实数集的程序数子集

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坂强
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1 探讨用举例法做线性代数试题中的选择题陈必红 (1. 深圳大学数学与计算科学学院, 广东省深圳市邮编 ) 摘要 : 在线性代数的教学中经常需要出一些试题进行考试, 其中的一种题型为选择题, 即给出 (A),(B),(C),(D) 四个选项, 其中只有一个正确本文作为教学研究论文, 指出有一种做选择题的办法是举例法, 虽然和正解相比, 不一定更为简单, 但是思路却是简单的因此本文一方面是将举例法作为做选择题的一类技巧, 另一方面也是给出题者提供关于题目的难度的参考因为, 有一些选择题, 也许从正规解题的思路上讲是属于较难的, 但是如果用举例法做, 就是简单的, 但是有可能命题者并没有想到关键词 : 线性代数 ; 线性代数教学 ; 数学教学中图分类号 :O151.2 文献标识码 : 文章编号 : Using Manner of Giving Examples to Do Multiple-Choice Examination Questions of Linear Algebra CHEN Bihong (1. College of Mathematics of Shenzhen University, Shen-zhen, Guangdong ) Abstract:In the teaching in the linear algebra, it is often to give some examination questions to do test, a kind of examination questions is multiple-choice kind which is to give (A),(B),(C),(D) four choice to let student to decide what is correct one. This paper is a education paper which point out that a manner to do multiple-choice examination is to give the examples. Such manner is not certainly simpler than normal solution method, but the way of thinking is simple. So this paper has two target that one is to give a kind of artifice manner of resolving multiple-choice problems and another is to give a reference to the teacher who design the problems, to rethink the difficult degree of the problems. Key words:linear algebra; linear algebra education; mathematical education 0 引言笔者从事线性代数教学多年, 教过例如赵树嫄 [1] [2], 居于马等编写的教程也研究过一 [1] [2] [3] 些线性代数的试题 [4] 其中一类试题是选择题类型的, 这样的每道题会给出 (A),(B),(C),(D) 四个选项, 这四个选项只有一个是正确的本文研究这样的单选题的做题技术, 指出一种思路简单的举例法技巧也就说, 只要举出适当的例子, 就能够判定出四个选项哪一个是正确的, 虽然做法不够规范, 但是, 因为选择题是不要求学生给出做题过程的, 只要选对就有分, 在这种情况下举例法往往有效, 且不容易出错另一方面, 出这类题的教师有可能并不知道他所出的题还有举例法的这种办法, 因此有可能会在掌握题的难度上不太充分在这里也是给出题的教师提个醒下面就通过几个例子来说明举例法的做题技术 1 实例作者简介 : 陈必红, 男,1955 年生, 清华大学博士, 主要研究方向是观测过程理论, 信息论基础理论. cbhmath@hotmail.com. 1

一种做选择题的办法是举例法, 虽然和正解相比, 不一定更为简单, 但是思路却是简单的因此本文一方面是将举例法作为做选择题的一类技巧, 另一方面也是给出题者提供关于题目的难度的参考因为, 有一些选择题, 也许从正规解题的

2 题 ): 首先给出的是 2007 年的一个全国统一的研究生入学的数学考试的试题 ( 以下简称考研例 1 设向量组 α 1,α 2,α 3 线性无关, 则下列向量组线性相关的是 ( ) (A) α 1 α 2,α 2 α 3,α 3 α 1 (B) α 1 +α 2,α 2 +α 3,α 3 +α 1 (C) α 1 2α 2, α 2 2α 3, α 3 2α 1 (D) α 1 +2α 2,α 2 +2α 3,α 3 +2α 1 解题 : 因为条件中只给出 α 1,α 2,α 3 线性无关, 再无别的约束, 则至少要举三维向量的例子, 当然要想到最简单的线性无关的三个向量, 因此是三阶单位矩阵 E 3 的列向量组, 也就是初始单位向量组, 因此举例就设 α 1 =(1,0,0) T, α 2 =(0,1,0) T, α 3 =(0,0,1) T, 将这个线性无关的向量组的实例代入到 (A),(B),(C),(D) 的各个向量组中, 算出只有 (A) 选项成立, 则特例只有 (A) 选项成立, 其它三个选项都不成立, 那么相信更一般的三个线性无关的向量组也只能够是这个结论 ( 假设教师的出题没有错误 ) 这种解题法有可能比一些巧妙的思路要慢一些, 甚至笨拙一些, 但是, 一旦例子举对, 正确选项就可以找到当然, 考生至少要会具体实例的一些线性代数计算办法, 例如给定具体的向量组的实例, 考生还是要会计算向量组的线性相关性, 向量组的秩, 向量组的一个极大无关组, 等等下面是 2006 年的一个考研题 : 例 2 设 α 1,α 2,,α s 均为 n 维列向量,A 是 m n 矩阵, 则下列选项正确的是 ( ) (A) 若 α 1,α 2,,α s 线性相关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线性相关 (B) 若 α 1,α 2,,α s 线性相关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线性无关 (C) 若 α 1,α 2,,α s 线性无关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线性相关 (D) 若 α 1,α 2,,α s 线性无关, 则 Aα 1, Aα 2,, Aα s 线性无关解题 : 题目对向量组 α 1,α 2,,α s 和矩阵 A 都没有事先假设的要求, 因此对向量组就要有线性相关和线性无关的两种实例, 当然要找简单的实例, 因此在设计实例时令 s=1, 只有一个向量构成的向量组, 且分别令 α 1 =(1,0) T, 和 α 1 =(0,0) T 这两种情况为线性无关和线性相关的两个实例, 令 A 为方阵, 并考虑单位矩阵 E 2 及零矩阵 O 作为两种极端情况下的实例则选项 (A) 和 (B) 选择 α 1 为零向量则不管 A 取什么矩阵结果都是零向量即线性相关, 也就是 (A) 选项成立 (B) 选项不成立对于选项 (C) 和 (D), 选 α 1 =(1,0) T, 作为线性无关的例子, 则当 A=O 时选项 (D) 不成立, 当 A=E 时选项 (C) 不成立, 因此各个实例组合中选项 (B),(C),(D) 都有不成立的情况, 因此选择选项 (A) 当然, 这里举的实例还不够简单, 再简单, 那就是一向量组也是只有一个一维向量, 矩阵也是一维方阵, 就是说, 都是数, 照样得出结论 2006 年的另一个考研题 : 例 3 设 λ 1,λ 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值, 对应的特征向量分别为 α 1,α 2, 则 α 1,A(α 1 +α 2 ) 线性无关的充分必要条件是 ( ) (A) λ 1 =0 (B) λ 2 =0 (C) λ 1 0 (D) λ 2 0 解题 : 要用特征值 λ 1,λ 2 给定条件下凑出一个矩阵 A 的实例, 先是阶数要小, 因此选二阶 λ1 方阵, 当然最简单的是令 A = 这样的对角阵, 因为 A 已经是对角化的, 因此就是单 λ2 位矩阵 E 能够将它对角化了,E 1 AE=A, 因此对应的特征向量当然是单位矩阵的两个列构成的列向量, α 1 =(1,0) T, α 2 =(0,1) T 这时可算出 A(α 1 +α 2 )=(λ 1,λ 2 ) T, 因此而考察 α 1,A(α 1 +α 2 ) 的线性相关性就是考察 (1,0) T,(λ 1,λ 2 ) T 1 的线性相关性, 将这两个向量拼成一方阵 0 阵的行列式不为零的充要条件是 λ 2 0, 因此选择选项 (D) 2005 年的一个考研题如下 : λ1 λ 可看出此方 2 例 4 设 A,B,C 为 n 阶矩阵,E 为 n 阶单位矩阵, 若 B=E+AB, C=A+CA, 则 B C 为 2

矩阵 E 3 的列向量组, 也就是初始单位向量组, 因此举例就设 α 1 =(1,0,0) T, α 2 =(0,1,0) T, α 3 =(0,0,1) T, 将这个线性无关的向量组的实例代入到 (A),(B),(C),(D) 的各个向量组中, 算出只有 (A) 选项成立, 则特例只有 (A)

3 (A) E (B) E (C) A (D) A 解题 : 注意到四个选项与 E 和 A 有关, 因此 A 不能够选择特例 E, 因为会造成选项模糊因此选择特例 A=O 为零矩阵, 则这时 B=E, C=O, B C=E O=E, 因此当然选择选项 (A) 2 用什么选例的考虑其实, 还有许多试题, 都是可以用举例法来做的但是怎样选例有一定的技巧性, 通常例要选得越简单越好, 但是又必须能够起到将正确答案区分出来的功能一般而言, 常用的选例考虑如下矩阵的阶数, 其实最简单的是一阶方阵但是如果容易导致糊涂, 则二维行向量或者列向量及二阶方阵都可以作为矩阵的例子如果是可逆方阵, 则通常选单位矩阵但是, 如果单位矩阵不方便, 则次选就是对角阵, 对角线上的元素均不为零如果对于可逆性没有要求, 则可以考虑零矩阵作为特例如果矩阵不可逆但零矩阵又不 1 0 方便, 则可以考虑选择 0 0 如果假设了方阵 A 的特征值 λ 1,λ 2,,λ n, 则令 A=diag(λ 1,λ 2,,λ n ) 通常是一个好办法, 这个时候特征向量就是单位矩阵的各个列向量, 或称初始单位向量如果题目又给出了个别的特征向量, 则用适当的初始单位向量将其它的未给出特征向量的特征向量强给补齐, 也可以获得 A 的一个特例 1 0 如果假设了 AB=O 但 A 和 B 又都不是零矩阵, 则一个好办法就是假设 A = 和 B = 再简单一些, 就是设 A=(1,0), B=(0,1) T 0 1 如果假设了线性无关的向量组, 则初始单位向量组或者其部分组就是一个好的选择如果假设了线性相关的向量组, 则零向量是首选或者一个向量组中存在零向量也是好的选择 k 如果假设了 A 的行列式为 k, 可假设 A = 1 还有许多灵活的选择办法, 这里面也是有一些技巧的 3 其它题型用举例法除了选择题外, 还有填空题和计算题, 有没有机会用到举例法呢? 有一些题也是有机会的但是, 填空题倒问题不大, 因为填空题也是不要求过程的成问题的是, 如果计算题用举例法做出来了, 虽然答案正确, 改题的老师有可能不高兴, 因此分数上有可能会有损失所以, 不到万不得已, 是不要这么做的当然, 如果实在是想不起正解, 但是举例法又能够找到正确答案, 总比完全不做就交卷要好一些下面举两个例子下面是 2006 年的一个考研题 : 例 5 已知 α 1,α 2 为二维列向量, 矩阵 A=(2α 1 +α 2,α 1 α 2 )), B=(α 1,α 2 ). 若行列式 A =6, 则 B =. 3

涂, 则二维行向量或者列向量及二阶方阵都可以作为矩阵的例子如果是可逆方阵, 则通常选单位矩阵但是, 如果单位矩阵不方便, 则次选就是对角阵, 对角线上的元素均不为零如果对于可逆性没有要求, 则可以考虑零矩阵作为特例如果

4 解题 : 一开始不妨假设 B=E 为单位矩阵, 既 α 1 =(1,0) T, α 2 =(0,1) T 2 1, 则这时 A =, 1 1 A = 3, 但这时 B =1, 可得比例 B / A = 1/3, 则当 A =6 时, B = 2, 填 2. 现在给出 2005 年的一个考研题的计算题, 注意这里介绍的解法可能会被扣分 : 例 6 设 A 为三阶矩阵,α 1,α 2,α 3 是线性无关的三维列向量, 且满足 Aα 1 =α 1 +α 2 +α 3, Aα 2 =2α 2 +α 3, Aα 3 =2α 2 +3α 3 (I) 求矩阵 B, 使得 A(α 1,α 2,α 3 )=(α 1,α 2,α 3 )B; (II) 求矩阵 A 的特征值 ; (III) 求可逆矩阵 P 使得 P 1 AP 为对角矩阵解题 : 举例强行假设 α 1,α 2,α 3 是单位矩阵 E 3 的三个列向量, 则这时有这是第 (I) 问解决了 B = A= (II) 从矩阵中可知 λ 1 =1 是 A 的一个特征值, 而因为 A =λ 2 λ 3 =4, tr(a)=6=1+λ 2 +λ 3 可知另两个特征值为 λ 2 =1, λ 3 =4 (III) 针对 λ 1 =λ 2 =1, 对 (A E) 作行初等变换 : 从方程 x 1 +x 2 +2x 3 =0 得对应的两个基础解系 p 1 =(1, 1,0) T 和 p 2 =(2,0, 1) T, 再针对 λ 3 =4, 对 (A 4E) 作初等变换 : x 可得方程组 x 最后得所求的 P 为 = 0, 的基础解系为 p 3 =(0,1,1) T, x = 0, P = ( p1, p2, p3) = 上述解法通常会引起改卷老师的不满, 虽然最后答案是正确的, 但仍然会被扣分但是, 思路还算是简单的, 好歹弄出了一个答案, 总比完全不会做要好 4 结语综上所述, 举例法对考生来讲, 在某些情况下是一种有效的应考策略而于对于出试题的教师而言, 在出题时应当充分注意到可能的举例法的应对, 以便于调整试题的难度, 避免 4

A(α 1,α 2,α 3 )=(α 1,α 2,α 3 )B; (II) 求矩阵 A 的特征值 ; (III) 求可逆矩阵 P 使得 P 1 AP 为对角矩阵解题 : 举例强行假设 α 1,α 2,α 3 是单位矩阵 E 3 的三个列向量, 则这时有这是第 (I) 问解决了 1 0 0 B = A= 1 2 2 1

5 出误以为难度高, 其实难度不高的题本文只以线性代数的试题为例子其实, 对于其它的数学科目, 如概率论, 微积分, 也有相应的举例法策略这些都是需要进一步地研究的 [ 参考文献 ] (References) [1] 赵树嫄. 线性代数 [M]. 中国人民大学出版社,1997. ZHAO S.Y. Linear Algebra[M]. Press of Renmin University of China, (in Chinese) [2] 居于马. 线性代数 [M]. 清华大学出版社,2002. JU Y.M, Linear Algebra[M]. Tsinghua University Publishing house, (in Chinese) [3] 童武, 卢明. 十年真题精解数学一 [M]. 北京大学出版社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics One[M]. Beijing University [4] 童武, 卢明. 十年真题精解数学二 [M]. 北京大学出版社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics Two[M]. Beijing University [5] 童武, 卢明. 十年真题精解数学三 [M]. 北京大学出版社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics Three[M]. Beijing University [6] 童武, 卢明. 十年真题精解数学四 [M]. 北京大学出版社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics Four[M]. Beijing University 5

Tsinghua University Publishing house, 2002. (in Chinese) [3] 童武, 卢明. 十年真题精解数学一 [M]. 北京大学出版社,2007. DONG W, LU M. Solution of Ten Years' True Problems of Mathematics One[M].

A VALIDATION STUDY OF THE ACHIEVEMENT TEST OF TEACHING CHINESE AS THE SECOND LANGUAGE by Chen Wei A Thesis Submitted to the Graduate School and Colleg

A VALIDATION STUDY OF THE ACHIEVEMENT TEST OF TEACHING CHINESE AS THE SECOND LANGUAGE by Chen Wei A Thesis Submitted to the Graduate School and Colleg 上海外国语大学 SHANGHAI INTERNATIONAL STUDIES UNIVERSITY 硕士学位论文 MASTER DISSERTATION 学院国际文化交流学院专业汉语国际教育硕士题目届别 2010 届学生陈炜导师张艳莉副教授日期 2010 年 4 月 A VALIDATION STUDY