国学思想与大学数学
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- 刚 酆
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1 Pure Mathematics 理 论 数 学, 2013, 3, Published Online May 2013 ( Chinese Traditional Culture and College Mathematics Huaming Wang 1, Yuanyuan Ji 2 1 School of Mathematics & Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 2 School of Laws, Anhui Normal University, Wuhu Received: Feb. 25 th, 2013; revised: Mar. 12 th, 2013; accepted: Mar. 21 st, 2013 Copyright 2013 Huaming Wang, Yuanyuan Ji. This is an open access article distributed under the Creative Commons Attribution License, which permits unrestricted use, distribution, and reproduction in any medium, provided the original work is properly cited. Abstract: This study unveils the connections between chinese traditional culture and college mathematics. By interpreting the probability thought within I Ching and revealing the idea of Yin-Yang theory in calculus, we attempt to inject some new conceptions to college mathematics education, making college mathematics more interesting and comprehensible to Chinese students. Keywords: I Ching; Probability; Yin-Yang Theory 国 学 思 想 与 大 学 数 学 王 华 明 1, 纪 媛 媛 1 安 徽 师 范 大 学 数 学 与 计 算 计 科 学 学 院, 芜 湖 2 安 徽 师 范 大 学 法 学 院, 芜 湖 收 稿 日 期 :2013 年 2 月 25 日 ; 修 回 日 期 :2013 年 3 月 12 日 ; 录 用 日 期 :2013 年 3 月 21 日 摘 要 : 本 文 旨 在 探 究 国 学 思 想 与 大 学 数 学 之 间 的 联 系 通 过 解 读 易 经 中 的 概 率 思 想, 探 索 微 积 分 中 的 阴 阳 学 说 等 手 段, 力 图 为 大 学 数 学 教 育 注 入 新 的 元 素, 让 中 国 学 生 对 数 学 感 兴 趣, 更 容 易 理 解 数 学 思 想 关 键 词 : 易 经 ; 概 率 论 ; 阴 阳 2 1. 引 言 大 学 数 学 包 括 众 多 的 分 支, 它 以 微 积 分 为 基 础, 包 括 线 性 代 数 概 率 论 数 理 统 计 离 散 数 学 解 析 几 何 等 众 多 门 类 在 很 多 学 生 眼 中, 大 学 数 学 就 像 是 一 场 噩 梦 有 些 同 学 因 为 数 学 不 好 而 直 接 放 弃 考 研, 有 些 同 学 因 为 畏 惧 数 学 而 报 考 那 些 无 需 考 数 学 的 专 业, 更 有 甚 者, 不 少 同 学 因 为 不 能 通 过 数 学 课 程 考 试 而 无 法 毕 业 究 其 原 因, 一 方 面 是 大 学 数 学 本 身 由 于 高 度 抽 象 而 具 有 一 定 的 难 度, 另 一 方 面 是 现 行 的 数 学 体 系 主 要 形 成 于 西 方, 采 用 的 大 多 是 西 方 的 思 维 方 式, 其 教 科 书 的 行 文 方 式 也 基 本 采 用 西 方 的 语 言 习 惯 和 模 式, 不 太 符 合 中 国 学 生 的 思 维 方 式 和 阅 读 习 惯 因 此, 数 学 成 为 很 多 大 学 生 面 前 一 道 不 可 逾 越 的 鸿 沟 作 者 之 一 在 大 学 期 间 数 学 并 不 优 秀, 只 能 勉 强 通 过 考 核, 但 最 终 还 是 战 胜 了 自 己, 顺 利 考 上 数 学 系 的 研 究 生 并 获 得 硕 士 和 博 士 学 位 作 者 之 二 在 大 学 期 间 一 直 感 觉 数 学 枯 燥 无 味, 所 有 的 数 学 课 基 本 都 是 靠 蒙 混 过 关 因 为 惧 怕 数 学, 最 终 放 弃 了 理 科, 考 研 时 选 择 了 无 需 考 数 学 的 教 育 学 专 业 而 今 两 位 作 者 都 已 经 完 成 从 学 生 到 老 师 角 色 的 转 变, 走 上 高 校 的 讲 台 联 系 自 己 在 求 学 和 教 学 实 践 中 的 感 悟, 作 者 试 图 抛 砖 引 玉 地 道 出 数 学 与 国 学 之 间 的 联 系, 一 方 面 揭 示 隐 藏 于 国 学 中 的 数 学 思 想, 另 一 方 面 也 用 国 学 思 想 对 部 分 数 学 理 论 进 行 新 的 解 读 Copyright 2013 Hanspub 201
2 希 望 助 力 教 师 们 在 教 学 中 添 加 一 些 新 的 元 素, 在 激 发 学 生 国 学 兴 趣 的 同 时, 让 学 生 更 容 易 理 解 看 似 生 涩 难 懂 的 数 学 知 识, 领 会 数 学 的 思 想 本 文 主 要 分 为 三 个 部 分 第 2 节 主 要 讨 论 易 经 与 概 率 论 的 相 互 关 系, 揭 示 易 经 六 十 四 卦 之 中 所 蕴 藏 的 古 典 概 率 模 型, 以 条 件 概 率 的 理 论 赋 予 占 卜 学 全 新 的 理 论 基 础 第 3 节 用 阴 阳 学 说 的 观 点 解 读 微 积 分, 所 谓 孤 阴 不 生, 独 阳 不 长, 微 分 对 应 积 分, 无 穷 大 对 应 无 穷 小, 连 续 对 应 间 断, 微 积 分 的 很 多 理 论 都 可 用 阴 阳 学 说 进 行 全 新 解 读 第 4 节 用 一 个 例 子 阐 述 了 微 积 分 中 无 穷 的 概 念 和 道 德 经 中 所 阐 述 的 道 的 联 系, 让 读 者 在 掌 握 数 学 中 无 穷 的 概 念 的 同 时, 更 深 刻 地 理 解 老 子 所 描 述 的 道 中 华 国 学 博 大 精 深 包 罗 万 象, 是 古 代 先 贤 智 慧 的 结 晶 虽 然 从 表 面 上 看 来, 国 学 和 大 学 数 学 好 像 没 有 什 么 关 系, 但 实 际 上, 这 两 者 有 很 多 相 通 之 处 国 学 经 典 中 蕴 含 着 丰 富 的 数 学 思 想, 而 数 学 作 为 一 门 自 然 科 学, 其 中 的 很 多 思 想 和 理 论 也 可 以 用 国 学 进 行 全 新 的 解 释 但 由 于 作 者 对 国 学 的 理 解 程 度 有 限, 本 文 只 是 试 图 通 过 寻 找 国 学 和 数 学 的 一 些 联 系, 一 方 面 为 数 学 课 堂 引 入 新 的 教 学 思 想, 让 学 生 对 枯 燥 乏 味 的 数 学 课 更 感 兴 趣, 另 一 方 面 用 数 学 的 观 点 去 解 读 国 学 经 典, 以 期 提 高 其 严 谨 性 和 科 学 性 2. 易 经 八 卦 与 概 率 论 20 世 纪 30 年 代,Kolmogorov 引 入 了 概 率 论 的 公 理 化 定 义, 从 此 概 率 论 获 得 了 蓬 勃 发 展 虽 然 此 事 距 今 并 不 遥 远, 但 概 率 论 实 际 上 有 着 更 为 悠 久 的 发 展 史 早 在 遥 远 的 商 周 时 代, 国 学 经 典 易 经 之 中 就 已 经 蕴 藏 着 丰 富 的 概 率 论 思 想 易 经 在 国 学 专 著 中 有 着 重 要 的 地 位, 它 描 述 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律, 揭 示 人 与 社 会 人 与 自 然 的 相 互 依 存 关 系, 被 尊 为 群 经 之 首 然 而, 易 经 之 中 也 蕴 含 着 丰 富 的 数 学 特 别 是 概 率 论 思 想, 这 些 思 想 却 很 少 引 起 人 们 的 重 视 首 先, 由 于 学 科 之 间 的 巨 大 差 异, 要 同 时 精 通 易 经 和 数 学 两 门 学 问 有 较 大 的 难 度 其 次, 数 学 是 一 门 严 谨 的 学 科, 一 切 数 学 定 理 都 建 立 在 严 格 的 定 义 和 推 理 之 上, 而 易 经 研 究 的 是 事 物 发 展 变 化 的 义 理, 有 着 很 强 的 相 对 性 和 灵 活 性, 所 以 从 表 面 上 看, 很 难 将 之 与 数 学 紧 密 联 系 起 来 本 节 旨 在 揭 示 隐 藏 于 易 经 之 中 的 概 率 论 思 想, 以 期 用 概 率 论 思 想 来 解 读 易 经 六 十 四 卦 的 形 成 过 程, 尝 试 将 易 经 建 立 在 严 格 的 数 学 基 础 之 上 另 一 方 面, 也 期 望 抛 砖 引 玉, 使 更 多 的 数 学 工 作 者 尤 其 是 高 校 数 学 教 师 能 够 了 解 易 经 研 究 易 经, 以 激 发 学 生 兴 趣, 拓 展 学 生 视 野, 为 大 学 数 学 课 堂 添 加 一 些 新 的 元 素 2.1. 易 经 六 十 四 卦 与 古 典 概 率 模 型 古 典 概 率 模 型, 简 称 古 典 概 型, 是 概 率 论 中 一 个 经 典 和 基 础 的 模 型 如 果 从 数 学 的 观 点 来 解 读 易 经, 整 部 易 经 可 以 说 正 是 建 立 在 古 典 概 型 之 上 中 国 人 崇 尚 圆, 因 为 圆 利 于 变 化, 有 变 化 才 会 有 发 展, 才 会 有 生 机 生 活 中 最 常 见 的 圆 莫 过 于 硬 币, 将 硬 币 抛 向 天 空, 掉 下 来, 就 会 有 正 反 两 个 结 果, 而 这 一 正 一 反, 在 中 国 的 传 统 文 化 之 中, 正 好 对 应 于 阴 阳 两 面 这 枚 被 抛 起 的 硬 币, 可 视 为 中 国 传 统 哲 学 中 的 太 极 太 极 生 两 仪, 两 仪 生 四 象, 四 象 生 八 卦 ( 关 于 八 卦 的 推 演 过 程, 参 阅 图 1), 八 卦 再 相 互 重 叠, 产 生 了 易 经 六 十 四 卦 然 后, 由 隐 藏 于 六 十 四 卦 之 中 的 易 理 推 演 出 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律, 描 述 人 与 自 然 人 与 社 会 之 间 的 相 互 关 系 上 述 易 经 六 十 四 卦 的 形 成 过 程, 从 数 学 的 观 点 来 看, 生 动 地 描 述 了 古 典 概 率 模 型 易 经 六 十 四 卦 由 太 极 而 生, 而 古 典 概 型 可 以 用 抛 硬 币 的 方 式 产 生 抛 一 次 硬 币, 结 果 出 现 反 面 和 正 面 的 概 率 相 等, 各 为 1/2 这 对 应 于 易 经 中 的 阴 阳 抛 两 次 硬 币, 共 有 4 种 可 能 结 果 正 正 正 反 反 正 反 反, 这 四 种 可 能 的 结 果 出 现 的 概 率 相 等, 各 为 1/4 这 在 易 经 的 理 论 中 对 应 于 四 象, 即 太 阳 少 阳 少 阴 太 阴 抛 三 次 硬 币, 共 有 8 种 可 能 结 果, 即 正 正 正 反 反 反 反 反 正 正 202 Copyright 2013 Hanspub
3 正 反 正 反 反 反 正 正 反 正 反 正 反 正, 每 种 可 能 的 结 果 发 生 的 概 率 各 为 1/8 这 对 应 于 易 经 八 卦 中 的 乾 坤 震 巽 艮 兑 坎 离, 即 天 地 雷 风 山 泽 水 火, 这 八 种 元 素 相 互 作 用 构 成 了 宇 宙 万 物 的 运 行 图 从 如 上 描 述 中 可 见, 易 经 六 十 四 卦 的 演 化 过 程 与 古 典 概 型 的 理 论 惊 人 地 相 似 易 经 被 尊 为 群 经 之 首, 刻 画 了 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律 而 古 典 概 型 可 谓 是 概 率 论 的 基 础, 整 个 概 率 论 产 生 和 发 展 几 乎 都 与 古 典 概 型 有 关, 下 文 中 将 进 一 步 阐 述 易 经 与 概 率 论 之 间 的 关 系 乾 兑 离 震 巽 坎 艮 坤 八 卦 四 象 两 仪 太 极 Figure 1. The deduction of Bagua 图 1. 八 卦 形 成 图 2.2. 易 经 中 的 - 代 数 概 率 论 的 公 理 化 定 义 建 立 在 测 度 论 的 基 础 之 上, 而 - 代 数 是 测 度 论 中 最 为 基 础 的 内 容 易 经 六 十 四 卦 相 当 于 一 个 古 典 概 率 模 型, 六 十 四 卦 的 全 体 对 应 一 个 样 本 空 间, 共 有 64 个 样 本 点, 即 {64 卦 的 全 体 } 记 = { 所 有 子 集 构 成 的 全 体 } 容 易 验 证 满 足 - 代 数 的 条 件, 所 以 是 一 个 - 代 数 由 易 经 六 十 四 卦 的 形 成 过 程 来 看, 中 每 个 样 本 点 出 现 的 概 率 相 等, 皆 为 1/64, 即 任 意, P 164 于 是 三 元 组,,P 就 构 成 了 一 个 概 率 空 间 通 过 这 种 方 法, 可 以 建 立 起 整 部 易 经 的 概 率 论 基 础, 从 而 用 概 率 论 的 理 论 去 研 究 易 经 同 样 可 以 根 据 各 卦 象 的 不 同 属 性 将 卦 象 分 为 不 同 的 集 合, 以 定 义 的 子 - 代 数, 进 而 研 究 卦 象 之 间 的 关 系 与 属 性 例 如, 将 易 经 六 十 四 卦 中 下 三 爻 为 乾 的 卦 象 放 在 一 起 记 为 集 合 A, 将 其 余 卦 象 放 在 一 起 记 为 c 集 合 A, 即 A ={ 下 三 爻 构 成 乾 的 卦 象 }, A c { 下 三 爻 不 构 成 乾 的 卦 象 } 若 用 表 示 不 包 括 任 何 卦 象 的 空 集, 则 AA, c,, 满 足 - 代 数 的 条 件, 它 构 成 的 一 个 子 - 代 数 由 于 每 个 卦 象 出 现 的 概 率 各 为 1/64, c 而 下 三 爻 构 成 乾 的 卦 象 共 有 八 个, 所 以 A 的 概 率 P A 18, 其 他 卦 象 出 现 的 概 率 P A 1 P A 7 8 有 了 - 代 数 的 概 念, 下 文 中 将 引 入 条 件 概 率 的 定 义 2.3. 占 卜 与 条 件 概 率 占 卜 自 古 以 来 就 带 着 神 秘 的 色 彩 有 的 人 完 全 否 定 占 卜, 认 为 这 纯 粹 是 江 湖 术 士 骗 人 的 把 戏 但 也 有 很 多 人 相 信 占 卜, 作 重 大 决 策 或 者 是 选 定 某 些 重 要 日 子 时 都 要 请 人 卜 上 一 卦 如 果 从 概 率 论 的 观 点 来 看, 占 卜 术 的 背 后 其 实 有 着 坚 实 的 数 学 基 础 所 以 占 卜 并 不 神 秘, 并 有 其 科 学 的 一 面, 如 果 用 科 学 的 眼 光 去 看 待 它, 对 我 们 决 策 和 行 事 是 有 指 导 意 义 的 这 首 先 得 从 条 件 概 率 说 起 前 文 说 道, 易 经 六 十 四 卦 构 成 了 一 个 古 典 概 率 模 型 的 概 率 空 间 从 而 根 据 卦 象 的 不 同 特 点, 可 以 在 上 定 义 - 代 数, 例 如 上 文 中 定 义 的 AA, c,, 于 是 由 高 等 概 率 论 的 知 识 可 知, 可 以 定 义 在 给 定 - 代 数 的 条 件 下 某 个 特 定 卦 象 出 现 的 概 率 例 如, 若 用 A 4 表 示 大 有 卦 出 现 这 一 事 件, 则 P A 就 表 示 在 给 定 的 条 件 下, 大 有 卦 出 现 的 概 率 当 然, 因 为 这 里 作 为 条 件 的 4 是 一 个 非 平 凡 的 - 代 数, 所 以 P A 4 本 身 并 不 是 一 个 确 定 的 值, 而 是 一 个 随 机 变 量 这 里 的 随 机 性, 很 容 易 给 出 合 理 的 解 释 一 个 求 卦 者 走 到 占 卜 师 面 前, 占 卜 师 对 他 的 情 况 一 无 所 知, 一 切 Copyright 2013 Hanspub 203
4 都 是 随 机 的 正 如 看 病 讲 究 望 闻 问 切, 医 生 必 须 了 解 病 人 的 病 情 才 能 开 方 下 药, 占 卜 师 也 必 须 了 解 求 卦 者 的 信 息, 才 能 够 给 他 所 问 之 事 作 出 合 理 的 预 测 易 经 是 博 大 精 深 的, 从 大 处 说, 它 揭 示 了 宇 宙 万 物 的 运 行 规 律, 从 小 处 说, 它 描 述 了 一 个 人 成 长 的 历 程, 描 述 了 一 件 事 的 发 展 过 程 作 为 占 卜 师, 首 先 需 获 知 求 卦 者 所 处 的 人 生 阶 段, 了 解 求 卦 者 的 过 去 和 现 在, 还 需 弄 清 求 卦 者 所 问 之 事 所 处 的 发 展 阶 段, 然 后 给 出 预 测 例 如, 如 果 根 据 对 求 卦 者 过 去 和 现 在 的 信 息 的 把 握, 占 卜 师 确 定 所 问 卦 象 的 下 三 爻 为 乾 为 了 确 定 剩 下 的 上 三 爻, 占 卜 师 应 取 出 三 枚 铜 钱, 抛 撒 在 地 上, 根 据 铜 钱 出 现 的 正 或 反 来 确 定 上 三 爻 从 而 得 出 整 个 卦 象 纵 观 易 经 六 十 四 卦, 下 三 爻 为 乾 的 卦 象 共 有 乾 需 小 畜 泰 大 有 大 畜 大 壮 夬 八 个 卦 象 用 初 等 概 率 知 识 可 知, 在 下 三 爻 构 成 乾 的 条 件 下, 大 有 卦 出 现 的 概 率 为 P A A 如 果 占 卜 师 的 三 枚 铜 钱 抛 出 的 结 果 正 好 是 正 反 正, 那 么 他 就 可 以 用 大 有 卦 来 为 求 卦 者 提 供 应 对 之 策 多 数 人 脑 海 之 中 也 许 对 电 视 电 影 中 的 一 个 场 景 非 常 熟 悉, 那 就 是 占 卜 师 将 一 把 铜 钱 放 进 罐 子 里 摇 几 下, 倾 倒 在 地 上, 看 着 这 些 铜 钱 若 有 所 思, 然 后 就 算 出 了 将 来 会 发 生 什 么 事 有 了 如 上 的 概 率 解 释, 占 卜 师 的 这 个 行 为 就 不 难 理 解 了, 这 里 边 其 实 并 没 有 神 秘 之 处 占 卜 师 所 做 的 只 不 过 是 对 未 知 事 件 的 一 个 模 拟 有 了 概 率 论 的 知 识, 其 实 占 卜 就 变 成 了 一 件 简 单 的 事 情, 每 个 人 都 可 以 做 无 论 做 什 么 事 情 之 前, 都 可 以 卜 上 一 卦, 从 而 趋 吉 避 凶 当 然 这 种 方 法 并 不 是 最 好 的, 因 为 每 个 卦 象 出 现 的 概 率 都 是 1/64 如 果 对 易 经 有 一 定 的 研 究, 可 以 根 据 对 过 去 和 现 在 的 信 息 的 掌 握, 在 一 定 的 条 件 下 去 卜 卦, 这 样 得 到 的 结 果 会 更 加 具 有 指 导 意 义 3. 微 积 分 与 阴 阳 学 说 微 积 分, 或 者 称 为 高 等 数 学, 成 为 了 很 多 非 数 学 专 业 本 科 生 的 噩 梦 究 其 原 因 有 很 多 方 面, 但 最 主 要 的 原 因, 或 许 是 因 为 微 积 分 形 成 于 西 方, 其 思 维 方 式 和 教 科 书 的 行 文 方 式 都 采 用 了 西 方 的 模 式, 所 以 中 国 的 学 生 不 太 适 应 其 实 换 一 种 角 度 看, 可 以 用 中 国 传 统 哲 学 中 的 阴 阳 学 说 对 微 积 分 的 很 多 内 容 进 行 解 读 中 国 传 统 哲 学 一 个 基 本 观 点 就 是 阴 阳 学 说 易 经 [1] 云 : 一 阴 一 阳 之 谓 道 道 德 经 [2] 云 : 道 生 一, 一 生 二, 二 生 三, 三 生 万 物, 这 个 二 亦 指 阴 阳 阴 阳 描 述 了 事 物 的 正 反 两 个 方 面, 然 而 阴 与 阳 并 不 是 孤 立 的, 它 们 是 对 立 统 一 的 关 系, 在 相 互 作 用 的 过 程 之 中, 可 向 其 对 立 面 转 化 微 积 分 研 究 的 主 体 是 函 数, 旨 在 研 究 函 数 的 性 质, 这 些 性 质 包 括 连 续 性 可 微 性 可 积 性 等 等 函 数 描 绘 的 是 不 同 变 量 之 间 的 依 赖 关 系, 它 包 含 自 变 量 因 变 量 和 对 应 法 则 三 个 要 素 y f x, 这 就 是 一 个 函 数 的 表 达, 其 中 x 是 自 变 量, y 为 因 变 量, 而 f 为 对 应 法 则, 这 个 对 应 法 则 是 函 数 的 核 心 微 积 分 研 究 的 就 是 函 数 对 应 法 则 f 的 性 态 微 分 与 积 分 其 实 形 成 了 一 对 阴 阳 转 换 的 关 系 古 语 云 : 孤 阴 不 生, 独 阳 不 长 从 某 种 意 义 上 说, 阴 阳 学 说 可 以 看 做 是 微 积 分 学 的 一 个 基 础 组 成 部 分 它 隐 藏 于 微 积 分 学 的 每 个 角 落 连 续 对 应 间 断 ( 不 连 续 ), 可 微 性 对 应 可 积 性, 无 限 对 应 有 限, 无 穷 大 有 无 穷 小 与 之 对 应 所 以 微 积 分 并 不 是 什 么 神 秘 的 东 西, 将 阴 阳 变 换 的 义 理 引 入 微 积 分 的 教 学 之 中, 一 些 非 常 晦 涩 的 概 念 和 性 质 就 会 忽 然 显 出 生 机, 变 得 更 加 生 动 有 趣 易 于 理 解 了 所 以, 学 习 微 积 分 的 过 程 中, 不 应 该 孤 立 地 将 知 识 分 为 很 多 支 离 破 碎 的 片 段, 而 是 要 用 对 立 统 一 的 眼 光 看 问 题 理 解 了 无 穷 小 量 的 性 质, 自 然 也 就 能 够 把 握 无 穷 大 量 的 特 点 学 习 函 数 连 续 性 的 过 程 中, 如 果 把 握 了 连 续 的 定 义, 自 然 也 就 能 够 理 解 间 断 点 及 其 分 类 熟 练 掌 握 了 微 分 中 值 定 理, 也 就 能 够 理 解 积 分 中 值 定 理 的 证 明 及 其 应 用 微 分 与 积 分 虽 然 在 形 式 上 有 很 大 的 差 异, 然 而 它 们 却 有 着 紧 密 的 联 系 微 分 与 积 分 都 是 建 立 在 极 限 理 论 的 基 础 之 上, 都 是 由 极 限 定 义 的 道 德 经 云 : 道 生 一, 一 生 二, 二 生 三, 三 生 万 物 如 果 说 微 分 与 积 分 对 应 于 二, 即 阴 与 阳, 那 么 极 限 就 可 看 为 一 有 了 极 限 作 为 基 础, 微 积 分 才 204 Copyright 2013 Hanspub
5 得 以 产 生, 然 后 由 微 分 与 积 分 的 相 互 作 用 衍 生 出 整 个 微 积 分 学 既 然 极 限 理 论 的 完 善 导 致 了 微 积 分 的 产 生, 进 一 步 的 问 题 是 : 极 限 理 论 是 怎 么 产 生 的? 极 限 理 论 的 产 生, 源 自 于 人 们 对 无 穷 这 个 概 念 的 把 握 道 德 经 云 : 天 下 万 物 生 于 有, 有 生 于 无 无 名, 万 物 之 始 世 间 万 物, 都 是 从 无 名 中 产 生, 这 个 无 名 其 实 就 是 道 无 独 有 偶, 微 积 分 开 始 的 地 方, 也 是 无, 这 个 无 有 多 层 含 义, 它 包 括 无 限 接 近 无 穷 小 无 穷 大 等 等 无 穷 是 学 生 在 微 积 分 中 所 遭 遇 的 第 一 个 抽 象 且 不 易 理 解 的 概 念, 它 也 是 极 限 理 论 的 基 础 下 一 节 中, 本 文 用 道 的 观 点 阐 释 无 穷, 同 时 也 通 过 微 积 分 中 无 穷 的 观 念 更 为 具 体 地 认 识 道 4. 道 与 无 穷 顾 名 思 义, 微 积 分 的 核 心 内 容 分 为 两 个 部 分, 一 是 微 分, 二 是 积 分 无 论 是 微 分 还 是 积 分, 都 建 立 在 极 限 理 论 的 基 础 之 上, 可 以 说, 极 限 理 论 是 微 积 分 学 的 基 础, 而 极 限 是 从 一 个 被 称 为 无 穷 的 概 念 开 始 的 在 数 学 中, 无 穷 包 括 无 穷 小 与 无 穷 大 两 层 含 义 无 穷 大 一 般 用 记 号 表 示 学 1 生 首 先 碰 到 的 是 数 列 的 极 限 lim a n a, 例 如 lim 0, 即 n 趋 向 于 时, 1 趋 向 于 0 细 心 的 同 学 会 追 问, 这 n n n n 其 中 的 无 穷 大 到 底 在 哪 里? 这 个 问 题 对 于 很 多 同 学 来 说, 可 能 直 到 微 积 分 课 程 结 束 都 还 是 心 中 的 一 个 疑 惑 n 1 另 外 一 个 与 无 穷 相 关 的 概 念 是 无 穷 小 量, 例 如 当 n 趋 向 于 无 穷 大 时, 是 一 个 无 穷 小 量 n 越 2 大 时, 这 个 量 越 接 近 于 0 然 而, 它 永 远 也 不 会 达 到 0 这 个 无 穷 小 量 的 概 念 也 给 学 生 带 来 很 大 的 困 惑 其 实, 在 中 国 的 很 多 古 籍 之 中, 很 早 就 有 关 于 无 穷 大 与 无 穷 小 的 描 述 庄 子 逍 遥 游 [3] 中 描 写 道 : 北 冥 有 鱼, 其 名 为 鲲 鲲 之 大, 不 知 其 几 千 里 也 ; 化 而 为 鸟, 其 名 为 鹏 鹏 之 背, 不 知 其 几 千 里 也 ; 怒 而 飞, 其 翼 若 垂 天 之 云 这 里 其 实 就 是 对 无 穷 大 概 念 的 一 种 形 象 的 描 述 庄 子 天 下 [3] 中 描 写 道 : 一 尺 之 棰, 日 取 其 半, 万 世 不 竭 这 其 中 就 包 括 有 无 穷 小 量 的 思 想, 极 限 的 定 义 已 经 呼 之 欲 出 了, 只 是 古 人 没 有 将 之 抽 象 成 为 严 格 的 数 学 定 义 而 已 无 穷 的 概 念, 可 以 从 侧 面 去 描 写, 但 是 却 极 难 从 正 面 去 下 一 个 定 义 纵 观 历 史, 数 学 家 和 哲 学 家 们 一 直 对 无 穷 这 一 概 念 纠 缠 不 清 例 如, 微 积 分 的 创 始 人 之 一 牛 顿 逝 世 后 不 久, 哲 学 家 毕 晓 普 伯 克 利 在 他 的 分 析 家 一 书 中 对 微 积 分 进 行 了 公 然 的 抨 击, 他 侮 辱 数 学 家 是 相 信 消 失 的 量 的 幽 灵 的 异 教 徒 [4] 微 积 分 中 的 无 穷 与 道 德 经 一 书 中 的 道 有 着 相 通 之 处 作 为 道 德 经 的 开 篇, 老 子 云 : 道 可 道, 非 常 道 ; 名 可 名, 非 常 名 无 名, 万 物 之 始 ; 有 名, 万 物 之 母 故 常 无 欲, 以 观 其 妙 ; 常 有 欲 以 观 其 徼 此 两 者 同 出 而 异 名, 同 谓 之 玄, 玄 之 又 玄, 众 妙 之 门 而 在 道 德 经 第 四 章 中, 老 子 云 : 道 冲, 而 用 之 或 不 盈 渊 兮, 似 万 物 之 宗 老 子 认 为, 道 源 于 虚 空, 唯 其 虚 空, 所 以 能 包 容 万 物 道 是 玄 奥 而 又 玄 奥 的 东 西, 蕴 藏 着 创 造 一 切 的 因 子, 是 开 启 大 千 世 界 无 穷 奥 妙 的 总 门 道 是 构 成 世 界 的 实 体, 是 万 物 变 化 的 动 力, 是 人 类 行 为 的 准 则 它 幽 微 深 远, 却 不 可 言 说, 超 乎 于 言 辞 纵 观 整 部 道 德 经, 老 子 都 没 有 从 正 面 描 写 道, 没 有 直 接 说 明 道 是 什 么, 而 是 通 过 各 种 侧 面 的 描 写, 让 人 们 领 会 道 的 内 涵 下 面, 我 们 简 述 数 学 中 阐 述 无 穷 大 的 一 个 例 子, 以 期 获 得 对 道 更 为 深 刻 的 认 识 和 启 示 无 穷 大 在 哪 儿? 这 样 一 个 问 题 虽 然 很 难 正 面 回 答, 但 是 却 可 以 通 过 一 一 映 射 去 认 识 无 穷 大 这 一 概 念 下 面 给 一 个 从 直 观 上 很 容 易 理 解 的 命 题 命 题 : 区 间 [0,1] 四 分 之 一 圆 弧 与 区 间 [1, ] 具 有 相 同 的 基 数 ( 同 样 多 的 点 ) 注 : 由 于 实 数 轴 上 任 意 长 度 的 区 间 内 的 点 都 是 不 可 数 的 所 以 两 个 区 间 有 同 样 多 的 点 这 种 说 法 并 不 确 切, 这 里 只 是 一 个 直 观 的 说 明 只 需 证 明 这 三 者 之 上 的 点, 可 以 用 某 种 方 式 建 立 一 一 映 射 即 可 如 图 2 所 示 Copyright 2013 Hanspub 205
6 Figure 2. Zero and infinity 图 2. 0 与 无 穷 在 区 间 1, 上 取 定 一 点 x, 0 过 该 点 作 圆 弧 的 切 线, 这 条 切 线 交 于 圆 弧 上 某 个 点 x 0, y 0, 这 个 点 是 唯 一 的, 即 通 过 区 间 1, 上 不 同 的 点 作 切 线, 必 然 交 于 圆 弧 上 不 同 的 点 反 过 来, 取 定 第 一 象 限 四 分 之 一 圆 弧 上 的 一 个 点 x 0, y 0, 作 切 线 也 交 于 直 线 上 某 一 个 点 x 0 而 且 通 过 圆 弧 上 不 同 的 点 作 切 线, 也 必 然 交 于 直 线 上 不 同 的 点 通 过 切 线 这 个 桥 梁, 我 们 建 立 了 区 间 1, 上 的 点 和 第 一 象 限 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 的 一 一 映 射, 所 以, 区 间 1, 上 的 点 和 第 一 象 限 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 是 同 样 多 的 同 理, 要 证 明 区 间 [0,1] 与 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 同 样 多, 只 需 通 过 区 间 [0,1] 上 的 点 作 垂 线, 就 可 建 立 起 区 间 [0,1] 与 四 分 之 一 圆 弧 上 的 点 的 一 一 映 射 那 么, 无 穷 大 到 底 在 哪 儿 呢? 不 难 发 现, 当 直 线 上 取 的 点 越 来 越 远 时, 所 作 切 线 就 越 来 越 平, 那 么 当 切 线 和 横 轴 平 行 时, 就 达 到 了 无 穷 大 也 就 是 说, 无 穷 大 就 对 应 于 半 圆 与 纵 轴 的 交 点, 即 点 (0,1) 所 以 无 穷 并 不 是 遥 不 可 及 的, 用 这 种 作 切 线 的 方 法, 可 以 将 无 穷 和 半 圆 上 的 (0,1) 点 对 应 起 来, 无 穷 大 虽 然 看 不 见 摸 不 着, 但 是 (0,1) 点 却 真 实 地 存 在 于 那 里 而 圆 弧 上 的 (0,1) 点 对 应 于 区 间 [0,1] 上 的 0 点, 所 以 无 穷 大 其 实 与 0 点 相 对 应 故 道 德 经 言 : 万 物 并 作, 吾 以 观 复 夫 物 芸 芸, 各 复 归 其 根 万 物 蓬 勃 生 长, 人 们 可 以 从 中 观 察 到 天 道 往 复 循 环 的 道 理 万 物 纷 纷 芸 芸, 但 最 终 都 将 各 自 返 回 到 它 们 的 本 根 事 物 虽 不 断 发 展, 但 达 到 一 定 极 限, 就 可 能 一 变 而 到 自 己 的 反 面 如 此 循 环 往 复, 生 生 不 息 正 如 通 过 0 可 以 认 识 无 穷 大 一 样, 道 亦 然, 世 间 万 物 常 常 可 以 通 过 其 反 面 呈 现 出 它 的 本 真 5. 致 谢 感 谢 评 阅 人 为 本 文 提 出 了 很 多 具 有 启 发 性 的 修 改 意 见, 这 些 意 见 对 本 文 的 完 善 有 着 重 要 的 作 用 参 考 文 献 (References) [1] 邹 学 熹, 佘 贤 武, 主 编 : 易 经 [M]. 成 都 : 四 川 科 学 技 术 出 版 社, [2] 辜 正 坤, 译. 道 德 经 [M]. 北 京 : 中 国 对 外 翻 译 出 版 公 司, [3] 张 庆 利, 著 译. 庄 子 [M]. 武 汉 : 崇 文 书 局, [4] 理 查 德 曼 凯 维 奇, 著. 冯 速, 译. 数 学 的 故 事 [M]. 海 口 : 海 南 出 版 社, Copyright 2013 Hanspub
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38 張 元 素 歸 經 引 經 理 論 研 究 本 文 以 張 元 素 著 述 為 主 要 材 料, 采 用 上 海 涵 芬 樓 景 印 元 杜 思 敬 濟 生 拔 粹 刊 本 4 ; 醫 學 啟 源 為 任 應 秋 點 校 本, 任 本 以 明 成 化 八 年 刊 本 為 底 本, 旁 校 上
J Chin Med 24(1): 37-47, 2013 37 1 1,2, * 1,2 1,2 1 2 101 04 09 101 09 26 張 元 素, 字 潔 古, 金 代 易 州 ( 河 北 易 水 ) 人, 他 學 識 淵 博, 臨 證 經 驗 豐 富, 善 於 化 裁 古 方 他 建 立 了 以 臟 腑 辨 證 為 核 心 的 臨 床 證 治 體 系, 創 新 了 用 藥 理 論,
從實驗教材到官方課程──小學社會科板橋模式教材與改編本教科書的發展
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2 特 殊 教 育 與 復 健 學 報 緒 論 每 到 身 心 障 礙 學 生 升 學 大 專 校 院 甄 試 的 簡 章 公 佈 時, 高 中 職 老 師 都 可 以 聽 到 身 心 障 礙 學 生 問 : 為 什 麼 學 系 這 麼 少? 部 分 學 生 因 選 擇 少 而 不 參 加 甄 試
國 立 臺 南 大 學 特 殊 教 育 學 系 特 殊 教 育 與 復 健 學 報, 民 95,16 期,1 24 1 身 心 障 礙 學 生 升 大 學 甄 試 簡 章 之 分 析 研 究 趙 麗 華 臺 北 市 立 中 正 高 級 中 學 王 天 苗 臺 灣 師 範 大 學 特 殊 教 育 系 摘 要 本 研 究 的 目 的 在 於 探 討 身 心 障 礙 學 生 升 學 大 專 校 院 甄 試
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經 濟 部 智 慧 財 產 局 我 國 著 作 權 合 理 使 用 實 務 見 解 之 研 究 期 末 報 告 書 執 行 單 位 益 思 科 技 法 律 事 務 所 中 華 民 國 一 一 年 十 二 月 八 日 I 我 國 著 作 權 合 理 使 用 實 務 見 解 之 研 究 期 末 報 告 書 計 畫 主 持 人 賴 文 智 : 益 思 科 技 法 律 事 務 所 所 長 臺 灣 大 學 法
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毕 业 设 计 ( 论 文 ) 玩 转 浪 漫 DIY 焙 烤 店 系 名 : 旅 游 管 理 系 专 业 班 级 : 烹 饪 093 学 生 姓 名 : 万 琪 陈 兰 安 华 荣 苗 林 霞 学 号 :09572121,09572118, 09572110,09572124 指 导 教 师 姓 名 : 夏 秀 华 指 导 教 师 职 称 : 讲 师 2012 年 3 月 14 日 第 1 页 共
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3 : : 63,,,,,,,, 1903,,, 1904, (, ), [5 ],,,,,, [ 4 ] ( P191 192),,,,,,,,, [ 4 ] ( P192 193),,,,,, 1904,,,,,,,,,,, 1900,, : ( ) ; ( ) ; ( ) ; ( ), ; (
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南 通 市 环 境 保 护 委 员 会 通 环 委 办 2016 1 号 关 于 公 布 2015 年 度 南 通 市 区 非 国 控 企 业 环 境 信 用 评 级 结 果 的 通 知 各 有 关 单 位 : 根 据 南 通 市 企 业 环 保 信 用 评 价 及 信 用 管 理 暂 行 办 法 ( 通 环 规 2015 1 号 ) 及 南 通 市 企 业 环 保 信 用 评 价 标 准 及 评
腊八粥的来历 南宋陆游诗云 今朝佛粥更相馈 反觉江村节 物新 说的就是腊八粥 可见 腊八节 吃 腊八 粥 的风俗 由来已久 每逢腊八这一天 不论是朝 廷 官府 寺院还是黎民百姓家都要做腊八粥 这一 天 人们还要祭祀祖先 众神并庆祝丰收 后来 逐 渐演变成吃腊八粥祝来年五谷丰登 对于腊八粥的来历说法也
春节始末 年 的传说 说到 年 和春节 有 几个版本的说法 壹 相传 中国古时候有 一种叫 年 的怪兽 头长 触角 凶猛异常 长年深居 海底 每到除夕就爬上岸吞 食牲畜伤害人命 因此 每 每除夕这天 村村寨寨的乡 民扶老携幼逃往深山 以躲 避 年 兽的伤害 这年除 夕 一个乞讨老人来到村 里 得到村里一位老婆婆的 施舍 于是决定帮村里的 人铲除怪兽 半夜时分 年 兽闯进村 见门前贴 大红纸 屋内灯火通明
美国篇①
美 国 篇 USA1 2015 年 寒 假 美 国 友 好 校 回 访 项 目 活 动 特 色 大 沼 泽 国 家 公 园 探 索 美 国 友 好 校 回 访 ( 此 团 报 名 代 码 为 USA1) 1. 探 秘 佛 罗 里 达 州 南 端 的 大 沼 泽 地 国 家 公 园, 体 验 壮 丽 的 自 然 景 观 实 地 考 察 辽 阔 的 沼 泽 地 壮 观 的 松 树 林 星 罗 棋 布 的
精 神 與 自 然 : 楊 慈 湖 心 學 研 究 趙 燦 鵬 哲 學 博 士 嶺 南 大 學 二 零 零 五 年
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文言*白话*普通话*方言
文 言 * 白 话 * 普 通 话 * 方 言 李 如 龙 ( 厦 门 大 学 人 文 学 院 中 文 系 福 建 厦 门 361005) [ 摘 要 ] 中 小 学 语 文 教 学 要 根 据 现 代 语 的 要 求, 处 理 好 文 言 白 话 和 普 通 话 方 言 之 间 的 关 系 文 言 要 少 而 精 易 懂, 且 利 于 沟 通 传 统 文 化 精 粹 和 欣 赏 艺 术 创 作 白
10.11648.j.sd.20160403.18
Science Discovery 2016; 4(3): 202-206 http://www.sciencepublishinggroup.com/j/sd doi: 10.11648/j.sd.20160403.18 ISSN: 2331-0642 (Print); ISSN: 2331-0650 (Online) Construction for the Engineering Application-Oriented
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Hong Kong Teachers Centre JournalVol. 8 Hong Kong Teachers Centre 2009! "#$%&'()*+=! A case study on students ability to express emotion in his Chinese composition Abstract This article is a longitudinal
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第 19 卷 第 1 期 中 南 大 学 学 报 ( 社 会 科 学 版 ) Vol.19 No.1 2013 年 2 月 J. CENT. SOUTH UNIV. (SOCIAL SCIENCE) Feb. 2013 拭 揩 抹 擦 搌 的 历 史 演 变 与 方 言 分 布 王 娟 ( 太 原 师 范 学 院 文 学 院, 山 西 太 原,030012; 华 东 师 范 大 学 中 文 系, 上
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广 西 师 范 大 学 漓 江 学 院 毛 泽 东 思 想 和 中 国 特 色 社 会 主 义 理 论 体 系 概 论 教 学 大 纲 课 程 中 文 名 称 : 毛 泽 东 思 想 和 中 国 特 色 社 会 主 义 理 论 体 系 概 论 课 程 英 文 名 称 :General Introduction to Mao Zedong Thought & Socialist Theory With
摘 要
神 明 的 故 事 大 目 降 八 保 七 廟 門 暨 降 外 保 生 大 帝 廟 名 次 : 第 三 名 學 校 名 稱 : 新 化 國 小 作 者 : 朱 庭 萱 康 智 淵 羅 元 甫 何 宇 浩 楊 昇 叡 黃 裕 翔 指 導 教 師 : 蘇 佳 柔 蘇 伊 琳 目 錄 摘 要 壹 研 究 動 機 目 的... 1 第 一 節 研 究 動... 1 第 二 節 研 究 目 的... 1 貳
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作 为 表 达 方 式 的 周 礼 : 清 末 变 局 与 中 国 传 统 典 籍 孙 青 The Ritual of Chou: as an EXPRESSION under the Knowledge Crisis of Later Imperial China SUN Qing From the second half of 19 th century China, changes in fields
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2016 年 03 月,35(2) 中 医 教 育 ECM 1 校 长 论 坛 中 医 药 特 色 人 才 培 养 的 探 索 与 思 考 # 梁 繁 荣 刘 旭 光 王 飞 李 勇 王 振 兴 ( 成 都 中 医 药 大 学 成 都 611137) 摘 要 : 我 国 中 医 教 育 事 业 和 卫 生 事 业 的 发 展 进 入 到 一 个 新 的 历 史 阶 段, 深 化 医 药 卫 生 体
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准北春晖油田油气勘探快速突破的三点启示
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BIBLID 0254-4466(2002)20:1 pp. 277-307 20 1 91 6 1904 1920 20 1922 15 Phlip de Vargas Some Aspects of the Chinese Renaissance 1891-1962 1887-1936 Chinese * 277 278 20 1 Renaissance 1873-1929 1 2 3 1902
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BIBLID 1026-5279 (2005) 94:2 p. 155-172 (2005.12) 155 1324 1254 1 330 1936 1747 [ 1 ] Keywords Ma Tuan-lin Wen-hsien T ng-k ao Catalog Edition E-mail: craacl@faculty. pccu.edu.tw [1] 1626 6 156 (2005.12)
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