金融工程研究金融工程专题报告 2 目录 1. 最大化复合因子 IC 加权等价于 Fama-MacBeth 回归法 使用正交因子不改变其溢价的估计 Qian(2012) 的因子择时模型等价于因子溢价的估计值对条件变量进行回归 总结与讨论

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1 [Table_MainInfo] 金融工程研究证券研究报告 [Table_Title] 相关研究 [Table_ReportInfo] 选股因子系列研究( 二十五 ) 高频因子之已实现波动分解 学术研究中的财务异象与本土实证 ( 一 ) 盈利能力 金融工程专题报告 2017 年 10 月 09 日 选股因子系列研究 ( 二十六 ) 因子加权 正交和择时的若干性质 [Table_Summary] 投资要点 : [Table_AuthorInfo] 近年来, 对量化多因子模型的研究主要集中在因子加权 正交和择时这三个方面 流行的方法大体有以下两种, 一是以因子为核心建模, 二是基于收益率和因子之间的 Fama-MacBeth 回归 本文首先证明了, 在一定的条件下, 两者之间的等价性 随后, 在这个基础上, 得到了有关因子正交和择时的重要性质 性质 1: 若收益率和因子都为原始值的 z-score, 则最大化复合因子 IC 加权法等价于 Fama-MacBeth 回归 在 z-score 的假设下, 最大化复合因子 IC 加权法完全可以用更加简洁, 且更便于程序编写和运算的回归模型代替 性质 2: 在原始的 Fama-MacBeth 回归模型中加入和已有因子正交的新因子, 不会改变原始模型得到的因子溢价 这条性质为新因子的有效性检验提供了极大的便利, 正交化后, 新因子的溢价及稳定性可直接与原始因子进行对比 分析师 : 冯佳睿 Tel:(021) fengjr@htsec.com 证书 :S 性质 3: 在 Fama-MacBeth 回归中, 不论新加入的因子是否与原有因子正交, 其因子溢价的估计不会改变 这条性质表明, 倘若想在已有模型中加入一个新因子, 不妨将它对原模型中的所有因子进行回归, 得到正交因子后再行加入 这样做既避免了可能存在的多重共线性的影响, 也没有损失与新因子选股能力有关的信息, 因为正交不改变其因子溢价的估计 性质 4:Qian 等人 (2012) 的因子择时模型, 本质上就是拿因子溢价对条件变量集合建立回归模型后, 计算被解释变量的最小二乘估计 这一结论不仅使得模型更加直观且易于理解, 而且也能极大地简化程序的编写步骤 提高运算效率 另外, 在使用这个模型的过程中, 一定要注意控制条件变量的个数, 防止出现过拟合的问题 风险提示 多因子模型中的因子失效风险 因子与收益之间线性假设不成立的风险

2 金融工程研究金融工程专题报告 2 目录 1. 最大化复合因子 IC 加权等价于 Fama-MacBeth 回归法 使用正交因子不改变其溢价的估计 Qian(2012) 的因子择时模型等价于因子溢价的估计值对条件变量进行回归 总结与讨论 风险提示... 7

3 金融工程研究金融工程专题报告 3 近年来, 对量化多因子模型的研究主要集中在因子加权 正交和择时这三个方面 流行的方法大体有以下两种, 一是以因子为核心建模, 二是基于收益率和因子之间的 Fama-MacBeth 回归 本文首先证明了, 在一定的条件下, 两者之间的等价性 随后, 在这个基础上, 得到了有关因子正交和择时的重要性质 1. 最大化复合因子加权等价于 Fama-MacBeth 回归法 在多因子选股模型中, 有一个非常重要的概念 因子, 它被定义为因子值和股票收益率之间的线性相关系数 假设为期的因子, 为期的收益, 则 因子度量了选股因子对股票收益预测能力的强弱, 是因子有效性高低的判别标准 其绝对值越大, 表明预测收益的能力越强, 也即越有效 多因子选股模型的另一个重要问题是如何分配因子的权重 一个朴素的想法是因子越有效, 权重应当越高 但是, 因子并非常数, 其波动的大小同样影响着加权效果 考虑到这两方面的因素,Qian 等人 1 (2007) 提出了最大化复合因子的加权算法 具体地, 记为当期的因子向量, 是其对应的权重向量 那么, 使得复合因子的最大化的解为, 其中, 为所有因子的值组成的向量, 为因子的协方差矩阵 构建多因子组合的另一种方式是建立股票收益的预测模型, 即建立与期的因子之间的 Fama-MacBeth 回归 具体形式为, 期的收益 其中, 为常数项, 为回归系数, 也被称为因子溢价, 为残差项 引入收益预测模型回避了对因子加权方式的争论, 因子的权重, 或曰因子溢价, 可直接由的最小二乘估计 (OLS) 给出 那么, 基于上述两种方法得到的选股结果是否存在差异? 以下这条性质给出了答案 性质 1: 若收益率和因子都为原始值的 z-score, 则最大化复合因子 Fama-MacBeth 回归 加权法等价于 证明 : 分别记和为收益率和因子的 z-score, 容易推得, 常数项和因子溢价向量的最小二乘估计分别为 又因为和恰为 z-score, 则由样本协方差矩阵和相关系数的定义可知,,. 故,Fama-MacBeth 回归对收益率的预测值等于最大化复合因子 加权法的股票得分 证毕 1 Qian, E., R. Hua, and E. Sorensen. Quantitative Equity Portfolio Management: Modern Techniques and Applications. New York, NY: Chapman & Hall (2007).

4 金融工程研究金融工程专题报告 4 性质 1 表明, 在 z-score 的假设下, 最大化复合因子加权法完全可以用更加简洁, 且更便于程序编写和运算的回归模型代替 因此, 下文有关因子正交和择时之性质的讨论与证明, 也都将基于 Fama-MacBeth 回归 2. 使用正交因子不改变其溢价的估计 多重共线性是回归中最为常见的问题, 它的存在会使得系数估计的方差变大, 导致估计的精度下降 而在多因子选股模型中, 由因子之间的相关性带来的多重共线性问题会造成更加严重的后果 除了因子溢价估计的准确度降低以外, 若模型包含较多的高相关因子, 很有可能使最终的股票组合极度偏向于该类因子所代表的风格 这不仅大大增加了风险, 也和多因子模型试图从多方面描述股票收益的初衷相悖 因此, 有人提出用正交化后的因子代替原始因子, 以避免上述问题的发生 海通证券金融工程团队也曾就 因子正交 这一主题撰写了相关研究报告 选股因子系列研究 ( 十七 ) 选股因子的正交, 其中详细阐述了因子正交的步骤, 本文不再赘述 那么, 使用正交因子究竟能为模型带来哪些便利和改变, 以下两条重要性质值得关注 性质 2: 在原始的 Fama-MacBeth 回归模型中加入和已有因子正交的新因子, 不会改变原始模型得到的因子溢价估计值 证明 : 设原始模型中包含个因子, 将它们构成的因子矩阵记为 新加入模型的因子为, 将其对原因子进行正交, 建立如下的回归方程, 回归系数的最小二乘估计为, 正交因子即为上述回归方程的残差, 具体形式为, 其中, 称为投影矩阵, 且满足以下五条性质 (1) (2) (3) (4) (5) 将正交因子加入原模型, 可得新的 Fama-MacBeth 回归方程 : 则个因子溢价的最小二乘估计为,

5 金融工程研究金融工程专题报告 5 记, 因子溢价的估计可简写为, 由上式可见, 前 个原始因子的溢价估计为, 恰好等于原始模型因子溢价的 最小二乘估计 证毕 这条性质为新因子的有效性检验提供了极大的便利, 正交化后, 新因子的溢价及稳定性可直接与原始因子进行对比 性质 3: 在 Fama-MacBeth 回归中, 不论新加入的因子是否与原有因子正交, 其因子溢价的估计不会改变 证明 : 由性质 2 的证明过程可知, 如果新加入的为正交因子价的估计值为,, 那么它的因子溢 其中,, 如果使用未正交的因子,Fama-MacBeth 回归可写成如下的形式, 则因子溢价的估计值为, 根据分块矩阵求逆公式, 于是, 上式第二项即为因子的溢价估计, 与正交因子 的溢价估计完全一致 证毕

6 金融工程研究金融工程专题报告 6 这条性质表明, 倘若想在已有模型中加入一个新因子, 不妨将它对原模型中的所有因子进行回归, 得到正交因子后再行加入 这样做既避免了可能存在的多重共线性的影响, 也没有损失与新因子选股能力有关的信息, 因为正交不改变其因子溢价的估计 3. Qian(2012) 的因子择时模型等价于因子溢价的估计值对条件变量进行回归 因子溢价并非一成不变, 有时甚至连符号都会发生逆转 为了让多因子模型发挥更 2 大作用, 因子择时成为了众多研究者感兴趣的课题 其中, 较有影响力的是 Qian 等人 (2012) 提出的基于条件期望的模型 他们使用外生变量来对原始的因子溢价进行调整, 并且在正态分布的假设下, 得到了基于变量的因子溢价的条件期望 假设原始的因子溢价是由历史上期的溢价均值估计得到, 记为 那么, 经过条件变量修正后的因子溢价为, 其中, 是因子溢价和条件变量的协方差矩阵, 是条件变量自身的协方差矩阵, 是条件变量历史上期的均值 性质 4: 条件期望向量中的每一个元素, 等于对回归后的预测值 证明 : 分别对因子的溢价序列 和条件变量序列进行中心化, 并记 假设共有个条件变量, 则可建立如下的回归方程,, 其中, 是维向量, 是维矩阵, 每一列代表了中心化后的条件变量 通过简单的矩阵运算, 可知和的最小二乘估计为, 则时, 因子溢价的估计值为, 由于和均为中心化变量, 因此, 为因子的溢价与每一个 条件变量的协方差组成的向量, 即的第行 对每个因子都进行相似的运算, 可得修正后的因子溢价向量为, 证毕 2 R. Hua, D. Kantsyrev, and Qian, E., Factor-Timing Model. The Journal of Portfolio Management, 39(1) (Fall 2012), pp

7 金融工程研究金融工程专题报告 7 由以上证明可见, 看似复杂的因子择时模型, 本质上就是拿因子溢价对条件变量集合建立回归模型后, 计算被解释变量的最小二乘估计 这一结论不仅使得模型更加直观且易于理解, 而且也能极大地简化程序的编写步骤 提高运算效率 此外, 将 Qian(2012) 的因子择时模型转化成回归的形式, 也对条件变量的选取数量提出了更高的要求, 而这一点并未在其文献中提及 根据回归分析的理论, 对于维矩阵, 应当有 否则, 维矩阵不满秩, 即它的逆矩阵不唯一, 由此得到的修正后的因子溢价也将是不可靠的 所以, 在使用这个模型的过程中, 一定要注意控制条件变量的个数, 防止出现过拟合的问题 4. 总结与讨论 本文通过一系列线性代数的推导, 对量化多因子选股模型中的三个重要问题 因子加权 因子正交和因子择时进行了归纳和总结, 得到了三条重要的性质 1. 若收益率和因子都为原始值的 z-score, 则最大化复合因子加权法等价于 Fama-MacBeth 回归 2. 在 Fama-MacBeth 回归中, 不论新加入的因子是否与原有因子正交, 其因子溢价的估计不会改变 3. 因子择时模型, 本质上就是拿因子溢价对条件变量集合建立回归模型后, 计算被解释变量的最小二乘估计 这些结论不仅降低了搭建多因子模型的难度 提升了程序的运行效率和准确性, 而且从理论的高度为多因子模型建立了一个统一的回归框架, 可以帮助投资者更好地理解和拓展现有的多因子模型 5. 风险提示 多因子模型中的因子失效风险 因子与收益之间线性假设不成立的风险 特别声明 : 本篇报告的结果均由数量化模型自动计算得到, 研究员未进行主观判断调整 ; 数据源均来自于市场公开信息

8 信息披露 金融工程研究金融工程专题报告 8 分析师声明 [Table_Analysts] 冯佳睿金融工程研究团队 本人具有中国证券业协会授予的证券投资咨询执业资格, 以勤勉的职业态度, 独立 客观地出具本报告 本报告所采用的数据和信息均来自市场公开信息, 本人不保证该等信息的准确性或完整性 分析逻辑基于作者的职业理解, 清晰准确地反映了作者的研究观点, 结论不受任何第三方的授意或影响, 特此声明 法律声明 本报告仅供海通证券股份有限公司 ( 以下简称 本公司 ) 的客户使用 本公司不会因接收人收到本报告而视其为客户 在任何情况下, 本报告中的信息或所表述的意见并不构成对任何人的投资建议 在任何情况下, 本公司不对任何人因使用本报告中的任何内容所引致的任何损失负任何责任 本报告所载的资料 意见及推测仅反映本公司于发布本报告当日的判断, 本报告所指的证券或投资标的的价格 价值及投资收入可能会波动 在不同时期, 本公司可发出与本报告所载资料 意见及推测不一致的报告 市场有风险, 投资需谨慎 本报告所载的信息 材料及结论只提供特定客户作参考, 不构成投资建议, 也没有考虑到个别客户特殊的投资目标 财务状况或需要 客户应考虑本报告中的任何意见或建议是否符合其特定状况 在法律许可的情况下, 海通证券及其所属关联机构可能会持有报告中提到的公司所发行的证券并进行交易, 还可能为这些公司提供投资银行服务或其他服务 本报告仅向特定客户传送, 未经海通证券研究所书面授权, 本研究报告的任何部分均不得以任何方式制作任何形式的拷贝 复印件或复制品, 或再次分发给任何其他人, 或以任何侵犯本公司版权的其他方式使用 所有本报告中使用的商标 服务标记及标记均为本公司的商标 服务标记及标记 如欲引用或转载本文内容, 务必联络海通证券研究所并获得许可, 并需注明出处为海通证券研究所, 且不得对本文进行有悖原意的引用和删改 根据中国证监会核发的经营证券业务许可, 海通证券股份有限公司的经营范围包括证券投资咨询业务

9 金融工程研究金融工程专题报告 9 [Table_PeopleInfo] 海通证券股份有限公司研究所 路颖所长 (021) luying@htsec.com 高道德副所长 (021) gaodd@htsec.com 姜超副所长 (021) jc9001@htsec.com 江孔亮副所长 (021) kljiang@htsec.com 邓勇所长助理 (021) dengyong@htsec.com 荀玉根所长助理 (021) xyg6052@htsec.com 钟奇所长助理 (021) zq8487@htsec.com 宏观经济研究团队姜超 (021) jc9001@htsec.com 顾潇啸 (021) gxx8737@htsec.com 于博 (021) yb9744@htsec.com 梁中华 (021) lzh10403@htsec.com 联系人李金柳 (021) ljl11087@htsec.com 宋潇 (021) sx11788@htsec.com 固定收益研究团队姜超 (021) jc9001@htsec.com 周霞 (021) zx6701@htsec.com 朱征星 (021) zzx9770@htsec.com 姜珮珊 (021) jps10296@htsec.com 联系人杜佳 (021) dj11195@htsec.com 李波 lb11789@htsec.com 政策研究团队李明亮 (021) lml@htsec.com 陈久红 (021) chenjiuhong@htsec.com 吴一萍 (021) wuyiping@htsec.com 朱蕾 (021) zl8316@htsec.com 周洪荣 (021) zhr8381@htsec.com 王旭 (021) wx5937@htsec.com 汽车行业邓学 (0755) dx9618@htsec.com 杜威 dw11213@htsec.com 谢亚彤 (021) xyt10421@htsec.com 王猛 (021) wm10860@htsec.com 互联网及传媒钟奇 (021) zq8487@htsec.com 郝艳辉 (010) hyh11052@htsec.com 许樱之 xyz11630@htsec.com 孙小雯 (021) sxw10268@htsec.com 联系人强超廷 (021) qct10912@htsec.com 毛云聪 (010) myc11153@htsec.com 刘欣 (010) lx11011@htsec.com 唐宇 (021) ty11049@htsec.com 陈星光 cxg11774@htsec.com 金融工程研究团队高道德 (021) gaodd@htsec.com 冯佳睿 (021) fengjr@htsec.com 郑雅斌 (021) zhengyb@htsec.com 罗蕾 (021) ll9773@htsec.com 沈泽承 (021) szc9633@htsec.com 余浩淼 (021) yhm9591@htsec.com 袁林青 (021) ylq9619@htsec.com 联系人周一洋 (021) zyy10866@htsec.com 姚石 (021) ys10481@htsec.com 吕丽颖 (021) lly10892@htsec.com 张振岗 (021) zzg11641@htsec.com 颜伟 (021) yw10384@htsec.com 史霄安 sxa11398@htsec.com 梁镇 (021) lz11936@htsec.com 策略研究团队荀玉根 (021) xyg6052@htsec.com 钟青 (010) zq10540@htsec.com 高上 (021) gs10373@htsec.com 郑英亮 (021) zyl10427@htsec.com 李影 (021) ly11082@htsec.com 联系人姚佩 (021) yp11059@htsec.com 唐一杰 tyj11545@htsec.com 石油化工行业邓勇 (021) dengyong@htsec.com 朱军军 (021) zjj10419@htsec.com 毛建平 (021) mjp10376@htsec.com 殷奇伟 (021) yqw10381@htsec.com 联系人胡歆 (021) hx11853 公用事业张一弛 (021) zyc9637@htsec.com 张磊 (021) zl10996@htsec.com 赵树理 (021) zsl10869@htsec.com 联系人陈佳彬 (021) cjb11782@htsec.com 傅逸帆 (021) fyf11758@htsec.com 有色金属行业施毅 (021) sy8486@htsec.com 联系人杨娜 (021) yn10377@htsec.com 李姝醒 (021) lsx11330@htsec.com 陈晓航 (021) cxh11840@htsec.com 李骥 (021) lj11875@htsec.com 金融产品研究团队高道德 (021) gaodd@htsec.com 倪韵婷 (021) niyt@htsec.com 陈瑶 (021) chenyao@htsec.com 唐洋运 (021) tangyy@htsec.com 宋家骥 (021) sjj9710@htsec.com 薛涵 xh11528@htsec.com 皮灵 (021) pl10382@htsec.com 联系人谈鑫 (021) tx10771@htsec.com 王毅 (021) wy10876@htsec.com 蔡思圆 (021) csy11033@htsec.com 徐燕红 (021) xyh10763@htsec.com 庄梓恺 zzk11560@htsec.com 中小市值团队张宇 (021) zy9957@htsec.com 钮宇鸣 (021) ymniu@htsec.com 刘宇 (021) liuy4986@htsec.com 孔维娜 (021) kongwn@htsec.com 潘莹练 (021) pyl10297@htsec.com 联系人王鸣阳 (021) wmy10773@htsec.com 程碧升 (021) cbs10969@htsec.com 相姜 (021) xj11211@htsec.com 医药行业余文心 (0755) ywx9461@htsec.com 郑琴 (021) zq6670@htsec.com 孙建 (021) sj10968@htsec.com 师成平 (010) scp10207@htsec.com 联系人贺文斌 (010) hwb10850@htsec.com 刘浩 (010) lh11328@htsec.com 吴佳栓 wjs11852@htsec.com 批发和零售贸易行业汪立亭 (021) wanglt@htsec.com 王晴 (021) wq10458@htsec.com 李宏科 (021) lhk11523@htsec.com 联系人史岳 (021) sy11542@htsec.com 房地产行业涂力磊 (021) tll5535@htsec.com 谢盐 (021) xiey@htsec.com 联系人杨凡 (021) yf11127@htsec.com 金晶 (021) jj10777@htsec.com

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11 金融工程研究金融工程专题报告 11 深广地区销售团队蔡铁清 (0755) 伏财勇 (0755) 辜丽娟 (0755) 刘晶晶 (0755) 王雅清 (0755) 饶伟 (0755) 欧阳梦楚 (0755) 巩柏含 宗亮 上海地区销售团队胡雪梅 (021) 朱健 (021) 季唯佳 (021) 黄毓 (021) 漆冠男 (021) 胡宇欣 (021) 黄诚 (021) 蒋炯 毛文英 (021) 马晓男 杨祎昕 (021) 方烨晨 (021) 慈晓聪 王朝领 张思宇 北京地区销售团队殷怡琦 (010) 吴尹 陆铂锡 张丽萱 (010) 陈铮茹 杨羽莎 (010) 海通证券股份有限公司研究所地址 : 上海市黄浦区广东路 689 号海通证券大厦 9 楼电话 :(021) 传真 :(021) 网址 :