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1 第 40 卷第 2 期 2010 年 3 月东南大学学报 ( 自然科学版 ) JOURNALOFSOUTHEASTUNIVERSITY(NaturalScienceEdition) Vol.40 No.2 Mar.2010 doi: /j.isn 基于 Volterra 级数分析的半导体激光器非线性模型田学农王志功 ( 东南大学射频与光电集成电路研究所, 南京 ) 摘要 : 根据非线性系统 Voltera 级数分析理论建立了半导体激光器的非线性模型. 半导体激光器由本征激光器与寄生网络级联而成. 本征激光器的非线性传递函数利用谐波输入法从速率方程得到, 而寄生网络的非线性传递函数由影响其非线性的主要因素决定. 在此基础上利用非线性系统的级联关系得到半导体激光器的非线性传递函数, 并利用模型计算了半导体激光器的二次谐波三次谐波和三阶交调失真. 计算结果显示, 在宽频范围内模型计算结果与仿真结果接近, 且寄生网络对于激光器非线性的影响随频率升高而逐渐加大. 通过比较 Voltera 模型与直接仿真之间的误差随输入信号功率的变化趋势可看出 Voltera 模型更加适用于分析弱非线性系统. 所建立的模型有助于半导体激光器的器件表征与射频光传输系统的设计. 关键词 : 半导体激光器 ;Voltera 级数 ; 非线性中图分类号 :TN248 4 文献标志码 :A 文章编号 : (2010) Nonlinearmodelofsemiconductorlaserdiodes basedonvolterraseriesanalysis TianXuenong WangZhigong (InstituteofRF andoe ICs,SoutheastUniversity,Nanjing210096,China) Abstract:AnonlinearmodelforsemiconductorlasersispresentedbasedontheVolteraseriesanal ysisofnonlinearsystems.thesemiconductorlasersarecomposedofthecascadednetworkofintrin siclaserandparasiticnetwork.thenonlineartransferfunctionsoftheintrinsiclaserarederivedfrom therateequationsbytheharmonicinputmethod.thenonlineartransferfunctionsoftheparasiticnet workareacquiredbytakingintoaccountthemainfactorsthatafectthenonlinearbehaviorinparasit icnetworkforthespecificapplication.thenthetotalnonlineartransferfunctionisderivedbyusing thecascadingrelationshipofthenonlinearsystems.thesecond andthird orderharmonicdistortion andthethird orderinter modulationdistortionarecalculatedandsimulated.thecomparisonbetween theanalysisandsimulationresultsshowsthattheyarematchedcloselyinawidefrequencyrange. Theinfluenceoftheparasiticnetworkonthenonlinearityofthelaserincreasesgradualywiththein creaseofthefrequency.thecomparisonoftheerorbetweenthevolteramodelandthesimulation resultswithdiferentinputpowersshowsthatthevolteramodelismoresuitablefortheanalysisof theweaknonlinearsystem.themodelisusefulforthedevicecharacterizationandthedesignofra dio over fiber(rof)systems. Keywords:semiconductorlaser;Volteraseries;nonlinearity 半导体激光器是射频光传输链路的基本器件, 在天线拉远同轴电视系统微蜂窝网络与光控相控阵雷达等技术中得到了广泛的应用 [12]. 半导体激光器的非线性对于射频光传输链路的动态范围和频谱效率有重要的影响 [3], 因此有必要建立半导体激光器的非线性模型. 精确的半导体激光器收稿日期 : 作者简介 : 田学农 (1974 ), 男, 博士生 ; 王志功 ( 联系人 ), 男, 博士, 教授, 博士生导师,zgwang@seu.edu.cn. 引文格式 : 田学农, 王志功. 基于 Voltera 级数分析的半导体激光器非线性模型 [J]. 东南大学学报 : 自然科学版,2010,40(2): [doi: /j.isn ]

2 254 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 40 卷的非线性模型也有助于射频光传输链路的设计与激光器的参数表征 [45]. Voltera 作为一种有效的非线性分析工具在很多领域得到了应用. 本文利用 Voltera 级数理论建立了半导体激光器的非线性模型, 然后对半导体激光器的非线性失真进行计算并与仿真结果对比, 结果表明半导体激光器的 Voltera 模型可有效预测其非线性特性. 1 非线性系统的 Volterra 级数分析 1 1 Volterra 级数一个有记忆非线性系统可以由一个 Voltera 级数表示为 y(t)= n=1 y n (t)= h 1 (τ)x(t-τ)dτ+ h 2 (τ 1,τ 2 )x(t-τ 1 )x(t-τ 2 )dτ 1 dτ 2 + h n (τ 1,τ 2,τ 3,,τ n )x(t-τ 1 ) x(t-τ 2 )x(t-τ 3 ) x(t-τ n )dτ 1 dτ 2 dτ 3 dτ n + (1) 式中,y n (t) 为输出 n 阶分量 ;h n (τ 1,τ 2,,τ n ) 为系统非线性冲击响应的 Voltera 核, 其傅里叶变换为 n 阶非线性传递函数 [6], 即 H n (f 1,f 2,,f n )= h n (τ 1,τ 2,,τ n ) exp[-j2π(f 1 τ 1 +f 2 τ 2 + +f n τ n )]dτ 1 dτ 2 dτ n (2) n 阶输出分量可以由频域非线性传递函数表示为 y n (t)= H n (f 1,f 2,,f n ) n X(f i )exp(j2πf i t)df i (3) 在频域系统输出可表示为 Y(f)= n=1 频域的 n 阶输出分量可表示为 1 2 Y n (f) (4) Y n (f)= H n (f 1,f 2,,f n ) n X(f i ) δ(f-f 1 - -f n )df 1 df n (5) 非线性系统的级联图 1 显示了由 2 个非线性系统级联而形成的非线性系统. 图中, 网络 α 与 β 的非线性传递函数分别为 A n (f 1,f 2,,f n ) 与 B n (f 1,f 2,,f n ). 网络 α 与 β 的输出可表示为 Y α (f)= 图 1 n=1 非线性系统级联 A n (ξ 1,ξ 2,,ξ n ) X α (ξ i )dξ i (6) Y β (f)= n=1 B n (ξ 1,ξ 2,,ξ n ) X β (ξ i )dξ i (7) 网络 γ 由网络 α 与 β 级联而成, 其非线性传递函数为 C n (f 1,f 2,,f n ). 网络 γ 的 Voltera 级数展开为 Y out (f)= n=1 C n (ξ 1,ξ 2,,ξ n ) X in (ξ i )dξ i (8) n 个复指数之和可表示为 X α (ξ)= n δ(ξ-f k ) (9) k=1 当系统被式 (9) 所表示的信号所激励, 并且用网络 α 的输出作为网络 β 的输入, 非线性传递函数可由 n!δ(f-f 1 -f 2 - -f n ) 的系数给出. 这样可得到非线性级联系统的一阶二阶与三阶非线性传递函数为 1 3 C 1 (f 1 )=A 1 (f 1 )B 1 (f 1 ) (10) C 2 (f 1,f 2 )=A 1 (f 1 )A 1 (f 2 )B 2 (f 1,f 2 )+ A 2 (f 1,f 2 )B 1 (f 1 +f 2 ) (11) A 1 (f i )] B 3 (f 1,f 2,f 3 )+ C 3 (f 1,f 2,f 3 ) = [ 3 A 1 (f 1 )A 2 (f 2,f 3 )B 2 (f 1,f 2 +f 3 )+ A 3 (f 1,f 2,f 3 )B 1 (f 1 +f 2 +f 3 ) (12) 非线性响应系统的非线性特性通常由谐波失真与交调失真来表征. 这些非线性失真指标的数值可以由系统的非线性传递函数直接计算得到. 当系统由频率为 f 1 和 f 2 的双频信号所激励, 输入信号可表示为 x(t)= 1 2 (A 1exp(j2πf 1 t)+a 1exp(-j2πf 1 t)+ A 2 exp(j2πf 2 t)+a 2exp(-j2πf 2 t)) (13)

3 第 2 期田学农, 等 : 基于 Voltera 级数分析的半导体激光器非线性模型 255 输入信号频谱为 Z 1 (f)=a 1 δ(f), Z 2 (f)=a 2 δ(f) (14) 输出交调分量的幅度为 B(f k1,f k2,,f kn )= n!a k 1 A k2 A kn 2 n-1 m -2!m -1!m 1!m 2! H n (f k1,f k2,,f kn ) k 1,k 2,,k n =±1,±2 (15) 式中,m i 为每一个 f ki 出现的次数,m i =0,1,2,, n, 且满足 K m i =n (16) i=-k 典型的非线性失真如表 1 所示. 组合 m -2 m -1 m 1 m 2 表 1 非线性响应频率响应幅值响应类型 f A2 1H 2 (f 1,f 1 ) 二次谐波 f A3 1H 3 (f 1,f 1,f 1 ) 三次谐波 f 1 -f A2 1A 2 H 3 (f 1,f 1,-f 2 ) 三阶交调 f 2 -f A 1 A 2 2H 3 (-f 1,f 2,f 2 ) 三阶交调 2 半导体激光器频域 Volterra 核的求解如图 2 所示, 半导体激光器可分为 2 部分 : 本征激光器与寄生网络. 激光器的非线性特性主要由本征部分所决定, 但是寄生网络也影响半导体激光器的非线性特性. 寄生网络包含了芯片与封装寄生效应. 寄生网络随不同的激光器变化很大, 不能用一个统一的结构或理论所描述. 因此寄生网络的非线性传递函数通常根据特定的应用, 考虑影响非线性的主要因素而决定 [7]. 图 2 电流源驱动的激光器有源区与寄生网络本征激光器的非线性传递函数可利用谐波输入法从速率方程推导得到. 首先将 I A =I 0 +i(t), S=S 0 +s(t) 和 N =N 0 +n(t) 代入速率方程, 可得 ds dt =Γg 0(N 0 -N g )(1-2εS 0 )s+ Γg 0 ns(1-2εs 0 )-Γg 0 (N 0 -N g )εs 2 + Γg 0 s(1-εs 0 )S 0 -Γg 0 nεs 2 - s τ p + Γβn τ n dn dt = i α -g 0(N 0 -N g )(1-2εS 0 )s- g 0 ns(1-2εs 0 )+g 0 (N 0 -N g )εs 2 - (17) g 0 n(1-εs 0 )S 0 +g 0 nεs 2 - n τ n (18) 式中,S 为光子密度 ;N 为载流子密度 ;S 0,N 0 分别为稳态的光子密度和载流子密度 ;Γ 为场限制因子 ;g 0 为增益系数 ;β 为自发辐射因子 ;N g 为透明载流子密度 ;ε 为增益压缩因子 ;α 为有源区体积与电子电荷的乘积 ;I A 为注入有源区的电流 ;τ n,τ p 分别为载流子与光子的寿命. 本文利用谐波输入法根据式 (17) 和 (18) 得到激光器的非线性传递函数. 注入电流载流子密度与光子密度可表示为 i=e j2πf 1 t +e j2πf 2 t + +e j2πf r t (19) n= n m1,m 2,,m p exp[j2π(m 1 f 1 +m 2 f 2 + +m p f p )t] m (20) s= s m1,m 2,,m p exp[j2π(m 1 f 1 +m 2 f 2 + +m p f p )t] m (21) 式中,m 表示集合 {m 1,m 2,,m p }, 其中每一个 m i 可以是 0 或者 1. 用 p 阶 Voltera 级数表示激光器的传递函数, 在本文中取 p=3. 式 (19)~(21) 由所有可能对指数项 exp[j2π(f 1 + +f r )t] 的系数做出贡献的分量之和组成. 如 r=2,p=3 时, 可得 i=e j2πf 1 t +e j2πf 2 t (22) n=n 100 e j2πf 1 t +n 010 e j2πf 2 t +n 110 e j2π(f 1 +f 2 )t (23) s=s 100 e j2πf 1 t +s 010 e j2πf 2 t +s 110 e j2π(f 1 +f 2 )t (24) 对于 r 取值从 1 到 p, 依次将式 (19)~(21) 代入式 (17) 与 (18), 合并同类项并利用待定系数法求得 e j2π(f 1 + +f r )t 的系数, 再进行整理可得 A r1 n e[r] +B r1 s e[r] =C r1 A r2 n e[r] +B r2 s e[r] =C r} (25) 2 式中, 下标 e[r] 为一个 p 位的序列, 其中前 r 位为 1, 其余位为 0, 如 r=2,p=3 时,n e[r] 即为 n 110. 方程组 (25) 的系数如下 : A r1 =-g 0 S 0 +g 0 εs τ n -j2π(f 1 +f 2 + +f r ) (26) B r1 =-g 0 (N 0 -N om )(1-2εS 0 ) (27) A r2 =Γg 0 S 0 -Γg 0 εs Γβ τ n (28)

4 256 东南大学学报 ( 自然科学版 ) 第 40 卷 B r2 =Γg 0 (N 0 -N om )(1-2εS 0 )- 1 - τ p j2π(f 1 +f 2 + +f r ) (29) C 11 =- 1 (30) α C 12 =0 (31) C 21 =g 0 (1-2εS 0 )[G 1 (f 1 )H 1 (f 2 )+ G 1 (f 2 )H 1 (f 1 )]-2g 0 ε(n 0 -N om )H 1 (f 1 )H 1 (f 2 ) (32) C 22 =-Γg 0 (1-2εS 0 )[G 1 (f 1 )H 1 (f 2 )+ G 1 (f 2 )H 1 (f 1 )]+2Γg 0 ε(n 0 -N om )H 1 (f 1 )H 1 (f 2 ) (33) C 31 =2g 0 (1-2εS 0 )[G 2 (f 1,f 3 )H 1 (f 2 )+ G 2 (f 2,f 3 )H 1 (f 1 )+G 2 (f 1,f 2 )H 1 (f 3 )]- 4g 0 ε(n 0 -N om )[H 1 (f 3 )H 2 (f 1,f 2 )+ H 1 (f 1 )H 2 (f 2,f 3 )+H 1 (f 2 )H 2 (f 1,f 3 )]+ 2g 0 (1-2εS 0 )[G 1 (f 2 )H 2 (f 1,f 3 )+ G 1 (f 1 )H 2 (f 2,f 3 )+G 1 (f 3 )H 2 (f 1,f 2 )]- 2g 0 ε[g 1 (f 1 )H 1 (f 2 )H 1 (f 3 )+G 1 (f 2 ) H 1 (f 1 )H 1 (f 3 )+G 1 (f 3 )H 1 (f 1 )H 1 (f 2 )] (34) C 32 = -2Γg 0 (1-2εS 0 )[G 2 (f 2,f 3 )H 1 (f 1 )+ G 2 (f 1,f 3 )H 1 (f 2 )+G 2 (f 1,f 2 )H 1 (f 3 )]- 2Γg 0 (1-2εS 0 )[G 1 (f 1 )H 2 (f 2,f 3 )+ G 1 (f 2 )H 2 (f 1,f 3 )+G 1 (f 3 )H 2 (f 1,f 2 )]+ 4Γg 0 ε(n 0 -N om )[H 1 (f 1 )H 2 (f 2,f 3 )+ H 1 (f 2 )H 2 (f 1,f 3 )+H 1 (f 3 )H 2 (f 1,f 2 )]+ 2Γg 0 ε[g 1 (f 1 )H 1 (f 2 )H 1 (f 3 )+G 1 (f 2 ) H 1 (f 1 )H 1 (f 3 )+G 1 (f 3 )H 1 (f 1 )H 1 (f 2 )] (35) 对方程组 (25) 求解, 可得到不同阶数的方程组的解 n e[r],s e[r]. 进而可依次从低阶到高阶得到载流子密度非线性传递函数 G r (f 1,f 2,,f r ) 与光子密度的非线性传递函数 H r (f 1,f 2,,f r ), 真并且与仿真结果进行对比. 本文使用了一个 In GaAsP 脊波导激光器 [8], 如图 3 所示. 寄生网络作为线性网络处理, 因此其高阶非线性传递函数可近似为零. 激光器的本征参数值为 :α= , β= ,Γ =0 3,ε= ,g 0 = ,N g =10 24,τ n =3ns,τ p =1ps. 寄生网络元件参数值为 :C p =0.23pF,L p =0.63nH,R p =1.0Ω,R sub =1.5Ω,C s =8pF,R s =5.5Ω. 阈值电流大约为 45mA, 偏置电流为 55mA. 在计算与仿真中所使用的功率源的输入功率为 -10dBm. 仿真中使用了激光器的 Tucker 模型, 仿真结果利用 ADS 软件谐波平衡仿真器得到. 图 3 芯片寄生与封装寄生模型图 4 给出了通过 Voltera 模型计算与直接仿真得到的激光器的二次与三次谐波失真. 图 5 给出了通过 Voltera 模型计算与直接仿真得到的三阶交调分量与基波分量的比值. 频率范围是从 0.2~ 4GHz. 图 5 中双频间隔为 5MHz. 从图中可看出 Voltera 模型的计算结果与仿真结果接近. H r (f 1,f 2,,f r )= 1 r! s e[r] (36) G r (f 1,f 2,,f r )= 1 r! n e[r] (37) 考虑寄生网络的非线性效应后可得到寄生网络的非线性传递函数. 整个系统的非线性传递函数可利用式 (10)~(12) 将 2 个部分级联得到. 3 仿真结果为了验证本文所描述的半导体激光器 Voltera 模型, 利用 Voltera 模型计算了激光器的非线性失图 4 激光器的二次与三次谐波失真

5 第 2 期田学农, 等 : 基于 Voltera 级数分析的半导体激光器非线性模型 GHz. 计算三阶交调失真时信号源频率为与 GHz. 从图中可看出, 在输入功率较小时,Voltera 模型计算结果与仿真很接近 ; 但是当信号功率逐渐变大时,Voltera 模型计算结果与仿真的偏差逐渐加大, 这说明 Voltera 模型更加适用于分析弱非线性系统. 4 结语图 5 激光器的三阶交调失真图 6 给出了利用 Voltera 模型计算得到的本征激光器和考虑了寄生网络效应后的二次谐波失真三次谐波失真与三阶交调失真. 可看出激光器的非线性特性随频率升高受寄生网络影响逐渐加大. 本文基于非线性系统 Voltera 级数分析理论得到了半导体激光器的非线性模型. 利用谐波输入法得到了本征激光器的非线性传递函数, 并且与寄生网络级联得到了整个激光器模块的非线性传递函数. 仿真与计算结果的对比显示该模型可预测激光器的非线性失真 ; 从模型计算结果可看出寄生网络对于激光器非线性的影响不大, 激光器的 Voltera 模型误差随输入信号功率的增加而增加, 因此 Volt era 模型更加适用于分析弱非线性系统. 该模型有助于器件的表征与射频光传输系统的设计 [9]. 参考文献 (References) 图 6 本征激光器非线性和寄生网络对于非线性的影响图 7 为信号源输入功率从 -15dBm 到 2dBm 变化时利用 Voltera 模型计算与直接仿真得到的非线性失真的比较. 计算谐波失真时信号源频率为图 7 激光器非线性失真随输入功率的变化 [1]MontebugnoliS,BoschiM,PeriniF,etal.Largean tennaarayremotingusingradio over fibertechnologies forradioastronomicalapplication[j].microwaveand OpticalTechnologyLeters,2005,46(1): [2] ChungYong Duck,ChoiKwang Seong,Sim Jae Sik, etal.a60 GHz bandanalogopticalsystem on package transmiterforfiber radiocommunications[j].journal oflightwavetechnology,2007,25(11): [3] ShahA R,JalaliB.Adaptiveequalizationforbroad bandpredistortion linearization ofopticaltransmiters [J].IEEProcOptoelectron,2005,152(1): [4]IsmailTabasam,LiuChin Pang,MitchelJohnE,et al.high dynamic rangewireles over fiberlink using feedforwardlinearization [J]. JournalofLightwave Technology,2007,25(11):1 9. [5] MoonHyunsuk,SedaghatReza.FPGA basedadaptive digitalpredistortionforradio over fiberlinks[j].micro procesorsandmicrosystems,2006,30(3): [6] BusgangJulianJ,ElumanLeonard,GrahanJamesW. Analysisofnonlinearsystemswithmultipleinputs[J]. ProceedingsoftheIEEE,1974,62(8): [7]AchorHM.AninvertibleVolteramodelofsecond or derdistortionindfblasers[j].ieeephotonicslet ters,1993,15(3): [8] TuckerRodneyS,Kaminow IvanP.High frequency characteristics of directly modulated InGaAsP ridge waveguideandburiedheterostructurelasers[j].journal oflightwavetechnology,1984,2(4): [9] SalgadoH M,OReilyJJ.Experimentalvalidationof Volteraseriesnonlinearmodelingformicrowavesub carieropticalsystems[j].iee ProcOptoelectron, 1996,143(4):

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