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1 2011 高雄市第 51 屆中小學科學展覽會作品說明書科 ( 類 ) 別 : 數學科組別 : 國小組作品名稱 : 識途老馬 - ㄎㄚ厲害關鍵詞 : 西洋棋棋盤馬步編號 :1506

2 目錄摘要... 1 壹研究動機... 1 貳研究目的... 1 參研究設備及研究設備及器材... 1 肆研究研究問題... 1 伍研究研究方法... 2 陸研究結果... 2 柒討論捌結論玖心得與展望拾參考書籍... 16

3 識途老馬 - ㄎㄚ厲害摘要本研究主要在探討西洋棋中騎士馬的走法與棋盤的關係, 以及要用什麼方法能很快找到行走的路線, 而走完整個棋盤的格子結果發現, 在正方形棋盤中, 奇數奇數的棋盤都可以走完 (3 3 除外 ), 但是不能走透透 ( 循環 ); 而偶數偶數的棋盤 ( 除外 ), 任何格子都能當起點而走透透此外, 長方形棋盤中, 只要 m( 人數 ) 和 n( 楚河 ) 相差 1, 就可以走完壹研究動機暑假的某一天, 我在電視上看到哈利波特的電影, 電影裡的主角喜歡玩巫師棋, 我覺得很有趣, 於是就跑去問爸爸巫師棋到底要怎麼玩? 爸爸告訴我, 巫師棋其實就是所謂的西洋棋爸爸看我這麼感興趣, 馬上帶我到書局去買了一組西洋棋回家玩起初, 我對棋子的走法感到陌生, 但經過爸爸的解說及多次的練習之後, 我總算會玩了其中最令我感到好奇的是騎士馬的走法, 因為中國的象棋也有馬, 象棋的馬是走日字型, 與西洋棋的騎士馬, 步法有沒有一樣呢? 它能走遍所有的格子嗎? 假如改變棋盤的形狀, 是不是也能走完呢? 這一連串的問題出現在我的腦海中, 為了徹底瞭解馬步與棋盤的關係, 我就邀請同學一起來探討, 後來在老師的指導下, 完成了下面的研究貳研究目的一瞭解正方形棋盤中馬步的走法, 畫出簡單 (2 2) 到複雜 (11 11) 棋盤行走的路線, 並研究當起點和終點改變位置時, 能走完棋盤 ( 走透透 ) 的行走路線二瞭解長方形棋盤中馬步的走法, 找出哪些棋盤能走透透 ( 循環 ), 並以任何格子為起點, 確定是否能走完棋盤三從遊戲中來學數學, 大家腦力激盪, 寓教於樂, 引起對數學的興趣一西洋棋二格子紙三筆四尺参研究設備及器材肆研究問題棋盤中馬步的起點很重要, 是不是棋盤中每個格子都能當作第一個起點, 而走透透呢? 一正方形棋盤 (m=n) 從 2 2 到 11 11, 哪些棋盤可以走透透 ( 循環 )? 1

伍研究方法棋盤中馬步行走的規則如下 : 一在棋盤上, 先選擇一個格子當起點, 依照馬步的走法, 畫完所有的格子, 如右圖起點是 5, 終點是 9, 共走了 11 步 ( 不包括起點 ), 走完所有的格子二格子不可重複走過, 只能走一次三改變起點的位置,

4 二長方形棋盤,n( 楚河 ) 固定,m( 人數 ) 增加, 哪些棋盤可以走完? 如圖 ( 一 ) 三長方形棋盤,m( 人數 ) 固定,n( 楚河 ) 增加, 哪些棋盤可以走完? 如圖 ( 二 ) 四改變正方形棋盤中馬步的走法為, 是不是能走完所有的格子? 假如不能走完, 最多能走幾格? 能不能循環走一圈? 伍研究方法棋盤中馬步行走的規則如下 : 一在棋盤上, 先選擇一個格子當起點, 依照馬步的走法, 畫完所有的格子, 如右圖起點是 5, 終點是 9, 共走了 11 步 ( 不包括起點 ), 走完所有的格子二格子不可重複走過, 只能走一次三改變起點的位置, 再走看看, 是不是也能走透透呢? 四右表 4 3 棋盤, 起點和終點都在兩側, 才能走完格子位置是一正方形棋盤 : ( 一 )3 3 棋盤陸研究結果發現 1. 以角落 7 為起點, 剩中間 5 沒走完 2. 以 8 為起點, 剩中間 5, 也不能完成 ( 二 )4 4 棋盤發現 1. 以 1 為起點, 剩角落 4, 不能完成 2. 以邊為起點, 剩角落 4, 不能完成 3. 以中間 6 7 為起點, 剩角落 1 4, 不能完成 2

5 ( 三 )5 5 棋盤發現 1. 以格子位置是等奇數為起點, 都可走完 2. 以格子位置是等偶數為起點, 都不可走完 3. 行走方法為一奇一偶, 全部為 13 個奇數,12 個偶數, 起點和終點都在奇數格子上 ( 四 )6 6 棋盤發現 1. 以任何格子當起點都可走完, 形成一個循環 2. 畫出來的圖形很漂亮, 有規則 3. 有四種圖案, 請參閱紀錄 ( 五 )7 7 棋盤 3

6 發現 1. 以格子位置是奇數來當起點都可走完起點終點都在格子數字是奇數的位置上 2. 以格子位置是偶數當起點都不能走完 ( 六 )8 8 棋盤發現 1. 以任何格子當起點, 都可走完, 形成一個循環 2. 畫出來的圖形是對稱的, 有規則, 請參閱紀錄 3. 西洋棋就是用這個棋盤, 用分解法容易畫出來 ( 七 )9 9 棋盤發現 1. 先由外面兩圈畫完, 剩下裡面 5 5 棋盤 2. 再從格子位置是奇數的, 當做起點, 即可走完 4

7 ( 八 )10 10 棋盤發現 1. 以任何格子當做起點, 都可走完 2. 用分解法來組合, 可分成 5 5 棋盤四組或 10 5 棋盤兩組 ( 九 )11 11 棋盤發現 1. 走法與 7 7 棋盤一樣, 先由外圈沿著四邊畫框畫到內圈, 再由內圈畫到外圈或在內圈結束 2. 以格子位置是奇數 ( 如 ) 當做起點終點, 才能走完棋盤二長方形棋盤 : ( 一 )n( 楚河 ) 固定,m( 人數 ) 增加, 哪種棋盤能走完? 起點和終點在哪個格子上? 1. n=2, 如右表和操作紀錄 3 2( 只能走一步 ) 4 2( 只走一半步 ) 5 2( 只走二步 ) 6 2( 只走二半步 ) 7 2( 只走三步 ) 8 2( 只走三步半 ) 9 2( 只走四步 ) 10 2( 只走四步半 ) 5

8 2. n=3, 如下表和操作紀錄 2 3( 不能走完 ) 3 3( 不能走完 ) 4 3( 可以走完, 如行走規則 ) 5 3( 不能走完, 最多剩一格 ) 6 3( 不能走完, 最多剩二格 ) 7 3( 可走完 ) 8 3( 可走完 ) 9 3( 可走完 ) 10 3( 可循環 ) 發現 (1) 不能走完, 還剩一格 (2) 改變起點, 甚至會剩三格發現 (1) 不能走完, 還剩二格 (2) 改變起點, 也是不能走完, 剩發現 (1) 要走完所有的格子, 起點要在格子是奇數的位置上, 但是以中間 11 當起點卻不能走完 (2) 用格子位置是偶數的當做起點, 不能走完 6

9 發現 (1) 要走完棋盤, 要以上面打圈的格子當起點才可走完 (2) 可當起點的格子位置, 奇數和偶數一樣多發現 (1) 起點和終點都在格子位置是奇數的位置上才可走完發現 (1) 起點 1 和終點 22, 可以相通, 剛好形成一個循環 (2) 以任何格子當起點, 都可以走透透 (3) 當 m 10,m 是偶數時,m 3 的棋盤可以走透透當 m 9,m 是奇數時,m 3 的棋盤可以走完, 起點在格子是奇數的位置上 7

10 3. n=4, 如下表及操作紀錄 2 4( 不能走完 ) 3 4( 如前面 4x3 棋盤 ) 4 4( 不能走完 ) 5 4( 可走完 ) 6 4( 可走完 ) 7 4( 可走完 ) 8 4( 可走完 ) 9 4( 可走完 ) 10 4( 可走完 ) 8

第 20 21 個格子 ( 含起點 ) 放在中間的地方, 再按照一外一內的方法,

11 發現 (1) 起點和終點都在棋盤的上下兩側 (2) 只有棋盤不能走完 (3) 有一種方法就是把所有格子數的一半, 如上圖 40 2=20, 第個格子 ( 含起點 ) 放在中間的地方, 再按照一外一內的方法, 就可以完成了 4. n=5, 如下表及操作紀錄 2 5( 不能走完 ) 3 5( 不能走完 ) 4 5( 如前面操作 5x4) 5 5( 如前面操作 ) 6 5( 可走完 ) 7 5( 可走完 ) 8 5( 可走完 ) 9 5( 可走完 ) 10 5( 可循環 ) 9

12 發現 (1)6 5 棋盤還差兩格 14 和 17, 不能當起點 (2)7 5 和 9 5 都要以格子位置是奇數當起點才可走完 (3) 若要循環,m 10,m 是偶數,m 5 棋盤才可走完 (4) 數字太大, 用分解棋盤的方法, 很簡潔又快速 10

13 5. n=6, 如下表及操作紀錄 2 6( 不能走完 ) 3 6( 不能走完 ) 4 6( 可走完 ) 5 6( 可走完 ) 6 6( 循環 ) 7 6( 循環 ) 8 6( 循環 ) 9 6( 循環 ) 10 6( 循環 ) 發現 (1)m 6 棋盤中, 當 m 6 時, 全部格子都可以當起點, 循環走透透 6. n=7, 如下表及操作紀錄 2 7( 不能走完 ) 3 7( 可走完 ) 4 7( 可走完 ) 5 7( 可走完 ) 6 7( 循環 ) 7 7( 可走完 ) 8 7( 循環 ) 9 7( 可走完 ) 10 7( 循環 ) 11

n=9, 如右表及操作紀錄 2 9( 不能走完 ) 3 9( 可走完 ) 4 9( 可走完 ) 5 9( 可走完 ) 6 9( 循環 ) 7 9( 可走完 ) 8 9( 循環 ) 9 9( 可走完 ) 10 9 ( 循環

14 發現 (1)m 7 棋盤中,m 3,m 是奇數, 棋子可以走完 (2)m 6,m 是偶數, 棋子可以走透透 ( 循環 ) (3)2 7 只能走三步 7. n=8, 如右表及操作紀錄 2 8( 不能走完 ) 3 8( 可走完 ) 4 8( 可走完 ) 5 8( 可走完 ) 6 8( 循環 ) 7 8( 循環 ) 8 8( 循環 ) 9 8( 循環 ) 10 8( 循環 ) 8. n=9, 如右表及操作紀錄 2 9( 不能走完 ) 3 9( 可走完 ) 4 9( 可走完 ) 5 9( 可走完 ) 6 9( 循環 ) 7 9( 可走完 ) 8 9( 循環 ) 9 9( 可走完 ) 10 9 ( 循環 ) ( 二 ) 長方形棋盤,m( 人數 ) 固定,n( 楚河 ) 增加, 棋盤和前面一樣, 本來是橫放, 現在改成直立起來, 所以結果和前面棋盤一樣 ( 三 ) 正方形棋盤中, 改變馬步走法為, 從棋盤, 發現不能走完所有的格子, 如下表及紀錄, 但是卻可以循環走一圈 12

15 柒討論一西洋棋騎士馬與象棋的馬步是一樣的, 只不過一個是走在格子裡, 另一個則走在線上, 如下圖, 騎士馬走一步是, 象棋馬走一步是, 在長方形棋盤中, 騎士馬能走完的最小棋盤是 4 3, 走法和象棋馬一樣 (3 2), 不同的是格子長度, 楚河 (n) 和人數 (m) 都差 1 二 m( 人數 ) 和 n( 楚河 ) 相差 1 都可以走完, 如等棋盤 13

6 4=3 4+3 4 ( 三 )m 4 棋盤的起點和終點在上下兩外側, 那麼棋盤的中間點一定在內側, 如下表 6 4 2=12, 先把第 12 13 點畫在內側, 然後按照一外一內的順序, 就可以畫出行走的路線了 ( 四 ) 正方形棋盤的類型有偶數型和和奇數型兩種 : 1. 偶數型的 : 畫出來的路線比較有規則, 所以可沿著邊, 有順序的由外向內或由內 2.

16 三馬步的起點選錯位置, 就不能走完, 並不是所有的棋盤都能走完如分解 6 3 和 5 3 棋盤 6 3( 最少剩兩個空格 ) 5 3( 最少剩兩個空格 ) 四正方形 3 3 棋盤, 中間無法走入 4 4 棋盤角落剩一個空格, 無法走進去五用什麼方法能很快找到行走的路線而走完呢? ( 一 ) 先找到起點, 奇數奇數的棋盤, 起點和終點一定在格子位置是奇數的棋盤上但是也有例外, 如 7 3 棋盤選 11 當起點也不能走完所有的格子 ( 二 ) 分割棋盤是一個很經濟有效的識別法尤其是數字很大的棋盤, 如 10 10, 用四組 5 5 棋盤, 就能很快的發現能不能走透透不過這種方式不適合 m 4 棋盤, 因為他們的起點終點都在棋盤的上下兩外側, 根本無法連接起來, 如 6 4= ( 三 )m 4 棋盤的起點和終點在上下兩外側, 那麼棋盤的中間點一定在內側, 如下表 6 4 2=12, 先把第點畫在內側, 然後按照一外一內的順序, 就可以畫出行走的路線了 ( 四 ) 正方形棋盤的類型有偶數型和和奇數型兩種 : 1. 偶數型的 : 畫出來的路線比較有規則, 所以可沿著邊, 有順序的由外向內或由內 2. 奇數型的 : 向外循環的圍繞就可以畫出來了 (1) 邊長等 2n+1 型,n 2,n 是偶數 ; 從角落先出發, 由外圈兩行畫完後, 再進入中心 5 5 棋盤, 最後在中心點結束 (2) 邊長是等 2n+3 型,n 2,n 是偶數 ; 從角落出發, 由外圈兩行畫完後, 再進入中間的 7 7 棋盤, 再走到外圈剩下的空格, 在外圈結束 ( 五 ) 改變馬走法成, 無法把全部格子走透透, 走完最多的格子數是棋盤格子總數 m n 的一半, 把棋盤畫成黑白兩色, 棋子只走在白色的格子上, 比較容易畫出來如紀錄及右表 14

17 捌結論 n 一選擇起點很重要, 選錯起點位置就走不完, 因此, 並不是所有的棋盤馬步都能走完把研究結果整理如下表 ; 從表中知道 m n 3, 才可能走完不能走完打可走完打 Δ 循環 ( 走透透 ) 打 m Δ Δ Δ Δ 4 Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ 5 Δ Δ Δ Δ Δ Δ 6 Δ Δ 7 Δ Δ Δ Δ Δ 8 Δ Δ Δ 9 Δ Δ Δ Δ Δ 10 Δ 二正方形棋盤 : ( 一 ) 不能走完, 都差一格 ( 二 ) 等奇數奇數的棋盤都可走完, 但是不能走透透, 因為起點和終點都在格子位置是奇數的號碼上 ( 三 ) 偶數偶數的棋盤, 除了外, 都可完成 ; 任何格子都能當起點終點而走透透最小的棋盤可以走透透的是 6 6 棋盤三長方形棋盤 : ( 一 ) 最小可以走完的棋盤是 4 3(3 4) ( 二 ) 最小可以走透透的棋盤是 10 3(3 10) ( 三 )m( 人數 ) 和 n( 楚河 ) 相差 1 時, 棋盤都可走完, 但是 m n 3 ( 四 )m 3 棋盤中, 除了棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 10, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 五 )m 4 棋盤中, 除了棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完起點終點都在棋盤上下側 ( 六 )m 5 棋盤中, 除了棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 10, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 循環 ) ( 七 )m 6 棋盤中, 除了棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 6, 棋子可以走透透 ( 八 )m 7 棋盤中, 除了 2 7 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 6, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 九 )m 8 棋盤中, 除了 2 8 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 6, 棋子可以走透透 15

18 ( 十 )m 9 棋盤中, 除了 2 9 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 6, 而且是偶數時, 棋子可以走透透 ( 十一 )m 10 棋盤中, 除了 2 10 棋盤不能走完外, 其餘棋盤都可走完當 m 5, 棋子可以走透透四在正方形棋盤中, 改變馬步的走法, 格子不能全部走透透, 但是可以循環走一圈在棋盤中, 當 m n= 偶數時, 最多能走完的格子數 ( 含起點 )=m n 2( 但是 4 4 例外 ); 當 m n= 奇數時, 最多能走完的格子數 ( 含起點 )=(m n-1) 2 正方形棋盤最多能走格子數 ( 含起點 ) 計算公式例外 (5 5-1) 2= = (7 7-1) 2= =32 五馬步的格子是 3 2=6, 因此格子總數是 6 的倍數, 大多都能走完, 但是 6 3 棋盤例外玖心得與展望一半年多來, 大家辛苦的研究, 發揮互助合作的精神, 總算能找到一些馬步行走的方法, 並且知道哪些棋盤可以走透透, 也因此明白象棋和西洋棋的棋盤要如何設計, 馬步才能走透透我希望可以自己設計出新式棋盤 ( 如或 7 8 的棋盤 ), 讓大家使用二未來, 我們要繼續研究馬步的走法, 如改成, 是不是也能走完所有的格子? 或是最少能走完幾格? 此外, 我們還想要用馬步走法來設計出更有趣的遊戲拾參考書籍一萬家睿 ( 民 97) 生活數學 DIY 高雄市: 前程二曾蘭英 ( 民 74) 靈機妙算台北市: 凡異三王登傳 ( 民 80) 少年數學遊戲大觀第 14 集高雄市 : 前程 16

19 活動照片說明 : 在格子紙上畫出各種馬步的走法說明 : 在格子紙上畫出各種馬步的走法說明 : 大家將自己找出的馬步走法畫在黑板上, 方便討論說明 : 大家練習西洋棋的走法 17

20 佐證資料壹正方形棋盤 (m=n) 18

21 19

22 20

23 貳長方形棋盤 (m 增加 n 固定 ) 一 n=2 二 n=3 21

24 22

25 三 n=4 23

26 24

27 四 n=5 25

28 26

29 五 n=6 27

30 六 n=7 28

31 七 n=8 八 n=9 29

32 參改變馬步走法 ( 正方形棋盤 ) 30

中華民國第　四十七　屆中小學科學展覽會

中華民國第　四十七　屆中小學科學展覽會中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書高中組生物 ( 生命科學 ) 科 040718 光鮮外表下的神秘面紗 - 探討草莓果實生長及其生殖學校名稱 : 國立鳳新高級中學作者 : 高二簡溥辰指導老師 : 王美玲高二謝宜芬高二歐盈佛高二陳柏維關鍵詞 : 草莓 (Fagaria sp. ) 果實發育 (fruit develop) 萌芽 (germination) ~