Chap3_Diffraction Physics

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侵寡曹
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1 Chapter 3 Diffraction Theory Elastic scattering - interaction of e - beam / atom (chapter 3) - interaction of e - beam / unit cell (chapter 16) - interaction of e - beam / crystalline sample (chapter 16) - reciprocal lattice(chapter 12) - Diffraction Pattern - Shape Effect of Nano-object (Chapter 17)

2 3.1 interaction of e - beam / atom

3 電子與原子作用電子與原子的作用基本上可分成兩大類 (a) 彈性散射 (elas(c sca*ering)! 入射電子不損失能量, 因此我們稱之為彈性散射!!!! (b) 非彈性散射 (inelas(c sca*ering) 入射電子損失能量, 因此我們稱之為非彈性散射

$3.1.1 Elastic Scattering (particle picture) As an electron approaches an isolated atom, it feels Coulomb potential of atom, it will diffract its direction due to Coulomb force.$

4 3.1.1 Elastic Scattering (particle picture) As an electron approaches an isolated atom, it feels Coulomb potential of atom, it will diffract its direction due to Coulomb force. This is the nature of a charge particle.! Coulomb potential includes two contributions: 1) Nucleus 2) Electron Cloud NTHU Nucleus Electron Cloud Noting that x-ray is electro-magnetic wave only interacts with electron could but not nucleus.

5 3.1.2 Wave Model of Electron Scattering 入射電子可近似為平面波, 因為波長比起觀察者距離短得太多當入射電子波接近原子核時, 就會感受到原子庫侖位能的作用, 因而改變波長及方向這就如同光波進入不同的介質 ( 如由空氣進入水中 ), 引起折射連續加速和減速的帶電粒子亦伴隨 ( 連續 ) 產生 x- ray 成為 Bremsstrahlung X- ray 折射率與原子庫侖位能有關

6 3.1.3 Imaging of Single Atom NTHU Incoming electron interacts with electrostatic potential contributing from both nucleus and electron cloud (X-ray only interacts with electron cloud) V( r) Atomic focuser electrostatic field of an atom acts as an electrostatic lens Lens does two focus action (two Fourier transforms in Math) -2g -g o g 2g H V(-r) F -1 (f el )= F -1 (F (V(r))): Image Plane

7 Further on atomic scattering factor NTHU f x (H) or f x (Θ) is called x-ray scattering factor and is the Fourier transform of electron cloud, since the x-ray only interacts with the electron cloud.! The unit of f el (Θ) is the length (nm) f el decreases as increasing of θ f el decreases as decreasing of λ f el increases as increasing of Z refer to P.A. Doyle Hartree-Folk X-Ray and Electron Scattering Factors.Acta Cryst.(1968)A24, 390 H

8 雙原子繞射 coherent length > a 對遠方的觀察者 P 而言, 所看到的總繞射波為 F (V(x))exp(iπ2asinθ/λ) = F (V(x)) exp(i2πka) F (V(x)) V(x) (δ (x)+ δ (x+a)) Potential is placed at the positions given by δ functions! P Ψ 1 與 Ψ P 2 相差一個相位! 相位 = 波程差 /λ =(AB+BD)/λ 事實上, 對觀察者而言 r p >>a, 所偵測到的總繞射波為!! 入射波被雙原子 ( 位能

9 3.1.4 Scattering (Diffraction) from two atoms coherent length > a NTHU V(x) (δ (x)+ δ (x+a)) Potential is placed at the positions given by δ functions For observer at far distance P, he s a w t h e i n c o m i n g w a v e w a s diffracted by the sum of electrostatic potential of bi-atoms (Fraunhofer Diffraction) P amplitude of wave depends on the atomic potential (kinds of atom) F (V(x) (δ (x)+ δ (x+a))) =F(V(x)).(1+exp(2πiHa)) =f el exp(exp(2πi 0))+f el (exp(2πiha)) interference of two diffracted waves phase of wave gives the relative position of atoms second atom produces phase shift

10 3.2 Scattering (Diffraction) from unit cell 入射波通過晶胞時, 屬於晶胞的原子依其相對位置不同, 而產生不同相位差的繞射波在遠方的觀察者 ( 透鏡的聚焦面, 很遠平行光被聚焦到此 ), 觀察到這些波的總和在遠方觀察者偵測到的強度與入射波振幅晶胞內原子位能, 晶胞內原子相對為置有關結構因子晶胞對入射電子的散射基本上與單一原子相同, 所不同的只是多了一個結構因子 (structure factor) 在晶胞內原子間距離不同相對位置, 及數目不同, 繞射波亦不同

11 3.2.1 結構因子 ri! 1. f i 是在第 i 個原子位能 U i 的傅立葉轉換 2. r i 為第 i 個原子的座標 (x i, y i, z i )- 實空間向量 3. H 為倒空間向量 ri

12 3.2.2 幾個重要的結構因子 (a) 體心立方 (body-center cubic,bcc) 晶胞內有兩個原子 (0,0,0) 及 (1/2,1/2,1/2) F=f{exp(2πi(h 0+k 0+l 0)+exp(2πi(h 1/2+k 1/2+l 1/2)} =f{1+exp(πi(h+k+l)} h,k,l 為平面指數選擇法擇 (selection rule) F=2f 要是 h+k+l= 偶數 =0 要是 h+k+l= 奇數體心立方的晶體結構的倒空間是面心立方

13 (b) 面心立方 (face-center cubic,bcc) 晶胞內有四個原子 (0,0,0), (1/2,1/2,0), (0,1/ 2,1/2) 及 (1/2,0,1/2) F=f{exp(2πi(h 0+k 0+l 0)+exp(2πi(h 1/2+k 1/2+l 0) +exp(2πi(h 0 +k 1/2+l 1/2) +exp(2πi(h 1/2 +k 0+l 1/2) } =f{1+exp(πi(h+k) +exp(πi(k+l) +exp(πi(h+l)} h,k,l 為平面指數選擇法擇 (selection rule) F=4f 要是 h, k, l=un-mixed =0 要是 h, k, l=mixed 面心立方的晶體結構的倒空間是體心立方

${1+exp(πi(h+k) +exp(πi(k+l) +exp(πi(h+l)} Basis: super lattice diffraction Lattice fundamental$

14 (c) 面心立方結構與鑽石結構 Diamond: a b c d F=f{exp(2πi(h 0+k 0+l 0)+exp(2πi(h 1/4+k 1/4+l 1/4)} {1+exp(πi(h+k) +exp(πi(k+l) +exp(πi(h+l)} Basis: super lattice diffraction Lattice fundamental diffraction

15 (d) NiAl (L10) 選擇法則 F= f Ni + f Al h+k+l= 偶 ( 基本晶格, fundamental lattice) = f Ni - f Al h+k+l= 奇 ( 對 bcc 而言這項是 0, 超晶格 superlattice)

16 (e) Ni 3 Al, Cu 3 Au(LI 2 ) 結構 ( 有序結構 ) Al(0 0 0),Ni(1/2 1/2 0),(1/2 0 1/2 ),(0 1/2 1/2) =2(f Al -f Ni ) h,k,l 全偶或全奇基本晶格 (fundamental lattice) h,k,l 是混合奇數或偶數超晶格 (super lattice) 若 Ni 3 Al 及 Cu 3 Au 為無序結構則超晶格點陣消失

18 3.3 interaction of e - beam / crystalline sample 相位差 =(AB+BC)/λ= n 時, 有建設性干涉若平面間距為 d, 反射角 θ B AB+BC=2d sin θ B = n λ 此公式稱為 Bragg s Law Bragg 因此公式而得到諾貝爾獎.! 從 Bragg s 公式我們可以清楚地看到平面間距愈小者繞射角愈大, 因此若我們知道入射波的波長 λ(=12.2/e 1/2 ), 我們可藉由散射角度的量測來決定平面的間距. 這是電鏡繞射術在結晶訊息的重要工作. Bragg s law

19 以波的觀念來看 : trace of atomic plane H=k -k 0 (Bragg s condition) H 原子平面跡 (plane trace) 原子平面跡是 k 0 及 k 的分角線 1/2 H = k 0 sin θ B, k 0 =1/λ ko k H λ=2/ H sin θ B, 與 λ=2d sin θ B 比較 H =1/d, 且 H // 原子平面之法向量 ( 有建設性干涉的原子平面 ) 原子平面跡 {H} 代表晶體可產生建設性干涉的平面組, 其方向為平行平面之法向量且長度為對應的平面間距之倒數倒晶格空間

20 實空間與倒空間 ( 晶體結構與繞射花樣 ) 為何需要另一個空間? 倒空間能使我們方便描述及處理晶體繞射的問題事實上, 倒晶格空間和實晶格空間一樣的真實我們可以把晶體想成有兩個晶格一個實晶格, 一個倒晶格實晶格是晶體本身, 倒晶格則是繞射空間的點陣

21 Fourier Transform of periodic function ~ f(h) -3a -2a -a 0 a 2a 3a 晶體原子結構 ( 實空間 ) -3/a -2/a-1/a 0 1/a 2/a 3/a 倒空間繞射花樣此函數只在 k=1/a 時有的值

22 倒空間 1) 倒空間 : 與實空間一樣真實 2) 倒空間的一點相對於實空間的一平面 3) 倒空間的一點至原點的距離等於平面間距的倒數

23 3.3.2 Ewald Sphere and Laue Zone 以 k 0 方向通過晶格原點以畫一球, 稱為 Ewald 球! K 0 方向改變 Ewald 球亦跟著改變倒晶格就如同事與晶體 ( 時空間 ) 是訂在一起的. 晶體傾斜, 則倒晶格亦被傾斜.

24 對電子繞射而言, Å 25 Å Å Å Ewald 球切過第 0 層的勞厄區時幾乎近似一平面 ( 而非球面 ) 因此在原點附近的倒晶格點幾乎都作落在 Ewald 球上, 也就是有很多組平面都近似滿足 Bragg s 繞射條件我們觀察到的繞射花樣事實上是第 0 層的倒空間中原點附近的點陣

25 3.3.3 倒晶格與繞射圖形一點代表實空間一平面倒晶格點至原點的距離正比面間距的倒數 ( 倒空間之 Zero Laue Zone ) 在 ZOLZ 的倒晶格點幾乎作落在 Ewald 球上, 也就是近似的滿足 Bragg s 繞射條件 g=k -k 0 or 2dsinθ B =λ g 原子平面軌跡在電子繞射的繞射條件下, 我們在後聚焦面看到的其實是二維的 ZOLZ.

26 3.3.4 EXAMPLES

30 30

31 31

32 32

33 Fourier Transform of Top-Hat Function Fraunhofer Diffraction NTHU

34 3.3.4 Shape Effect for nano- object Fourier Transform

35 3.3.5 Thin Foil Effect 每一晶格點沿著 Z 方向 (i.e 垂直試片表面 ) 被一棍狀函數代替.

$3.3.4 Diffraction from$ particles 10 nm HRTEM

36 3.3.4 Diffraction from nano-precipitates, particles 10 nm HRTEM image of 17nm MgO cube after preparation Diffuse scattering around [200] Bragg peak

37 3.3.5 晶軸 (Zone axis) rel-rod 的長度與晶體的厚度成反比 [u v w] 是所有 {h k l} 平面的交線, 稱為晶軸 (Zone axis) 晶軸為各平面之交線晶軸方向垂直於各平面之法向量 * 事實上若電子束平行於晶軸沒有任何一組平面是滿足繞射條件 ( 都是薄樣品的條件下而近似滿足 Bragg s 條件 )

39 NTHU Kikuchi Lines HOLZ ZOLZ

42 習慣上,S>0 倒晶格點在 Ewald 球內部 ;S<0 倒晶格點在 Ewald 球內部

43 NTHU

44 NTHU

45 [110]Si

46 [110]Si

以中子粉末繞射譜圖作結構精算分析(實例與應用)

以中子粉末繞射譜圖作結構精算分析(實例與應用) 粉末繞射分析技術與實例應用楊仲準中原大學物理系 Dprtmnt of Physs, Chung Yun Chrstn Unvrsty E-ml: hunhunyng@yu.du.tw Outln. 晶體繞射基本概念. 晶體繞射分析堧體簡介 3. 繞射分析實例與應用 . 晶體繞射基本概念 0 3 Count / mn 0 3 Count / mn 中子 /X 光粉末繞射譜圖 4 3 4 3 繞射峰強度