題 號

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1 第三章靜力平衡 P 力學分析步驟 選擇適當的受力物 適當的受力物 意 義 質點 ( 物體 ) 一般問題, 必須分析所有的受力物, 一一列出方程式 系統 可將部份物體視為系統, 則內力不影響系統的運動狀態 受力點 繩子的連接點 hat is the key wrd? 適當 P 彈簧的串聯 (serial) 與並聯 (parallel) 種類 串 聯 並 聯 圖示 k 雙彈簧的等效 kk k 彈力常數 k + k k k + k ( 同一繩, 其張力同 ) + + k k k 證明 kk + k k k k k + k 大小小 k < k, k < k 單位才 + k k + k K k + k 等效彈力常數 公式 k + k k + k k k + + 記法倒數的和, 取倒數直接相加 特色 串聯後的等效彈力常數, 比原來並聯後的等效彈力常數, 比原來 最小的彈力常數值還小 最大的彈力常數值還大 記法比最小的還小比最大的還大

2 P 彈簧的串聯 (serial) 與並聯 (parallel) 4 / 與 4 / 並聯, 等效彈力常數為 8 / 4 / 與 4 / 串聯, 等效彈力常數為 / 6 / 與 6 / 串聯, 等效彈力常數為 / 4 6 / 與 / 串聯, 等效彈力常數為 / 5 / / 與 / 串聯, 等效彈力常數為 / 6 6 / / 與 / 串聯, 等效彈力常數為 / 7 4 / / 並聯, 等效彈力常數為 4 / ( 判斷是否正確 ) 否 8 4 / / 串聯, 等效彈力常數為 / ( 判斷是否正確 ) 否 0006 串聯?? 並聯?? 串聯與並聯的根本差別不在於連接形式, 而在於 : 並聯是共同分擔外力, 串聯是受相同外力 若為原長時 才會是並聯 + k k ( 拉回 ) ( 抵抗 ) P 彈簧的分割 4 / 與 4 / 串聯, 等效彈力常數為 4 / 反之, 把彈力常數為 / 的彈簧, 等分成兩段, 每一段的彈力常數為 n 條彈力常數為 nk 的彈簧串聯, 等效彈力常數為 k / 4 將一條彈力常數為 k 的彈簧, 分成 n 段, 每一段的彈力常數為 nk ; 即反求,n 條彈力常數為 nk 的彈簧串聯, 其等效彈力常數為 k 結論 : 分割彈簧, 每一小段彈簧的彈力常數與原長成 反 比 5 將一條彈力常數為 k 的彈簧, 分成長度比 : n 的兩段, 則兩段的彈力常數

3 + n + n k k 分別為 及 n 切成(+n) 段, 再串聯 k 6. 可以推廣 : 彈簧的彈力常數與長度成反比, 與截面積成正比 P. 000 摩擦力 靜摩擦力 動摩擦力 常用符號 f s f k 物體不動, 為抵抗外力, 摩擦面施意義物體滑動時, 摩擦面施予物體的力予物體的力方向與運動趨勢相反與運動方向相反 ( 相對運動 ) 力的大小變力, 存在最大值定力, 與速度無關 fsma μs fk μk 公式 * fs μs 無單位 摩擦係數的性質 μ s 只跟接觸面的性質有關, 與正向力 接觸面積無關 無單位 0 μ s <, 但通常 < μ k 只跟接觸面的性質有關, 與正向力 接觸面積 速率無關 無單位 0 μ k <, 但通常 < 測定法與分析 f 利用特性 : 恰下滑 sma μ s g f sin s s a μ s μ g cs μ s tan s s g sin s s f k 利用特性 : 等速滑動 μ k g sink fk μk μk g cs μ tan k k g sin 測定值 μ s tan s μ k tan k f 圖 示 45

4 f s f k 向前, 相對 來說 向後 的 f 是向前 輪胎鎖死時受的是動摩擦力 花紋 : 排水 P 正向力, 圓心 0004 靜摩擦力的方向 fs ac f k 太大或 太小 太小或 太大 fk fk

5

6 P 力矩 (ent f frce) 的意義 力 矩 物理意義描述物體轉動的趨勢嚴格 τ r 數學定義 右手定則 : 正負約定 順時針方向轉動 負力矩 逆時針方向轉動 正力矩 條 件 力矩 力 力臂 (ent ar) 力矩 有效力 距離 圖 解 r sin r cs τ (r sin ) τ r( sin ) 有效力 sin 延伸定義力臂 力到支點的垂直距離有效力 垂直距離方向的分力 P 力偶矩 (ent f cuple). 等大小 反方向且不共線的兩平行力, 對物體所造成的力矩稱為力偶矩. 應用 : 水龍頭 方向盤 腳踏車 螺絲. 力偶矩與支點的選取無關 r r r+ r τ r τ (r-) + (r+)r

7 P 天平 基本原理: 槓桿原理 必須有重力場, 才能使用, 但是量測的結果與重力場的大小無關 靈敏度的感覺: 若在稱盤中放一 ( 恐龍 ), 天平只偏轉 度, 表示此天平的靈敏度極差 ; 若在稱盤中放一 ( 草履蟲 ), 天平就偏轉 0 度, 表示此天平的靈敏度極高 4 靈敏度的定義 放一 Δ 重物, 偏轉的角度 Δ 每單位質量偏轉的角度 5 數學推導: Δ acs 0 L sin Δ a tan 0 a tan L Δ Δ 0 0 sin li, 且 sin tan

8 範例 0: () 之解法 ( 一 ) 分別分析人與平台 : + g 第三章靜力平衡詳解 Step: 選擇適當的受力物 分析 人 Step: 分析受力, 畫出力圖 人共受重力 g 張力 平台對人的 正向力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此三力成平衡, 故列合力 0 Step: 選擇適當的受力物 分析 平台 Step: 分析受力, 畫出力圖 平台共受重力 Mg 張力 人對平台正向力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此三力成平衡, 故列合力 0 人對平台施力 平台對人施力, 兩者是一組作用與反作用力 g+ g ( 若 > g, 人會被拉出去 ) ( ) M + g g M M g g () 之解法 ( 二 ) 分析人與平台之系統 : Step: 選擇適當的受力物 分析 人 + 平台 的系統 Step: 分析受力, 畫出力圖 系統共受重力 (M+)g 張力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此二力成平衡, 故列合力 0 果將人與平台視為一系統, 則人對平台施力 平台對人施力, 兩者是系統間的內力 () + ( ) + g g + M + g ( ) M + g ( M + ) g

9 () 之解析 分析人與平台之系統 : Step: 選擇適當的受力物 分析 人 + 平台 的系統 Step: 分析受力, 畫出力圖 系統共受重力 (M+)g 張力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此系統做等加速度運動, 故列 Σa 若有加速度 ( )( ) ( ) ( ) ( )( M + a+ g M + g M + a M + a+ g) a ( M + ) g 範例 0: () 之解法 ( 一 ) 分別分析人與平台 : Step: 選擇適當的受力物 分析 人 Step: 分析受力, 畫出力圖 人共受重力 g 張 力 平台對人的正向力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此三力成平衡, 故列合力 0 + g Step: 選擇適當的受力物 分析 平台 Step: 分析受力, 畫出力圖 平台共受重力 Mg 張力 人對平台正向力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此三力成平衡, 故列合力 0 人對平台施力 平台對人施力, 兩者是一組作 用與反作用 Mg+ () 之解法 ( 二 ) 分析人與平台之系統 : Step: 選擇適當的受力物 分析 人 + 平台 的系統 Step: 分析受力, 畫出力圖 系統共受重力 (M+)g 張力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此二力成平

10 衡, 故列合力 0 如果將人與平台視為一系統, 則人對平台施 力 平台對人施力, 兩者是系統間的內力 + g Mg+ + g ( M + ) g ( M ) () 之解析 分析人與平台之系統 : Step: 選擇適當的受力物 分析 人 + 平台 的系統 Step: 分析受力, 畫出力圖 系統共受重力 (M+)g 張力 Step: 分析力造成何種結果, 列方程式 此系統做等加速度運動, 故列 Σa ( + ) ( M ) a M g + ( M + )( g+ a) ( M + )( g+ a) 範例 0: () k ' + + k k k 6 k k k k () k' k k + + k k k () k' k k k (4) k' 4k k k

11 (5) k' k k k 5 (6) k' k k 0.5k 範例 04: () k k ()8 56c () 範例 05: ( 0) ( ) k L L k L L 0 () L L ( L L ) 0 L L L L L 0 L -L L -L () kδ k L L () L0 + ( L L) ( ) L L + L L L L

12 範例 06: () 0 00iΔ Δ () () 每段張力不同 (4) 範例 07: + 串聯 並聯 串聯 + 並聯 + +

13 範例 08: 串聯後的彈力常數會變 小 ; 並聯後的彈力常數會變 大 解答 :()(D)(E) 故 k 是串聯的彈力常數 kk k k + k k4 是並聯的彈力常數 k4 k + k kk k k( k + k) kk k + k kk kk 4 範例 09: 虎壓縮 d,k 彈簧被壓縮 d k 彈簧被壓縮 d 解答 :() k + k d + k d ( ) kd+ k + k d 範例 0: g () 欲解, 分析 + k g k g () 欲解, 分析 k g k g ()4, 分析 C k g k d k d k g k C k k 4 g g

14 範例 : 解答 :(C)..05 ( ) 格.05 <. 所以必在 5 之下.c 範例 : k ( ) k k 設 > 壓縮 中間 : k 設 ( ) < 伸長 中間 : k ( ) k k k 範例 : () k c () 設 > 0 c 表壓縮 b a 0g k a ( 推 ) k(-0) 400 k( 拉 ) 0 ( ) k 0 + k 0 k 0k c b k b 0c ns. 7.5c

15 範例 4: 彈簧分割, 彈力常數與長度成反比 此題, 長度變為一半, 故彈力常數變為 k 彈簧並聯, 彈力常數 4k g k ΔL g 4 k Δ ' g ΔL Δ ' 4k 4 k k g 範例 5: L 5 5 L Δ L L L L 8 8 kl k L cs5 8 5 kl 0 L k k L 7 範例 6: () 三力成平衡, 力的作用線必交於同一點, 否則會產生力矩而轉動 (C)(D)(E) 三角形的邊長關係 : 兩邊和 > 第三邊 兩邊差 < 第三邊 進階思考 : 如果題目改為作用於一物體之三力成平衡, 則 : ns. () 任兩力之合力必與第三力大小相等, 方向相反 反例 : () 三力之作用線必通過同一點 (C) 三力的向量構成封閉三角形 (D) 任一力之大小, 必等於另兩力大小之和 (E) 任一力之大小, 必等於另兩力大小之差

16 範例 7: 解答 :(D) (D) 無論如何不能保持平衡 f 範例 8: 解法( 一 ): 解析法 水平方向合力 0; 鉛直方向合力 0 cs sin cs sin tan cs 解法( 二 ): 拉密定理 sin 90 sin 80 ( + ) sin 90 ( ) 解法 ( 三 ): 封閉三角形 tan sec cs

17 範例 9: 甲乙 sin05 sin5 sin0 甲乙 sin5 sin 45 sin 0 ( 6+ ) ( ) 甲 6 乙 甲 乙 甲 乙 範例 0: () 60 () 00 () sin 範例 : () 分析上方圓柱 : 鉛直方向合力 0 cs () 分析三根圓柱之系統 : 鉛直方向合力 0 cs0 0 0

18 () 分析左下方圓柱 : 水平方向合力 0 sin 0 + sin 範例 : 範例 : C C 底 壁 0 C C 壁 0 60º 60º 0 由拉密定理, 三力相等且成平衡, 必為 _ 0 度 0º 0º 50 sin 範例 4: 45

19 範例 5: kg 8 kg c ( ) kδ kg 合力 kg 6 kg 6 kg ( ) ( ) c 0 千克 範例 6: 0 60 範例 7: () sin csc () cs cs ct sin

20 範例 8: () () sin + sin sin ( ) sin sin sin sin ( + )

21 範例 9: C 範例 0: () μs tans 4 s 7 g sin fk g sin μkg cs a () s g g () μ tan k tan 4 k k tan 4 k 範例 : ()0, 未達 smx, 推多少, 受多少 ()0, 達 smx ()0, 為 k 範例 : ( cs ) h R μ tan h R + μ R R cs h + μ μ 範例 : f sma μ s μ s f sma

22 \ 範例 4: sin + ( sin ) cs μ μ s μs cs + μ sin s s μs μs + μ sin + α + μ ( ) s s f sma μ s 範例 5: () f ( + ) gμ 範例 6: f gμ f () f ( + ) gμ f gμ f + f () + f + f ( ) f + f + f f + f cs sin 7 + g f in f f f f f f sma f in cs7 sin 7 g cs7 0.5 sin 7 + g in in 0.5 cs7 + sin 7 f sma g 範例 7: d d τ g sin g sin d g sin g d sin d sin g

23 範例 8: τ r 範例 9: r f sin τ τ 5 5 sin 5 0 y i j k r ry τ r 4 0 6k k y y y 4 5 範例 40: ( 5cs ) ( 5sin ) tan tan ( tan ) + sec sec 速解 sec 5 範例 4: C C C

24 範例 4: sin 90 sin5 sin5 45º 45º 45º 45º 範例 4: 範例 44: 範例 45: τ f r fk R () ( ) 合力 : sin + ( ) f cs f k () 代入 () r cs R f r cs R

25 範例 46: 解析 () n 5 sma k sma 5 μ μ 0 μ () Yes (C) Yes τ 逆 τ 正 f c c τ τ + τ f k c (D) a f 5 k a a a.5 s (E) Yes 4 s a v v0 + at + s 範例 47: 解題技巧 : 圖要用尺畫, 圖要大, 字要小 R L ( R cs ) cs L 4R O

26 範例 48: () L cs sin tan () () f f + f 上 下 + 左 右 tan f tan + tan 4 μ sma tan μs tan μ 範例 49: () τ τ () 沒有比對角線更長的力臂了!!

27 範例 50: 解法 ( 一 ) 兩物體的質量與質心座標分別為 (,) (,), 合質心座標應為 (+, 0) + + R R c 0 c (, ) (, ) ( +,0) + 解法 ( 二 ) 標準解法的應用 挖掉, 就用減的 半徑比 : 質量比 4: 4 0 R R 4 6 c (4,0) R (, ) - 解法 ( 三 ) R ' R ' R R 6 : R R 6

28 範例 5: 半徑比 : 質量比 8: 7 R ' R ' R R R R R :7 4 範例 5: 解法一 : 求合質心 c R R + 6 R + 4 : 解法二 : 質心移動型 Δ + Δ Δ c + ( R) 0+ R + 4 R 解法三 : 加權平均 c R c 4 ( R)

29 範例 5: a a 4 : a a a 4 a 範例 54: a a a a a a 9 範例 55: a 4 a a a a 4 a 7 : 7 a a a 4

30 範例 56: 解法一 : 利用上一題求出剩餘的質心, 再求一次合質心 7 a + a 6 a+ a 6 c a 解法二 : 質心公式的移動型 c ( a ) a a a a 6 範例 57: 因圖形左右對稱, 所以 在中垂線上, 所以 座 範例 58: 標等於零 c y c 0 a a + a y y c y c ( 0,) 5 (.5, ) r c y+ y + y 實心木板的重心 (, ) O (.5, 0)

31 範例 59: h+.5 h+.5 h h 範例 60: 0 y c c.5.5 L L + 0+ L + + L tan L y L L y 範例 6: 解答 :() () () (C) (D) G G G G

32 範例 6: 將上面三木塊視為系統, 此系統的質心 座標不能超過 L! 故先算上面三木塊的系統質心座標 c 基本常識 : 上面木塊的質心, 不能超過下面一塊的長度, 否則會產生力矩而轉動! L L L L L L L 6 4 ( + L, ) ( + L, ) ( + L, ) 結論 :n 塊長度為 L 的均勻木塊, 每塊最多可突出 Ln, 恰可維持平衡

33 範例 6: Step : Step : y L ( L+ y, ) ( L + y, ) Step : ( y L) ( y L ) L L y + 4 z L 4 L ( 5L 4 + z, ) ( L 4 + z, ) ( L + z, ) 5 z+ L + z+ L + z+ L 4 4 L + + z L 6 結論 : 最上一塊突出 L 次一塊突 L 4 再次一塊突 L 6 L n 第 n 塊突出

34 0049 進階思考 : 有沒有可能最上一塊, 完全突出於最下一塊? 有! 發散級數 講義上的圖就是照標準比例畫的 而且只要 5 塊即可 > 範例 64: 5L/6 L L 4 L 6 範例 65: 7/8 L L 6 L 8

35 範例 66: () a () a tan a tan 6.56 a () μs tan 4 7 先倒 μs tan 4 tan 先滑 4 範例 67: 解答 :5 塊 a a h a h a 5.a 5.a 5. a 範例 68: 解答 :()(D)(E) 略 範例 69: 解答 :()()(D)(E) 略 範例 70: + y y + + y y

36 範例 7: 不等臂 L L L L 範例 7:. 不等臂 L L L L L L y. 不等重 L yl L L y ( ) ( ) L y L + + ( + ) ( + ) L y L L L L L

37 範例 7: ( ) + y y ( ) + y y ( + )( + y) ( + y) + y