2013 年 名师模块班 数学运算 沈栋

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1 2013 年 名师模块班 数学运算 沈栋

2 第 01 讲 : 计算问题 === 课前测验 === 测验 1 江苏 2009A 类 -12 对正实数定义运算 * : 若 a b, 则 a*b=b 3 ; 若 a<b, 则 a*b=b 2 由此可知, 方程 3*x=27 的解是 ( ) A. 1 B. 9 C. 3 D. 3 3 测验 2 浙江 设 3/7 用小数来表示时其小数点后第 2010 个数字为 a, 且 b =b +2010, 则 2b+10a -(b+5a) 的值为 : A B C D === 本讲概述 === 计算问题在数学运算部分所占的考查比重日益下降 一定程度上, 这是由于公务员考试 的难度正逐年增大, 而传统计算问题难度往往不高 但也暗示函数分析 符号算式计算 一 元二次方程等过去很少考查的中学数学概念题可能会越来越多的出现的公考中 === 基础知识 === 平方差公式 :a 2 -b 2 =(a+b)(a-b) 完全平方和差公式 :(a±b) 2 =a 2 ±2ab+b 2 立方和差公式 :a 3 ±b 3 =(a±b)(a 2 ab+b 2 ) 韦达定理 : 一元二次方程 ax 2 +bx+c=0, 它的两根 X 1 X 2 有如下关系式 :X 1 + X 2 =- b a,x 1 X 2 = c a === 例题精讲 === 例题 1 安徽 计算 的值为 ( ) A B C D 例题 2 江西 的个位数为 ( ) A. 9 B. 8 C. 6 D. 4 例题 3 河北 的值为 ( ) 19 20

3 A. 1/10 B. 1/20 C. 1/30 D. 1/40 例题 4 浙江 a b=4a+3b, 若 5 (6 x)=110, 则 x 的值为 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 例题 5 浙江 定义 4 5= =30,7 4= =34, 按 此规律,(26 15)+(10 3) 的值为 : A. 528 B. 525 C. 423 D. 420 例题 6 江苏 2009C-11 x-y=1,x 3-3xy-y 3 =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D 例题 7 江苏 2012A-29 已知: x a, 则 x 2 x 4x ( ) a 1 2 A. B. a B. 2a D. a a 例题 8 浙江 如果方程 2x 3 +ax 2-5x-2=0 有一个根为 1, 则 a 等于多少? A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 例题 9 浙江 在平面直角坐标系中, 如果点 P(3a-9,1-a) 在第三象限内, 且横坐标纵坐标都是整数, 则点 P 的坐标是 : A. (-1,-3) B. (-3,-1) C. (-3,2) D. (-2,-3) === 课后练习 === 练习 1 江苏 2009B-71 对任意实数 a b c, 定义运算 * : a*b*c=a b -b c +c a, 若 1*x*2=2, 则 x=( ) A. 2 B. -2 C. 0 D. ±1 练习 2 安徽 已知 a+b=8,ab=-20, 则 (a-b)a 3 +(b-a)b 3 =( ) A. 96 B. -96 C D 练习 3 浙江 已知两个数 a,b 的积是 3 4, a 和是 2, 且 a>b, 则的值是 ( ) b A. 3 B. 7 2 C. 4 D. 9 2

4 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 将选项代入, 根据新定义的运算符号进行验证, 仅 D 正确 测验 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 3/7 是一个循环小数, 循环节是 , 周期是 6, 而 2010 明显是 6 的倍数, 所以第 2010 位应该是 1, 即 a=1; b =b+2010 中, 如果 b 是正数, 那么 b =b, 代入发现矛盾, 所以 b =-b, 代入可得 b=-1005 把 a 和 b 的值代入 2b+10a -(b+5a), 得到 3000 例题 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 根据尾数, 可知最后两位 ( 即小数点之后 ) 为 =90, 据此可知答案 为 B 例题 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 乘方尾数问题, 相加的三项的尾数分别等同于 的尾数, 也即三项的尾数 分别为 9 4 6, 因此原加和的尾数为 9 例题 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 代入公式, 原式 =( ) 1 1 = 1 30 例题 4 [ 答案 ] D [ 解析 ] 按照新定义运算展开, 可得 (4 6+3x)=110, 解得 x=2 例题 5 [ 答案 ] A [ 解析 ] 根据题意,26 15= =(26+40) 15 2=495,10 3= =33, 因此原式 =528 例题 6 [ 答案 ] A [ 解析 ] x 3-3xy-y 3 =x 3 -y 3-3xy=(x-y)(x 2 +xy+y 2 ) -3xy=x 2-2xy+y 2 =(x-y) 2 =1 秒杀技根由题意对 x y 并无具体限制, 故可直接赋值代入计算 令 x=1,y=0, 代入马 上可知新算式结果为 1 例题 7 [ 答案 ] C [ 解析 ]

5 x x x x x x ( ( ) 4) ( a )( a ( a ) 4) 2 a a a ( a )( a a ) 2 a a a 2a 2 2 2a 实战微言令 a=1, 可得 x=0, 此时题中算式结果为 2, 因此可排除选项 A B; 令 a=4, 可得 x=9/4, 此时题中算式结果为 8, 据此排除选项 D 答案为 C 例题 8 [ 答案 ] C [ 解析 ] 将 x=1 代入, 可以解得 a=5 例题 9 [ 答案 ] B [ 解析 ] 点 P 在第三象限, 因此 :3a-9<0,1-a<0, 得到 1<a<3, 所以 a 只能是 2, 代入 可知点 P 的坐标为 (-3,-1) 练习 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 直接应用所规定的运算法则,1*x*2=1 x -x =-x 2 +3=2, 因此 x=±1 练习 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] (a-b)a 3 +(b-a)b 3 =(a-b)(a 3 -b 3 )=(a-b)(a-b)(a 2 +ab+b 2 )=(a-b) 2 [(a+b) 2 -ab] =[(a+b) 2-4ab][ (a+b) 2 -ab]=[8 2-4 (-20)] ( )=12096 练习 3 [ 答案 ]A 3 3 [ 解析 ] 由题意可得 : ab, a b 2 联立解得 a, 1 a b, 故 b 实战微言根据题目两式及韦达定理, 可知 a 和 b 是二次方程 4x 2-8x+3=0 的两个根, 通过因式分解也可快速解出 a 和 b 的值

6 第 02 讲 : 多位数问题 === 课前测验 === 测验 1 江苏 2008A-15 在 999 张牌上分别写上数 甲 乙两人分这些纸牌, 分配办法是 : 凡纸牌上写的三位数字的三个数码都不大于 5 的纸牌属于甲, 凡牌上有一个或一个以上的数码大于 5 的纸牌属于乙 例如, 等属于甲, 而 等属于乙, 则甲分得牌的张数为 ( ) A. 215 B. 216 C. 214 D. 217 测验 2 河北 要把 21 棵桃树栽到街心公园里 5 处面积不同的草坪上, 如果要求每块草坪必须有树且所栽棵数要依据面积大小各不相同, 面积最大的草坪上至少要栽几棵? A. 7 B. 8 C. 10 D. 11 === 本讲概述 === 多位数问题考查背景简单, 命题清晰易懂, 能较好地考查考生的分析能力与构造能力, 在公务员考试中考查频率一直较高 考查难度浮动较多, 既有可以通过代入排除迅速求解的 考题, 也有需要多步推理判断方可确定的考题 === 例题精讲 === 例题 1 北京应届 有一个两位数, 如果把数码 1 加在它的前面, 那么可以得到一个三位数, 如果把 1 加在它的后面, 那么也可以得到一个三位数, 而这两个三位数相差 414, 求原来的两位数 A. 35 B. 43 C. 52 D. 57 例题 2 国考 用六位数字表示日期, 如 表示 1998 年 7 月 16 日, 如用 这种方法表示 2009 年的日期, 则全年中六个数字都不相同的日期有多少个?( ) A. 12 B. 29 C. 0 D. 1 例题 3 内蒙古 公园里对 300 棵珍稀树木依次从 进行编号, 那么出现数 字 1 有多少次? A. 148 B. 152 C. 156 D. 160

7 例题 4 四川 一个自然数(0 除外 ), 如果它顺着数和倒过来数都是一样的, 则称这个数为 对称数 例如,2,101,1331 是对称数, 但 220 不是对称数 由数字 组成的不超过 3 位数的对称数个数有 ( ) 个 A. 9 B. 12 C. 18 D. 21 例题 5 国考 某机关 20 人参加百分制的普法考试, 及格线为 60 分,20 人的平均成绩为 88 分, 及格率为 95% 所有人得分均为整数, 且彼此得分不同 问成绩排名第十的人最低考了多少分?( ) A. 89 B. 88 C. 91 D. 90 例题 6 江苏 2012B-94 一学生在期末考试中 6 门课成绩的平均分为 92.5 分, 且 6 门课的成绩是互不相同的整数, 最高分是 99 分, 最低分是 76 分, 则按分数从高到低居第三的那门课至少得分为 ( ) A. 93 B. 95 C. 96 D. 97 例题 7 浙江 有一个上世纪 80 年代出生的人, 如果他能活到 80 岁, 那么有一 年他的年龄的平方数正好等于那一年的年份 问此人生于哪一年? A 年 B 年 C 年 D 年 例题 8 国考 某校按字母 A 到 Z 的顺序给班级编号, 按班级编号加 给每位学生按顺序定学号, 若 A-K 班级人数从 15 人起每班递增 1 名, 之后每班按编号顺序递减 2 名, 则第 256 名学生的学号是多少? A. M12 B. N11 C. N10 D. M13 === 课后练习 === 练习 1 江西 某次考试中, 小林的准考证号码是个三位数, 个位数字是十位数 字的 2 倍, 十位数字是百位数字的 4 倍, 三个数字的和是 13, 则准考证号码是 ( ) A. 148 B. 418 C. 841 D. 814 练习 2 浙江 用数字 0 1 2( 既可全用也可不全用 ) 组成的非零自然数, 按 从小到大排列, 问 1010 排在第几个? A. 30 B. 31 C. 32 D. 33 练习 3 国考 人参加 7 项活动, 已知每个人只参加一项活动, 而且每项活 动参加的人数都不一样 那么, 参加人数第四多的活动最多有几人参加?( )

8 A. 22 B. 21 C. 24 D. 23 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 位数固定, 为三位数, 依次考虑各个数位 : 百位数字的每个数位都不大于 5, 即 0 到 5 六种选择 ; 同理, 十位与个位数字均有 6 种选择 因此所有满足甲要求的三位数共有 6 6 6=216, 去掉不符合条件的 000, 所以甲分得牌为 216-1=215 张 测验 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 面积最大的植树最少, 则其余面积植树尽可能多, 又互不相同, 则五个数接近构成一个等差数列 注意到 21 5=4.2, 据此构造 , 加和为 20, 还余下 1 棵只能种在面积最大的草坪上 因此面积最大的草坪上至少要栽 7 棵 例题 1 [ 答案 ]D [ 解析 ] 直接代入选项进行验证即可 例题 2 [ 答案 ]C [ 解析 ] 根据题目条件, 显然要知道有多少个符合要求的日期, 只需实际构造即可, 而在构造的过程中, 显然顺序是先安排月份, 再安排具体日期 假设 2009 年 AB 月 CD 日, 满足要求, 它可以简写成 09ABCD 由于月份当中不能有 0, 所以不能是 月, 而 11 月有两个 1, 也应该排除, 故 AB=12; 此时原日期可简写成 0912CD, 由于已经出现了 0 1 2, 所以肯定不是 号, 而 31 号里又有 1 了, 排除 因此满足题目要求的日期为 0 个 例题 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 位数固定 先考虑个位出现 1, 十位有 10 种选择, 百位有 3 种选择, 共计 30 种 ; 十位出现 1, 同理有 30 种 ; 百位出现 1, 十位与个位均有 10 种选择, 共计 100 种 因此 1 共出现 =160 次 例题 4 [ 答案 ]C [ 解析 ] 位数不固定, 先按位数进行分类, 然后对每类分别计数 一位数有 3 种情况, 分别为 1 2 3( 注意 0 是被排除的 ); 两位数有 3 种情况, 分别为 ; 三位数要为对称数, 则百位数字与个位数字相同, 只有 3 种选择, 而十位数字可以为任意情况, 故有 4 种选择, 因此符合要求的三位数有 3 4=12 个 对称数总共有 18 个 例题 5 [ 答案 ]A [ 解析 ] 要使第十名成绩尽可能的低, 那么其他人应该尽可能的高, 那么前九名应该分别为 分, 而最后一名未及格, 最多 59 分, 此十人成绩之和为 923, 还剩 837 分 现要把这 837 分分给其余 10 个人, 而在这 10 个人成绩排名第十的人成绩最高, 要使其得分最低, 则这 10 人的成绩应尽可能接近 易知此 10 人平均分为

9 83.7, 据此可构造 , 因此成绩排名第十的人最低 考了 89 分 例题 6 [ 答案 ] B [ 解析 ] 该生 6 门成绩和为 =555, 除去最高分 99 分 最低分 76 分, 还剩 380 分, 分给其余 4 门课程 居第三的那么课成绩尽可能低, 则第二门课成绩尽可能高, 最高为 98 分 此时剩余从第三门课到第五门课成绩之和为 282, 平均分为 94 分, 据此构造三门成绩为 分, 满足要求 因此从高数起的第三门最低为 95 分 例题 7 [ 答案 ] A [ 解析 ] 根据题意可知该人年龄介于 1980 与 2060 之间, 其中能满足年份数为平方数的仅 2025 年,2025=45 45, 因此该人出生年份为 =1980 例题 8 [ 答案 ]D [ 解析 ] 此题对应数列呈先升后降趋势, 根据题意可明确给出班级人数数列, 待求第 256 名学生的位置 由题意知 A 班有 15 人,B 班 16 人,, 递增到 K 班 25 人, 然后 L 班 23 人, 逐班减少 结合四个选项可知第 256 名学生不是在 M 班, 就是在 N 班, 此即帮助限定范围 于是直接计算从 A 班到 L 班的学生总数为 = =243 2 人, 距离 256 为 13, 故可知第 256 名学生的学号为 M13 练习 1 [ 答案 ]A [ 解析 ] 直接代入选项, 由 个位数字是十位数字的 2 倍 排除 B C D, 选 A 练习 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 本题实际求由 构成的数字中, 小于 1010 的有多少个 位数不固定, 先按位数分类, 再对每类进行计数 显然组成的非零一位数有 2 个 ; 两位数有 2 3=6 个 ; 三位数有 2 3 3=18 个 ; 四位数中比 1010 小的为 共计 3 个 故 1010 排在第 30 位 练习 3 [ 答案 ]A [ 解析 ] 要保证 第四多的活动越多越好, 那么就要求 其他活动的人越少越好 其中有三个比其多, 另外三个比其少, 比 第四多 的少的最少就是 1 2 3, 还剩 =94, 剩下四个活动需要尽量的接近, 以保证 第四多 能够尽可能的多, 所以最好是四个连续的自然数,94/4=23.5, 所以这四个数分别为

10 第 03 讲 : 平均数问题 === 课前测验 === 测验 1 黑龙江 2009B-9 小明前三次数学测验的平均分数是 88 分, 要想平均分数达到 90 分, 他第四次测验至少要多少分?( ) A. 98 分 B. 96 分 C. 94 分 D. 92 分 测验 2 四川 某单位的招聘考试有 1000 人报名, 录取了 150 人, 被录取者比未被录取者的平均成绩高 38 分, 两者总平均分是 55 分, 录取分数线比录取者的平均成绩少 6.3 分, 则录取分数线是 ( ) 分 A B. 81 C. 83 D === 本讲概述 === 平均数问题在公务员考试中考查频率逐渐上升, 考查内容围绕平均数公式展开, 试题难 度较低 === 基础知识 === 平均数公式 : 总和 = 平均数 项数 多数平均数问题都是以此公式为基础, 进行总和与具体项之间的转化 其中一个特例是 在等差数列中, 平均数恰好为中位数 === 例题精讲 === 例题 1 河北 有六个人的平均年龄是 16 岁, 把其中一个人换成另外一个 13 岁少年后, 再增加一个 20 岁的青年, 这七个人的平均年龄则变为 18 岁 被换掉的那个人的年龄是多少?( ) A. 6 岁 B. 3 岁 C. 5 岁 D. 4 岁 例题 2 河南 有四个数, 去掉最大的数, 其余三个数的平均数是 41, 去掉最小 的数, 其余三个数的平均数是 60, 最大数与最小数的和是 95 则这四个数的平均数是 ( ) A B C D

11 例题 3 国考 某单位共有 A B C 三个部门, 三部门人员平均年龄分别为 38 岁 24 岁 42 岁 A 和 B 两部门人员平均年龄为 30 岁,B 和 C 两部门人员平均年龄为 34 岁 该单位全体人员平均年龄为多少岁? A. 34 B. 36 C. 35 D. 37 例题 4 北京 某学生参加了六次测验, 第三 四次的平均分比前两次的平均分多 2 分, 比后两次的平均分少 2 分, 如果后三次平均分比前三次平均分多 3 分, 那么第四次比第三次多得几分?( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 例题 5 四川 有一列数, 第一个数是 90, 第二个数是 80, 从第三个数开始, 每一个数都是它前面两个数的平均数, 则第 100 个数的整数部分是 ( ) A. 80 B. 83 C. 85 D. 87 例题 6 江苏 2011C-31 已知数据 , 用这 8 个数分别 减去其平均数, 所得 8 个数值的和为多少? A. 3 B. 2 C. 0 D. -3 例题 7 黑龙江 2009A 类 -6 一杯糖水, 第一次加入一定量的水后, 糖水的含糖百分比为 15%; 第二次又加入同样多的水, 糖水的含糖量百分比为 12%; 第三次加入同样多的水, 糖水的含糖量百分比将变为多少? A. 8% B. 9% C. 10% D. 11% 例题 8 国考 某市气象局观测发现, 今年第一 二季度本市降水量分别比去年同期增加了 11% 和 9%, 而两个季度降水量的绝对增量刚好相同 那么今年上半年该市降水量同比增长多少? A. 9.5% B. 10% C. 9.9% D. 10.5% === 课后练习 === 练习 1 黑龙江 有四个数, 其中每三个数的和分别是 , 那么 这四个数中最小的一个数是多少? A. 12 B. 18 C. 36 D. 45

12 练习 2 陕西事业单位 A B C D E 五个人做蛋糕 已知 A B C 平均做 21 个,B C D 平均做 19 个,D E 平均做 22 个, 其中 E 比 D 多做 2 个, 则 A 做了多少个? A. 25 B. 20 C. 27 D. 28 练习 3 吉林 2010 甲级 -7 某班一次期末数学考试成绩, 平均分为 95.5 分, 后来发现小 林的成绩是 97 分误写成 79 分 再次计算后, 该班平均成绩是 分 则该班人数是 ( ) A. 30 人 B. 40 人 C. 50 人 D. 60 人 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 如果第四次测验后平均分数达到 90 分, 则总分为 90 4=360 分, 第四次测验至少 要 =96 分 测验 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 假设未被录取者平均分数为 M 分, 则被录取的人数平均分为 M+38 分, 两者总平均分为 55 分, 由总成绩等式 :( )M+150(M+38)= , 均可得到 M= 49.3, 因此被录取者平均成绩为 87.3, 因此录取分数线为 =81 例题 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 假设被换掉的那个人年龄为 x, 则可知 16 6-x+13+20=18 7, 解得 x=3 例题 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 将所有情况合在一起看作整体, 恰好是每个数字被计算两次, 因此平均数 =( ) 2 4=49.75 例题 3 [ 答案 ]C [ 解析 ] A 和 B 部门各自平均年龄为 岁, 混合后平均年龄为 30 岁, 假定两部门的人数分别为 X Y, 可得 38X+24Y=30(X+Y), 可得 X:Y=3:4; 类似可知 B 和 C 两部门的人数之比为 4:5 据此分别对 A B C 三部门的人数赋值为 3 4 5, 则总的平均年龄 为 35 岁 例题 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 用带圈数字表示六次测验成绩, 假定 :1+2=M, 则可知 :3+4=M+4,5+ 6=M+8, 由题意 :4+5+6-(1+2+3)=3 3, 可得 4+M+8-(3+M)= 9, 也即 4-3=1 例题 5 [ 答案 ]B

13 [ 解析 ] 此题看似困难, 实际上只需要写出前面的几个数, 当出现连续两个数的整数部分相同后, 之后每项的整数部分不再变化 ( 这是本题的关键! 这个结论由平均数的自然特性可以推出 ) 给定数列前面的数字为 , 出现符合要求的数字, 之后的所有数字整数部分将保持 83 不变, 因此第 100 个数的整数部分也为 83 例题 6 [ 答案 ] C [ 解析 ] 有几个数则平均数被减几次, 于是可知减去数值的总和恰为原所有数字之和, 故差 值为 0 例题 7 [ 答案 ] C [ 解析 ] 对溶液浓度成立 : 溶质 = 溶液量 浓度 在本题中容易看出溶质保持不变, 而浓度发生变化, 符合调和平均数数学模型 其中第二次的溶液的 2 倍, 相当于将第一次的溶液与第三次的溶液混在一起, 故第二次的浓度实际是第一次与第三次溶液浓度的调和平均数 由公式得 :12%= 2 15% C, 解得 C=10% 15% C 例题 8 [ 答案 ] C [ 解析 ] 去年每个季度的降水量 该季度的增长率 = 该季度增量, 而季度增量相同 而去年第一季度的降水量 去年两季度降水量 /2 第二季度的降水量三者显然成等差数列, 换言之第一季度的增长率 两季度混合增长率 第二季度的增长率符合调和平均数情形, 由调和平 2 11% 9% 均数公式可知两季度合在一起的增长率 = =9.9% 11% 9% 练习 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 将 直接相加, 可知其值等于原来四个数之和的 3 倍, 于是可知原四个数字之和为 ( ) 3=64, 因此最小的数 =64-52=12 秒杀技 45 为最小的三个数之和, 平均数为 15, 则最小的数必然小于 15, 仅 A 符合 练习 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由题意可得如下方程 :A+B+C=21 3=63,B+C+D=19 3=57,E+D=22 2=44,E-D=2 由前两个方程消去 B+C, 可得 A-D=6; 由后两个方程消去 E, 可得 D =21 由此可知 A=27 练习 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 总和差值只由小林的成绩变化引起, 其值为 97-79=18 分 ; 平均值前后差值为 =0.45 分 因此该班人数为 =40 实战微言由平均数公式可推出 : 总和差值 = 个数 平均数差值

14 第 04 讲 : 工程问题 === 课前测验 === 测验 1 上海 个人用 3 分钟时间可以把 3 只箱子装上卡车, 按这个工作效率, 如用 1 小时 39 分钟把 99 只箱子 ( 假设每只箱子的重量是一样的 ) 装上卡车, 需要 ( ) 个人 A. 3 B. 9 C. 18 D. 99 测验 2 山东 某蓄水池有一进水口 A 和一出水口 B, 池中无水时, 打开 A 口关闭 B 口, 加满整个蓄水池需 2 小时 ; 池中满水时, 打开 B 口关闭 A 口, 放干池中水需 1 小时 30 分钟 现池中有占总容量 1/3 的水, 问同时打开 A B 口, 需多长时间才能把蓄水池放干? A. 90 分钟 B. 100 分钟 C. 110 分钟 D. 120 分钟 测验 3 江西 某工程, 甲单独完成需要 8 天, 乙单独完成需要 4 天 当甲做到工程的一半时, 需要换成乙来做, 乙做到剩余工程的一半时, 又换甲来做, 甲又做了剩余工程的一半, 再次换成乙来全部做完 问完成整个工程花了多少天? A. 5.5 天 B. 6 天 C. 6.5 天 D. 7 天 === 本讲概述 === 工程问题是公务员考试的热点题型, 是一类非常重要的比例问题 在工程问题中, 效率 是解题的关键, 无论是列方程还是分析各量关系, 都要选择效率作为思考的着眼点 侧重把 握效率与时间相互影响关系能力 === 基础知识 === 工程问题核心公式 : 工作总量 = 工作时间 工作效率由上述公式可知, 在工作总量不变时, 工作时间与工作效率成反比 在工程问题中, 效率是解题的关键, 无论是列方程还是分析各量关系, 都要选择效率作为思考的着眼点 === 例题精讲 ===

15 例题 1 上海 2012A-59 某工厂有学徒工 熟练工 技师共 80 名, 每天完成 480 件产品的任务 已知每天学徒工完成 2 件, 熟练工完成 6 件, 技师完成 7 件, 且学徒工和熟练工完成的量相等, 则该厂技师人数是熟练工人数的 ( ) 倍 A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 例题 2 江苏 2011C-28 赵 钱 孙 3 人共同完成一项工程, 赵 钱合作 8 天完成工程 的 40%, 钱 孙合作 2 天完成工程的 20%, 然后 3 人合作 3 天完成剩余工程,3 人工作效率 由高到低的排序是 ( ) A. 孙 赵 钱 B. 钱 赵 孙 C. 赵 孙 钱 D. 孙 钱 赵 例题 联考 一项工程, 甲一人做完需 30 天, 甲 乙合作完成需 18 天, 乙 丙合作完成需 15 天, 甲 乙 丙三人共同完成该工程需 ( ) A. 10 天 B. 12 天 C. 8 天 D. 9 天 例题 4 国考 某项工程由 A B C 三个工程队负责施工, 他们将工程总量等额分成了三份同时开始施工 当 A 队完成了自己任务的 90%,B 队完成了自己任务的一半, C 队完成了 B 队已完成任务量的 80%, 此时 A 队派出 2/3 的人力加入 C 队工作 问 A 队和 C 队都完成任务时,B 队完成了其自身任务的 ( ) A. 80% B. 90% C. 60% D. 100% 例题 5 国考 甲 乙 丙三个工程队的效率比为 6:5:4, 现将 A B 两项工作量相同的工程交给这三个工程队, 甲队负责 A 工程, 乙队负责 B 工程, 丙队参与 A 工程若干天后转而参加 B 工程 两项工程同时开工, 耗时 16 天同时结束 问丙队在 A 工程中参与施工多少天? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 例题 6 江苏 2012A-27 某项工程, 小王单独做需 15 天完成, 小张单独做需 10 天完成 现在两人合做, 但中间小王休息了 5 天, 小张也休息了若干天, 最后该工程用 11 天完成 则小张休息的天数是 ( ) A. 6 B. 2 C. 3 D. 5 例题 联考 单独完成某项工作, 甲需要 16 小时, 乙需要 12 小时, 如果按照甲 乙 甲 乙 的顺序轮流工作, 每次 1 小时, 那么完成这项工作需要多长时间? A. 13 小时 40 分钟 B.13 小时 45 分钟 C.13 小时 50 分钟 D.14 小时

16 例题 8 北京 三个快递员进行一堆快件的分拣工作, 乙和丙的效率都是甲的 1.5 倍 如果乙和丙一起分拣所有的快件, 将能比甲和丙一起分拣提前 36 分钟完成 问如果甲乙丙三人一起工作, 需要多长时间能够完成所有快件的分拣工作?( ) A. 1 小时 45 分 B. 2 小时 C. 2 小时 15 分 D. 2 小时 30 分 === 课后练习 === 练习 1 江苏 2012C-27 一项工程甲单独完成需 12 天, 乙单独完成需 9 天, 若甲先做若 干天后, 改由乙接着做共用 10 天完成, 则甲做的天数是 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 练习 2 江苏 2011A-34 赵 钱 孙 3 人共同完成经费为 元的工程, 赵 钱合作 8 天完成工程的 40%, 钱 孙合作 2 天完成工程的 20%,3 人合作 3 天完成剩余工程, 根据完成工作量分配经费,3 人的经费由高到低的排序是 ( ) A. 孙 赵 钱 B. 钱 赵 孙 C. 赵 孙 钱 D. 孙 钱 赵 练习 3 江苏 2012B-93 甲 乙合作一项工作需 15 天才能完成 现甲 乙合作 10 天后, 乙再单独做 6 天, 还剩下这项工作的 1/10, 则甲单独做这项需要的天数是 ( ) A. 40 B. 38 C. 36 D. 32 练习 4 国考 同时打开游泳池的 A B 两个进水管, 加满水需 1 小时 30 分钟, 且 A 管比 B 管多进水 180 立方米 若单独打开 A 管, 加满水需 2 小时 40 分钟 则 B 管每分钟进水多少立方米? A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 练习 5 江苏 2011B-88 修一条公路, 假设每人每天的工作效率相同, 计划 180 名工人 1 年完成, 工作 4 个月后, 因特殊情况, 要求提前 2 个月完成任务, 需要增加工人多少名? A. 50 B. 65 C. 70 D. 60 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 3 个人用 3 分钟可以装 3 只箱子, 说明 3 个人 1 分钟可以装 1 只箱子, 因此要用 99 分钟装 99 只箱子, 显然仍然是 3 人即可完成 测验 2 [ 答案 ] D

17 [ 解析 ] 根据题意可知 A 进水效率为 1/120,B 放水效率为 1/90, 因此两者合起来放水效率 为 1/90-1/120=1/360 因此放完容量 1/3 的水, 需要时间为 120 分钟 测验 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 设总工程量为 24, 甲的效率为 3, 乙的效率为 6 由题意安排, 可知, 甲做的量为 12+3=15, 乙做的量为 6+3=9, 因此整个工程的时间为 =6.5 天 例题 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由学徒工和熟练工完成的量相等, 结合效率可知学徒工和熟练工的人数之比为 3:1 设熟练工人数为 x, 学徒工人数为 3x, 技师人数为 y, 根据题意 3x+x+y=80,6x+6x+7y=480, 解得 x=5,y=60 因此技师是熟练工人数的 12 倍 例题 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 由题意, 假定工程总量为 100, 则根据题意可知效率满足 : 赵 + 钱 =5, 钱 + 孙 =10, 于是可知孙 > 赵, 排除 BC 选项 ; 又由 3 人合作情况知 : 赵 + 钱 + 孙 =40/3, 由此可知赵一天约做 3, 因此钱一天约做 2, 于是赵 > 钱, 排除 D 答案为 A 例题 3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 赋值总工程量为 90, 则甲效率为 3, 甲乙合作效率为 5, 故乙的效率为 2; 而乙丙合 作效率为 6, 故丙的效率为 4 于是甲乙丙效率之和为 9, 故三人合作该工程需要 10 天 例题 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 设工程总量为 300, 则第一阶段,A B C 分别完成 , 也即 A B C 三队效率之比为 9:5:4 第二阶段, 人员调整之后, 效率之比为 3:5:10, 而剩余工作量 分别为 , 因此三队完成剩余部分所需时间之比为 10/3:50/5:60/10=5:15:9, 因此当 A 队和 C 队完成任务时,B 队完成了 =30 因此此时 B 队完成了其自身任务的 (50+30) 100=80% 例题 5 [ 答案 ]A [ 解析 ] 根据题目给出的效率比, 直接赋值三个工程队的效率分别为 6 5 4, 并假设丙队参与 A 工程 X 天, 则根据题意可得 X=5 16+4(16-X), 解得 X=6 实战微言根据题目中的效率比, 直接赋值三个工程队的效率分别为 6 5 4, 将两工程合在一起看整体, 则三个工程队一天的工作量为 6+5+4=15, 则 16 天的总工作量为 =240, 于是 A 工程的工作量为 120, 其中甲完成了 6 16=96, 则丙需要参与 (120-96) 4=6 天 例题 6 [ 答案 ] D [ 解析 ] 赋值工程总量为 30, 则小王效率为 2 小张效率为 3 假定小张工作 x 天, 则根据题 意可得 :2 6+3x=30, 解得 x=6 因此小张休息了 5 天 例题 7 [ 答案 ]B

18 [ 解析 ] 设工作总量为 48, 则甲 乙的效率分别为 3 4, 因此甲乙工作一轮的工作量为 7, 因 此甲乙可以先轮流 6 轮 完成 6 轮后, 还剩工作量为 6, 此后甲又工作一小时, 完成工作量 为 3, 还剩 3, 需要乙用 45 分钟 因此完成这项工作需要 13 小时 45 分钟 例题 8 [ 答案 ] C [ 解析 ] 比例法 由题意可知甲效率为 2 份, 则乙和丙的效率均为 3 份 因此乙丙合作效率为 6, 甲丙合作效率为 5, 同等工作量, 则时间之比为效率反比, 因此乙丙合作时间与甲丙合作时间之比为 5:6, 前者比后者少 36 分钟, 可知乙丙完成所有分拣任务需要 180 分钟 由乙丙合作效率与甲乙丙合作效率之比为 6:8, 可知完成所有分拣所用时间之比为 4:3, 因此甲乙丙合作所需时间为 180 3/4=135 分钟, 合计 2 小时 15 分钟 练习 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 赋值工程量为 36, 则甲 乙效率分别为 3 4 根据题意假设甲的工作天数为 x, 则 有 3x+4(10-x)=36, 解得 x=4 练习 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假定孙 赵 钱分别表示三人一天完成的工程费, 根据题意可得 8 赵 +8 钱 = %,2 钱 +2 孙 = %,3 赵 +3 钱 +3 孙 = % 解得 : 赵 =1680, 钱 =840, 孙 =4200, 因此可看成每天所获经费钱为 1 份 赵为 2 份 孙为 5 份 因此赵的经费为 11 2=22 份, 钱的经费为 13 1=13 份, 孙的经费为 5 5=25 份, 故排序为孙 赵 钱 练习 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 赋值工程总量为 30 份, 则甲乙合作效率为 2 份, 合作 10 天后, 还剩 10 份, 除去最后剩余的 3 份, 可知乙单独做 6 天完成 7 份, 因此乙的效率为 7/6 份, 故甲的效率为 5/6 份 甲单独做完这项工程需要 30 5/6=36 天 练习 4 [ 答案 ]B [ 解析 ] 设 B 管每分钟进水 x 立方米, 则 A 管每分钟进水为 x+2 立方米, 根据题意可得 (2x +2) 90=(x+2) 160, 解得 x=7 练习 5 [ 答案 ] D [ 解析 ] 已完成 4 个月, 还剩 8 个月的工程 若提前 2 个月完成, 则用时前后比为 4:3, 从而效率之比为 3:4, 可以理解为原先效率为 3 份, 要提前完工, 效率需增加到 4 份, 而效率是由工人数目来决定, 故可知新增工人数为原人数的 1/3, 即 60 人

19 第 05 讲 : 浓度问题 === 课前测验 === 测验 1 江苏 2007A 类 -14 杯中原有浓度为 18% 的盐水溶液 100ml, 重复以下操作 2 次, 加入 100ml 水, 充分配合后, 倒出 100ml 溶液, 问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?( ) A. 9% B. 7.5% C. 4.5% D. 3.6% 测验 2 贵州 要将浓度分别为 20% 和 5% 的 A B 两种食盐水混合配成浓度为 15% 的食盐水 900 克, 问 5% 食盐水需要多少克? A. 250 B. 285 C. 300 D. 325 === 本讲概述 === 浓度问题是又一类典型的比例问题, 问题难度不大, 更侧重对基础知识的理解与掌握 溶质 溶剂 溶液三者之间的关系, 是浓度问题解题的基础与关键 因此浓度问题是典型的 三量关系型问题 === 基础知识 === 浓度问题核心公式 : 浓度 = 溶质 溶液, 溶液 = 溶质 + 溶剂 浓度问题涉及浓度 溶质 溶液三个量, 主要考查三个量的相互转化关系, 特别是各个 量的变化对浓度的影响 === 例题精讲 === 例题 1 江西 从一瓶浓度为 20% 的消毒液中倒出 2/5 后, 加满清水, 再倒出 2/5, 又加满清水, 此时消毒液的浓度为 ( ) A.7.2% B.3.2% C.5.0% D.4.8% 例题 2 云南 有一瓶水, 将它倒出 1/3, 然后倒入同样多的酒精, 再将此溶液倒出 1/4 后又倒进同样多的酒精, 第三次倒出此溶液的 1/5 后又倒进同样多的酒精, 问此时的酒精浓度是多少? A. 70% B. 65% C. 60% D. 55% 例题 3 浙江 一容器内有浓度为 30% 的糖水, 若再加入 30 千克水与 6 千克糖 则糖水的浓度变为 25% 问原来糖水中含糖多少千克? A. 15 B. 18 C. 21 D. 24

20 例题 4 安徽 在某状态下, 将 28g 某种溶质放入 99g 水中恰好配成饱和溶液, 从中取出 1/4 溶液加入 4g 溶质和 11g 水, 请问此时浓度变为多少?( ) A % B % C % D % 例题 5 江苏 2012B-89 某种溶液的浓度为 20%, 加入水后溶液的浓度变为 15%, 如果 再加入同样多的水, 则溶液浓度变为 ( ) A. 13% B. 12.5% C. 12% D. 10% 例题 6 湖南 有两只相同的大桶和一只空杯子, 甲桶装牛奶, 乙桶装糖水 先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶, 再从乙桶中取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶 请问此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多? A. 无法判定 B. 甲桶糖水多 C. 乙桶牛奶多 D. 一样多 === 课后练习 === 练习 1 北京应届 甲杯中有浓度为 17% 的溶液 400 克, 乙杯中有浓度为 23% 的溶液 600 克 现在从甲 乙两杯中取出相同总量的溶液, 把从甲杯中取出的倒入乙杯中, 把从乙杯中取出的倒入甲杯中, 使甲 乙两杯溶液的浓度相同 现在两杯溶液的浓度是 ( ) A.20% B.20.6% C.21.2% D.21.4% 练习 2 山东 取甲种硫酸 300 克和乙种硫酸 250 克, 再加水 200 克, 可混合成浓度为 50% 的硫酸 ; 而取甲种硫酸 200 克和乙种硫酸 150 克, 再加上纯硫酸 200 克, 可混合成浓度为 80% 的硫酸 那么, 甲 乙两种硫酸的浓度各是多少?( ) A. 75%,60% B. 68%,63% C. 71%,73% D. 59%,65% 练习 3 浙江 已知盐水若干千克, 每一次加入一定量的水后, 盐水浓度变为 6%, 第二次加入同样多的水后, 盐水浓度变为 4%, 第三次再加入同样多的水后盐水浓度是多少? A.3% B.2.5% C.2% D.1.8% 练习 4 广西 浓度为 30% 的酒精溶液, 加入一定量的水后浓度变为 20%, 再 加入同样多的水后浓度变为 ( ) A. 18% B. 15% C. 12% D. 10%

21 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ]C 100 [ 解析 ] 先倒入清水再倒出溶液, 浓度 = 18%, 易知每次都稀释到原来的一半, 推算可知答案为 C 2 测验 2 [ 答案 ]C [ 解析 ] 假定 5% 食盐水需要 x 克, 根据公式有 5%x+20%(900-x)=15% 900, 则 x=300 例题 1 [ 答案 ]A 3 [ 解析 ] 先倒出溶液再倒入清水, 浓度为 = 20% =7.2% 5 2 例题 2 [ 答案 ]C [ 解析 ] 将水看作溶质, 酒精看作溶剂, 则为稀释问题 每次稀释比例过程不同, 对各步依次 考虑稀释过程, 最后水占浓度 =100% , 不难知结果为 40%, 则酒精浓度必然为 60% 例题 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 假设容器内原有糖水 x, 则根据题意可得 :30%x+6=(x+30+6) 25%, 解得 x=60, 因此原来糖水中含糖 18 千克 例题 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 注意到溶液饱和时溶质与溶剂的比为 28:99, 而对于 4g 溶质与 11g 水而言, 显然 4g 并不能完全溶于 11g 水, 也即取出的溶液再加入 4g 溶质与 11g, 仍然为饱和溶液, 其中有部分溶质未溶 饱和溶液的浓度为 28/(28+99) 22.05% 例题 5 [ 答案 ] C [ 解析 ] 赋值溶质为 60, 可得, 因此浓度变为 12% 例题 6 [ 答案 ] D [ 解析 ] 两次操作之后, 甲桶内溶液总量保持不变 由此可知, 甲桶减少了多少牛奶就相应增加了多少糖水 因此, 甲桶内的糖水与乙桶内的牛奶应该一样多 练习 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 因为两杯溶液浓度相同, 则此时将两杯溶液混合浓度保持不变, 也即所求浓度即等于直接将两杯溶液混合后的浓度 由公式可得,400 17% %=( ) C, 由尾数为 6, 可知答案为 B

22 练习 2 [ 答案 ]A [ 解析 ] 三溶液混合, 类似两溶液混合公式的原理 设甲硫酸的浓度为 x, 乙硫酸的浓度为 y, ì ï 300x+ 250y= ( )? 50% ì x = 75% 眄 Þ ï 镲 200x+ 150y+ 200 = ( )? 80% ïî y = 60% ïî 练习 3 [ 答案 ]A [ 解析 ] 溶质不变, 设其为 24, 则可知浓度变化过程为 加入同样多的水后盐水浓度为 3% , 于是第三次再 练习 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 溶质不变, 设其为 60, 则可知浓度变化过程为 水后浓度为 15% , 于是第三次加

23 第 06 讲 : 计数模型 === 课前测验 === 测验 1 广西 支球队分两组, 每组打单循环赛, 共需打 ( A. 16 B. 56 C. 64 D. 120 ) 场比赛 测验 2 安徽 某旅游景点商场销售可乐, 每买 3 瓶可凭空瓶获赠 l 瓶可口可乐, 某旅游团购买 19 瓶, 结果每人都喝到了一瓶可乐, 该旅游团最多有多少人?( ) A. 19 B. 24 C. 27 D. 28 测验 3 北京应届 名探险队员过一条小河, 只有一条可乘 7 人的橡皮船, 过一次河需 3 分钟 全体队员渡到河对岸需要多少分钟?( ) A. 54 B. 48 C. 45 D. 39 === 本讲概述 === 计数模型是很少借助排列组合, 而更多依据对计数模型 实际过程的理解而进行计数的 问题 这类问题的核心多是涉及对常规计算量进行 ±1 的修正 === 基础知识 === A 比赛计数 直接套用比赛计数模型公式 假设有 N 个参赛者 : 淘汰赛 : 决出冠军或冠 亚军, 比赛场次 =N-1; 决出 名, 比赛场次 =N 循环赛 : 单循环, 比赛场次 B 植树问题 2 C N 2 ; 双循环, 比赛场次 C 2 N 单边线性植树 : 棵数 = 总长 间隔 +1, 总长 =( 棵数 -1) 间隔 ; C 剪绳问题 若初始为 1 根绳子, 则绳子段数为切口数加 1 一根绳子连续对折 N 次, 剪 M 刀, 则绳子被剪成 2 N M+1 段 D 倍增计数 若无死亡机制, 如果一个量每次变为原来的 N 倍, 则经过 M 次后, 数目为原来的 N M 倍, 各次数值成等比数列 E 方阵计数 N 排 N 列的方阵人数为 N 2 人, 最外层人数为 4(N-1), 最外两层的人数为 8(N-2) 方阵中, 方阵人数 =( 最外层人数 4+1) 2

24 F 过河问题过河问题中每次过河都需要有一个人将船划回来, 而最后一次过河则不再需要划回来 N 个人过河, 船最多载 M 个人, 则每次过河运 M-1 个人 G 空瓶换水若 M 个空瓶换一瓶水, 相当于 M-1 个空瓶可以喝到 1 瓶水 === 例题精讲 === 例题 1 天津政法 个队在 9 个场地进行循环赛, 平均每个球场举行几场? A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 例题 2 北京 环保部门对一定时间内的河流水质进行采样, 原计划每 41 分钟采样 1 次, 但在实际采样过程中, 第一次和最后一次采样的时间与原计划相同, 每两次采样的间隔变成 20 分钟, 采样次数比原计划增加了 1 倍 问实际采样次数是多少次?() A. 22 B. 32 C. 42 D. 52 例题 联考 一根绳子对折三次后, 从中间剪断, 共剪成 ( ) 段绳子 A. 9 B. 6 C. 5 D. 3 例题 4 上海 有一科研机构培养一种细菌, 这种细菌 1 小时可以增长 1 倍 若现在有一批这样的细菌,8 小时可以增长到 600 万个, 则增长到 150 万个需要 ( ) 小时 A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 例题 5 四川 某种细胞开始时有 2 个,1 小时候分裂成 4 个并死去 1 个,2 小 时候分裂成 6 个并死去 1 个,3 小时后分裂成 10 个并死去 1 个, 按此规律,6 小时后细 胞存活的个数是 ( ) 个 A. 63 B. 65 C. 67 D. 71 例题 6 安徽 某学校的全体学生刚好排成一个方阵, 最外层人数是 108 人, 则 这个学校共有多少名学生? A. 724 人 B. 744 人 C. 764 人 D. 784 人 例题 7 湖北 有 46 名学生需要到河对岸去参观明清时期的古民居, 现只有一条船, 每次最多载 6 人 ( 其中 1 人划船 ), 往返一次需 7 分钟 如果早晨 8 点钟准时开始渡河, 到 8 点 38 分时, 至少还有多少人在等待渡河?( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25

25 例题 联考 个啤酒空瓶可以免费换 1 瓶啤酒, 现有 101 个啤酒空瓶, 最多可以免费喝到的啤酒为 ( ) A. 10 瓶 B. 11 瓶 C. 8 瓶 D. 9 瓶 === 课后练习 === 练习 1 重庆选调生 长度为 250 米的马路上每隔 5 米植树一棵, 则该条路上共 有树木 ( ) 棵? A. 50 B. 51 C. 52 D. 53 练习 联考 一果农想将一块平整的正方形土地分割为四块小的正方形土地, 并将果树均匀整齐地种植在土地的所有边界上, 且在每块土地的四个角上都种上一棵果树 该果农未经细算就购买了 60 棵果树, 如果仍按上述想法种植, 那么他至少多买了多少棵果树?( ) A. 0 B. 3 C. 6 D. 15 练习 3 河南 把一根钢管锯成 5 段需要 8 分钟, 如果把同样的钢管锯成 20 段需要 多少分钟? A. 32 分钟 B. 38 分钟 C. 40 分钟 D. 152 分钟 练习 4 山东 分多次用等量清水去冲洗一件衣服, 每次均可冲洗掉上次所残 3 留污垢的, 则至少需要多少次才可使得最终残留的污垢不超过初始污垢的 1%?( ) 4 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 练习 5 湖南 超市规定每 3 个空汽水瓶可以换一瓶汽水, 小李有 11 个空汽水 瓶, 最多可以换几瓶汽水? A. 5 瓶 B. 4 瓶 C. 3 瓶 D. 2 瓶 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 16 支球队分两组, 每组 8 支球队 因为每组进行的是单循环赛, 组内比赛次数为 C 场, 那么两组共需打 28 2=56( 场 )

26 测验 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由题意可得等价公式 :2 空瓶 =1 可乐, 因此该旅游团喝完的 19 个空瓶还可再喝到 9 瓶, 因此该旅游团最多有 28 人 测验 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 过河次数 =(49-1) (7-1)=8 次 过一次河用时 3 分钟, 是单程时间, 则来回用 6 分钟, 但最后一次过河不再返回, 故总用时为 6 7+3=45 分钟 例题 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 比赛为循环赛, 因此 9 个队共进行比赛 C =36 场, 因此平均每个场地举行场次为 36 9=4 场 2 9 例题 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 采样点相当于在时间轴上植树 假定原计划采样 N 次, 实际采样 2N 次, 则根据题意 可得 41 (N-1)=20 (2N-1), 解得 N=21 因此实际采样 42 次 例题 3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 对折三次后绳子共 8 折, 从中间剪断, 共有 8 个切口, 因此绳子共有 9 段 例题 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 1 小时可以增长 1 倍, 则从 150 万个增长到 600 万个需要 2 个小时, 因此从开始增长 150 万个需要 8-2=6 个小时 例题 5 [ 答案 ]B [ 解析 ] 由题意可知, 细胞的个数依次为 , 即每个数字是前一个数字的两 倍再减去 1, 因此后面的数字为 , 也即 6 小时候存活的细胞个数为 65 例题 6 [ 答案 ] D [ 解析 ] 最外层人数为 108, 则此方阵的边长为 =28, 则总人数为 28 2 =784 例题 7 [ 答案 ]B [ 解析 ] 等待过河问题 :38 分钟能够往返 5 次剩余 3 分钟, 往返一次最多运过去 5 个人, 则 5 次运 25 人, 最后 3 分钟船上最多有 6 个人, 故岸边至少还剩下 =15( 人 ) 等待渡河 例题 8 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由题意可得等价公式 :11 空瓶 =1 啤酒, 而 =9 2, 即可换 9 瓶酒 练习 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 应用单边线性植树公式, 共有树木 =51 棵 练习 2 [ 答案 ]B

27 [ 解析 ] 将大正方形分割成 4 块小正方形后, 该图有 9 个顶点,12 条边, 设每条边不含顶点 种 n 棵果树且 n 为自然数, 则有共种植 12n+9 棵果树 当 n=4 时, 共种植 57 棵果树, 最 接近 60 故至少多买了 3 棵果树 练习 3 [ 答案 ]B [ 解析 ] 重点在切口 钢管锯成 5 段, 则有 4 个切口, 共需要 8 分钟, 因此每个切口花费 2 分 钟 由此把钢管锯成 20 段, 有 19 个切口, 需要用时 38 分钟 练习 4 [ 答案 ]B 1 [ 解析 ] 每次冲洗污垢残留 1/4 假设达到目标需要 N 次, 套用公式, 可得 4 N 4 故最少需要 4 次才可以 N 1%, 解得 练习 5 [ 答案 ]A [ 解析 ] 由题意可得等价公式 :2 空瓶 =1 汽水, 因此小李的 11 个空汽水瓶可以换 5 瓶汽水

28 第 07 讲 : 年龄问题 === 课前测验 === 测验 1 江苏 2006B 类 -77 甲 乙 丙三人, 甲 21 岁时, 乙 15 岁 ; 甲 18 岁时, 丙的 年龄是乙的 3 倍 当甲 25 岁时, 丙的年龄是多少?( ) A. 45 B. 43 C. 41 D. 39 测验 2 内蒙古 哥哥现在的年龄是弟弟当年年龄的 3 倍, 哥哥当年的年龄与弟 弟现在的年龄相同, 哥哥与弟弟现在年龄的和是 30 岁 问哥哥现在多少岁?( ) A. 15 B. 16 C. 18 D. 19 === 本讲概述 === 年龄问题是公务员考试的一类常考题型 相较其他题型而言, 这类问题隐含条件较多, 也即与生活常识结合较多, 从而能够以较短的题目长度充分考查考生的思维能力 === 基础知识 === 一个人的年龄及两个人的年龄差一般在 100 以内 ; 每人每年长 1 岁 ; 两个人的年龄倍数关系随着时间推移而不断变小 ; 任何两个人的年龄差始终保持不变等 === 例题精讲 === 例题 1 河南招警 今年小方父亲的年龄是小方的 3 倍, 去年小方的父亲比小方 大 26 岁, 那么小方明年是多大? A. 16 B. 13 C. 15 D. 14 例题 2 北京 甲 乙 丙三人在 2008 年的年龄 ( 周岁 ) 之和为 60,2010 年甲 是丙年龄的两倍,2011 年乙是丙年龄的两倍, 问甲是哪一年出生的?( ) A B C D 例题 联考 刘女士今年 48 岁, 她说 : 我有两个女儿, 当妹妹长到姐姐 现在的年龄时, 姐妹俩的年龄之和比我到那时的年龄还大 2 岁 问姐姐今年多少岁? A. 23 B. 24 C. 25 D. 不确定

29 例题 4 北京社招 父亲今年 44 岁, 儿子今年 16 岁, 当父亲的年龄是儿子的年 龄的 8 倍时, 父子的年龄和是多少岁? A. 36 B. 54 C. 99 D. 162 例题 5 云南 今年, 哥哥和弟弟的年龄之和是 35 岁, 哥哥在弟弟这么大的时 候, 哥哥的岁数是弟弟的 2 倍, 问哥哥今年几岁?( ) A. 20 岁 B. 21 岁 C. 22 岁 D. 23 岁 例题 6 北京应届 甲 乙两人年龄不等, 已知当甲像乙这么大时, 乙 8 岁 ; 当 乙像甲这么大时, 甲 29 岁 问今年甲的年龄为几岁 ( ) A. 22 B. 34 C. 36 D. 43 === 课后练习 === 练习 1 河南招警 今年小方父亲的年龄是小方的 3 倍, 去年小方的父亲比小方 大 26 岁, 那么小方明年是多大? A. 16 B. 13 C. 15 D. 14 练习 2 北京应届 爸爸 哥哥 妹妹 3 个人, 现在年龄和为 64 岁, 当爸爸是哥哥年龄 3 倍时, 妹妹是 9 岁, 当哥哥是妹妹年龄 2 倍时, 爸爸 34 岁 现在爸爸的年龄是 ( ) 岁 A. 34 B. 39 C. 40 D. 42 练习 3 北京社招 甲 乙 丙 丁四人今年分别是 岁 问多少 年前, 甲 乙的年龄和是丙 丁年龄和的 2 倍? A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 甲 21 岁时, 乙 15 岁, 可知甲乙年龄差为 6 岁, 于是当甲 18 岁时乙为 12 岁, 根据题 意可知此时丙为 36 岁, 与甲的年龄差为 18 岁 因此当甲 25 岁时, 丙的年龄为 43 岁 测验 2 [ 答案 ]C [ 解析 ] 题目给出的两个时刻为当年 现在, 写出每个时刻哥哥与弟弟的年龄

30 时刻 哥哥 弟弟 当年 X Y 现在 3Y X 根据年龄差保持不变, 可得 :X-Y=3Y-X, 另外根据题意可得 :3Y+X=30, 联立解得 X=12,Y=6 例题 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 去年小方的父亲比小方大 26 岁, 即年龄差为 26 今年小方父亲的年龄是小方的 3 倍, 则年龄差是今年小方年龄的 2 倍, 于是今年小方为 13 岁, 因此明年小方 14 岁 例题 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 分别设甲 乙 丙三人的年龄为 x y z, 根据题意可得 x+y+z=60, x+2=2(z+2), y+3=2(z+3), 联立可得 x=24,y=25,z=11 因此甲是 =1984 年出生的 例题 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 写出两个女儿及妈妈现在及未来的年龄, 列表如下 妹妹 姐姐 妈妈 现在 X Y 48 未来 Y 2Y-X 48+Y-X 根据题意可得 :Y+(2Y-X)=48+Y-X+2, 解得 :Y=25 例题 4 [ 答案 ]A [ 解析 ] 假设 N 年前, 父亲是儿子年龄的 8 倍, 可得 :44-N=8 (16-N), 解得 N=12 该年父子的年龄和为 =36 秒杀技由年龄倍数不断减小可知当父亲的年龄是儿子年龄 8 倍时, 年龄和必然小于 =60, 而 54 离 60 太近, 故答案为 A 例题 5 [ 答案 ]B [ 解析 ] 根据题目给出的时刻, 列出表格如下 时刻 哥哥 弟弟 现在 X Y 当年 Y Y/2 根据年龄差保持不变, 可得 :X-Y=Y-Y/2 根据题意可得:X+Y=35 联立解得 X= 21,Y=14 因此哥哥今年 21 岁 秒杀技得到 X-Y=Y-Y/2 后, 可知 X=3Y/2, 从而 X 能够被 3 整除, 仅 B 符合 例题 6 [ 答案 ] A [ 解析 ] 分别设两个人现在的年龄是 x y, 写出每个人每个时刻的年龄, 得到下表 甲的年龄 乙的年龄 现在 x y 时刻 Ⅰ y 8 时刻 Ⅱ 29 x

31 由年龄差保持不变, 可得 x-y=y-8=29-x, 容易看出 8 x y 29 成等差数列, 也即 x y 将 8 岁到 29 岁的时间段平均分成三段, 于是每段长度为 7, 则 x=8+7=15,y=29-7= 22 练习 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 去年小方的父亲比小方大 26 岁, 即年龄差为 26 今年小方父亲的年龄是小方的 3 倍, 则年龄差是今年小方年龄的 2 倍, 于是今年小方为 13 岁, 因此明年小方 14 岁 练习 2 [ 答案 ]C [ 解析 ] 写出每个人在每个时刻的年龄爸爸 哥哥 妹妹 时刻 I 3X X 9 时刻 II 34 2Y Y 根据年龄差保持不变可得方程组 :3X-Y=34-2Y,X-9=2Y-Y 解得 X=13,Y=4 所以时刻 I, 爸爸 哥哥 妹妹的年龄分别为 , 年龄和为 61, 距离 64 岁还差 3 岁, 故差 1 年, 因此爸爸现在的年龄为 40 岁 练习 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 设 x 年前, 甲乙年龄和是丙丁年龄和的 2 倍, 则 x=2 (11+9-2x), 解得 x=6, 故答案为 B

32 第 08 讲 : 初等数学 ( 上 ) === 课前测验 === 测验 1 安徽 某招聘会在入场前若干分钟就开始排队, 每分钟来的求职人数一样多, 从开始入场到等候入场的队伍消失, 同时开 4 个入口需 30 分钟, 同时开 5 个入口需 20 分钟 如果同时打开 6 个入口, 需多少分钟? A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 测验 2 广西 为加强绿色环保, 某单位积极参加植树活动 现有一批树苗, 若 每人栽 8 棵, 则剩下 19 棵 ; 若每人栽 9 棵, 则还少 4 棵 这批树苗共有 ( ) A. 186 棵 B. 192 棵 C. 203 棵 D. 240 棵 测验 3 江苏 2011B-87 公司实行计件工资报酬, 加工一件合格产品得 4 元, 不合格的不计报酬, 而且每件扣除 12 元, 某员工一个月加工 1000 件, 得 3600 元报酬, 该员工这个月加工产品合格率是多少? A. 96% B. 96.5% C. 97.5% D. 98% 测验 4 北京社招 黑色布袋中装有红 黄 蓝三种颜色的袜子各三只, 如果闭 上眼睛从布袋中拿这些袜子, 为保证拿到两双 ( 每双颜色要相同 ) 袜子, 至少要拿多少只? A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 === 本讲概述 === 本讲初等数学题型主要包含牛吃草问题 盈亏问题 鸡兔同笼问题 抽屉原理等传统 的基本数学问题 这类问题有固定的解题公式或解题套路, 只需快速按照既定套路求解即可 题型特征明确, 难度较低 === 例题精讲 === 例题 1 浙江 某演唱会检票钱若干分钟就有观众开始排队等候入场, 而每分钟来的观众人数一样多 从开始检票到等候队伍消失, 若同时开 4 个入场口需 50 分钟, 若同时开 6 个入场口则需 30 分钟 问如果同时开 7 个入场口需几分钟? A. 18 B. 20 C. 22 D. 25

33 例题 2 北京 假设某地森林资源的增长速度是一定的, 且不受到自然灾害等影响, 那么若每年开采 110 万立方米, 则可开采 90 年, 若每年开采 90 万立方米则可开采 210 年 为了使这片森林可持续开发, 则每年最多开采多少万立方米?( ) A. 30 B. 50 C. 60 D. 75 例题 联考 小王周末组织朋友自助游, 费用均摊, 结帐时, 如果每人付 450 元, 则多出 100 元 ; 如果小王的朋友每人付 430 元, 小王自己要多付 60 元才刚好, 这 次活动人均费用是 ( ) A 元 B 元 C 元 D 元 例题 联考 某单位招待所有若干间房间, 现要安排一支考察队的队员住 宿, 若每间住 3 人, 则有 2 人无房可住 ; 若每间住 4 人, 则有一间房间不空也不满, 则该招 待所的房间最多有 ( ) A. 5 间 B. 4 间 C. 6 间 D. 7 间 例题 5 山东 甲乙两人参加射击比赛, 规定每中一发记 5 分, 脱靶一发倒扣 3 分 两人各打了 10 发子弹后, 分数之和为 52, 甲比乙多得了 16 分 问甲中了多少发? A. 9 B. 8 C. 7 D. 6 例题 6 北京 某服装店进了衬衫和背心总共 24 件, 总进价为 400 元 已知衬 衫和背心每件的进价分别为 90 元和 10 元, 问衬衫总进价比背心总进价 ( ) A. 低 40 元 B. 高 40 元 C. 低 120 元 D. 高 120 元 例题 7 国考 有 300 名求职者参加高端人才专场招聘会, 其中软件设计类 市场营销类 财务管理类和人力资源管理类分别有 和 50 人 问至少有多少人找到工作, 才能保证一定有 70 名找到工作的人专业相同? A. 71 B. 119 C. 258 D. 277 例题 8 浙江 有编号为 1 ~13 的卡片, 每个编号有 4 张, 共 52 张卡片 问至 少摸出多少张, 就可保证一定有 3 张卡片编号相连? A. 27 张 B. 29 张 C. 33 张 D. 37 张 === 课后练习 === 练习 1 内蒙古 某水库共有 10 个泄洪闸, 当 10 个泄洪闸全都打开时,8 小时 可将水位由警戒水位降至安全水位 ; 只打开 6 个泄洪闸时, 这个过程为 24 小时 如果水库 每小时的入库量稳定, 则打开 8 个泄洪闸时, 多少小时可将水位降至安全水位?

34 A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 练习 2 山东 某篮球比赛 14:00 开始,13:30 允许观众入场, 但早有人来排队等候入场 假设从第一个观众来到时起, 每分钟来的观众人数一样多, 如果开 3 个入场口, 13:45 时就不再有人排队 ; 如果开 4 个入场口,13:40 就没有人排队, 那么第一个观众到达的时间是 ( ) A. 13:00 B. 13:05 C. 13:10 D. 13:15 练习 3 河北 单位安排职工到会议室听报告 如果每 3 人坐一条长椅, 那么 剩下 48 人没有坐 ; 如果每 5 人坐一条长椅, 则刚好空出两条长椅 听报告的职工有多少人? A. 128 B. 135 C. 146 D. 152 练习 4 湖北 足球比赛的计分规则是: 胜一场得 3 分, 平一场得 1 分, 负一场得 0 分 如果某国家队共打了 28 场比赛, 其中负 6 场, 共得 40 分, 那么这个队胜了多少场? ( ) A. 11 B. 10 C. 12 D. 9 练习 5 北京 调研人员在一次市场调查活动中收回了 435 份调查问卷, 其中 80% 的调查问卷上填写了被调查者的手机号码 那么调研人员至少需要从这些调查表中随机抽出多少份, 才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者?( ) A. 101 B. 175 C. 188 D. 200 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 牛吃草问题 假定原有人数 N 每分钟新增人数 x, 则可得 N=(4-x) 30,N=(5-x) 20, 解得 x=2,n=60 将 6 个入口代入, 可得所需时间为 60 (6-2)=15 分钟 测验 2 [ 答案 ]C [ 解析 ] 假设树苗总数为 x, 人数为 y, 根据题意可得 :x=8y+19,x=9y-4, 解得 x=203, y=23 测验 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 先将全部工件都看作合格, 然后分析差异, 可得不合格的产品有 ( ) (4+12)=25 件 故合格产品有 975 件, 合格率为 97.5% 测验 4 [ 答案 ]B

35 [ 解析 ] 转变思维, 考虑手中有所有的袜子, 尽量不使得有两双袜子, 怎么安排 此时显然是 一种颜色发出 3 只, 另两种颜色各 1 只, 共 5 只 尚未满足要求, 但剩下的袜子再拿出 1 只就满足要求了 因此至少要拿出 6 只袜子 例题 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 假定原有观众为 N, 每分钟到达的观众为 x, 根据题意可得 N=(4-x) 50,N=(6-x) 30, 解得 x=1,n=150 因此同时开 7 个入场口需要时间为 150 (7-1)=25 分钟 例题 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 牛吃草问题 假设原有森林资源 每年增长量分别为 N 和 x, 则根据题意可得 :N= (110-x) 90,N=(90-x) 210, 解得 N=3150,x=75 为了可持续开发, 则每年开采的量等于每年的增量即可, 也即为 75 万立方米 例题 3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假定人数为 X, 则可得 450X-100=430X+60, 解得 X=8 因此每个人的均摊费 用为 ( )/8=437.5 元 例题 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假设房间数为 X, 则可知总人数为 3X+2, 由题意可得 :X-1< 3 X 2 <X, 解得 : 4 2<X<6, 因此 X 最大为 5 例题 5 [ 答案 ] B [ 解析 ] 分数之和为 52 且甲比乙多 16 分, 可知甲得 34 分 乙 18 分 对甲而言, 若 10 发子 弹全部命中应得 50 分, 实际值得 34 分, 差距 16 分, 说明甲有 2 发脱靶 因此甲命中 8 发 例题 6 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假定全是背心, 则花费应为 240 元, 与总进价 400 元相差 160 元 这里的差距是由衬衫导致的, 每一件背心换成衬衫则需要在进价上增加 80 元, 因此衬衫一共进货 2 件 于是衬衫总进价为 90 2=180 元, 背心总进价为 220 元, 前者比后者低 40 元 例题 7 [ 答案 ] C [ 解析 ] 转变思维, 考虑对这些人进行分配, 在使得每个专业人数不足 70 的情况下尽可能的增加就业人数, 则四类专业可就业的人数分别为 , 总和为 257 人 此时再多 1 人, 则必然有一个专业达到 70 人, 因此所求最少人数为 258 人 例题 8 [ 答案 ] D [ 解析 ] 变抽为发, 考虑最不利情况, 则是 号各抽 4 张, 再 任意抽一张就满足要求了 因此所需张数为 9 4+1=37 张 练习 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 设原有水量为 N, 水库每小时的入库量为 x, 则根据题意有 N=(10-x) 8,N=(6-x) 24, 解得 N=48,x=4

36 因此当打开 8 个泄洪闸时, 用时为 48 (8-4)=12 小时 练习 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假定观众入场时原有等待观众 N, 每分钟新到观众 x, 根据牛吃草模型可得 :N=(3 -x) 15,N=(4-x) 10, 记得 N=30,x=1 换言之, 新到的观众需要占用单独 1 个入场口, 因此其余的观众用 2 个入场口检票耗时 15 分钟, 故第一个观众来到的时间是入场前的半小时, 也即 13:00 练习 3 [ 答案 ]B [ 解析 ] 由题意, 职工总数能够被 3 和 5 整除, 排除 A C D 答案为 B 练习 4 [ 答案 ]D [ 解析 ] 负 6 场不产生积分, 因此 40 分来自其余的 22 场, 由胜场和平场得到 假设 22 场全部为胜, 则应积分 66 分, 而实际积分 40 分, 相差 26 分 这是以为每平一场, 将会从 66 分中减去 2 分, 因此共平 13 场, 于是可知胜的场次为 9 场 练习 5 [ 答案 ] C [ 解析 ] 首先, 在 435 份调查问卷中有 %=87 没有写手机号 ; 其次, 手机号码后两位可能出现的情况一共 100 种, 因此至少需要抽取 =188 份, 才能保证一定能找到两个手机号码后两位相同的被调查者

37 第 09 讲 : 初等数学 ( 下 ) === 课前测验 === 测验 1 安徽 ABCD 四人去羽毛球馆打球,A 每隔 5 天去一次,B 每隔 11 天去一次,C 每隔 17 天去一次,D 每隔 29 天去一次,5 月 18 日, 四个人恰好在羽毛球馆相遇, 则下一次相遇时间为?( ) A. 9 月 18 日 B. 10 月 14 日 C. 11 月 14 日 D. 12 月 18 日 测验 联考 某市规定, 出租车合乘部分的车费向每位乘客收取显示费用的 60%, 燃油附加费由合乘客人平摊 现有从同一地方出发的三位客人合乘, 分别在 D E F 点下车, 显示的费用分别为 10 元 20 元 40 元 那么在这样的合乘中, 司机的营利比正常 ( 三位客人是一起的, 只是分别在上述三个地方下车 ) 多 ( ) A. 2 元 B. 10 元 C. 12 元 D. 15 元 === 本讲概述 === 本讲初等数学题型主要包含周期问题 倍数与约数问题 分段计算问题 推断原理等 传统的基本数学问题 这类问题整体难度不高, 但要求能够快速理解问题背景, 抓到关键要 素进行分析 === 例题精讲 === 例题 1 安徽 在我国民间常用十二生肖进行纪年, 十二生肖的排列顺序是 : 鼠 牛 虎 兔 龙 蛇 马 羊 猴 鸡 狗 猪 2011 年是兔年, 那么 2050 年是 ( ) A. 虎年 B. 龙年 C. 马年 D. 狗年 例题 联考 有甲 乙 丙三辆公交车于上午 8:00 同时从公交总站出发, 三辆车再次回到公交总站所用的时间分别为 40 分钟 25 分钟和 50 分钟 假设这三辆公交车中途不休息, 请问它们下次同时到达公交总站将会是几点? A. 11 点 20 分 B. 11 点整 C. 11 点 40 分 D. 12 点整 例题 3 安徽 如图, 街道 XYZ 在 Y 处拐弯,XY=1125 米,YZ=855 米, 在街 道一侧等距装路灯, 要求 X,Y,Z 处各装一盏路灯, 这条街道最少要安装多少盏路灯?( ) A. 47 B. 46 C. 45 D. 44

38 例题 4 安徽 有一种红砖, 长 24 厘米, 宽 12 厘米, 高 5 厘米, 至少用多少块 红砖才能拼成一个实心的正方体? A. 600 块 B. 800 块 C 块 D 块 例题 5 江西 某市出租车运费计算方式如下: 起步价 2 公里 6 元,2 公里之后每增加 1 公里收费 1.7 元,6 公里之后每增加 1 公里收费 2.0 元, 不足 1 元按四舍五入计算 其乘客乘坐了 31 公里应该付多少元车费?() A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 例题 联考 某停车场按以下办法收取停车费: 每小时收 5 元, 不足 4 小时按 5 元收, 每晚超过零时加收 5 元并且每天上午 8 点重新开始计时, 某天下午 15 小时小王将车停入该停车场, 取车时缴纳停车费 65 元, 小王停车时间 t 的为 ( ) A. 41<t 44 小时 B. 44<t 48 小时 C. 32<t 36 小时 D. 37<t 41 小时 例题 7 黑龙江 一个正方体木块放在桌子上, 每一面都有一个数, 位于对面两个数的和都等于 13, 小张能看到顶面和两个侧面, 看到的三个数和为 18; 小李能看到顶面和另外两个侧面, 看到的三个数的和为 24, 那么贴着桌子的这一面的数是多少?( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 === 课后练习 === 练习 1 上海 2011A-63 我国农历中以天干 地支的搭配来纪年, 其中十天干为甲 乙 丙 丁 戊 己 庚 辛 壬 癸 ; 十二地支为子 丑 寅 卯 辰 巳 午 未 申 酉 戌 亥 搭配的方式是 : 在天干中和地支中依次各取一字搭配来纪年, 例如 1920 年是庚申年, 下一年的天干为辛, 地支为酉, 故 1921 年, 也就是中国共产党成立的这年, 是辛酉年 那么, 中国共产党成立后的下一个辛酉年是公元 ( ) 年 A B C D 练习 联考 一副扑克牌有 52 张, 最上面一张是红桃 A 如果每次把最 上面的 10 张移到最下面而不改变它们的顺序及朝向, 那么, 至少经过多少次移动, 红桃 A 会出现在最上面?( )

39 A. 27 B. 26 C. 25 D. 24 练习 3 深圳 2011 上半年 -15 依法纳税是公民的义务, 按规定, 全月工资薪金所得不超 过 800 元得部分不必纳税, 超过 800 元得部分, 按下列分段累进计算税款, 某人 5 月份应交 纳此项税款 元, 则他的当月工资薪金所得介于 ( ) 工资 薪金所得超过 800 元的部分中 税率 不超过 500 元的部分 5% 超过 500 元至 2000 元的部分 10% 超过 2000 元至 5000 元的部分 15% A B C D 练习 4 黑龙江 2007B-19 将右边的箔片沿虚线折起来, 便可做一个正方体 问这个正方体的 3 号面对面是几号面? A. 1 B. 5 C. 5 D. 6 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] A B C D 四人的周期分别为 , 因此周期的最小公倍数为 180 从 5 月 18 日向后数 180 天,180 天约为 6 个月, 因此该时间必然落在 11 月, 因此答案为 C 测验 2 [ 答案 ] [ 解析 ] 按规定收取三位客人的费用之和为 10 60%+20 60%+40 60%=42 元, 比正常 情况下的 40 元多 2 元 例题 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 从 2011 年增加到 2050 年, 需要增加 39 年, 其中前 36 年为 12 的倍数, 在周期过程 中不予考虑 因此 2050 年为兔向后数 3 年, 即为马年 例题 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 三辆车周期的最小公倍数为 200 分钟, 计 3 小时 20 分钟, 因此三辆车下次同时到达 公交总站的时间为 11 点 20 分 例题 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 要使得路灯等距, 则需先求 1125 与 855 的最大公约数, 后者为 45 因此安装路灯 最少为 ( ) 45+1=45 盏 例题 4 [ 答案 ] D

40 [ 解析 ] 要拼成正方体, 则每条边的长度必须是 的最小公倍数, 也即为 120, 此时每条边上需要的砖数分别是 , 因此总共需要红砖 =1200 块 秒杀技拼成实心立方体后体积必然为立方数, 而一块砖的体积为 =1440, 结合四个选项, 只有 D 选项与之相乘后为立方数 例题 5 [ 答案 ] A [ 解析 ] 分段计算, 车费为 元 例题 6 [ 答案 ] D [ 解析 ] 根据题意可以知道,15 点至第二天 8 点, 时长为 17 小时, 总费用为 5 5+5=30 元 ; 第二天 8 点至第三天 8 点, 时长为 24 小时, 总费用为 6 5+5=35 元, 即两段时间的总费用为 65 元, 总时长为 41 小时, 因此满足题意的时间为 37<t 41, 因此答案为 D 例题 7 [ 答案 ] B [ 解析 ] 题目给出对面数字之和为 13, 则注意将其余条件中出现的对面合在一起 从这一点出发, 可以看出若将小张与小王看到的面合在一起, 则实际共看到 2 个顶面与 4 个不同的侧面 而四个不同侧面恰为两组对面, 也即其数字之和为 13 2=26, 因此顶面的数字为 ( ) 2=8, 于是底面数字为 13-8=5 练习 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 10 和 12 的最小公倍数为 60, 因此天干地支搭配循环周期为 60 年 故下一个辛酉年 是 1981 年 练习 2 [ 答案 ]B [ 解析 ] 每次移动扑克牌张数为 10, 因此移动的扑克牌总数必然是 10 的倍数 ; 又红桃 A 从再最上面再回到最上面, 则移动的扑克牌总数必然是 52 的倍数 10 与 52 的最小公倍数是 260, 也即移动扑克牌数达到 260 后红桃 A 再次出现在最上面 移动次数为 =26 次 练习 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 除去 800 的免征额, 不超过 500 元的部分纳税 500 5%=25 元 此时税额还剩 1.78 元, 落在超过 500 元不超过 2000 元的部分, 对应的工资薪金额为 %=17.8 元 因此该人当月工资薪金为 = 元, 位于 C 选项范围内 练习 4 [ 答案 ] D [ 解析 ] 3 号的对面必然不与其相邻, 而在给出的面中, 明显可以看到 号均与之 相邻, 因此 3 号面的对面是 6 号面

41 第 10 讲 : 和差倍比 === 课前测验 === 测验 1 江西 某批农产品在流通过程中经历了多次价格变化 甲从农户手中收购后, 加价 40% 转给乙 ; 后来, 乙因为货物积压太多担心变质, 便削价 5% 转手给批发商丙 ; 丙又加价 20% 批发给零售店 ; 零售店加价 20% 销售 问农户手中价值 100 元的该种农产品, 到达消费者手中需要多少元?( 结果四舍五入 )() A. 175 B. 183 C. 192 D. 201 测验 2 广东 某公司举办年终晚宴, 每桌安排 7 名普通员工与 3 名管理人员 ; 到最后 2 桌时, 由于管理人员已经安排完, 便全部安排了普通员工, 结果还差 2 人才能刚好坐满 已知该公司普通员工人数是管理人员的 3 倍, 则该公司有管理人员 ( ) 名 A. 24 B. 27 C. 33 D. 36 === 本讲概述 === 和差倍比问题指题目仅涉及少数量之间的和差倍比关系, 考查考生的基本分析能力与列 方程解方程的能力 这类问题在国考及各类省考中大量出现 === 基础知识 === 列方程解方程是解决和差倍比的重要方法之一 方程思想本身是数学运算的最常用思想之一, 在其他各类问题中都有广泛应用 在应用方程思想时, 特别注意题干中关于列方程依据的条件, 这类条件通常标有 相等 相同 甲比乙多 后者比前者增加了 等提示字样 === 例题精讲 === 例题 1 国考 甲乙二人协商共同投资, 甲从乙处取了 元, 并以两人名义进行了 元的投资, 但由于决策失误, 只收回 元 甲由于过失在己, 愿意主动承担 2/3 的损失, 问收回的投资中, 乙将分得多少钱? A 元 B 元 C 元 D 元 例题 联考 某小区物业征集业主意见, 计划从 100 户业主中抽取有 20 户进行调查 100 户业主中有 b 户主年龄超过 60 岁,a 户户主年龄不满 35 岁, 户主年龄在 36 岁到 59 岁的有 25 户 为了使意见更具代表性, 物业采取分层抽样的方法, 从 b 户中抽取了 4 户, 则 a 的值可能是 ( )

42 A. 55 B. 66 C. 44 D. 50 例题 3 北京 商场销售某种商品的加价幅度为其进货价的 40%, 现商场决定将 加价幅度降低一半来促销, 商品售价比以前降低了 54 元 问该商品原来的售价是多少元? A. 324 B. 270 C. 135 D. 378 例题 4 江苏 2012A-26 小李乘公共汽车去某地, 当行至一半路程时, 他把座位让给一位老人后一直站着, 离终点还有 3 千米时, 他又坐下 在这次乘车过程中, 他站的路程是坐的路程的三分之一, 则小李这次乘车全程为 ( ) A. 8 千米 B. 12 千米 C. 9 千米 D.14 千米 例题 联考 某公司三名销售人员 2011 年的销售业绩如下 : 甲的销售额是 乙和丙销售额的 1.5 倍, 甲和乙的销售是丙的销售额的 5 倍, 已知乙的销售额是 56 万元, 问甲的销售额是 ( ) A. 140 万元 B. 144 万元 C. 98 万元 D. 112 万元 例题 6 江苏 2012B-91 为响应当今我国社会主义文化大发展大繁荣的号召, 某小区准备为小区内每位老人准备 40 元文化基金, 同时为每位儿童准备 60 元文化基金 已经该小区老人比儿童多 100 人, 文化基金一共 元, 该小区老人与儿童总数为 ( ) A. 300 B. 320 C. 360 D. 480 例题 7 上海 2012A-56 孙某共用 元买进甲 乙股票若干, 在甲股票升值 15% 乙股票下跌 10% 时全部抛出, 共赚到 1350 元, 则孙某最初购买甲 乙两支股票的投资比例是 ( ) A. 5:3 B. 8:5 C. 8:3 D. 3:5 例题 8 山东 某公司计划采购一批电脑, 正好赶上促销期, 电脑打 9 折出售, 同样的预算可以比平时多买 10 台电脑 问该公司的预算在平时能买多少台电脑? A. 60 B. 70 C. 80 D. 90 === 课后练习 === 练习 1 上海 2012A-57 某车间三个班组共同承担 批加工任务, 每个班组要加工 100 套产品 因为加工速度有差异, 一班组完成任务时二班组还差 5 套产品没完成, 三班组还差 10 套产品没完成 假设三个班组加工速度都不变, 那么二班组完成任务时, 三班组还剩 ( ) 套产品未完成

43 A. 5 B. 80/19 C. 90/19 D. 100/19 练习 2 河北 某单位发当月的工资, 已知甲的工资为 4500 元, 若甲取出工资的 75%, 乙取出工资的 1/3, 则甲的工资余额是乙的工资余额一半, 那么乙当月的工资是多少元? A B C D 练习 3 北京 一桶水含桶共重 20 千克, 第一次倒掉水量的 1/2, 第二次倒掉剩余水量的 1/3, 第三次倒掉剩余水量的 1/4, 第四次倒掉剩余水量的 1/5, 最终水和桶共重 5.6 千克, 问桶的重量为多少千克?() A. 1.2 B. 1.6 C. 2 D. 2.4 练习 4 广东 某天, 林伯的水果摊三种水果的价格分别为 : 苹果 6 元 / 斤, 芒果 5 元 / 斤, 香蕉 3 元 / 斤 当天, 苹果与芒果的销售量之比为 4:3, 芒果与香蕉的销售量之比为 2:11, 卖香蕉比卖苹果多收入 102 元 林伯这天共销售三种水果 ( ) 斤 A. 75 B. 94 C. 141 D. 165 练习 5 江西 面值分别为 1 角 2 角 5 角的纸币共 100 张, 总面值为 30 元整, 其中 2 角的总面值比 1 角的总面值多 1.6 元 问面值 1 角 2 角 5 角的纸币各多少张?() A B C D 练习 6 江苏 2011A-38 公司上半年销售收入占全年销售收入的 50% 还多 40 万元, 下 半年销售收入占全年销售收入的 25% 还多 120 万元, 公司全年销售收入是多少万元?( ) A. 560 B. 600 C. 640 D. 680 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 100 (1+40%) (1-5%) (1+20%) (1+20%) 192 元 测验 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 管理人员为 x, 则普通员工为 7x/3+18, 由题意可知 :7x/3+18=3x, 解得 x=27 例题 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 简单的和差倍比问题 投资额 元, 只收回 元, 损失为 = 元 甲承担其中 2/3 的损失, 则乙承担其中的 1/3, 也即 /3=5000 元, 故乙可取回 =10000 元

44 例题 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 比例问题 100 户中抽取 20 户, 可知抽取比例为 5:1, 根据题意,4:b=20:100, a+b=75, 解得 a=55 例题 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 低了 54 元, 说明加价 20% 的幅度为 54 元, 因此该商品进价为 270 元, 原来的售价 为 =378 元 例题 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 小李站的路程是坐的路程的三分之一, 则站的路程是全程的四分之一, 因此最后的 3 千米占全程的四分之一, 故全程为 12 千米 例题 5 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由题意, 甲 =1.5( 乙 + 丙 ), 甲 + 乙 =5 丙, 将乙 =56 代入, 可得甲 =144, 丙 =40 秒杀技秒杀一 : 由甲的销售额是乙丙之和的 1.5 倍, 而 1.5 中含有因子 3, 因此甲的销售额能够被 3 整除, 仅 B 符合 秒杀二 : 甲和乙的销售额之和是丙销售额的 5 倍, 因此甲乙销售额之和能够被 5 整除, 其尾数为 0 或 5, 在四个选项中仅 B 符合这一要求 例题 6 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假定老人 x, 儿童 y, 则可得 :x-y=100,40x+60y=14000, 解得 x=200,y=100 因此老人与儿童的总数为 300 人 例题 7 [ 答案 ] A [ 解析 ] 由题意可得 :15% 甲 -10% 乙 =1350, 甲 + 乙 =24000, 解得 : 甲 =15000, 乙 =9000, 因此二者之比为为 5:3 例题 8 [ 答案 ] D [ 解析 ] 赋值电脑平时售价 10, 则打 9 折时售价为 9 假定平时买 x 台, 则打折时可买 x+ 10 因此可知 10x=9(x+10), 解得 x=90 练习 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由题意, 一二三班组的速度之比为 100:95:90, 因此当二班组完成时, 三班组完成 了 /95=1800/19 套, 还剩余 /19=100/19 套 练习 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 甲工资为 4500 元, 取出 75% 还剩 25%, 为 1125 元 由此乙的工资余额为 2250 元, 占当月的 2/3, 因此乙当月工资为 3375 元 练习 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 经过各次操作, 水桶中水量还剩 1/2 2/3 3/4 4/5=1/5, 因此可知减少的 14.4 千克占水重量的 4/5, 于是可知桶中有水 /4=18 千克, 桶重 2 千克 练习 4 [ 答案 ] B

45 [ 解析 ] 苹果 芒果 香蕉的销售之比为 8:6:33, 设这三种水果的销量分别为 8x 6x 33x, 则有 3 33x-6 8x=102, 解得 x=2 故三种水果总销量为 8x+6x+33x=47x=94( 斤 ) 练习 5 [ 答案 ] D [ 解析 ] 假设 1 角 2 角 5 角的纸币分别有 x y z 张, 可得 x+y+z=100,0.1x+0.2y+0.5z=30,0.2y-0.1x=1.6, 解得 x=32,y=24,z=44 练习 6 [ 答案 ] C [ 解析 ] 假定全年收入为 x, 可得 :0.5x x+120=x, 解得 x=640

46 第 11 讲 : 等差数列 === 课前测验 === 测验 1 北京应届 部队组织新兵到野外进行拉练, 行程每天增加 2 千米, 已知 去时用了 4 天, 回来用了 3 天, 目的地距离营地多少千米? A. 54 B. 72 C. 84 D. 92 测验 2 山西 个连续自然数的和是 7546, 则其中第 45 个自然数是 ( ) A. 91 B. 100 C. 104 D. 105 === 本讲概述 === 等差数列问题是公务员考试中的常考题型, 主要涉及对等差数列求和公式的理解与运用 具体而言, 主要考查已知项 待求和与已知和 待求项两类问题 === 基础知识 === 首项 + 末项求和公式 : 和 = 项数 = 平均数 项数 = 中位数 项数 2 首项 + 末项根据上面求和公式, 可知 : 中位数 = 平均数 = 2 末项 - 首项项数公式 : 项数 = +1 公差常用推论 : 等差数列中, 连续奇数项的和一定能够被项数整除 === 例题精讲 === 例题 1 江苏 2012B 个数, 之和是 ( ) A. 568 B. 497 C. 523 D. 491 例题 2 广东 有绿 白两种颜色且尺寸相同的正方形瓷砖共 400 块 将这些瓷砖铺在一块正方形的地面上 : 最外面的一周用绿色瓷砖铺, 从外往里数的第二周用白色瓷砖铺 ; 第三周用绿色瓷砖, 第四周用白色瓷砖 这样依次交替铺下去, 恰好将所有瓷砖用完 这块正方形地面上的绿色瓷砖共有 ( ) 块

47 A. 180 B. 196 C. 210 D. 220 例题 3 北京 某条公交线路上共有 10 个车站, 一辆公交车在始发站上了 12 个人, 在随后每一站上车的人数都比上一站少 1 人 到达终点站时, 所有乘客均下了车 如果每个车站下车乘客数相同, 那么有多少人在终点站下车?( ) A. 7 B. 9 C. 10 D. 8 例题 4 上海 一次展览会上展出一套由宝石串联制成的工艺品, 如下图所示, 若按照这种规律依次增加一定数量的宝石, 则第 10 件工艺品的宝石数为 ( ) 颗 A. 229 B. 231 C. 238 D. 245 例题 5 浙江 四个连续奇数的和为 32, 则他们的积为多少? A. 945 B C D 例题 6 国考 某成衣厂对 9 名缝纫工进行技术评比,9 名工人的得分恰好成等差数列,9 人的平均得分是 86 分, 前 5 名工人的得分之和是 460 分, 那么前 7 名工人的得分之和是多少? A. 602 B. 623 C. 627 D. 631 例题 7 河北 一天, 小张出差回到单位发现办公桌上的台历已经有 7 天没有翻 了, 就一次翻了 7 张, 发现这 7 天的日期加起来, 得数恰好是 77, 问这一天是几号? A. 16 B. 15 C. 14 D. 13 例题 8 江苏 2010C-28 在连续奇数 1,3,,205,207 中选择 N 个不同数, 使得 它们的和为 2359, 那么 N 的最大值是 ( ) A. 47 B. 48 C. 50 D. 51 === 课后练习 === 练习 1 浙江 在自然数 1 至 50 中, 将所有不能被 3 除尽的数相加, 所得的和 是 ( ) A. 865 B. 866 C. 867 D. 868

48 练习 2 上海 2011A-60 一水果贩将桔子堆成长方形垛 ( 下图表示长方形垛的垒法 ), 若 最底层长边有 10 个桔子, 短边有 5 个桔子, 则此长方形垛最多可以放 ( ) 个桔子 A. 110 B. 120 C. 130 D. 140 练习 3 湖南 一张考试卷共有 10 道题, 后面的每一道题都比前面一题多 2 分, 如果满分 100 分的话, 第 8 道题的分值是 ( ) A. 9 B. 14 C. 15 D. 16 练习 4 浙江 2007A 类 -14 把自然数 1,2,3,4,5,,98,99 分成三组, 如果每 组数的平均数恰好相等, 那么此平均数为 ( ) A. 55 B. 60 C. 45 D. 50 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] [ 解析 ] 显然出去 7 天的行程为等差数列, 假设第一天为 x 千米, 则第 天的行程分别为 x+6 x+8 x+12 千米, 前 4 天的行程之和为 (x+x+6) 2 4=4x+12, 后 3 天的行程之和为 (x+8+x+12) 2 3=3x+30 去程等于回程, 也即 4x+12=3x+30,x=18, 从而目的地距离营地为 =84 千米 测验 2 [ 答案 ]C [ 解析 ]77 个自然数的和是 7546, 故平均数 =98 为中位数, 也即第 39 个数, 因此 第 45 个数为 104 例题 1 [ 答案 ] D [ 解析 ] 注意到数字的变化周期为 3, 因此前 50 个数之和为 (1+2+3)+(2+3+4)+(3+4+ 5)+ +( )+(17+18)=( ) =491 例题 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 由瓷砖总数为 400 块, 可知该正方形边长为 20 块瓷砖, 每往里一层, 边长减少 2 块瓷砖, 由此可知每往里一层绿色瓷砖, 边长减少 4 块瓷砖 因此绿色瓷砖共 5 层, 最外层一圈为 76 块砖, 最里一层一圈为 12 块砖, 总数为 (76+12) 2 5=220 块

49 例题 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 注意第一站不下人, 最后一站不上人 因此上车乘客数为 9 项的等差数列, 首项为 12, 末项为 4, 和为 (12+4) 2 9=72 人 共计有 9 站下人, 因此每站下车乘客数为 8 人 例题 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 观察第 3 件宝石项链, 以横向为层, 可以看出从上到下的宝石数分别为 , 成公差为 4 的等差数列 第 10 件工艺品共有 11 层, 首项为 1, 末项为 41, 宝石数 =(1+41) 2 11=231 颗 例题 5 [ 答案 ] D [ 解析 ] 四个连续奇数成等差数列, 其和为 32, 则中位数为 8, 因此这四个奇数为 , 乘积为 =3465 例题 6 [ 答案 ] B [ 解析 ] 9 人得分呈等差数列, 则其平均数恰好等于中位数, 也即 9 人中居中间位置的第 5 名得分为 86 分 前 5 名得分之和为 460 分, 平均分为 92 分, 也即为第 3 名的得分 因此第 4 名的得分为 (86+92) 2=89 分, 因此前 7 名的工人得分之和为 89 7=623 分 例题 7 [ 答案 ] B [ 解析 ] 7 天日期得数为 77, 而日期数为等差数列, 因此中位数 77 7=11 恰好是中间一天的 日期数 故这一天的日期为 15 号 例题 8 [ 答案 ] A [ 解析 ] N 个奇数的和是 2359, 为奇数, 说明 N 为奇数, 由此排除选项 B C 题目待求最大值, 故代入 51 验证 从 1 开始的前 51 个连续奇数为最小情况, 其和 =51 2 =2601, 超过 2359, 因此不可能选择 51 个不同奇数使其和为 2359 故答案为 A 练习 1 [ 答案 ]C [ 解析 ] 要求所有不能被 3 整除的数之和, 只需用全部数字之和减去所有能被 3 整除的数之和, 而所有能被 3 整除的数恰好成等差数列 所有数字之和为 =(1+50) 2 50=1275, 所有能被 3 整除的数之和为 =(3+48) 2 16=408, 因此所求结果为 =867 练习 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 容易得到第一层有 10 5=50 个 ; 第二层比第一层各边长均少 1, 有 9 4=36 个 ; 类似地, 第三层有 8 3=24 个, 第四层有 7 2=14 个, 第五层有 6 1=6 个 共计有桔子 =130 个 练习 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由题意,10 道题的分值成等差数列, 总和为 100, 则中位数为 10, 即第 5 题 第 6 题的平均数为 10 而后一题比前一题多 2 分, 于是可知第 6 题 11 分, 从而第 8 题为 15 分 练习 4 [ 答案 ]D

50 [ 解析 ] 每组平均数相等, 那么这个数就是全体的平均数, 而平均数即为中位数, 且等于首项 与末项之和的一半, 口算知为 50

51 第 12 讲 : 行程问题 ( 上 ) === 课前测验 === 测验 1 上海 2012B-62 有一行人和一骑车人都从 A 向 B 地前进, 速度分别是行人 3.6 千米 / 小时, 骑车人为 10.8 千米 / 小时, 此时道路旁有列火车也由 A 地向 B 地疾驶, 火车用 22 秒超越行人, 用 26 秒超越骑车人, 这列火车车身长度为 ( ) 米 A. 232 B. 286 C. 308 D 测验 2 国考 小王步行的速度比跑步慢 50%, 跑步的速度比骑车慢 50% 如果他骑车从 A 城到 B 城, 再步行返回 A 城共需 2 小时 问小王跑步从 A 城到 B 城需要多少分钟? A. 45 B. 48 C. 56 D. 60 === 本讲概述 === 行程问题是公务员考试中的重要题型, 考点较多且对思维要求较高, 是数学运算中难度 较大的一类题型 公式型行程问题侧重涉及典型模型与典型公式的行程问题 这些公式与模 型都源自于行程问题的基本公式 === 基础知识 === 行程问题基本公式 : 路程 = 速度 时间 s v t 进而, 路程的比例 = 速度的比例 时间的比例 ( ) s v t === 例题精讲 === 例题 1 江西 甲以每小时 6 千米的速度步行从 A 地前往 B 地, 在甲出发 90 分钟时, 乙发现甲落下了重要物品, 立即骑自行车以每小时 12 千米的速度追甲, 终于在上午 11 点追上了甲 问甲出发时间是上午几点?() A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 例题 联考 四名运动员参加 米接力, 他们 100 米速度分别为 v 1 v 2 v 3 v 4, 不考虑其他影响因素, 他们跑 400 米全程的平均速度为 ( )

52 A B. v v v v v v v v ( ) 4 v v v v D. 4 v v v v C 例题 3 安徽 一支 600 米长的队伍行军, 队尾的通讯员要与最前面的连长联系, 他用 3 分钟跑步追上了连长, 又在队伍休息的时间以同样的速度跑回了队尾, 用了 2 分 24 秒, 如队伍和通讯员均匀速前进, 则通讯员在行军时从最前面跑步回到队尾需要多长时间? A. 48 秒 B. 1 分钟 C. 1 分 48 秒 D. 2 分钟 例题 联考 一条环形赛道前半段为上坡, 后半段为下坡, 上坡和下坡的长度相等 两辆车同时从赛道起点出发同向行驶, 其中 A 车上下坡时速相等, 而 B 车上坡时速比 A 车慢 20%, 下坡时速比 A 车快 20% 问在 A 车跑到第几圈时, 两车再次齐头并进? A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 例题 5 安徽 如右图所示,AB 两点是圆形体育场直径的两端, 两人从 A B 点同时出发, 沿环形跑道相向匀速而行, 他们在距 A 点弧形距离 80 米处的 C 点第一次相遇, 接着又在距 B 点弧形距离 60 米处的 D 点第二次相遇, 问这个圆形体育场的周长是多少米? A. 240 B. 300 C. 360 D. 420 例题 6 国考 甲 乙两人在长 30 米的泳池内游泳, 甲每分钟游 37.5 米, 乙每分钟游 52.5 米 两人同时从泳池的两端出发, 触壁后原路返回, 如是往返 如果不计转向的时间, 则从出发开始计算的 1 分 50 秒内两人共相遇了多少次? A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 例题 7 广西 小李沿着公共汽车路线旁的人行道匀速行走, 他发现每隔 15 分钟有一辆公共汽车从后面超过他, 每隔 10 分钟有一辆公共汽车迎面开过 如果公共汽车站按相同的间隔时间发车, 不停地匀速运行, 则公共汽车站发车的间隔时间是 ( ) A. 12 分钟 B. 14 分钟 C. 16 分钟 D. 18 分钟

53 === 课后练习 === 练习 1 山东 甲从 A 地到 B 地需要 30 分钟, 乙从 B 地到 A 地需要 45 分钟, 甲乙两人同时从 A B 两地相向而行, 中间甲休息了 20 分钟, 乙也休息了一段时间, 最后两人在出发 40 分钟后相遇 问乙休息了多少分钟? A. 25 B. 20 C. 15 D. 10 练习 联考 高速公路上行驶的汽车 A 的速度是 100 公里每小时, 汽车 B 的速度是 120 公里每小时, 此刻汽车 A 在汽车 B 前方 80 公里处, 汽车 A 中途加油停车 10 分钟后继续向前行驶 那么从两车相距 80 公里处开始, 汽车 B 至少要多长时间可以追上汽车 A? A. 2 小时 B. 3 小时 10 分 C. 3 小时 50 分 D. 4 小时 10 分 练习 3 浙江 A 大学的小李和 B 大学的小孙分别从自己学校同时出发, 不断往返于 A B 两校之间 现已知小李的速度为 85 米 / 分钟, 小孙的速度为 105 米 / 分钟, 且经过 12 分钟后两人第二次相遇 问 A B 两校相距多少米? A 米 B. 980 米 C. 840 米 D. 760 米 练习 4 黑龙江 某人沿电车线路匀速行走, 每 12 分钟有一辆电车从后面追上, 每 4 分钟有一辆电车迎面开来, 假设两个起点站的发车间隔是相同的, 求这个发车间隔 ( ) A. 2 分钟 B. 4 分钟 C. 6 分钟 D. 8 分钟 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 行人速度为 1 米 / 秒, 骑车人速度为 3 米 / 秒 假设火车车上长度为 S, 火车速度为 v, 根据题意可得 :S=(v-1) 22,S=(v-3) 26, 联立解得 S=286,v=14 测验 2 [ 答案 ]B [ 解析 ] 由题意, 赋值步行 跑步 骑车的速度为 1 2 4, 则对步行与骑车应用等距离平均 速度公式可知其平均速度为, 以此速度从 A 城到 B 城用时为 1 小时, 因此跑步 / 5 从 A 城到 B 城用时为 1 2 = 4 小时 ( 距离相等, 时间比等于速度反比 ), 即 48 分钟 5 例题 1 [ 答案 ] B

54 [ 解析 ] 甲的运动时间为 t 小时, 则乙的运动时间为 t-1.5 小时, 于是可知 6t=12(t-1.5), 因此 t=3 甲出发时间为早上 8 点 例题 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 根据行程问题基本公式, S v t v v v v v v v v 例题 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 队伍休息时, 队伍自身速度为 0, 可知通讯员的速度为 600 (12/5)=250 米 / 分钟 队伍行进时, 通讯员从队尾到队首用 3 分钟, 可知通讯员与队伍的速度差为 600 3=200 米 / 分钟, 因此队伍的行进速度为 50 米 / 分钟 因此在队伍行进时, 通讯员从队首到队尾用时为 600 (250+50)=2 分钟 例题 4 [ 答案 ] D [ 解析 ] 假定 A 车速度为 v, 则 B 车上坡速度为 0.8v 下坡速度为 1.2v 由等距离平均速度公式可知 B 车完成一圈的平均速度为 0.96v 则 A 车与 B 车的速度之比为 25:24, 因此 A 车完成 25 圈时, 两车同时回到起点 例题 5 [ 答案 ] C [ 解析 ] 两次相遇模型, 该圆形体育场的一半长度为 =180 米, 故周长为 360 米 例题 6 [ 答案 ]B [ 解析 ] 先看迎面相遇,30 (2N-1) ( ) 11 6 N 3.25, 即有 3 次迎面相遇 ; 再 看追上相遇,30 (2N-1) ( ) 11 6 数为 3 次 N 23 24, 即没有追上相遇 故总的相遇次 例题 7 [ 答案 ] A [ 解析 ] 套用发车间隔公式, 间隔 = =12 分钟 练习 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 赋值 AB 两地距离为 90, 则甲的速度是 3/ 分钟, 乙的速度是 2/ 分钟 从出发到相遇耗时 40 分钟, 对甲而言行进时间为 40-20=20 分钟, 也即甲行进距离为 20 3=60 由此可知乙行进路程为 90-60=30, 因此乙的行进时间为 30 2=15 分钟, 故乙休息时间为 40-15=25 分钟 练习 2 [ 答案 ] C

55 [ 解析 ] 汽车 A 中途加油的时间内由汽车 B 单独缩短两车之间的距离, 一共缩短了 20 公里 其余的 80-20=60 公里, 是汽车 A 与汽车 B 的追及过程, 用时 60 ( )=3 小时 因此共用时 3 小时 10 分钟追上 练习 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 易知到第二次相遇时, 两人合起来走过的距离恰为 A B 两校距离的 3 倍, 因此 A B 两校相距 (85+105) 12 3=760 米 练习 4 [ 答案 ] C [ 解析 ] 套用发车间隔公式, 间隔 = =6 分钟 12 4

56 第 13 讲 : 行程问题 ( 下 ) === 课前测验 === 测验 1 广东 甲 乙二人同时从 A 地去 B 地, 甲每分钟行 60 米, 乙每分钟行 90 米, 乙到达 B 地后立即返回, 并与甲相遇, 相遇时, 甲还需行 3 分钟才能到达 B 地, 问 A B 两地相距多少米? A 米 B 米 C. 900 米 D. 720 米 测验 2 北京 一辆汽车从 A 地开到 B 地需要一个小时, 返回时速度为每小时 75 公里, 比去时节约了 20 分钟, 问 AB 两地相距多少公里?( ) A. 30 B. 50 C. 60 D. 75 === 本讲概述 === 行程问题是公务员考试中的重要题型, 考点较多且对思维要求较高, 是数学运算中难度较大的一类题型 分析型行程问题侧重涉及画图法与比例法的行程问题 这类问题着眼于对行程细节的发现与转化, 问题描述相对复杂多变 在此基础上, 衍生出间歇运动 加速运动等复杂的行程问题 === 例题精讲 === 例题 1 河北 小张和小王同时骑摩托车从 A 地向 B 地出发, 小张的车速是每小时 40 公里, 小王的车速是每小时 48 公里 小王到达 B 地后立即向回返, 又骑了 15 分钟与小张相遇 那么 A 地与 B 地之间的距离是多少公里? A. 144 B. 136 C. 132 D. 128 例题 2 山东 甲从某地出发匀速前进, 一段时间后, 乙从同一地点以同样的速度同向前进, 在 K 时刻乙距起点 30 米 ; 他们继续前进, 当乙走到甲在 K 时刻的位置时, 甲离起点 108 米, 问此时乙离起点多少米? A. 39 米 B. 69 米 C. 78 米 D. 138 米 例题 3 江苏 2012C-26 经技术改进,A B 两城间列车的运行速度由 150 千米 / 小时提 升到 250 千米 / 小时, 行车时间因此缩短了 48 分钟, 则 A B 两城间的距离为 ( ) A. 291 千米 B. 300 千米 C. 310 千米 D. 320 千米

57 例题 4 浙江 甲 乙两辆清洁车执行东 西城间的公路清扫任务 甲车单独清扫需要 6 小时, 乙车单独清扫需要 9 小时, 两车同时从东 西城相向开出, 相遇时甲车比乙车多清扫 15 千米 问东 西两城相距多少千米? A. 60 千米 B. 75 千米 C. 90 千米 D. 135 千米 例题 5 广东 一列火车出发 1 小时候因故障停车 0.5 小时, 然后以原速度的 3/4 行驶, 到达目的地晚点 1.5 小时 ; 若出发 1 小时又行驶 120 公里再停车 0.5 小时, 然后同样以原速度的 3/4 行驶, 则到达目的地晚点 1 小时 从起点到目的地的距离为 ( ) 公里 A. 240 B. 300 C. 320 D. 360 例题 6 北京 甲乙两人早上 10 点同时出发匀速向对方的工作单位行进,10 点 30 分两人相遇并继续以原速度前行 10 点 54 分甲到达乙的工作单位后, 立刻原速返回自己单位 问甲返回自己单位时, 乙已经到了甲的工作单位多长时间?() A. 42 分 B. 40 分 30 秒 C. 43 分 30 秒 D. 45 分 例题 7 国考 甲乙两人计划从 A 地步行去 B 地, 乙早上 7:00 出发, 匀速步行前往, 甲因事耽搁,9:00 才出发 为了追上乙, 甲决定跑步前进, 跑步的速度是乙步行速度的 2.5 倍, 但每跑半小时都需要休息半小时, 那么甲什么时候才能追上乙? A. 10:20 B. 12:10 C. 14:30 D. 16:10 例题 8 上海 两辆完全相同的汽车沿水平公路一前一后均速行驶,A 车在前, B 车在后, 速度均为 V 若 A 车突然以恒定的加速度刹车, 在它刚停住时,B 车以 A 车刹车时的加速度开始刹车 已知 A 车在刹车过程中所行驶的路程为 S, 若要保证两车在上述过程中不相撞, 则两车在均速行驶时保持的距离至少应为 ( ) A. S B. 2S C. 3S D. 4S === 课后练习 === 练习 1 北京 2007 社招 -20 甲 乙二人上午 8 点同时从东村骑车到西村去, 甲每小时比乙多骑 6 千米, 中午 12 点甲到达西村后立即返回东村, 在距西村 15 千米处遇到乙 东 西两村相距多远? A. 30 B. 40 C. 60 D. 80 练习 2 江苏 2011B-90 甲 乙两人从足球场同一起点同向出发, 甲跑步速度为 200 米 / 分钟, 乙步行, 当甲第 5 次超越乙时, 乙正好走完第三圈, 再过 1 分钟时, 甲在乙前方多少米? A.105 B. 115 C. 120 D. 125

58 练习 3 广东 甲乙二人在环湖小路上匀速步行, 且绕行方向不变 19 时, 甲从 A 点 乙从 B 点同时出发相向而行 19 时 25 分, 两人相遇 ;19 时 45 分, 甲到达 B 点 ;20 时 5 分, 两人再次相遇 乙环湖一周需要 ( ) 分钟 A. 72 B. 81 C. 90 D. 100 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 相遇时, 甲还需 3 分钟才能到达 B 地, 说明相遇时乙比甲多走了 =360 米, 而乙每分钟比甲多走 30 米, 因此从出发至相遇所用时间为 12 分钟 故 AB 两地距离为 60 (12+3)=900 米 测验 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 简单的和差倍比 去时 1 小时, 返回节约 20 分钟, 则返回耗时为 40 分钟, 即 2/3 小时, 因此 AB 两地距离为 75 2/3=50 公里 例题 1 [ 答案 ]C [ 解析 ] 小王又骑了 15 分钟与小张相遇, 也就是说小王又骑了 48 1/4=12 公里后与小张相遇 则自出发到相遇, 小王比小张总共多骑了 24 公里, 而每小时小王比小张多骑 8 公里, 因此从出发到相遇共用了 3 小时 于是 AB 两地相距为 48 (3-1/4)=132 公里 例题 2 [ 答案 ]B [ 解析 ] 画图如下, 由于甲乙速度相同, 则甲乙相距保持恒定不变 据下图可得 30+X=108-X, 解得 X=39, 于是此时乙距离起点 =69 米 30 乙 X 甲 X 108 乙 甲 例题 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 提升前后速度之比为 3:5, 则同样的路程, 前后耗时之比为 5:3, 根据题意节省了 48 分钟, 因此原耗时为 =120 分钟, 合 2 小时 AB 两地之间的距离为 150 2= 300 千米 例题 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由两车各自完成清扫所需时间可知两车速度之比为 3:2, 因此两车相遇时, 两车各清扫了 3 份 2 份公路, 全程为 5 份, 而甲比乙多清扫了 1 份, 所以 1 份正好是 15 千米, 那么全程应该是 15 5=75 千米

59 例题 5 [ 答案 ] C [ 解析 ] 后程因以原速度的 3/4 行驶耽误时间 1 小时, 可知此段上原运行时间为 3 小时 而这一段中的 120 公里除去后, 其余部分以原速度的 3/4 行驶会耽误时间 0.5 小时, 可知除去 120 公里后的部分原运行时间为 1.5 小时 由此可知原速度行驶 120 公里耗时 1.5 小时, 而原速度行驶全程需 4 小时, 故全程距离为 320 公里 例题 6 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由题意可知乙从 10 点到 10 点 30 分行进的距离即甲从 10 点 30 分到 10 点 54 分行进的距离, 因此甲乙速度之比为 30:24=5:4 甲走完全程需要 54 分钟, 则乙完成全程需要 67.5 分钟, 因此当甲返回自己单位时, 乙已经到了 =40.5 分钟 例题 7 [ 答案 ] C [ 解析 ] 赋值乙的速度为 12, 则甲的速度为 30 乙提前 2 个小时出发, 因此追及距离为 24 因为甲跑半个小时, 休息半个小时, 故以一个小时为一个周期 考虑一个周期内的行进情况, 甲前进 15, 而乙 12, 因此一个周期内两者缩短距离为 3 而单纯考虑半个小时, 甲行进 15, 而乙行进 6, 差值为 9 故完整的追及周期至少有(24-9) 3=5 个 因为此处计算恰好整除, 则必然是 5 个小时后 ( 到达 14:00), 甲乙相距 9, 再只需半个小时即可追上 故答案为 C 例题 8 [ 答案 ] B [ 解析 ] 如下图所示, 上面为 A 车行驶路程, 下面为 B 车行驶路程 实线表示 A 车刹车阶段, 两车分别行驶过的距离 ; 虚线为 B 车刹车阶段,B 车行驶过的距离 易知 A B 两车刹车阶段行驶过的距离相等, 因此两车在均速行驶时保持的距离即等于 A 车刹车阶段 B 车行驶过的距离 在这段时间内,A 车的平均速度为 (V+0) 2=V/2,B 车的速度为 V, 因此 A 车刹车阶段 B 车行驶过的距离为 2S 故两车保持距离为 2S 练习 1 [ 答案 ] C [ 解析 ] 相遇时甲比乙多骑 2 个 15 千米, 即多骑 30 千米, 而甲比乙每小时多骑 6 千米, 说明相遇时一共过了 5 个小时, 即为 13 点 说明甲从 12 点到 13 点一个小时走了 15 千米, 所以从 8 点到 12 点四个小时应该走 60 千米 乙 15 8:00 12:00 甲 练习 2 [ 答案 ] D [ 解析 ] 甲第 5 次超越乙时, 甲比乙多走了 5 圈, 而乙此时恰好走完 3 圈, 则说明甲恰好走 完 8 圈 因此甲乙速度比为 8:3, 因此再过 1 分钟, 甲在乙前面 (8-3)=125 练习 3 [ 答案 ] C [ 解析 ] 19 时 25 分两人相遇,20 时 5 分两人再次相遇, 可知两人合走一圈用时 40 分钟 ;19 时出发,19 时 25 分两人相遇, 乙用时 25 分从 B 点到第一次相遇点, 而同样的距离甲则用

60 时 20 分钟 (19 时 25 分两人第一次相遇,19 时 45 分甲到达 B 点 ), 这说明甲乙的速度之比 为 5:4 因此两人合走一圈时, 乙完成了一圈的 4/9, 用时为 40 分钟, 由此可知乙完成一 圈需要用时 90 分钟

61 第 14 讲 : 几何问题 ( 上 ) === 课前测验 === 测验 1 江苏 2010B-88 桌面上有两个半径分别为 1 厘米 8 厘米的圆环, 若固定大圆 环, 让小圆环沿着大圆环外边缘滚动一周, 则小圆环所扫过的面积为 ( ) A. 36π 平方厘米 B. 57π 平方厘米 C. 76π 平方厘米 D. 100π 平方厘米 测验 2 北京社招 有大 中 小三个正方形水池, 它们的内边长分别是 6 米 3 米 2 米 把两堆碎石分别沉在大 小水池的水中, 两个水池的水面分别提高了 1 厘米和 4.5 厘米 如果将两堆碎石都沉在中水池的水中, 中水池的水面将升高多少厘米? A B. 2 C. 5 D. 6 === 本讲概述 === 几何问题在国考中自 2007 年重新考查以来, 每年都会有所考查, 且逐渐侧重几何量的 计算与空间位置的把握 前者, 几何量的计算是本讲的主要内容 常考的几何量包括长度 面积 表面积 体积等 === 基础知识 === 周长公式 正方形 C 正方形 =4a; 长方形 C 长方形 =2(a+b); 圆形 C 圆 =2πR 面积公式 正方形 S 正方形 =a 2 ; 长方形 S 长方形 =ab; 圆形 S 圆 =πr 2 三角形 S 三角形 = 1 2 ah; 平行四边形面积 S 平等四边形 =ah; 梯形面积 S 梯形 = 1 2 (a+b)h; 扇形面积 S 扇形 = n 360 πr2 表面积公式正方体的表面积 =6a 2 长方体的表面积 =2ab+2bc+2ac 球体的表面积 =4πR 2 =πd 2 圆柱体的表面积 =2πR 2 +2πRh 圆柱体的底面积 =2πR 2 圆柱体的侧面积 =2πRh 体积公式 正方体的体积 =a 3 长方体的体积 =abc 球的体积 = 4 3 πr3 = 1 6 πd3 圆柱体的体积 =πr 2 h 圆锥体的体积 = 1 3 πr2 h

62 === 例题精讲 === 例题 1 浙江 如下图所示, 正方形 ABCD 的边长 5cm,AC BD 分别是点 D 和点 C 为圆心,5cm 为半径的圆弧, 问阴影部分 a 比阴影部分的面积 b 的面积小多少 (π 为 3.14) A 平方厘米 B 平方厘米 C 平方厘米 D 平方厘米 例题 2 江苏 2011A-31 在一次亚丁湾护航行动中, 由 北斗 定位系统测得护航舰队与 海盗船在同一经度上, 其纬度分别在北纬 和北纬 地球半径为 R 千米, 护航 舰队与海盗船相距多少千米?( ) A. R 12 B. R 15 C. R 18 D R 例题 联考 火车站点 A 和 B 与初始发车站 C 的直线距离都等于 a 千米, 站点 A 在发车站 C 的北偏东 20, 站点 B 在发车站 C 的南偏东 40, 若在站点 A 和站点 B 之间架设火车轨道, 则最短距离为 ( ) 千米 A. a B. 3a C. 2a D. 3a 例题 4 山东 木工师傅为如图所示的 3 层模具刷漆, 每层模具分别由 个边长 1 米的正方体组成 如果用一公斤漆可以刷 20 平方米的面积 那么为这个 3 层模具的所有外表面上色, 需要几公斤漆? A. 1.8 B. 1.6 C. 1.5 D. 1.2

63 例题 5 安徽 工作人员做成了一个长 60 厘米 宽 40 厘米 高 22 厘米的箱子, 因丈量错误, 长和宽均比设计尺寸多了 2 厘米, 而高比设计尺寸少了 3 厘米, 那么该箱子的表面积与设计时的表面积相差多少平方厘米?( ) A. 4 B. 20 C. 8 D. 40 例题 6 浙江 有一个长方体容器, 长 40 厘米, 宽 30 厘米, 高 10 厘米, 里面水深 6 厘米 ( 最大面为底面 ) 如果把这个容器盖紧, 再竖起来 ( 最小面为底面 ), 里面的水深是多少厘米? A. 15 B. 18 C. 24 D. 30 例题 7 国考 连接正方体每个面的中心构成一个正八面体 ( 如下图所示 ) 已 知正方体的边长为 6 厘米, 问正八面体的体积为多少立方厘米? A B C. 36 D. 72 例题 联考 某公司要在长 宽 高分别为 50 米 40 米 30 米的长方体 建筑的表面架设专用电路管道联接建筑物内最远两点, 预设的最短管道长度介于 ( ) A 米之间 B 米之间 C 米之间 D 米之间 === 课后练习 === 练习 联考 长为 1 米的细绳上系有小球, 从 A 处放手后, 小球第一次摆 到最低点 B 处共移动了多少米? A. 1+ π B. + π C. 2 2 π D. 1+ π 3 3 练习 2 江苏 2010A-26 一个正方体与其内切球体的表面积的比值是 ( )

64 A. 1 B. 3 C. 6 D. 2 练习 3 安徽 两口圆柱形水井, 甲井的水深是乙井的一半, 水面直径是乙井的 2 倍, 蓄水量为 40 立方米, 问乙井的蓄水量为多少立方米?( ) A. 20 B. 40 C. 60 D. 80 练习 4 江苏 2011B-91 过长方体一侧面的两条对角线交点, 与下底面四个顶点连得一 四棱锥, 则四棱锥与长方体的体积比为多少? A. 1:8 B. 1:6 C. 1:4 D. 1:3 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 如下图所示, 小圆环所扫过的区域实际是一个环形, 其可以看成内 外两个圆形做差 内圆半径为 8, 外圆半径为 8+1 2=10, 因此此圆环的面积为 π π 8 2 =36π 平方厘米 测验 2 [ 答案 ]D [ 解析 ] 根据体积一定可知, 中水池水面升高 =6 厘米 3 3 例题 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 阴影 b 与阴影 a, 各加上上面的空白部分后即为闭合图形 ACD 与闭合图形 ABD 因此阴影 b 与阴影 a 的面积差值即为此两个闭合图形面积之差 闭合图形 ACD 为 1/4 圆, 而闭合图形 ABD 为正方形面积减去 1/4 圆, 因此两者面积之差为 1/4 π =14.25 平方厘米 例题 2 [ 答案 ] A [ 解析 ] 纬度相差 15, 也即 π/12, 因此对应地面的弧长即为护航舰队与海盗船相距 πr/12 千米 例题 3 [ 答案 ] D [ 解析 ] 根据题意可知,A B C 三个站点构成顶角为 120 的等腰三角形, 其中 AC BC 为腰长, 顶角为 ACB 因此要在站 A 与站 B 之间架设火车轨道, 直线最短, 为 3a 千米 例题 4 [ 答案 ] A [ 解析 ] 堆积模具两个侧面及底面各有 个正方形, 而斜坡方向上有这样组合 3 个, 因此左右模具共有表面积为 6 6=36 平方米 因此需要油漆 1.8 公斤

65 例题 5 [ 答案 ] D [ 解析 ] 设计的表面积为 ( ) 2=9200 平方厘米, 实际表面积为 ( ) 2=9160 平方厘米, 因此差值为 40 平方厘米 例题 6 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由题意水的体积为 , 竖起之后底面积为 30 10, 因此水深为 24 厘米 例题 7 [ 答案 ] C [ 解析 ] 该正八面体可看作两个四棱锥组成 上面的四棱锥为其等底等高的柱体体积的 1/3, 而其等底等高的柱体体积是正方体体积的 1/4, 因此八面体的体积是正方体体积的 2 1/3 1/4=1/6, 因此其体积为 6 3 1/6=36 立方厘米 例题 8 [ 答案 ] D [ 解析 ] 把纸盒由立体展为平面, 有三种展开方式, 因此管道长度有 3 种对应的可能性, 其 长度分别为 由此可知预设的最短长度大约为 86 米, 答案为 D 练习 1 [ 答案 ]A [ 解析 ] 如图所示,C 点和 A 点关于中间的虚线对称, 小球从 A 点到 C 点做 自由落体直线运动, 从 C 点到 B 点做半径为 1 米的圆周运动 故小球移 动的距离为 π=1+ π( 米 ) 练习 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 假定正方体的棱长为 2, 则其内切球体的半径为 1 正方体的表面积为 6 2 2=24, 内切球体的表面积为 4π 1 2 =4π 故答案为 C 练习 3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 甲井水面直径是乙井的 2 倍, 则水面面积是乙井的 4 倍, 而水深为乙井的一半, 因 此甲井蓄水体积是乙井的 2 倍 因此乙井的蓄水量是 20 立方米 练习 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 等底等高时, 椎体是柱体的 1/3 而这里椎体的高是柱体高的一半, 因此四棱锥与长 方体的体积之比为 1:6

66 第 15 讲 : 几何问题 ( 下 ) === 课前测验 === 测验 联考 将边长为 1 的正方体一刀切割为 2 个多面体, 其表面积之和 最大为 ( ) A B C.6 2 D 测验 2 安徽 以正方形的 4 个顶点和中心点中的任意三点为顶点, 可以构成几 种面积不等的三角形?( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 === 本讲概述 === 几何问题在国考中自 2007 年重新考查以来, 对空间位置的理解与把握一直是考试的重 点与热点 这类问题考查考生能否快速想象出给定的几何图形, 抓住其中特殊位置及其关系 这些特殊位置往往是极端位置或对称位置 此外, 几何性质也时有考查 === 例题精讲 === 例题 联考 A B 两地直线距离 40 千米, 汽车 P 与两地直线距离和等于 60 千米 则以下判断正确的是 ( ) A. 如果 A B P 不在同一条直线上, 汽车所在位置有 3 个, 可位于 A B 两地之间或 A B 两地外侧 B. 如果 A B P 不在同一条直线上, 汽车的位置有无穷多个 C. 如果 A B P 位于同一条直线上, 汽车拉于 A B 两地之间或两地外侧 D. 如果 A B P 位于同一条直线上, 汽车位于 A B 两地外侧, 且汽车到 A 的距离为 20 千米 例题 2 国考 草地上插了若干根旗杆, 已知旗杆的高度在 1 至 5 米之间, 且任意两根旗杆的距离都不超过他们高度差的 10 倍 如果用一根绳子将所有的旗杆都围进去, 在不知旗杆数量和位置的情况下, 需要准备多少米长的绳子? A. 40 B. 60 C. 80 D. 100 例题 联考 颗气象卫星与地心距离相等, 并可同时覆盖全球地表, 现 假设地球半径为 R, 则 3 颗卫星距地球最短距离为 ( )

67 A. R B. 2R C. 1 2 R D. 2 3 R 例题 4 国考 为了浇灌一个半径为 10 米的花坛, 园艺师要在花坛里布置若干个旋转喷头, 但库房里只有浇灌半径为 5 米的喷头, 问花坛里至少要布置几个这样的喷头才能保证每个角落都能浇灌到? A. 4 B. 7 C. 6 D. 9 例题 联考 用直线切割一个有限平面, 后一条直线与此前每条直线都要产生新的交点, 第 1 条直线将平面分成 2 块, 第 2 条直线将平面分成 4 块 第 3 条直线将平面分成 7 块, 按此规律将平面分为 22 块需 ( ) A. 7 条直线 B. 8 条直线 C. 9 条直线 D. 6 条直线 例题 6 国考 相同表面积的四面体 六面体 正十二面体及正二十面体其中体 积最大的是 ( ) A. 四面体 B. 六面体 C. 正十二面体 D. 正二十面体 例题 7 江苏 2009B 类 -73 正四面体的棱长增加 20%, 则表面积增加 ( ) A. 20% B. 15% C. 44% D. 40% 例题 8 江苏 2010A-35 若一个三角形的所有边长都是整数, 其周长是偶数, 且已知其 中的两边长分别为 10 和 2000, 则满足条件的三角形总个数是 ( ) A. 10 B. 7 C. 8 D. 9 例题 9 河北 一直角三角形的两直角边的长度之和为 14, 假如这个三角形的 周长与面积数值相等, 那么该三角形的面积为 ( ) A. 20 B C. 24 D === 课后练习 === 练习 1 国考 用一个平面将一个边长为 1 的正四面体切分为两个完全相同的部 分, 则切面的最大面积为 : A. 1 4 B. 2 4 C. 3 4 D. 1 2

68 练习 联考 把一个正四面体的每个表面都分成 9 个相同的等边三角形 用任意颜色给这些小三角形上色, 要求有公共边的小三角形颜色不同, 问最多有多少个小三角形颜色相同? A. 12 B. 15 C. 16 D. 18 练习 3 安徽 一个棱长为 8cm 的立方体, 表面涂满油漆, 现在将它切成棱长 为 0.5cm 的小立方体, 问两个表面有油漆的小立方体有多少个? A. 144 B. 168 C. 192 D. 256 练习 4 江苏 2010C-35 已知一直角三角形的一个直角边长为 12, 且周长比面积的数值 小 18, 则该三角形的面积是 ( ) A. 20 B. 36 C. 54 D. 96 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ] A [ 解析 ] 原正方体表面积为 6, 若使切割后两个多面体表面积之和最 大, 切割方式如图所示 切割后两个多面体的表面积之和为 测验 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 中心和相邻两个顶点 ; 相邻三个顶点 例题 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] AB 距离为 40,AP 和 BP 距离之和为 60 千米, 若 A B P 三点在同一直线上, 则 P 点位于 AB 外侧 10 千米处 ; 若 A B P 三点不在同一直线上, 则转化为 A B 点固定, AP+BP=60 即可, 有无数种选择 因此答案为 B 例题 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 最极端的情况是最远的两根旗杆高度分别为 1 米和 5 米, 并且两者之间的距离取最大的 10 倍, 此时距离为 (5-1) 10=40 米 此时其余的旗杆中不能再有 1 5 米的旗杆, 因为两个高度相同的旗杆, 距离实际为 0, 而只能取值于 以 2 米为例, 则最极端的情况为距 1 米旗杆距离为 10 米 距 5 米旗杆距离为 30 米, 两者加和为 40 米 这说明其余旗杆只能排列在 1 米杆与 5 米杆之间的直线上 因此, 只需准备 40 2=80 米长的绳子即可 例题 3 [ 答案 ] A

69 [ 解析 ] 假设地球为球形, 三颗气象卫星位于以地球为内切圆的等边三角形的三个顶点, 根 据直角三角形中 30 o 角的性质关系, 气象卫星距离地心的距离为 2R, 那么气象卫星距离地 球的最近距离为 R 例题 4 [ 答案 ] B [ 解析 ] 由于买个小圆的直径为 10, 所以每个小圆至多盖住圆心角为 60 所对应的弧长 因此想盖住整个圆圈, 至少需要六个小圆, 并且当且仅当这六个小圆以大圆的内接正六边形各边中点为圆心进行覆盖 此时大圆的圆心处尚未被覆盖, 还需要一个小圆才能完成覆盖 如图所示 例题 5 [ 答案 ] D [ 解析 ] 根据题意可知, 设 n 为直线,S 为分成的平面数,n=1 时,S=2;n=2 时,S=4; n=3 时,S=7;n=4 时,S=11;n=5 时,S=16;n=6 时,S=22 所以 6 条线可将平面分成 22 部分 例题 6 [ 答案 ]D [ 解析 ] 同样表面积的空间几何图形, 越接近于球, 体积越大 而四个选项中, 正二十面体 最接近于球, 所以体积最大 例题 7 [ 答案 ]C [ 解析 ] 棱长增加 20%, 则棱长变为原为 1.2 倍, 因此表面积变为 1.44 倍, 表面积增加 44% 例题 8 [ 答案 ] D [ 解析 ] 根据三边关系, 可知这个三角形的第三条边必然大于 =1990, 还必然小于 =2010 注意到周长为偶数, 而已有两边均为偶数, 因此第三边也必然为偶数 由此可知符合要求的第三边长可能为 , 共计 9 个 例题 9 [ 答案 ] C

70 [ 解析 ] 假定两条直角边分别为 X Y, 根据题意可得 :X+Y=14,X+Y+ X 2 Y 2 = XY/2 求解时将选项代入验证, 仅选项 C 满足周长与面积相等 练习 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 切分为两个完全相同的部分, 有两种切法, 如下图所示 显然左侧的截面面积不如右侧截面面积大 右侧切法为沿着一条棱向对棱切去, 另两条边分 别为两个侧面的平分线, 故切面三角形为等腰三角形 棱长为 1, 则切面三角形中的另外两条边长为 , 因此切面的面积为 , 于是根据勾股定理可知棱长上的高为 练习 2 [ 答案 ] B [ 解析 ] 先看一个面上的情况, 要是颜色相同的三角形最多, 最多有 6 个, 此时其他面上能与之颜色相同的三角形最多只能有 3 个 因此颜色相同的三角形最多有 6+3 3=15 个 前后示例分别如下面两图 练习 3 [ 答案 ] B [ 解析 ] 两个表面被涂油漆的小立方体位于棱上, 且不位于大立方体的端点 大立方体棱长为 8cm, 切成小立方体棱长为 0.5cm, 则每条棱被分成 16 段, 其中两端不符合要求, 因此每条棱上有 14 个小立方体符合 立方体共有 12 条棱, 则符合要求的小立方体有 14 12= 168 个 练习 4 [ 答案 ] C [ 解析 ] 设另一直角边为 x, 斜边为 y 根据勾股定理可得 x =y 2 根据题意可得 x+12 +y+18= x 5x=30+y 联立可得 x=9,y=15 三角形的面积为 6x=54

71 第 16 讲 : 容斥原理 === 课前测验 === 测验 1 国考 三个图形共覆盖的面积为 290, 其中 X Y Z 的面积分别为 X 与 Y Y 与 Z Z 与 X 的重叠面积分别为 , 求阴影部分面积? A. 12 B. 16 C. 18 D. 20 测验 2 国考 某市对 52 种建筑防水卷材产品进行质量抽检, 其中有 8 种产品的低温柔度不合格,10 种产品的可溶物含量不达标,9 种产品的接缝剪切性能不合格, 同时两项不合格的有 7 种, 有 1 种产品这三项都不合格 则三项全部合格的建筑防水卷材产品有多少种? A. 37 B. 36 C. 35 D. 34 测验 联考 某社团共有 46 人, 其中 35 人爱好戏剧,30 人爱好体育,38 人爱好写作,40 人爱好收藏, 问这个社团至少有多少人以上四项活动都喜欢?( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 === 本讲概述 === 容斥原理主要用于有重叠部分的计数方法, 其计数思想是先不考虑重叠的情况, 将所有 集合的所有对象数目计算出来, 再逐步排除重叠的情况 === 基础知识 === 三集合容斥原理公式 A B C A B C A B B C C A A B C 两集合容斥原理公式 A B A B A B 对两集合的容斥原理, 由公式还可以得出下述很好用的推论公式 满足条件 1 的个数 + 满足条件 2 的个数 - 都满足的个数 = 总数 - 都不满足的个数

72 === 例题精讲 === 例题 1 上海 2012A-61 某班有 50 位同学参加期末考试, 结果英文不及格的有 15 人, 数学不及格的有 19 人, 英文和数学都及格的有 21 人 那么英文和数学都不及格的有 ( ) 人 A. 4 B. 5 C. 13 D. 17 例题 2 北京 运动会上 100 名运动员排成一列, 从左向右依次编号为 1-100, 选出编号为 3 的倍数的运动员参加开幕式队列, 而编号为 5 的倍数的运动员参加闭幕式队列 问既不参加开幕式又不参加闭幕式队列的运动员有多少人?( ) A. 46 B. 47 C. 53 D. 54 例题 联考 某公司招聘员工, 按规定每人至多可投考两个职位, 结果共 42 人报名, 甲 乙 丙三个职位报名人数分别是 22 人 16 人 25 人, 其中同时报甲 乙职位的人数为 8 人, 同时报甲 丙职位的人数为 6 人, 那么同时报乙 丙职位的人数为 ( ) A. 7 人 B. 8 人 C. 5 人 D. 6 人 例题 4 浙江 某专业有学生 50 人, 现开设甲 乙 丙三门选修课 有 40 人选修甲课程,36 人选修乙课程,30 人选修丙课程, 兼选甲乙两门课程的有 28 人, 兼选甲丙两门课程的有 26 人, 兼选乙丙两门课程的有 24 人, 甲乙丙三门课程均选的有 20 人, 问三门课程均未选的有多少人? A. 1 人 B. 2 人 C. 3 人 D. 4 人 例题 5 河北 某乡镇对集贸市场 36 种食品进行检查, 发现超过保质期的 7 种, 防腐添加剂不合格的 9 种, 产品外包装标识不规范的 6 种 其中, 两项同时不合格的 5 种, 三项同时不合格的 2 种 问三项全部合格的食品有多少种? A. 14 B. 21 C. 23 D. 32 例题 6 河北 某通讯公司对 3542 个上网客户的上网方式进行调查, 其中 1258 个客户使用手机上网,1852 个客户使用有线网络上网,932 个客户使用无线网络上网 如果使用不只一种上网方式的有 352 个客户, 那么三种上网方式都使用的客户有多少个? A. 148 B. 248 C. 350 D. 500 例题 7 河北 某中学在高考前夕进行了四次语文模拟考试, 第一次得 90 分以上的学生为 70%, 第二次是 75%, 第三次是 85%, 第四次是 90%, 请问在四次考试中都是 90 分以上的学生至少是多少? A. 40% B. 30% C. 20% D. 10%

73 === 课后练习 === 练习 1 北京社招 对 39 种食物中是否含有甲 乙 丙三种维生素进行调查, 结果如下 : 含甲的有 17 种, 含乙的有 18 种, 含丙的有 15 种, 含甲 乙的有 7 种, 含甲 丙的有 6 种, 含乙 丙的有 9 种, 三种维生素都不含的有 7 种, 则三种维生素都含的有多少 种? A. 4 B. 6 C. 7 D. 9 练习 2 国考 某高校对一些学生进行问卷调查 在接受调查的学生中, 准备参加注册会计师考试的有 63 人, 准备参加英语六级考试的有 89 人, 准备参加计算机考试的有 47 人, 三种考试都准备参加的有 24 人, 准备选择两种考试都参加的有 46 人, 不参加其中任何一种考试的有 15 人 问接受调查的学生共有多少人?( ) A. 120 B. 144 C. 177 D. 192 练习 3 江苏 2009A-19 某调查公司对甲 乙 丙三部电影的收看情况向 125 人进行调查, 有 89 人看过甲片, 有 47 人看过乙片, 有 63 人看过丙片, 其中有 24 人三部电影全看过, 20 人一部也没有看过, 则只看过其中两部电影的人数是 ( ) A. 69 人 B. 65 人 C. 57 人 D. 46 人 练习 4 浙江 建华中学共有 1600 名学生, 其中喜欢乒乓球有的 1180 人, 喜欢羽毛球有的 1360 人, 喜欢篮球的有 1250 人, 喜欢足球的有 1040 人, 问以上四项球类运动都喜欢的至少有几人? A. 20 人 B. 30 人 C. 40 人 D. 50 人 本讲题目精解 测验 1 [ 答案 ]B [ 解析 ] 直接应用三集合容斥原理公式, 可知 :290= X, 根据尾 数法可知答案为 B 测验 2 [ 答案 ]D [ 解析 ] 本题注意按照不合格得到三个类, 进行容斥原理分析 分别设三项全部合格 仅一项不合格的产品有 X Y 种, 根据题意可得 Y+7+1=52-X, Y=8+10+9, 解得 X=34,Y=10 测验 3 [ 答案 ]A [ 解析 ] 逆向考虑, 分别考虑不喜欢其中某项活动的人数是多少 由题意可知, 不喜欢戏剧的 有 11 人, 不喜欢体育的有 16 人, 不喜欢写作的有 8 人, 不喜欢收藏的有 6 人, 只有当这四

74 项集合相互没有交集时, 四项活动都喜欢的人数才最少, 因此最少人数为 =5 人, 正确答案为 A 例题 1 [ 答案 ] B [ 解析 ] 记英文不及格为条件 1, 数学不及格为条件 2, 根据两集合容斥原理推论公式, 可得 : x=50-21, 可得 x=5 例题 2 [ 答案 ] C [ 解析 ] 编号为 3 的倍数的运动员共有 100/3 取整, 为 33 人 ; 编号为 5 的倍数的运动员共有 100/5=20 人 ; 两者都满足的运动员共计 100/15 取整, 为 6 人 根据两集合容斥原理公式, 参加开幕式或闭幕式的运动员共有 =47 人, 因此都不参加的有 53 人 例题 3 [ 答案 ] A [ 解析 ] 三集合容斥原理公式,42= x+0, 根据尾数法可知 x=7 例题 4 [ 答案 ]B [ 解析 ] 这是典型的三集合容斥原理题目, 画文氏图即可 如下 : 例题 5 [ 答案 ] C [ 解析 ] 假定只有一项都不合格的为 X, 则可得 7+9+6=X , 解得 X=6 因 此三种都合格的食品有 =23 例题 6 [ 答案 ] A [ 解析 ] 假定只用一种 用两种 用三种上网的客户分别为 X Y Z, 根据题意可得 : =X+2Y+3Z,3542=X+Y+Z,352=Y+Z, 解得 X=3190,Y=204,Z= 148 因此三种方式都用的客户有 148 个 例题 7 [ 答案 ] C [ 解析 ] 四次没考到 90 分以上的学生分别占 30% 25% 15% 10%, 要使得四次都是 90 分以上的学生最少, 则应使某次没考到 90 分以上的学生尽可能多, 也即四次没考到 90 分以上的学生人数互不相交, 从而四次都在 90 分以上的学生最少有 1-30%-25%-15%-10%= 20% 练习 1 [ 答案 ]A [ 解析 ] 直接应用三集合容斥原理公式, 可知 : X=39-7, 根据尾数 法可知答案为 A 练习 2 [ 答案 ]A