Chapter 2: Path Integral Formalism of Quantum Mechanics Chen Huang 2020 年 7 月 8 日 1 Definition of Propagator Time Independent Case i h ψ(t) = H ψ(t) (

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布裴
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1 Chapter : Path Integral Foralis of Quantu Mechanics Chen Huang 00 年 7 月 8 日 Definition of Propagator Te Independent Case i ψt H ψt t H 不含时, 波函数可以写成 t 是 t 之前的任意一个时间点 ψt ī h Ht t ψt 将 r 作用在方程两边 r ψt r ī h Ht t ψt 3 单位算符 d r r r 作用在方程右边 r ψt d r r ī h Ht t r r ψt 4 ψ r, t ψ r, t r ψt 5 d r r ī h Ht t r ψ r, t d r K r, t; r, t ψ r, t 6 在物理上,K r, t; r, t 被称为传播子 propagator, 在数学上是 Kernel 或 Green s function 定义 K r, t; r, t r ī h Ht t r 7 当 t t 时 K r, t; r, t r r δ r r 8 假定 H 存在一系列本征态和相应的本征值 H n E n n 9 n 构成完备基, 存在单位算符 n n 0

2 n DEFIITIO OF PROPAGATOR K r, t; r, t r ī h Ht t r r n n ī h Ht t n n r n n ψ n rδ n,n ψ n r ī h E nt t n n n ψ n rψ n r e ī h Ent t ψ n re ī h Ent ψ n r e ī h Ent n ψ n r, tψ n r, t Exaple: The Free Particle 自由粒子的解是平面波其传播子由于 ψ p r, t H i p r p π 3/ t K r, t; r, t ψ p r, tψ p r, t d p 4 i p d p π 3 r r ip t t 3 d p dp x dp y dp z 5 且 dp x, dp y, dp z 等价 i dp x p x x x i p xt t { dp x i } t t p x x x p x t t { dp x i t t p x x } x x x t t t t x x { dp t t x i t t p x x } x t t x x dp t t x i t t p x 根据 Euler integral π dxe αx α i dp x p x x x i p xt t x x t t π it t 6 7 8

3 EQUATIO OF MOTIO FOR K R, T ; R, T 3 故 General Case 3 π K r, t; r, t r r it t t t 9 回到前面不含时情况下的波函数 ψ r, t d r r ī h Ht t r ψ r, t d r r ī h Ht t + t t r ψ r, t d r r ī h Ht t ī h Ht t r ψ r, t d r d r r ī h Ht t r r ī h Ht t r ψ r, t d r d r K r, t; r, t K r, t ; r, t ψ r, t 0 又即 ψ r, t K r, t; r, t d r K r, t; r, t ψ r, t d r K r, t; r, t K r, t ; r, t 因此 K r, t; r, t d r d r d r K r, t; r, t K r, t ; r, t K r, t ; r, t 3 Equation of Motion for K r, t; r, t 前面我们讨论的都是比较熟悉的薛定谔方程里面的东西, 接下来我们来研究 K r, t; r, t 的另一个性质, 即讨论格林函数 K r, t; r, t 的运动方程 ψ r, t K r, t; r, t ψ r, t d r 4 将 i H 算符作用在方程两边 t 0 i t H K r, t; r, t ψ r, t d r 5 因此我们得到 K 的运动方程 i t H K r, t; r, t 0 6 传播子代表是 t 时刻对 t 时刻的影响, 也就是说 t 时刻的性质是由 t 时刻决定的, 且 t > t 当 t < t 时, 若 K 0, 则代表后面时刻 t 可以影响前面时刻 t, 这显然是不对的因此 i K r, t; r, t 0 t t > t K r, t; r, t 0 t < t 7

4 3 TIME-DEPEDET CASE 4 在 t t 时, 有奇性 singular, 即 i t H K r, t; r, t c r, r δt t 8 接下来我们来确定 c r, r, 两边积分 i t H K r, t; r, t dt LHS t + t + t + t i t H K r, t; r, t dt + i t H K r, t; r, t dt i t H K r, t; r, t dt ik r, t t ; r, t 当 H 不含时时,K r, t t ; r, t δ r r, 因此 t + t t + t c r, r δt t dt 9 i t H K r, t; r, t dt i t K r, t; r, t dt 30 LHS iδ r r 3 由 LHSRHS 得 RHS c r, r δt t dt c r, r 3 c r, r iδ r r 33 则 i t H K r, t; r, t iδ r r δt t 34 这就是 K r, t; r, t 的运动方程 3 Te-dependent Case 前面我们讨论的都是 H 不含时的情况, 接下来我们讨论 H 含时的情况 i ψt Ht ψt 35 t 可以将波函数写成以下形式 ψt Ut, t ψt 36 Ut, t 为演化算符 evolution operator, 将 ψt 代回薛定谔方程得到 i t Ut, t HtUt, t 37 对波函数作用 r r ψt r Ut, t ψt d r r Ut, t r r ψt 38 即 ψ r, t d r K r, t; r, t ψ r, t 39

5 3 TIME-DEPEDET CASE 5 定义普遍情况的传播子 K r, t; r, t r Ut, t r 40 不断重复作用演化算符, 可以得到因此 Ut, t Ut, t Ut, t Ut, t 4 K r, t; r, t r Ut, t r r Ut, t Ut, t Ut, t r d r d r d r r Ut, t r r Ut, t r r Ut, t r d r d r d r K r, t; r, t K r, t ; r, t K r, t ; r, t 4 很容易发现并验证 U t, t Ut, t 43 i t U t, t HtU t, t 44 ψt ψt ψt U t, t Ut, t ψt 45 因此 U t, t Ut, t 46 U t, t U t, t Ut, t 47 因此 U 是幺正算符 unitary operator 则定义 r, t U t, 0 r 48 r, t r Ut, 0 49 接下来讨论特殊情况 :HtH K r, t; r, t r Ut, t r r Ut, 0U0, t r r Ut, 0U 0, t r r, t r, t Ut, t iht t Ut, 0 iht iht r, t U t, 0 r iht n K r, t; r, t r, t r, t n ien t t n r n n ψ n r n ie t ψ n rψ n r n iht ien t n ψ r n n r ψ n r ien t ψ n r, tψ n r, t ψ n r n

4 FEYMA S FORMULATIO OF QUATUM MECHAICS 6 与第一节中哈密顿量不含时定义推导得到的传播子一致我们来证明一个单位算符 d r r, t r, t d re iht/ r r e iht/ e iht/ e iht/ 55 K r, t; r, t r, t r, t d r r, t r, t r, t r, t 56 4 Feynan s

6 4 FEYMA S FORMULATIO OF QUATUM MECHAICS 6 与第一节中哈密顿量不含时定义推导得到的传播子一致我们来证明一个单位算符 d r r, t r, t d re iht/ r r e iht/ e iht/ e iht/ 55 K r, t; r, t r, t r, t d r r, t r, t r, t r, t 56 4 Feynan s Forulation of Quantu Mechanics 为了书写方便, 我们写成一维形式 x, t x, t dx dx dx x, t x, t x, t x, t x, t x, t 57 粒子从 x, t 以任意一条路径运动到 x, t Dirac s Reark 若 t t t i t x, t x, t L classical x, ẋ, tdt 58 拉格朗日作用量设 t t n t n 0 tn Sn, n L classical x, ẋ, tdt 59 t n isn, n x n, t n x n, t n 60 tn ẋ Sn, n V x dt t n 6 xn x n xn + x n t V t

7 4 FEYMA S FORMULATIO OF QUATUM MECHAICS 7 我们可以在 x, t x, t 直接放入无穷个积分, 使 t 无穷小其中 x, t x, t dx dx dx x, t x, t x, t x, t x, t x, t dx dx dx n i Dxt Sn, n n { } i Dxt S xt S xt i Sn, n Sn, n n t 设 rt 0 r, rt r, t 0 t, t t, 且 t 0, t,, t, t 等分 6 t Lx, ẋ, tdt 63 我们希望 ε t j t j j,,, 64 t S rt L r, r, rj + r j tdt ε L, r j r j, t + jε 65 t ε j { } i K r, t ; r, t r, t r, t D rt S rt 66 K r, t ; r, t l K r, t ; r, t 67 Review: Euler-Lagrange Principle 已知一个粒子 t a 和 t b 时刻的位置, 它的运动轨迹是使作用量 Sxt 最小的那一条根据最小作用量原理 tb δsxt δ t a tb t a tb t a tb t a tb t a Lx, ẋ, tdt L L δx + x ẋ δẋ dt L L d δx + x ẋ dt δx dt L L x d dt L x d dt ẋ L ẋ δxdt + δxdt 0 tb L ẋ δx t a 68

8 4 FEYMA S FORMULATIO OF QUATUM MECHAICS 8 得到 Euler-Lagrange Equation L x d dt L 0 69 ẋ Exaple: -D Free Particle 代入拉格朗日方程得 t L x d dt L ẋ 70 L 0 7 ẋ ẋ constant 7 p ẋ x x 73 t t t S xt Lx, ẋ, tdt ẋ dt x x 74 t t t t Sx j+, t j+ ; x j, t j x j+ x j x j+ x j 75 t j+ t j ε 由 Dirac s reark 我们知道, 当 t t 时 isx, t; x Kx, t; x, t, t C C 接下来我们用初始条件来定 C 当 t t 时, 已知积分 l Kx, t; t t x, t C l t t C l t t x x t t 76 Kx, t; x, t δx x 77 α l α e iαx π iπ e 4 δx 78 x x t t x x t t x x πt t πt t x x Ce i π 4 πt t x x δx x δx x π C πt t ei 4 πt t ei π πit t Kx, t; x, t x x C t t πit t x x t t 当 t t 为有限大小时, 我们将 t 到 t 分成无穷等份 Kx, t; x, t dx dx dx πit t ε πit t dx dx dx ε x j+ x j j x j+ x j j0

9 4 FEYMA S FORMULATIO OF QUATUM MECHAICS 9 根据积分于是 dx αx x + βx 3 x αβ α + β x x 3 π α + β dx dy dy 其中 y x 依次积分, 设 dx dx x j+ x j ε j0 dy ε y j+ y j j0 α ε β ε α α β α + β ε α + β ε 85 猜测 α ε 86 则得证得到普遍表达式于是整理成 dx α + α β α + β + ε α + β ε + ε + ε dx dx x j+ x j ε dy dy ε y y x x ε x x πε ε Kx, t; x, t πit t πi ε πε j0 dy πε dx πit t πε 3 dx x x t t x x t t ε y j+ y j j0 πε + π ε dx x j+ x j ε πε 我们发现, 用经典理论导出的结果与量子力学的结果完全一致, 量子力学是可以从经典理论中导出的但量子力学和经典力学的过程完全不同, 如量子力学中粒子没有固定路线算符之间的不对易性海森堡不确定性原理等, 都与经典力学完全不一样过程中发生了什么使得我们通过经典力学的作用量得到量子力学的结果? j

10 4 FEYMA S FORMULATIO OF QUATUM MECHAICS 0 回到一维自由粒子情况 Kx, t; x, t C dx dx dx ε x j+ x j 从中拿出一个积分 dx j ε x j x j ε x j+ x j dx j ε x j x j x j + x j ε x j+ x j+ x j + x j ε x j + x j+ xj x j+ dx j x j x j + x j+ ε ε j0 9 9 已知积分当 0 时, 退化到经典理论, 令 α ε l x j x j + x j+ l 0 ε α l α eiαx π e iπ 4 δx 93 α πε iα x j x j + x j+ α π π α 94 e iπ 4 δ x j x j + x j+ 在经典理论中, 积分退化为一点的贡献, 自由粒子的运动路线是一条直线当有限时,Gauss 函数有一个很小的贡献 x j x j + x j+ ε O 95 x j x j + x j+ ε O 96 展开宽度的量级是 x j x j + x j+ + O 97

5 从 FEYMA 路径积分导出传播子三维情况经典理论下粒子轨迹为一条曲线, 而量子力学下有 3 的展开宽度 5 从 Feynan 路径积分导出传播子 K r, t ; r, t j { i d r j } l S rt j i l d r j ε l l M M M j d r j j rj + r j L im+ d r i d r M { M i ε rj + r j L, r j r

11 5 从 FEYMA 路径积分导出传播子三维情况经典理论下粒子轨迹为一条曲线, 而量子力学下有 3 的展开宽度 5 从 Feynan 路径积分导出传播子 K r, t ; r, t j { i d r j } l S rt j i l d r j ε l l M M M j d r j j rj + r j L im+ d r i d r M { M i ε rj + r j L, r j r j ε j M i d r M l d r j M ε M j j M i l d r i M ε M ri + r i L i im d r M K r, t ; r M, t M K r M, t M ; r, t, r j r j, t + jε ε, t + jε + rj + r j L im+ ri + r i L, r } i r i, t + Mε + iε ε, r j r j, t + jε ε, r i r j, t + Mε + iε ε 98 r M 是赝矢量 duy index, 用 r 表示 r M K r, t ; r, t d r K r, t ; r, t K r, t ; r, t 99 这个方程我们在薛定谔方程中提到过, 现在我们从路径积分中导出同样的结果, 验证了这一点

12 6 DIRAC S REMARK T T 6 Dirac s Reark t t 在量子力学中我们定义 i x, t x, t { i t t Lx, ẋ, tdt x x t t t t V x x, t x, t x ī h Ht t x x ī h H 0 + V t t x } 00 0 H 0 和 V 在量子力学中具有不对易性, 利用如下关系式 εa + B εa εb ε A, B + Oε 3 0 l εa + B εa εb 03 ε 0 由于 t t 0, x, t x, t x ī h H 0t t ī h V t t x x ī h H 0t t x ī 04 h V x t t 自由粒子的传播子 x ī h H 0t t x πit t x, t x, t πit t { ī h 当 t t 时,Feynan 给出的结果和 Schrödinger 给出的结果一致 x x t t x x t t V x t t } 从 Feynan 路径积分导出 t t finite 时的传播子 x, t x, t x ī h Ht t x x ī h Ht t ī h Ht j+ t j ī h Ht t x dx dx x ī h Ht t x x j+ ī h Ht j+ t j x j x ī h Ht t x πiε Dxt dx dx { i t t { j ẋ V x dt xj+ x j } ε ī } h εv x j 07

13 8 从 FEYMA 路径积分导出传播子的运动方程 3 根据 Lie-Trotter Forula ita itb ita + B l 08 x ī h Ht t x x ī h H 0 + V t t x x ih 0ε iv ε x dx dx x ih 0ε iv ε x x ih 0ε x x dx j iε j p iε V x x x iε V x x x x iε p iε V x x x i t dx j Ldt πiε t j Kx, t, x, t 我们可以从 Feynan 路径积分给出量子力学的结果 i Dxt St.t iv ε iε p x 从 Feynan 路径积分导出传播子的运动方程已知运动方程 x, t x, t πiε 方程左边其中 j πit t i t x, t x, t x + V x x, t x, t i dx j St, t πiε j i i dx j St, t Sn, n i t x, t x, t i x, t x, t t t t St, t x, t x, t 3 t St, t x + x t t L, x x, t + t t t t { } x t t t x x + x V t t x x x + x V t t T V n 4

14 9 EQUIVALECE OF FEYMA S FORMULATIO AD SCHRÖDIGER FUCTIO 4 代回 Eq.3 i t x, t x, t i x, t x, t t t t St, t x, t x, t i + x t t x + V x x, t x, t t t 5 方程右边其中 x x, t x, t ī h x, t x, t x St, t ī h x, t x, t x RHS x + V x x, t x, t 6 { } x t t x x + x V t t 7 x x x, t x, t t t x x, t x, t x x x, t x, t x t t x x t t x, t x, t t t RHS x + V x x, t x, t i + x x + V x x, t x, t t t t t LHSRHS, 故运动方程得证即可以通过 Feynan 路径积分导出运动方程 Equivalence of Feynan s Forulation and Schrödinger Function ψx, t + ε Kx, t + ε, y, tψy, tdy 0 Dirac s reark 给出, 当 ε 0 + 时 iε x + y Kx, t + ε, y, t C L, x y { iε x y x + y, t C V, t } ε ε 代回 Eq.0 { iε ψx, t + ε C x y V ε x + y, t } ψy, tdy 令 x y η { iε η ψx, t + ε C dη ε V x + η }, t ψx + η, t 3 展开 ψx, t + ε η t ψ C dη iε ε V x + η, t ψx, t + η x ψ + η x ψ + 4

15 9 EQUIVALECE OF FEYMA S FORMULATIO AD SCHRÖDIGER FUCTIO 5 由于 η ε O η O ε 5 ε 和 η 是小量 ψx, t + ε η t ψ C dη iε ε V x, t ψx, t + η x ψ + η x ψ + 6 已知积分则整理得 η πεi dη ε η dη ε η π dη η ε 7 η εi πεi C C η π εi η πεi C dη ε πεi iε 3 ψx, t + ε η t ψ C dη iε ε V x, t ψx, t + η x ψ + η x ψ + iε V x, t ψx, t + 3 ψx, tiε x i t ψx, t + V x, t ψx, t 33 x

16 0 FORMULATIO I THE PHASE SPACE 6 0 Forulation in the Phase Space Kx, t; x, t dx j x iε p j x iε p iε V x x j dx j i dp i x iε V x x x iε iε p p iε V x x x iε p dp i iε π iε p iε p j dx j π j dx j π i p p p iε V x x x iε ip x dx j p i ip x ip x ip x ip x iε V x { iε dp i j dx j π j i i iε dp i p iẋ H is dp i p p iε V x x ip x x i x i p i p i ε V x i is Kx, t; x, t DxDp iε V x } iε V x x p p iε V x 从 Feynan 路径积分导出 Kx, t; x, t δx x t t Kx, t; x, t dx Kx, t; x, t d x dx πiε x j+ x j ε j l ε 0 ε x J+ x j πε iπ e 4 δxj+ x j 37 dx d x dx x j+ x j πiε ε πε e iπ 4 πiε i e iπ δx x δx x dx j0 d x dx j0 δx j+ x j 38

17 从 FEYMA 路径积分导出 TIME-DEPEDET CASE 的结论 7 从 Feynan 路径积分导出 Te-dependent Case 的结论设 Ht H 时的解是接下来求 Ut, t 的形式解由于 Ut, t, 得到 t Ut, t + t i + i + i + ψt Ut, t ψt 39 i t Ut, t HtUt, t 40 Ut, t iht t 4 dut, t i HtUt, t dt 4 t dut, t i t t HtUt, t dt 43 Ut, t t HtUt, t dt 44 i t Ht Ut, t dt t Ht + t i t t t Ht dt + t dt i t n t t ī h t t i t t Ht Ut, t dt t t dt t dtht t dt t tn dt t dt Ht Ht Ut, t t dt n Ht Ht Ht n 45 故 Ut, t T ī t dt Ht h t 46 3 General Method for Calculating the Propagator Seiclassical Method Kx, t ; x, t Dxte ī h S 47 其中 S t t dtlx, ẋ, t t t dt ẋ V x, t 48

3 GEERAL METHOD FOR CALCULATIG THE PROPAGATOR SEMICLASSICAL METHOD8 xt x cl t + qt 49 其中 qt 来源于量子涨落 QM-Fluctuation, 是小量,x cl t 满足 L L 0 50 t x cl ẋ cl 由于则又量子涨落其中 ẋt ẋ cl t + qt qt qt 5 t S dt t ẋ cl

18 3 GEERAL METHOD FOR CALCULATIG THE PROPAGATOR SEMICLASSICAL METHOD8 xt x cl t + qt 49 其中 qt 来源于量子涨落 QM-Fluctuation, 是小量,x cl t 满足 L L 0 50 t x cl ẋ cl 由于则又量子涨落其中 ẋt ẋ cl t + qt qt qt 5 t S dt t ẋ cl + q V x cl + q, t t dt t ẋ cl + ẋ cl q + q V x cl, t V q 5 x cl t S cl + dt ẋ cl q + q V q x cl t t t dt d dt ẋq t t dt ẍq + ẋ q 0 53 ẋ q ẍq 54 t S S cl + dt t ẍq + q V q x cl 55 ẍ cl V x cl 56 t S S cl + dt t q V q S x cl + S QM-F cl 57 t S QM-F t t t t t dt dtq V q x cl q d dt V x cl dtqtatqt At d dt V x cl ωt V x cl q 58 d ωt 59 dt 60

19 3 GEERAL METHOD FOR CALCULATIG THE PROPAGATOR SEMICLASSICAL METHOD9 At 是厄米算符 Atφ n t λ n φ n t 6 φ n t 构成完备基, 用 φ n t 展开 qt qt a n φ n t l n n a n φ n t 6 S QM-F n, n, t t dta n a φ n tatφ t t a n a t dtφ n tatφ t t a n a λ dtφ n tφ t n, t a n a λ δ,n T n, a nλ n T n Kx, t ; x, t Dxte ī h S e ī h S cl Dqte ī h S QM F e ī h S cl Dqt a nλ n T n e ī h S cl + π! da n a πit nλ n T n n e ī h S cl + π πi! πit T e ī h S cl π! T πit n λ n n λ n Exaple: -D Free Particle λ n n nπ λ n T 65 nπ! π T T 66 n Kx, t ; x, t e ī h S cl π! e ī h S cl π! πit e ī h S cl πit T πit n λ n T T!π 67

E = B B = B = µ J + µ ε E B A A E B = B = A E = B E + A ϕ E? = ϕ E + A = E + A = E + A = ϕ E = ϕ A E E B J A f T = f L =.2 A = B A Aϕ A A = A + ψ ϕ ϕ

E = B B = B = µ J + µ ε E B A A E B = B = A E = B E + A ϕ E? = ϕ E + A = E + A = E + A = ϕ E = ϕ A E E B J A f T = f L =.2 A = B A Aϕ A A = A + ψ ϕ ϕ .................................2.......................... 2.3.......................... 2.4 d' Alembet...................... 3.5......................... 4.6................................... 5 2 5