國立高雄大學金融管理學系 ( 研究所 ) 碩士論文 以 Delta 與 Gamma 建立之停損策略 The Stop-Loss Hedging Strategy with Delta and Gamma 研究生 : 賴以尊撰 指導教授 : 王文楷博士 中華民國 109 年 3 月

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1 國立高雄大學金融管理學系 ( 研究所 ) 碩士論文 以 Delta 與 Gamma 建立之停損策略 The Stop-Loss Hedging Strategy with Delta and Gamma 研究生 : 賴以尊撰 指導教授 : 王文楷博士 中華民國 109 年 3 月

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3 以 Delta 與 Gamma 建立之停損策略 指導教授 : 王文楷博士 國立高雄大學金融管理學系研究所 學生 : 賴以尊 國立高雄大學金融管理學系研究所 摘要 本研究以蒙地卡羅模擬法進行股價模擬, 並以此對原始停損避險策略 調整後避險停損策略 突破執行價格之停損避險策略與間斷 delta 避險策略進行測試, 並且進一步以 S&P500 指數進行實證研究, 其中以平均避險誤差與避險標準差作為避險績效的評量標準, 而交易成本方面則是以投資組合的調整次數與現貨調整價值衡量, 研究結果如下 : 1. 模擬結果顯示, 間斷 delta 避險策略在股價波動度 0.1~0.7 時的避險績效都優於三種停損避險策略 2. 模擬結果亦顯示, 若以交易成本為考量, 則在低股價波動度的情況下, 使用調整後避險停損策略與突破執行價格調整之停損避險策略, 可以更低的成本取得與間斷 delta 避險相近的結果 3. 實證結果與模擬結果則發現, 在有些情況下突破執行價格調整之停損避險策略在經過適當調整後, 相較於調整後避險停損策略可以在損失些微避險績效下, 減少交易成本 綜合上述研究結果, 希望對停損避險策略的發展有所貢獻, 並給予投資人與權證發行商在選擇權避險上, 能夠做為參考, 並降低避險時所需成本 關鍵字 : 選擇權避險 停損避險策略 蒙地卡羅模擬法

4 The Stop-Loss Hedging Strategy with Delta and Gamma Advisor: Dr. WANG, WEN-KAI Institute of Finance National University of Kaohsiung Student: LAI, YI-TSUN Institute of Finance National University of Kaohsiung ABSTRACT The purpose of this paper is to extend the stop-loss hedging strategy for option and make it cost fewer when the traders rebalance their hedging portfolios. We tried to build the hedging strategy with a non-rebalance belt which is dynamic. We compared this strategy with Delta, stop-loss and adjusted stop-loss strategies and tested these strategies with Monte Carlo Simulation and data from S&P 500 index options. We investigate the hedging performance and transaction costs of these hedging strategies. The results of the study were (1) the hedging performance of Delta strategy is the best of these strategies whether in simulation or empirical results. (2) If it is the scenarios for low volatility, the transaction costs of adjusted stop-loss and our strategies are fewer than Delta strategy and the hedging performance is close to the hedging performance of Delta strategy in simulation results. (3) In some scenarios, the transaction costs of our strategy are fewer than adjusted stop-loss strategy and only loss little performance, if we set up the right parameter of strategy. The study findings may provide the different direction for further research on options hedging. *Keywords : Options hedging, Stop-loss strategy and Monte Carlo Simulation.

5 目次 第壹章 緒論... 2 第一節 研究背景... 2 第二節 研究目的... 3 第三節 研究方法... 3 第四節 研究架構... 4 第貳章 文獻探討... 5 第一節 選擇權評價模型... 5 第二節 DELTA 避險策略... 9 第三節 停損避險策略 第參章 避險策略介紹與蒙地卡羅模擬 第一節 突破執行價格時調整之停損策略 第二節 模擬方法 第三節 基準點比較 第四節 最適避險帶測試 第五節 其他策略模擬結果 第六節 交叉比對 第肆章 實證研究結果 第伍章 結論 第一節 研究結果 第二節 研究限制與建議 I

6 表目 表 1 以 S 作為避險帶基準點 - 蒙地卡羅模擬 表 2 以 K 作為避險帶基準點 - 蒙地卡羅模擬 表 3 避險績效 - 避險績效差距百分比 表 4 交易成本 交易成本差距百分比 表 5 以 S 作為避險帶基準點 - 平均避險誤差 表 6 以 K 作為避險帶基準點 - 平均避險誤差 表 7 以 S 作為避險帶基準點 - 避險標準差 表 8 以 K 作為避險帶基準點 - 避險標準差 表 9 以 S 作為避險帶基準點 交易成本 表 10 以 K 作為避險帶基準點 交易成本 表 11 其他策略 - 平均避險誤差 表 12 其他策略 避險標準差 表 13 其他策略 調整次數 表 14 其他策略 調整價值 表 15 敘述統計 表 16 其他策略 實證結果 表 17 以 S 為基準調整 實證結果 表 18 以 K 為基準調整 實證結果 表 19 其他策略 漲勢 表 20 以 S 為基準調整 漲勢 表 21 以 K 為基準調整 漲勢 表 22 其他策略 跌勢 表 23 以 S 為基準調整 跌勢 表 24 以 K 為基準調整 跌勢 表 25 其他策略 盤整 表 26 以 S 為基準調整 盤整 表 27 以 K 為基準調整 盤整 表 28 SL- 以 S 和 K 為基準之母體差異顯著性測試 表 29 ASL- 以 S 和 K 為基準之母體差異顯著性測試 II

7 圖目 圖 1 以 S 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之一 圖 2 以 S 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之二 圖 3 以 K 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之一 圖 4 以 K 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之二 圖 5 蒙地卡羅模擬架構圖 圖 6 以突破時股價 S 對比 ASL 圖 7 以執行價格 K 對比 ASL 圖 8 S&P 500 指數與歷史波動度趨勢 III

8 第壹章 緒論 第一節 研究背景 自金管會證期局 ( 前財政部暨期貨管理委員會 ) 正式開放國內認購權證發行上市業務後, 許多證券商積極進入市場, 以獲取由於權證開放所獲得的利潤, 並能增加證券商在權證發行與避險之實務經驗 權證的本質與期貨市場選擇權相近均屬買方付出權利金後, 即擁有於特定期間內或一時點向賣方依事先約定之履約價格 ( 執行價格 ) 買進或賣出一定數量之連結標的, 直接以現金結算方式收取價差權利, 且負有接受買方要求之義務, 不同的地方則是投資大眾可以擔任選擇權賣方, 卻不能擔任權證的賣方 國內的權證商品皆由證券商發行, 證券商僅能擔任權證市場賣方, 投資人可以於次級市場買賣發行商的權證, 發行商相對於買方需承擔較多風險, 故發行商需要透過避險策略以因應未來的履約所可能造成的損失 台灣證券交易所亦有載明權證發行商必須提出預定之風險沖銷策略, 而由於 Black-Scholes 選擇權模型於 1973 年發表後, 帶動了衍生性商品市場的蓬勃發展,Black-Scholes 選擇權模型在實務應用方面被普遍採用, 理論上 Black 與 Scholes (1973) 所提出的連續避險概念能完全規避選擇權的價格風險, 使選擇權部位持續呈現無風險狀態, 但發行人若在沖銷風險時按照 Black-Scholes 理論進行動態連續避險操作, 不僅在實務有執行上的困難, 且在交易成本的考量下, 必會累積巨幅的交易成本, 而失去避險的意義, 所以實務上發行商一般使用間斷避險或是靜態避險 後續的研究提出間斷避險, 可以限制避險策略的交易成本, 且在合理的調整頻率下, 使避險誤差相對較小, 如 Boyle 與 Emanuel (1980) 的研究表示, 當適當的間斷調整頻率下, 避險誤差與市場報酬無關, 其產生的風險可由持有大量相似避險部位的投資組合來分散 2

9 2008 年的金融海嘯, 使得投資大眾開始重視衍生性金融商品的風險評估, 此現象使得證券商必須用更為小心的態度面對風險 避險策略除可用於避險外, 亦可用於套利, 繆維正與韓傳祥 (2009) 利用固定於 0.99 倍之執行價格到 1.01 倍之執行價格的區間, 以停損策略模式進行套利並期望有正報酬, 發現其相較於 delta 避險策略有較好的報酬率, 本文之研究重點在於改進停損避險策略, 目的在於最小化投資組合價值之標準差與適應於現實中所可能產生的交易成本, 並試圖減少操作頻率 第二節 研究目的 本文研究目的, 是希望探討更多動態避險的可能性, 並透過改良停損策略去設計出在實務上可用的避險策略, 繆維正與韓傳祥 (2009) 將停損避險策略加入固定避險以減少交易成本, 本文則會進一步將固定避險帶改良成動態避險帶, 接著測試在不同的情境下避險策略的績效, 而能夠更進一步的了解各種避險策略的適用性 一般而言動態避險是設計避險投資組合使其部分希臘字母為 0, 但本篇文章著重探討停損策略, 也就是對避險目標做完全避險 ( 持有完整的避險部位 ) 與完全不避險 ( 不持有避險部位 ) 的操作, 相較於其他類型策略, 停損避險策略所需進行的運算簡單, 也更容易操作 第三節 研究方法 本文的研究方法是透過蒙地卡羅模擬股價的路徑, 計算出各種避險策略的避險 部位調整次數 調整價值與平均避險誤差 避險穩定程度並比較在不同股價波動度 以及不同起始股價情況之下避險策略的優勢與劣勢, 最後透過實證資料進行測試 本文之避險績效將探討兩個方面, 平均避險誤差是利用兩期 ( 兩股價變動時點 ) 之投資組合價差之絕對值總和除以期數, 平均避險誤差越小, 其避險績效越佳 ; 避 3

10 險標準差則是利用兩期投資組合價值差之標準差, 作為衡量避險投資組合的穩定程 度, 其意義在於投資組合的價值變異程度越小, 則避險投資組合價值越穩定, 故其 避險績效越佳 在交易成本的評量上, 本文亦參考市面上數種交易成本計算方式, 其包含僅計算交易次數作為交易成本之依據 以交易價值之比例做為交易成本, 與兩種方式之混合, 故本文同時列舉避險策略之調整次數與調整價值作為交易成本之依據 調整次數所代表的是 : 在持有投資組合的期間, 現貨部位交易的次數, 並為所有實驗之算數平均數 ; 調整價值則代表 : 在持有投資組合的期間, 現貨部位交易的總價值, 並為所有實驗之算數平均數 第四節 研究架構 本研究章節排列分為五章, 第壹章為緒論說明本研究背景與動機 研究目的 研究方法與研究架構 第貳章介紹本文所使用的理論模型與避險策略相關的文獻 第參章介紹並探討突破執行價格時調整之停損避險策略, 並且透過蒙地卡羅模擬比較在不同的環境中, 不同類型避險策略的避險成本與避險績效, 從這些結果中找尋最佳避險策略 第肆章對突破執行價格時調整之停損避險策略 間斷 delta 避險策略 停損避險策略與調整行停損避險策略進行實證研究, 針對 S&P 500 指數的實際數據做相關的測試, 檢測這些避險策略在實務層面的適用性 第伍章為結論與建議, 將全文的研究結果彙整呈現 4

11 第貳章 文獻探討 第一節 選擇權評價模型 關於選擇權的評價模式, 過去曾經有 Cox Ross 與 Rubinstein(1979) 所發表的 二項式評價模型 (binomial options pricing model) 以及 Black 與 Scholes (1973) 所提出的 Black and Scholes pricing model 自從 1973 年 Black 與 Scholes 提出選擇權評價模式以來, 選擇權商品的評價開始有所依據, 其中 Black 與 Scholes (1973) 最重要的貢獻在於提出一個股票與選擇權的無風險投資組合, 得到選擇權的評價模式, 使之在推導選擇權價格時無須考慮投資人風險偏好的影響, 解決了過去學者在研究過程中所遭遇的困境, 隨後越來越多的學者紛紛投入選擇權商品評價模型的研究, 使得選擇權類型商品之評價方法與避險策略益趨完善 同時, 在選擇權實際交易市場中也因為可求得明確的理論價格而得以蓬勃發展, 此後, 不論券商或一般投資人都積極投入選擇權與權證市場, 使得選擇權與權證市場皆同步快速成長 前面所提到的無風險投資組合, 其避險原理是運用無風險資產與標的資產建立出與該選擇權相同的投資組合, 此投資組合被稱為複製投資組合 (replicating portfolio), 而此投資組合必須是自我融資策略 (self-financing strategy) 關於自我融資策略的定義如下 : 自我融資策略之定義假設 V 為投資組合價值 ; 無風險債券在時間 t 的價格為 B t ; α t 在時間 t 時投資在無風險債券的總金額, 其中 S t 為在時間 t 的股票價格 ;β t 為在時間 t 時持有股票的數量, 投資組合 (α t, β t ) 的價值在時間 t 為 : V(t, S t ) = α t B t B t + β t S t, (1) 5

12 若投資組合 (α t, β t ) 符合以下性質 : 則稱為自我融資策略 dv(t, S t ) = α t B t db t + β t ds t, (2) 自我融資策略的解釋為投資組合內部組成的重新調整, 在不投入額外資金的情況下 改變投資組合組成的比例 本文採用 Black-Scholes 評價模型運作避險策略,Black-Scholes 評價模型幾項 基本假設如下 : 1. 股價為幾何布朗運動 (geometric Brownian motion), 即滿足 : ds t = S t (μdt + σdw t ), (3) 其中 S t 代表在時間 t 的股票價格 ;μ 為股價之年期望報酬率 ;σ 為股價的波動度 ; W t 則為一衛納過程 (Wiener process), 其為 期望值為零, 且變異數為時間 t 之常態分配 式 (3) 的解為 : S t = S 0 e (μ σ2 2 )t+σwt 2. 股票賣空在任何時點皆允許 3. 證券可無限分割 4. 不存在無風險套利 5. 可以固定利率 r 下進行借貸 6. 無任何交易成本與稅 7. 市場有效率 令投資組合 (α t, β t ) 為選擇權之複製投資組合, 而投資組合 (α t, β t ) 為一自我融資 策略, 故滿足 : 6

13 dv(t, S t ) = α t B t db t + β t ds t, (4) 將式 (3) 帶入式 (4) 且令 db t = rb t dt, 可得 : dv(t, S t ) = (rα t + μβ t S t )dt + σβ t S t dw(t) = (rv(t, S t ) rβ t ds t + μβ t S t )dt + σβ t S t dw t, (5) 另一方面, 運用伊藤引理 (Ito s Lemma) 可得 : dv(t, S t ) = ( V(t, S t ) S μs t + σ2 S 2 2 V(t, S t ) 2 S 2 + V(t, S t ) t ) dt + V(t,S t) σs S t dw t, (6) 再比較式 (5) 和式 (6) 與 dw t 有關的各項, 可知 β t = β(t, S t ) = V(t,S t) S 經過以上推導可以發現, 將複製選擇權之投資組合對標的資產價格進行偏微分, 即可得知需要多少數量的標的資產與無風險資產的組合可以複製出選擇權, 持有此數量的標的資產所建構複製投資組合, 即可對該選擇權進行避險, 此數量就是稍後所介紹的希臘字母 delta, 而此處之投資組合 (α t, β t ) 則為買權之複製投資組合, 故其價值可視為買權之價值 由 Black-Sholes 選擇權評價公式發現, 標的資產的價格 標的資產報酬波動度 無風險利率與距到期日時間, 為影響歐式選擇權的價格的四個主要參數, 希臘字母 (Greek) 可衡量這些因素對選擇權價格或是對其他希臘字母的影響, 如 delta gamma vega rho 與 theta 等 運用希臘字母不僅能在操作選擇權商品時, 獲得更多資訊以 7

14 利進一步分析, 更能依此資訊將其融入與選擇權商品的投資組合中, 而獲得更好的避險效果, 以下主要介紹本文所運用的兩個希臘字母 : delta gamma Delta 是選擇權價格對標的資產價格的敏感度, 其用來衡量每當標的資產價格變動一單位, 導致選擇權價格的變動幅度, 例如 delta 值為 0.5, 若標的資產價格變動 1 元, 則選擇權價格變動 0.5 元, 以下進行歐式買權之 delta 推導 由於 delta 所代表的意義為選擇權價格對標的資產價格的敏感度, 故第一步先將買權價值 C 對股價 S 進行偏微分 : C S = N(d 1 ) + S S N(d 1 ) e r(t t) K S N(d 2), (7) 由微積分連鎖律可知 N(d S i ) = N(d d i ) d i S i = d 2 1 i σs 2π(T t) e 2, i = 1,2, (8) 因此 : S S N(d 1 ) e r(t t) K S N(d 2 ) = 1 d 2 1 σ 2π(T t) e 2 e r(t t) K d 2 1 σs 2π(T t) e 2, (9) 而由於 d 2 = d 1 σ T t, 可得 2 e d 2 = e (d 1 σ T t) 2 2 = S K er(t t) e d 1 2 2, (10) S N(d S 1 ) e r(t t) K N(d S 2 ) = 0, (11) 所以 8

15 C S = N(d 1 ) (12) Gamma 是用以衡量 delta 對於標的資產價格的敏感度, 即標的資產每變動一單位, delta 變動的幅度, 換言之,gamma 是用來衡量選擇權價值的凹性 (concavity) 程度大 小, 以數學式表示如下 : 2 C = N(d 1) = 1 x 1 2 S 2 S Sσ T 2π e 2 (13) 第二節 Delta 避險策略 避險投資組合的概念是透過付出特定成本, 以達到鎖定投資組合所面臨的下方風險, 並將損失控制在一定的範圍, 其主要有兩種發展方向, 一種為靜態避險投資組合, 即利用標的資產與其衍生性商品或兩相同標的資產之衍生商品, 如期貨或是選擇權組成投資組合進行避險, 期待透過持有兩個相反方向的部位 ( 如 : 買進股票, 買進賣權 ) 的方式, 且在不調整投資組合部位的情況下, 鎖定未來的損失 ; 另一種則為動態避險投資組合, 即在持有投資組合期間不斷調整持有部位的比例, 藉此達到避險的效果 歐式保護型買 賣權策略是一種選擇權避險投資組合操作的原始概念, 藉由買入股票與持有以該股票為標的之賣權或是賣空股票與持有以該股票為標的之買權的投資組合, 構成在股價波動時損失有限, 又可以享有增值利益的投資組合, 為一種靜態避險的概念 根據 Stoll (1969) 所提出之買賣權平價關係 (put-call parity), 可以將歐式保護型賣權策略轉換成現金與買權的投資組合, 亦能構成與歐式保護型賣權策略相同的報酬型態 以上兩種策略在投資組合形成之後, 往後並不需要進行調整, 因此屬於靜態的投資組合保險策略 理論上而言, 利用這兩種策略進行操作, 皆可以達到避險的效果, 但在實務上會碰到一些限制, 例如 : 市場上的選擇權多半有標準的契約格式, 像是特定的履約價格與到期期限等等, 並不能完全符合投資組 9

16 合本身的需求 Black 與 Scholes (1973) 認為在連續調整的情況下, 可以利用股票與無風險債券所組合成的投資組合, 完美複製以該股票為標的之選擇權價值, 換言之可以利用這種方式與買權建構出一個無風險投資組合 Black 與 Scholes (1973) 的選擇權評價模型之股價是假設為連續分配, 所以每當股價變動時, 須立即依照避險比率調整股票部位或選擇權部位以維持投資組合無風險狀態, 兩風險部位之價格變動可以透過此一調整相互抵消, 此避險比率即為 delta, 其避險投資組合的調整原則, 理論上為依照 delta 對股票部位與無風險資產進行調整 當股價上漲時, 履約機率上升, 則 delta 上升, 此時應增加持股, 並出售無風險資產 ; 當股價下跌時, 履約機率下降, delta 下降, 則應賣出股票而增加無風險資產 在持有投資組合時, 所有的資產只有在股票及無風險資產間移動, 即僅改變投資組合之成分比例, 以符合自我融資 (self-financing) 的特性 而由於選擇權價格與股票價格會隨著不同的時點而有所變化, 所持有的 delta 部位亦會隨其改變, 故這種策略必須進行連續性的資產調整, 因此為動態避險策略 Delta 避險策略若是在完全市場假設下, 可以符合無交易成本與連續調整的條件, 故其不會有避險誤差產生, 但在實務上只能間斷調整, 且亦存在交易成本, 因此會產生避險誤差 由於 Black 與 Scholes (1973) 是在無交易成本的假設下, 提出連續避險的概念 在實務上連續避險必然會產生巨額的交易成本, 在實務上無論是對於套利策略或是避險策略, 交易成本都有著巨大的影響力, 交易成本會減少套利機會並加大避險的難度, 因為交易成本會在理論價格周圍創造出區間, 若市場價格若於此區間, 且避險策略沒有考慮交易成本, 可能造成大量損失, 而失去避險的意義 多數的證券商基於成本與現實考量, 僅能使用間斷 delta 避險法, 即每隔一段時間調整避險部位, 後續的研究也針對此問題, 提出間斷調整策略, 以限制複製策略所會產生的交易成本 Boyle 與 Emanuel (1980) 表示若是在適當的間斷調整頻率下, 所產生的避險誤差 10

17 與市場報酬無關, 所以並不會產生系統性風險, 故可利用持有大量相似的避險部位的投資組合以分散風險 他們利用每日間斷避險並觀察避險報酬之泰勒展開式, 發現避險報酬與市場報酬無關, 而當間斷避險區間足夠短暫時, 系統風險則會相當微小, 甚至於不存在 Gilster (1990) 亦對間斷避險之市場風險展開研究, 並從中推導出一個封閉解, 其認為間斷避險的時間間隔越大, 投資組合所有的系統風險則會越明顯 Leland (1985) 在考量比例式交易成本下利用連續避險的概念提出調整後的變異數 其指出當交易成本存在時, 無論交易成本多小, 評價模型都會因為連續避險而無解, 所以作者透過將交易成本加入股價變異數的估計中, 並以此代替 Black 與 Scholes (1973) 評價模型中的波動度, 再建構避險投資組合 在選擇權評價時只需調整 Black 與 Sholes (1973) 評價模式的波動度, 而其避險策略則取決於交易成本 投資組合修正週期, 以及選擇權價格之標準差, 最後以蒙地卡羅法驗證其模型, 結果發現在有交易成本的環境下, 其避險誤差的期望值小於 Black 與 Scholes (1973) 之避險策略的避險誤差期望值, 且變異數也更加微小, 也就是說其避險策略優於 Black 與 Scholes (1973) 之避險策略 相較於 Black 與 Scholes (1973) 的避險策略在間斷調整中, 避險誤差之系統風險需要足夠的調整次數才能忽略, 但在交易成本的考量下, 過多調整次數反而加大避險誤差,Leland (1985) 的避險策略則是依據交易成本規模大小與修正頻率推導而成, 因此其避險誤差與系統風險無關, 並隨著修正頻率增加而更接近零 Etzioni (1986) 對於動態避險所產生出鉅額的交易成本, 提出三種不同的調整模式, 並分別測試其績效, 第一種調整模式為依固定時間調整避險部位, 並維持 delta 中立, 第二種模式則是當市場波動度達到一特定程度時進行調整, 並維持 delta 中立, 第三種模式是當 delta 變動達到一特定程度時進行調整, 並調整到落後 delta 中立某一固定比例, 即不將現貨部位調整至足額, 故持有者會承擔部分 delta 風險, 其用意在於若現貨價格呈現上漲趨勢, 因持有者只調整一部份的 delta 變動, 11

18 故交易成本較低, 而一旦現貨價格反轉直下, 現貨部位價值損失少於第二種模式, 為依 delta 變動程度建立避險帶與不足量避險的概念 其利用蒙地卡羅模擬法, 並以選擇權價值之總誤差作為衡量避險績效, 發現第一種模式以每週做為調整周期的效果最佳 第二種模式因其只考慮 delta 變動程度, 忽略時間的重要性, 因此效果沒有比第一種模式出色 第三種模式則是三者中最佳者, 其研究指出將變動幅度設定在 3% 下的效果最好, 因為在股價劇烈變動中, 持有的股票部位較有彈性, 所以當股價回檔時, 可以節省連續調整中所產生的交易成本 Figlewski (1989) 認為降低間斷避險頻率以降低交易成本的效果並不顯著, 其表示應在避險比率偏離一定程度時立即進行部位調整, 而非在固定時段調整, 此舉更能降低交易成本 Merton (1990) 在考量比例式交易成本下, 以間斷避險概念推導出選擇權評價模式, 其避險策略在於運用風險性資產與無風險債券, 建構投資組合以複製到期時的選擇權價值 其改良 Black 與 Scholes (1973) 在間斷調整的問題, 並在投資組合進行調整時, 對交易成本有適當的考量 Davis Panan 與 Zariphopoulou (1993) 提出避險帶的概念是由 delta 值的一上限值與一下限值所組成, 若 delta 值的變化沒有超越這兩個界線, 則不需調整所持有的避險部位, 因此不會產生交易成本, 但由於 Davis Panan 與 Zariphopoulou (1993) 之避險策略計算過程過於繁瑣 耗時, 使之實用性大幅下降,Whalley 與 Wilmott ( ) 沿用其避險帶的概念, 並假設交易成本很低時可將 Davis, Panan 與 Zariphopoulou (1993) 之避險策略模型之三變數簡化成兩變數, 其所推導的結果發現避險帶的上下限僅為 Black 與 Scholes 模型中 delta 值加減的調整項 蔡立光 (1998) 利用 Black 與 Scholes (1973) 之選擇權定價模型與 Merton (1990) 的隨機跳躍選擇權定價模型, 探討台灣認購權證市場的定價與避險效果, 其研究發現若以歷史波動度估計之, 則模擬效果相較於權證市價有低估的現象 ; 而若以隱含波動度進行估計, 其模擬結果相較於權證市價則呈現出高估的現象 而若是在台灣 12

19 認購權證市場運用 delta 避險策略, 則無論是代入歷史波動度估計的 Black 與 Scholes 定價模型或是 Merton (1990) 的隨機跳躍選擇權定價模型之選擇權價格所建 構的 delta 避險投資組合, 在扣除建構時的資金成本後, 兩者皆有正的日報酬 陳松男 (1999) 探討間斷性避險及交易成本下的選擇權評價模型與避險策略, 他認為 Black 與 Scholes 定價模型雖在實務中被廣泛運用, 但其部分模型假設與現實不相符, 可能會讓理論價格與市場價格出現差距, 其中他透過加入交易成本與間斷時間的情況下對 Black 與 Scholes 定價模型進行修正, 並引用 Wilmott(1994) 的推導, 可以發現儘管在無交易成本的環境下,Black 與 Scholes 定價模型依然難以在間斷時間的環境下使用, 但透過修正估計波動度與特定時間間隔調整的方式, 則可讓 Black 與 Scholes 定價模型在實務中使用 以上方式除了能夠改善定價模型, 也能讓加強原始的 delta 避險策略, 陳松男 (1999) 進一步引用 Mohamed (1994) 對於避險策略的研究,Mohamed (1994) 認為實務上在定時調整策略中加入避險帶能加強其避險效果, 因為此法能降低交易成本對避險績效的影響 周恆志 涂登才及盧陽正 (2001) 使用最適 VaR 避險法的避險策略, 比較其避險效果與實務上常使用的間斷性 delta 避險的差別, 發現最適 VaR 避險法可以有效的管理避險投資組合的下方損失並保留認購權證發行商部分的資本利得, 但是減少下方損失與增加資本利得之間並沒有絕對的關係 若採用最適化 VaR 避險法所增加的資本利得高於其所多需要的交易成本, 則較有利於發行商避險 ; 反之, 則最適化 VaR 避險法未必有利 其避險效果優於間斷 delta 避險法, 但調整信心水準及避險帶的影響則不顯著 楊雪蘭與朱正民 (2007) 發現, 台灣券商僅於 delta 中立避險, 在理論上並不足夠, 證券商為了彌補承擔的風險, 相較於國外權證, 台灣權證的 delta 相對較高 Vähämaa (2004) 認為 Black 與 Scholes 定價模型之固定波動度的假設在實務中 並不合理, 且 Black(1976) 發現波動度與標的資產呈現反向關係,Vähämaa (2004) 13

20 利用隱含波動度微笑曲線之參數對 Black-Scholes(1973) 之 delta(b-s delta) 進行修正, 他發現在實務應用上 B-S delta 過大, 而對避險績效會有影響, 故修正後的 delta 應小於 B-S delta 微笑曲線調整 delta 在價平 價外選擇權相較於 B-S delta 會有更好的表現, 其績效隨避險時間拉長會有更明顯的差距 周恆志 陳達新 巫春洲 (2007) 以 Gram-Charlier GARCH 選擇權演算法配適於臺指選擇權的市場資料, 並與 Black 與 Scholes 模型比較, 發現 Gram-Charlier GARCH 選擇權演算法評價績效顯著較佳, 但動態 delta 中立避險績效測試結果顯示 Black 與 Scholes 模型優於 Gram-Charlier GARCH 選擇權演算法 但其文章提到 GARCH 模型對於描述股價指數波動性的過程仍有不足, 故涂登才 劉祥熹與林丙輝 (2012) 利用 Merton (1976) 跳越擴散模型 Heston (1993) 隨機波動模型及 Bates (1996) 跳躍擴散 - 隨機波動之混合模型, 進行台指選擇權的評價, 並建構避險策略 其研究結果顯示台指價內買 賣權避險策略運用 delta neutral 避險效果較佳 ; 股價波動度幅度較大之價平 價外選擇權則採用 delta-gamma neutral 較為適合 Alexnader 等人 (2012) 採用 regime-dependent smile-adjusted deltas 作為避險策略的基礎, 再與傳統的 delta 避險策略做比較 結果發現新方法之避險效果佳 Maclean Zhao 和 Ziemba (2013) 基於傳統標準的 delta 避險沒有考慮到交易成本與交易限制, 因此乃以加入內生性波動度因子所計算出的 delta 進行避險, 他們發現現實中的買權價格在深度價內 ( 外 ) 之價格高 ( 低 ) 於 Black 與 Scholes 定價模型之價格, 故隱含波動度在深度價內 ( 外 ) 高 ( 低 ) 於價平之選擇權 Leland (1985) 利用改良估計波動度的方式去抵銷所需的交易成本, 但此避險策略並不能有效複製選擇權之金流,Maclean Zhao 和 Ziemba (2013) 認為是由於 Leland (1985) 沒有將選擇權之執行價格考慮進改良波動度中, 故他們所發展的內生性波動度是由交易成本及執行價格 (strike prices) 所建構而成, 並會隨著當時履約機率的不同給定不同的調整權重, 他們將內生波動度法分為兩種模式 (1) 固定權重 (EV1) (2) 隨履約機率調整權重 (EV2) 並與 Black 與 Scholes (1973) Leland (1985) 的模型進行比 14

21 較, 結果發現內生波動度法中的 EV2 能提供更精準的定價模式, 但在透過平均絕對 偏差 (mean absolute deviation) 衡量避險績效時 EV1 較有優勢 Hull 與 White (2017) 認為波動度在 B-S 模型中固定波動度的假設在實務中並不合理, 故實務上除了原始的 B-S delta 避險, 亦需同步建立 vega 部位以規避波動度風險, 而 Black (1976) 與 Christie (1982) 發現波動度與標的資產價格呈現反向關係 許多研究認為這層關係, 會使實務之 B-S delta 並非最小變異數 delta (MV delta), 故這些研究試圖尋找選擇權避險之最適 delta 並運用於實務之中, 其中有一部分的研究利用隨機波動度模型直接改善 B-S delta, 並利用模型假設將 B-S delta 轉換成 MV delta Hull 與 White (2017) 則是利用與 Vähämaa (2004) 相似的方法, 透過對 B-S 模型中的 delta vega 與標的資產之波動度與價格的反向關係的調整修正 B-S delta 他們認為標的資產價格變動與該資產波動度變動之相關係數不為 0, 其所發展之最小變異數 delta 加入標的資產價格變動之波動度的預期變動, 以修正 B-S delta 不合理的假設, 他們發現其 MV delta 在 S&P 500 指數相較於隨機波動度模型與基於微笑波動度曲線之模型的 MV delta 的效果更好, 但其有效性在個別公司股票與指數型證券投資信託基金 (ETF) 中明顯較差, 原因為波動度變化與價格變化中有更多雜訊, 並且賣權相較於買權在 MV delta 的避險表現較差, 顯示出賣權之價格亦有非常多特定的雜訊 第三節 停損避險策略 繆維正與韓傳祥 (2009) 研究避險策略能否帶來統計套利的機會, 並發展由停損避險策略所衍生出之調整型停損避險策略, 其中停損策略可視為 delta 策略的極端情況, 是為不考慮市場風險的一種策略, 故其在 Black-Sholes 定價模型中, 可視為將 delta 在 0.5 以上的範圍無條件進位至 以下的範圍則無條件捨去至 0, 不同於 delta 策略, 會持有部分避險部位 停損策略是以執行價格為停損點, 故當股價大於執行價格時, 停損策略會買入相等數量的標的資產, 進行完全避險 ; 而若是 15

22 股價小於時, 停損策略則完全不持有標的資產, 完全不進行避險, 所以停損策略是 極端的進行完全避險與完全不避險的一種操作 相較於 delta 策略而言, 停損策略在股價處於價內與價外波動時, 省去了需時時調整的心力與成本, 但當股價於執行價格附近來回震盪時, 停損策略不僅需要高頻率調整, 更由於其進行完全避險, 交易成本相較於 delta 避險策略更高 調整型停損避險策略則是透過當前股價漲跌幅訊號, 設定不同情況下的停損點 假設 K 表示執行價格, 其交易策略如下 : 以買權為例, 若判斷未來股價為漲勢, 則表示股價落於價內的可能性較高, 須提前避險, 所以將停損點設於 0.99K, 表示當股價大於 0.99K 時進行完全避險, 小於則完全不避險 ; 若判斷未來股價為跌勢, 則表示股價落於價外的可能性比較高, 可提前賣掉標的資產, 故將停損點調整至 1.01K, 表示當股價大於 1.01K 時進行完全避險, 小於則完全不避險 當未來股價走勢趨於盤整時, 則將 1.01K 設為停損上界,0.99K 設為停損下界, 表示當股價大於 1.01K 時進行完全避險, 小於 0.99K 則完全不避險, 而處於 1.01K 與 0.99K 間則不進行調整, 因此可以避免於盤整過程中反覆調整所產生的交易成本與買賣價差 此策略透過調整停損策略的上下界, 規避股價在執行價格附近來回震盪時, 所產生的交易成本, 但若是股價走勢在上下界間來回震盪亦會產生高昂的交易成本, 並且由於股價落於上下界之間時不會進行調整, 所以相較於停損策略, 其避險的能力較差 繆維正與韓傳祥 (2009) 分別針對美國 S&P500 指數選擇權與台灣加權股價指數選擇權, 並測試四種避險策略, 分別為 : delta 避險 delta - gamma 避險 停損策略與其所建立的調整後停損避險策略 ( 固定避險帶 ), 此研究之結果表示調整後停損避險策略有較好的平均報酬,delta 避險策略則有較佳的穩定性 16

23 第參章 避險策略介紹與蒙地卡羅模擬 第一節 突破執行價格時調整之停損策略 本文的主要策略是利用對 delta 進行泰勒展開, 推導出兩期股價之間的關係, 並從其中發展出避險策略之避險帶, 其目的在於確定股價有較明顯變動的情況下, 再進行避險, 以減少避險所造成交易成本 推導如下 : C(t, S t ) S C(t, S t ) S = 2 C(t, S t ) (t t) + 2 C(t, S t ) (S t S S 2 t S t ) C(t,S t ) 2! t 2 S (t t) ! 3 C(t,S t ) S 3 (S t S t ) C(t,S t ) t S 2 (t t)(s t S t ) +, (14) 接著將 (14) 式框中部分視作殘差, 可得下式, S t = S t + delta t delta t gamma t + ε t, (15) 其中 S t 為在時間 t 期的股價 S t 為 t + 1 期的股價 ;ε t 為殘差 本研究僅利用泰勒展開式中之一階偏導數第二項建立選擇權避險策略的避險帶, 其中殘差的部分除包含泰勒展開式二階偏導數之後的部分外, 也包含一階偏導數之時間差, 將此項列入殘差中並不代表其影響不明顯, 而是本文之避險策略較關注於股價差距, 故選擇忽略時間差 利用除殘差之外的各項可以推導出兩期股價差距, 即兩期 delta 間距與當期 gamma 值, 並用以計算出停損點, 其中又有兩種不同的策 17

24 略, 第一個是當股價突破執行價格時出現避險帶, 並以突破時股價 S 當作避險帶的 調整基準, 第二個亦是於股價突破執行價格時出現避險帶, 並以執行價格 K 作為避 險帶的調整基準 在以突破時股價調整避險帶的策略中, 本文在股價突破執行價格時決定避險帶, 避險帶的範圍是由給定的兩期 delta 間距 當期 gamma 值與突破時的股價 S 決定 以買權為例, 當股價向上突破執行價格時, 此時計算出突破時股價 S 加上停損調整值做為停損點, 而當股價突破停損點時, 則進行完全避險 ; 反之, 當股價向下突破執行價格時, 此處會計算出突破時股價 S 減去停損調整值做為停損點, 當股價向下突破停損點時, 則完全不避險, 其中停損調整值為 固定之兩期 delta 間距除以 S 之當期 gamma, 其概念為在可接受範圍下, 設定下次可能的股價, 並以此作為停損點, 此處之兩期 delta 間距是由策略使用者自行決定, 而在之後的章節中本文會對如何決定兩期 delta 間距提出建議 (a) 股價向上突破執行價格 - 以 S 為基準 股價向上突破避險帶上界時, 調整投資組合 股價向上突破執行價格時計算避險帶上界 原始 :S>K 進行完全避險 ; 以 S 為基準 :S> S + 停損調整值進行完全避險, 其 中停損調整值為兩期 delta 間距 / 當期 gamma 圖 1 以 S 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之一 18

25 (b) 股價向下突破執行價格 以 S 為基準 股價向下突破執行價格時計算避險帶下界 股價向下突破避險帶下界時, 調整投資組合 原始 :S<K 進行完全不避險 ; 以 S 為基準 :S< S - 停損調整值進行完全不避 險, 其中停損調整值為兩期 delta 間距 / 當期 gamma 圖 2 以 S 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之二 以執行價格調整避險帶的策略則是避險帶的範圍是由給定的兩期 delta 間距 當期 gamma 值與突破時的執行價格 K 決定 以買權為例, 當股價向上突破執行價格時, 此時計算出執行價格 K 加上停損調整值做為停損點, 而當股價突破停損點時, 我們則進行完全避險 ; 反之當股價向下突破執行價格時, 此處會計算出執行價格 K 減去停損調整值做為停損點, 當股價向下突破停損點時, 則完全不避險 其中停損調整值為 固定之兩期 delta 間距除以 K 之當期 gamma, 其中與以 S 為基準策略的不同之處除了停損避險調整值的基準點不同外, 以 K 為基準策略使用的 gamma 為 K 之 gamma, 此處隱含假若波動度保持不變, 則以 K 為基準策略的避險帶會因為距離到期日的時間越近而越收束, 並可從起始點得知以 K 為基準策略避險帶之範圍, 因為在波動度保持不變下,K 之 gamma 中會變動的數值僅剩下距離到期日的時間, 而隨著距離到期日的時間越近 gamma 則越大, 故距離到期日越近則避險帶越小, 但在實務環境中, 波動度並非保持不變, 故在實務環境中, 依然需要根據前文的計算方式, 找出停損點 19

26 (c) 股價向上突破執行價格 以 K 為基準 股價向上突破避險帶上界時, 調整投資組合 股價向上突破執行價格時計算避險帶上界 原始 :S>K 進行完全避險 ; 以 K 為基準 :S>K+ 停損調整值進行完全避險, 其 中停損調整值為兩期 delta 間距 / 當期 gamma 圖 3 以 K 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之一 (d) 股價向下突破執行價格 以 K 為基準 股價向下突破執行價格時計算避險帶下界 股價向下突破避險帶下界時, 調整投資組合 原始 :S<K 進行完全不避險 ; 以 K 為基準 :S<K- 停損調整值進行完全不避險, 其 中停損調整值為兩期 delta 間距 / 當期 gamma 圖 4 以 K 為基準 - 突破執行價格時調整之停損策略與原始停損避險策略比較圖之二 20

27 在本文的主要策略中, 停損點會隨著不同的時點而有所改變, 以符合當時的風險狀況, 以及能夠在考慮交易成本的情況下, 同時保證避險的效率 在接下來的測試中, 本研究會首先以蒙地卡羅模擬比較以突破時的股價與執行價格兩個調整基準點的不同, 並測試對於主要策略最佳的避險帶 ( 停損上 下界 ), 也就是測試給定多少兩期 delta 的間距可以使避險策略呈現出最佳結果 第二節 模擬方法 本節介紹本文之模擬方法為蒙地卡羅法, 蒙地卡羅法是一種以數值計算方法, 其用以模擬隨機變數, 在未來的各種情況, 並透過產生亂數與統計方法來解決問題, 蒙地卡羅法步驟如下 : 產生隨機亂數 建立隨機變數之隨機模型 模擬目標變動值 重複上述步驟, 取得樣本群 本文所建立之未知變數隨機模型, 是為股價模型 本文所設定之股價 S t 為在時間 t 的股價, 並遵循幾何布朗運動, 故 S t = S 0 e (μ σ2 2 )t+σw(t), 並且模擬衛納過 程 W(t) 必須以均勻分配使用反向轉換法成常態分配亂數, 即是利用常態分配函數之 反函數產生常態分配亂數 其演算法如下 : 1. 設 R 為一隨機亂數, 並產生隨機亂數 R~U(0,1), 其中 R~U(0,1) 表示產生隨機亂 數 R, 並使 R 具有在 0~1 之間的均勻分配性質 21

28 2. 然後產生常態分配亂數 X, 使 X = F 1 (R), 其中 F 1 為常態分配函數之反函數 所幸在 Excel VBA 中可以用內建語法 Application.NormSInv(Rnd) 產生出常態分配亂數並依此建立股價路徑, 即可依照不同的策略建構避險投資組合, 再利用當期股價去判斷是否調整, 並透過計算以下指標如 : 調整次數 調整價值, 判斷交易成本的高低 ; 投資組合的平均避險誤差與避險標準差, 判斷避險策略的績效 利用以上的方法, 我們可以模擬出足夠大的樣本支持本文所做的研究, 並加入不同的情境, 即可表現出在不同情境下, 各種避險策略的表現 蒙地卡羅模擬架構圖 : 圖 5 蒙地卡羅模擬架構圖 第三節 基準點比較 本文首先測試主要策略的調整基準點, 以進行後續的測試, 此處測試的目的在 於找出主要測試中的兩個基準點之間是否有差異, 比較兩者在不同情況下的避險績 效與交易成本, 並選定較優秀的一方進行後續的測試 22

29 此處的測試使用蒙地卡羅法進行模擬, 並對使用兩基準點之策略數據進行比較, 其中比較的項目包括避險標準差 平均避險誤差作為避險績效的衡量指標, 調整價值 調整次數作為交易成本的衡量指標, 選擇權距到期日時間 T 為 1 個月 股價 S 為 100( 且價平 ( 執行價格 K 為 100) 發行 買權部位為賣出 1 張 利率 r 為 0.01 模擬次數為 次, 每期長度為三分之一日, 並分別帶入不同的股價波動度, 此後固定平均股票報酬率的原因在於其影響非常不明顯, 並且在模擬 之平均數據中, 幾乎沒有任何影響, 這個結果可從隨機股價模型中發現, 在隨機股價模型中平均股票報酬率屬於一次方 dt 係數, 而波動度屬於 0.5 次方 dt 係數, 故波動度對股價的影響遠大於平均股票報酬率, 因而使平均股票報酬率的影響較不明顯 結果如下 : 表 1 以 S 作為避險帶基準點 - 蒙地卡羅模擬 σ 兩期 delta 間距 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 註 : 兩項避險績效指標乘以 10 1 為原始數值, 調整價值的單位為元, 調整次數的單位為次 23

30 表 2 以 K 作為避險帶基準點 - 蒙地卡羅模擬 σ 兩期 delta 間距 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 調整價值 調整次數 避險標準差 平均避險誤差 註 : 兩項顯績效指標乘以 10 1 為原始數值, 調整價值的單位為元, 調整次數的單位為次 從表 1 與表 2 相互對照可以發現兩個不同基準點所產生出的避險帶, 在相同 delta 間距的情況下, 兩者數據有明顯不同, 特別是調整次數有比較明顯的差距, 但隨著 delta 間距的擴大使差距明顯減少, 兩者之避險績效則是由以 K 為基準點策略較好, 其中平均避險誤差在股價波動度為 時沒有很大的差異, 但是在 0.5 與 0.7 時, 以 K 為基準點之平均避險誤差則較以 S 為基準點之避險策略更小而代表避險穩定程度的避險標準差亦是以 K 為基準點之避險策略較穩定, 隨著股價波動度上升其差異更加明顯, 在調整價值上, 以 K 為基準點之避險策略明顯較高, 綜合所有結果可以發現在相同 delta 間距下, 以 K 為基準調整避險帶之避險策略雖然在避險績效上有比較出色的表現, 但也產生出較高的交易成本, 推測其中原因則是源自於兩者避險 24

31 帶大小的不同, 使調整次數有差異所造成的, 接下來本文進一步以交叉測試的方式 觀察兩基準點之差距 本文主要依照前述之數據進行交叉測試, 並以不同的股價波動度代表不同的股 價趨勢, 結果以 調整價值 S 調整價值 K 避險標準差平均避險誤差 S S 1 與 1 表示避險績效差距百分比, 避險標準差平均避險誤差 K K 調整次數 S 1 與 1 表示交易成本差距百分比, 其中分子代表以 S 為基準的突調整次數 K 破執行價格進行調整之停損避險策略的避險標準差與現貨調整價值, 分母代表以 K 為基準的突破執行價格進行調整之停損避險策略的避險標準差與現貨調整價值, 其 結果如下 : 表 3 避險績效 - 避險績效差距百分比 避險標準差 兩期 delta 間距 σ= % 6.37% 7.86% 9.12% 10.06% 10.59% σ= % 6.52% 8.08% 9.38% 10.31% 10.89% σ= % 6.89% 8.54% 9.89% 10.81% 11.33% σ= % 7.30% 9.05% 10.49% 11.37% 11.88% 平均避險誤差 兩期 delta 間距 σ= % 2.65% 3.69% 2.92% 8.69% 10.06% σ= % 3.31% 4.17% 3.17% 8.17% 10.06% σ= % 3.38% 4.55% 3.48% 7.99% 10.49% σ= % 3.66% 5.10% 4.14% 8.03% 10.63% 由表 3 可以發現若在相同 delta 差距的情況下相較於以 S 作為基準點之避險績效, 以 K 作為基準點之避險績效更好, 並且差距百分比隨著股價波動度上升, 顯示出在相同 delta 間距下, 以 K 作為基準點的避險績效在高股價波動度的環境下會更較為出色, 推測原因為以 K 作為基準點的調整次數較多所造成, 較多的調整次數會使避險績效更好, 但也會進一步的提升交易成本, 故本文在接下來的試驗中測試兩者在調整次數上的差距 25

32 表 4 交易成本 交易成本差距百分比 調整價值 兩期 delta 間距 σ= % % % % % % σ= % % % % % % σ= % % % % % % σ= % % % % % % 調整次數 兩期 delta 間距 σ= % % % % % % σ= % % % % % % σ= % % % % % % σ= % % % % % % 經由表 4 可以看出兩個基準點在相同 delta 間距下的調整次數確實有顯著的差異, 結合之前的結果可以判斷避險績效的差異可能是來自於調整次數的不同, 在此處的結果亦顯示出隨著 delta 間距由大至小, 兩基準點的調整價值差距上升, 其原因應是在 delta 間距較小時, 股價較可能在避險帶附近波動, 對不同大小的避險帶有較多影響, 而同時觀察調整價值差距百分比與調整次數差距百分比, 可以發現兩差距百分比十分接近, 故可以推斷股價大多在觸擊以 K 為基準點之停損點後並未觸擊以 S 為基準點之停損點, 也因此出現調整次數的差距並連帶造成調整價值差距, 而當 delta 間距較大時, 因為股價在避險帶附近波動的可能性減少, 使兩策略皆不容易調整, 此處結果僅能看出兩種基準點的突破執行價格進行調整之停損避險策略的差距是以交易成本換取避險績效, 而無法明顯比較出兩者之優劣, 故在接下來的測試中, 兩種基準點皆會列入考量 26

33 第四節 最適避險帶測試 在進行測試之前, 必須先找到策略的最適避險帶, 也就要決定股價變動, 所以決定避險帶範圍的參數為給定的兩期 delta 間距, 本節的目標便是測試何種 delta 間距可形成效果較好的避險帶, 並測試在不同股價波動度下的效果 此處測試依照前述之數據進行測試, 其結果如下 : 表 5 以 S 作為避險帶基準點 - 平均避險誤差 兩期 delta 間距 σ= σ= σ= σ= 註 : 平均避險標準差乘以 10 1 為原始數值 表 6 以 K 作為避險帶基準點 - 平均避險誤差 兩期 delta 間距 σ= σ= σ= σ= 註 : 平均避險標準差乘以 10 1 為原始數值 首先, 可由表 5 表 6 中看到不同避險帶大小, 其平均避險誤差在不同情況下的 數值, 從表格的數據可知, 無論是何種股價波動度與平均股價報酬率的組合中, 各 組避險帶之平均避險誤差皆接近 0, 表示此策略在大部分的情況皆是有效 接著, 本文進一步研究各組避險帶之避險穩定程度, 即兩期避險投資組合標準 差, 並進一步確定各組避險帶的避險標準差, 以下測試所使用數據與上述試驗相同, 其結果如下 : 27

34 表 7 以 S 作為避險帶基準點 - 避險標準差 兩期 delta 間距 σ= σ= σ= σ= 註 : 避險標準差乘以 10 1 為原始數值 表 8 以 K 作為避險帶基準點 - 避險標準差 兩期 delta 間距 σ= σ= σ= σ= 註 : 避險標準差乘以 10 1 為原始數值 由表 7 表 8 中, 可以發現在相同股價波動度的情形下, 當兩期 delta 間距越小會使避險帶越小, 此時調整次數有明顯的上升, 且避險績效也隨著避險次數上升而有所改善, 顯示出此避險策略的調整具有其效用, 也就是說, 透過此避險策略進行調整, 可以讓兩期間的投資組合價值差距縮小, 進而達到避險的目的 表 9 以 S 作為避險帶基準點 交易成本 調整價值 兩期 delta 間距 σ= σ= σ= σ= 調整次數 σ= σ= σ= σ= 註 : 調整價值的單位為元, 調整次數的單位為次 28

35 表 10 以 K 作為避險帶基準點 交易成本 調整價值 兩期 delta 間距 σ= σ= σ= σ= 調整次數 σ= σ= σ= σ= 註 : 調整價值的單位為元, 調整次數的單位為次 綜觀表 5 至 10 顯示出, 股價波動度容易對避險績效產生影響, 而股價波動度並不會改變避險策略的調整次數與調整價值 最後比較最小避險帶 ( 兩期 delta 差距為 0) 與最大避險帶 ( 兩期 delta 差距為 0.25), 可以發現兩者的避險績效的差距會隨著股價波動度上升而有所增加, 交易成本的差距則保持不變, 而在 σ=0.1 時兩者幾乎沒有差距, 顯示出在股價波動度過低時縮小避險帶雖然會改善避險績效, 但遠不及交易成本的成長, 而當股價波動加劇時縮小避險帶則可以帶來更好的效果, 故本文在接下來的測試中不使用特定 delta 差距作為主要策略的避險帶, 而是依據股價波動度的變動而改變避險帶大小, 並與其他策略進行比較 第五節 其他策略模擬結果 本節使用蒙地卡羅模擬的資料對本文所介紹的策略進行測試, 並比較其結果, 包含間斷 delta 避險策略 ( 以 DD 表示 ) 停損避險策略( 以 SL 表示 ) 調整後停損避險策略 ( 以 ASL 表示 ) 等策略, 以下會先呈現平均避險誤差 平均標準差避險績效指標代表避險績效, 累計調整價值與累計調整次數的平均值代表交易成本, 並比較這些策略在不同情境下的表現, 如 : 在不同的股價波動度下 起始股價的位置等, 本研究 29

36 之起始股價位置分別為價內 價平 價外, 其中價內之執行價格為 0.97 倍之價平執 行價格 價平之執行價格等於起始股價 價外之執行價格為 1.03 倍之價平執行價格 表 11 其他策略 - 平均避險誤差 DD SL ASL 價內 價平 價外 價內 價平 價外 價內 價平 價外 σ= σ= σ= σ= 註 : 平均避險標準差乘以 10 1 為原始數值 從表 11 可以看出, 以上三種策略之平均避險誤差皆非常接近 0, 表示出利用這些策略所進行調整可以達到避險的目的, 其中間斷 delta 避險策略相較於其他兩者又更加接近, 顯示出在僅考慮平均避險誤差的情況下間斷 delta 避險策略是最佳選擇, 而其他兩者的效果相近並無優劣之分 並且從上述表格可知, 無論是何種策略, 股價波動度對平均避險誤差雖有造成些微變動, 但沒有非常明顯影響, 顯示出此處所列的三個策略在大部分的情況下皆是有效, 並不會因為不同的股價波動度, 使得策略無效化, 而為了近一步了解避險策略的避險效果, 本文會在接下來測試避險策略的穩定程度 表 12 其他策略 避險標準差 DD SL ASL 價內 價平 價外 價內 價平 價外 價內 價平 價外 σ= σ= σ= σ= 註 : 避險標準差乘以 10 1 為原始數值 由表 12 的避險標準差可以看出各種避險策略的穩定程度, 其中間斷 delta 避險 策略在股價波動度大於 0.3 時, 明顯在三者中為最佳, 這個結果並不意外, 因為間斷 30

37 delta 避險策略的調整次數相較於其他兩種避險策略高出數倍, 對於避險穩定程度自然會有很大的幫助, 而其他兩者的避險標準差的差別並不明顯, 綜合平均避險誤差的結果, 可以表示停損避險策略 調整後停損避險策略的避險績效相當, 若僅視其避險標準差指標作結論, 則以後兩種避險策略進行避險的結果不會產生太大的差距, 而間斷 delta 避險策略在股價波動大於 0.3 時, 則明顯優於其他兩者 由於前面敘述可以發現到不同避險策略的調整次數有所不同, 而其不僅僅會影響避險績效, 更會直接影響到避險時的交易成本, 大量的調整次數很可能會造成大量的交易成本, 使得避險失去意義, 故應於追求避險績效相近下, 最低的交易成本之避險策略, 而接下來本文則近一步分析三種策略的交易成本 在實務上, 無論是調整價值或是調整次數皆有可能影響交易成本, 所以在此會一同呈現 表 13 其他策略 調整次數 DD SL ASL 價內價平價外價內價平價外價內價平價外 σ= σ= σ= σ= 註 : 調整次數的單位為次 表 14 其他策略 調整價值 DD SL ASL 價內價平價外價內價平價外價內價平價外 σ= σ= σ= σ= 註 : 調整價值的單位為元 從表 13 表 14 可以看出三種避險策略的調整價值與調整次數在不同情況下的平 均數值, 而可由此得知交易成本的多寡, 其中間斷 delta 避險策略的調整價值介於 31

38 180~240( 元 ) 之間, 特別是選擇權在價平發行時, 其數值皆在 237( 元 ) 左右, 僅有在 σ=0.1 與價外時其數值為 130( 元 ), 而價內與價外發行時則略小於此數值並會依股價波動度上升而成長 ; 停損避險策略之調整價值會隨著調整次數增加而上升, 其數值於價平時約在 620( 元 ) 左右, 但價外與價內則會因股價波動度帶動調整次數上升而增加, 最終接近價平的數值 ; 調整後停損避險策略之調整價值與調整次數無論是在價內 價平或價外, 皆因為股價波動度上升而有所提升, 但其無論在哪一種情況下皆比停損避險策略更低, 而若股價波動度低於 0.3 時, 其調整價值則明顯低於間斷 delta 策略 綜觀平均避險誤差 避險標準差 調整次數 調整價值等指標, 可以發現間斷 delta 避險策略無論在平均避險誤差, 或是避險績效皆有更出色的表現, 但若是包含交易成本 ( 調整次數 調整價值 ), 調整後停損避險策略, 能在低股價波動度時, 達到相近的績效, 而交易成本僅是其 25%~30%, 並且在價外與價內時更是明顯, 而突破執行價格時調整之停損策略經過適當的調整則可以在部分的情況下優於調整後避險策略, 因為其避險績效相似, 而可以有更低的交易成本 總結蒙地卡羅模擬結果, 可以發現若是單純以避險績效為優先的投資人, 在進行選擇權避險時可以直接使用間斷 delta 避險策略, 因為無論在何種股價波動度下, 其避險績效都是三者中最佳的, 但若在考慮交易成本的情形下, 可以在股價波動度較低時使用調整後停損避險策略進行避險, 因為在低股價波動度的環境中, 調整後停損避險策略, 可以在損失些微的避險績效下, 以更低的成本進行選擇權避險, 且在價外時效果又更加明顯 第六節 交叉比對 經由上節測試可以得知, 間斷 delta 避險策略在大部分的情形中都比兩種停損避 險策略更佳, 再進一步結合本文之主要策略 突破執行價格進行調整之停損避險策 32

39 略的結果, 可以發現本文之主要策略並沒有比間斷 delta 策略更出色, 但若經過適當調整兩期 delta 間距, 則可能比另外兩個停損避險策略在避險績效或交易成本上有更好的表現, 在本節中會依據前面所得到的各項績效指標對三種不同的停損避險策略做交叉比對 以下對突破執行價格進行調整之停損避險策略與調整後停損避險策略在股價波 動度於 時, 針對其避險標準差 調整價值與調整次數相互比較, 此處以 避險標準差 S 避險標準差 ASL 1 表示避險績效差距百分比, 調整價值 S 調整價值 ASL 1 與 調整次數 S 調整次數 ASL 1 表示 交易成本差距百分比, 其中分子代表以 S 為基準的突破執行價格進行調整之停損避 險策略的避險標準差與現貨調整價值 ; 分母代表調整後停損避險策略的避險標準差 與現貨調整價值 圖 6 以突破時股價 S 對比 ASL 由上方圖表可以發現以突破時股價 S 為基準點之主要策略相較於調整後停損避險 33

40 策略, 其在交易成本上的表現會隨著股價波動度越大而更具優勢, 而在避險績效上則隨著股價波動上升呈現出較明顯的劣勢, 但股價波動度於 0.3~0.7 之間的情形下, 兩期 delta 間距為 0~0.1 之避險績效劣勢較小, 而在 0.05 ~0.1 之間亦具交易成本的優勢, 綜合以上論述本文認為若股價波動度接近 0.1 時使用 0.2~0.25 之值作為兩期 delta 間距較為適合, 但股價波動度於 0.3~0.7 則使用 0.05~0.1 之值作為兩期 delta 間距 其可依據投資人對與交易成本或是避險績效的優先程度作出選擇, 以下將分子改為以 K 為基準的突破執行價格進行調整之停損避險策略的避險標準差與現貨調整價值, 並進行比對測試 圖 7 以執行價格 K 對比 ASL 若以執行價格 K 作為基準點之主要策略相較於調整後停損避險策略, 同樣在交易成本上的表現會隨著股價波動度越大而更具優勢, 而在避險績效上則隨著股價波動上升呈現出較明顯的劣勢, 但其優劣勢皆比以突破時股價 S 為基準點之主要策略更小, 其中值得注意的是兩期 delta 間距為 0.05 並且股價波動度為 0.5~0.7 時, 不僅在交 34

41 易成本上具有優勢, 且在避險績效上亦有些微的優勢, 由以上的圖表分析, 本文認為以執行價格 K 作為基準點之主要策略在股價波動度為 0.1 附近時, 其兩期 delta 間距為 0.2~0.25 較為適合, 股價波動度為 0.3 時兩期 delta 間距建議設定為 0.1~0.15, 股價波動度為 0.5~0.7 時兩期 delta 間距則建議設定為 0.05~0.1, 其亦可依據投資人對與交易成本或是避險績效的優先程度作出選擇 此處可以發現波動度的高低與選擇之兩期 delta 間距大小呈現負相關, 這也同時呼應本章第四節的結果, 這個現象是因為當波動度較低時, 選擇較大的兩期 delta 間距之避險策略與較小的兩期 delta 間距之避險策略的避險績效的差距較小而交易成本的差距較大, 故在波動較低使用較大的兩期 delta 間距較可節省交易成本且亦不會使避險投資組合的風險有明顯的提升 ; 當波動度較高時, 則因選擇較大的兩期 delta 間距之避險策略與較小的兩期 delta 間距之避險策略的避險績效的差距較大而交易成本的差距較小, 故在波動較高使用較小的兩期 delta 間距較可降低避險投資組合的風險, 若由模型參數方面觀察, 則可以由表示波動度與 gamma 敏感度關係之希臘字母 zomma 來說明, 此處參考 Paul Wilmott(2006) 於 The Best of Wilmott 2 一書中對希臘字母 zomma 的說明,zomma 的定義為 γ,gamma 對波動度 σ 之偏微分, σ Paul Wilmott(2006) 表示在進入深度價內 外之前 zomma 為負值, 這個現象表示波動度與 gamma 在進入深度價內 外之前呈現反向關係, 所以在兩期 delta 間距不變之下, 避險帶會隨波動度變大, 所以若是在波動度較大時選擇較大的兩期 delta 間距, 則會進一步使避險帶放大, 造成調整型停損避險策略與突破執行價格時調整避險帶之停損策略的避險績效差距大幅增加, 而若在波動度較小時, 使用較小的兩期 delta 間距, 則使避險帶進一步縮小, 使交易成本大幅上升, 從而失去避險的意義 35

42 第肆章 實證研究結果 本文實證資料採用 S&P500 指數選擇權之買權與 S&P500 指數 1, 分別代表買權部位與現貨部位, 期間選用 2015/1/1 至 2017/12/31, 共 755 個交易日, 每個交易日代表一次試驗, 共 755 筆, 在理論模擬中所模擬之股價 選擇權價格皆為日內資料, 故理論上實證研究也必須使用日內資料, 但由於日內資料取得較為困難, 所以本文在此僅使用日資料進行檢驗, 使其結果可能會與理論模擬產生誤差 接下來會依照本文所述的四種避險策略進行測試, 此測試以每個交易日做為每次試驗的第一天, 並以當時最接近標的資產價格之執行價格與到期時間距離試驗第一日最近但不少於 14 天之標準作為試驗的買權, 試驗中所使用之利率為美國國庫券 (treasury bill) 年化利率, 並將以上數值帶入 Black 與 Scholes 評價模型取得隱含波動度計算 delta 與 gamma, 之後以賣出買權並買入標的資產作為避險部位的形式建構避險投資組合, 且此避險投資組合符合自我融資策略, 四項指標的計算則與蒙地卡羅模擬試驗相同 以下為實證資料之敘述統計 : 表 15 敘述統計 標的資產價格利率起始選擇權價格執行價格 平均數 標準差 中位數 峰度 偏態 個數 本文之實證資料由王文楷博士提供, 來源為 Chicago Board Options Exchange 之資料庫 36

43 表 16 其他策略 實證結果 平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 SL ASL DD 由表 15 可以看出各項參數大略呈現右偏, 而標的資產價格的峰度為負表示其整體分配較為平坦, 執行價格與標的資產價格之各項數據都較為接近, 表示此試驗有正確選擇本文所預想之買權, 利率整體而言約在 1%~2% 的水準 表 16 可以發現實證測試的結果的避險績效排序與蒙地卡羅模擬相似, 間斷 delta 避險策略相較於其他兩個避險策略依然在避險績效上有較好的表現, 不僅在平均避險誤差更接近零, 且避險標準差則是間斷 delta 避險策略更小, 表示出間斷 delta 策略的避險穩定性更佳 ; 在兩項交易成本指標則可以看出調整後停損避險策略最少, 其次則是間斷 delta 避險策略, 停損避險策略則最多, 此結果也與蒙地卡羅模擬相同 表 17 以 S 為基準調整 實證結果 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 以突破執行價格之股價 S 為基準建立避險帶之停損避險策略, 在實證結果中的表現如上表所示, 如同蒙地卡羅模擬結果, 其避險績效無論是平均避險誤差或是避險標準差都較間斷 delta 避險策略差, 而停損避險策略與調整後停損避險策略, 在平均避險誤差的表現上與以突破執行價格之股價 S 為基準建立避險帶之停損避險策略差距較小, 其避險績效之評判基準應以避險標準差決定, 故可由此處發現以突破執行價格之股價 S 為基準建立避險帶之停損避險策略在兩期 delta 差距為 0, 即僅以突破執 37

44 行價格之股價 S 為基準調整時, 在四項評比標準中都勝過停損避險策略, 但相較於調整後停損避險策略則在兩項評估交易成本的指標上略差, 在兩項評估避險績效的指標上則略好, 而在所有兩期 delta 間距皆沒有四項指標皆明顯較好或皆明顯較差的情形, 故無法比較兩避險策略之優劣 表 18 以 K 為基準調整 實證結果 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 以執行價格 K 為基準建立避險帶之停損避險策略亦可看出上述情形, 其相異之處在於以執行價格 K 為基準建立避險帶之停損避險策略, 在兩期 delta 間距為 0.05 時勝過停損避險策略, 而在與調整後停損避險策略的比較中, 也是在所有兩期 delta 間距皆沒有明顯較好或明顯較差的情形 在實證測試中, 可以看到間斷 delta 避險策略與蒙地卡羅模擬測試的結果相同, 其避險績效明顯優於其他避險策略, 停損避險策略亦是本文所有測試的策略中表現最差的避險策略, 但調整後停損避險策略相較於突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 並沒有蒙地卡羅模擬中較為明顯的優劣關係, 這個結果可能是因為實證測試僅使用日資料, 或是資料選取範圍所造成的 在顯著性測試中本文並未加入間斷 delta 策略, 其原因為間斷 delta 策略之 避險績效明顯好過其他三者, 故沒有進一步測試, 而在之後的測試中也同樣會針對 此五項突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略進行顯著性測試 38

45 接下來本文將 S&P 500 指數趨勢分成漲勢 跌勢與盤整進行分析, 此分類的目的在於觀察避險策略在不同趨勢中的績效, 實際在運作避險的時候, 只能從一些數據的資訊判斷股價未來走勢, 而如何準確的判斷漲跌勢是最重要的地方,Black (1976) 發現當價格報酬率與波動度之間的不對稱關係, 即當價格報酬率低於預期時會使波動度增加, 而當價格報酬率高於預期時會降低波動度, 亦即壞消息比好消息造成更大的波動度 Campbell 與 Hentschel (1992) 以波動度回饋效果探討波動度不對稱的原因, 在價格變動很大而且為正向時, 投資人預期未來市場上波動加劇, 風險將增加, 因此投資人會提高要求報酬率進而使得價格下跌, 這便是回饋作用, 價格下跌抵消了原先價格上漲的幅度, 因此波動度便不如原先影響來得大, 但若一開始價格變動為負向且幅度仍很大時, 投資人增加要求報酬率的結果仍使得價格下跌, 兩種下跌力量加總, 因此造成波動度更為增加 本文運用歷史波動度作為指數漲 跌趨勢的指標, 其隱含該市場投資人對於市場預期的概況, 並與指數具有負向關係 ; 當波動度上升時, 顯示出市場處於一個較為不穩定的狀態, 使市場預期處於悲觀的狀態, 因此市場走勢往往是向下發展 ; 反之當波動度下降時, 表示市場處於較安定的 狀態下, 市場走勢向上的趨勢則較為明顯 本文使用歷史波動度, 進行對未來的 預期, 其取每日前 n 天的股價資料, 計算其標準差 公式文獻參考自 Roger and Satchell (1991), 其公式如下 : n σ = 1 n ln (H i ) ln ( H i ) + ln ( L i ) ln ( L i ) C i O i C i O i i=1 H i 為當日最高股價 ;C i 為當日股票收盤價 ;O i 為當日股票開盤價 ;L i 當日最低股價 ;n 為使用 n 天的歷史資料估計參數, 在本篇研究裡為 30 天 39

46 圖 8 S&P 500 指數與歷史波動度趨勢 由圖 8 所示, 可以發現到歷史波動度與股價指數大致呈現反向關係, 特別在 2015/08 到 2016/05 間, 歷史波動度有較為激烈的變化, 而股價趨勢也有明顯的波動 在此期間股價指數趨勢上揚, 也對照歷史波動度趨勢下降, 這個現象亦反映出, 波動度下降使市場趨於安定, 則市場走勢向上的趨勢 本研究趨勢判斷如下 : 漲勢 跌勢 盤整 樣本個數 歷史波動度 (H) H<0.08 H> <H<0.15 此趨勢判斷指標參考繆維正與韓傳祥 (2009) 中對於 S&P500 指數之歷史波動度與 S&P 500 指數之趨勢判斷, 其文中研究期間為 2001/01 到 2007/07, 而本文研究期間為 2015/01 到 2018/01, 故本研究之趨勢判斷指標亦有進行調整, 以符合本文之研究期間所需 40

47 1. 漲勢 (2015/3/16~4/6 2015/5/22~7/7 2015/11/16~12/3 2016/8/1~2017/12/29) 表 19 其他策略 漲勢 平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 SL ASL DD 表 20 以 S 為基準調整 漲勢 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 表 21 以 K 為基準調整 漲勢 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 從以上表格可以發現, 分類為漲勢的樣本在所有避險策略之平均避險誤差 避險標準差, 相較於未分類之樣本都更低, 這個情形是因為在漲勢時買權之部位之價值上升之可能性增加, 故以賣出買權所組成之避險投資組合, 所持有之避險部位的比例較高, 故賣出買權之損失則與避險部位之利得抵銷從而產生較低的平均避險誤差與避險標準差, 而調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 在調整次數則是微微下降, 而在調整價值則是微微上升 ; 間斷 delta 避險策略與停損避險策略則是在調整次數與調整價值皆有上升的現象 41

48 從漲勢之分類樣本中, 避險策略之優劣排序依舊是沒有變化, 間斷 delta 策略依然有所有策略中最佳避險績效, 但在避險成本上則有可能較其他策略高, 而停損避險策略也依舊在四項指標中敬陪末座, 調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略間, 亦在避險績效指標與交易成本上或互有優劣 2. 跌勢 (2015/8/27~10/ /1/19~3/11) 表 22 其他策略 跌勢 平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 SL ASL DD 表 23 以 S 為基準調整 跌勢 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 表 24 以 K 為基準調整 跌勢 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值

49 當分類樣本為跌勢時, 所有避險策略之平均避險誤差 避險標準差, 相較於未分類之樣本都更高, 停損避險策略則在調整次數與調整價值皆為為下降 ; 間斷 delta 避險策略 調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 則在調整次數上微微上升, 而調整次數微微下降, 避險策略之績效指標的優劣排序依舊沒有明顯的變化, 但值得注意的是調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略在四項指標的差距都明顯縮小, 而以 K 為基準調整避險帶之停損避險策略在兩期 delta 間距為 0.1 時, 其四項指標都較調整後停損避險策略優秀, 而停損避險策略之避險績效優於調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 但間斷 delta 避險還是在避險績效上, 明顯優於其他避險策略 3. 盤整 (2015/1/2~3/ /4/7~5/ /7/8~8/ /10/13~11/ /12/4~2016/1/ /3/14~7/29) 表 25 其他策略 盤整 平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 SL ASL DD 表 26 以 S 為基準調整 盤整 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值

50 表 27 以 K 為基準調整 盤整 兩期 delta 間距平均避險誤差避險標準差調整次數調整價值 當樣本分類為盤整時, 其各項績效指標皆與未分類樣本接近, 間斷 delta 策略依然在避險績效上明顯領先其他策略, 調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 雖然依然在四項指標中互有勝負, 但在避險指標中的差距縮小, 交易成本指標中保持領先差距 綜觀分類比較結果, 可以發現間斷 delta 避險策略雖然在交易成本指標中並非最佳, 但無論是在漲勢 跌勢或是盤整階段, 其避險績效指標皆明顯優於其他避險策略, 停損避險策略則在跌勢時, 避險績效可以比調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略更為優秀 若是著重比較調整後停損避險策略與兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 則可以發現當股價趨勢處於漲勢時, 其四項績效指標互有優劣 ; 當股價趨勢處於跌勢時, 以 K 為基準調整避險帶之停損避險策略在兩期 delta 間距為 0.1 時, 其四項指標都較調整後停損避險策略優秀 ; 當股價趨於盤整時, 調整後停損避險策略相較於兩個突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 在避險指標中的差距縮小, 而交易成本指標中依然保持領先差距 本文進一步針對其中四項突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略對停損避 險策略與調整後停損避險策略進行四項指標之顯著性測試, 結果如下 : 44

51 表 28 SL- 以 S 和 K 為基準之母體差異顯著性測試 未分組資料 策略比較 平均避險誤差 避險標準差 調整次數 調整價值 SL- S (0) (8.92)*** (1.16)* (18.99)*** (20.90)*** SL- S (0.2) (-5.84)*** (0.59)*** (29.21)*** (30.89)*** SL-K(0.1) (10.15)*** (1.03) (23.46)*** (25.81)*** SL-K(0.2) (-1.85) (0.75)*** (27.32)*** (29.21)*** 漲勢 SL- S (0) (1.40) (1.67)*** (12.85)*** (16.94)*** SL- S (0.2) (-9.04)*** (0.53)*** (20.35)*** (24.32)*** SL-K(0.1) (-3.08)* (0.99) (16.74)*** (21.35)*** SL-K(0.2) (-8.52)*** (0.53)*** (19.21)*** (23.34)*** 跌勢 SL- S (0) (-3.25)* (0.53)* (3.83)*** (0.54) SL- S (0.2) (-6.54)*** (0.20)*** (9.13)*** (6.15)*** SL-K(0.1) (-1.72) (0.64)* (5.62)*** (2.43)* SL-K(0.2) (-4.68)*** (0.24)*** (8.21)*** (5.09)*** 盤整 SL- S (0) (-1.04) (1.05) (14.27)*** (13.95)*** SL- S (0.2) (-8.79)*** (0.55)*** (19.69)*** (19.92)*** SL-K(0.1) (-2.94)* (1.02) (15.90)*** (16.46)*** SL-K(0.2) (-7.20)*** (0.80)* (18.37)*** (18.70)*** 註 : 突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略之基準點與其兩期 delta 間距, 表示為 S (N) 或是 K(N), 其中 S 與 K 表示避險帶之基準點,N 表示兩期 delta 間距 45

52 表 29 ASL- 以 S 和 K 為基準之母體差異顯著性測試 S&P 500 指數 策略比較 平均避險誤差 避險標準差 調整次數 調整價值 ASL- S (0) (3.17)* (1.17)* (-17.77)*** (-17.89)*** ASL- S (0.2) (-9.63)*** (0.59)*** (10.48)*** (10.38)*** ASL-K(0.1) (3.05)* (1.03) (-13.03)*** (-13.13)*** ASL-K(0.2) (-6.24)*** (0.76)*** (2.21)* (1.83) 漲勢 ASL- S (0) (8.38)*** (1.87)*** (-14.59)*** (-14.58)*** ASL- S (0.2) (-5.59)*** (0.59)*** (6.05)*** (5.95)*** ASL-K(0.1) (6.27)*** (1.11) (-11.08)*** (-10.97)*** ASL-K(0.2) (-4.00)*** (0.60)*** (-0.42) (-0.60) 跌勢 ASL- S (0) (0.19) (1.37) (-2.85)* (-2.93)* ASL- S (0.2) (-5.85)*** (0.51)* (5.46)*** (5.43)*** ASL-K(0.1) (2.96)* (1.64)* (0.55) (0.53) ASL-K(0.2) (-3.23)* (0.62)* (4.31)*** (4.31)*** 盤整 ASL- S (0) (4.69)*** (0.96) (-10.33)*** (-10.44)*** ASL- S (0.2) (-7.64)*** (0.51)*** (6.94)*** (6.92)*** ASL-K(0.1) (3.10)* (0.94) (-8.10)*** (-8.11)*** ASL-K(0.2) (-5.42)*** (0.74)* (1.61) (1.54) 註 : 突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略之基準點與其兩期 delta 間距, 表示為 S (N) 或是 K(N), 其中 S 與 K 表示避險帶之基準點,N 表示兩期 delta 間距 46

53 在表 28 與 29 中虛無假設為兩策略指標之母體相同, 其中避險標準差使用 F 檢定 (F-test), 其餘三項指標使用 t 檢定 (t-test), 表示在顯著水準為 5% 時顯著 表示在顯著水準為 1% 時顯著, 表格左列為何種突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略之基準點與其兩期 delta 間距對其他策略進行測試, 其表示為 S (N) 或是 K(N), 其中 S 與 K 表示避險帶之基準點,N 表示兩期 delta 間距, 如 : 以 S 為基準調整避險帶之停損避險策略 兩期 delta 間距為 0 則表示為 S (0) 未加入間斷 delta 策略的原因為間斷 delta 策略之避險績效明顯好過其他三者, 故沒有進一步測試 從表 28 與 29 的結果中可以發現多數策略之指標皆具有顯著差異, 特別是突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略對停損避險策略在兩交易成本指標皆為顯著, 且停損避險策略之交易成本較高, 顯示出突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 對於改善停損避險策略之交易成本有明顯的效果, 而部分 S (0) K(0.1) 的兩避險績效指標亦顯著優於停損避險策略, S (0.2) K(0.2) 則普遍在避險績效指標上顯著較差 在突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略對調整後停損避險策略的試驗中, 在交易成本上, 僅 S (0.2) 相對於調整後停損避險策略顯著較佳, K(0.2) 雖然交易成本較低但是與調整後停損避險策略沒有顯著差異, K(0.1) 在跌勢時其四項指標皆優於調整後停損避險策略, 但從表 29 可發現僅兩避險指標呈現顯著, 兩交易成本指標則為不顯著 47

54 第伍章 結論 第一節 研究結果 本文設法以動態避險帶的方式改進繆維正與韓傳祥 (2009) 中固定避險帶之停損避險策略 ( 調整後停損避險策略 ), 並將期運用於選擇權避險中, 並且本研究著重於改善選擇權避險策略之交易成本問題, 本文透過蒙地卡羅法在數種不同波動程度下, 找出所適用的避險策略, 其中避險策略包括間斷 delta 避險策略 停損避險策略 調整後停損避險策略 突破執行價格時調整之停損策略四種, 最後以美國 S&P500 指數選擇權的歷史資料進行實證研究 本研究利用平均避險誤差與避險標準差衡量避險績效 現貨部位的調整價值與調整次數衡量交易成本, 由模擬結果發現間斷 delta 避險策略的避險績效相較於其他三者更好, 但是繆維正與韓傳祥 (2009) 之調整後停損避險策略與本文之突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略在低股價波動度的環境下, 可在稍微損失避險績效的情況下, 有效的改善交易成本問題, 尤其股價起始點在價內 外時, 其交易成本僅是間斷 delta 策略的 20% 至 25%, 而突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略的交易成本又較調整後停損避險策略更低 在實證研究結果的部分, 間斷 delta 避險策略的避險績效明顯較其他避險策略更佳, 而停損避險策略無論是在避險績效或是交易成本方面, 都是這些避險策略中表現最差的 調整後停損避險策略與突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 在這些避險策略中的績效處於中間的位置, 但兩者分別在避險績效與交易成本上各有優勢, 最後將股票走勢分成漲勢 跌勢與盤整後再比較調整後停損避險策略與突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略, 可以發現在漲勢中兩者依舊維持未分類的結果 ; 在跌勢中, 突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略與調整後停損避險策略, 無論在避險績效或是交易成本的差距皆有縮小的現象, 但前者有較後者更優 48

55 秀的現象 ; 在盤整中, 突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略與調整後停損避 險策略的避險績效差距縮小, 但調整後停損避險策略在交易成本差距的優勢依然保 持不變 最後, 本文所發展之突破執行價格時建立避險帶之停損避險策略雖然無法完美 替代繆維正與韓傳祥 (2009) 之調整後停損避險策略, 但本文所發展的策略相較於調 整後停損避險策略, 依然擁有部分優勢, 而本文亦將停損避險策略作進一步的延伸 第二節 研究限制與建議 本研究之主要策略僅停留於改善停損避險策略之交易成本問題, 並僅運用於股價市場之歐式選擇權, 且本文之實證研究採用美國 S&P500 指數中 2015/01/01 至 2017/12/31 共 755 個交易日進行分析, 其中由於日內資料取得困難, 故僅以日資料進行研究, 可能與理論產生誤差, 在實證資料選擇範圍上若是出現例外情況, 則亦會與理論有所差距, 故建議後續研究可增加選取實證資料範圍以避免此情形發生, 並更進一步地擴張避險帶之模型, 如 : 將第三章之泰勒展開式之時間差列入考慮, 或是運用到其他選擇權市場 49

56 中文文獻 參考文獻 1. 周恆志 涂登才與盧陽正,2001, 台灣股票認購權證避險之實證研究- 最適 VaR 避險法與間斷性 Delta 避險法, 風險管理學報,3(2), 周恆志 陳達新 巫春洲,2007, Gram-Charlier GARCH 選擇權演算法的評價與避險績效, 管理與系統,14(1), 陳松男,1999, 在間斷性避險及交易成本下的選擇權評價模型: 以實務觀點修正理論, 風險管理學報,1(2), 涂登才 劉祥熹與林丙輝,2012, 跳躍- 發散與隨機波動模型之衍生性商品最適避險策略 - 快速傅立葉轉換之應用, 證券市場發展季刊,24(4), 蔡立光,1998, 台灣市場認購權證定價模型與避險策略之研究, 中央大學未出版論文 6. 繆維正與韓傳祥,2009, 以衍生性商品進行統計套利之研究, 台北外匯市場發展基金會委託研究計畫 英文文獻 1. Black, F. and Scholes, M. (1973). The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political Economy, 81, Black, F. (1976). Studies of stock price volatility changes. Proceedings of the 1976 Meeting of Business and Economics Statistics Section of the American Statistical Association, 27, Boyle, P. and Vorst, T. (1992). Option Replication in Discrete Time With Transaction Costs, Journal of Finance, 47, Campbell, J. Y. and Hentschel, L. (1992). No news is good news: An asymmetric model of changing volatility in stock returns, Journal of Financial Economics, 31,

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