貓圍棋

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低勉经
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1 中華民國嘉義市第三十二屆國民中小學科學展覽會作品說明書科組別 : 數學科別 : 國小組作品名稱 : 進擊的魔術數學骰子關鍵詞 : 機率組合規律編號 :

2 進擊的魔術數學骰子摘要設五個三位數 (ABC) 四位數(ABDC) 五位數(ABDEC) N 位數 (AB C) 的魔術數學骰子, 只要遵守魔術骰子的製作的規律原理 : 同一個骰子中間數 (B ) 是相同, 五個不同中間數和 Bt=10 N-2 T,T 是正整數,A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 且 S=At( 五個不同骰子 A 的和 )+Ct( 五個不同骰子 C 的和 )+T=50, 擲出五個骰子的五個數和一定是 10 N-1 (50-Ct)+Ct, 即五個數和的最左邊兩位數是 50-Ct, 中間要有 N-3 個 0, 最右邊兩位數十位與個位數就是 Ct 創新魔術數學骰子的新玩法是調整成四位數, 讓十位數字是 0, 設四位數是 AB0C, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個可以克服 S 是 50 的要求在五個骰子中取四個時, 其 A+C=12, 中間數 B: 時, T=2 是可以成立的, 五個骰子中擲出四個四位數和等於 (50-Ct) (10-B) +Ct; 在七個骰子中取六個時, 其 A+C=8, 中間數字 B 是時,T =2 是可以成立的, 七個骰子中擲出六個四位數和等於 (50-Ct) (8-B) +Ct, 但要記住和中百位數的對應關係,B 則為未被抽中的骰子數 AB0C 中 B0 的 B 壹研究動機在學校時同學神秘兮兮的拿著有數字的骰子在玩, 我好奇的問 : 那是做什麼的? 怎麼玩?, 他拿出五個骰子要我檢查是不是每一面上的三位數的數字都不一樣, 果然都不一樣接著說 : 我們來比賽, 看誰可以先算出丟出去五個骰子上的三位數和, 而且可以讓你用計算機, 並且再讓你 3 秒! 如何? 在不服氣的心情下, 我接受了挑戰, 但結果我輸了事後我想這數字骰子一定有什麼古怪, 於是就找了同學請教了老師, 進行了這個魔術數學骰子的研究貳研究目的一探討魔術數學骰子能快速得知答案的數字秘密規則二研究利用這些規律是否可以發展出 4 5 N 位數的魔術數學骰子三研究魔術數學骰子的個數與位數是否影響速解的情形四研究是否可以加入創新的想法讓玩家覺得更有趣更不可思議參研究設備及器材魔術數學骰子電腦筆紙 1

3 肆研究過程一魔術數學骰子簡介 : ( 一 ) 根據同學拿來的魔術數學骰子共有五個, 每一個有六個面, 每一面的三位數的數字都不一樣, 詳述如表一表一五個魔術數學骰子的三位數數字分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第一面第二面第三面第四面第五面第六面同一個三位數百位數字與個位數字和擲出五個百位數字與個 =47 位數字和同一個骰子十位數字擲出五個三位數的十位 10 ( )=10 30=300 數和 ( 二 ) 同一個骰子六個面的百位數字與個位數字和是相同的, 且十位數字也相同, 並發現五個骰子擲出後任一組五個三位數中的十位數和都是 300; 任一組五個三位數中百位數字與個位數字和是 47,47 再加上十位數和 300 中進位到百位數的數字是 3 等於 47+3=50, 即任一組五個三位數中百位數字和加上個位數字和, 再加上十位數和進位到百位數的數字是剛好 50 ( 三 ) 五個骰子擲出後任一組的三位數和, 其千位與百位的兩位數字是 (50- 個位數字和 ); 十位與個位的兩位數字是五個三位數的個位數字和, 若個位數字和不到十位數, 則在個位數字和的個位數前要記得加 0 即五個三位數和的速算公式為 100(50- 個位數字和 )+ 個位數字和隨意擲出五個骰子如表一中紅色底的三位數, 其五個三位數和 =2426, 亦等於 100[50-( )]+( )=100 (50-26)+26=2426, 所以速算方式是成立的 ( 四 ) 在玩的過程中發現, 可以訓練我們五個個位數字的心算加法及 50 減去個位數字和的心算減法 2

4 二魔術數學骰子的分析 ( 一 ) 設每個骰子每一面三位數為 ABC,A 為百位數字,B 為十位數字,C 為個位數字, 即 ABC=100A+10B+C, 則擲出五顆骰子朝上的五個三位數為第一顆骰子是 A1B1C1, 第二顆骰子是 A2B2C2, 第三顆骰子是 A3B3C3, 第四顆骰子是 A4B4C4, 第五顆骰子是 A5B5C5 ( 二 ) 為了計算的方便同一個骰子的十位數字 (B) 是相同的, 但不同骰子的十位數字是不相同的, 即 B1 B2 B3 B4 B5, 而且五個骰子的十位數字和 [Bt=B1+B2+ B3+B4+B5=10T(T 為正整數 )] 為 10 的倍數, 也就說十位數和 (10Bt) 的十位數是 0, 才不至於與個位數字和 (Ct=C1+C2+C3+C4+C5) 中的十位數字還要進行加法進位的運算, 導致運算的複雜困難其中 : 因 B1 B2 B3 B4 B5, 所以 Bt=10T =B1+B2+B3+B4+B5 的最小可能是 =10; 最大可能是 =35, 但要符合十的倍數, 所以最大是 30, 所以中間十位數字 (B) 相加的和只有及 30 三種, 即 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形 ( 三 ) 擲出五個骰子的任一組五個三位數, 其百位數字和 (At=A1+A2+A3+A4+A5)+ 個位數字和 (Ct=C1+C2+C3+C4+C5)+ 十位數字和進到百位的數字 (T)=At +Ct+T=S=10Y(Y 為正整數 ), 即 10 的倍數, 才能有利於心算的方便計算 ( 四 )A 與 C 的探討 : 設 ABC 是三位數, 所以 A 是百位數字不得為 0, 則 0<A 9, 而 C 為個位數字, 則 0 C 9, 則 0+1 A+C 9+9, 即 1 A+C 18, 且每個骰子六個面三位數中的十位數字 B 是相同的, 但六個面數字要不相同, 所以只有 A+C = 是符合以上條件的, 詳情如下表二 : 表二在十位數字 B 是相同時, 百位數字 A 與個位數字 C,(A C) 配對是否滿足同骰子六個面數字不相同的分析表 A+C (A C) 可是否滿足六個 (A C) 配對的可能情形 =? 行配對數面數字不相同 1 (1,0) 1 否 2 (2,0) (1,1) 2 否 3 (3,0) (2,1) (1,2) 3 否 (4,0) (3,1) (1,3) 4 4 否 (2,2) (5,0) (4,1) (1,4) 5 5 否 (3,2) (2,3) (6,0) (5,1) (1,5) 6 6 是 (4,2) (2,4) (3,3) (7,0) (6,1) (1,6) 7 7 是 (5,2) (2,5) (4,3) (3,4) (8,0) (7,1) (1,7) 8 8 是 (6,2) (2,6) (5,3) (3,5) (4,4) 3

5 9 (9,0) (8,1) (1,8) (7,2) (2,7) (6,3) 9 是 (3,6) (5,4) (4,5) 10 (9,1) (1,9) (8,2) (2,8) (7,3) (3,7) 9 是 (6,4) (4,6) (5,5) 11 (9,2) (2,9) (8,3) (3,8) (7,4) (4,7) 8 是 (6,5) (5,6) 12 (9,3) (3,9) (8,4) (4,8) (7,5) (5,7) 7 是 (6,6) 13 (9,4) (4,9) (8,5) (5,8) (7,6) (6,7) 6 是 14 (9,5) (5,9) (8,6) (6,8) (7,7) 5 否 15 (9,6) (6,9) (8,7) (7,8) 4 否 16 (9,7) (7,9) (8,8) 3 否 17 (9,8) (8,9) 2 否 18 (9,9) 1 否 ( 五 ) 由上表二可知,At+Ct=(A1+C1)+(A2+C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5 +C5) 最小是 =30, 最大是 =65; 若再規定 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 則最小是 =40, 最大是 =55 則擲出五個骰子的任一組五個三位數, 其 At+Ct+T=S=10Y(Y 為正整數 ), 從上述分析已知 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形, 所以 S 的最小值為 30+1=31, 最大值為 65+3=68, 所以 S 可以是 40 或 50 或 60,; 若再規定 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 則 S 的最小值為 40+1=41, 最大值為 55+3=58,S 只可以是 50 三利用上述規則自製一組三位數的魔術數學骰子, 是否也可以符合速算方式 : ( 一 ) 設十位數字和進到和的百位數字是 T,T 可以是 1 或 2 或 3, 先設 T=1, 即 Bt =B1+B2+B3+B4+B5=10, 且因為 B1 B2 B3 B4 B5, 所以 Bt= =10, 因此設 B1=0 B2=1 B3=2 B4=3 B5=4, 又 At+Ct+T=S=50, 則 At+Ct+1 =S=50, 移項 At+Ct=S-1=50-1=49, 亦即 (A1+C1)+(A2+C2)+(A3 +C3)+(A4+C4)+(A5+C5)=49, 因為 6 A+C 13, 則 49 可分為 : 或或或或或共六組, 隨意挑一組為 , 設 (A1+C1)=6 (A2+C2)=7 (A3+C3)=11 (A4+C4)=12 (A5+C5)=13, 所以自製五個骰子的各面組合可以如下表三 : 4

6 表三自製五個魔術數學骰子的三位數組合情形分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆中間的數 B A+C 可第一種能第二種的第三種數第四種字第五種組第六種合第七種第八種 526 共幾種可組成的骰子 C 6 6=1 C 7 6=7 C 8 6=28 C 7 6=7 C 6 6=1 數可組成的五顆骰子組 C 6 6 C 7 6 C 8 6 C 7 6 C 6 6= =1372 ( 二 ) 隨意挑一組五個骰子六個面的數, 如上紅色底的數, 作成如下表四的五個骰子 : 表四從表三中隨意挑一組如紅色底, 自製五個骰子六個面的三位數數字表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第一面第二面第三面第四面第五面第六面由上面的五個骰子可以擲出 =7776 組五個不同三位數的組合, 隨意挑選一組, 假設該組擲出的數如上黃色底的數 : =3020, 亦等於速算公式為 100[50-( )]+( )=3020, 所以是符合的四利用上述規則的相似原理製作一組四位數的魔術數學骰子, 是否也可以符合速算的計算方式 : ( 一 ) 設四位數為 ABDC, 令 S=50, 因為 B1D1 B2D2 B3D3 B4D4 B5D5, 則 Bt=B1D1+B2D2 +B3D3+B4D4+B5D5 最小是 =4, 最大是 = 485, 因為希望不影響個位數字和進位到十位數的部分, 及和的百位數容易記憶套用, 所以 Bt 可以是或 400, 設 Bt=300=100T,T=3,S-T =50-3=47, 因 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 亦即 (A1+C1)+(A2 +C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+C5)=47, 且 6 A+C 13, 則 47 可分為 : 5

7 或或或或或共 6 組, 隨意挑一組為 , 設 (A1+C1)=7 (A2+C2)=8 (A3+C3)=9 (A4+C4)=11 (A5+C5)=12, 又 Bt=B1D1+B2D2+B3D3+B4D4+B5D5=300, 所以 Bt 可以有許多組合, 取其中一組是 , 設 B1D1=58 B2D2=59 B3D3=60 B4D4=61 B5D5=62, 所以自製五個骰子的各面組合可以如下表五 : 表五自製五個魔術數學骰子的四位數組合情形分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆中間的數 BD A+C 可能第一種的數第二種字組第三種合第四種第五種第六種第七種第八種第九種 4605 共幾種可組成的骰子數 C 7 6=7 C 8 6=28 C 9 6=84 C 8 6=28 C 7 6=7 可組成的五顆骰子組 C 7 6 C 8 6 C 9 6 C 8 6 C 7 6= = ( 二 ) 從表五中隨意挑一組五個骰子六個面的數, 如上紅色底的數, 作成如下表六的五個骰子 : 表六從表五中隨意挑一組如紅色底, 自製五個骰子六個面的四位數數字表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第一面第二面第三面第四面第五面第六面由上面的五個骰子可以擲出 =7776 組五個不同四位數的組合, 隨意挑選一組, 假設該組擲出的數如上黃色底的數 : =28022, 亦等於 1000[50-( )]+( )= =28022, 所以是符合的, 但要注意五個四位數和的五位數中間要有一個 0 6

8 五利用上述規則的相似原理製作一組五位數的魔術數學骰子, 是否也可以符合速算的計算方式 : ( 一 ) 設五位數為 ABDEC, 令 S=50, 因為 B1D1E1 B2D2E2 B3D3E3 B4D4E4 B5D5E5, 則 Bt =B1D1E1+B2D2E2+B3D3E3+B4D4E4+B5D5E5 最小是 =10, 最大是 =4985, 因為希望不影響個位數和進位到十位數的部分, 及和的中間數的容易記憶, 所以 Bt 可以是或 4000, 設 Bt=4000=1000T,T=4,S-T=50-4=46, 因 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 亦即 (A1+C1)+(A2+C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+C5)= 46, 且 6 A+C 13, 則 46 可分為 : 或或或或或共 6 組, 隨意挑一組為 , 設 (A1+C1)=6 (A2+C2)=8 (A3+C3)=9 (A4+C4)=11 (A5+C5)=12, 又 Bt=B1D1E1+B2D2E2+B3D3E3+B4D4E4+B5D5E5=4000, 所以 Bt 可以有許多組合, 取其中一組是 , 設 B1D1E1=798 B2D2E2 =799 B3D3E3=800 B4D4E4=801 B5D5E5=802, 所以自製五個骰子的各面組合可以如下表七 : 表七自製五個魔術數學骰子的五位數組合情形分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆中間的數 BDE A+C 可能的數字組合第一種第二種第三種第四種第五種第六種第七種第八種第九種共幾種可組成的骰子數 C 6 6=1 C 8 6=28 C 9 6=84 C 8 6=28 C 7 6=7 可組成的五顆骰子組 C 1 6 C 8 6 C 9 6 C 8 6 C 7 6= = ( 二 ) 從表七中隨意挑一組五個骰子六個面的數, 如上紅色底的數, 作成如下表八的五個骰子 : 7

9 表八從表七隨意挑一組如紅色底, 自製五個骰子六個面的五位數數字表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第一面第二面第三面第四面第五面第六面由上面的五個骰子可以擲出 =7776 組五個不同五位數字的組合, 隨意挑選一組, 假設該組擲出的數如上黃色底的數 : =170033, 亦等於 10000[50-( )]+( )= =170033, 所以是符合的, 但要注意五個五位數和的六位數中間要有兩個 0 六利用上述規則的規律性 :S=At+Ct+T=50, 且 Bt=10 N-2 T, 製作歸納出 N 位數的五個魔術數學骰子擲出五個數和的情形 : ( 一 ) 將上述三四五位數的五個魔術數學骰子擲出五個數和資料整理推衍如下表九 : 表九從三四五位數的五個魔術數學骰子歸納出 N 位數時五個數和的情形幾位數 Bt 擲出五個骰子的五個數和和中間有幾個 T= T 100[50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 2 [50-(C1+C2+ C3+C4+C5)]+(C1+C2+C3+C4+C5)= 0= [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)= (50-Ct)+Ct 4 100T = T 1000[50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 3 [50-(C1+C2+ C3+C4+C5)]+(C1+C2+C3+C4+C5)= 1= [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)= (50-Ct)+Ct T = T 10000[50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)=10 4 [50-(C1+C2+ C3+C4+C5)]+(C1+C2+C3+C4+C5)= 2= [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 +C2+C3+C4+C5)= (50-Ct)+Ct 10 N-1 [50-(C1+C2+C3+C4+C5)]+(C1 N 10 N-2 T +C2+C3+C4+C5), 亦即 10 N-1 (50-Ct) +Ct N-3 8

10 七利用上述規律可否想出創新魔術數學骰子的新玩法情形 : ( 一 ) 可以像魔術袋一樣放入多個數學魔術骰子, 隨意取出幾個是否也能速算出總和? 1. 從六個魔術數學骰子中隨意取出五個擲出五個三位數數字和的情形 : 在表一中隨意加入第六顆骰子製作成如下表十 : 表十六個魔術數學骰子的三位數數字隨意抽五個分析表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第六顆第一面第二面第三面第四面第五面第六面百位數字與個位數字和同一顆骰子十位數字如上表, 從六個魔術數學骰子中隨意取出五個是否符合以上規則 10 N-1 (50-Ct) +Ct, 擲出不是原來表一設計的五個骰子, 例如擲出五個骰子如上黃色底的三位數, 則 = [50-( )] +( )= 2624, 其中 Bty= =29 不等於 10 的倍數而隨意的抽五個骰子,Aty+Cty=(A2+C2)+(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+ C5)+(A6+C6)= =42, 也不合於 42+3=45 S=50, 又再隨意取五個如紅色底的數,Atr+Ctr=(A1+C1)+(A2+C2)+(A3+C3)+(A5+ C5)+(A6+C6)= =46, 又不等於 42,Btr= =25, 也不是 10 的倍數則 S 也不等於 50, 所以是無法利用速算方式來運算的 2. 可以怎樣調整使其符合速算方式? (1) 所以必須克服 At+Ct =Aty+Cty=Atr+Ctr, 及 Bt=Bty=Btr=10T, 且 S=(At+Ct)+T=50 才可以利用此規則計算而要從表二中找到合用的 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 而不一樣的中間數字和 Bt 要等於 10T 是找不到的, 除非中間數字是相同的, 例如 : =10 或是 =20 或是 =30 或是 =40, 但這樣是湊不出 30 組不同的三位數所以是無法完成的 (2) 如果是四位數, 讓十位數字是 0, 設四位數是 AB0C, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個三位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最 9

11 多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但要克服 S 是 50 的要求, 則五個骰子的 At+Ct 可能是 6 5=30 7 5=35 8 5=40 9 5= = = = = 65, 其中 9 5=45,45 再加上 5 可以符合 S=50, 但五個中間數字 B 的數字和 Bt 中十位一定要是 5, 是不可能的, 因為 =35,Bt 中十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以就變成不可用 50-Ct, 因為五個不同 B 的數字和 (Bt) 的十位數字若是 3, 則 =31( 最小 ), =35( 最大 ) 是可以符合的, 因此若變成 (45+3)-Ct= 48-Ct, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數則可假設擲出五個四位數和等於 (48-Ct) b+ct = (48-Ct) (9-B) +Ct, 但要記住五個四位數和中百位數字的對應關係, 因為 Bt(4 9)= =39, 所以五個四位數和中百位數字 (b) 對應關係如下表十一 : 表十一六個骰子中任取出五個四位數和中百位數字 (b) 對應關係表缺少的 B 六個骰子中任取出五個的中間數數字和 (Bt) T b 五個四位數和的百位數字 (b) 的對應關係 = = = = = = = = = = = =5 假設 At+Ct=45=9 5, 即 A+C=9, 則可以湊出如下表十二的六個骰子 : 表十二 A+C=9, 中間數字 B 是的六個骰子的四位數表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第六顆中間數 B A+C 第一面第二面第三面第四面第五面第六面百位數字與個位數字和如上表, 隨機取出五個骰子擲出, 五個數字如上表紅色底的數, 運用速算公式擲出五個四位數和等於 (48-Ct) (9-B)+Ct= (48-11) (9-9)+11=37011=

12 9800,( 註 :B 為表中, 未被選中的中間數 B0 中 90 的 9, 這樣不用真的去計算 =30, 只要記 39-9=30, 亦即五個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係等於 9-B=9-9=0) 3. 如果一定要 S=50, 則要如何調整 : (1) 若要維持是擲出骰子的四位數和等於 (50-Ct) b+ct, 則要考慮從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個, 因為 Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3, 從下表十三分析五個骰子中取四個的情形 : 表十三五個骰子中取四個, 使 T=50- 個數 (A+C) 要小於 3 的分析表骰子個數 (A+C) T 值 <3 是否成立 4 13=52-2 否 4 12=48 2 是 4 11=44 6 否 4 10=40 10 否 4 9=36 14 否 4 8=32 18 否 4 7=28 22 否 4 6=24 26 否在骰子個數 (A+C)=4 12=48 時, 即五個骰子任中取四個,A+C=12, T=2 時, 中間數字 B: 是可以成立的, 情形如下表十四 : 表十四五個骰子任取取四個, 骰子個數 (A+C)=4 12=48 時, 中間數字 B 的可以成立的情形分析表對應 B 時是五個連續左述 B 任取四個相異正整數 T 值 T 值是 2 相異正整數和 :Bt(1 5) 和的最小與最大範圍 :Bt(1 4) 是是否成立 = =10 1 否 = = =14 1 否 = = =18 1 或 2 否 = = =22 2 是 = = = =30 2 或 3 否設擲出四個骰子的四位數和等於 (50-Ct) (10-B)+Ct, 但要記住四個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 因為 Bt(4 8)= =30, 所以擲出四個骰子的四位數和中百位數字 (b) 對應關係 11

13 如下表十五 : 表十五五個骰子中任取出四個四位數和中百位數字 (b) 對應關係表缺少的 B 五個骰子中任取出四個四位數的中間數數字和 (Bt) 12 T b 和中百位數 (b) 的對應關係 = = = = = = = = = =6 設 At+Ct=48=4 12, 即 A+C=12, 則可以湊出如下表十六的五個骰子 : 表十六 A+C=12, 中間數字 B 是的五個骰子的四位數表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆中間數 B A+C 第一面第二面第三面第四面第五面第六面百位與個位數數字和如上表, 隨機取出四個骰子擲出, 四個數如上表紅色底的數, 運用速算公式擲出四個骰子的四位數和等於 (50-Ct) (10-B)+Ct= (50-27) (10-6)+27=23427= , ( 註 :B 則為表中, 未被抽中骰子中間數 B0 中 60 的 6, 這樣不用真的去計算 =24, 只要記 30-6=24, 亦即四個四位數和和中百位數字 (b) 的對應關係等於 10-6=4 ) (3) 從下表十七分析七個骰子中取六個的情形 : 因為 Bt(4 9)= =39, 所以 Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3, 情形如下 : 表十七七個骰子中取六個, 使 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3 的分析表骰子個數 (A+C) T 值 <3 是否成立 6 13=78-28 否 6 12=72-22 否 6 11=66-16 否 6 10=60-10 否 6 9=54-4 否 6 8=48 2 是 6 7=42 8 否 6 6=36 14 否

14 在骰子個數 (A+C)=6 8=48 時, 中間數字 B 是時是可以成立的, 情形如下表十八 : 表十八個數 (A+C)=6 8=48 時, 中間數字 B 可以成立的情形分析表對應 B 時是七個連續相異正整數和 :Bt(1 7) = = =42 左述 B 任取六個相異正整數和的最小與最大範圍 :Bt(1 6) = = = = = =39 13 T 值是 2 是 2 或 3 T 值是 2 是否成立否 3 否設擲出六個骰子的四位數和等於 (50-Ct) (8-B)+Ct, 但要記住六個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 因為 Bt(1 7)= =28, 所以七個骰子中任取六個擲出四位數和中百位數字 (b) 對應關係, 如下表十九 : 表十九七個骰子任取出六個擲出四位數和中百位數字 (b) 對應關係表缺少的 B 七個骰子中任取出六個的中間數字 B 的數字和 (Bt) T b 和中百位數字 (b) 的對應關係 = = = = = = = = = = = = = =7 設 At+Ct=48=6 8, 即 A+C=8, 則可以湊出如下表二十的七個骰子 : 表二十 A+C=8, 中間數字 B 是的七個骰子的四位數表第一顆第二顆第三顆第四顆第五顆第六顆第七顆中間數 B A+C 第一面第二面第三面第四面第五面第六面百位數字與個位數字和

15 如上表, 從七個骰子中隨機取出六個擲出, 六個四位數如上表紅色底的數, 運用速算公式擲出六個四位數和等於 (50-Ct) (8-B) +Ct= (50-18) (8-7)+18=32118= ,( 註 :B 則為表中, 未被抽中骰子中間數 B0 中 70 的 7, 這樣不用真的去計算 =21, 只要記 28-7=21, 亦即六個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係等於 8-7=1) 伍研究結果一從表一可以發現, 同一個骰子六個面的百位數字與個位數字和是相同的, 且十位數字也相同, 並發現五個骰子擲出後任一組五個三位數其十位數的和都是 300; 任一組五個三位數其百位數字與個位數字和都是 47, 即五個三位數和中百位數字和加個位數字和再加十位數和進位到百位數的數字 (3), 是 47+3=50 則五個骰子的五個三位數和的速算公式為 100(50- 個位數字和 )+ 個位數字和, 亦即五個三位數和中千位數字與百位數字的兩位數字是 (50- 個位數和 ); 十位數字與個位數字的兩位數字是五個三位數中個位數字和二假設每個骰子每一面三位數為 ABC, 即 ABC=100A+10B+C, 但不同骰子的十位數字是不相同的, 即 B1 B2 B3 B4 B5, 而且五個三位數中十位數字和 [Bt=B1+B2+B3+ B4+B5=10T(T 為正整數 )] 為 10 的倍數, 即十位數和 (10Bt) 的十位數一定是 0, 才不至於與個位數字和 (Ct=C1+C2+C3+C4+C5) 中的十位數字還要進行加法進位的運算, 導致運算的麻煩困難, 所以 Bt=10T, 最小可能是 10; 最大是 30, 所以中間十位數字相加的和是十的倍數, 只有及 30 三種, 即 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形百位數字和 (At)+ 個位數字和 (Ct)+ 十位數和進到百位的數字 (T)=S= 10Y(Y 為正整數 ), 即 10 的倍數, 而 50 是日常生活中常用的,S=50 是恰當且能有利於心算運算的因為 6 A+C 13, 再規定 A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 則 At+Ct 最小是 =40, 最大是 =55 已知 T 只可以是 1 或 2 或 3 三種情形, 則 S 的最小值為 40+1=41, 最大值為 55+3=58 又 S 是 10 的倍數, 所以 S 也只可以是 50 三利用相同規則自製一組三位數的魔術數學骰子, 是可以符合計算方式 : ( 一 ) 相同規則 :At+Ct+T=S=50,Bt=10T, T=1,At+Ct=S-1=50-1=49, 6 A+C 13, 則 49 可分為 : 或或或或或共六組, 隨意挑一組為 , 可製成表四, 隨意挑選一組, 假設該組骰出的數如上黃色底的數 : =3020=100[50-( )]+( ), 所以是可以成立的 ( 二 ) 利用上述規則的規律性 :At+Ct+T=50,Bt=100T, 製作一組五個骰子的四位數的魔術數學骰子, 可以符合速算的計算方式 :1000(50-Ct)+Ct, 但要注意五個四位數和的五位數中間要有一個 0; 當 Bt=1000T 時, 製作一組五個五位數的魔術數學骰子, 也可以符合速算的計算方式 :10000(50-Ct)+Ct, 但要注意五個五位數和的六位數中間要有兩個 0; 從表九可歸納出當 Bt=10 N-2 T 時,N 位數的五個魔術數學骰子的任五個 N 位數和等於 10 N-1 (50-Ct)+Ct, 但要注意 14

16 五個 N 位數和的 N+1 位數中間要有 N-3 個 0 四從表十, 六個魔術數學骰子中隨意取出五個擲出的三位數和的情形, 是無法利用速算方式來運算的但設四位數是 AB0C, 十位數字是 0, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個四位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但無法克服 S 是 50 的要求, Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以就變成不可用 S=50, 若 S=48 則可以湊出三十組以上不相等的四位數擲出五個骰子的四位數和等於 (48-Ct) b+ct = (48-Ct) (9-B)+Ct, 但要記住五個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 即 9-B 中的 B 是未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 五如果一定要 S=50, 則要調整成從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個, 因為 Bt 的十位數字 (T) 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 骰子個數 (A+C) 要小於 3, 從表十三分析, 在骰子個數 (A+C)=4 12=48 時, 中間數字 B: , T=2 是可以成立的, 情形如表十四 : 則五取四個骰子, 擲出四個骰子的四位數和等於 (50-Ct) (10-B)+Ct, 但要記住四個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 即 10-B 中的 B 是未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 從表十七分析, 七個骰子中取六個的情形, 在骰子個數 (A+C)=6 8=48 時, 中間數字 B: ,T=2 是可以成立的情形, 如表十八 : 則擲出六個骰子的四位數和等於 (50 -Ct) (8-B)+Ct, 但要記住六個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係, 即 8-B 中的 B 是未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 陸討論一從表一五個魔術數學骰子的三位數數字分析表中紅色底的三位數, 其五個三位數和 =2426, 利用直式加法算式分析 : At+Ct=(1+5)+(1+6)+(7 +2)+(7+5)+(5+8)=( )+( ) =21+26=47 其中,At= =21,Ct= = 26, 又 Bt= =30, 則可以發現個位數字和 (Ct) 的兩位數字 26 就是五個三位數和的十位數字與個位數字, 而千位數字與百位數字 24 就等於 (47+3)-26=50-26, 即 50-Ct 所以五個三位數和的四位數中千位數字與百位數字的兩位數字是 50-Ct, 十位數字與個位數字兩位數字就是 Ct 47-26= (47+3)-26= 50-26= 千百十個位位位位 A B C ) Ct Ct Ct 15

17 二從魔術數學骰子的分析, 設每個骰子每一面每一個三位數為 ABC, 且遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子,A+C 是相同的, 中間數字 (B) 是相同,Bt=10 T=T0,T 是正整數, 且 S=At+Ct+T=50, 則可以利用直式加法算式分析, 最後的五個三位數和一定是 100(50-Ct)+Ct At+Ct+T=50, 十位數字 B 的數字和 (Bt) 等於 T0, 所以五個三位數和的十位數字與個位數字的兩位數可以確定是 Ct, 而 T+At 則確定是五個三位數和的千位數字與百位數字, 因為 At+Ct+T=50, 移項 At +T=50-Ct 也就是說五個三位數和的千位數字與百位數字的兩位數等於 50-Ct 即五個三位數和的四位數中千位數字與百位數字是 50- Ct, 十位數字與個位數字就是 Ct 千百十個位位位位 +) A1 B1 C1 A2 B2 C2 A3 B3 C3 A4 B4 C4 A5 B5 C5 Ct T 0 At 50-Ct Ct 三從魔術數學骰子的規律性分析, 設每個骰子每一面四位數為 ABDC, 且遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子,A+C 是相同的, 中間數 (BD) 是相同, 但 Bt=100 T=T00, 且 S=At+Ct+T=50, 則可以利用直式加法算式分析, 最後的五個四位數和一定是 1000(50-Ct)+Ct At+Ct+T=50, Bt=T00, 所以五個四位數和的十位數字與個位數字可以確定是 Ct, 而 T+At 則確定是五個四位數和的萬位數字與千位數字, 因為 At+Ct+T=50, 移項 At +T=50-Ct 也就是說五個四位數和的五位數中萬位數字與千位數字等於 50-Ct, 百位數字是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 萬千百十個位位位位位 +) A1 B1 D1 C1 A2 B2 D2 C2 A3 B3 D3 C3 A4 B4 D4 C4 A5 B5 D5 C5 Ct T 0 0 At 50-Ct 0 Ct 四從魔術數學骰子的規律性分析, 設每個骰子每一面五位數為 ABDEC, 且遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子,A+C 是相同的, 中間數 (BDE) 是相同, 但 Bt=1000 T =T000, 且 S=At+Ct+T=50, 則可以利用直式加法算式分析, 最後的五個五位數和一定是 10000(50-Ct)+Ct 16

18 At+Ct+T=50, Bt=T000, 所以五個五位數和的十位數字與個位數字可以確定是 Ct, 而 T+At 則確定是五個五位數和的十萬位數字與萬位數字, 因為 At+Ct+T=50, 移項 At+T=50-Ct 也就是說五個五位數和的十萬位數字與萬位數字等於 50-Ct 即五個五位數和的六位數中十萬位數字與萬位數字是 50 -Ct, 千位數字是 0, 百位數字也是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 十萬萬千百十個位位位位位位 +) A1 B1 D1 E1 C1 A2 B2 D2 E2 C2 A3 B3 D3 E3 C3 A4 B4 D4 E4 C4 A5 B5 D5 E5 C5 Ct T At 50-Ct 0 0 Ct 所以利用上述規則,S=At+Ct+T=50,Bt=10 N-2 T, 同一骰子中間數 B 是相同的, A+C 也是相同的時, 製作歸納出 N 位數的魔術數學骰子五個數和為 10 N-1 (50-Ct) +Ct, 即五個 N 位數和的 N+1 位數數字中間要有 N-3 個 0 五利用相似規律可否想出創新魔術數學骰子的新玩法情形, 從表一六個魔術數學骰子中隨意取出五個骰子, 擲出的三位數和無法符合擲出五個三位數和的規則 10 N-1 (50 -Ct)+Ct, 因為 Bt 不等於 10 的倍數而隨意的抽五個骰子,At+Ct+T 50=S, 所以是無法利用速算方式來運算的如果調整成四位數, 讓十位數字是 0, 四位數是 AB0C, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個骰三位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但要克服 S 是 50 的要求, 則五個骰子的 At+Ct 最可能是 9 5=45, 而 45 再加上 5 可以符合 S=50, 是不可能的, 因為 =35,Bt 的 T 最大也只有 3 而已, 所以就變成不可用 50-Ct, 若變成 (45+3)-Ct=48-Ct,B 是時, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數則擲出五個四位數和等於 (48-Ct) b+ct = (48-Ct) (9-B)+Ct, 但要記住五個四位數和中百位數字 (b) 的對應關係,B 則為表中, 未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 如果一定要 S=50, 則要考慮從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個, 因為 Bt 的 T 最大也只有 3 而已, 所以 T=50- 個數 (A+C) 要小於 3, 在個數 (A+C) =4 12=48 時,T=2, 中間數字 B: 時, 是可以成立的, 擲出四個四位數和等於 (50-Ct) (10-B)+Ct, 但要記住四位數和中百位數字 (b) 的對應關係,B 則為表中, 未被選中的中間數 B0 中 B0 的 B 而從表十七分析七個骰子中取六個的情形, 可以發現當在個數 (A+C)=6 8=48 時,T=2, 中間數字 B: 時, 是可以成立的, 則擲出六個四位數和等於 (50-Ct) (8-B)+Ct, 但要記住四位數和中百位數字 (b) 的對應關係,B 則為表中, 未被選中的數 AB0C 中 B0 的 B 六當 6 A+C 13,A1+C1 A2+C2 A3+C3 A4+C4 A5+C5, 求 (A1+C1)+(A2+C2) +(A3+C3)+(A4+C4)+(A5+C5)=49, 求有幾組解? 不如考慮剩下的三個數和 17

19 等於 =76-49=27, 來得容易求解, 即先解出三個相異數和是 27, 就知道剩下的另外五個相異數和 49 是那五個了柒結論一五個三位數魔術數學骰子, 三位數為 ABC, 只要遵守魔術骰子的製作原理 : 同一個骰子中間數 (B) 是相同,Bt= T=10 T=T0,A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 且 S=At+Ct+T=50, 擲出五個三位數和一定是 100(50-Ct) +Ct, 即五個三位數和的四位數中千位數字與百位數字是 50-Ct, 十位數字與個位數字就是 Ct 二五個四位數魔術數學骰子, 四位數為 ABDC, 只要遵守魔術骰子的製作規律原理 : 同一個骰子中間數 (BD) 是相同, 但 Bt= T=100 T=T00,A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 且 S=At+Ct+T=50, 擲出五個四位數和一定是 1000 (50-Ct)+Ct, 即五個四位數和的五位數中千位數字與百位數字是 50-Ct, 百位數字是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 三五個五位數魔術數學骰子, 五位數為 ABDEC, 只要遵守魔術骰子的製作規律原理 : 同一個骰子中間數 (BDE) 是相同,Bt= T=1000 T=T000,A+C 相等, 但六個面 ( A C) 的配對是不相同的, 且 S=At+Ct+T=50, 擲出五個五位數和一定是 (50-Ct)+Ct, 即五個五位數和的六位數中十萬位數字與萬位數字是 50-Ct, 千位數字是 0, 百位數字也是 0, 十位數字與個位數字就是 Ct 最後可歸納出五個 N 位數魔術數學骰子的情形, 當 S=At+Ct+T=50,Bt=10 N-2 T, 同一骰子 B 是相同的, A+C 相等, 但六個面 (A C) 的配對是不相同的, 則五個 N 位數和為 10 N-1 (50-Ct) +Ct, 即五個 N 位數和 N+1 位數的數字中間要有 N-3 個 0 四創新魔術數學骰子的新玩法是調整成四位數, 讓十位數字是 0, 四位數是 AB0C, 讓個位數字和進到十位的數字不要受干擾, 則五個四位數和的十位數字與個位數字就確定了, 剩下千位數字與百位數字要處理, 而 A+C 相等,(A C) 的不同配對最多也只有 9 組, 若百位數字 (B) 不同, 則可以湊出三十組以上不相等的四位數, 但要克服 S 是 50 的要求, 則要考慮從五個骰子中取四個, 或是從七個骰子中取六個在五個骰子中取四個時, 其 A+C=12, 中間數字 B: 時,T=2 是可以成立的, 五個骰子中擲出四個四位數和等於 (50-Ct) (10-B)+Ct; 在七個骰子中取六個時, 其 A+C=8, 中間數字 B 是時,T=2 是可以成立的, 七個骰子中擲出六個四位數和等於 (50-Ct) (8-B) +Ct, 但要記住六個四位數和中百位數的對應關係,B 則為未被抽中的骰子數 AB0C 中 B0 的 B 捌參考資料一書籍部份 : ( 一 ) 國小數學教科書編輯委員會 ( 民 103) 國小數學領域課本第十二冊南一版 18

20 台南市 : 南一書局出版 ( 二 ) 林壽福吳如皓著 ( 民 98) 數學魔術 (65-71 頁 ) 台北市: 尖端出版 ( 三 ) 戴禮著 ( 民 81) 數學魔術 (78-83 頁 ) 台北市: 國語日報社出版 ( 四 ) 奧斯朋出版編輯群 (2008) 圖解數學辭典( 頁 ) 台北市: 小天下二網路部分 : ( 一 ) 中華民國第四十四屆中小學科學展科別 : 數學科組別 : 國小組作品名稱 : 魔術數學骰子民國 102 年 10 月 12 日取自於 19

中華民國第　四十七　屆中小學科學展覽會

中華民國第　四十七　屆中小學科學展覽會中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書高中組生物 ( 生命科學 ) 科 040718 光鮮外表下的神秘面紗 - 探討草莓果實生長及其生殖學校名稱 : 國立鳳新高級中學作者 : 高二簡溥辰指導老師 : 王美玲高二謝宜芬高二歐盈佛高二陳柏維關鍵詞 : 草莓 (Fagaria sp. ) 果實發育 (fruit develop) 萌芽 (germination) ~