z = 0. [8] z = 0. R.. 1 [7]. ( λ o oxyz 1 ox ( oy ( oz SN ω ω = iω cos λ + kω sin λ ω = rad/s (24. 1 m ν 0 o f = mkv k mẍ = 2mωẏ s

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1 ( O313.1 A ( DOI / Abstract RESEARCH ON A REMOTE PROJECTILE CONSIDERING THE AIR RESISTANCE AND THE EARTH ROTATION 1 WANG Anxiang 2 ZHANG Xiaojun ZHAI Xuejun CHANG Hongfang (School of Science, Xi an Polytechnic University, Xi an , China Remote projectile landing time and location on the earth s surface were calculated using two approaches, becase of the calculation defects in the rectangular Cartesian coordinate system connected to the earth s surface. First, we established a rectangular Cartesian coordinate system on the earth s surface, and then calculated the analytical solution for arbitrary projection angles considering the air resistance and the earth rotation. The conversion relation between the rectangular Cartesian coordinate system and the geocentric coordinate system was obtained. The landing time and location of the remote projectile were calculated under the condition that the distance between the projectile and the earth s core is equal to the earth radius R. Second, the position, velocity and acceleration of the projectile was described in the spherical coordinates system, the landing information of the projectile was obtained by numerical calculation. The calculation results from the two methods are very close, indicating that both the two methods are feasible for obtaining information of the projectile. Key words projectile, Coriolis force, Runge-Kutta method, air resistance [1-7] [1-3]. [4-5]. [6-7] (11JK0557, (2010JG48 (2012JM waxiang0921@126.com

2 z = 0. [8] z = 0. R.. 1 [7]. ( λ o oxyz 1 ox ( oy ( oz SN ω ω = iω cos λ + kω sin λ ω = rad/s (24. 1 m ν 0 o f = mkv k mẍ = 2mωẏ sin λ mkẋ (1a mÿ = 2mω(ẋ sin λ + ż cos λ mkẏ (1b m z = 2mωẏ cos λ mkż mg (1c t = 0 x = y = z = 0 ẋ = ν 0 cos α ẏ = ν 0 cos β ż = ν 0 cos γ. α, β γ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 α, β γ. (1 ẋ = 2ωy sin λ kx + ν 0 cos α 3 2 ẏ = 2ω(x sin λ + z cos λ ky + ν 0 cos β ż = 2ωy cos λ kz gt + ν 0 cos γ (2a (2b (2c (2a (2c (1b (2b (x sin λ + z cos λ ÿ + 2kẏ + (k 2 + 4ω 2 y = 2ωgt cos λ 2ων 0 cos α sin λ 2ων 0 cos γ cos λ + kν 0 cos β(3 (3 y = e kt (c 1 cos 2ωt + c 2 sin 2ωt+ 2gω cos λ ( k 2 + 4ω 2 t + 4gkω cos λ q k 2 + 4ω 2 q = kν 0 cos β 2ων 0 cos α sin λ 2ων 0 cos γ cos λ (4 ( 4gkω cos λ / c 1 = k 2 + 4ω 2 q (k 2 + 4ω 2 (5 c 2 = 1 [ ( 4gkω cos λ / ν 0 cos β + k 2ω k 2 + 4ω 2 q (k 2 + 4ω 2 2gω cos λ ] k 2 + 4ω 2 (6 (4 (2a (2c [ x = c 1 sin λ sin 2ωt c 2 sin λ cos 2ωt+ 4ω 2 g sin λ cos λ ( te kt k 2 + 4ω 2 k 2ω sin λ k(k 2 + 4ω 2 ν 0 k cos α(ekt 1 + c 2 sin λ+ ekt k 2 + ( 4gkω cos λ q k 2 + 4ω 2 (e kt 1+ 1 k 2 4ω2 g sin λ cos λ ] k 2 + 4ω 2 e kt (7 [ z = c 1 cos λ sin 2ωt c 2 cos λ cos 2ωt+ 4ω 2 g cos 2 λ ( te kt k 2 + 4ω 2 k 2ω cos λ k(k 2 + 4ω 2 ekt k 2 + ( 4gkω cos λ q k 2 + 4ω 2 (e kt 1

3 4 51 ( te kt g k ekt k 2 + ν 0 cos γ (e kt 1+ k c 2 cos λ + 4ω2 g cos 2 λ k 2 + 4ω 2 1 k 2 g k 2 ] e kt (8 (4 (7 (8. O XY Z X = R cos λ cos ϕ + x Y = R cos λ sin ϕ + y Z = R sin λ + z (11 2 O XY Z 2. oxyz O XY Z. (4 A O XY Z [ X = R cos λ cos ϕ + x cos θ+ ] z cos 2 θ cos ϕ + y cos 2 + ϕ [ Y = R cos λ sin ϕ + y cos ϕ + x cos θ+ ] z cos 2 θ cos 2 ϕ Z = R sin λ + z cos θ + x cos 2 + θ (12 2 A oxyz (x y z. (1 1 oxyz oy θ ox y z A x = x cos θ + z cos 2 θ y = y (9 z = z cos θ + x cos 2 + θ λ = 45 ϕ = 45 h = 0 m, ν 0 = 5.0 km/s α = 45, β = 90, γ = 45 k = 1 mn s/(kg m 3 6. z = 0 t = s. R t = s.. 6 z = 0 t = s. (2 2 ox y z oz ϕ ox y z x = x cos ϕ + y cos 2 + ϕ y = y cos ϕ + x cos 2 ϕ z = z = z cos θ + x cos 2 + θ (10 (3 3 ox y z 3

4 z = 0 5 R 1 3 λ = 45 ϕ = 45 h = 0 m k = 1 mn s/(kg m R / z = 0 (km s 1 /s /( /( /m /s /( /( k = 10 mn s/(kg m R / z = 0 (km s 1 /s /( /( /m /s /( /(

5 k = 100 mn s/(kg m R / z = 0 (km s 1 /s /( /( /m /s /( /( v = 5.0 km/s ( km k λ = 45 ϕ = 45 h = 0 m ν 0 = 5.0 km/s. 8 (k = 100 mn s/(kg m r = r(te r (13 v = ṙe r + e θ r θ + e ϕ r ϕ sin θ = ν r e r + ν θ e θ + ν ϕ e ϕ (14 a = ( r r θ 2 r ϕ 2 sin 2 θe r + (r θ + 2ṙ θ r ϕ 2 sin θ cos θe θ + (r ϕ sin θ + 2ṙ ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θe ϕ (15 ma = F mge r 2mω ν (16 7 (k = 10 mn s/(kg m

6 (20 r r θ 2 r ϕ 2 sin 2 θ = bṙ g + 2ωr ϕ sin 2 θ r θ + 2ṙ θ r ϕ 2 sin θ cos θ = 2ωr ϕ cos θ sin θ br θ r ϕ sin θ + 2ṙ ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θ = br ϕ sin θ 2(ωr θ cos θ + ωṙ sin θ] (21 9 2mω ν = 2m(e r ω cos θ e θ ω sin θ (ṙe r + r θe θ + r ϕ sin θe ϕ = 2m[(ωr θ cos θ + ωṙ sin θe ϕ ωr ϕ cos θ sin θe θ ωr ϕ sin 2 θe r ] (17 F = mbν = mb(ṙe r + r θe θ + r ϕ sin θe ϕ = mbṙe r mbr θe θ mbr ϕ sin θe ϕ (18 F mge r 2mω ν = [9]. 4 λ = 45 ϕ = 45 h = 0 m α = 45 β = 90 γ = R k -- z = R ν 0 = 5.0 km/s k = 1 mn s/(kg m k = 100 mn s/(kg m. ( mbṙ mg + 2mωr ϕ sin 2 θe r (2mωr ϕ cos θ sin θ mbr θe θ + [ mbr ϕ sin θ 2m(ωr θ cos θ + ωṙ sin θ]e ϕ (19 (14, (15 (19 (16 m( r r θ 2 r ϕ 2 sin 2 θ = mbṙ mg + 2mωr ϕ sin 2 θ m(r θ + 2ṙ θ r ϕ 2 sin θ cos θ = 2mωr ϕ cos θ sin θ mbr θ m(r ϕ sin θ + 2ṙ ϕ sin θ + 2r θ ϕ cos θ = mbr ϕ sin θ 2m(ωr θ cos θ + ωṙ sin θ] (20 / / (mn s/(kg m (km s 1 /s /( /(

7 (k = 1 mn s/(kg m 11 λ λ -- λ 1 4 k ν k ν 0 λ λ -- 5 k k = 100 mn s/(kg m k = 10 mn s/(kg m.. k = 1 mn s/(kg m ν = 3.0 km/s ν < 3.0 km/s. ν 0 k. (k = 100 mn s/(kg m 5 / / /( /( (mn s/(kg m (km s 1 ( -- ( /( /%

8 R ( (Yin Xinguo, Gong Pifeng, Zhu Mengzheng, et al Influence of air resistance on a falling body defecting eastward College Physics, (12 5-7(in Chinese ( (Lou Zhimei. A solution of expression for drift of a free-falling body in the northern hemisphere after taking the influence of air drag force into account. Mechanics and Engineering, 2001, 23(2: (in Chinese ( (Li Tuo A new drift solution of the free-falling body and the up-cast College Physics, ( (in Chinese ( (Lou Zhimei The approximative solution of differential kinematics equation containing a cubic veloccity nonlinear term for a projectile in the northern hemisphere Journal of Southwest China Normal University (Natural Science, ( (in Chinese ( (Zhu Rong The systematic study of the influence of rofation of the earth and the air resistance to the projectile Journal of Shanxi Teacher s University Natural Science Edition, ( (in Chinese ( (Wang Anxiang, Li Jijun, Zhai Xuejun, et al The effect of Coriolis force on vertical throw-up motion Basic Sciences Journal of Textile Universities, ( (in Chinese 7 Matlab ( (Wang Anxiang, Li Jijun, Zhai Xuejun, et al Study on the effect of coriolis force on projectile motion based on matlab Journal of Shanxi University of Science & Technology, ( (in Chinese ( (Fan Changzeng, Wang Wenkui. Review on the electromagnetic railgun. Journal of Yanshan University, ( (in Chinese (2: (Li Xiayun, Chen Chuanmiao. Solving nonliner equations by using runge-kutta method. Mathematicaltheory and Applications, (2: (in Chinese ( : (..... ( 98,

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