作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 摘 要 本 文 的 研 究 是 根 據 特 定 規 則 下, 如 何 將 撲 克 牌 翻 出 一 條 龍? 的 問 題, 進 行 不 同 方 法 的 研 究, 以 不 同 解 題 方 式 觀 察 問 題 解 決 問 題 壹 研 究 動 機 每 隔 一

臺 南 市 第 五 十 二 屆 公 私 立 國 民 中 小 學 科 學 展 覽 會 作 品 說 明 書 組 別 : 國 中 組 國 小 組 科 別 : 物 理 化 學 生 物 地 球 科 學 數 學 生 活 與 應 用 科 學 附 件 五 : 說 明 書 封 面 作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 關 鍵 詞 : 撲 克 牌 排 列 編 號 : 製 作 說 明 :. 說 明 書 封 面 僅 寫 科 別 組 別 作 品 名 稱 及 關 鍵 詞 2. 編 號 由 承 辦 單 位 編 列 3. 封 面 編 排 由 參 展 作 者 自 行 設 計

作 品 名 稱 : 永 遠 都 是 一 條 龍 摘 要 本 文 的 研 究 是 根 據 特 定 規 則 下, 如 何 將 撲 克 牌 翻 出 一 條 龍? 的 問 題, 進 行 不 同 方 法 的 研 究, 以 不 同 解 題 方 式 觀 察 問 題 解 決 問 題 壹 研 究 動 機 每 隔 一 段 時 間, 就 會 在 網 路 上 看 到 用 撲 克 牌 變 魔 術 的 影 片, 當 看 完 影 片 時, 心 中 不 免 有 一 些 疑 問 為 什 麼 會 那 麼 神 奇 呢? 後 來 決 定 與 同 學 一 同 研 究 撲 克 牌 魔 術 能 不 能 有 科 學 的 解 釋, 當 中 是 否 有 著 規 律 或 公 式 呢? 於 是 就 針 對 的 撲 克 牌 的 排 列 而 進 行 一 系 列 的 研 究, 經 過 幾 個 同 學 的 討 論 還 有 老 師 的 建 議, 也 終 於 選 定 研 究 題 目 貳 研 究 目 的 一 研 究 問 題 : 如 果 我 們 將 一 副 背 面 朝 上, 排 列 好 的 覆 蓋 撲 克 牌, 翻 開 最 頂 端 的 一 張, 然 後 將 接 下 來 的 n 張 撲 克 牌 移 至 覆 蓋 撲 克 牌 的 下 方, 然 後 再 翻 開 一 張, 接 著 再 將 接 下 來 的 n 2 張 撲 克 牌 移 至 覆 蓋 撲 克 牌 的 下 方, 然 後 再 翻 開 一 張, 不 斷 的 進 行 這 個 步 驟, 直 到 所 有 的 撲 克 牌 被 翻 起 當 n n 2. n 2 為 任 意 正 整 數 時, 我 們 是 否 能 在 一 開 始 就 給 予 撲 克 牌 良 好 的 排 列, 使 得 翻 出 的 撲 克 牌 在 任 意 的 情 況 下, 恆 為 一 條 龍 ( 意 即 從 A 2 3 J Q K 依 序 排 列 ) 二 研 究 目 的 : 研 究 目 的 細 分 如 下 : ( 一 ) 如 何 找 出 個 別 解? ( 二 ) 如 何 從 眾 多 個 別 解 找 出 規 律? ( 三 ) 如 何 將 規 律 寫 成 數 學 函 數? ( 四 ) 如 何 形 成 魔 術 手 法? 參 研 究 設 備 及 器 材 紙 筆 撲 克 牌

肆 研 究 過 程 與 方 法 本 研 究 過 程 依 序 採 用 了 列 出 所 有 可 能 找 出 規 律 代 入 公 式 找 出 魔 術 手 法 一 列 出 所 有 可 能 : 使 用 逆 推 法 來 列 出 所 有 的 可 能 性 實 際 操 作 方 法 如 下 : 準 備 3 張 編 號 ~3 的 紙 牌 然 後 再 根 據 每 一 次 的 要 求 進 行 實 際 操 作, 再 將 當 次 希 望 翻 出 的 撲 克 牌 數 字 或 字 母 標 示 在 紙 牌 上 全 部 標 示 完 畢 後, 即 可 得 知 撲 克 牌 所 對 應 的 數 字 即 是 撲 克 牌 所 應 排 列 的 順 序 這 個 步 驟 裡 所 使 用 的 紙 牌 亦 可 以 用 撲 克 牌 代 替 再 實 際 操 作 過 幾 次, 熟 悉 做 法 後, 我 們 即 用 撲 克 牌 代 替 填 寫 數 字 的 紙 牌 進 行 之 後 的 操 作 二 找 出 規 律 : 將 所 有 可 能 性 統 整, 並 找 出 規 律 性, 再 想 辦 法 能 不 能 改 寫 成 數 學 函 數, 以 求 其 一 般 性 三 找 出 對 應 函 數 : 利 用 規 律 性, 寫 出 函 數 四 找 到 魔 術 手 法 : 利 用 推 估 的 結 果, 找 尋 可 能 的 魔 術 手 法 伍 研 究 結 果 一 利 用 逆 推 法, 列 出 所 有 情 況 : 如 果 我 們 先 翻 一 張 撲 克 牌 到 桌 面 再 放 一 張 撲 克 牌 到 覆 蓋 撲 克 牌 的 下 方 ( 後 文 皆 簡 稱 為 放 一 張 ), 不 斷 的 重 複 這 樣 的 方 式 可 以 得 到 撲 克 牌 的 新 的 排 列 方 式 為 A 3 5 7 9 J K 4 8 Q 6 2 0 這 樣 的 數 字 代 表, 我 們 如 果 最 後 的 撲 克 牌 希 望 形 成 一 條 龍 的 話, 必 須 如 以 下 排 列 : A 放 在 第 張 2 放 在 第 3 張 3 放 在 第 5 張 4 放 在 第 7 張 5 放 在 第 9 張 6 放 在 張 7 放 在 3 張... 以 此 類 推, 運 用 此 方 法 排 列 所 得 到 新 的 數 字 排 列 為 A Q 2 8 3 4 9 5 K 6 0 7 意 即 我 們 將 紙 牌 如 上 順 序 排 列 後, 不 斷 進 行 翻 一 張 放 一 張 的 動 作 即 可 翻 出 一 條 龍 我 們 把 不 斷 的 翻 一 張 放 一 張 的 情 況 直 接 簡 寫 成 放 一 張 而 如 果 不 斷 的 重 複 翻 一 張 放 一 2

張 再 翻 一 張 放 兩 張 再 翻 一 張 放 一 張 再 翻 一 張 放 兩 張 的 做 法, 我 們 就 把 它 簡 稱 為 放 一 張 放 兩 張 其 他 類 似 的 表 示 方 法, 皆 是 重 複 內 之 動 作 的 意 思 我 們 底 下 列 舉 出 一 些 重 要 的 實 驗 結 果 : 方 式 實 際 操 作 結 果 完 成 一 條 龍 所 需 排 列 放 一 張 (A,3,5,7,9,J,K,4,8,Q,6,2,0) (A, Q, 2, 8, 3, J, 4, 9, 5, K, 6, 0, 7) 放 兩 張 (A,4,7,0,K,5,9,2,8,3,Q,6,J) (A, 8, 0, 2, 6, Q, 3, 9, 7, 4, K, J, 5) 放 三 張 (A,5, 9, K, 6, J, 4, Q, 8, 7, 0, 3,2) (A, K, Q, 7, 2, 5, 0, 9, 3, J, 6, 8, 4) 放 四 張 (A,6, J, 4, 0, 5, K, 9, 8, Q, 3, 7,2) (A,K, J, 4, 6, 2, Q, 9, 8, 5, 3, 0, 7) 放 五 張 (A,7, K, 8, 3, J, 9, 6, 0, 2, Q, 5, 4) (A, 0, 5, K, Q, 8, 2, 4, 7, 9, 6, J, 3) 放 一 張 放 二 張 (A, 3, 6, 8, J,K, 5, 9, 2, 7, 4, Q, 0) (A, 9, 2, J, 7, 3, 0, 4, 8, K, 5, 2, 6) 放 一 張 放 二 張 放 三 張 放 一 張 放 二 張 放 三 張 放 四 張 (A, 3, 6, 0, 2, 4, 9, K, 7, 5, J, 2,8) (A, Q, 2, 6, 0, 3, 9, K, 7,4,J, 5, 8) (A,3, 6, 0, 4, 7, J, 5, 2, 9, 8, K, Q) (A,9,2, 5, 8, 3, 6, J, 0, 4, 7, K, Q) 二 利 用 歸 納 法, 就 手 上 的 資 料 推 估 可 能 的 操 作 方 法 : 將 以 上 實 驗 統 整 後, 我 們 可 以 在 直 觀 上 做 出 底 下 的 猜 測 來 解 決 問 題 : 我 們 用 3 條 底 線 代 表 3 個 空 格 位 置, 先 在 第 一 格 填 入 第 一 個 數 字, 若 翻 完 第 k 張 後, 所 要 求 放 入 撲 克 牌 下 方 的 撲 克 牌 數 量 為 nk, 則 代 表 先 數 nk 個 空 格 後 再 填 入 數 字 k+, 若 在 數 空 格 的 過 程 中, 如 果 已 經 數 完 所 有 的 空 格, 則 再 從 第 一 個 空 格 數 起 如 果 遇 到 格 子 上 已 經 填 有 數 字, 則 不 計 空 格 數 目, 繼 續 往 前 數 經 過 這 整 個 操 作 過 程 所 得 到 的 結 果, 即 是 前 一 個 表 格 中 所 列 的 完 成 一 條 龍 的 所 需 排 列 一 欄 以 下 是 幾 個 簡 單 範 例 : 3

例 一 : 放 一 張 _ ( 劃 出 3 條 底 線, 代 表 3 個 空 格 ) _ 2 _ 3 _ 4 _ 5 _ 6 _ 7 ( 每 空 一 格, 就 依 序 填 入 數 字 ) _ 2 8 3 _ 4 _ 5 _ 6 _ 7 ( 填 有 數 字 和 2, 不 計 入 空 格 數 目 ) _ 2 8 3 _ 4 9 5 _ 6 _ 7 ( 填 有 數 字 3 和 4, 不 計 入 空 格 數 目 ) 2 2 8 3 4 9 5 3 6 0 7 ( 不 斷 的 重 複, 即 可 填 出 所 有 數 字 ) 經 過 如 上 的 操 作, 即 代 表 A, 代 表 J, 2 代 表 Q, 3 代 表 K 我 們 即 可 得 持 續 翻 一 張, 放 一 張 而 能 得 到 一 條 龍 的 所 需 排 列 即 是 上 表 中 完 成 一 條 龍 所 需 排 列 之 欄 例 二 : 放 一 張 放 兩 張 _ ( 劃 出 3 條 底 線, 代 表 3 個 空 格 ) _ 2 3 _ 4 5 _ 6 ( 重 複 空 一 格 空 兩 格 填 入 數 字 ) _ 2 _ 7 3 _ 4 5 _ 6 ( 從 頭 開 始, 空 兩 個 空 格, 跳 過 數 字 數 字 2, 將 下 個 數 字 7 填 入 下 一 個 空 格 ) 9 2 7 3 0 4 8 3 5 2 6 ( 不 斷 的 重 複, 即 可 填 出 所 有 數 字 ) 4

經 過 如 上 的 操 作, 即 代 表 A, 代 表 J, 2 代 表 Q, 3 代 表 K 我 們 即 可 得 持 續 翻 一 張, 放 一 張 ; 翻 一 張, 放 兩 張 而 能 得 到 一 條 龍 的 所 需 排 列 即 是 上 表 中 完 成 一 條 龍 所 需 排 列 之 欄 以 此 同 樣 的 方 式 來 進 行 操 作, 我 們 就 能 利 用 填 空 格 的 方 式, 填 出 所 有 能 完 成 一 條 龍 排 列 的 可 能 性 實 際 上, 我 們 如 果 要 完 全 用 數 學 邏 輯 推 理 來 證 明 這 一 項 結 果 是 有 些 困 難 的, 我 們 只 能 說 從 操 作 觀 點 上, 直 觀 上 看 起 來, 這 個 結 果 是 正 確 的 如 果 要 完 全 確 認 它 是 對 的, 可 能 要 經 過 2! 種 的 驗 證 才 能 百 分 之 百 確 定 了 三 寫 成 數 學 函 數 : 根 據 前 面 所 採 取 的 數 方 格 填 空 法, 我 們 嘗 試 將 其 寫 成 一 個 數 學 函 數 首 先, 我 們 把 翻 完 第 k 張 紙 牌 後, 放 到 覆 蓋 撲 克 牌 下 方 的 撲 克 牌 數 目 定 義 為 n k,k=~ 因 為 我 們 知 道 翻 完 第 一 張 紙 牌 後, 此 時 撲 克 牌 只 剩 下 2 張, 所 以 把 m 張 紙 牌 往 下 放 和 把 m+2 張 紙 牌 往 下 放 所 翻 開 的 紙 牌 會 是 同 一 張 於 是 我 們 這 裡 定 義 的 n 是 指 同 餘 2 後 的 數 字 同 理,n 2 是 指 同 餘 後 的 數 字, 亦 即 所 有 的 n k 都 是 同 餘 3-k 後 的 數 字 所 以 所 有 可 能 的 排 列 情 況 會 有 2! 種, 這 也 是 為 什 麼 前 文 我 們 會 說 有 經 過 2! 種 的 試 驗 才 能 完 全 列 出 所 有 情 況 了 根 據 前 面 的 討 論 可 以 定 義 出 底 下 的 這 個 多 維 排 列 函 數 : 令 Ν = ( n, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9, n0, n) 則, ρ( N) 是 上 表 的 實 際 操 作 結 果, ρ( ΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝ ) = ( ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( ), ρ ( )) 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3, 如 果 把 換 成 A ; 換 成 J ; 2 換 成 Q ; 3 換 成 K, 則 所 對 應 到 的 結 果 就 是 表 格 中 實 際 操 作 欄 的 結 果 因 為 A 永 遠 排 在 第 一 張, 所 以 我 們 可 以 令 ρ ( Ν ) = 5

設 τ ( N) = [ ρ ( N) + n + ] i i i i= 2,3,...3 令 k=, χ ( ) ( ), N = τ N i i 步 驟 (A) 檢 查 χik, ( N ) 是 否 大 於 3 χi,0( N) = ρi ( N) 令 ρ ( N) = 0 If χ, ( N ) 3 if χ, ( N ) > 3 ik ik χ ( N) = χ ( N) + ik, + ik, i i δ( χ ( N; ) ρ ( N)) δ( χ ( N)(mod3) ; ρ ( N)) ik, ik, = = i i 檢 查 δ δ = = 是 否 為 零 χ ( N) = [ χ ( N) + ik, + ik, i i δ( ρ ( N); χ ( N))+ δ( χ ( N)(mod3); ρ ( N))](mod3) ik, ik, = = 0 = 0 令 k ' = k+, χ ( ) 0, ' N = ik ' 令 k = k+ ρi( N) = χ + ( N ) ik, 步 驟 (A) 步 驟 (A) 其 中 δ ( X; Y) = 0 if X< Y ; δ ( X; Y) = if X Y 我 們 舉 一 個 例 子 來 幫 助 了 解 這 個 流 程 圖 6

例 一 : 放 一 張 放 兩 張 Ν = ( n, n2, n3, n4, n5, n6, n7, n8, n9, n0, n) = (, 2,, 2,, 2,, 2,, 2,), 根 據 這 個 流 程 圖 就 能 得 到 ρ( ΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝΝ ) = ( ρ( ), ρ2( ), ρ3( ), ρ4( ), ρ5( ), ρ6( ), ρ7( ), ρ8( ), ρ9( ), ρ0( ), ρ( )) = (,3, 6,8,,3,5,9, 2, 7, 4,2,0) 我 們 看 其 中 較 為 基 本 的 ρ ( N ) = 3 2 及 較 關 鍵 的 ρ ( N ) = 5 7 與 ρ ( N ) = 9 8 的 部 分 當 i = 2 時, τ 2 ( N) = ρ ( N ) + n + = 3 又 χ2, = τ2 = 3, χ 2,0 = ρ 0 = 2,2 2, 2, 2,0 =3, 且 δ = = = = χ = χ + δ( χ, ρ ) δ( χ (mod3), ρ ) δ = 0, 所 以 ρ ( N ) = 3 2 當 i = 7 時, τ 7 ( N) = ρ 6 ( N ) + n 6 + = 3 + 2 + = 6, 又 χ7, = τ7 = 6 6 6 χ ( N) = [ χ + δ( ρ ; χ )+ δ( χ (mod3); ρ )](mod3) = 6 + 0 + 2(mod3) = 5 7,2 7, 7, 7, = = 6 6 6 6 7,3 7,2 7,2 7,, 且 δ = = = = χ = χ + δ( χ, ρ ) δ( χ (mod3), ρ ) = 5 + 2 2 = 5 ρ ( N ) = 5 7 δ = 0, 所 以 當 i = 8時, τ 8 ( N) = ρ 7 ( N ) + n 7 + = 5+ + = 7 χ 8, = τ 8 = 7 χ 8,0 = ρ 7 = 5 7 7 8,2 8, 8, 8,0 = = χ = χ + δ( χ, ρ ) δ( χ (mod3), ρ ) = 7 + 4 3 = 8 7 7 8,3 8,2 8,2 8, = = χ = χ + δ( χ, ρ ) δ( χ (mod3), ρ ) = 8 + 5 4 = 9 7 7 7 7 8,4 8,3 8,3 8,2 且 δ = = = = χ = χ + δ( χ, ρ ) δ( χ (mod3), ρ ) = 9 + 5 5 = 9 δ = 0, 所 以 ρ ( N ) = 9 8 其 他 的 情 形 都 會 類 似 於 上 面 的 三 種 情 況 整 個 求 實 際 操 作 結 果 的 流 程 還 滿 像 程 式 語 言 裡 的 迴 圈 寫 法 四 魔 術 手 法 ( 一 ) 首 先, 我 們 先 想 辦 法 解 決 翻 一 張 放 一 張 的 情 形 () 先 進 行 簡 易 的 運 算 : ( 計 算 A): 3-=2 ( 第 一 張 必 翻, 先 扣 除 後 再 討 論 +=2 的 倍 數 的 位 置 ) 7

2 ( 計 算 B): (2-) =6, 2 0(mod 2) 2 6+0 ( 計 算 C): (2-) =3, 6 0(mod 2) 2 3+0 ( 計 算 D): (2-) =, 3 (mod 2) 2 + ( 計 算 E): (2-) =, 2 0(mod2) 2 ( 其 中 [ ] 是 高 斯 符 號 ) (2) 計 算 後, 使 用 撲 克 牌 進 行 操 作 ( 步 驟 一 ): 將 3 張 同 花 色 的 撲 克 牌, 由 左 到 右 ( 右 邊 的 紙 牌 會 壓 在 左 邊 之 上 ), 依 A 2 3 4. J Q K 的 順 序 排 列 ( 步 驟 二 ): 因 為 翻 一 張 放 一 張 的 結 果 在 不 重 複 放 置 撲 克 牌 的 情 況 下 必 只 剩 一 張, 故 不 需 微 調 ( 步 驟 三 ): 觀 察 ( 計 算 E) 中 計 算 結 果 的 第 一 個 數 字, 代 表 移 動 末 位 一 張, 第 二 個 數 字 0, 代 表 向 前 移 動 0+= 位 置 於 是 我 們 將 末 位 的 K 放 置 於 Q 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, J, K, Q) ( 步 驟 四 ): 觀 察 ( 計 算 D) 中 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字, 代 表 移 動 末 位 一 張, 第 二 數 字, 代 表 向 前 移 動 +=2 個 位 置 於 是 我 們 將 末 位 的 Q 放 置 於 J 前 面 的 相 鄰 位 置 操 作 的 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, Q, J, K) ( 步 驟 五 ): 觀 察 ( 計 算 C) 中 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 3, 代 表 移 動 末 位 三 張, 每 次 移 動 一 張 ( 因 為 翻 一 張 放 一 張 ), 第 二 個 數 字 0, 代 表 每 次 向 前 移 動 0+= 個 位 置 亦 即 我 們 將 末 三 張 Q J K 分 別 放 在 8 9 0 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, Q, 8, J, 9, K 0) ( 步 驟 六 ): 觀 察 ( 計 算 C) 中 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 6, 代 表 移 動 末 位 六 張, 每 次 移 動 一 張 ( 因 為 翻 一 張 放 一 張 ), 第 二 個 數 字 0, 代 表 每 次 向 前 移 動 0+= 個 位 置 亦 即 我 們 將 末 六 張 Q 8 J 9 K 0 分 別 放 在 2 3 4 5 6 7 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, Q, 2, 8, 3, J, 4, 9, 5, K, 6, 0, 7) ( 二 ) 推 廣 到 連 續 翻 一 張, 放 n 張 的 情 況 我 們 已 n=4 為 例 () 先 進 行 簡 易 的 運 算 : ( 計 算 A): 3-=2 ( 第 一 張 必 翻, 先 扣 除 後 再 討 論 4+=5 的 倍 數 的 位 置 ) 2 ( 計 算 B): (5-) =8, 2 2(mod 5) ( 其 中 [ ] 是 高 斯 符 號 ) 8+2 ( 計 算 C): (5-) =8, 0 0(mod 5) 8+0 ( 計 算 D): (5-) =4, 8 3(mod 5) 8

4+3 ( 計 算 E): (5-) =4, 7 2(mod5) 4+2 ( 計 算 F): (5-) =4, 6 (mod5) 4+ ( 計 算 G): (5-) =4, 5 0(mod5) (2) 計 算 後, 使 用 撲 克 牌 進 行 操 作 ( 步 驟 一 ): 將 3 張 同 花 色 的 撲 克 牌, 由 左 到 右 ( 右 邊 的 紙 牌 會 壓 在 左 邊 之 上 ), 依 A 2 3 4. J Q K 的 順 序 排 列 ( 步 驟 二 ): 因 為 翻 一 張 放 四 張 的 結 果 會 剩 下 4 張, 所 以 把 最 後 四 張 利 用 數 格 子, 微 調 成 (0, K, J, Q) 此 時 撲 克 牌 排 列 形 成 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, K, J, Q) ( 步 驟 三 ): 觀 察 ( 計 算 G) 中 計 算 結 果 的 第 一 個 數 字 4, 代 表 移 動 末 位 四 張, 一 次 移 動 4 張 ( 因 為 是 翻 一 張 放 四 張 ), 第 二 個 數 字 0, 代 表 向 前 移 動 0+= 位 置 於 是 我 們 將 末 四 張 的 0, K, J, Q 一 起 放 置 於 9 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 0, K, J, Q, 9) ( 步 驟 四 ): 觀 察 ( 計 算 F) 中 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 4, 代 表 移 動 末 位 四 張, 第 二 數 字, 代 表 向 前 移 動 +=2 個 位 置 於 是 我 們 將 末 位 的 K, J, Q, 9 放 置 於 8 前 面 的 相 鄰 位 置 操 作 的 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, K, J, Q, 9, 8, 0) ( 步 驟 五 ): 觀 察 ( 計 算 E) 中 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 4, 代 表 移 動 末 位 四 張, 每 次 移 動 四 張 ( 因 為 翻 一 張 放 四 張 ), 第 二 個 數 字 2, 代 表 每 次 向 前 移 動 2+=3 個 位 置 亦 即 我 們 將 末 四 張 Q, 9, 8, 0 放 在 7 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 6, Q, 9, 8, 0, 7, K, J) ( 步 驟 六 ): 觀 察 ( 計 算 D) 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 4 代 表 移 動 末 位 四 張, 每 次 移 動 四 張 ( 因 為 翻 一 張 放 四 張, 第 二 個 數 字 3, 代 表 每 次 向 前 移 動 3+=4 個 位 置 亦 即 我 們 將 末 四 張 0, 7, K, J 放 在 6 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, 2, 3, 4, 5, 0, 7, K, J, 6, Q, 9, 8) ( 步 驟 七 ): 觀 察 ( 計 算 C) 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 8 代 表 移 動 末 位 八 張, 每 次 四 張 一 起 移 動 ( 因 為 翻 一 張 放 四 張, 第 二 個 數 字 0, 代 表 四 張 一 起 每 次 向 前 移 動 0+= 個 位 置 亦 即 我 們 分 別 將 末 四 張 6, Q, 9, 8 及 接 下 來 四 張 的 0, 7, K,J 分 別 放 在 5 及 4 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, 2, 3, 0, 7, K, J, 4, 6, Q, 9, 8,5) ( 步 驟 八 ): 觀 察 ( 計 算 B) 的 計 算 結 果 第 一 個 數 字 8 代 表 移 動 末 位 八 張, 每 次 四 張 一 起 移 動 ( 因 為 翻 一 張 放 四 張, 第 二 個 數 字 2, 代 表 四 張 一 起 每 次 向 前 移 動 2+=3 個 位 置 亦 即 我 們 分 別 將 末 四 張 Q, 9, 8,5 及 接 下 來 四 張 的 K, J, 4, 6 分 別 放 在 3 及 2 前 面 相 鄰 的 位 置 操 作 結 果 會 是 (A, K, J, 4, 6, 2, Q, 9, 8, 5, 3, 0, 7) 9

陸 討 論 一 我 們 利 用 了 逆 推 法 數 據 歸 納 寫 成 函 數 魔 術 手 法 的 幾 種 方 法 來 解 釋 這 個 問 題, 還 有 其 他 的 解 釋 方 法 嗎? 還 是 其 實 採 取 直 觀 的 方 法 就 應 該 可 以 解 決 問 題 了 呢? 二 解 決 問 題 的 幾 種 方 法 中, 因 為 要 把 結 果 寫 成 函 數, 所 以 必 須 學 習 一 些 新 的 數 學 符 號, 因 此 花 了 最 多 的 時 間 四 當 我 們 做 完 一 次 翻 一 張 放 一 張 後 得 到 一 個 新 的 排 列 ( 實 際 操 作 結 果 ), 記 錄 下 來 後, 再 持 續 翻 一 張 放 一 張 的 動 作, 又 得 到 一 個 新 的 排 列, 持 續 重 複 這 個 動 作, 我 們 會 發 現 以 形 成 一 個 循 環 相 同 的, 如 果 我 們 持 續 的 翻 一 張 放 兩 張, 將 結 果 記 錄 下 來, 也 可 以 形 成 一 個 循 環 這 樣 的 現 象 是 否 有 其 背 後 的 數 學 意 義? 我 們 可 以 另 案 再 加 以 研 究 嗎? 五 我 們 從 N ( 每 翻 完 一 張 後, 所 要 放 到 覆 蓋 撲 克 牌 下 方 的 撲 克 牌 數 目 ), 可 以 透 過 數 格 子 的 方 法, 得 到 最 後 可 形 成 一 條 龍 所 需 的 排 列 透 過 逆 推 法 或 是 寫 出 來 的 函 數 可 以 從 N 得 到 相 關 排 列 ( 我 們 稱 為 實 際 操 作 結 果 ) 那 我 們 可 以 從 可 形 成 一 條 龍 的 排 列 或 是 實 際 操 作 結 果, 找 到 一 個 關 係 式, 去 得 到 N 嗎? 六 曾 經 寫 過 一 些 社 會 科 學 的 專 題 報 告, 從 這 一 次 從 事 數 學 科 展 的 過 程 中, 感 受 到 了 自 然 科 學 與 社 會 科 學 上 的 不 同, 也 學 習 到 了 許 多 不 一 樣 的 觀 念, 收 穫 良 多 柒 結 論 一 看 過 電 視 曾 經 破 解 過 一 些 神 奇 的 魔 術, 從 這 一 次 的 研 究 我 們 也 了 解 到 充 足 的 知 識 的 確 可 以 幫 助 解 決 一 些 你 不 知 道 的 現 象, 或 是 製 造 一 些 令 人 驚 訝 的 效 果 二 一 開 始 老 師 交 給 我 們 這 樣 的 題 目 的 時 候, 覺 得 有 些 複 雜 可 是 經 過 了 一 些 時 間 的 思 考, 卻 發 現 意 外 的 用 相 當 直 觀 的 角 度 就 可 以 解 決 問 題 可 是 當 我 們 再 深 入 問 題 的 背 後, 發 現 想 把 這 個 題 目 解 釋 清 楚, 或 是 這 個 題 目 衍 生 的 一 些 問 題, 好 像 又 不 如 想 像 中 簡 單 我 們 了 解 到 了 看 一 件 問 題 的 難 易 度, 也 常 常 取 決 於 你 想 了 解 的 層 次 0