自旋霍爾效應之簡介 Introduction of sin-hall effect metal linear nanowires 王律堯 國立交通大學電子物理系 摘要 : 自旋電子學一直是現代科學與工業應用相當重視的一個領域, 利用操控電子自旋可以對新一代的元件發展以及儲存技術有重大的突破 ; 在半導體材料中, 電子自旋軌道耦合提供一個可能的方式讓我們可以操控電子自旋的傳輸行為, 而其中很重要的一個現象就是 自旋霍爾效應, 它提供一個簡單的物理機制去利用縱向的電流去產生橫向的自旋流, 我們這邊討論的內稟自旋霍爾效應是由半導體材料中的自旋軌道耦合所造成的現象, 希望藉此可以讓我們對於操控電子自旋有更近一步的認識 一 前言 : 一般元件的應用是利用材料中電荷 ( 電子或電洞 ) 相關的傳輸現象, 但是隨著科學的日新月異, 人類已經開始利用電子的另一個自由度 : 自旋 (sin) 自旋是電子與生俱來的一個角動量, 從解相對論性的狄拉克方程式 (Dirac s equation) 得到的電子波函數很自然就包含電子自旋的部份, 透過對電子自旋的操控, 也為理論與應用科學開啟另一扇大門, 尤其是 Alert Fert 和 Peter Gruenerg( 兩位教授為 7 年諾貝爾物理獎得主 ) 發現了巨磁阻 (GMR) 材料, 也讓自旋相關的傳輸現象開始被廣泛應用 除了金屬性的 GMR 材料, 由於半導體產業的蓬勃發展, 在半導體材料中我們也可以利用自旋軌道耦合 (sin-orit couling) 來操控電子的自旋傳輸, 其主要的優點是可以方式將有興趣的材料拉長 8, 然後短暫的利用電性的方式來操控自旋 ; 由於自旋電子學 (sintronics) 的發展, 許多應用已經被實現, 例如 : 應用在磁碟儲存 記憶體等 ; 將來甚至運用電子自旋可以讓量子電腦被實現 1 本文將著重簡介在半導體材料中的自旋軌道偶合交互作用所引起的自旋霍爾效應, 希望引起讀者對自旋電子學的興趣 二 自旋軌道耦合與自旋霍爾效應 : 所謂電子自旋軌道耦合 (sin-orit couling), 簡稱 SOC, 是指電子的 自旋角動量 與 軌道角動量 的交互作用結果 電子在真空中, SOC 的交互作用 HSO 可以表示為 : λ vac 1 dv H SO = σ ( V P) = L σ 4m c r dr ; 其中, V(r) 是空間中的位能變化,m 為自由電子質量,σ 表示 Pauli 矩陣向量, L 是軌道角動量, 常數 6 λ vac = 3.7 1 Å, 因此在真空中我們 長可忽略電子 SOC 效應 ; 但電子在半導體 會訊 49 期 SEP 9 14
材料中的 SOC 交互作用為 λ 1 dv L σ, 此一常數 λ 卻遠比真 r dr 空中的值大許多, 例如 : 在 InAs 中 λ = 1 Å, 在 GaAs 中 λ = 5.3 Å 這是因為電子在真空中的能量尺度為 m c ~. 5MeV, 但是在半導體中能量尺度為能隙 (energ ga) E g ~ 1eV, 兩者有數 量級的差異 由以上的簡單物理圖像我們 可以理解 : 電子運動感受到空間位能的變 化就會產生 SOC 的交互作用, 一般而言, SOC 可以區分為兩大類 :( 一 ) 外稟 (etrinsic) 的 SOC, 它是由外來重雜質的 位能變化所引起的 ;( 二 ) 內稟 (intrinsic) 的 SOC, 它是由材料本身結構所引起的 在本文中, 我們將著重探討內稟 (intrinsic) 的 SOC 效應 內稟自旋軌道耦合可以用 h σ 來表示, h 為 SOC 之等效磁場, 表 子的自旋方向是平行於電子運動方向 一般霍爾效應 (Hall effect) 是指在二 維條狀樣品中外加一個垂直樣品的磁場 B, 在傳輸方向外加電場 E 時, 正負電 荷會往相反的 方向移動 ( 圖 1a) 而自旋 霍爾效應 (sin-hall effect), 簡稱 SHE, 是指在無外加磁場的狀況下, 通一電場 E, 注入一非極化的電流 (unolaried current), 自旋向上與自旋向下的電子會往 相反的方向移動 ( 圖 1), 然而往上和往下 走電荷數目相等, 因此並不會有淨電流在 方向上流動 ;SHE 主要成因是材料中的 SOC 造成的 示電子以動量 運動時, 自旋極化方向會傾向能量較低的狀態也就是平行於 的 h 方向, 內稟 SOC 可分為兩種 :(i) Rasha 形式的 SOC, 是由於結構反轉不對稱 (structure inversion asmmetr) 所引起的 一種自旋軌道偶合, ( h, h) ( α, α) =, α 我們在這裡 稱做 Rasha-SOC 耦合係數 ; (ii) Dresselhaus 形式的 SOC, 是由於塊材反轉不對稱 (ulk inversion asmmetr) 所引起, 它的等效磁場形式可以被表示為 ( ) ( h, h) = β( κ ), β( κ ), β 是 Dresselhaus-SOC 耦合係數 以上的 SOC 等效磁場關係式告訴我們, 對於 Rasha-SOC 電子的自旋方向是垂直於電子運動方向 ;Dresselhaus-SOC 電 圖 1:(a) 霍爾效應 : 有外加磁場,V>;() 自旋霍爾效應 : 對一束未極化的入射電荷流且無外加磁場,V= 對於 SHE 的解釋,J. Sinova 提出一個物理圖像說明 Rasha-SOC 在彈道傳輸範疇 (allistic regime) 的例子 : 當平衡時 (t=), 電子的自旋垂直於電子運動方向 會訊 49 期 SEP 9 15
( 圖 a); 當外加電場 E 打開至時間 t, 費米面會被位移, 綠色箭頭表示電子動量 方向, 等效磁場是垂直於電子動量, 紅色 箭頭代表電子自旋方向, 原來電子 (t=) 自旋的方向會傾向於平行於新的等效磁 場而轉動 (rocession), 不難看出在 + 與 方向電子自旋繞等效磁場方向相 反, 使得往 + 與 - 方向的電子會有不同的 方向自旋極化 ; 因此我們可以得到一個 普適的自旋霍爾電導常數 : σ = e /8π 在平衡態時, 內稟 SOC 所造成的等效磁場會使電子自旋方向躺 在二維的平面上, 但是在非平衡態 (non-equilirium) 時, 一個外加的電場卻 可以引起 方向極化的電子自旋 圖 :Rasha-SOC 外加電場產生 SHE 三 自旋擴散的傳輸行為 : 然而, 近幾年的理論研究指出, 對於 有雜質的樣品, 我們必須考慮雜質對 SHE 的影響, 因此我們要考慮擴散範疇 (diffusive regime), 就是自旋轉動一圈所 走的距離 (sin rocession length): lso 遠 大於電子平均自由路徑 (mean free ath) le, 這個理論給我們一個驚訝的結果, 那 就是證實了對於動量線性相關 (linear-momentum deendent) 的 SOC 系統 ( 例如 : Rasha-SOC), 雜質貢獻的霍爾電 導剛好為 σ, 剛好完全抵銷樣品本身 SOC 所造成自旋霍爾電導 σ 的貢獻 3, 在這種情形下就沒有 SHE 發生 total ( σ = ) 因為在考慮非線性動量相關的 SOC 下, 像是 Dresselhau-SOC, 即使在考慮雜質散射的擴散範疇下, 結果顯示 SHE 仍然會存在 ; 接下來我們將用自旋的擴散方程 (sin diffusion equation) 來了解在 Rasha-SOC 和 Dresselhaus-SOC 下的自旋行為 要推導自旋擴散方程在電場下的表示式, 我們需要利用一些非平衡的格林函數 (nonequilirium Green s function) 技巧, 但這些數學我們不在本文一一詳敘, 我們有興趣的是自旋擴散方程式的每一項對應的物理圖像, 我們考慮一個簡單系 統如圖 1, 外加一電場 E, 因為 - 方向 具有平移不變性, 因此 Rasha-SOC 的自旋擴散方程為 : D S Γ S = D ( S S) + R S Γ ( S S) = D S R ( S S) S + Γ = (A) Dresselhaus-SOC 的自旋擴散方程為 : ( ) ( ) D S S + R S Γ S S = D S Γ S = D S R ( S S ) S + Γ = (B) 其中擴散係數 D= vfτ / ( v F 費米速度,τ 雜質彈性散射時間 ), 自旋繞著等效 會訊 49 期 SEP 9 16
SOC 磁場轉動 (recession) 的相關係數為 R = 4τ ε hv, 上橫線符號表示對 ilm iln n m F n 動量做角度平均的意思 自旋弛豫率為 ( δ n n ) Γ = 4τh, 單位向量 ij il i l nˆ = h / h, 表示電子碰撞雜質改變運 動方向, 導致等效 SOC 磁場也改變, 自旋 會傾向於繞著新磁場轉動, 碰撞很多次會 使自旋弛豫 S M D / i i = 為塊材自旋 密度 ( 與空間座標無關的一個常數 ), 正比 於外加電場強度和 SOC 耦合係數, 其中 自旋與電荷耦合 (sin-charge couling) 項 i 3 3 i 為 M = 4τ h ( n / ), 此項表示外加 電場對自旋產生交互作用, 與外加電場有 關的量 D = N ee (N 是費米態密 度 ) 4 很明顯從方程式 (A) (B) 可以得到 對 Rasha-SOC 而言, S = Dresselhaus-SOC 而言, S = 度 ; 對 接下來的問題是在邊界時, 自旋密 S i 應該滿足什麼樣的邊界條件? 為了 簡化問題方便探討物理, 我們考慮無限高 位能障的邊界條件 (hard-wall oundar condition), 意即在邊界 =± w/自旋流 (sin current) 為零 一般自旋流是一個非 守恆量 ( 不同於電荷量守恆, 因為自旋會 弛豫 轉動 ), 它的定義很困難, 但是這 裡, 我們的方法是從 自旋密度 出發, 自旋密度是一個可以觀測的真實物理 量, 所以我們自旋流定義是以非平衡的自 旋密度出發, 只要自旋密度不均勻就會有 自旋流產生 ; 當穩定態達到時, 因為邊界 將不會在有自旋流, 否則自旋密度會在邊 界發散掉 ( 一直有自旋注入到邊界 )! 對 於 Rasha-SOC 自旋流為 D S R S = =± d / =± d/ i D S R ( S S) + Iδ = =± d/ =± d/ (C) Dresselhaus-SOC 自旋流為 D ( S S ) R S = =± d / =± d/ i D S R ( S S ) + Iδ = =± d/ =± d/ (D) 其中我們有一項自旋霍爾流為 j I = R S + 8 τ ee N v h / h (( ) ) j F 在方程式 (3) 中, 我們發現對 Rasha-SOC 而言 I = ; 所以結合方程式 (A) 和 (C), 立刻得到自旋密度解為 ( ) ( S, S, S ) =, S,, 所以明顯知道在 擴散範疇下, 對 Rasha-SOC 而言, 沒有 垂直二維平面的自旋密度產生, 因此沒有 自旋霍爾效應 ( 因為 S = ) 反觀, 在方程式 (D) 中, I, 所以結合方程式 (B) 和 (D), 很容易看出 S =, S = S, 不是 方程式的解 ; 因此對 Dresselhaus-SOC 而 言, 解為 S, S S S ( ) = +, 這結果 告訴我們對於非線性動量相關的 SOC, 的 確存在自旋霍爾效應, 即垂直平面的自旋 分量堆積 (sin accumulations) 在樣品邊 緣 考慮 GaAs 樣品, 等效質量為.67 15 m, 電子密度為 1 (1/m ), 圖三橫軸 表示 方向 ( 垂直電場方向, 以自旋轉動一 圈所走距離為單位, 即 l so ), 我們可以畫 會訊 49 期 SEP 9 17
出自旋密度 S 在空間的分佈情形, 邊緣在 =± 5; 很明顯看到在左右兩邊緣的自旋堆積是一正一負 ( 極化方向相反 ), 樣品中 間部分的 S 幾乎為零, 當然我們可以藉由 調控電子密度來改變費米波向量 kf 的大小值, 其中 κ 是由準二維電子氣的 方向上的厚度決定 ( 約 3 1 8 m); 藉由調整 k / κ 比例大小可以讓左 右兩邊界 F (=-5,+5) 的自旋密度相反 圖 4:S 對磁場 B 的空間俯視圖 (=-5,5 分別為樣品橫向的左, 右邊界 ) 圖 3:S 對 的空間分布圖 四 結語 : 自旋霍爾效應 (SHE) 只是自旋理論與應用的其中一部分, 不過其中包含很多有趣的物理現象值得去研究 ; 目前實驗上已經在電子系統中觀測到外稟的自旋霍爾效應 5, 也在電洞系統中觀測到內稟的 SHE 6, 相信不久的將來有機會在電子系統下觀測到內稟的自旋霍爾效應 ; 內稟和外稟自旋霍爾效應可利用外加平面磁場 B( 垂直於電場方向的小平面磁場 ) 來區分, 外稟 SHE 下的正負磁場的變化對自旋邊緣堆積是對稱的 5, 相對的內稟 SHE, 正負磁場的變化對自旋邊緣堆積是不對稱的顯示在圖 4 4 自旋電子學已經漸漸在我們世界被應用與研究, 相信在不久的將來, 我們的生活會與自旋電子學應用密不可分 參考文獻 [1] Semiconductor Sintronics and Quantum Comutation, edited D. D. Awschalom, N. Samarth, and D. Loss (Sringer-Verlag, Berlin, ). [] Jairo Sinova et al., Phs. Rev. Lett. 9, 1663 (4). [3] J. I. Inoue, G. E.W. Bauer, and L.W. Molenkam, Phs. Rev. B 7, 4133 (4); E. I. Rasha, Phs. Rev. B 7, 139 (4); O. Chalaev and D. Loss, Phs. Rev. B 71, 45318 (5); A. G. Mal shukov, L. Y. Wang, C. S. Chu, and K. A. Chao, Phs. Rev. Lett. 95, 14661 (5). [4] L. Y. Wang, C. S. Chu, and A. G. Mal shukov, Phs. Rev.B 78, 1553 (8). [5] Y. K. Kato, R. C. Mers, A. C. Gossard, and D. D. Awschalom, SCience 36, 191 (4). [6] J. Wunderlich et al. Phs. Rev. Lett. 94, 474 (5). 會訊 49 期 SEP 9 18