + 60 60 + 90 60 + 60 60 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 0 7 = ( 分 ). 試求 05, 08,,,, 05 六個數值的 () 算術平均數 () 樣本標準差 05 + 08 + + + + 05 () 算術平均數 x = = 09 6 () 樣本標準差 6 ( 05 09) ( 08 09) ( 09) ( 09) ( 09) ( 05 09) S = + + + + + 0 = 5

第章統計 45 4. 已知一組數值 x, x,, xn 的標準差為 S x =, 試求下列二組數值的標準差 : () x+ 0, x + 0,, x n + 0 () 0 x, 0 x,, 0x n () Sx+ 0 = Sx = () S0 = 0S = 0 = 0 x x 5. 試求下列六個數值, 4, 6, 8, 0, 的樣本標準差 + 4 + 6 + 8 + 0 + 先求算術平均數 x = = 7 6 樣本標準差 6 ( 7) ( 4 7) ( 6 7) ( 8 7) ( 0 7) ( 7) S = + + + + + = 4 6. 根據統計資料, 月份臺北地區的平均氣溫是攝氏 0 度, 標準差是攝氏.5 度一般外國朋友比較習慣用華氏溫度來表示冷熱, 已知當攝氏溫度為 x 時, 9 華氏溫度為 y = x+ ; 若用華氏溫度表示, 則月份臺北地區的 5 () 平均氣溫是華氏多少度? () 標準差是華氏多少度? 9 因為 y = x+, 所以 5 9 9 () y = x+ = 0 + = 68 ( 度 ) 5 5 () 9 9 Sy = Sx =.5 = 6. ( 度 ) 5 5

46 第章統計統計 -5 解讀信賴區間與信心水準. 小龍在市面上買到一包標示著內重量為 500 ± 0 克 (500 與 0 分別表示其算術平均數及標準差 ) 的蔬菜餅乾, 如果該產品每包重量的分配是常態分配, 依 68-95-99 規則, 試問小龍買到的一包重量超過 50 克的機率是多少? 重量超過 50 克是落在 µ + σ 的右邊, 大約占 ( 68% ), 故超過 50 克之機率為 ( 68% ) = 6%. 某校學生共 600 人, 數學段考成績呈常態分配, 其平均成績 70 分, 標準差 0 分, 依 68-95-99 規則, 試估計 () 成績低於 60 分的學生大約有多少人? () 成績高於 90 分的學生大約有多少人? () 成績低於 60 分是落在 µ σ 的左邊, 大約占 ( 68% ), 故大約有 600 ( 68% ) = 96 ( 人 ) () 成績高於 90 分是落在 µ + σ 的右邊, 大約占 ( 95% ), 故大約有 600 ( 95% ) = 5 ( 人 )

. 試解讀如下民意調查的結果 : 第章統計 47 某民意調查中心針對某行政首長就職滿月的滿意度調查報告, 這是一項對臺灣地區年滿 0 歲的民眾所做的電話訪問, 成功地訪問到 795 位有效樣本, 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為 ± %, 而其中有 77% 的民眾對該行政首長的施政表現表示滿意或非常滿意將 77% 加減 % 得一信賴區間 [ 0.74,0.80 ], 它代表的意義是, 當我們繼續不斷作同樣的調查, 則可得到許多不同的信賴區間, 而在所有可能的區間中, 有 95% 會包含真正的母體比例 p, 由此可推估民眾對該行政首長的施政滿意或非常滿意的比例, 可能在 74% 到 80% 之間 4. 一項民意調查, 成功的訪問到 400 位成年人, 了解民眾對自己目前的工作情況的滿意度, 其中有 0 位成年人表示滿意, 試問 : () 民眾對自己目前的工作情況, 表示滿意的比例有多少? () 在 95% 的信心水準下, 抽樣誤差為 ± 4%, 求 95% 的信賴區間 () 民眾對自己目前的工作情況, 0 表示滿意的比例為 p = = 0.8 = 80% 400 () 因為抽樣誤差為 ± 4%, 所以 95% 的信賴區間為 [ 0.80 0.04, 0.80 + 0.04] = [ 0.76, 0.84]

48 第章統計自我評量統計 ( B ). 教師於課堂上, 以座號為依據, 依次抽問,,,, 4, 號學生, 此種抽樣方法為 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣 - ( A ). 假設臺灣地區計有都市 500 千戶, 城鎮 000 千戶, 鄉村 900 千戶, 今依比例從都市城鎮鄉村中各抽出 % 之樣本戶, 則都市應抽出多少千戶? (A) 5 (B) 0 (C)0 (D)9 - ( D ). 華騰高中全校學生共 60 班, 每班家庭背景大致相同, 可視為全校的縮影, 現任抽取一班學生作全面訪查, 則此種抽樣方法為 (A) 簡單隨機抽樣 (B) 系統抽樣 (C) 分層隨機抽樣 (D) 部落抽樣 - ( B ) 4. 已知一群資料群的次數分配表為五組, 其組中點分別為.5, 6.5, 40.5, 44.5 及 48.5, 則此次數分配表的組距為 (A) (B) 4 (C) 6 (D)8 - ( C ) 5. 某次數學競試有 50 人參加, 其成績直方圖如下 : 試問 60 分以上 ( 含 ) 的人數有 (A)5 (B) 0 (C) 5 (D) 0 人 ( D ) 6. 下表是某班 45 位同學的家庭人口數的次數及累積次數分配表 : 家庭人口數 ( 人 ) 4 5 6 7 次數 0 x 8 y 累積次數 0 z 0 4 45 - 依上表, x+ y+ z之值為 (A) 40 (B) 4 (C) 44 (D) 46 -

第章統計 49 ( B ) 7. 某班 50 位學生學期成績其以下累積次數分配曲線圖如下 : 試問不及格的人數占全班人數的百分比為 (A) 0% (B) % (C) 6% (D)0% - ( A ) 8. 續上題, 其算術平均數為 (A) 69.6 (B) 70.4 (C) 70.6 (D) 7.4 分 - ( D ) 9. 某生第一次段考六科的算術平均成績為 80 分, 若已知其中五科的成績為 68, 80, 80, 80, 86( 分 ), 則第六科的成績為 (A) 78 (B)80 (C)8 (D)86 - ( B ) 0. 已知有 0 個數據 0, 40, 40, 50, 65, 75, 00, 90, 80 及 x 若它們的中位數為 60, 則 x = (A) 50 (B) 55 (C) 60 (D) 65 - ( C ). 小龍期中考國文英文數學社會的成績分別為 80, 66, 58, 85( 分 ), 其百分等級分別為 58, 70, 75, 6, 試問其相對成績哪一科最好? (A) 國文 (B) 英文 (C) 數學 (D) 社會 - ( C ). 測量一物件的長度 9 次, 得其長為.4,.46,.4,.45,.44,.48,.46,.47,.45 ( 公尺 ), 將這九個數據每一個都乘以 00 再減去 40 得一組新數據為, 6,, 5, 4, 8, 6, 7, 5, 則新數據的算術平均數為 (A) (B) 4 (C)5 (D) 6 公尺 - ( C ). 續上題, 原數據的算術平均數為 (A).4 (B).44 (C).45 (D).46 公尺 - ( C ) 4. 續上題, 新數據的母體標準差為 (A) (B).5 (C) (D).5 公尺 -4 ( D ) 5. 續上題, 原數據的母體標準差為 (A) 0.0 (B) 0. (C) 0. (D) 0.0 公尺 -4 ( C ) 6. 六位學生的體重分別為 50, 57, 64, 70, 7, 8 ( 公斤 ), 則其四分位距為 (A) (B)4 (C)5 (D)6 公斤 -4 ( A ) 7. 一組樣本資料數值, 4, 6, 8, 0, 的樣本標準差為 (A) 4 (B) (C) 0 (D) 8-4

50 第章統計 ( B ) 8. 已知有四組數據, 分別列述如下, 哪一組的標準差最小? (A) 5, 6, 7, 8, 9, 0 (B) 0, 0, 0, 0, 0, 0 (C),,, 4, 5, 6 (D)5, 5, 0, 5, 5, 5-4 ( B ) 9. 若某校 500 位學生的數學段考成績平均分數為 65.8 分, 標準差為 5.8 分, 已知成績分布呈現常態分配, 若依 68-95-99 規則, 試問全校大約有多少人數學成績低於 60 分? (A) 40 (B)80 (C)0 (D)60 人 -5 ( D ) 0. 一項民意調查發現樣本中有 65% 的人贊成博奕合法化, 在 95% 的信心水準之下, 抽樣誤差為 % (B)[ 0.6, 0.65 ] (C)[ ] ±, 則其信賴區間為 (A) [ 0.60,0.64 ] 0.6, 0.66 (D)[ 0.6,0.67 ] -5

第 章 排 列 組 合 4. 某 校 教 務 處 有 0 人, 學 務 處 有 8 人, 總 務 處 有 人, 今 欲 由 各 處 各 選 出 人 組 成 委 員 會, 有 多 少 種 組 成 方 法? 分 成 三 個 步 驟 完 成 : 第 一 步 : 由 教 務 處 任 選 一 人, 方 法 有

第章排列組合 4. 某校教務處有 0 人, 學務處有 8 人, 總務處有人, 今欲由各處各選出人組成委員會, 有多少種組成方法? 分成三個步驟完成 : 第一步 : 由教務處任選一人, 方法有