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1 34 2 Vol. 34, No ACTA AUTOMATICA SINICA February, , ( ). m,., k, k-sca., l 1. ( ). (BSS), (SCA),,, k TN912.3 Underdetermined Blind Source Separation Algorithm Based on Normal Vector of Hyperplane XIAO Ming 1, 2 XIE Sheng-Li 1 FU Yu-Li 1 Abstract Discussion of blind signal separation problem under underdetermined case (i.e., the case of less observed signals than sources) is presented. First, a formula to calculate the normal vector of any hyperplane is given and a mixing matrix recovery algorithm based on the normal vector of any hyperplane is proposed. Second, for audio signal, k-source intervals are introduced and a method to detect them is proposed. So, the algorithms under the k-sca condition are extended to blind non-sparse signal separation. To reconstruct the sources, a new algorithm is proposed to simplify the l 1 -norm solution. Several experiments demonstrate the performance of the proposed algorithm. Key words Underdetermined blind signal separation (BSS), sparse component analysis (SCA), hyperplane clustering, normal vector, k-source interval (Independent component analysis, ICA) (Blind signal separation, BSS) [1 3],.,, [4 8],,,., Georgiev, k-sca [9 10], k-sca Received November 6, 2006; in revised form May 8, 2007 (U , , ), ( , ), (2005CCA04100) Supported by National Natural Science Foundation of China (U , , ), Natural Science Fundation of Guangdong Province, China ( , ), Specialized Prophasic Basic Research Projects of Ministry of Science and Technology, China (2005CCA04100) College of Electrics and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou Department of Electrics and Information Engineering, Maoming College, Maoming, Guangdong DOI: /SP.J k-sca [11 14],. Theis Cichocki [12],, m,,., k-sca,, k-sca,,., 4 3, ( 1),,, k-sca,,, k-sca.,,, k-sca.,, k ; k, k,.

2 2 : 143, l 1,., Theis [12] Washizawa [14], ((a) ; (b) ) Fig. 1 Four speech signals mixed into three mixtures ((a) Scatter plot of three mixtures; (b) Their projections 1 on unit sphere ), X = AS (1), A R m n S R n N. Georgiev k-sca : 1) A m m ; 2) n m + 1, S n m + 1 ; 3) : n m + 1 I = {i 1,, i n m+1 } {1,, n}, S m 0 I, m 1. k-sca, :? m {u k } m 1, u k = (u k1,, u km ) T, H, H = {y y R m, c 1,, c m 1 R, y = c 1 u c m 1 u m 1 }.,,., m, m 1 H,, 1. m n m {u k } m 1 H, y H, n, y = 0, n H ( ), n H,,., U = (u 1,, u m 1 ) m (m 1), l, (m 1) (m 1) u 11 u m 1, u.. 1,l 1 um 1,l 1 U l =. u.. 1,l+1 um 1,l u 1m u m 1,m 1. m {u k } m 1 H,, n 0 = (det(u 1 ), det(u 2 ),, ( 1) m 1 det(u m )) T H ;, n 0 m H.., n 0 {u k } m 1 u 1 : n 0, u 1 = u 11 det(u 1 ) u 12 det(u 2 ) + + u 1m ( 1) m 1 det(u m ) = u 11 u 11 u m 1, = 0 u 1m u 1m u m 1,m, n 0, u l = 0 (l = 1,, m), n 0 H.,, n H, n, u l = 0 (l = 1,, m 1), U T n = 0, U m 1 n 0, c n 0 ( n = c n 0, c R), n 0,, H., n 0, {u k } m 1 H, H, v H v / H, v {u k } m 1, {u k } m 1 v m m, m, n 0 H H, n 0 {u k } m 1 v, n 0 m

3 144 34,,, n 0 H.. H, n = n 0 / n 0. 2 k-sca, A a j, (1) x t = n a j s t j (2) j=1, x t X, a j = 1., A k-sca 1), m 1 {a ik } m 1 m H q, H q = {y y R m, c ik R, y = c i1 a i1 + + c im 1 a im 1 },, q = 1,, C m 1 n, C m 1 n = n!/[(m 1)!(n m + 1)!]. 1, b q = (det(a q 1), det(a q 2),, ( 1) m 1 det(a q m)) T, b q H q,, A q l a 1j1 a 1jm A q l = a.. l 1,j1 al 1,jm 1., l = 1,, m a.. l+1,j1 al+1,jm a m,j1 a m,jm 1 k-sca 2), S s t n m + 1,, X x t A Q H q, x t Q H q=1 q (Q = Cn m 1, t = 1,, N),,, X Q ( 5 3(b)). Q H q? : 1) X, X {x t } N t=1, xj = x j / x j. 2) x j + x k = 0 x j x k = 0,. y l = x j, X y l, {y j } N l j=1, Y = (y 1,, y N l ), yl h l. 3) det(y l1,, y lm ) 0, m {y li } m i=1, m, m 1, Y n 1 N min,., {n j } L j=1, L {H j } L j=1. 4) Y n j, j 1,, j k {1,, N l }, X n j m j, m j = k h i=1 j i, m j. 5) m j,, Q n j,, ˆb j = n j. 6) {ˆb j } Q j=1, a j C m 2 n 1, {ˆb j } Q j=1 C m 2 n 1, {ˆb j } Q j=1 m 1 a j., S s t n m + 1, m 1 {a ik } m 1 m Cm 1 n H q x t,, S s t n m + 1, Cn m 1 H q,,,. 3 k, k-sca 2),, k-sca. k-sca,, k : 4, 1, ;, 2 ; 3, 3. k, n m + 1, m 1, k. k. 2., [t 1, t 2 ], k (k m 1) 0, 0, [t 1, t 2 ] k. [15 16], k 1

4 2 : 145, : 3., [t 1, t 2 ], 0, [t 1, t 2 ]., k. 2. m m, [t 1, t 2 ] k, k = m 1, t [t 1, t 2 ], x t ; x t [t 1, t 2 ] m 1,,.. t [t 1, t 2 ], s t n m + 1, m 1,, {s t j l } m 1 l=1, x t = m 1 a l=1 jl s t j l, x t {a ji } m 1 i=1,, x t [t 1, t 2 ] m 1, [t 1, t 2 ] m 1, 1,,. t i [t 1, t 2 ] (i = 1,, m), {x t i } m i=1, : 1. m m, [t 1, t 2 ] k, k = m 1, t i [t 1, t 2 ] (i = 1,, m), det([x t 1,, x t m ]) = 0, k m {x t i } m i=1 0., k, k k-sca 3,. 3., k (k = m 1) k-sca 3,.. k,, k,, [9],,. 3 k-sca 3 : n m k (k = m 1), 2 1,, k N min, k : 1) [16] ; 2) 2 1 k, N min k ; 3) 2 k-sca. 4 (Laplacian) A,, l 1 J(S) = T n t=1 j=1 st j, S. l 1 [6] n n min s t j, s. t. a j s t j = x t (3) j=1 j=1, X ; m 0, 0,, (3) min A ik n s t j, s. t. j=1 m a i k s t i k = x t (4), A ik A m, A ik = (a i1,, a im ). A ik Cn m, (4) Cm n n j=1 st j, m ai k st i k = x t, s t i k, A min i k, { A min i k (s t i 1,, s t i m ) T = x t (5) s t j = 0 (i i k ) (4) (5) l 1,, m 0, Theis [12], k-sca ( 2(a)), 2(b), A =

5 146 34,, (0.494, , ), (0.2646, , 0.47), 10 7, X,. 8,,,. 3, 2 ((a) ; (b) ; (c) ) Fig. 2 Waveform of signals ((a) Sources; (b) Mixtures; (c) The estimated signals ) 3, 3(b),,, 6 ;, 6 ( ˆb 1,, ˆb 6 ) , B = [ˆb 1,, ˆb 6 ]. B = Â = min P P ÂP A 2, P., 0. Theis [12], min P P ÂP A , Theis., 2(c), 108 db 145 db 228 db 115 db; Theis 36 db 38 db 36 db 37 db Washizawa, ( 4(a)) [14], S 40 % 0,, k-sca, n m + 1. A = ((a) ;(b) ) Fig. 3 Four sparse sources mixed into three mixtures ((a) Scatter plot of mixtures; (b) Scatter plot of the normalized mixtures ) 5,,,, k-sca.

6 2 : 147, Â = ((a) ; (b) ) Fig. 4 Waveform of signals ((a) Sources; (b) The estimated signals ),,,,, 10, , B = [ˆb 1,, ˆb 10 ], B. min P P ÂP A 2 = E-004., 4 (b), 21 db 11 db 17 db 10 db 17 db. Washizawa [14], min P P ÂP A 2 = , srickard/ bss.html (Available date: Jane 17, 2005), 3 1, 6 (a), A = ((a) ; (b) ) Fig. 5 Five sparse sources mixed into three mixtures ((a) Scatter plot of mixtures; (b) Scatter plot of the normalized mixtures) B, ˆb 10,, 6 ((a) ; (b) ; (c) ) Fig. 6 Waveform of signals ((a) Sources; (b) Mixtures; (c) The estimated signals ) B =

7 (b) ( ), 1. 1,.,, 0.025, 3, Â 1 = k,, k 0.008, k 6, 2 k, k,,, 7. 7 (a) k ; 7 (b) 6, k ; 7 (c) , k 3., (0.6673, , ) 3,, Â = min P P ÂP A 2 = E-004, 34.7 db 7.6 db 18.3 db 8.1 db. 6 k-sca, : 1) m, Georgiev,, Theis ; 2) k, k-sca, Georgiev k-sca.,,, 4 k. References 1 Cardoso J F. Blind signal separation: statistical principles. Proceedings of the IEEE, 1998, 90(10): ((a) k ; (b) (c) ) Fig. 7 Simulation results ((a) Scatter plot of the samples in k-sources intervals; (b) and (c) Their projections on the unit sphere ) 1 7, 2. k,, (0.3662, , ), ( , , ) ( , , ), 3 2 Cichocki A, Amari S I. Adaptive Blind Signal and Image Processing: Learning Algorithms and Applications. New York: Wiley, Li Y Q, Wang J. Sequential blind extraction of instantaneously mixed sources. IEEE Transactions on Signal Processing, 2002, 50(5): Bofill P, Zibulevsky M. Underdetermined blind source separation using sparse representations. Signal Processing, 2001, 81(11): He Zhao-Shui, Xie Sheng-Li, Fu Yu-Li. Sparse representation and blind source separation of illposed mixtures. Science in China (Series E): Information Sciences, 2006, 36(8): (,,.. (E ):, 2006, 36(8): ) 6 He Zhao-Shui, Xie Sheng-Li, Fu Yu-Li. Sparsity analysis of signals. Progress in Natural Science, 2006, 16(9): (,,.., 2006, 16(9): ) 7 Delgado K K, Murray J F, Rao B D, Engan K, Lee T W, Sejnowski T J. Dictionary learning algorithms for sparse representation. Neural Computation, 2003, 15(2):

8 2 : Li Y Q, Amari S, Cichocki A, Ho D W C, Xie S L. Underdetermined blind source separation based on sparse representation. IEEE Transactions on Signal Processing, 2006, 54(2): Georgiev P, Theis F J, Cichocki A. Blind source separation and sparse component analysis of overcomplete mixtures. In: Proceedings of International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Montreal, Canada: IEEE, Georgiev P, Theis F J, Cichocki A. Sparse component analysis and blind source separation of underdetermined mixtures. IEEE Transactions on Neural Networks, 2005, 16(4): Bradley P S, Mangasarian O L. k-plane clustering. Journal of Grobal Optimization, 2000, 16(1): Theis F J, Georgiev P, Cichocki A. Robust overcomplete matrix recovery for sparse sources using a generalized hough transform. In: Proceedings of the 12th European Symposium on Artificial Neural Networks. Bruges, Belgium: He Z, Cichocki A. k-subspace clustering and its application in sparse component analysis. In: Proceedings of the 14th European Symposium on Artificial Neural Networks. Bruges, Belgium: Washizawa Y, Cichocki A. On line k-plane clustering learning algorithm for sparse component analysis. In: Proceedings of IEEE International Conference on Acoustics, Speech and Signal Processing. Toulouse, France: IEEE, Xiao M, Xie S L, Fu Y L. A novel approach for underdetermined blind source in frequency domain. Lecture Notes in Computer Science, 2005, 3497: Xie S L, Xiao M, Fu Y L. A novel approach for underdetermined blind speech sources separation. Dynamics of Continuous Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis, 2006, 13(4): ,.. xiaoming1968@163.com (XIAO Ming Ph. D. candidate at School of Electronics and Information Engineering, South China University of Technology, associate professor at Maoming College. His research interest covers blind source processing.), RFID.. adshlxie@scut.edu.cn (XIE Sheng-Li Professor at School of Electronics and Information Engineering, South China University of Technology. His research interest covers intelligent information processing, digital home networks, RFID theory and techonology, blind signal processing, and image processing. Corresponding author of this paper.) fuyuli@scut.edu.cn (FU Yu-Li Professor at School of Electronics and Information Engineering, South China University of Technology. He received his Ph. D. degree from Huazhong University of Science and Technology in His research interest covers blind signal processing.)

,,.,, : 1),,,,, 2),,,,, 3),,,,,,,,,, [6].,,, ( ),, [9], : 1), 2),,,,, 3),,, 2.,, [10].,,,,,,,,, [11]. 2.1,, [12],, ;, ; Fig. 1 1 Granular hier

,,.,, : 1),,,,, 2),,,,, 3),,,,,,,,,, [6].,,, ( ),, [9], : 1), 2),,,,, 3),,, 2.,, [10].,,,,,,,,, [11]. 2.1,, [12],, ;, ; Fig. 1 1 Granular hier 36 7 Vol. 36, No. 7 2010 7 ACTA AUTOMATICA SINICA July, 2010 1, 2 1, 2, 3 1, 2,,,,,,, DOI,,, 10.3724/SP.J.1004.2010.00923 Distributed Simulation System Hierarchical Design Model Based on Quotient Space

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1556 地 理 科 学 进 展 30 卷 他 关 于 农 村 住 房 结 构 与 抗 震 性 能 的 研 究, 则 多 是 从 工 程 抗 灾 的 角 度, 研 究 某 种 构 造 类 型 的 房 屋, 力 图 找 到 传 统 房 屋 的 结 构 失 误 和 新 建 房 屋 中 存 在 的 问 [ 第 30 卷 第 12 期 2011 年 12 月 地 理 科 学 进 展 PROGRESS IN GEOGRAPHY Vol.30, No.12 Dec., 2012 中 国 农 村 地 区 住 房 结 构 的 区 域 差 异 及 其 影 响 因 素 1, 2, 李 方 一 3 1,, 高 晓 路 2 2, 王 英 杰 (1. 中 国 科 学 院 区 域 可 持 续 发 展 分 析 与 模 拟 重

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