例题 2 张老汉驾驶拖拉机从家开往农场, 要行 4600 米, 开始以每小时 20 千米速度行驶, 途中拖拉机出现故障, 维修用时 6 分钟因为要按原计划时间到达农场, 修好拖拉机后必须以每小时 45 千米的速度行驶则拖拉机是在距离张老汉的家 ( ) 米远处出现故障的 A.600 B.800 C

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界干
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1 目录行测数学运算秒杀技巧 : 方程法... 1 行测数学运算秒杀技巧 : 分合法... 4 行测数学运算秒杀技巧 : 代入排除法... 6 行测数学运算秒杀技巧 : 特殊值法... 7 行测数学运算秒杀技巧 : 公式法... 9 行测数学运算秒杀技巧 : 图解法行测数学运算秒杀技巧 : 极端法行测数学运算秒杀技巧 : 十字交叉法行测数学运算秒杀技巧 : 速算技巧行测数量关系考点 : 常用公式行测数学运算秒杀技巧 : 方程法在数学运算的解题过程中, 绝大部分题目都可以用方程法求解, 虽然计算量比较大, 但因其为正向思维, 思路简单, 故不需要复杂的分析过程下面, 中公教育专家就方程法进行精炼讲解一定义方程法是指将题目中未知的数用变量 ( 如 x,y) 表示, 根据题目中所含的等量关系, 列出含有未知数的等式 ( 组 ), 通过求解未知数的数值来解应用题的方法二适用范围方程法应用范围较为广泛, 省考数学运算绝大部分题目, 如行程问题工程问题盈亏问题和差倍比问题浓度问题利润问题年龄问题等均可以通过方程法来求解三分类 1.N 元一次方程 ( 组 ) 主要流程为 : 例题 1 商店经销某商品, 第二次进货的单价是第一次进货单价的九折, 而售价不变, 利润率比第一次销售该商品时的利润率增加了 15 个百分点, 则该商店第一次经销该商品时所定的利润率是 ( ) A.35% B.20% C.30% D.12% 1 / 21

2 例题 2 张老汉驾驶拖拉机从家开往农场, 要行 4600 米, 开始以每小时 20 千米速度行驶, 途中拖拉机出现故障, 维修用时 6 分钟因为要按原计划时间到达农场, 修好拖拉机后必须以每小时 45 千米的速度行驶则拖拉机是在距离张老汉的家 ( ) 米远处出现故障的 A.600 B.800 C.1000 D.1200 例题 3 某工厂有学徒工熟练工技师共 80 名, 每天完成 480 件产品的任务已知每天学徒工完成 2 件, 熟练工完成 6 件, 技师完成 7 件, 且学徒工和熟练工完成的量相等, 则该厂技师人数是熟练工人数的 ( ) 倍 A. 6 B. 8 C. 10 D 不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程个数, 且未知数受到限制 ( 如要求是有理数整数或正整数等 ) 的方程或方程组在行测考试中, 最常出现的是二元一次方程, 其通用形式为 ax+by=c, 其中 a b c 为已知整数,x y 为所求自然数若出现三元或三元以上则可用整体代入消元去求所需要的量解不定方程时, 我们需要利用整数的奇偶性自然数的质合性等多种数学知识确定解的范围其流程如下 : 例题 4 某公司的 6 名员工一起去用餐, 他们各自购买了三种不同食品中的一种, 且每人只购买了一份已知盖饭 15 元一份, 水饺 7 元一份, 面条 9 元一份, 他们一共花费了 60 元问他们中最多有几人买了水饺?( ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 / 21

3 例题 5 农民小李到农贸市场卖水果, 苹果梨橘子桃四种水果各一箱苹果梨橘子三箱水果, 平均每箱 51 个 ; 梨橘子桃三箱水果, 平均每箱 47 个 ; 苹果桃两箱水平, 平均每箱 43 个则苹果共有 ( ) 个 A.41 B.45 C.49 D.53 3 / 21

4 行测数学运算秒杀技巧 : 分合法释义 : 分合法就是利用分与合两种不同的思维解答数学运算的方法所谓分, 就是将一个问题拆分成若干个小问题, 然后从局部来考虑每个小问题 ; 所谓合, 就是把若干问题合在一起, 从整体上思考这些问题也就是说, 分就是局部考虑, 是拆分 ; 合是整体考虑, 是整合分合法一般适用于排列组合与概率问题解方程等分合法常用的两种思路为分类讨论和整体法 ( 一 ) 分类讨论分类讨论, 是指当不能对问题所给的对象进行统一研究时, 需要对研究对象按某个标准进行分类, 逐类研究, 最后将结论汇总得解的方法在进行分类讨论时, 要注意分类标准统一, 分类情况不遗漏不重复, 不越级讨论分类讨论与加法原理经常一起使用, 一般是多种情况分类讨论以后, 再利用加法原理求出总的情况数 ( 二 ) 整体法整体法与分类讨论正好相反, 它强调从整体上来把握变化, 而不是拘泥于局部的处理整体法有两种表现形式 : 1. 将某一部分看成一个整体, 在问题中总是一起考虑, 而不单独求解 ; 2. 不关心局部关系, 只关心问题的整体情况, 直接根据整体情况来考虑关系这种形式经常用于平均数问题例题 : 某班级去超市采购体育用品时发现买 4 个篮球和 2 个排球共需 560 元, 而买 2 个排球和 4 个足球则共需 500 元问如果篮球排球和足球各买 1 个, 共需多少元? A.250 元 B.255 元 C.260 元 D.265 元解析设篮球排球足球单价为 x y z, 则 4x+2y=560,2y+4z=500 两式相加得 4(x+y+z)=1060,x+y+z=265, 此题答案为 D 例题 : 有两只相同的大桶和一只空杯子, 甲桶装牛奶, 乙桶装糖水, 先从甲桶内取出一杯牛奶倒入乙桶, 再从乙桶取出一杯糖水和牛奶的混合液倒入甲桶, 请问, 此时甲桶内的糖水多还是乙桶内的牛奶多? A. 无法判定 B. 甲桶糖水多 C. 乙桶牛奶多 D. 一样多 4 / 21

5 解析这道题没有具体的数据, 只有两次不定量的操作, 若通过假设桶和杯子的容积, 然后根据溶液混合的公式正常求解, 是不可行的利用整体思想中的初末态法, 问题会变得很简单问题的核心是初末态物质的量都有一桶牛奶和一桶糖水初态 : 甲, 一桶牛奶 ; 乙, 一桶糖水末态 : 甲, 甲中牛奶 + 甲中糖水 = 一桶 1 乙, 乙中牛奶 + 乙中糖水 = 一桶 2 由于初末态总量相同, 因此有 : 甲中糖水 + 乙中糖水 = 一桶 3 对比 2 和 3 得到, 甲中糖水 = 乙中牛奶, 即甲桶内的糖水和乙桶内的牛奶一样多此题答案为 D 例题 3: 一名外国游客到北京旅游他要么上午出去游玩, 下午在旅馆休息 ; 要么上午休息, 下午出去游玩, 而下雨天他只能一天都呆在旅馆里期间, 不下雨的天数是 12 天, 他上午呆在旅馆的天数为 8 天, 下午呆在旅馆的天数为 12 天, 他在北京共呆了 ( ) A.16 天 B.20 天 C.22 天 D.24 天解析不下雨的天数是 12 天, 则有 12 个半天出去游玩在旅馆的天数为 8+12=20 个半天, 故总天数为 12+20=32 个半天, 即 16 天 5 / 21

6 行测数学运算秒杀技巧 : 代入排除法释义 : 代入排除法是指从选项入手, 代入某个选项后, 如果不符合已知条件, 或者推出矛盾, 则可排除此选项的方法公务员考试行测部分全部都是选择题, 而代入排除法是应对选择题的有效方法适用范围 : 代入排除法广泛运用于多位数问题不定方程问题剩余问题年龄问题复杂行程问题和差倍比问题等分类 : 1. 直接代入 : 把选项一个一个代入验证, 直至得到符合题意的选项为止 ; 2. 选择性代入 : 根据数的特性 ( 奇偶性整除特性尾数特性余数特性等 ) 先筛选, 再代入排除例题 1: 编号为 1~55 号的 55 盏亮着的灯, 按顺时针方向依次排列在一个圆周上, 从 1 号灯开始顺时针方向留 1 号灯, 关掉 2 号灯 ; 留 3 号灯, 关掉 4 号灯这样每隔一盏灯关掉一盏, 转圈关下去, 则最后剩下的一盏亮灯编号是 ( ) A.50 B.44 C.47 D.1 解析第一轮灭灯偶数号灯全熄, 排除 A B 熄灭第 54 号灯后隔过 55 号灯灭掉 1 号灯, 排除 D 选 C 例题 2: 两个数的差是 2345, 两数相除的商是 8, 这两个数之和为 ( ) A.2353 B.2896 C.3015 D.3456 解析由两个数的差是 2345 可知, 这两个数必是一奇一偶, 则两个数的和为奇数, 可排除 B D 两项 ; 又由两数相除的商是 8 可知, 一个数是另一个数的 8 倍, 则两个数的和是较小数的 9 倍, 即两个数的和是 9 的倍数, 排除 A, 选择 C 6 / 21

7 行测数学运算秒杀技巧 : 特殊值法数学运算是行测考试中的重点题型, 数学运算的关键是用最优的解题方法快速解答这些方法不仅能够帮助考生快速找到思路简化解题过程优化计算步骤, 而且有几种方法经常用到并适用于大多数题型下面是中公教育行测网专家为广大考试讲述的特殊值法与归纳法一特殊值法 ( 一 ) 定义特殊值法, 就是在题目所给的范围内取一个恰当的特殊值直接代入, 将复杂的问题简单化的方法特殊值法必须选取满足题干的特殊数特殊点特殊函数特殊数列或特殊图形代替一般的情况, 并由此计算出结果, 从而快速解题 ( 二 ) 适用范围在政法干警考试中, 特殊值法常应用于和差倍比问题行程问题工程问题浓度问题利润问题几何问题等其中, 在工程问题浓度问题相关的比例问题时, 一般将特殊值设为 1; 在涉及多个比例的问题时, 有时为了将数值整数化, 可以设特殊值为总量的最小公倍数 ( 三 ) 解题原则在运用特殊值法时, 要注意 : 1. 确定这个特殊值不影响所求结果 ; 2. 数据不要太繁琐, 应便于快速准确计算, 可尽量使计算结果为整数 ; 3. 结合其他方法灵活使用 ( 四 ) 例题详解 1. 设特殊值为 1 这种方法多应用于工程问题浓度问题相关的比例问题等例题 1 一个人从家到公司, 当他走到路程一半的时候, 速度下降了 10%, 问 : 他走完全程所用时间的前半段和后半段所走的路程比是 : 7 / 21

8 A.10 9 B C.11 9 D 例题 2 一项工程计划用 20 天完成, 实际只用了 16 天就完成了, 则工作效率提高的百分率是 : A.20% B.25% C.50% D.60% 2. 设特殊值为已知几个量的最小公倍数在涉及多个比例的问题时, 有时为了将数值整数化, 可以设特殊值为总量的最小公倍数例题 3 两个相同的瓶子装满某种化学溶液, 一个瓶子中溶质与水的体积比是 3 1, 另一个瓶子中溶质与水的体积比是 4 1, 若把两瓶化学溶液混合, 则混合后的溶质和水的体积之比是 : A.31 9 B.7 2 C D / 21

9 行测数学运算秒杀技巧 : 公式法在数学运算中很多题目需要运用数学公式计算, 对于一些广泛出现的运算题型, 这些题型的变化相对较少, 且每一题型都有其核心的解题公式, 遇到这些题时, 只要理清题意, 套用公式即可下面中公教育行测网总结了几种常见的题型及其相关的核心公式例题 1: 环保部门对一定时间内的河流水质进行采样, 原计划每 41 分钟采样 1 次, 但在实际采样过程中, 第一次和最后一次采样的时间与原计划相同, 每两次采样的间隔变成 20 分钟, 采样次数比原计划增加了 1 倍问实际采样次数是多少次? A. 22 B. 32 C. 42 D. 52 解析设原计划采样 x 次, 有 x-1 个时间间隔, 总用时为 41 (x-1) 分钟实际采样过程中, 第一次和最后一次采样时间与原计划相同说明总用时不变采样次数变为 2x, 有 2x-1 个时间间隔, 总用时为 20 (2x-1) 分钟所以 41 (x-1)=20 (2x-1)? 圯 x=21 次, 实际采样次数为 42 次此题答案为 C 例题 2: 五年级学生分成两队参加广播操比赛, 排成甲乙两个实心方阵, 其中甲方阵最外层每边的人数为 8 如果两队合并, 可以另排成一个空心的丙方阵, 丙方阵最外层每边的人数比乙方阵最外层每边的人数多 4 人, 且甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级一共有多少人? A.200 B.236 C.260 D.288 解析空心的丙方阵人数 = 甲方阵人数 + 乙方阵人数, 若丙方阵为实心的, 那么实心的丙方阵人数 =2 甲方阵人数 + 乙方阵人数, 即实心丙方阵比乙方阵多 82 2=128 人丙方阵最外层每边比乙方阵多 4 人, 则丙方阵最外层总人数比乙方阵多 4 4=16 人, 即多了 16 8=2 层这两层的人数即为实心丙方阵比乙方阵多的 128 人, 则丙方阵最外层人数为 (128+8) 2=68 人, 丙方阵最外层每边人数为 (68+4) 4=18 人那么, 共有 =260 人此题答案为 C 例题 3: 假设某地森林资源的增长速度是一定的, 且不受到自然灾害等原因影响那么若每年开采 110 万立方米, 则可开采 90 年, 若每年开采 90 万立方米则可开采 210 年为了使这片森林可持续开发, 则每年最多开采多少万立方米林木?( ) A.30 B.50 C.60 D.75 9 / 21

10 解析牛吃草问题变形森林每年再生( )-(210-90)=75 万立方米如果每年开采的资源超过再生的数量, 森林就慢慢减少, 无法保证可持续开发此题答案为 D 例题 4: 某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件支付工资, 工人每做出一个合格零件能得到工资 10 元, 每做一个不合格零件将被扣除 5 元, 已知某人一天共做了 12 个零件, 得工资 90 元, 那么他在这一天做了多少个不合格零件? A.2 B.3 C.4 D.6 解析得失问题, 求失, 应当采用设得求失的思路做出一个合格零件得 10 元, 做出一个不合格零件损失 10+5=15 元若 12 个零件都合格, 那么这个人可以得到 12 10=120 元, 可现在只得了 90 元, 说明做了 (120-90) 15=2 个不合格的零件此题答案为 A 10 / 21

11 行测数学运算秒杀技巧 : 图解法释义 : 图解法是指利用图形来解决数学运算的方法, 将复杂的数字之间的关系用图形形象地表示出来, 能够更快更准地解决问题适用范围 : 一般说来, 图解法适用于绝大部分题型, 尤其是在行程问题年龄问题容斥问题等强调分析过程的题型中运用得很广图解法就是利用图形来解决数学运算的方法图解法简单直观, 能够清楚表现出问题的过程变化一般说来, 图解法适用于绝大部分题型, 尤其是在行程问题年龄问题容斥问题等强调分析过程的题型中运用得很广图解法运用的图形包括线段图网状图 / 树状图文氏图和表格等线段图即是用线段来表示数字和数量关系的方法一般情况下, 我们会用线段来表示量与量之间的倍数关系或者整个运动过程等, 来解决和差倍比问题行程问题等线段图在行程问题中非常有效, 因为它能够帮助考生快速理清各物体的运动过程, 从而找到物体速度或者路程之间的关系网状图或树状图一般用来解决过程或者数量关系比较复杂的题型, 比如排列组合问题推理问题或者时间安排类的对策分析问题文氏图就是用圆圈来表示一类事物的图形, 一般只有容斥问题会用到文氏图利用表格可以将多次操作问题和还原问题中的复杂过程一一表现出来同时, 我们也可以用表格来理清数量关系, 帮助列方程例题 : 草地上插了若干根旗杆, 已知旗杆的高度在 1 至 5 米之间, 且任意两根旗杆的距离都不超过他们高度差的 10 倍如果用一根绳子将所有旗杆都围进去, 在不知旗杆数量和位置的情况下, 最少需要准备多少米长的绳子? A.40 B.60 C.80 D.100 中公解析 : 旗杆最高为 5 米, 最矮为 1 米因此任意两旗杆间的距离不超过 (5-1) 10=40 米以最矮的旗杆为原点, 最矮的旗杆与最高的旗杆连线为 x 轴建立直角坐标系当这两个旗杆间距最大时, 如下左图所示设其余任意旗杆高度为 a 要满足与 1 米旗杆间距离不超过它们高度差的 10 倍, 应在下图左边的圆范围内要满足与 5 米旗杆间距离 11 / 21

12 不超过它们高度差的 10 倍, 应在下图右边的圆范围内同时满足条件的旗杆只能位于两个旗杆的连线上此时需要 40 2=80 米可把它们都围进去草地上插了若干根旗杆, 已知旗杆的高度在 1 至 5 米之间, 且任意两根旗杆的距离都不超过他们高度差的 10 倍如果用一根绳子将所有旗杆都围进去, 在不知旗杆数量和位置的情况下, 最少需要准备多少米长的绳子? A.40 B.60 C.80 D.100 中公解析 : 旗杆最高为 5 米, 最矮为 1 米因此任意两旗杆间的距离不超过 (5-1) 10=40 米以最矮的旗杆为原点, 最矮的旗杆与最高的旗杆连线为 x 轴建立直角坐标系当这两个旗杆间距最大时, 如下左图所示设其余任意旗杆高度为 a 要满足与 1 米旗杆间距离不超过它们高度差的 10 倍, 应在下图左边的圆范围内要满足与 5 米旗杆间距离不超过它们高度差的 10 倍, 应在下图右边的圆范围内同时满足条件的旗杆只能位于两个旗杆的连线上此时需要 40 2=80 米可把它们都围进去若两个旗杆间距小于 40 米, 如右图所示, 其余旗杆应该在两圆相交的阴影范围内分布, 此时需要 2 [10(a-1)+10(5-a)]=80 米因此不论旗杆怎样分布, 都需要至少 80 米长的绳子来保证把全部旗杆围进去 12 / 21

13 行测数学运算秒杀技巧 : 极端法释义 : 极端法是指通过考虑问题的极端状态, 探求解题方向或转化途径的一种常用方法在行测考试中运用极端法的情况主要有分析极端状态和考虑极限图形与极限位置两种情况适用范围 : 极端法一般适用于鸡兔同笼问题对策分析类问题等分类 : 1. 分析极端状态 : 先分析并找出问题的极限状态, 再与题干条件相比较, 作出相应调整, 得出所求问题的解 ; 2. 考虑极限图形与极限位置 :(1) 极限图形, 主要是利用一些几何知识例如, 对于空间几何体, 当表面积相同时, 越趋近于球体的体积越大 ; 同理, 当体积相同时, 越趋近于球体的表面积越小 ;(2) 极限位置, 首先找到途中满足条件的极端位置, 再判断极端位置与题中所求之间的关系, 进而求出题目答案例题 : 小明每天必须做家务, 做一天可得 3 元钱, 做得特别好时每天可得 5 元钱, 有一个月 (30 天 ) 他共得 100 元, 这个月他有几天做得特别好? A.2 B.3 C.5 D.7 本题答案为 C 鸡兔同笼问题, 采用极端法来分析本题存在两个极限状态 :(1) 每天都得 3 元 ;(2) 都做得特别好, 每天可得 5 元任选一个状态, 再通过比较与实际的差别来求解假设每天都得 3 元, 那么一个月得 30 3=90 元, 比所得的 100 元少了 =10 元小明每多一天做得特别好, 他就可多拿 5-3=2 元, 所以有 10 2=5 天做得特别好 13 / 21

14 行测数学运算秒杀技巧 : 十字交叉法释义 : 十字交叉法是利用交叉十字来求两个部分混合后平均量的一种简便方法适用范围 : 十字交叉法一般只用于两个部分相关的平均值问题, 且运用的前提已知总体平均值 r 使用原则 : 第一部分的平均值为 a, 第二部分的平均值为 b( 这里假设 a>b), 混合后的平均值为 r 解题步骤 : 1. 找出各个部分平均值和总体平均值 ; 2. 平均值间交叉作差, 写出部分对应量或对应量的比 ; 3. 利用比例关系解答例题 : 某市气象局观测发现, 今年第一二季度本市降水量分别比去年同期增加了 11% 和 9%, 而两个季度降水量的绝对增量刚好相同那么今年上半年该市降水量同比增长多少? A.9.5% B.10% C.9.9% D.10.5% 中公行测网解析 : 利用十字交叉法, 设该市上半年降水量总体增长为 x% 14 / 21

15 因此, 去年一二季度降水量之比为 (x-9) (11-x) 根据绝对增量相等可得,(x-9) 11%=(11-x) 9%, 解得 x%=9.9%, 选 C 15 / 21

16 行测数学运算秒杀技巧 : 速算技巧 16 / 21

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19 行测数量关系考点 : 常用公式一五大方法 1. 代入法 : 代入法时行测第一大法, 优先考虑 2. 赋值法 : 对于有些问题, 若能根据其具体情况, 合理巧妙地对某些元素赋值, 特别是赋予确定的特殊值, 往往能使问题获得简捷有效的解决题干中有分数, 比例, 或者倍数关系时一般采用赋值法简化计算, 赋值法经常应用在如工程问题, 行程问题, 费用问题等题目中 3. 倍数比例法 : 若 a : b=m : n(m n 互质 ), 则说明 : a 占 m 份, 是 m 的倍数 ; b 占 n 份, 是 n 的倍数 ; a+b 占 m+n 份, 是 m+n 的倍数 ; a-b 占 m-n 份, 是 m-n 的倍数 4. 奇偶特性法 : 两个奇数之和 / 差为偶数, 两个偶数之和 / 差为偶数, 一奇一偶之和 / 差为奇数 ; 两个数的和 / 差为奇数, 则它们奇偶相反, 两个数的和 / 差为偶数, 则它们奇偶相同 ; 两个数的和为奇数, 则其差也为奇数, 两个数的和为偶数, 则其差也为偶数 5. 方程法 : 很多数学运算题目都可以采用列方程进行求解方程法注意事项 : 未知数要便于列方程 ; 未知数可以用字母表示, 也可以用份数, 还可以用汉字进行替代二六大题型 1. 工程问题 : 工作量 = 工作效率工作时间工程问题一般采用赋值法解题赋值法有 2 种应用情况, 第一种是题干中已知每个人完成工作的时间, 这时我们假设工作量为工作时间的最小公倍数, 进而得到每个人的工作效率, 19 / 21

20 从而快速求解 ; 第二种是题干中已知的是每个人工作效率的等量关系, 这时我们通过直接赋效率为具体值进行快速求解 2. 行程问题 : 路程 = 速度时间行程问题一般要通过数形结合进行快速求解, 常见的解法包括列方程, 比例法等常考的题型包括相遇问题和追及问题相遇问题 : 路程和 = 速度和时间追及问题 : 路程差 = 速度差时间 3. 溶液问题 : 浓度 = 溶质溶液溶液问题常见的有两种, 一种是溶液的混合, 这种问题用公式解决 ; 另外一种是单一溶液的蒸发或稀释, 这种题目一般用比例法解决, 即利用溶质不变进行求解 4. 容斥原理 : 两集合型的容斥原理题目, 关键是分清题目中的条件 I 和条件 II, 然后直接套用公式 : 满足条件 I 的个数 + 满足条件 II 的个数 - 两者都满足的个数 = 总个数 - 两者都不满足的个数三集合公式型题目, 需要大家记住公式核心公式 : A+B+C-AB-AC-BC+ABC= 总个数 - 三者都不满足的个数三集合图示型题目, 当题目条件不能直接代入标准公式时, 我们可以考虑利用图示配合, 标数解答 5. 和差倍比问题 : 和差倍比问题是研究不同量之间的和差倍数比例关系的数学应用题, 是数学运算中比较简单的问题但这类问题对计算速度和准确度要求较高, 一般采用代入法快速求解 6. 最值问题 : 三类第一, 抽屉原理, 特征至少 + 保证, 方法最不利原则, 答案最不利 +1 ; 第二, 多集合问题, 特征至少, 方法逆向考虑 ; 这类题目的做法, 一般就是将每个集合不满足的个数求出, 然后求和得到有不满足集合的个数最多, 再用总数减去这个和, 得到满足的个数最少为多少第三, 构造数列, 特征最多最少, 方法极端思想这类题目的做法就是在极端思维情况下, 构造出满足条件的一个数列, 然后数列求和等于题目所给总和, 再根据提问方式得到最终结果 20 / 21

21 三八大公式 1. 裂项相消公式 : 2. 植树问题 : 单边线型植树公式 : 棵数 = 总长间隔 +1; 单边环型植树公式 : 棵数 = 总长间隔 ; 单边楼间植树公式 : 棵数 = 总长间隔 -1; 双边植树问题公式 : 相应单边植树问题所需棵树的 2 倍 3. 方阵问题 : 无论是方阵还是长方阵, 相邻两圈的人数都满足 : 外圈比内圈多 8 人 ; 在方阵中 : 总人数 =N2=( 外圈人数 4+1)2, 最外圈为 4N-4 人 21 / 21

求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n n 20n n n 20n n 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y =

求出所有的正整数 n 使得 20n + 2 能整除 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 n 20n + 2 2003n + 2002 求所有的正整数对 (x, y), 满足 x y = y x y (x, y) x y = y x y. (x, y) x y = y x y 对于任意正整数 n, 记 n 的所有正约数组成的集合为 S n 证明 : S n 中至多有一半元素的个位数为