递归问题：约瑟夫问题

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赦允庄
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1 递归问题 : 约瑟夫问题聥聭聡聣聳聵聮目录 1 问题描述 1 2 约瑟夫问题递归式 1 3 约瑟夫递归式的解 3 4 拓展 1: 二进制与约瑟夫问题 3 5 拓展 2: 更一般的约瑟夫递归式 4 6 推广 3: 不同基底的约瑟夫递归式 6 7 推广 4: 倒数第二个位置 6 1 问题描述这是一个生死攸关的问题! 至于如何生死攸关参见具体数学耱耮耳节联聨聥聊聯聳聥聰聨聵聳聐聲聯聢耭聬聥聭现在做如下简化 : 假设有 n 个人站成一圈, 现在要每隔一个删除一个人, 直到只有一个人幸存下来例如 n 耽耱耰的情形如图耱所示 : 图耱耺聮耽耱耰的约瑟夫问题消去的顺序是 : 耲耬耴耶耬耸耬耱耰耬耳耬耷耬耱耬耹, 于是耵幸存下来问题 : 确定幸存者的号码 J 耨 n 耩? 2 约瑟夫问题递归式因为有 J 耨耱耰耩耽耵, 所以我们猜测有 J 耨 n 耩耽 n 2, 但是一些简单的如同下表的例子否定了这个猜测耱

2 耲约瑟夫问题递归式 n 耱耲耳耴耵耶 J n 耱耱耳耱耳耵不过我们可以大胆猜测, J 耨 n 耩一定是奇数, 因为绕圈走一圈就消去了全部的偶数如果 n 是偶数, 则走一圈后除了仅剩下一半人口并且他们的号码有变化外, 我们面临的情形是与刚开始相同的情形, 如下图所示 : 图耲耺聮为偶数时的约瑟夫问题如此, 规模为耲 n 问题就变成了规模为 n 的问题这个规模为 n 的问题与原来相比只是在人员的序号上有所不同, 具体说来就是除了每个人的号码加倍并减去耱外, J 耨耲 n 耩问题和耲 J 耨 n 耩耱问题没有什么区别即 J 耨耲 n 耩耽耲 J 耨 n 耩耱, n 耱耨耲耮耱耩由上文我们知道 J 耨耱耰耩耽耵, 几乎瞬间我们就会知道 J 耨耲耰耩耽耲 J 耨耱耰耩耱耽耲耵耱耽耹 1 如此可以瞬间解决所有的 J 耨耵耲耩, 耱问题, J 耨耵耲耩耽耲 J 耨耵耲耩耫耱耽耲耲耫耱耽 +1 耲耫耱, 这一步隐含了数学归纳法的证明过程假设 n 是奇数, 与偶数不同的情形在于, 转第一圈后就把编号为耱的人给杀掉了, 第二圈开始是从编号为耳的人开始的, 第二圈开始后第一个要杀掉的人是耵图耳耺聮为奇数时的约瑟夫问题如此, J 耨耲 n 耫耱耩问题就简化为耲 J 耨 n 耩耫耱问题, 即 : J 耨耲 n 耫耱耩耽耲 J 耨 n 耩耫耱, n 耱耨耲耮耲耩综上, 约瑟夫问题递归式可以总结为 : 耲耯耶

3 耴拓展耱耺二进制与约瑟夫问题 J 耨耱耩耽耱 J 耨耲 n 耩耽耲 J 耨 n 耩耱耨耲耮耴耩 J 耨耲 n 耫耱耩耽耲 J 耨 n 耩耫耱 3 约瑟夫递归式的解从约瑟夫递归式可以看出, 不同于汉诺塔和披萨饼问题, 约瑟夫问题递归式给出的不是 J 耨 n 耩和 J 耨 n 耱耩之间的递归关系, 而是 J 耨耲 n 耩或者 J 耨耲 n 耱耩与 J 耨 n 耩之间的关系有了递归式, 我们计算一些较小的值 n 耱耲耳耴耵耶耷耸耹耱耰耱耱耱耲耱耳耱耴耱耵耱耶 J n 耱耱耳耱耳耵耷耱耳耵耷耹耱耱耱耳耱耵耱显然, 从上面的表格中可以看出, 将 n 按照耲的幂次进行分组或许会出现一些转机每一组开始的 J 耨 n 耩总是等于耱仔细观察上表, 如果将 n 写作耲耫 l, 则 J 耨 n 耩耽 J 耨耲耫 l 耩耽耲 l 耫耱, 耰 l < 耲耮其中耲是不超过 n 的耲的最大幂, 而 l 耽 n 耲事实上, 可以对使用数学归纳法证明 : J 耨 n 耩耽 J 耨耲耫 l 耩耽耲 l 耫耱, 耰 l < 耲耨耳耮耱耩如此, 我们得出了约瑟夫问题的闭式解对于 J 耨耱耰耰耩因为耱耰耰耽耲 6 耫耳耶, 所以 J 耨耱耰耰耩耽耲耳耶耫耱耽耷耳 4 拓展 1: 二进制与约瑟夫问题接下来我们针对约瑟夫问题做一些深入的挖掘在求解约瑟夫问题递归式闭式解的过程中, n 和 J 耨 n 耩的以耲为基的表示发挥着重要的作用, 我们自然要研究以耲为基的表示与约瑟夫问题之间的关系假设 n 的二进制表示为 : n 耽耨 b b 1... b 1 b 0 耩 2 耨耴耮耱耩即, n 耽 b 耲耫 b 1 耲 1 耫 b 1 耲耫 b 0, 其中 b i, i 耽耰, 耱,..., 耱为耰或者耱 b 耽耱, 注意 n 耽耲耫 l, 所以 : n 耽耨耱 b 1... b 1 b 0 耩 2 l 耽耨耰 b 1... b 1 b 0 耩 2 耲 l 耽耨 b 1... b 1 b 0 耰耩 2 耲 l 耫耱耽耨 b 1... b 1 b 0 耱耩 2 J 耨 n 耩耽耨 b 1... b 1 b 0 b 耩 2 耨耴耮耲耩耨耴耮耳耩耨耴耮耴耩耨耴耮耵耩耨耴耮耶耩耳耯耶

4 耵拓展耲耺更一般的约瑟夫递归式即, 我们得到了 : J 耨耨 b b 1... b 1 b 0 耩 2 耩耽耨 b 1 b 2... b 1 b 0 b 耩 2 耨耴耮耷耩在计算机程序设计过程中, 只需要对 n 的二进制表示循环左移耱位即可得到 J 耨 n 耩耡耡耡这是多么的令人激动啊! 在刚开始的时候, 我们看约瑟夫问题显得好困难, 但是, 此刻我们只需要对 n 的二进制表示循环左移耱位即可得到 J 耨 n 耩耡耡耡对一个问题深入分析竟然可以得到如此精妙而简洁的答案! 高老头不愧是高老头! 还以 J 耨耱耰耰耩为例, 因为耱耰耰耽耨耱耱耰耰耱耰耰耩 2, 所以 J 耨耨耱耱耰耰耱耰耰耩 2 耩耽耨耱耰耰耱耰耰耱耩 2 耽耷耳耡耡耡 5 拓展 2: 更一般的约瑟夫递归式接下来跟进一步深入挖掘该问题, 对约瑟夫递归式做更进一步的推广如下 : f 耨耱耩耽 α f 耨耲 n 耩耽耲 f 耨 n 耩耫 β 耨耵耮耲耩 f 耨耲 n 耫耱耩耽耲 f 耨 n 耩耫 γ 表可以看出在约瑟夫问题中, α 耽耱, β 耽耱, γ 耽耱接下来, 我们依然从小入手, 得出下聮耱耲耳耴耵耶耷耸耹 f 耨 n 耩 α 耲 α 耫 β 耲 α 耫耫 γ 耴 α 耫耳 β 耴 α 耫耲 β 耫 γ 耴 α 耫 β 耫耲 γ 耴 α 耫耫耳 γ 耸 α 耫耷 β 耸 α 耫耶 β 耫 γ 从上表我们可以看出, α 的系数是耲的幂, 且不超过聮 β 的系数则从耲的幂减一递减到耰,γ 的系数则从耰开始递增直到耲的幂减一于是式耨耲耮耱耩的解可以表示为 : f 耨 n 耩耽 A 耨 n 耩 α 耫 B 耨 n 耩 β 耫 C 耨 n 耩 γ 耨耵耮耳耩则, A 耨 n 耩, B 耨 n 耩, C 耨 n 耩可以分别表示为 : A 耨 n 耩耽耲 B 耨 n 耩耽耲耱 l 耨耵耮耵耩 C 耨 n 耩耽 l 耴耯耶

5 耵拓展耲耺更一般的约瑟夫递归式其中, n 耽耲耫 l, 耰 l < 耲, n 耱耮对式耨耵耮耳耩用数学归纳法可以证明联想到之前采用二进制表示约瑟夫问题的解 : J 耨耨 b b 1... b 1 b 0 耩 2 耩耽耨 b 1 b 2... b 1 b 0 b 耩 2 耨耵耮耶耩 n 的循环左移即是 J 耨 n 耩的解那么对于式耨耵耮耶耩这个更一般的推广, 有没有二进制表示呢? 当然有! 首先式 ( 耵耮耶 ) 可以改写为 : f 耨耱耩耽 α f 耨耲 n 耫 j 耩耽耲 f 耨 n 耩耫 β j, j 耽耰, 耱耨耵耮耸耩则式耨耵耮耸耩可以改写为 : f 耨耨 b b 1... b 1 b 0 耩 2 耩耽耲 f 耨耨 b b 1... b 2 b 1 耩 2 耩耫 β b0 耽耴 f 耨耨 b b 1... b 3 b 2 耩 2 耩耫耲 β b1 耫 β b0 耮耽耸 f 耨耨 b b 1... b 4 b 3 耩 2 耩耫耴 β b2 耫耲 β b1 耫 β b0 耨耵耮耱耰耩耽耲 f 耨耨 b 耩 2 耩耫耲 1 β b 1 耫... 耫耲 β b1 耫 β b0 最后, 可得 : 耽耲 α 耫耲 1 β b 1 耫... 耫耲 β b1 耫 β b0 f 耨耨 b b 1... b 1 b 0 耩 2 耩耽耨 αβ b 1 β b 2... β b1 β b0 耩 2 耨耵耮耱耱耩事实上我们对 f 耨 n 耩的前几个解稍加整理即可看出式耨耵耮耱耱耩的精妙如下表聮 f 耨 n 耩耱 α 耲耲 α 耫 β 耳耲 α 耫 γ 耴耴 α 耫耲 β 耫 β 耵耴 α 耫耲 β 耫 γ 耶耴 α 耫耲 γ 耫 β 耷耴 α 耫耲 γ 耫 γ 在此, 我们有 β 0 耽 β, β 1 耽 γ 耮仍然以 J 耨耱耰耰耩为例, 因为耱耰耰耽耨耱耱耰耰耱耰耰耩 2, 其解为 : 耨 αβ b 1 β b 2... β b1 β b0 耩 2 耽耨耱 β 1 β 0 β 0 β 1 β 0 β 0 耩 2 耨耵耮耱耲耩因为 α 耽耱, β 0 耽 β 耽耱, β 1 耽 γ 耽耱, 所以式耨耵耮耱耲耩可以重写为 : 耨耱 β 1 β 0 β 0 β 1 β 0 β 0 耩 2 耽耨耱耱耱耱耱耱耱耩 2 耽耷耳耨耵耮耱耳耩注意在此, 我们突破了二进制只有耰和耱的限制, 不过这一突破使得约瑟夫的解更加的精炼耵耯耶

6 耷推广耴耺倒数第二个位置 6 推广 3: 不同基底的约瑟夫递归式可以沿着推广耲的思路走的更远, 我们对式耨耵耮耸耩做更进一步修改 : f 耨 j 耩耽 α j, 耱 j < d f 耨 dn 耫 j 耩耽 cf 耨 n 耩耫 β j, 耰 j < d 耨耶耮耲耩式耨耶耮耲耩有变动基数的解 : f 耨耨 b b 1... b 1 b 0 耩 d 耩耽耨 α b β b 1 β b 2... β b1 β b0 耩 c 耨耶耮耳耩 7 推广 4: 倒数第二个位置约瑟夫有一个朋友, 他站在倒数第二个位置上因而获救当每隔一个人就有一个人被处死时, 倒数第二个幸存者 I 耨 n 耩的号码是多少? 每隔一个人就有一个人被处死的约瑟夫问题解为 : J 耨 n 耩耽 J 耨耲耫 l 耩耽耲 l 耫耱耨耷耮耱耩此时有 : 耲 l 耫耱耽 n 耱 n 耽耲 l 耫耲, 满足此式的 n 总是倒数第二个位置上的人获救耶耯耶

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