316 武汉科技大学学报 014 年第 4 期和 ù E((r 0) ) E(r 0P ) ù E(r 0P) E(PP ) = ù E(r (r ) ) 由式 (4) 可得

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恩欻咸
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1 第 37 卷第 4 期武汉科技大学学报 Vol.37,No 年 8 月 JournalofWuhanUniversiyofScienceandechnology Aug.014 췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍췍 完全市场情况下多阶段均值 -VaR 投资组合优化张鹏, 张逸菲 ( 武汉科技大学管理学院, 湖北武汉,430081) 摘要 : 将 VaR 风险度量方法拓展到多阶段投资组合优化, 提出了完全市场情况下多阶段均值 -VaR 投资组合模型, 该模型的目标函数不具有可分离性采用嵌入式方法将不可分离的问题转化为可分离的, 并运用动态规划方法得到了模型的解析解, 即最优投资策略通过一个算例验证了该模型和求解方法的有效性关键词 : 多阶段投资组合 ; 均值 -VaR; 动态规划 ; 最优投资策略中图分类号 :F4.9;O1. 文献标志码 :A 文章编号 : (014) 投资组合是分散投资风险的有效途径 0 世纪 50 年代,Markowiz 使用方差来度量投资风险, 提出了均值 - 方差单阶段投资组合理论, 奠定了现代金融学的基础, 但其模型不能很好地满足实践需求, 故许多学者试图寻求新的风险度量标准以及在新准则下的投资组合模型 0 世纪 80 年代, 针对不同类型的资产在度量风险时要使用不同方法这一缺陷, 摩根大通公司的风险管理人员提出了管理资产风险的 VaR(ValueaRisk) 方 [1] [] 法 Alexander 等将 VaR 与均值 - 方差联系起来分析, 验证了均值 -VaR 投资组合选择标准与效用最大化的不一致性 Consigli [3] 研究了肥尾分布情况下均值 -VaR 投资组合模型国内也有许多学者研究了单阶段单均值 -VaR 投资组合模型, 并探讨了其有效前沿的结构特征 [4-8] 上述研究仅考虑静态 ( 或单阶段 ) 的投资组合问题, 然而机构投资者的投资行为往往是长期的长期投资者将随着投资环境的变化适时地调整投资组合头寸, 这就是多阶段投资组合选择直到 0 世纪末, 一般的多阶段投资组合模型都是效用函数模型, 而收益 - 风险型多阶段投资组合选择模型却很少被研究均值 - 方差分析在现代金融理论中有着重要的地位, 从一开始就受到高度重视由于多阶段均值 - 方差模型的目标函数不具有可 [9] 分离性, 因此其求解是很困难的 Li 等在这方面的研究首先取得突破, 他们用嵌入的方法把多阶段均值 - 安全首要投资组合模型转变为一个能用动态规划处理的问题, 从而得到了最优投资策略及有效前沿的解析表达式此后多位学者对其研究进行了相应的拓展 [10-16] 本文提出完全市场情况下终期财富最大化的均值 -VaR 多阶段投资组合模型, 拟采用嵌入式方法将该模型不可分离的目标函数转化为可分离的, 并运用动态规划方法求其解析解及有效前沿 1 多阶段均值 -VaR 投资组合模型假设有 n+1 种风险资产可供选择,ri 表示第 i 种风险资产第期的收益率,x i 表示第 i 种风险资产第期的投资额 ( 比例 ), 其中 i=0,1,,n;,,, 令 r =(r 0,r 1,,rn ), x=(x 1,,xn ),P=[(r1 -r0 ),,(rn -r0 )], S 表示第期财富数, 则有 : n S+1 = i=1 n r ix i +r 0(S - i=1 x i)= n r 0S + (r i -r 0)x i (1) i=1 模型 (1) 可以简化为 S+1 =r 0S +P x () 假设 E(r (r ) ) 是正定矩阵, 即 E(r (r ) )= E((r 0) ) E(r 0r 1) E(r 0r n) ù E(r 1r 0) E((r 1) ) E(r 1r n) > E(r nr 0) E(r nr 1) E((r n) ) 根据式 (3) 可得 (3) 收稿日期 : 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( ). 作者简介 : 张鹏 (1975-), 男, 武汉科技大学教授. zhangpeng300478@aliyun.com

2 316 武汉科技大学学报 014 年第 4 期和 ù E((r 0) ) E(r 0P ) ù E(r 0P) E(PP ) = ù E(r (r ) ) 由式 (4) 可得 (4) E(PP )>0, (5) E((r 0) )-E(r 0P )E -1 (PP ) E(r 0P)>0, (6) 风险价值 VaR 是指在一定的置信度 ( 概率水平 ) 下, 某一金融资产或投资组合在未来特定的一段时间内最大的可能损失 [] 定义 1 设投资组合的期望收益率为 r p, 称 P(r p< -VaR) 1-c (7) 为 VaR 约束, 式中 :c 为常数 (1/ c 1) 式 (7) 表示投资组合的收益率超过 -VaR 的概率不低于 c 单个资产的收益率一般不服从正态分布, 但当资产数目较多 (n 18) 时, 资产组合的收益率基本服从正态分布 [17] 定理 1 当投资组合中 n 种资产的收益率服从正态分布时, 式 (7) 可化为 VaR Ф -1 (c) -r p (8) 式中 :Ф( ) 为标准正态分布函数,Ф -1 (c) 是置信度为 c 的正态分布函数的下分位点证明 : 因为 P{r <-VaR}= P{ r-rp < -VaR -rp }, 可以得到 -VaR -rp Φ 1-c, VaR +rp Φ -1 (c), 即 VaR Ф -1 (c) -r p 定理证毕完全市场情况下期终财富最大化的多阶段均值 -VaR 投资组合模型为 max E(S) s.. VaR (S) σ { S+1 =r 0S +P x,,, ( 9) minvar(s) s.. E (S) ε { S+1 =r 0S +P x,,, ( 10) 式中 :σ(σ 0) 和 ε(ε 0) 分别是给定 VaR(S) 和 E(S) 的预期值模型 (9) 和模型 (10) 可以转化为 maxu(e(s),σ (S))= E(S)-ω1[Φ -1 (c) σ (S)-E(S)] s.. S+1 =r 0S +P x,,, (11) 式中 :ω1 0 假设模型 (11) 的最优解为 Π *, 即 Π * ={π π 是模型 (11) 的最优解 } 模型 (11) 的目标函数不具有可分离性, 不能直接运用动态规划方法求解, 故将模型 (11) 嵌入到一个辅助问题中, 再运用动态规划方法求解辅助模型的构建考虑模型 (11) 的辅助问题为 maxu(e(s),σ (S))= E(S)-ωσ (S) s..s+1 =r 0S +P x,,, (1) 式中 :ω 0 假设模型 (1) 的最优解为 Π * 1 (ω), 即 Π * 1 (ω)={π π 是模型 (1) 的最优解 } 引理 1 如果 π * Π *, 则存在一个 ω 0 使得 π * Π * 1 [9] 假定 UE 和 Uσ 分别为 U 关于 E(S) 和 σ (S) 的偏导数, 则 Π * UE(π)= U π =1+ω1 π E(S) ( Uσ π)= U σ (S) π =- Φ-1 (c)ω1 σ (S) 定理的必要条件为如果 π * Π * 1 (ω) ὠ * >0, 则 π * ω * =- Uσ( π * ) UE(π * ) = Φ -1 (c)ω1 (1+ω1) σ (S) 证明 : 模型 (1) 的有效前沿在 {σ (S), E(S)} 空间是 ω 的参数, 即有效前沿能够用 {σ (S (ω)),e(s (ω))} 来表示由于 Π * ω>0π * 1 (ω), 则模型 (11) 可以转化为 max U{E(S(ω)),σ (S(ω))} (13) ω>0 对于模型 (13) 的 ω * (ω * >0) 最优值的一阶必要条件为 E [S(ω)] UE(π) π * + ( [S(ω)] Uσ π) π * σ =0 (14) 当 π * Π * 1 (ω) 时, 可以得到 E[S(ω)] σ [S(ω)] -ω * =0 (15) 由式 (14) 和式 (15) 可得

3 014 年第 4 期张鹏, 等 : 完全市场情况下多阶段均值 -VaR 投资组合优化 317 ω * =- Uσ( π * ) UE(π * ) = Φ -1 (c)ω1 (1+ω1) σ (S) 定理证毕尽管模型 (1) 比模型 (11) 更加简单, 但是模型 (1) 还是不具有可分离性因此将模型 (1) 嵌入到以下辅助模型中 : maxe{-ωs +λs} s..s+1 =r 0S +P x,,, (16) 模型 (16) 具有可分离性, 可以运用动态规划方法进行求解假定 Π * (λ ὠ) 是模型 (16) 的最优解, 即 Π * (λ ὠ)={π π 是模型 (16) 的最优解 }, 并假设 d(π ὠ)=1+ωe(s) π 定理 3 对于任意 π * Π * 1 (ω * ), 均满足 π * Π * (d(π * ὠ * )ὠ * ) [9] 定理 4 则 π * Π * 假设 π * Π * (λ * ὠ * ) 且 λ * >0, ω * 的必要条件是 λ * (π =[- UE * ) ω * ( Uσ π * ) Φ -1 (c)ω1 +E (S )] π * = (1+ω1) σ (S) π E(S) π * 证明 : 模型 (16) 可以转化为 maxe{-s + (λ/ω)s} * + s..s+1 =r 0S +P x,,, (17) 模型 (17) 的有效前沿在 {E(S),E(S )} 空间是 λ/ω 的参数, 即有效前沿能够用 {E(S (λ/ω)),e(s ( λ/ω))} 表示由于 Π * ω>0π * 1 (ω) (ω>0,λ)π * (λ/ω), 则模型 (11) 可以转化为 max ω>0,λ U{E(S(λ/ω)), E(S (λ/ω))-e (S(λ/ω))} (18) 对于模型 (18) 的 λ * /ω * (λ * /ω * >0) 最优值的一阶必要条件为 Uσ ( π) π * E [S (λ * /ω * )] (λ/ω) + [UE(π)-E(S)Uσ ( π) π * E [S(λ * /ω * )] (λ/ω) 当 π * Π * (λ/ω) 时, 可以得到 =0 (19) - E [S (λ * /ω * )] (λ/ω) + (λ * /ω * ) E [S(λ * /ω * )] (λ/ω) =0 (0) 由式 (19) 和式 (0) 可得 : λ * /ω * = [-UE(π * )/Uσ ( π * )+E(S)] π * = c( β )ω1 (1+ω1) σ (S) π * +E(S) π * 定理证毕 3 多阶段均值 -VaR 投资组合优化运用动态规划方法可以得到模型 (17) 的最优投资策略如下 [9] : x * (S,γ)=-KS +v(γ),,, (1) 式中 : 边界值为 γ=λ/ω () K =E -1 (PP )E(eP),,, (3) v(γ)=e -1 (PP )E(P) [E(ek)-E(Pk )E -1 (PkP k)e(ekpk)] γ, [E(e k)-e(ekp k)e -1 (PkP k)e(ekpk)] 第期财富值为,, (4) v(γ)= γ E-1 (PP )E(P) (5) S+1(γ)=(e -P K)S(γ)+P v(γ),,, (6) 由于 (e,p) 和 S 在统计上是独立的, 因此对式 (6) 两边取期望可得 æ è E(S+1(γ))= [E(e)-E(P )E -1 (PP )E(eP)] E(S(γ))+E(P )E -1 (PP )E(P) [E(ek)-E(P k)e -1 (PkP k)e(ekpk)] γ, [E(e k)-e(ekp k)e -1 (PkP k)e(ekpk)] 将式 (6) 两边平方可得,, (7) S +1(γ)=(e -ep K +K PP K)S (γ)+ (e -P K)S(γ)P v(γ)+ v (γ)pp v(γ),,, (8) 对式 (8) 两边取期望可得 E(S +1(γ))= [E(e )+E(eP )E -1 (PP )E(eP)] E(S (γ))+e(p )E -1 (PP )E(P) 设 [E(ek)-E(P k)e -1 (PkP ke(ekpk)] ö γ [E(e k)-e(ekp k)e -1 (PkP k)e(ekpk)] ø,,, (9)

4 318 武汉科技大学学报 014 年第 4 期 =E(e)-E(P )E -1 (PP )E(eP),,, (30) A =E(e )-E(eP )E -1 (PP )E(eP),,, (31) B =E(P )E -1 (PP )E(P),,, (3) k B 1 =B A k B =B æ è k A k ö ø,,, (33),,, (34) 在式 (33) 和式 (34) 中 : k =1, A k =1 根据式 (30)~ 式 (34), 式 (7) 和式 (9) 可转化为 E(S(γ))= E(S (γ))= A S1 + S 1 + 由式 (35) 和式 (36) 可得 ( k ) B 1 γ (35) ( A k ) B γ σ (S(γ))=E(S (γ))-e (S(γ))= A - { [ ( k ) B ] [ ( k ) B 1 ] } 假设 a= b= A k B 1 [ ] - [ ( ) ] v= ( A k ) B ( ) ( A k ) B c= A S1γ+ (36) γ - S 1 (37) μ= (38) - k B 1 (39) ( k ) B 1 [ ] k B 1 [ ] - - 则式 (35) 和式 (36) 可转化为 [ ] k B 1 (40) (41) -ab (4) 定理 5 VaR(S)} 空间为 E(S)=μS1 +vγ (43) σ (S)=a (γ-bs1) +cs 1 (44) 模型 (11) 的有效前沿在 {E(S), VaR(S)=Φ -1 (c) a E (S)-μS1 -bs1 ù v 数可得则证明 : 根据式 (43) 可得 γ= E (S)-μS1 v 将式 (46) 代入式 (44) 可得 VaR(S)=Φ -1 (c) a E (S)-μS1 -bs1 ù v 定理证毕 +cs 1 -E(S) (45) (46) +cs 1 -E(S) 将式 (43) 和式 (44) 代入模型 (11) 中的目标函 U =(1+ω1)( μ S1 +vγ)- ω1φ -1 (c)[a (γ-bs1) +cs 1 ] (47) 式 (47) 左右两边对 γ 求导可得 du dγ = (1+ω1)v-ω1Φ -1 (c) a(b-s1) a (γ-bs1) +cs 1 γ * =bs1 + =0 cv S 1 (1+ω1) ω 1aΦ -1 (c) - (1+ω1) v (48) 将式 (48) 代入式 ()~ 式 (5) 可得模型 (11) 的最优投资策略, 也可以得到每期末财富值 4 算例算例采用文献 [9] 中实例 1 的数据, 并假设 c =99%, 则 Ф -1 (c)=.33 计算当 =4 时每一阶段最优投资策略以及终期的有效前沿 3 种风险资产 A B C 的期望收益率分别为 E(r A )= 1.16,E(r B)=1.46,E(r C)=1.8,,,3, 4, 则可以得到 3 种资产的期望收益率和协方差矩阵 : E(r )=[0.1,0.06,0.188],,,3, ù Cov(r )= , ,,3,4 将 A 作为参照风险资产, 计算可得 :

5 014 年第 4 期张鹏, 等 : 完全市场情况下多阶段均值 -VaR 投资组合优化 319 E(P)=E [rb -ra,rc -ra] =[0.084,0.066], E(r A)=σ (ra)+e (ra)=1.3648, E(r B)=σ (rb)+e (rb)=1.6379, E(r C)=σ (rc)+e (rc)=1.5369, E(rArB)=Cov(rA,rB)+E(rA)E(rB)=1.4666, E(rArC)=Cov(rA,rC)+E(rA)E(rC)=1.4414, E(rBrC)=Cov(rB,rC)+E(rB)E(rC)=1.5404, r B -rarb +r A E rbrc -rarc - rarb +r A E(PP )= rbrc -rarc - ù rarb +r A = r B -rarc +r A ù E(rAP )= [ E(rArB)-E(r A),E(rArC)-E(r C) ] = [ , ] 进一步可以得到 B=0.3566, =0.744,A = , μ =0.3038,v=0.4077,a=0.0376,b= 3.933,c=0.0754, 则当 ω1 =3.863 时,γ= 策略为其中, 多阶段均值 -VaR 投资组合模型的最优投资 x * (S,γ)=-KS +v(γ),,,3,4 K = ù ,,,3,4, v1 = ù , v =.94 ù , v3 =.6157 ù , v4 = ù 投资组合终期财富的期望收益率和 VaR 分别为 5 结语 E(S4)=.163,σ (S4)= 本文将 VaR 风险度量方法拓展到多阶段投资组合模型, 运用嵌入式方法将不可分离的模型转化为可分离的, 并运用动态规划方法得到模型的解析解和有效前沿, 为投资者提供投资决策支持后续将进一步研究摩擦市场情况下终期财富最大化多阶段投资组合决策问题参考文献 [1] Josephwagilimana.Meaṉvariancemodelinporṯ folioanalysis[d].louisvile:universiyoflouisvile,00. [] AlexandreGJ,Bapisa A M.EconomicimplicaionsofusingameaṉVaR modelforporfolioselecion:acomparisonwihmeaṉvarianceanalysis[j]. JournalofEconomicDynamicsand Conrol,00, 6: [3] ConsigliG.ailesimaionand meaṉvarporfolio selecionin markessubjecofinancialinsabiliy [J].JournalofBankingandFinance,00,6: [4] 姚京, 李仲飞. 基于 VaR 的金融资产配置模型 [J]. 中国管理科学,004,1(1):8-16. [5] 郭福华, 彭大衡, 吴健雄. 机会约束下的均值 -VaR 投资组合模型研究 [J]. 中国管理科学,004,1(): [6] 郭丹, 徐伟, 雷佑铭. 机会约束下的均值 -VaR 组合投资问题 [J]. 系统工程学报,005,0(3): [7] 荣喜民, 武丹丹, 张奎廷. 基于均值 -VaR 的投资组合最优化 [J]. 数理统计与管理,005,5(5): [8] 安起光, 王厚杰. 引入无风险证券的均值 -VaR 投资组合模型研究 [J]. 中国管理科学,006,14(): [9] LiD,Chan F,Ng W L.Safey-firsdynamic porfolioselecion[j].dynamics of Coninuous, DiscreeandImpulsiveSysems,1998,4: [10]LiD,Ng W L.Opimaldynamicporfolioselecion:muliperiod meaṉvarianceformulaion[j]. MahemaicalFinance,000,10: [11] Zhu Shushang,LiDuan, Wang Shouyang.Risk conroloverbankrupcyindynamicporfolioselecion:ageneralized meaṉvarianceformulaion[j]. IEEEransacionsonAuomaicConrol,004,49 (3): [1] WeiShuzhi,YeZhongxing.Muli-periodopimizaionporfoliowihbankrupcyconrolinsochasic marke[j].applied MahemaicsandCompuaion, 006,7:1-1. [13]CelikyurU,OzekiciS.Muliperiodporfolioopimizaion modelsin sochasic markes using he meaṉvarianceapproach[j].europeanjournalof OperaionalResearch,007,179: [14] Wu Huiling,LiZhongfei.Muli-period meaṉvarianceporfolioselecionwihregimeswichinganda sochasiccashflow[j].insurance: Mahemaics andeconomics,01,50: [15] LiChanjuan,LiZhongfei.Muli-period porfolio opimizaionforasseṯliabiliy managemen[j].applied Mahemaicsand Compuaion,01,18: [16]Huang Xiaoxia,QiaoLei.Ariskindex modelfor muli-perioduncerainporfolioselecion[j].infoṟ

6 30 武汉科技大学学报 014 年第 4 期 maionsciences,01,17: [17]FisherL,LorieJH.Somesudiesofvariabiliyof reurnsoninvesmenincommonsock[j].journal ofbusiness,1970,43: Opimizaionofhemuliperiodmean-VaRporfolioselecion inacompleemarke ZhangPeng,ZhangYifei (ColegeofManagemen,WuhanUniversiyofScienceandechnology,Wuhan430081,China) Absrac:he VaRrisk measuremenapproach wasexendedohe muliperiodporfolioselecion problem,andhe muliperiod meaṉvarporfolioinvesmenmodelinacomplee markewasproposed.dueohefachaheobjecivefuncionofhemodelisnoseparable,heembeddingmehodwasemployedournheinseparableprobleminoaseparableone.hendynamicprogramming wasusedandheopimalsoluionohemodelwasobained,which wasinfacheopimalinvesṯ mensraegy.hefeasibiliyofhemodelandheproposedapproachwasverifiedbyanexample. Keywords:muliperiodporfolioselecion;meaṉVaR;dynamicprogramming;opimalinvesmen sraegy [ 责任编辑尚晶 ] ( 上接第 314 页 ) AnimprovededgelinkingalgorihmforCannyedgedeecion QiDanyang,JiangZheng,ChenYi,LiuBin (ColegeofInformaionScienceandEngineering,WuhanUniversiyofScienceandechnology,Wuhan430081,China) Absrac:Inlighofedgedisconinuiyorpseudo-edgecausedby manualysefixedhresholdswih heradiionalcannyedgedeecionalgorihm,hispaperproposesanewedgelinking mehodbased onedgeconrasfeauresandedgedirecion whichjudgeshesimilariybeweenhesrongeredge poinandheo-be-connecededgepoinbycomparingheirconrasfeauresbasedonaseofedge conrashresholdssummarizedbyhevisualpercepualexperimen.hemehodensureshecorrecṯ nessofheedgelinkingdirecionbykeepingacerainedgedirecion,andheo-be-connecededge poinwon'becomeanewvalidedgepoinunlessimeeshesimilariyandisinhesamedirecion wihheoldedgepoin.heresulsshowhaheimprovedcannyalgorihmforedgelinkingcanlead ocompleeandcleanedgeswiheficienedgeconneciviy. Keywords:Cannyalgorihm;edgeconrasfeaure;edgedirecion;edgeconrashreshold;edge similariy;edgelinking [ 责任编辑徐前进 ]

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10-03.indd 1 03 06 12 14 16 18 é 19 21 23 25 28 30 35 40 45 05 22 27 48 49 50 51 2 3 4 é é í 5 é 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 é 20 21 22 23 ü ü ü ü ü ü ü ü ü 24 ü 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

316 武汉科技大学学报 014 年第 4 期 和 ù E((r 0) ) E(r 0P ) ù E(r 0P) E(PP ) = ù E(r (r ) ) 由式 (4) 可得

316 武汉科技大学学报 014 年第 4 期和 ù E((r 0) ) E(r 0P ) ù E(r 0P) E(PP ) = ù E(r (r ) ) 由式 (4) 可得