流體力學講義

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1 流體力學講義 王曉剛義守大學機械與自動化工程系 中華民國一 一年九月

2 目錄 : 0. 流體力學回顧 4. 流體力學簡介..7 - 因次 dimensions 與單位 nits.7 - 黏滯力 iscosit.8 - 枯魏 Coette 流場及波蘇拉 Poiseille 流場..4 - 黏滯係數之測量..7 - 剪應力場 stess field..8 - 流體力學分析方法... 流體靜力學 Flid Statics.3 - 流體內壓力分佈..3 - 壓力之測量..3 - 平板潛體之液體靜壓.37 - 曲面潛體之液體靜壓 浮力 boanc 基本流體動力學 - 白弩力方程式 Benolli eqation 流體沿流線 steamline 方向力之平衡.49

3 - 流體垂直於流線方向力之平衡.57 - 靜力壓 停滯壓 動力壓 與全壓.65 - 白弩力方程式之應用 流體運動學 Flid Kinematics.78 - 速度場 elocit field 加速度場 acceleation field..8 - 控制容積 contol olme 與系統 sstem 表示法 雷諾轉換定理 Renolds tansot theoem88 5. 有限控制容積 finite contol olme 分析.96 - 質量守衡.96 - 牛頓第二定律 動量守衡 03 - 能量守衡 4 6. 流體微分 diffeential 分析.. - 流體元素運動學 kinematics - 質量守衡 8 - 動量守衡 非黏滯流體流場 iniscid flow.4 - 黏滯流體流場 iscos flow..5 3

4 第 0 章 流體力學回顧 流體力學知識可應用到氣象學 meteoolog 海洋學 oceanogah 水文學hdolog 醫療研究 例如血液循環及人工心臟等 交通運輸 例如飛機與火箭之空氣動力學 aeodnamics 及船艦及潛水艇等 土木工程 例如水災控制 民生供水 地下水 輸油管等 阿基米得 Achimedes 與亞歷山大大帝 Heo of Aleandia 發展出向量定律 浮體與潛體之浮力, 並導出微觀微積分學 羅馬人在西元前 ~400 年已建造供水系統 達文西 Da inci 在 5 世紀導出質量守衡定律, 並用以解釋水波 噴流 jet 水流猛脹hdalic jm 等 馬瑞奧特 Maiotte 在 6 世紀建造第一個風洞 牛頓 Newton 於 7 世紀導出運動方程式 線性流體之黏滯度 iscosit of linea flid- 此類流體稱為牛頓流體 newtonian flid, 他並導出非黏滯流體 efect o fictionless flid 之運動方程式 白弩力 benolli 歐拉 Ele 拉格蘭及 Lagange 4

5 拉普拉氏 Lalace 等人解出很多的非黏滯流體流場問題 歐拉 Ele 將流場以微分 diffeential 及積分 integal 型式表示, 此導致白弩力方程式之產生 之後科學家開始運用實驗方法而衍生流體力學之一支 水力學 hdalics 皮托 Pitto 偉伯 Webe 哈根 Hagen 波蘇拉 Poiseille 達西 Dac 等人做了很多管路 水波 船體阻力等實驗 9 世紀時, 科學家結合實驗水力學 eeimental hdalics 與理論水動力學 theoetical hdodnamics, 而建立現代流體力學之基礎 福祿德 Fode 發展出用模型做測試 瑞理 Raleigh 提出因次分析 dimensional analsis 之技巧 雷諾 Renolds 證明一無單位參數 稱之為雷諾數 Renolds nmbe 之重要性 那伏亞 Naie 及史多克 Stokes 將黏滯力項加入運動方程式而導出 Naie-Stokes 方程式, 但此方程式求解困難 此困難被 0 世紀最偉大之流體力學與熱傳學家普朗多 5

6 Pantdl 解決, 普朗多提出邊界層理論 bonda lae theo- 流體流經物體, 在表面會形成一層薄層稱之為邊界層, 只有在此薄層內黏滯力影響重要, 而在此薄層外大部分之流場黏滯力不重要, 固可假設為非黏滯流體, 並可使用白弩力方程式描述流場 普朗多的學生包括馮卡門 on Kaman, 布勞西斯 Blasis 及尼可瑞斯 Nikades 等人, 在黏滯流 邊界層 紊流等方面均有不可磨滅之貢獻 其研究結果大大地影響第二次世界大戰美 德雙方之航空發展 0 世紀其他偉大的流體力學學者包括馮卡門 on Kaman 及泰勒 Talo 等人, 在黏滯流 邊界層 紊流等方面均有不可磨滅之貢獻 自 ~990 年以來, 因高速計算機之長足進度, 而發展出以數值分析的方法解析複雜流場之問題 此稱為計算流體力學 comtational flid dnamics, CFD, 現今常用之 CFD 軟體有 PHOENIX, FLUENT, CFD000 等 流體力學可細分為下數個分類 : 流體動力學 hdodnamics -- 主要研究不可壓縮流體 6

7 水力學 hdalics - 討論管路內及開放式渠道之流体流動問題 氣體動力學 gas dnamics - 研究密度變化較大 可壓縮流體 之流體在高速下, 通過例如噴嘴 nole 時之現象 空氣動力學 aeodnamics - 主要討論空氣流過物體表面 例如飛機 火箭 汽車等 所產生之影響 另外, 由於流體特性, 例如黏滯力, 亦可細非為 : 黏滯流 iscos flow - 討論當流體與物體邊界之黏滯力不可忽視時流場之特性, 例如磨擦力等 位能流 otential flow 討論當流體與物體邊界之黏滯力可忽視時, 例如遠離物體上之邊界層時, 流場之速度 壓力等分佈 何謂流體? 液體與氣體統稱為 流體 固體與流體最大之不同, 在於其對剪應力 shea stess 之反應不同 7

8 流體內任一微小平面 δan 上均可找出切線方向力 δft 及法線方向力 δfn, 其單位面積所遭受的力 應力 分別為 τt 與 σn shea stess nomal stess F t δ τ t lim δa 0 δa δf σ n n lim δa 0 δa 上圖中垂直於流體平面之分力為垂直剪應力 nomal shea stess 或簡稱 nomal stess, 平行於平面之分力為切線剪應力 tangential shea stess 或簡稱 shea stess, 當流體靜止時, 其切線剪應力為零, 而其垂直剪應力為壓力 當固體接受一 切線方向剪應力 tangential shea stess 時, 其變形角度 shea stain 正比於此剪應力 ; 反之, 當流體接受一切線方向剪應力時, 其變形角度之時間變率 shea stain ate 正比於此剪應力 換言之, 當一剪應力施於固體時, 固體之變形角度正比於施力, 而變形不隨時間而變化 defomation angle Θ foce 8

9 而任一大小之剪應力施於流體時, 流體之變形角度將隨時間 而增加 flid defoms continosl 由實驗得知 : 固體在虎克定理 hooke s law 下, 變形角度正比於施與之剪應力 而流體之變形率 defomation ate 或 stain ate 正比於施與之剪應力 9

10 流體之分類 A 黏滯區 iscos egion 與非黏滯區 iniscid egion: 例如流體流過一平板時, 流體之黏滯力與平板間形成一黏滯區如下圖, 其磨擦力很重要 ; 反之, 在此薄層外, 因為流體內無相對速度, 故黏滯力不重要, 只要考慮壓力 esse foce 與慣性力 inetial foce 注意 : 沒有任何流體是完全沒有黏滯力的 B 管內流場 intenal flow 與外部流場 etenal flow: 流體流經管路 ie o dct 內, 稱為管內流體, 其速度分佈及黏滯力造成之管路壓力降 esse do 對流場影響很大 流體是包覆性地流過物體表面如下圖, 稱為外部流體, 流體與物體表面形成之邊界層, 以及物體在流體中遭受之阻止是研究之重點 0

11 網球上流體之分佈 以及分離點 seaation oint 尾波區 wake egion C 可壓縮 comessible 及不可壓縮 incomessible 流體 : 流體之密度不隨壓力而改變, 稱為不可壓縮流體, 例如液體 但氣體為可壓縮流體, 例如空氣在百分之一的大氣壓改變下, 其密度改變 % 一般流速時, 馬赫數低於 0.3 時, 密度變化低於 5%, 流體可視為不可壓縮流體 馬赫數 : Ma /C 流體流速 / 流體中聲音傳速馬赫數大於一 音速以上 時, 則必須考慮流體之可壓縮性質 D 層流 lamina flow 及紊流 tblent flow: 以流體之雷諾數 Renolds nmbe, Re 界定, 流速低時流場為較穩定之層流 ; 流速高時流場會產生劇烈之速度波動 flctation, 如下圖所示, 由層流至紊流間, 會有一過度區 tansitional

12 E 自然 natal 與強制 foced 流體 : 有外力 如幫浦 風扇等 驅動之流場稱為強制流 ; 自然流主要由流體本身溫度差造成之密度差而形成之流動 F 穩定 stead 及不穩定 nstead 場流場內之各種性質 速度 壓力等 不隨時間而改變, 稱為穩定流 ; 反之則為不穩定流 G 一維 one-dimensional 二維 two-dimensional 及三維 thee-dimensional 流場 : 實際之流場一般均為三維, 例如速度可表示為直角座標之,, 或圓錐座標之,θ,, 其分析較為複雜與困難 若一三維之流場, 在某一方向無太大速度變化, 則可將此流場假設為二維, 或更化簡為一維, 使分析簡單而不失其精確性 例如下圖圓形管路之流體在入口區為二維流場

13 ,, 而在 完全成形區 fll deeloed egion 為一維流場 因為速度只與徑向位置有關 何謂 邊界層 bonda lae 及 無滑動邊界條件 no-sli condition? 任何流體流過物體表面時, 因黏滯力之影響, 使得流體緊鄰固體表面時之流速為零, 此稱為 無滑動邊界條件 如下圖所示 Qestion: 汽車輪胎在轉動時與地面接觸之點之速度為何? 當煞車時又如何? 因無滑動邊界條件, 造成固體邊界上形成一速度降低之區間, 稱為 邊界層 如下圖所示, 此邊界層內黏滯力及流體 3

14 與固體表面之 牆壁剪應力 即磨擦力 影響重要 ; 反之, 邊界層外之流場速度幾乎為常數, 沒有相對速度, 故黏滯力 可忽視 流体流過非平面時產生之邊界層如下圖所示 : 在曲面之後半部, 因黏滯力及壓力分佈之交互影響, 固體表面流體流動方向甚至會回流, 此處稱為 分流點 flow seaation 如下圖所示, 之後將產生 渦漩 ote, 以及 尾波區 wake egion, 對固體在流場中之阻力影響甚大 流體力學分析方法 流體力學問題的分析方法, 一般可分為兩類 :. 系統 sstem 方法 4

15 . 控制容積 contol olme 方法而此二方法又分別可以用有限 finite 或積分 integal 的處理法 以及無窮小 infinitesimal 或微分 diffeential 的處理法進行之 系統 : 代表一固定質量之空間範圍, 系統邊界不可有質量之傳輸 但可有熱與功的傳輸 Q W 熱力學第一定律 E ss 控制容積 : 空間中任一範圍, 流體可流進或流出 5

16 流體力學觀測方法 流體力學觀測的方法友兩種 :. 拉格蘭及恩 lagangian 法 觀測者隨流體一同運動. 歐拉瑞恩 eleian 法 觀測者位於空間中一固定點, 不隨流體運動 此兩種方法各有優缺點, 容後再述 6

17 第一章 流體特性 物質之性質 oet: 原生性質 intensie oet 物質性質與系統質量之大小無關, 例如溫度 壓力 比重等 延伸性質 etensie oet 物質性質與系統質量不同而產生變化, 例如質量 體積 動量等 比性質 secific oet 乃延伸性質與系統質量之比, 故與系統質量無關, 例如比容積 secific olme, m 3 /kg / 單位質量總能secific total eneg, e E/m 等. 因次 dimensions 與單位 nits 主要因次 SI nits incile dimensions 質量 Mass {M}/ 力 Foce {F} 公斤 kilogam kg/ 牛頓 N F MLT - 長度 Length {L} 時間 Time {T} 溫度 Temeate {Θ} 公尺 mete m 秒 s 凱文 K 7

18 其他導出之單位 : foce of newton N kg.m/s eneg of jole J N.m owe of watt W J/s esse of ascal Pa N/m iscosit kg/m.s secific heat J/kg.K m /s.k 因次之均方性 Dimensional Homogeneit 注意 : 方程式中任一項之單位均須相同 例 : 證明白弩力方程式 Benolli s eqation 中每一項之單位相同 解 : o gh {N/m } {N/m } {kg/m 3. m /s } {kg/m 3. m/s. m} kg/m 3. m /s kg/m.s kg. m/s. /m N/m 密度 densit: kg/m 3 mass/nit olme 唸 Row 比容 secific olme: m 3 /kg / 比重 secific gait: s.g. /HO 例 : s.g.hg 3.6, 汞 水銀 之密度為何? 解 : Hg kg/m X 0 3 kg/m 3 8

19 比重量 secific weight: γ gn/m 3 單位體積重 量 γ 唸 Gamma Qestion: 你多重? 能量 eneg: 總能 total eneg E 包括熱能 機械能 動能 位能 電能 磁能 化學能 核能等 微觀能 micoscoic eneg: 分子結構與分子活動程度有關之能量, 稱為微觀能 內能 intenal eneg U: 所有微觀能之總和稱為內能 微觀能主要與物質之溫度有關 巨觀能 macoscoic eneg: 通常與物體運動之動能 kinetic eneg -- / 有關, 或是受重力 磁力 電力 表面張力而影響 受重力影響稱為位能 otential eneg -- g 熱能 themal eneg: 以顯能 sensible heat 及潛能 latent heat 形成存在之能量 焓 enthal h: 內能與壓力 體積乘積之和 ; h P P/ 9

20 上式之第二項為流動功 flow wok, 其為每單位流體為保 持流體流動所須之功, 為不可使用之功 故流動中流體之總能量可表示為焓 動能 與位能之總和 : e flowing P/ e h ke e h / g 內能與焓之變化可以溫度之變化表示之 : d c dt and dh c dt 其中 c 與 c 為理想氣體之等容比熱 constant-olme secific heat 與等壓比熱 constant-esse secific heat 當物質為不可壓縮 incomessible 時, 此二比熱相等, 且焓之改變為 : _ h P/ _ c ae _ T P/ 故等壓過程中 : h c ae T 等溫過程中 :_ h P/ _ 0

21 壓縮係數 Coefficient of Comessibilit: 流體之密度隨溫度與壓力而改變, 流體隨壓力改變之性質類似於固體之彈性 elasticit, 故流體之壓縮係數類似於固體之 楊氏係數 Yong s modls 流體之壓縮係數 唸 kaa 定義為 : P P κ Pa 為何負值? T 或近似為 : P P κ Pa / / T T constant 故壓縮係數代表體積或密度之改變分量 / 或 / 其壓力之改變量, 故不可壓縮流體之壓縮係數為無窮大 例如若要增加 % 水之密度, 需增加 0 倍之大氣壓 0 atm 此現象有時會造成很大影響, 例如水流在管路內, 若遭到壓縮而產生密度變大時 例如流經管路急遽變小區, 或急遽將管路閥門 ale 關閉時, 流體內之壓力快速上升, 而其引發之聲波 acostic wae 將衝擊到管路表面 管路彎曲處 bend 等, 而造成管路震動及產生之聲響, 並對管路建築物本身造成損害, 此現象稱為 水鎚 wate hamme

22 對理想氣體而言,P RT 故 P/ T RT P/, 故 κ ideal gas P Pa 因為 /, 故 d -d/, 且 d d 故對理想氣體而言, P P T constant 壓縮係數之倒數稱為 等溫壓縮力 isothemal comessibilit α: α κ P T P T / Pa 故等溫壓縮力為壓力改變時, 體積或密度之改變分量 體積澎脹係數 Coefficient of olme eansion 流體密度隨溫度之變化, 更勝於對壓力之變化 此變化造成自然界之風 海流 煙囪 及自然對流等現象 在等壓下, 改變溫度造成密度或體積改變之分量, 稱為體積澎脹係數 β 唸 beta: β T 或近似於 : P T P / K / / β T T / K

23 對理想氣體而言 : β ideal gas / K T 為絕對溫度 T 在自然對流 natal conection 中, 若物體溫度較其附 近流體溫度 T 為高, 則體積膨脹係數可近似為 : / β T T 或 β T T 因為溫度差異造成流體密度不同, 其所形成之浮力 boanc foce 造成流體之流動, 甚至造成物體之熱量 傳輸, 此稱為 自然對流熱傳 natal conection heat tansfe, 如下圖所示 : 若結合流體之壓力與溫度之變化, 將體積 T,P 微 分, 可得 : d T P dt P T dp βdt αdp 故體積或密度變化分量可近似為 : 3

24 β T α P. 黏滯力 iscosit Qestion: 水與油之密度相仿, 為何其流動特性相異? Qestion: 鳥在飛行與魚在游動時, 需克服何種力量? 固體 : 當一剪應力 shea stess 施於固體時, 固體之變 形角度正比於施力, 而變形不隨時間而變化 defomation angle Θ foce 流體 液體或氣體 : 任一大小之剪應力施於流體時, 流體 4

25 之變形角度將隨時間而增加 flid defoms continosl 由實驗得知 : 固體在虎克定理 hooke s law 下, 變形角度正比於施與之剪應力 而流體之變形率 defomation ate 正比於施與之剪應力 假設流體靜止於兩板之間, 當上塊板施與一力 P, 當平衡時 5

26 此板將以一速度 U 移動, 流體與上板及流體與下板均無相對速度, 故連接處流體之速度分別為 U 及 0, 此稱為 無滑動條件 no-sli condition 兩板之間流體將產生流動, 而其速度 將可證明為線性, U/b, 並產生一速度梯度 elocit gadient, d/d U/b 在微小時間 δt 內, 流體中 AB 線將旋轉角度 δβ, 故 tan δβ δβ 因 δa Uδt, 故 Uδt δβ b δa b 又變形率 defomation ate 可表示為 δβ γ lim δt 0 δt, 但 U γ b d d 而變形率又正比於剪應力 ττ P/A, 故 6

27 d τ γ, 或 τ d 對大多數液體與氣體, 剪應力與速度梯度可表示為 d τ µ d. µ 唸 m : 黏滯係數 iscosit 或動力黏滯係數 dnamic iscosit, kg/m.s ν 唸 n µ/ 運動黏滯係數 kinematic iscosit, m /s 7

28 牛頓流體 Newtonian flids 與非牛頓流體 non-newtonian flids 當流體受剪應力, 其角度變形率正比於剪應力時, 即黏滯係數為常數, 此類流體稱為牛頓流體 ; 當角度變形率與剪應力之關係非線性時, 此類流體稱為非牛頓流體, 如下圖所示 : 8

29 上圖之斜率即為流體之黏滯係數 當黏滯係數隨變形率增加而變大時, 此類流體稱為 膨脹流體 dilatant o shea thickening flids, 例如含有漩浮砂粒之液體 ; 當黏滯係數隨變形率增加而變小時, 此類流體稱為 偽塑性流體 sedolastic o shea thinning flids, 例如油漆 高分子溶液等 ; 當流體可以抵抗剪應力而不會變形, 而超過一剪應力臨界值後其黏滯係數類似於牛頓流體時, 此類流體稱為 賓漢塑性 Bingham lastic 在牛頓流體中若存在速度梯度時, 流體中平形於速度方向之 虛擬平面 A 上之剪應力造成之力 shea foce 為 : F τ A µ A d d 故在上述之兩平板中, 流體中任一平形於速度方向之虛擬平 面 A 上之 shea foce 為 : F µa 故兩平板中, 流體內任一虛擬平面上之 shea foce 為一 常數 9

30 黏滯力之物理意義 : 氣體 : 氣體之黏滯力是由於氣體分子之間碰撞, 造成 動量 交換 momentm echange 而產生 液體 : 液體的分子以 長鍊 long change 形式組成, 液體之黏滯力乃由於長鍊與長鍊間之凝聚力 cohesion foce 所造成 粘滯力與溫度之關係 : 當溫度增加, 氣體分子之能量與動量均增資, 分子間之碰撞及動量交換亦增加, 故黏滯力增加 對於液體, 分子鍊間之凝聚力隨溫度增加而破壞, 黏滯力亦減小 30

31 3

32 3

33 黏滯係數之測量 圓筒旋轉式黏滯計 iscomete 中心圓筒固定而外層圓筒旋轉, 固定中心圓筒所需之力以力矩計 toqe mete 計算之 因間隙 極小, 故流體在間隙內可視為兩平板間之流動 : 其中 τ µ / ω, F T / τ A A T πh 故 T µ 3 π hω 33

34 .3 枯魏 Coette 流場及波蘇拉 Poiseille 流場 流體在管路內產生流動的方法有兩類 :. 由於邊界移動, 例如兩平板之間之流場, 此類流動稱之為枯魏 Coette 流動. 由於管路內有壓力降 esse do, 例如普通水管内之流場, 此類流動稱之為波蘇拉 Poiseille 流動 因牛頓流體之剪應力 τ 正比於流體之速度梯度 d/d, 故流場內之速度分佈 elocit ofile o elocit distibtion 可由剪應力積分而得之 ; 反之, 若已知流場內之速度分佈, 則可將其微分而求得流場內剪應力之分佈 流場內之剪應力, 可視為任一假想平面與其緊臨平面間之 磨擦力 fictional foce 例 : 枯魏流動 流體於兩平行平板內, 上板以速度 移 動, 求出流場之速度分佈 34

35 解 : 當此控制容積 contol olme 達到平衡時 加速 a 0, 所有之受力亦達平衡 在 方向 const. In -diection Wh? τ τ 在任一垂直於 軸之平面 d τ 又 const. d µ 兩邊積分, 可得 a b 代入邊界條件 :. 0 at 0 no-sli condition. at h no-sli condition 此為 無滑動邊界條件, 適用於任何黏滯流體與其他物體接觸時使用 求解為 : h 此為速度分佈為線性 反之, 將上式微分可得 τ h const. 故剪應力為一常數 35

36 36 例 : 波蘇拉流動 求圓管內流場之速度分佈 解 : 此類流場 d/d 0, 因流體向 方向流動, 故 >, 且 d/d < 0, 此控制容積在平衡下 τ π π d d τ µ 為何負值? 4 c µ 邊界條件 : 0 at R, 4 R c 4 R µ -d/d, d/d esse gadient 為 ma 4 0 R µ

37 平均速度為 R πd 8 0 µ πr R ma HW: 求出兩固定平板間波蘇拉流動流體之速度分佈.5 剪應力場 stess field 流體內力 foces 可分兩類 :. 體積力 bod foces- 重力 gaitational foce, g d 電磁力EM foce 等. 表面力 sface foces- 應力 stess foce 壓力 esse foce 流體內任一微小平面 δan 上均可找出切線方向力 δft 及法線方 向力 δfn, 其單位面積所遭受的力 應力 分別為 τt 與 σn shea stess nomal stess δf τ t t lim δa 0 δa δf σ n n lim δa 0 δa 37

38 故 σ F δ lim, τ δa 0 δa δf lim, τ δa 0 δa F δ lim δa 0 δa 注意下標 : τ : 應力位於垂直於 軸之平面上 : 應力在 方向 在流體中任一微小六面體共有 8 個應力 : 38

39 但此六面體在平衡下 : σ σ, τ τ, τ τ, τ 因此只有 6 個獨立的應力 σ σ, σ σ τ τ, 因此物體不會移動 τ, 因此物體不會轉動 當 0, 0, 0, 此六面體趨近為一點, 故流體中任一點均可以 6 個應力表示之 : σ τ τ τ σ τ τ τ σ 之為 張量 tenso 此為對稱矩陣, 有 6 個未知數, 此矩陣稱 假如流體為非黏滯流體 non-iscos flow o iniscid flow 或無磨擦力 fictionless, 則 39

40 τ τ τ... 0 σ σ σ 此為流體靜壓 hdostatic esse 例 : 枯魏流動流體內剪應力表示法 d τ µ d 40

41 第二章 流體靜力學 flid statics 當流體靜止, 或流動時任二連接之平面無相對速度時, 流體任一點無剪應力 shea stess, 唯一存在的力為垂直方向的應力, 即壓力, 此壓力稱為液靜壓 hdostatic esse 注意 : 在流體中任何一點所承受之壓力來自於四面八方, 並無一定的方向, 故壓力為純量 ; 然若存在一平面, 則平板上承受來自於壓力所產生之力, 一定垂直於此平面, 此垂直力當然為一向量. 流體內壓力分佈 esse distibtion 流體內任一微小楔形 字形 物體在平衡下 靜止或以等 速運動 : F 0 δδ δδs sinθ s 4

42 F 0 δδ δδδ sδδscosθ g 其中 δ δs cosθ, δ δs sinθ s, s gδ 此代表在沒有剪應力時, 流體靜壓在水平方向沒有變化, 而 在楔形體底部壓力 垂直方向 比上平面壓力高, 其差即為 楔形體流體之重量 當 δ 0, δ 0, δ 0, 楔形體趨近為一點, 則 因為角度 θ 為任意取決, 故可得一結論 : 在沒有剪應力 流體靜止或等速運動 時, 流體內任一點之壓力與方向無關, 且壓力為一純量 scala 而非向量 ecto - 此稱為巴斯葛定理 Pascal s law 此情況下, 流體內任一點之壓力定義為 : σ σ σ 3 壓力場 esse field 在一無剪應力之流體內, 一微小六面體上壓力分佈如下圖所 示 : 4

43 43 在 方向的淨力為 F δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 同樣地, F δ δ δ δ, F δ δ δ δ 故施與此六面體之壓力合力為 k j i F k j F F i F ess δ δ δ δ δ δ δ 定義任一純量之梯度 gadient 為 k j i gad

44 gad scala f scale scala f f scala i f scala j f k 注意 : 其結果為一向量故此六面體因壓力所受之淨可以壓力梯度表示之 : δ F ess δδδ 梯度是什麼??? 方向導數 diectional deiatie: 純量 f 在任一點 P 依單位向量 b b 之方向的變化率, 稱為 f 在 P 點沿 b 方向的方向導數, 表示為 Dbf 或 df/ds D b f df ds f Q lim s 0 s f P 其中 Q 為 b 方向射線 C 上的可變點, 射線 C 為 s s i s j s k P sb, s 0 應用鏈鎖法則 chain le, 可得 又 D b f df ds f d ds f d ds f d ds d s d s d s d s i j k b ds ds ds ds 44

45 df 故 D b f b f ds 若方向為任意長度 不為零 之向量 a 的方向, 則 D a df a f f ds a 方 例 : 求 f,, 3 在點 P:,,3 沿向量 a i k 解 : 向的方向導數 D a f 4i 6j k, 故在 P 點 f 8i 6 j 6k df 4 a i k f f 8i 6 j 6k.789 ds a 5 5 負號表示 f 在 P 沿 a 之方向遞減 梯度特性 :. 純量 f 在 P 點之梯度的方向, 為 f 在 P 點有最大增加 率的方向 D b f b f cosθ f cosθ 其中 θ 為 b 與 f 的夾角, 固 Dbf 的值在 f 的方向 為最大. 若純量 f,,cconst. 代表空間中一曲面 例如 等壓面 等溫面, 則在此曲面上 P 點處 f 的梯度方 向, 就在 P 點處法線向量 nomal ecto 方向 45

46 HW: 在一流場中壓力的分佈為,, , 求在點 P:-0.,0., 上壓力變化最大的方向為何? 此方向上壓力對位置之變率為何? 流体中 δδδ 構成之六面體之表面, 遭受壓力所造成的力為 δ F ess i j k δδδ δδδ 注意 : 流體中力非壓力而產生, 乃壓力梯度而產生 每單位體積壓力造成之力為 f ess df ess δf ess d olme δδδ 此力必須被其他力 重力 黏滯力等 平衡之 梯度的物理意義 : 一純量之梯度即造成每單位體積的一種 驅動作用 diing action, 負號代表此驅動作用 46

47 重力 : 之方向為此純量 減少 的方向, 例如 即造成一種引起流體流動的驅動作用, 而 - T 即造成一種引起熱流動 即熱通量 heat fl 的驅動作用 f ga g 每單位體積重力造成之力 黏滯力 : µ 每單位體積黏滯力造 f iscos 成之力 由牛頓第二定律 動量守衡 conseation of momentm a f f f f... g µ... i i ess 注意每一項的單位 ga iscos 流體靜壓 hdostatic esse 分佈 當流體靜止或以等速運動, 則 a 0, 且 µ 0 Wh? 則 0 g 即 { 任一點上每單位體積壓力降所造成之力 } { 任一點上每單位體積重力所造成之力 } 0 壓力梯度 永遠垂直於等壓面 sface of constant esse 向量展開 : i j k g i g j g k 0 其中 g 0 g, g g 47

48 故 0, 0, g 此代表壓力不為 與 之函數, 只與高度 有關 :,, 積分可得 gd 當流體為不可壓縮 incomessible 流體 即 const, 則 g 當流體為可壓縮 comessible 流體 即 不為常數, 利用理想氣體定律, 則 g RT g d ln g R d T 若溫度為常數, 則 e g RT 48

49 HW: 算出玉山山頂之壓力 大氣中的溫度隨高度之變化為 TK m. 壓力之測量 何謂壓力? 壓力為流體單位面積上所承受之垂直正向力 nomal foce 一般壓力以下列兩種表示之 : 絕對壓力 absolte esse: 相對於真空 零壓力 之壓力 表壓力 gage esse: 相對於當地大氣壓力 即高於大 氣壓 之壓力 P gage P abs P atm 標準大氣壓 9.9 in Hg 760 mm Hg 0.35 kpa Pa N/m 大氣壓可用 ba, atm 等表示 : ba 00 kpa atm 一大氣壓 0.35 kpa 4.7 si lbf/in I kgf/cm 9.8 N/cm Pa 0.98 ba atm 49

50 測量大氣壓力儀器稱為 baomete gh gh ao atm 若流體為水銀 mec Hg h g atm m 760mm 此大氣壓稱為 ba 大氣壓之量測, 與 baomete 內量管大小無關 Wh? 等高 / 等壓定律 eqal leel/eqal esse incile - 流體中壓力的變化只與流體密度與高度有 關, 而與大小 形狀 或容器之方向無關 50

51 3 此原理可以說明液體千斤頂 hdalic jack 及液壓煞車 hdalic bake 的作用 若不考慮 B,C 點之高度差, 活塞 C 所造成的壓力 會被整個流體感覺到, 因此 F F B C A A B C A A B C 當 AB >> AC 時, 可得到相當大的機械效率 5

52 汽車千斤頂簡圖如下 : 壓力管 ieomete: A 點的壓力可測量為 A gh atm absolte A gh gage 5

53 U- 形壓力計 U-tbe manomete: 利用 U 管內等高 / 等壓原理, 可量出壓力 A 點的壓力可測量為 A gage gh gh 若流體 為氣體, 則 A gh 雙開口式 U 形壓力計 : 53

54 A,B 兩點之壓力差可計算如下 : g h g gh A B A B gh 問 : 壓力計位置與結果是否有關? 若 < 則結果如何? 例 : 利用流體噴嘴 flow nole 產生壓力降, 用 U 形壓 力計測量流量 流體流量 Q 與噴嘴產生的壓力降有下列關係 : Q K A B, K 為一常數 54

55 A B gh 斜管壓力計 inclined-tbe manomete A B g sinθ 例 : 求兩點之壓力差 B g sinθ A 解 : g H h 又流體為不可壓縮, d gh[ D 當 h cm, π D H πd 4 4 ] [ ] 90. Pa 30 h 例 : 斜管壓力計 當欲使斜管上每一公分刻度代表 Pa 時, 55

56 斜管之角度 θ 應為何? 解 : d π D H πd, H 4 4 D A a d A a d g[ sinθ ], g[sinθ ] D D 若 cm, a 0 A 是表壓 N / m kg m [sinθ 3 0 m m s 0 o sin θ 0.8, θ 6.78 ].3 平板潛體之液體靜壓 Hdostatic foces on sbmeged lane sfaces 問 : 大氣壓力對水中平板潛體遭受的力有何影響? 56

57 由上圖可知, 大氣壓力對任何平面之力量均相同而抵消, 故 可不予考慮 對於靜止流體中平板潛體遭受流體的靜壓, 必須解決兩個問題 :. 平板上遭受流體靜壓之總合力量 esltant foce 為何?. 此總合力量之施力點為何? 即假設平板上所有的分佈之力可用一總合力量代表, 則因產生力矩旋轉問題, 必須知此施力點為何 57

58 總合力 FR: F R ghda g sin θda A A g sinθ A da 其中 A da c A 為平板面積對 軸的第一次矩 the fist moment of the aea w..t. -ais, c 為此平板 質心 或 重量中心 centoid 對於 軸的 座標, 因此 FR gac sinθ ghc A c A 其中 hc 為此質心對於液體表面垂直之距離, 故平板表面遭受的總合力等於平板質心的壓力乘以平板面積, 而與傾斜角 58

59 度無關, 此合力必垂直於平板 總合力之施力點 壓力中心 R, R: 因為總合力 FR 對於 軸產生之力矩 moment 必須等於平板上所有均勻增大之液壓對於 軸產生之力矩的總和, 故 F R R A df A F R g sinθ da g sinθ da A c A A da 其中 A R da A I c da A, I 為面積對 軸的二次矩 the second moment of aea o moment of inetia, 但此力矩表示法非方便的表示法 定義 Ic 為面積對 通過質心且平行於 軸之軸 的二次矩, 此為較方便的表示法, 此二定義可以用傳遞定理連接 之 : I c I I c Ac, R c c A c I c 因 > 0, 故總合力不會通過質心, 而通過之 壓力中心 A c cente of esse, R 永遠位於質心之下方 同理, 壓力中心對應於 軸的位置 R 可表示為 : da A R c A I c A 59

60 其中 A da I, I 為面積對 軸的二次矩, 定義 Ic 為面 積對 通過質心且平行於 軸之軸 的二次矩, 且 I I A, R c c c c I c c A 當此平板對應於通過質心且平行於 軸之軸為對稱, 則 Ic 0 Wh? I c da da da da da 0 A fo fo fo fo 結論 :. 靜壓總合力為 FR ghca ca 質心之壓力 平板面積. 總合力通過壓力中心 R, R, 非質心 c, c 60

61 6

62 例 : 問 閘門上靜壓總合力大小及其施力點, 欲關 閉此閘門應於閘栓 sto 處施與多少力矩? 0 sin 60 解 :. 547 c o FR ghc A π 4 30kN 4 4 π I c R 0, 4 R c A c.55 π 4 4 R c 當閘門靜止時, 對應於旋轉中心 c 點之力矩為零, M F 0, M 30 kn m 07 kn m R R c 壓力三掕鏡 esse ism- 流體靜壓施與流體內垂直 平板上之總合力, 可以用類似三掕鏡的體積表示之 6

63 F R h ae A g A [ gh bh] 三掕鏡的體積 當容器為加壓系統,a s gage esse, 則計算施與 容器邊界之力時不可忽略 a, 如下例 : 力的平衡 : F 力矩的平衡 : R F F F s A F F gha h F R R 由此兩方程式可求出總合力施力點 R F h 3 63

64 例 : 求出窗口之總合力及其施力點, 液體比重為 0.9 解 : F s gh A N h h 0.6 F g A N 故合力為 : 施力點 o 為 F R F F 5. 4 kn F F 0.3 F 0., o m R o 問 : 大氣壓對結果有無影響? 64

65 例 : 欲關閉閘門須多少力? 力矩平衡 : F L t F Lb L F Lb L s Lb L gl Lb L Ft s Lb gl Lb N 問 : Is Ft F F? Wh? 例 : 一掉入湖中之汽車車門遭受多少力量? 汽車乘客是否能 打開車門? 乘客應如何逃生? 65

66 解 : 當汽車剛掉入湖內時汽車內尚有空氣, 故車門內外均遭受大氣壓力, 故相互抵消, 可不考慮大氣壓 車門遭受之平均壓力為 : P F ae P gh g s b / ] C C / P A kn R C 3 3 b ab /.. P s m [ s b / ] ab 8. / 故車門之壓力中心 P,P 為 0.5, 8.6 處, 欲打開車門 3 Pa 需要 kn m 之力距 toqe, 一普通強健男人 可舉起約 ~00 kg ~980 N 或 ~ kn 之力, 門把距車門轉軸約 m, 故可施與之力距為 ~ kn.m, 此為開門所需之力距之 50 分之一, 此人必死無疑! Qestion: 乘客應如何自救?.4 曲面潛體之液體靜壓 66

67 曲面上任一面積元素 da 之力為 故 df F R da, 方向為此面積之法線方向 da FR, i FR, j F A R, k 此力在三個方向的分量, 可以此力與各方向的單位向量作內 積 inne odct o dot odct: F F F R, R, R, F F F i j k df i da i da A A df j da j da A A df k da k da A A A A A A df A A df df 曲面上之液體靜壓可分為水平力及垂直力, 如下圖所示 : 此曲面上遭受之液體靜力為 FR, 此力可分解為水平力 FH 及 垂直力 F, 而曲面所包含之液體所受之力必須平衡, 故 : 67

68 F F H F F W 注意 :F 之方向可向下, 亦可向上, 例如下圖 : 結論 :. 曲面上水平分力 F 及 F 及其施力點, 等同於此曲面在 及 方向上投影平面上之力及其施力點. 曲面上垂直分力 FR, 或 F 及其施力點, 等同於此曲面在 方向上投影平面上之力, 亦即此曲面上方流體之重量 F R, F da ghda gd g A A 此垂直分力之施力點, 通過曲面上方流體之重量中心 cente of gait, 如下圖所示 : 68

69 F H, F F W F 曲面 BC 所受之合力 注意 : 此力與流體 ABC 所受之力 FH 及 F 的方向相反 為 : F R FH F 問 : 欲固定曲面 BC 所需之力及其方向為何? 問 : 如何決定此力通過之點 O? 例 : 求曲面遭受之力及其施力點 69

70 解 : F gh AC g AC AC FH F gh AB weight. of. flid. aboe. AB W weight. of. ABC π AB 4 g F F W weight. of. flid. aboe. BC 合力為 : F R FH F 求 O 點, 解,: W F AB O 點垂直位置為何? 4 AB 3π 例 : 下圖流體以圓柱阻擋外洩,A 點為轉軸中心, 當水位為 5 m 時圓柱體恰可開啟, 此圓柱體每公尺之重量為何? 70

71 解 : F H F P A gh A g s R / A ae C / kn F P A gh A gh ae C bottom kn W mg g g R πr F F W kn A / 4 m π / 4 m.3 kn FR FH F kn tan θ F / 37.9 / θ F H o 當水位為 5 m 時, 圓柱重量對 A 點產生之力距正好相當於 液體靜力對 A 點產生之力距 方向相反, 故 o FR Rsin θ Wclinde R 0 Wclinde 5.3kNsin kN e mete Qestion: 圓柱之密度為何?.5 浮力 boanc 浮力 : 潛體或浮體遭受液體靜壓力之合力, 稱為浮力 boanc o boant foce 阿基米得原理 Achimede s incile:. 一潛體遭受垂直之浮力, 等於此潛體排開液體之重量. 一浮體排開液體之重量, 等於此浮體之重量 7

72 7 證明 : olme to bod eqialent flid of weight sface aboe weight flid sface aboe weight flid F F F B 或 olme bod g da g da F bod H bod H B

73 第三章 基本流體動力學 - 白弩力方程式 Benolli eqation 當流場為非黏滯 iniscid o non-iscos 流動時, 流體遭受的外力只有重力及壓力, 此時流體運動方程式 牛頓第二定律 會導出一方程式, 稱為白弩力方程式, 其雖由非黏滯流動假設導出, 但其應用極大 問 : 何種情況下, 流場可假設為非黏滯流動? 柏努利方程式為壓力 速度和高度之間的近似方程式, 在忽略淨摩擦力的穩定不可壓縮流成立 柏努利方程式的主要近似方法為和慣性 重力與壓力效應比較甚小的黏滯效應可忽略的結果 當應用柏努利方程式的時候一定要特別的小心, 因為這是只適用在無黏性流動區域的近似方法 73

74 流體沿流線 steamline 方向力之平衡 牛頓第二定律 : net ma F aticle mass aticle acceleation esse foce on aticle net gait foce on aticle 若流場為穩態 stead, 流場中任一流體粒子 flid aticle 會流經一路徑, 此路徑稱為流線 steamline, 流體粒子在流線上任一點之速度向量, 為流線上此點之切線 tangent 方向 流體粒子在流線上運動的距離, s st, 流線上任一點之曲率半徑 adis of cate, R Rs, 流體粒 子之速度, ds / dt, 加速度 a d / dt, 此加速度有切線與法線兩方向的分量 : d a dt a s a n s n 74

75 其中切線加速度為 a s 法線加速度為 d ds dt s dt s a n R 流體粒子力的平衡 :, s st 75

76 76 s a m F s s δ δ δ, n s δ δ δ δ 流體粒子之重力為 g W δ δ 其在流線方向之分量為 θ δ θ δ δ sin sin g W W s Wh -? 假設流體粒子中心之壓力為, 則垂直於流線之兩平面上之壓力為 δs 及 - δs, 因流體粒子為無限小 infinitesimall small, 應用泰勒展開 Talo eansion: s s δ s δ 故流體粒子在流線方向遭受到壓力之淨力為 : 注意方向 s n s s n n n F s s s s δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 則流體粒子上力之平衡為 s g F W F s s s δ θ δ δ δ sin 故 s s g θ sin 例 : 一穩定之不可壓縮 非黏滯流體流過一圓球, 由位能流 otential flow 理論可知其沿 AB 流線之速度變化為 3 3 a o, 求此流線上壓力之變化

77 77 解 : 沿 AB 流線,θ 0, 運動方程式變為 s s 其中 a a a a s o o o 故沿 AB 流線之壓力梯度為 / 3 a a o 最大壓力梯度發生在何處? 沿 AB 流線之壓力分佈可積分而得 :

78 d d 0 gage o a [ 3 a / 在 B 點壓力達到最大, 而速度變為 0, 此速度為 0 之 點稱為停滯點 stagnation oint 流體粒子的運動方程式可改寫為 d d g ds s ds 因 sin θ d / ds 6 ] 並可化簡為 d d gd 0 沿任一流線 若密度為常數, 任一流線上, 從任一點 到其他一點, 此方程式可積分為 g g 0 或 g a const. along steamline 此稱為白弩力方程式 Benolli eqation 注意白弩力方程式之適用範圍 限制 為 :. 穩定流場. 非黏滯流體 3. 不可壓縮流體 密度為常數 4. 沿任一流線上 78

79 流體質點在穩定流場中沿著流線 s 方向移動, 應用牛頓第二定律 在流體力學中稱為線性動量守恆方程式, 可得出柏努利方程式 柏努利方程式可視為機械能平衡方程式, 並可由以下敘述表示 : 在穩定流動期間, 當忽略流體的壓縮性與摩擦效應時, 沿著流線流體質點之動能 位能和流動能的總和為定值 柏努利方程式也可視為 : 由壓力和重力作用在流體質點的功等於質點動能的增加 柏努利方程式敘述沿著流線流體質點的流動能 動能和位能的總何為定值, 所以流體流動期間其動能和位能可轉換為機械能, 使壓力產生變化 P 為靜壓, 代表流體實際的熱力壓力 / 為動壓, 代表當運動中的流體等熵地停止時壓力的上升 g 為水力靜壓實際上不是壓力, 它考量壓高度的效應, 即流體重量對壓力的影響 79

80 例 : 解釋下圖白弩力方程式適用之範圍 例 : 求下圖, 兩點之壓力差 解 : g g o,, 0 何處是停滯點? o 80

81 另解 : d d d g, ds s ds d d d d d d, o d 問 : 當此自行車加速或減速時, 此結果是否有效? 例 : 討論下圖各點之能量, 以 壓力頭 esse head 動能頭 kinetic head 及 位能頭 otential head 表示之 注意 : 壓力在 3 點均為大氣壓 表壓為 0 8

82 能量形式 動能頭 位能頭 壓力頭 點 / g gage 小 0 大 大 小 大 0 問 : 水噴出小孔 點 所需之力, 由何而來? 點 間 有無很大之壓力降? 點 3 間又如何? 3. 流體垂直於流線方向力之平衡 流體粒子在法線方向因圓弧運動而遭受之 離心力 centifgal foce 為 : δm δ δ R R F n 此離心力必須被重力與壓力平衡, 以維持此流體粒子以等速前進 流體粒子在法線方向之分量為 δ W n δw cosθ gδ cosθ 流體粒子在法線方向遭受到壓力之淨力為 : δf n δ δsδ δ δsδ δ δsδ δnδsδ δ n n n n n 8

83 則流體粒子上力之平衡為 δ Fn δwn δfn g cosθ δ n 故 d g d, cosθ dn n R dn 注意 : n 之方向為向著曲率中心 若密度為常數, 任一垂直於流線之法線上, 從任一點 到其 他一點, 此方程式可積分為 dn g dn g R R 0 柏努利方程式在穩定不可壓縮流中, 穿越流線的公式為 : dn g a const. along R a nomal line 此稱為法線白弩力方程式 例 :a 強迫渦漩 foced ote 及 b 自然渦漩 fee ote 之速度分佈為 :a 求其壓力分佈 o o C C, b, 83

84 解 : 因流線位於水平面 平面上, 故 d/dn 0, n / /, R, 應用 d g, dn n a C, C o o C b 3, C o o 另解 : 應用 dn g dn g o R R a C C d o o o C o o d 84

85 b C C d 3 o 3 o C o d 問 : 此例中均 / > 0, 流體粒子遭受何力? 有何物理意義? o 例 : 求下圖各點之壓力變化 解 : AB 間流線曲率半徑為 R, 故 點之間 法線方向 之壓力變化為 g a const. along nomal line 因 atm 0 gage, g gh 故此部分壓力變化與靜壓相同 3 4, atm 0 4 gage d g3 4 R an oint an oint d g R 4 85

86 4 g 4 3 d gh4 R R 3 d 因上式中之積分項大於零, 故點 3 之壓力小於當 CD 為直線時點 3 之壓力, 此減少之壓力乃由於流體粒子之離心力造成 問 : 流體流過弧形圓洞時, 上述結果有何改變? 剛體旋轉 igid-bod otation- 旋轉流體個點之速度雖因與中心之距離不同而不同, 但角速度 angla elocitω 均相同, 此稱為剛體旋轉 旋轉體之液面如下圖 : 運用圓柱座標 clindical coodinates e e θ θ e 86

87 任一點流體粒子之加速度為 a e ω e, aθ 0, a 0 力的平衡 a ge e k ω, 0, θ g 此代表在 方向, 越靠外緣壓力越大 以提供旋轉所需之向心力, 在 θ 方向無壓力變化, 在 方向壓力變化與靜壓相同 等壓線 : d d d ω d gd 在等壓線上 例如水平面 d 0, 故等壓線方程式為 d d ω g, ω g C 壓力分佈 : d ω d gd ω, g C 故在同一垂直線上 相同, g 87

88 與靜壓變化相同 在同一平面上 相同, ω 此壓力差即為向心力 渦漩 otices 渦漩除分為自然渦漩 fee ote 例如浴缸排放水 與強迫渦漩 foced ote 例如攪動咖啡 外, 自然界往往有自然渦漩與強迫渦漩同時產生, 例如龍捲風 洗衣機水流等 其速度分佈如下圖, 例如龍捲風外緣為自然渦漩, 而中心部分 威力強大部分 為強迫渦漩, 88

89 89 點 為龍捲風中心, 點 為強迫渦漩與自然渦漩之交界處, 點 3 為外違較不受影響處 速度 ~ 為零, 壓力為大氣壓, 則任一點與點 3 之關係為 3 3 C As C o o 故越往內部壓力越小, 此壓力差提供內部流體作旋轉時所需之向心力 點 之壓力為 ma o 在強迫渦旋區, 壓力分佈為 g g ω ω ma ma o

90 在中心點速度為零, 故壓力為最低, o ma 此壓力差造成一股向龍捲風中心, 再向上之流場, 造成破壞 3.3 靜力壓 停滯壓 動力壓 與全壓 白弩力方程式中 g T a const along a steamline. 其中第一項 代表流體真正之熱力學壓力 themodnamic esse, 其測量的方法為測驗者與流體無相對速度之情況下測量之壓力 Wh?, 故稱為靜力壓 static esse, 或以單管壓力計 ieomete 測量之 : 90

91 . 第三項 g 稱為液靜壓 hdostatic esse, 代表因高度改變而改變之位能與其相當之壓力 3. 第二項 / 稱為動力壓 dnamic esse, 其測量的方法為比較上圖二管之液高差 : g H h gage gh 靜壓 動壓與水力靜壓的總和稱為總壓, 所以柏努利方程式即說明沿著流線的總壓為定值圖中點 流體停滯, 稱為停滯點 stagnation oint, 其壓力 稱為停滯壓 stagnation esse, 其一定大於靜力壓 : 4. 靜力壓 動力壓 及液靜壓之合 T 稱為全壓 total esse, 白弩力方程式代表任一流線上, 流體之全壓為一常數 9

92 皮托管 itot-tbe- 利用流體停滯壓與靜力壓之 差, 求出動力壓, 以求出流體流速 9

93 靜壓孔是一個鑽進壁面的小孔, 使孔面與流動方向平行, 可量測靜壓 皮托管是一個小管, 其孔口端對準流動方向, 致使量測流動流體完全衝擊的壓力, 可量測滯壓 在流動流體的靜壓與滯壓大於大氣壓力的情況下, 一種稱為水壓計的垂直透明管可附在靜壓孔和皮托管上 當靜止物體浸入流動中的流體中, 流體在物體的鼻端 停滯點 會停止, 從上游到停滯點的流線稱為停滯流線 在不可壓縮流場中, 流體流速從自由流動的值到停滯點時幾乎是等熵地減速到 0, 所以在停滯點的壓力為滯壓 皮托管測量出 s 與 之差 : g g gh g g gh s g gh g 此壓力差相當於流體動力壓 /, 故流體速度為 s gh g 問 : 測量結果與位置 與 有無關係? 當 < g 時, 會有 何結果? 93

94 摩擦效應和流動段擾亂流線結構的元件使柏努利方程式不成立 3.4 白弩力方程式之應用 自由噴流 fee jets : g g 94

95 0 gage, h, 0, 0 gh, gh 5: g 5 5 g5 5 0 gage, H g h 5 H 5, 3 4: 3 3 g3 4 4 g4 4 0 gage, 4 0, 3, 0, 3 g h 若噴流出口非圓滑曲線, 噴流直徑 dj 一般均小於出口直徑 dh, 此現象稱為 ena contacta, 此乃由於流體無法旋轉尖銳的 90 o 所造成 3 95

96 限制流體 confined flows 不同於自由噴流, 當流體限制於器具內, 壓力事先無法知道, 此情況下必須用質量守衡 conseation of mass 或連續方程式 continit eqation, 以彌補白弩力方程式之不足 當穩定狀態下 容器內無增加或減少流體, 流體之流進率必須等於流體之流出率 : O I S 0 { O t flowate of mass} { In flowate of mass} { Stoage ate of mass in C.. } 0 質流量 mass flowate, m kg/s: m Q 體積流量 olme flowate, Qm 3 /s: Q A 質量守衡 : A A 96

97 若流體為不可壓縮 incomessible, 則 A A, 或 Q Q 此為連續方程式 例 : 求下圖流體流量與管內壓力 解 : 假設流場為穩定 非黏滯 不可壓縮, 則 , 0. 3 fee jet 3, 3 3 之假設是否適當? 3 0 kpa 5 73 K 9 kg / kmole.6 / 3 RT 8.34 kpa m / kmole K 注意 : 理想氣體公式需用絕對壓力與絕對溫度 若 3, 則 kg m 3 97

98 m / s.6 此處為何不用絕對壓力? π 3 Q A3 3 A m / s 4 A 3 3 / 7.67 m / s 因 3 absolte 963 Pa, 故 3 之假設適當 問 : 壓力為何會下降? 例 : 求下圖 U 型壓力計之表油液面高度差 h 表油比重為 SG, SG < 解 : g g 連續方程式 : Q A A 98

99 g [ A / A 在 U 型管內, g g gh g SG gh A oil gh SG gh [ A h Q / A A / A g SG ] g SGgh 問 : 油面高度差 h 與 點之位置差 與角度 θ 有無關係? 壓力差 又如何? ] 空泡化 caitation 流體流速增加, 造成壓力下降, 當下降程度顯著時, 會造成流體物理性質改變, 若流體為氣體, 壓力下降會使得氣體可壓縮 comessibilit 現象顯著 ; 當流體為液體, 壓力下降會使得液體壓力降至液體飽和壓 satation esse, 而使得 沸騰 現象產生, 此稱為空泡化 此類氣泡會與附近之未飽和液體接觸, 產生凝固化 condensation, 此時產生極大之壓力變化 esse tansient 有時大到 ~ 690 MPa, 對附近之物體產生破壞, 應注意避免之 99

100 例 : 欲使下圖虹吸管 sihoned tbe 內不產生空泡化, 其可提高之最大高度為何? 解 : g g 3 33 g3 5 ft m, H, 3 5 ft. 5 m 00

101 0, 0 3, 3 Wh? g 0.94 m / s 3 3 又 g g g H sat o. 7 kpa, C H 8. 6 m 問 : 此結果與虹吸管直徑有無關係? 若直徑非常小呢? 流率測量 flowate measement 將管路內置入一些流場阻礙物, 使得此阻礙物上流區 低速 高壓 與下流區 高速 低壓 產生壓力降, 而測量出壓力差與流率, 此類阻礙物有小孔板 oifice late 噴嘴 nole 與 enti 管 0

102 , Q A A Q A [ A / A ] 但是實際之流率 Qactal 將小於 Q 注意 : Q 意味流率變大十倍, 壓力降則變大百倍, 如何設計壓力計以測量壓力變化範圍級大之流率? 將柏努利方程式中各項目除上 g 的方式進行得出 P/g 為壓力頭 ; 它代表產生靜壓 P 的液柱高度 /g 為速度頭 ; 它代表流體在無摩擦自由墜落期間達到速度 所須提升之高度 為高度頭 ; 它代表流體的位能 H 也稱為流動的總水頭, 所以柏努利方程式能以水頭表示為 : 在穩定流動期間, 當忽略流體的壓縮性與摩擦效應時, 沿著流線流體質點之壓力頭 速度頭和高度頭的總和 為定值 P H g g 常數沿著流線 0

103 從池自由排放時經過具擴散管的水蓄水平管之水力坡度線 HGL 和能量坡度線 EGL 代表靜壓頭與高度頭總和,P/g, 的線稱為水力坡線 代表流體總水頭,P/g /g, 的線稱為能量坡線 在理想的柏努利式流場中, 能量坡度線是水平的, 且其高度 維持固定, 但是當沿著流動方向的速度變化時, 對水力坡度 線的情況則否 03

104 對靜止流體, 水力坡線和能量坡線與液體自由表面重合 能量坡線總是大於水力坡線一段距離 /g, 當速度降低時, 這兩條線彼此接近, 而當速度增加時, 這兩條線會離遠離 在理想的柏努利流動中, 水力坡線是水平的而且其高度保持固定, 當流速固定時, 對能量坡線也是如此 對明渠流而言, 水力坡線與液體自由表面重合, 而能量坡線則高於自由表面一段距離 /g 在管線出口處, 壓力頭為 0 大氣壓力, 因此水力坡線與管線出口位置重合 因為摩擦效應的機械能損失, 使得水力坡線與能量坡線往流動方向向下傾斜, 此斜率為管線水頭損失的度量 每當泵對流體加入機械能時, 在 EGL 和 HGL 線上會發生陡升的情況, 而每當機械能自流體中由輪機移除時, 則會發生陡降的情況 04

105 在 HGL 線與流體管線交接的地方流體的 錶 壓力為 0, 且在 HGL 線以上部份流動段落之壓力為負值 真空 每當機械能加入流體時, 在水力坡線與能量坡線上會發生陡升的情況 相同地, 每當機械能自流體中提出時, 在水力坡線與能量坡線上會發生陡降的情況 在水力坡線與流體交會之處, 流體的壓力 錶壓 為 0 在水力坡線以上流動段落的壓力為負, 而在水力坡線以下流動段落的壓力為正 例 : Sihoning Ot Gasoline fom a Fel Tank Ding a ti to the beach Patm _ atm _ 0.3 kpa, a ca ns ot of gasoline, and it becomes necessa to sihon gas ot of the ca. The sihon is a small-diamete hose, and to stat the sihon it is necessa to inset one sihon end in the fll gas tank, fill the hose with gasoline ia sction, and then lace the othe end in a gas can below the leel of the gas tank. The diffeence in esse between oint at the fee sface of the gasoline in the tank and oint at the otlet of the tbe cases the liqid to flow fom the highe to the lowe eleation. Point is located 0.75 m below oint in this case, and oint 3 is located m aboe oint. 05

106 The sihon diamete is 4 mm, and fictional losses in the sihon ae to be disegaded. Detemine a the minimm time to withdaw 4 L of gasoline fom the tank to the can and b the esse at oint 3. The densit of gasoline is 750 kg/m3. 06

107 第四章 流體運動學 Flid Kinematics 流體動力學 flid dnamics- 利用基本運動原理, F ma, 以及力與加速度之觀念, 描述流體運動 流體運動學 flid kinematics- 利用流體位置 速度 及加速度, 描述流體運動, 但不考慮力 4. 速度場 elocit field 流體之位置 速度 加速度等, 可以用流體粒子的運動表示 之 流體速度場 :,,, t i,,, t j w,,, t k 直角座標, θ, e, θ, e, θ, e 圓錐座標 θ θ A da / dt /,,, t, w 07

108 歐拉瑞恩 Eleian 及拉格蘭吉恩 Lagangian 流場描述法 : 歐拉瑞恩法 觀測者位於空間中固定一點, 觀測流體之固定一點之運動與特性 拉格蘭吉恩法 - 觀測者置於流體粒子上, 與流體一起流動, 觀測流體之運動與特性 例 : 如何描述下圖煙囪之煙? 例 : 如何描述鳥類之遷移? 一度 二度 三度空間流場 一般流場大多為三度空間, 但在特殊情況下, 可簡化為二 度, 甚至一度, 此大大簡化其分析 08

109 問 : 下圖為幾度空間流體? 如何觀察流體流動? 流線 steamline 在 穩定狀態 下, 流場中流體粒子流動經過之曲線, 稱為流線 流線上任一點上流體之速度方向, 即流線在此點之切線方向 速度場 :,,, t i,,, t j w,,, t k 由上圖可知 d d 二度空間穩定流場之速度 d d w, i, j, 流線上任一點 09

110 之斜率與此點之速度分量, 有以下關係 : d d 若流速場已知, 此方程式可積分而求得流線方程式 例 : 二度空間流場速度場為 求流線方程式 / i j o 解 : d d d o / / d o, C 一般流線的表示法為 ψ constant on a steamline, 故此例之流線方程式為 ψ ψ ψ, 稱為流線函數 steam fnction, 將在第六章詳述 0

111 徑線 athline 徑線為個別流體質點在一段時間中移動的實際路徑 徑線是了解流場型態最容易的方式, 徑線是一種拉格朗日的觀念, 在此觀念中當流體在流場移動時, 僅追蹤個別質點的路徑 質點影像速度儀 PI, 是利用質點的徑線來測量流場中整個的速度場 對穩定流而言, 徑線與流線相同 流脈 steakline 流脈為連續通過流場中固定點的流體質點之軌跡 在風洞或水洞的物理實驗中, 煙或染色液體連續地噴出, 而不是個別的質點時, 此流動型態依定義來看仍是流脈 流場是穩定流動, 流線 徑線和流脈會重合

112 一條流脈是流動中從一點連續流出的染色或煙形成的 標註之跡點 到 8 為連續出現 速度分佈 elocit ofile, elocit distibtion 分佈圖為表示純量性質的值如何隨著流場中所需方向的 變化而改變之圖形

113 向量圖為某個瞬間下, 一群箭頭表示向量性質的大小和方向的圖形 等量圖為顯示在某一瞬間下純量性質 或向量性質的大小 等值的曲線圖形 衝擊塊狀物體的 CFD 計算結果 a 流線 ;b 上半部流場之速度向 量和 c 速度向量圖, 放大視圖顯示更詳細 3

114 4. 加速度場 acceleation field 問 : 不同觀測點 歐拉瑞恩 Eleian 及拉格蘭吉恩 Lagangian 流場描述法 觀測之加速度是否一樣? 有何關係? 歐拉瑞恩法觀測流場中固定一點, 故其觀測之加速度只與時間有關, 然拉格蘭吉恩法順著流體運動, 故其觀測之加速度與時間 位置均有關, 兩者觀測結果不同 問 : 在穩定狀態 stead-state 下, 流體是否有加速度? 例如水流過蓮蓬頭, 在穩定狀態下, 順流在水中之螞蟻感受到極大之加速度 拉格蘭吉恩法 順著流體 觀測之加速度 a : 其中 t,,, t, 又 t, t, t d d d d a w dt t dt dt dt t 項稱為 在地加速度 local acceleation, 因其與 位置無關, 故此即為歐拉瑞恩描述法 觀測流場固定一點 觀測到之加速度 w 項稱為 流動加速度 conectie 4

115 acceleation, 此加速度即, 在穩定狀態下, 順流在水中 之螞蟻流過蓮蓬頭感受到之加速度 利用梯度運算子 gadient oeato i j k 故加速度可用向量表示之 : d a dt t d D o dt Dt t 其中 稱為歐拉瑞恩時間導數運算子 eleian time-deiatie oeato, 類似微積分中之 全微分 total diffeentiation 例 : 若速度場 3 ti j t k, 求此流場之加速度 解 : 3t,, w t w i j k 3i k t t t t j, tk, j D 3i k 3t j tk t Dt 3i 3t t j t k j 加速度向量表示法亦可以三分量表示之 : 故 D D D Dw i j k Dt Dt Dt Dt D w Dt t 5

116 D Dt w t Dw w w w w w Dt t 在穩定狀態下, 加速度亦有可能很大, 因為 流動加速度 可能會很大, 如下例 : 例 : 求下圖流體在流經噴嘴處之加速度 流場之速度變化為 o L, o 0 m/s, L m 解 : w 0, 且 o o [ o ] L L L D o L 600 m / s Dt L D Dt 此為重力加速度之 60 倍! L 問 : 若閣下眼睛緊盯著噴嘴, 看到之流體加速度為何? 6

117 問 : 求下圖不同觀測法觀測之溫度變率 問 : 坐在順流而下的船上, 觀測到水中魚隻密度之時間變 率, 與在岸上之固定觀測者所觀測之量, 有何不同? 4.3 控制容積 contol olme 與系統 sstem 表示法 問 : 如何描述流場之基本守衡方程式? 基本守衡方程式 :. 質量守衡 conseation of mass. 牛頓第二定律 Newton s nd law 3. 熱力學第一定律 st law of themodnamics 4. 以上之方程式均可以 系統 與 控制容積 兩種方法描述之 7

118 系統 : 系統為一固定質量之流體, 此固定質量之流體集合可流動 變形 與外界交互作用 但質量不改變, 所有力學中的定律均以系統表示之 例 : 質量守衡 : M ss const, 0 Dt DM ss Wh D/Dt? 牛頓運動定律 動量守衡 : 若外界施與系統一淨力 F, F M a M D Dt ss ss D D M ss stem momentm Dt Dt 熱力學第一定律 : 外界進入系統之熱 Q, 系統對外功 W, DW DQ DEss W Q Ess 0, 0 Dt Dt Dt E ss edm M ss ss e d, e g 其中 e 為總能 total eneg, 為內能 intenal eneg, 內能只與溫度有關 熱力學第二定律 : 外界進入系統之熱 Q, 系統溫度 T, ds δq T, S ss sdm M ss S 為 ento ss s d 控制容積 : 空間中一固定容積 可靜止或移動, 流體可流 進或流出此容積 8

119 所有之力學定律均可以控制容積方式描述, 有時控制容積法優於系統法, 有兩原因 :. 力學定律以系統法表示雖較簡易, 但順著固定質量集合之流體運動而觀測 拉格藍吉恩觀測法, 難度甚高. 有時我們不注重流體流經之路徑, 而對於一固定容積內 歐拉瑞恩觀測法, 流體產生之影響, 有較大之用處 9

120 如何以控制容積法表示力學之守衡方程式? 與系統表示法 有何關係? 4.4 雷諾轉換定理 Renolds tansot theoem 在熱力學和固體力學中, 我們經常使用系統 亦稱為密閉系統 進行分析, 系統則定義為固定量的物質 在流體力學中, 使用控制體積 亦稱為開放系統 進行分析則更為普遍, 控制體積的定義為在空間上選為分析的區域 在流體力學中, 通常是使用控制體積分析法, 所以需要將控制體積分析之中的變化與系統分析之中的改變相 0

121 互關聯 以系統方式表示外延性質對時間的改變率, 和以控制體 積方式表示之間的關係式則由雷諾轉換理論 Renolds Tansot Theoem, RTT 來表現 Sstem Contol olme Re nolds Tansot Theoem fomlation fomlation 定義流體之 廣泛特性 etensie oetb 與 集中特性 intensie oetb: B bm, 或 b db/dm Betensie oet bintensie oet B m b B m b B /m b / B E B S b e b s B ss lim bi iδi δ 0 i ss bd

122 大多數的流體力學定律牽涉到流體廣泛特性之時間變率 time ate of change, 例如系統中質量的變率 動量的 變率, DB Dt ss D bd ss Dt Wh D/Dt? 同樣的, 控制容積中質量的變率 動量的變率可表示為 : bd B c c t t Wh /t? 問 : 學生總人數 系統 之時間變率, 與教室內學生總人數 控制容積 之時間變率, 有何不同? 例 : 下圖滅火器內所含物質之系統時間變率, 與控制容積之 時間變率, 有何不同?

123 解 : 若物質為質量, 則 B m, b, 系統 : DB Dt ss Dm Dt ss D d ss Dt 控制容積 : d Bc m c c t t t 當閥門開啟前後, 系統之總質量不變, 故 D ss d Dt 0 但對控制容積 滅火器 而言, 閥門開啟後, 控制容積之總質量變少, 故 d c t < 0 故一般而言, 當有流體流動時 DB Dt ss B c t 雷諾轉換定理之推導 3

124 當時間為 t 時, 系統與控制容積相同, 故其所含之物質 質量 動量 能量等 相同 B t B t ss c 但當 t t δt 時, 系統已向右移動 在 t 與 t δt 之間, 流體流入量 inflow 為區域 I, 流體流出量 otflow 為區域 II, 故當 t t δt 時, 系統與控制容積所含概之區間有下列關係 : SYS C I II 而其各別所含之物質有下列關係 : B ss t δ t B t δt B t δt B t δt c I II 4

125 而其各別所含物質之變率有下列關係 : DB ss t δt Bss t δt Bss t Bc t δt BI t δt BII t δt B Dt δt δt 但 B t B t 又知故 ss c, 故 DB Dt ss B c B lim δt 0 B B t δ t Bc t BI t δt BII t δt δt δt δt c bd t t Bc t B δ c c δt t t B lim ot δt 0 in DB B lim ss Dt DB δt 0 I II B t B t δt b Aδt Ab δt δt t δt b A δt A b δt δt c B ot B ss c 或 Ab Ab Dt t 此即雷諾轉換定理 in ss t 若物質為質量, B m, b Dm Dt ss mc m m, m A t Dm ss 以系統而言, 0 Dt m t c 故以控制容積而言, m m 0 此式可以下式表示之 : ot in O I S 0 5

126 Otflow of mass kg / s Stoage ate ate Inflow ate of mass of mass 0 / in the C kg s kg / s 此為控制容積法表示之質量守衡定律 若流場有數個進出口, 則 m m ot in m t c 0 若流體進出口速度與控制容積邊界非垂直, 當流體流出控制 容積, 如下圖所示 注意單位垂直向量 n 之方向 6

127 δb ot bδ lim δt 0 δt 對整個控制容積之表面積積分, b cosθδtδa lim b cosθδa δt 0 δt B ot db ot Contol. Sface ot Contol. Sface ot b cosθda Contol. Sface ot b nda θ, 注意此處 cos n > 0 0 θ 同理, 當流體流進控制容積, 如下圖所示, π B in Contol Sface in b cos θda Contol Sface in b nda π θ, θ π 注意此處 cos n < 0 故 淨流出 量為 B 雷諾轉換定理可通式化為 ot CS B in b nda b nda CSot CSin b nda 7

128 DB Dt ss t C bd CS b nda 問 : n 有何物理意義? 雷諾轉置理論更簡捷的數學推導方式, 可藉由使用萊布尼茲理論來進行 一維的萊布尼茲理論 : d bt bg db da G, t d d G b, t G a, t dt at a t dt dt 三維的萊布尼茲理論 : d dt G G,,, t d d GA nda t t t At 應用於實質體積的萊布尼茲理論 : d dbss bd b d ba nda dt t dt t t At 8

129 一般非固定控制體積的雷諾轉置理論 : db dt ss b d b nda t t At 實質導數和雷諾轉置理論之間的關係 對有限體積的雷諾轉置理論 積分分析法 類似於對非常微小體積的實質導函數 微分分析法 在這兩種方法中, 可將拉格朗日或系統的觀點轉換至歐拉或控制體積的觀點 實質導數和這裡討論的雷諾轉置理論之間有些類似, 這兩種分析方式代表從基本的拉革朗日觀念轉換到尤拉觀念的方法 雷諾轉置理論探討的主體為有限尺寸的控制體積, 而實質導數則為非常微小的流體質點, 兩者皆可用於解釋相同的基本物理現象 9

130 第五章 有限控制容積分析 finite contol olme analsis 控制容積分析可分為兩種 :. 有限 體積非無限小 分析法, 因往往得到積分方程式, 故又稱為積分控制容積法 integal C.. analsis. 無限小 infinitesimal 分析法, 因往往得到微分方程式, 故又稱為微分控制容積法 diffeential C.. analsis 此兩種方法各有優缺點, 有限分析法將控制容積當一整體看待, 故可求出此控制容積整體與外界之交互作用, 如對外界產生之力, 但容積各處細部之訊息缺乏, 例如無法得知個點之速度 壓力 溫度等訊息 ; 反之, 無限小分析法將控制容積當作空間中一點 任何一點, 故可求出流場中各處之訊息, 但流場整體對外界之影響無法得知, 此分析法將於下章討論 5. 質量守衡 連續方程式 continit eqation 30

131 假設系統與控制容積於時間 t 時互相重疊, 如下圖所示 : 則由雷諾轉換定理, 或 D Dt ss d t m t C c d time ate change of the mass of the coincident sstem CS ot nda A ot ot A time ate of change net ate of of the mass of the flow of mass coincident C.. int o the.. 注意 : 上式中, 每一項單位均為 kg/s, 並為一積分方程 式 in in in Dm ss 因質量不滅 : 0 Dt 故 0 d nda t C CS 此稱為 質量守衡定律 或 連續方程式 當穩定狀態 : 3

132 d t C 0 故 淨 流進控制容積之質量為零 O I 0 : nda A A CS ot m ot ot ot m in 0 in in in 其中 m A Q 稱為 質流率 mass flowate, 並可定義截面 A 上之平均速度 A nda A 例 : 求下圖水管之供水體積流率 olme flowate t 解 : d nda 0 0 C CS m, Q Q m, Q Q A 0.05 m 3 / s 3

133 例 : 空氣流經圓管如下圖, 求截面 之平均速度 解 : m m, A A, 又 RT T T o 8.4 sia540 R000 o 00 sia453 R ft / s 9 ft / s 注意 : 連續方程式亦可使用於可壓縮流體 例 : 層流 lamina 不可壓縮流體流於圓管內, 求截面 之最大速度與平均速度 33

134 解 : ot A A in in ot in ot A U A in in in 0 R ot Aotot πd WHY? R πd AU 0 層流流體達到完全成形區 fll deeloed egion, 速度不再隨管子長度而改變 時, 其速度分佈 elocit ofile 為拋物線方程式 Wh?: ma 0 [ R 4 ma 0 4R ma ma U, U R 代入積分, π πr U 0 故層流流體達到完全成形區時, 其最大速度為平均速度 之 倍 若流體流動於兩平行平板間, 則如何? ] 0 移動控制容積 c W W: 相對速度, 即在移動控制容積上觀測之流體速度 34

135 c: 在固定座標上觀測之控制容積速度 W: 在固定座標上觀測之流體速度 則在 移動控制容積 上觀測到之質量守衡為 : t C d m t c CS W nda ot A ot W ot A in in W in 0 例 : 求下圖飛機在穩定狀態下, 油料之進油率 解 : CS m W nda m fel in A W in fel A W A W A W 0 35

136 例 : 邊界層理論 bonda lae theo 下圖流體流經一平板, 速度分佈由平滑變為一曲線, 可以下列方 U δ δ 程式表示之 :, δ 為邊界層厚度, 問 : 是否有流體流過 bc 面? 是否有垂直速度分量? 解 : nda 0 CS A ab nda nda nda nda 0 m bc A bc A bc nda A ab A cd nda A cd A da nda δ nda UdA Ud Uδ A ab A ab 0 δ nda da U[ δ δ A cd A cd 0 Uδ ] d 3 m bc Uδ Uδ Uδ > 故有垂直方向的速度分量 36

137 問 : 試畫出平板上二度空間之速度分佈 5. 牛頓第二定率 動量守衡 牛頓第二定律 : time ate of change of the momentm of the sstem { bod foce} sface focces esse iscos D Dt ss d F ss 假設系統與控制容積於時間 t 時互相重疊, 如下圖所示 : 則由雷諾轉換定理, F ss F contents of the coincident C D Dt ss d t t C C d d CS n da ot ot A ot ot A in in in in 37

138 或 time ate change of the momentm of coincident sstem time ate of change net ate of the of the momentm of the flow of momentm coincident C.. ot of the C.. 故以控制容積而言 d n da t C CS d ot ot A t C ot ot A in in in in F contents of the C 注意 : 上式中, 每一項單位均為 kg.m/s, 並為一向量方 程式, 故有三分量 此式可以下式表示之 : O I S F contents of C the Stoage ate Otflow ate Inflow ate of momentm of momentm of momentm in the C i kg m / s kg m / s kg m / s 此為控制容積法表示之動量守衡定律 F i 38

139 例 : 欲固定下圖物體, 須施與多少固定力 anchoing foce? 解 : i wk A A w A w A F F cosθ A A F A sinθ A 0 A F A F A A cosθ m cos θ F A A sinθ m sinθ 此固定力之方向為何? 例 : 求下圖水龍頭噴嘴之固定力 39

140 解 : 解法一 以噴嘴 水為控制容積 40

141 4 C the of contents in in in in ot ot ot ot F A A,,,, A A W W F A A W W F m m A A A A W W F A w A w w n A atm abs atm abs w n A atm abs abs w n A m m m 0 > A A W W A A m A A W W m F w n w n A 注意 : >, Wh? 解法二 以噴嘴 水分別為控制容積 以噴嘴而言 : 0 A A R W F atm n A 以水而言 :,, A A W R m m abs abs w

142 m R A Ww, abs A, abs 結合此二控制容積, 消掉管壁磨擦力 R : F A m W W A A 此結果與解一相同 n w 注意 : 管壁磨擦力 R 雖與大氣壓有關, 但固定力只與表壓有關 例 : 求下圖 U 形管之固定力 解 : 解法一 以管 水為控制容積 i j wk 4

143 A 0 F A A m m F A A A m F F A F A A A A, abs, abs A atm, abs A A atm, abs A atm A A 注意 : FA 為負值, Wh? 解法二 以管 水分別為控制容積 以管而言 : 0 FA R atm A A 43

144 注意 : R 為負值, Wh? 以水而言 : m R A, abs A, abs 結合此二控制容積, 消掉管壁磨擦力 R : F A m A A 此結果與解一相同 問 : 磨擦力 R 與固定力 F A 誰大? 為何? 例 : 求下圖截面 與截面 間之壓力降 esse do 44

145 解 : 控制容積 只包括水, 不包括管子 之垂直方向之動量 守衡 : w ot A ot ot w in A in in A R W A 其中 R 為管壁磨擦力 注意方向 win Ainin w A w w m w πr w ot A ot ot A w R π w [ R 0 4πw w da R 3 R w 0 ] πd d 4 3 w π R w πr A R W A w W R 3 A A 注意 :. 上式第一項為流體從截面 之平滑 nifom 速度 分佈, 轉變為截面 之拋物線速度分佈, 動量流率 wm 之增加量 即使質流量相等, 截面 之 動量流率並不相等, 非平滑速度分佈之動量流率永遠 較平滑速度分佈之動量流率為大, Wh?. 上式第二項為重力造成之壓力降, 當管路為水平時, 45

146 此項消失 3. 上式第三項為磨擦力造成之壓力降, 當管路為水平, 且截面 均位於完全成形區 fll deeloed egion 時, 此項為造成壓力降唯一的原因, 其與流體之黏滯剪應力 τiscos shea stess 如下圖流體內控制容積力之平衡所示 : 當 R 管壁上 π πτ πτ w A 其中 τw 為管壁剪應力 wall shea stess, 此例中 磨擦力 R 即為管壁上總共之管壁剪應力 : R πτ w 壓力降若以位置變率表示 : d d 46

147 此稱為壓力梯度 esse gadient, 當流體向右 流動時, 此項為負值 Wh? 例 : 邊界層理論 bonda lae theo 下圖流體流經一平板, 速度分佈由平滑變為一曲線, 可以下列方 U δ δ 程式表示之 :, δ 為邊界層厚度, 問 : 平板施與流體之拖曳力 dag foce 解 : 由動量守衡 : A n da n da F A 3 D h U o U o d d 0 D U o h d 其中 h 為未知, 可由質量守衡求得 : δ 0 δ 0 47

148 h n da 0 U o d d CS U oh d δ D U d 0 o δ 此稱為邊界層之動量積分定理 momentm-integal theo δ δ D U 0 U o 0 o d U δ o 0 δ δ δ η η η η dη 5 [ δ δ U δ o ] d 注意 : 拖曳力隨邊界層厚度增加而增加, 邊界層厚度隨 平板長度增加而增加 5.3 能量守衡 在大自然當中一個最基本的原理就是熱力學第一定律, 亦已知為能量守恆原理, 此方程式提供研究各種能量型式之間與能量交互作用關係式的基礎 它敘述在變化過程期間, 能量無法產生也無法破壞, 只能改變型式 對任何系統的能量守恆原理可簡易地表示為 Ein Eot 48

149 ΔE 固定質量 密閉系統 的能量會以兩種機置變化 : 熱傳遞 Q 與功傳遞 W, 則固定質量以變化率型式表示的能量守恆為 dess d Q net in W net in 或 Q net in W net in ed dt dt ss 熱力學第一定律 對系統而言 : time ate of incease net time ate of eneg of the total stoed addition b heat tansfe eneg of the sstem into the sstem D Dt e d Q in Q ot ss W in ss Wot ss net time ate of eneg addition b wok tansfe into the sstem 或 D Dt e d ss Q W net in net in ss 物質能量 e eneg/mass 可表示為 e g int { enal eneg} { kinetic eneg} { otential eneg} 49

150 當時間 t 時, 系統與控制容積重合 : Q W Q W net in net in ss net in net in coincident C 利用雷諾轉換定律 b e 故 D Dt ss e d ed e n da t t t C C C ed ed CS e e ot ot m ot ot A ot ot e in m in e in A in in in t C ed CS e n da Q W in net in net C 功 W 分為 有用的功 與 無用的功, 或以功率表示 W in net W W in net sefl in net nonsefl 其中有用之功包括活塞 iston 功 轉軸 shaft 功 等, 無用的功稱為流動功 flow wok, 代表流體作功中, 必須供給流體流動之功, 如流體流進渦輪機作功, 若不提供此功則流體無法流動, 故此流動功無法使用, 必須從淨功中踢除 50

151 5 流動功 flow wok 任何通過控制容積表面流體作之功率為 A F W stess nomal wok flow 故流進控制容積之淨流動功率為 CS ot ot ot in in in in flow wok net da n A A W Wh -? 代入雷諾轉換方程式 CS C in sefl net in net CS C da n W Q da n e d e t C in sefl net in net CS C W Q da n e d e t

152 5 C in sefl net in net CS C W Q da n g h d e t C in sefl net in net in in ot ot C W Q m g h m g h d e t 其中 h 稱為焓 enthal, 可視為 流動 流體之內能 此為能量守衡定理 in sefl net in Q net W S I O / int inf / / / s J C o the wok sefl and heat of low ate net total s J C in the eneg of ate Stoage s J eneg of Inflow ate s J eneg of ate Otflow 應用能量守衡定理於管路穩定流,

153 ot in [ hot hin g ot in ] Q net in m W net sefl in 或 [ ot in h ot hin g ot in] qnet in w net sefl in q Q / m net in net in 為每單位質量傳入流體的淨熱量 w W m 為每單位質量輸入流體的軸功 shaft, net in shaft, net in / 淨值 當穩定 不可壓縮流體 無作功時, 應用能量守衡於任一流線上 : 其中 ot ot g ot in in q ot in in net g in loss ot in q net in 代表因熱傳 溫度改變 磨擦力 黏滯力 等所損失之能量 kj/kg, 若損失為零, 則能量方程式與白弩力方程式相等 任何 的增加大於 qnet,in 乃是由於機械能不可逆的轉換為熱能的緣故, 因此 qnet,in 代表機械能損失 53

154 54 例 : 求下圖渦輪機所作之功 kj/kg 解 : in sefl net in net in ot in ot in ot w q g h h ] [ kg kj w kg kj kj J s N m kg m N J s m kg kj h h w ot in ot in ot in sefl net / 797 / 797 ]000 [ ] [

155 例 : 求下圖風扇之效率 風扇馬達之功率為 0.4 kw 解 : [ h ot ot in hin g ot in ] w net sefl in loss w g g net loss sefl in w net sefl in loss m / s [ kg m / N s 7 N ] m / kg 55

156 η w loss net sefl in w net sefl in w net sefl in m A W net sefl in m w net sefl in W πd net sefl in / N m / kg 0.4 kw [000 N m / kw s] 3.3 kg / m [ π 0.6 m / 4] m / s η % 動能修正 平均流速 ag 定義為使用 aga 關係式時, 可得出實際的質量流率 流體流動之動能從公式 / 所計算的值與實際流動的動能不同 將能量方程式中的動能項 / 用 α / ag 代替來修正 誤差, 其中 a 為動能修正係數 對完全發展層流的管流之修正係數為.0, 且對在圓管 56

157 的完全發展紊流時, 修正係數範圍介於.04 到. 之間 在基礎分析中常忽略動能修正係數 即設定其為, 因為 實務上常遇到的問題是紊流, 在此情況下修正係數幾乎為 ; 而且 相對於能量方程式其他項目, 動能項經常是很小的 例 : Effect of Fiction on Flid Temeate and Head Loss Show that ding stead and incomessible flow of a flid in an adiabatic flow section a the temeate emains constant and thee is no head loss when fiction is ignoed and b the temeate inceases and some head loss occs when fictional effects ae consideed. Discss if it is ossible fo the flid temeate to decease ding sch flow. 57

158 例 : Pming Powe and Fictional Heating in a Pm The m of a wate distibtion sstem is oweed b a 5-kW electic moto whose efficienc is 90 ecent. The wate flow ate thogh the m is 50 L/s. The diametes of the inlet and otlet ies ae the same, and the eleation diffeence acoss the m is negligible. If the esses at the inlet and otlet of the m ae meased to be 00 kpa and 300 kpa absolte, esectiel, detemine a the mechanical efficienc of the m and b the temeate ise of wate as it flows thogh the m de to the mechanical inefficienc. 58

159 例 : Hdoelectic Powe Geneation fom a Dam In a hdoelectic owe lant, 00 m3/s of wate flows fom an eleation of 0 m to a tbine, whee electic owe is geneated. The total ieesible head loss in the iing sstem fom oint to oint eclding the tbine nit is detemined to be 35 m. If the oeall efficienc of the tbine geneato is 80 ecent, estimate the electic owe ott. 59

160 例 : Fan Selection fo Ai Cooling of a Comte A fan is to be selected to cool a comte case whose dimensions ae cm_ 40 cm _ 40 cm. Half of the olme in the case is eected to be filled with comonents and the othe half to be ai sace. A 5-cmdiamete hole is aailable at the back of the case fo the installation of the fan that is to elace the ai in the oid saces of the case once ee second. Small low-owe fan moto combined nits ae aailable in the maket and thei efficienc is estimated to be 30 ecent. Detemine a the wattage of the fan moto nit to be chased and b the esse diffeence acoss the fan. Take the ai densit to be.0 kg/m3. 60

161 例 : Head and Powe Loss Ding Wate Pming Wate is med fom a lowe eseoi to a highe eseoi b a m that oides 0 kw of sefl mechanical owe to the wate. The fee sface of the e eseoi is 45 m highe than the sface of the lowe eseoi. If the flow ate of wate is meased to be 0.03 m3/s, detemine the ieesible head loss of the sstem and the lost mechanical owe ding this ocess. 6

162 第六章 流體微分分析法 diffeential analsis 前章節中討論之有限控制容積法, 在實際應用上非常實用, 因其不需控制容積內各點之詳細速度 壓力 溫度等分佈, 其結果是, 提供一流體對外界之整體影響, 其守衡方程式亦以積分形式出現 但其缺點為缺乏流體細部之訊息, 如下圖之速度分佈無法以有限控制容積法求得 : 若欲求得流場中細部之速度 壓力 溫度等訊息, 必須將有限控制容積縮小成無窮小 infinitesimal 之控制容積, 又此方法之守衡方程式會以微分方程式表示, 故此方法稱為微分分析法 6. 流體元素運動學 flid element kinematics 流體在運動時, 流體任一元素可能會有下列變化 : 移動 tanslation 線性變形linea defomation 即變大或變小 旋轉otation 及角度變形angla 6

163 63 defomation 等 移動 : 流體各點速度相等, 無任何速度梯度 速度梯度 : 速度梯度分為兩種. nomal deiaties: w,,. coss deiaties: w w,,,,, 一般而言,nomal deiaties 造成流體元素線性變形 變大或變小,coss deiaties 造成流體元素旋轉或角度變形

164 線性變形 若流體在 方向有速度梯度 0, 則經過時間 δt 後此 流體元素體積變大量為 Change in δ δ δδ δt 則 單位時間 單位體積 體積增加率為 δt d δ lim[ ] dt t 0 δt δ δ 若流體在 方向亦有速度梯度 0, 0, 則 d δ δ dt w 此稱為 體積擴大率 olmetic dilation ate 對 不可壓縮流體而言, 體積擴大率永遠為零 Wh? w 64

165 流體旋轉 考慮兩度空間, 在時間 δt 間, OA 線旋轉之角速度為 ω OA δα lim δt 0 δt 當角度很小, tan δα δα / δδt δ δt 故 ω OA / δt lim[ δt 0 δt 注意 : 當 > 0, ω OA 為反時針方向旋轉 同理, 在時間 δt 間, OB 線旋轉之角速度為 ω OB δβ lim δt 0 δt 當角度很小, tan δβ δβ / δδt δ δt 65

166 66 故 t t t OB δ δ ω δ / lim[ 0 注意 : 當 0 >, OB ω 為順時針方向旋轉 故在 - 平面上 以 軸為旋轉軸, 此流體元素之淨反時針旋轉角速度為 ω Wh /? 當 OB OA ω ω 時, 此流體元素只作旋轉而無角速度變形 同樣, 在 - 平面上 以 軸為旋轉軸 w ω 在 - 平面上 以 軸為旋轉軸 w ω 故三度空間流體元素之旋轉角速度為 k j i ω ω ω ω 此項可以速度之捲曲度 cl 表示之 : cl ω

167 i j k w 定義 旋轉度 oticit,ξ ξ ω 注意 : 旋轉度是向量 若旋轉度為零, ξ 0, 稱為 非旋轉流場 iotational flow 非旋轉流場之重要性在於複雜的流場可大大簡化, 可以利用白弩力方程式於流場中任意兩點 不必受限於同一流線, 流場亦可以速度位能 elocit otential 表示, 此容後再敘 67

168 68 比較何為旋轉流場? 例 : 兩度空間流場 j i 4, 此流場是否為非旋轉流場? 解 : 0,, 4 w 0 w ω 0 w ω ω 故為非旋轉流場 兩度空間流場為非旋轉, 只要下列條件吻合 : o 0 ω, 此代表 OA 及 OB 有相同但反向之速度, 故流體之淨旋轉度為零

169 流體角度變形流場的速度梯度 coss deiaties 除了會產生流體旋轉外, 亦會造成流體角度變形, 即流體元素之形狀改變 OA 及 OB 原來成直角, 因速度梯度造成之總角度改變為 δγ δα δβ 其中 δγ 為正值代表直角角度變小 角度改變率為 若 無任何之形狀改變 δt δt δγ γ lim lim[ ] δt δt δt 0 t 0 δ, 角度改變率為零, 代表流體元素純粹作旋轉而 6. 質量守衡 利用前章有限控制容積法, 將質量守衡定律運用於流體中任 一無窮小之控制容積 實為空間中一點, 如下圖所示 : 69

170 70 運用質量守衡於此無窮小控制容積 : 0 CS C d t nda 0 S I O 其中 ] [ ] [,,,,,,,,,,,, dd w dd dd dd w dd dd A A nda I O d d d in in in ot ot ot CS 利用泰勒展開 Talo s eansion: d d,,,, d d,,,, d w w w d,,,, ddd w I O ] [ ddd t d t d t S C C 故質量守衡以微分表示為 : 0 ] [ ddd w ddd t 0 w t 或表示為

171 7 0 t 注意 :. 稱為 發散量 diegence, 必須與向量運算, 而結果為純量, 例如 scala a w kw j i k j i. 稱為 梯度 gadient, 必須與純量運算, 而結果為向量, 例如 ecto a k j i k j i 若流場為穩態 流體為不可壓縮, 則 0 w 此稱為連續方程式 continit eqation

172 例 : 兩度空間 穩態 不可壓縮流場 A,? 解 : 0 A const d f A f Ai A f j Wh? 微分質量守衡方程式亦可以積分質量守衡方程式以 發散 定理 diegence theoem 求得 : nda 0 d t CS C 發散定理 : ecto nda ecto d 0 CS 故 nda d 0 CS C C C C d d 0 t C [ ] d 0 t 0 t 7

173 73 圓柱極座標 clindical ola coodinates 當流場位於圓管內時, 用圓柱極座標較容易表示 e e e t θ θ θ,,, 連續方程式 : 0 θ θ 例 : 管路流體到達完全成形區 fll deeloed egion, 有無徑向 - diection 之速度分量? 解 : 0 θ θ fll-deeloed smmetic in θ 0

174 C, C 但速度在 0 必須為有限, 0 無徑向速度分量 C, 0 問 : 流體在管路入口附近 entance egion, 有無徑向之 速度分量? 流線函數 steam fnction 穩態 兩度空間 不可壓縮流體之流場必須滿足連續方程式 : 0 此方程式之意義為 : 及 均滿足下列方程式, ψ, ψ ψ ψ 因 [ ] 0 恆可滿足連續方程式 ψ 稱為流線函數 steam fnction, 可由 d 或 積分而得 使用流線函數有兩優點 : d. 流場之二未知數, 及, 變為只有一個未知 數 ψ,. 流線函數等於一常數之線即為流線 ψ, a const. is a steamline 74

175 在流線上任一點切線之斜率為 d on a steamline d 若此流線可以一流線函數 ψ 代表, 則在此流線上從, 點移動至 d,d 點, ψ 之變動量為 ψ ψ dψ d d d d 0 此代表在此流線上, ψ, C, 流線函數為一常數, 故 若流線函數為已知, 則將不同值之各流線函數劃出, 就可看 之流場流動之形狀 在實用上, 流線函數之值並不重要, 流線函數之間函數值的 變化才重要 因流體無法流穿流線, 故任兩條流線之間流 體之體積流量 olme flow ate 為一常數, 如下圖所示, 在兩流線 流線函數分別為 ψ dψ 及 ψ 之間, 流經 AC 線及流經 ABC 線之流量相等, 75

176 ψ ψ dq d d d d dψ 故任兩流線其流線函數為 ψ 及 ψ, 其間流過之流量為 q ψ ψ 位於上面之流線 ψ 若大於下面之流線 ψ, 則 q > 0 流 動向右 ; 反之, 則 q < 0 流動向左 例 : Ai Aj, A 0.3 s, 劃出流線函數 解 : A ψ ψ const ψ d f A f 其中 f 可由 方程式求得 : ψ df A A, f C d 其中常數為任意, 可取為零 故通過原點之流線函數為 76

177 零, 3 m / s ψ 0.3 注意單位 m 問 : 可否解釋上圖曲線? 曲線間之流量為何? 在極座標中, 穩態 兩度空間 不可壓縮流體之流場必須滿 足連續方程式 : θ 0 θ 流線函數 ψ,θ 可表示為下列方程式, ψ, θ θ ψ 77

178 在圓柱座標中, 穩態 不可壓縮流體, 唯有軸承對稱流場 aismmetic 可以用流線函數表示之, θ, e e e, θ θ θ 0 θ 連續方程式為 0 可寫成 0 Wh? 流線函數 ψ, 可表示為下列方程式, ψ, ψ 在任兩條流線間 實則兩同軸圓筒面, 流體之流量為 q π ψ Wh π? ψ 78

179 動量守衡利用前章有限控制容積法, 將質量守衡定律運用於流體中任一無窮小之控制容積 實為空間中一點 : C the of contents in in in in ot ot ot ot C CS C F A A d t da n d t 在 方向之方程式為 : C the of contents C in in ot ot C in in in in ot ot ot ot CS C F d t m m d t A A da n d t 此即 C the of F contents S I O 其中 I O 項可由下圖瞭解 :

180 注意 : 其中 m 及 wm 可視為垂直於 方向流進控制容 積之流體, 所帶的 方向之動量, 如下圖所示 : 故 80

181 8 [ ] { } [ ] { } [ ] { } ddd w w dd dd d w w dd dd d dd dd d I O ] [ ddd t S ] [ sface bod C the of contents F F F,,, ddd g F bod, iscos esse sface F F F,,, 其中壓力與黏滯力可結合成一剪應力張量 : ij τ τ τ τ τ τ τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ 其中 τ τ τ τ τ τ,, Wh? 如下圖所示 :

182 8 [ ] { } [ ] { } [ ] { } ddd ddd dd dd d dd dd d dd dd d F sface ] [ ] [, τ τ τ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ

183 83 將 S I O 各項結合,? ] [ ] [ Wh w t w t w t w t 方向的動量方程式即成 : g w t τ τ τ 同理, 方向的動量方程式即成 : g w t τ τ τ 方向的動量方程式即成 : g w w w w t w τ τ τ 此為動量守衡方程式, 或以向量表示 : ij g t Dt D τ ] [ 6.4 非黏滯流體流場 iniscid flow 動量方程式中之黏滯力項 ij τ 造成此方程式非常複雜難解, 故當流體為非黏滯流體或黏滯力很小時, 可將此黏滯力項消去 問 : 何種情況下, 可假設為非黏滯流體?

184 84 在此情況下, 動量守衡方程式變為 : g w t g w t g w w w w t w 或 g t ] [ 此稱為 Ele s eqation 歐拉方程式 此方程式為非線性偏微分方程式, 依然非常困難求解, 但可以化簡法得到一些之重要結果, 如白弩力方程式 白弩力方程式穩定狀態下, g 沿著流場內任一流線, 其中

185 g gk g 0i 0 j k g i j k g [ ] g 或 g What is? 將此方程式沿此流線取內積 inne odct: ds 其中 ds 0 亦垂直於 ds 又 ds di dj dk ds g ds ds 因 一定垂直於, 故 ds d d d d 故 Ele s eqation 變成 : 沿此流線積分 : d d gd 0 steamline d d gd constant 對非黏滯 不可壓縮流體 此稱為理想流體 ideal flids, 此式即為白弩力方程式 : 85

186 g constant 再強調白弩力方程式之適用範圍 :. 穩態流場. 不可壓縮流體 3. 非黏滯流體 4. 沿任一流線上 當流場為非旋轉流場 iotational 時, 有兩項重要結果 :. 白弩力方程式可應用於流場中任兩點 可不跼限於同一 流線上. 流場可以一類似流線函數之速度位能 elocit otential 單一變數表示之, 而不須用三個速度分量表 示 此兩點敘述如下 : 當流場為非旋轉流場時, ds ξ ds 0 ds in an diection 此代表無論 ds 之方向為何, 此內積永遠為零, 故 an two oints in sace d d gd constant 86

187 87 故在非旋轉流場中, 任意兩點可以應用白弩力方程式如下 : g g 速度位能 elocit otential 函數對非旋轉流場而言, 速度梯度有下列關係 : 0 0, 0, w w 故可定義一函數, 以滿足上式, w φ φ φ,, 例如 : 0 φ φ 永遠滿足 此函數 φ 稱為 速度位能 elocit otential, 或表示為 φ 故在非旋轉流場中, 速度可表示為一純量之梯度 速度位能與流線函數有兩點不同 :. 速度位能是由非旋轉性質得來, 而流線函數是由連續方程式 質量守衡 得來

188 88. 速度位能可適用於三度空間流場, 而流線函數只能適用於兩度空間流場 速度位能與流線函數有一點非常類似 : 在非旋轉流場中, 速度亦須滿足連續方程式, 故 0 φ φ 其中 scala scala 稱為拉普拉氏運算子 Lalacian oeato, 故速度位能必定是下列拉普拉氏方程式之解 : 0 φ φ φ 此類流場 非黏滯 不可壓縮 非旋轉 稱為 位能流 otential flow 而在兩度空間的非旋轉流體中, 速度梯度必須滿足 利用流線函數 : ψ ψ 或 0 ψ ψ

189 此為兩度空間之拉普拉氏方程式, 故流線函數必定亦是拉普 拉氏方程式 但為兩度空間 之解 在兩度平面上, 等流線函數 流線函數為一常數 曲線, 與 等速度位能 速度位能為一常數 曲線, 互有垂直關係, 此 可由下解釋之 : 在等流線函數曲線上, d d along ψ const 同理, 在等速度位能曲線上, 由一點, 移動至另一點 d,d, 其速度位能改變量 dφ 為零, φ φ dφ d d d d 0 故 d d along φ const 這代表等流線函數曲線之斜率, 與等速度位能曲線之斜率, 相乘等於 -, 故此二曲線互相垂直, 故在圖解流場分析中, 知道等流線函數曲線就可畫出等速度位能曲線, 反之亦然 89

190 同樣在圓柱座標中, 速度與速度位能之關係 φ 可表示 為 φ, φ θ θ, φ 而圓柱座標的拉普拉氏方程式為 φ φ θ φ 0 例 : 水流經下圖直角, 其流線方程式為 ψ sin θ m / s 求出速度位能 若點 之壓力為 30 kpa, 則點 之 壓力為何? 解 : 此題可以直角座標解之 : ψ sin θ 4 sinθ cosθ 4 Wh? 90

191 故 ψ ψ 4, 4 測試是否為非旋轉流場 : 0 0 0, 故速度位能存在 : iotational φ, φ φ d f const 或 φ d f const 比較兩式, φ C 令通過 0,0 之速度位能為 0, 故 φ 此式亦可以極座標表示 : φ 此題亦可以極座標解之 : cos θ sin θ cosθ ψ 4 cosθ, θ ψ 4 sin θ θ φ φ 又, θ θ 故 φ d cosθ f θ θ const 或 φ θ dθ cosθ f const 比較兩式, φ cosθ C 9

192 令通過 0,0 之速度位能為 0, 故 φ cosθ 此式亦可以直角座標表示 : φ cosθ cos θ sin θ 此流場為非旋轉流場, 故任意兩點可用白弩力方程式 : g g 故 又 θ 4 cos θ 4 sin θ 6 此處可否用直角座標得到同樣答案? 故 kg / m 6 4 m / s 30 kpa 36 kpa 000 kg. m / s / kn / m 又當角度非直角時, 流線函數與速度位能可通式化為 ψ A π / α sin πθ α 9

193 φ A π / α cos πθ α 6.5 黏滯流體流場 iscos flow 在不可壓縮 牛頓流體中, 剪應力與流體之變形成正比關係 : nomal stesses: τ τ τ µ µ w µ shea stesses: τ τ τ τ τ τ µ µ w w µ 在圓柱座標中可表示為 nomal stesses: 93

194 94 µ τ θ µ τ µ τ θ θθ shea stesses: ] [ µ τ τ θ µ τ τ θ µ τ τ θ θ θ θ θ θ 將剪應力代入動量守衡方程式, 即得三方向之力的平衡 : 方向 : g w t µ 方向 : g w t µ 方向 : w w w g w w w w t w µ 此三式稱為那福亞 - 史多客 Naie-Stokes 方程式, 連接一個質量方程式, 此四個方程式可完整解出四個未知數 - w 及, 然而因此些方程式為非線性偏微分方程式,

195 95 故除少數特別流場幾何可用解析法外, 大部分問題須用計算流體力學 CFD 方式求解 那福亞 - 史多客方程式在圓柱座標之表示為 : 方向 : [ g t θ θ µ θ θ θ θ θ 方向 : [ g t θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ µ θ 方向 : [ g t θ µ θ θ 若流體在管路內流動, 則圓柱座標較直角座標方便有用 兩平行平板間之穩定 不可壓縮 黏滯流體流場 : 如下圖所示,

196 此問題之分析法, 第一步要能化簡問題, 假設如下 :. 穩態. 不可壓縮 3. 兩度空間 那一度沒有? 4. 流體在完全成形區 0 Wh? 5. 流場為水平 i j wk 4 3,,, t

197 97 方向 : g w t µ 方向 : g w t µ g 方向 : w w w g w w w w t w µ 故動量方程式可簡化為 : 0 µ g 0 0 代表壓力在 方法無變化 方程式可積分為, f g 故在 方向 垂直方向 壓力的變化與靜壓相同 方程式可積分為

198 d d µ d d C µ 其中 µ C C 代表壓力梯度, 為一常數 負值, Wh? 兩 未知數可用兩邊界條件求出 : 此題座標原點為何要置於中心線? B.C # -h, 0 B.C # h, 0 此稱為什麼條件? C 0 h µ, C 故速度分佈為一拋物線 : µ 兩板之間之流量為 h h q d µ h h 3 h 3µ h h d 平板上任意兩點之間之壓力降 esse do 與壓力梯 98

199 度之關係為 : left ight 故 h 3 q 3µ 平均速度為 ae q h h 3µ 中心最大速度為 h µ ma 3 ae 注意 : 圓管中 ma ae 壓力分佈 :, g f df, f d, g o 其中 o 為 0,0 點之壓力, 故流場中, 在垂直方向壓力分 佈與靜壓相同, 而在水平方向 流體流動方向 壓力分佈為 線性 以上分析僅適用於層流 lamina flow, 即雷諾數 Renolds nmbe 低於 ~ 400 雷諾數定義為 o ae h Re µ inetia iscos foce of foce of flid flid 當雷諾數大於 ~ 400 時, 流場變為紊流 tblent 99