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簧笋花
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1 數學傳播 33 卷 2 期, pp 如何計算圓錐曲線的切線羅驥韡計算圓錐曲線的切線方程式, 一直是個難題, 尤其是對一般高中生的程度來說, 更何況針對不同的圓錐曲線 ( 橢圓拋物線雙曲線等 ) 而言, 又有不同的切線公式, 感覺上既不統一又難以記憶, 所以我在這裡要介紹一種算法, 一種統一的算法, 讓你不管面對何種圓錐曲線, 都可以直接應用的公式圓錐曲線方程式在座標平面上, 我們知道, 不管是哪一種圓錐曲線, 都可以表示為以下的形式 : 例如 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 (1) 橢圓 : x2 4 + y2 1 = 1, 我們可以寫成 : x 2 + 4y 2 4 = 0 (2) 拋物線 : y 2 = 4(x 1), 我們可以寫成 : y 2 4x + 4 = 0 (3) 雙曲線 : x2 1 y2 3 = 1, 我們可以寫成 : 3x 2 y 2 3 = 0 當然上面所舉的例子都是所謂的標準式, 也就是這些圓錐曲線在座標平面上的位置都是經過特別安排的, 所以方程式會看起來特別漂亮簡潔一般說來, 如果圓錐曲線沒有在標準位置的話, 那麼它的方程式就會看起來有點複雜, 例如 : x 2 2xy + 3y 2 5x 2y + 1 = 0, 它的圖形會像右圖一樣如何判斷一條通過特定兩點的線是不是切線呢? 例題 1: 我在上面的圓錐曲線中, 再加入兩個點 A(3, 6) 與 B(10, 3), 那麼連接這兩點的直線到底是不是切線呢? 27

2 28 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月解答 : 要回答這樣的問題, 我們可以利用直線的參數式來測試看看, 到底這個直線與圓錐曲線有幾個交點, 以下我們就來計算看看 : 首先, 通過 AB 兩點的直線參數式為 : { x = 3 + 7t y = 6 3t 我們將這組點座標代入圓錐曲線方程式 x 2 2xy + 3y 2 5x 2y + 1 = 0, 得到 : (3 + 7t) 2 2(3 + 7t)(6 3t) 2 5(3 + 7t) 2(6 3t) + 1 = 0 化簡得 : 118t 2 161t + 55 = 0 計算它的判別式可以得到 : (161) 2 4(118)(55) = 33 < 0 所以由判別式小於零, 我們可以知道上述的直線與圓錐曲線沒有任何交點 ( 雖然圖形上看起來好像切到, 但事實上, 精確的計算告訴我們並沒有 ) 一般說來, 要判斷一條通過特定兩點的線是不是切線, 都可以利用上述的方法來達成既然這個方法這麼好用, 那麼我們何不利用這樣的思考模式, 發展出一些好用的公式或判斷的法則呢? 沒錯! 這正是我們這篇文章的目的, 所以我們就繼續往下探索看看吧! 探索切線的公式或準則假設直線通過 A(x 1, y 1 ) B(x 2, y 2 ) 兩點, 圓錐曲線為 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0, 那麼我們利用上述同樣的方法來計算看看, 直線參數式與圓錐曲線之間, 有沒有任何交點首先, 直線參數式為 : { x = x1 + (x 2 x 1 )t y = y 1 + (y 2 y 1 )t

如何計算圓錐曲線的切線 29 然後, 我們將這組座標代入圓錐曲線方程式, 得到 : a[x 1 + (x 2 x 1 )t] 2 + b[x 1 + (x 2 x 1 )t][y 1 + (y 2 y 1 )t] + c[y 1 + (y 2 y 1 )t] 2 +d[x 1 + (x 2 x 1 )t] + e[y 1 +

)+2cy 1 (y 2 y 1 )+d(x 2 x 1 )+e(y 2 y 1 )] t +[ax 2 1 + bx 1y 1 + cy1 2 + dx 1 + ey 1 + f] = 0 當然, 如果我們要計算這個二次式到底有沒有解, 還要計算它的判別式, 這時你或許會想 : 天啊!

的確, 我們是遇上了瓶頸, 我們遇到變數符號太多太長複雜難以處理的窘境然而, 正是因為面對這樣的窘境, 才讓數學家了解到 : 必須開發新的符號與新的運算規則, 讓我們可以繞過複雜計算的深淵, 繼續邁向推理解題的大道以下我們就來介紹這個新的利器開發新的運算符號首先, 我們先來介紹一種表格式乘積加總法 :

3 如何計算圓錐曲線的切線 29 然後, 我們將這組座標代入圓錐曲線方程式, 得到 : a[x 1 + (x 2 x 1 )t] 2 + b[x 1 + (x 2 x 1 )t][y 1 + (y 2 y 1 )t] + c[y 1 + (y 2 y 1 )t] 2 +d[x 1 + (x 2 x 1 )t] + e[y 1 + (y 2 y 1 )t] + f = 0 如果我們將上面的計算式整理成 t 的二次式, 會得到 : [a(x 2 x 1 ) 2 + b(x 2 x 1 )(y 2 y 1 ) + c(y 2 y 1 ) 2 ] t 2 +[2ax 1 (x 2 x 1 )t]+bx 1 (y 2 y 1 )+by 1 (x 2 x 1 )+2cy 1 (y 2 y 1 )+d(x 2 x 1 )+e(y 2 y 1 )] t +[ax bx 1y 1 + cy1 2 + dx 1 + ey 1 + f] = 0 當然, 如果我們要計算這個二次式到底有沒有解, 還要計算它的判別式, 這時你或許會想 : 天啊! 它的係數已經如此複雜了, 我們竟然還想去計算它的判別式? 就算我們真的花了九牛二虎之力把它算出來了, 難道我們還會想去記憶它或應用它嗎? 的確, 我們是遇上了瓶頸, 我們遇到變數符號太多太長複雜難以處理的窘境然而, 正是因為面對這樣的窘境, 才讓數學家了解到 : 必須開發新的符號與新的運算規則, 讓我們可以繞過複雜計算的深淵, 繼續邁向推理解題的大道以下我們就來介紹這個新的利器開發新的運算符號首先, 我們先來介紹一種表格式乘積加總法 : 在左邊的表格中, 2 所在的那一橫列與 3 所在的那一直行, 對到了數字 5, 這時我們規定 : 要乘起來, 也就是會得到 = 30 我們在左表中, 又多放了一些數字上去, 現在我們要計算和 1 4 6, 並把它們加總起來, 所以其實我們要計算的是 : = 在這個例子中, 我們填上所有的數字, 並利用上面說明的方式將所有的乘積全部加起來首先, 我們先將左側的數字 0, 1, 2 和上側的數字 1, 3, 4 乘到格子裡, 可以得到右表中的數字 :

30 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月最後, 我們只要將表格中所有的數字加起來, 那麼所得到的數字就是我們想要計算的總和, 也就是 : 24 + 24 8 + 30 = 70 這就是我們所說的表格式乘積加總法當然, 如果你學過矩陣乘法, 你會知道我們這裡所謂的表格式乘積加總法, 其實可以用矩陣來表示例如 : 上面所舉的最後一個例子, 可以利用矩陣乘法 : 1

主要是因為這種加總法剛好跟圓錐曲線的方程式有某種巧妙的連結請看以下的例子 : 在左表中, 如果我們運用表格式乘積加總法, 那麼我們會得到 : x 2 2xy + 8y 2 + 3x + 11y + 0 請讀者注意看 : 這剛好是圓錐曲線方程式 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 等號左邊的形式, 這也正是為什麼我們要介紹這種加總法的原因 b

4 30 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月最後, 我們只要將表格中所有的數字加起來, 那麼所得到的數字就是我們想要計算的總和, 也就是 : = 70 這就是我們所說的表格式乘積加總法當然, 如果你學過矩陣乘法, 你會知道我們這裡所謂的表格式乘積加總法, 其實可以用矩陣來表示例如 : 上面所舉的最後一個例子, 可以利用矩陣乘法 : [0 1 2] 來表示不過, 如果你沒學過矩陣, 那也沒關係, 請繼續看我們以下的討論就可以了我們這裡為什麼要介紹這樣怪異的加總法呢? 主要是因為這種加總法剛好跟圓錐曲線的方程式有某種巧妙的連結請看以下的例子 : 在左表中, 如果我們運用表格式乘積加總法, 那麼我們會得到 : x 2 2xy + 8y 2 + 3x + 11y + 0 請讀者注意看 : 這剛好是圓錐曲線方程式 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 等號左邊的形式, 這也正是為什麼我們要介紹這種加總法的原因 b 如果我們在表格中設定了像左表一樣的數字 ( 請注意裡面的 2 d 2 e 2 ), 那麼我們就會得到與圓錐曲線一般式 ( 等號左邊 ) 一模一樣的形式 : ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f 最後, 為了靈活運用這樣的計算法, 我們把最通用的形式寫出來, 並且徹底研究這種運算法的規則, 才能順利地用於後面的解題推理中但是, 我們總不能每次都用畫表格的方式來表現, 所以在這裡我們假設 : a b c M = d e f P = (x 1, y 1, z 1 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) g h i 並且, 我們規定新的符號 : [P, Q] M

5 就代表左表所表示的表格式乘積總和, 也就是 : 如何計算圓錐曲線的切線 31 [P, Q] M = ax 1 x 2 + bx 1 y 2 + cx 1 z 2 +dy 1 x 2 + ey 1 y 2 + fy 1 z 2 +gz 1 x 2 + hz 1 y 2 + iz 1 z 2 新符號的定義 [P, Q] M = x 2 y 2 z 2 x 1 a b c y 1 d e f z 1 g h i = ax 1 x 2 + bx 1 y 2 + cx 1 z 2 +dy 1 x 2 + ey 1 y 2 + fy 1 z 2 +gz 1 x 2 + hz 1 y 2 + iz 1 z 2 究竟這樣的新符號有什麼漂亮的運算規則呢? 請看以下的說明 : 新符號的運算性質假設我們除了上述的新符號之外, 我們也引用一般的向量加法與純量積的運算概念, 也就是下列的運算規則 : (1) 若 P = (x 1, y 1, z 1 ), Q = (x 2, y 2, z 2 ), 則 P + Q 代表 (x 1 + x 2, y 1 + y 2, z 1 + z 2 ) (2) 若 P = (x, y, z), t 為實數, 則 tp 代表 (tx, ty, tz) 那麼, 我們所使用的新符號就會有以下的運算規則 : 假設 P = (x 1, y 1, z 1 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) R = (x 3, y 3, z 3 ), t 為實數, 則有 (1) 加法分配律 : [P + Q, R] M = [P, R] M + [Q, R] M 或 [P, Q + R] M = [P, Q] M + [P, R] M (2) 純量積 : [tp, Q] M = t[p, Q] M = [P, tq] M

6 32 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月一般而言, 交換律並不成立, 也就是 [P, Q] M = [Q, P] M 通常是錯的, 但如果 M 是對稱的, 那麼交換律也會是正確的但我們說 M 是對稱的, 指的是什麼意思呢? 在這裡我舉個例子 : 左表中, 數字所在的位置, 我們術語上稱為矩陣的主對角線, 在這主對角線的兩側的格子對 ( 如圖中紅色的箭頭所指的三對格子 ), 如果都各自相同, 那麼我們就說 : 這個矩陣是對稱的左表中, 如果我們假設 : a b/2 d/2 M = b/2 c e/2 P = (x, y, 1) d/2 e/2 f 那麼, 圓錐曲線的方程式 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 就可以寫成 : [P, P] M = 0 這裡的 M 就是一個典型的對稱矩陣從現在開始, 我們將這個矩陣稱為圓錐曲線的係數矩陣因此, 如果 M 是對稱的, 那麼我們的新符號就擁有了交換律 : (1) [P, Q] M = [Q, P] M 以上所說的運算性質, 會在下面的討論中一直出現, 但我們將這些性質的證明放到本文最後的附錄中, 因為雖然這些證明很重要, 但並不是我們要討論的重點, 所以介紹完新的符號後, 我們趕快回到原來的問題上吧! 我們原來的問題是 : 如果直線通過 A = (x 1, y 1 ) B = (x 2, y 2 ) 兩點, 那麼它與圓錐曲線 : ax 2 + bxy c y 2 + dx + ey + f = 0 到底會不會相交? 在什麼條件下, 它才會變成切線? 豁然開朗的切線準則我們前面有提到, 如果點 (x, y) 在圓錐曲線 ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f = 0 上面, 那麼這個點座標代入方程式當然會等於零, 如果我們用表格式乘積加總法來表示的話, 那會得到 :

7 如何計算圓錐曲線的切線 33 = 0 所以, 如果 A 的座標為 (x, y), 那麼我們希望用 A 來代表 (x, y, 1), 這樣的話, 我們就可以用更簡短的方式來表示一個點是否在圓錐曲線上了, 也就是 : A(x, y) 在 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 上可以寫成 : a b/2 d/2 = [A, A] M = 0, 其中 M = b/2 c e/2 d/2 e/2 f (1) 我們就不妨把 A(x, y, 1) 稱為是 A(x, y) 的擴充座標吧! ( 註 : 比較正式的說法是齊次座標 ) 所以假設我們說 B 點的座標為 (4, 5), 那麼 B 就表示是 (4, 5, 1), 其餘請以此類推好! 我們已經做完所有的準備工作了, 現在讓我們正式開始繼續切線的推理工作吧!... 通過 A = (x 1, y 1 ) B = (x 2, y 2 ) 兩點的直線參數式為 : { x = x1 + (x 2 x 1 )t = (1 t)x 1 + tx 2 y = y 1 + (y 2 y 1 )t = (1 t)y 1 + ty 2 我們也可以寫成這樣 : [ ] x = (1 t) y [ x1 y 1 ] ] + t [ x2 y 2 如果我們把 (x, y) 稱為 P, 那麼會有 : P = (1 t)a + tb 事實上, 對於擴充座標 P(x, y, 1) 來說, 下面的式子也是對的 : P = (1 t)a + tb

8 34 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月也就是 : 是對的 ( 請讀者自行檢驗 ) x x 1 x 2 y = (1 t) y 1 + t y 現在, 如果我們要檢查 AB 直線上的動點 P 是不是在圓錐曲線上, 我們只要檢查 : [P, P] M = 0 對不對就好但因為 : P = (1 t)a + tb 所以, 我們要檢查 : [(1 t)a + tb, (1 t)a + tb] M = 0 有沒有解? 接著我們整理 ( 利用新符號的運算性質 ) : [(1 t)a + tb, (1 t)a + tb] M = (1 t) 2 [A, A] M + 2t(1 t)[a, B] M + t 2 [B, B] M ) ( ) ) = ([A, A] M 2[A, B] M + [B, B] M t 2 + 2[A, A] M + 2[A, B] M t + ([A, A] M 之前, 我們對這個 t 的二次式有沒有解束手無策, 現在有了新的符號幫忙下, 如虎添翼, 我們不僅用新符號重新算出這個二次式, 這一次我們更要計算出它的判別式, 請繼續看下面判別式的計算 : ( 2[A, A] M + 2[A, B] M ) 2 4 ([A, A] M 2[A, B] M + [B, B] M )([A, A] M ) ) = 4 ([A,B] 2M [A,A] M[B,B] M 從上式, 我們得到一個非常重要的結果, 也是本文最主要的結果, 當 : [A,B] 2 M [A,A] M [B,B] M = 0 時判別式為零, 此時意味著 : 直線 AB 與圓錐曲線的交點只有一個, 這個交點就是切點, 此直線就是切線因為這個切線準則太重要了, 所以我們重新再敘述一遍 :

9 如何計算圓錐曲線的切線 35 切線準則若通過 A(x 1, y 1 ) 與 B(x 2, y 2 ) 的直線為圓錐曲線 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 的切線, 則擴充座標 A(x 1, y 1, 1) B(x 2, y 2, 1) 會擁有以下的切線準則 : (1) [A,B] 2 M [A,A] M[B,B] M = 0. 之前我們完全無法處理的判別式, 現在竟然化為如此簡短的數學式, 可見新符號的威力真是驚人! 切線準則的應用現在讓我們舉幾個例子來看看如何使用這個超強的切線準則例題 2: A(3, 2) 在雙曲線 x 2 y 2 + x 2y 12 = 0 上請問經過 A 點的切線方程式是什麼? 解答 : 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼通過 A 與 P 的直線, 事實上就是切線本身, 既然如此, 那麼 A 與 P 就會符合切線準則 : [A,P] 2 M [A,A] M[P,P] M = 0 但因為 A 本身在雙曲線上, 所以 : [A,A] M = 0 因此, 我們可以得到 : [A,P] M = 0 也就是 : 經整理可得 : 7 2 x + y 17 2 = 0 或者你也可以寫成 7x + 2y = 17, 這就是經過 A 點的切線方程式...

10 36 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月經過上面這個例題的探討, 我們發現一個漂亮的現象, 那就是 : 過切點的切線方程式若 A(x 0, y 0 ) 在圓錐曲線 ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0 上, 則通過 A 點的切線方程式為 : [A,X] M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 也就是切線方程式為 : 現在, 我們將這個公式應用到所有圓錐曲線的標準式上, 你會發現 : 所有我們熟知的標準式切線公式 ( 如果你曾經記憶過的話 ), 會一一出現請看 : 下表中, 我們假設 (x 0, y 0 ) 為圓錐曲線上的一點類型標準式計算切線所得切線方程式橢圓 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 0 a 2 x + x 0 b 2 y = 1 拋物線 ( 上下型 ) x 2 = 4cy x 0 x = 2c(y + y 0 ) 拋物線 ( 左右型 ) y 2 = 4cx y 0 y = 2c(x + x 0 )

11 如何計算圓錐曲線的切線 37 類型標準式計算切線所得切線方程式雙曲線 ( 左右型 ) x 2 a 2 y2 b 2 = 1 x 0 a 2 x x 0 b 2 y = 1 雙曲線 ( 上下型 ) x2 a 2 + y2 b 2 = 1 x 0 a 2 x + x 0 b 2 y = 1 雖然上面我們列出了所有的標準式的切線公式, 但我們這樣做只是為了要向你說明 : 我們的切線準則是通用的, 你可以用於任一類型的圓錐曲線, 而不是要你去背誦上面這些看起來都不太一樣的切線公式... 上面我們一直把重心擺在解決如何計算圓錐曲線上一點的切線, 但是如果要計算通過圓錐曲線外一點的切線時, 那麼又該如何呢? 請看下面的例子 : 例題 3: 請計算通過 A(1, 1), 並與橢圓 x 2 + 2y 2 = 1 相切的切線方程式注意 : A 點在橢圓外! 所以會有兩條切線解答 : 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼根據切線準則, 我們可以得到 : [A,P] 2 M [A,A] M[P,P] M = 0. 其中 : [A,P] M = x y = x + 2y 1 [A,A] M = = 2 註 : 就是將 A(1, 1) 直接代入 x 2 + 2y 2 1 [P,P] M = x 2 + 2y 2 1 註 : 就是將 P(x, y) 直接代入 x 2 + 2y 2 1 因此, (x + 2y 1) 2 2(x 2 + 2y 2 1) = 0

12 38 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月整理可得 : x 2 4xy + 2x + 4y 3 = 0 最後我們作因式分解 ( 我們知道答案是兩條直線, 所以應該可以分解成兩條直線方程式 ) : ( 4x + 4)y + (x 2 + 2x 3) = 0 4(x 1)y + (x 1)(x + 2) = 0 (x 1)( 4y + x 2) = 0 因此 : x 1 = 0 或 x 4y + 3 = 0 最後這兩個方程式都是直線方程式, 而且也是 P(x, y) 必須符合的條件, 所以這兩條直線就是切線! 例題 4: 請計算通過 A(2, 3), 並與拋物線 x 2 = 4y 相切的切線方程式注意 : A 點在拋物線外! 所以會有兩條切線解答 : 假設 P(x, y) 為切線上的一點, 那麼根據切線準則, 我們可以得到 : [A,P] 2 M [A,A] M[P,P] M = 0 其中 : [A,P] M = x y [A,A] M = 2 2 4( 3) = 16 [P,P] M = x 2 4y 因此, = 2x 2y + 6 (2x 2y + 6) 2 16(x 2 4y) = 0 整理可得 : 3x 2 + 2xy y 2 6x 10y 9 = 0 最後我們作因式分解 : 3x 2 + (2y 6)x (y y + 9) = 0 3x 2 + (2y 6)x (y 1)(y + 9) = 0 [x + (y + 1)][3x (y + 9)] = 0

13 如何計算圓錐曲線的切線 39 因此 : x + y + 1 = 0 或 3x y 9 = 0 最後這兩個直線方程式, 就是切線!... 一般說來, 如果一個點在圓錐曲線之外, 那麼它會擁有兩條切線, 但還有另外一條線跟這個點也有密切的關係, 這條線叫做極線, 請看以下的探討 : 極線的探討例題 5: 已知 A(3, 2) 在橢圓 x 2 + 2y 2 4y = 4 的外面, 且通過 A 點的切線 ( 有兩條 ) 與橢圓分別交於 C D 兩點, 請計算出 CD 直線的方程式解答 : 因為 AC 直線與 AD 直線都是切線, 所以由切線準則知 : [A,C] 2 M [A,A] M[C,C] M = 0 [A,D] 2 M [A,A] M[D,D] M = 0 但因為 C D 都在橢圓上, 所以 : [C,C] M = 0 [D,D] M = 0 因此我們可以知道 : [A,C] M = 0 [A,D] M = 0 雖然目前我們還不知道 C D 的點座標, 但由這兩個方程式, 我們知道 C D 同時符合下面這個方程式 : [A,X] M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 然而這個方程式本身就是一個直線方程式, 請看 : [A,X] M = x y = 3x + 2y 8

14 40 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月所以, 既然 C D 同時符合這個方程式, 那麼 CD 直線方程式當然就是 : 3x + 2y = 8... 經由上面這個例題的探討, 我們得到一條特殊的直線, 這條直線我們稱為極線, 這是一條通過兩切點的直線我們將這個重要的結果整理如下 : 極線公式若 A(x 0, y 0 ) 在圓錐曲線 as 2 + bxy + cy + dx + ey + f = 0 外面, 通過 A 點的兩條切線交圓錐曲線於 C D 兩點, 則我們稱 CD 直線為 A 點的極線, 且其方程式為 : [A,X] M = 0, 其中 X = (x, y, 1) 也就是極線方程式為 : 此時, 我們也稱 A 點為 CD 直線的極點如果你還記得前面的過切點的切線方程式公式的話, 你會發現 : 這兩個公式不是一模一樣嗎? 是的, 的確沒錯! 是一模一樣當 A 點在圓錐曲線外時, 這個公式會產生極線, 但當 A 點到達圓錐曲線上時, 它就會變成切線! 其實, 透過上面的極線公式, 我們可以得到一種特殊的對應關係, 也就是一個極點對應到一條極線, 更特殊的是 : 一個切點對應到一條切線, 這種對應關係非常有意思, 所以我們打算繼續往下探討, 但是因為以下的探討需要用到矩陣與齊次座標的觀念, 因此如果你沒有學過這些觀念, 那麼也許你只能先跳過下面這一段! 以下的討論, 僅提供給學過矩陣與齊次座標的讀者! 極點與極線切點與切線的探索述一遍 : 在更深入討論之前, 我們先利用矩陣與齊次座標的語言, 再將前面的結果重新敘

15 如何計算圓錐曲線的切線 41 假設 : A = x 0 y 0 z 0 為座標平面上定點 A 的齊次座標 a b/2 d/2 M = b/2 c e/2 為圓錐曲線的係數矩陣 d/2 e/2 f x X = y 為座標平面上動點 X 的齊次座標 z 由前面的討論, 我們有下面的結果 : (1) 若 A 在圓錐曲線上, 則 A T MA = 0 (2) 若 A 為極點, 則 A T MX = 0 為極線方程式, 我們也可以說 A T M 為極線的齊次座標 (3) 若 A 為切點, 則 A T MX = 0 為切線方程式, 我們也可以說 A T M 為切線的齊次座標若我們假設 u = A T M 是一條極線 ( 或切線 ) 的齊次座標, 則我們可以推論 : u = A T M um 1 = A T A = (um 1 ) T u T = M 1 u T 所以我們有以下結果 : (1) 若 u 為極線 ( 切線 ) 齊次座標, 則 M 1 u T 為極點 ( 切點 ) 齊次座標如果 u 是切線齊次座標的話, 那麼 M 1 u T 就是切點, 也就是說 M 1 u T 在圓錐曲線上, 因此我們可以推得 : (M 1 u T ) T M(M 1 u T ) = 0 也就是 : um 1 u T = 0 所以我們又有了一個很特殊的結果 : 切線齊次座標方程式如果 u 是切線齊次座標的話, 那麼 u 符合方程式 : um 1 u T = 0

16 42 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月這個切線齊次座標方程式有很漂亮的應用, 但在應用它之前, 我想先說說 M 與 M 1 a b/2 d/2 M = b/2 c e/2 可以說是圓錐曲線的齊次座標, 怎麼說呢? 且讓我來舉的例子 : d/2 e/2 f 比方說, 如果我們把橢圓方程式 x 2 +2y 2 4y=4 乘以 3 倍, 會得到 3x 2 + 6y 2 12y = 12, 但它還是同一個橢圓方程式啊! 也就是說 : 兩個係數矩陣與 0 6 6, 它們的作用其實是一模一樣的! 所以, 如果兩個係數矩陣只差一個 ( 非零的 ) 倍數, 那麼它就會代表同一個圓錐曲線, 這也就是為什麼我們說 M 算是圓錐曲線的齊次座標了! 因此, 雖然切線齊次座標方程式寫成 um 1 u T = 0, 但因為 M 1 與 adj(m) 只差一個倍數, 所以我們在真正計算的時候, 其實直接利用 adj(m) 就可以了註 : adj(m) 是 M 的古典伴隨矩陣 (classical adjoint) 也就是 : e f + h i a b c 若 M = d e f, 則 adj(m) = b c h i g h i b c + e f 下面我們就來看看如何應用這個切線齊次座標方程式! d f g i a c + g i a c d f d e + g h a b g h a b + d e T 切線齊次座標方程式的應用例題 6: 請計算出橢圓 x 2 + 2y 2 4y = 4 上斜率為 2 的切線 ( 有兩條 ) 解答 : 因為切線斜率為 2, 我們可以將切線設為 : 2x y + k = 0, 也就是我們可以將切線的齊次座標 ( 也就是它的係數 ) 設為 : u = [2 1 k]

如何計算圓錐曲線的切線 43 再來, 經由橢圓的係數矩陣 : 1 0 0 M = 0 2 2 0 2 4 我們可以計算出 : 12 0 0 M 1 adj(m) = 0 4 2 0 2 2 因為 u 為切線的齊次座標, 所以符合 : um 1 u T = 0, 因此我們可以得到 : 整理得 : k 2 2k 26 = 0 k = 1 ± 3 3 因此我們所求的切線為 : 2x y +

17 如何計算圓錐曲線的切線 43 再來, 經由橢圓的係數矩陣 : M = 我們可以計算出 : M 1 adj(m) = 因為 u 為切線的齊次座標, 所以符合 : um 1 u T = 0, 因此我們可以得到 : 整理得 : k 2 2k 26 = 0 k = 1 ± 3 3 因此我們所求的切線為 : 2x y + 1 ± 3 3 = 0... 從上面這個例子可以看到, 利用 M 1 ( 或者 adj(m)), 我們可以計算出已知斜率的切線方程式所以讓我們再看另一個例子來說明如何計算圓錐曲線標準式的切線例題 7: 已知橢圓 x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 的切線斜率為 m, 請計算其方程式解答 : 橢圓標準式的係數矩陣為 : 1/a M = 0 1/b

18 44 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月所以 : 1/b M 1 adj(m) = 0 1/a /a 2 b 2 假設切線方程式為 : mx y + k = 0, 也就是假設 u = [m 1 k], 因此根據 : 我們有 : 所以推得 : k 2 = a 2 m 2 + b 2 k = ± a 2 m 2 + b 2 um 1 u T = 0 m2 b 2 1 a 2 + k2 a 2 b 2 = 0 因此, 我們可以推得已知斜率的橢圓切線公式 : y = mx ± a 2 m 2 + b 2... 經由上面這個例子的啟發, 我們可以看得出來, 其實每個標準式的切線都可以利用相同的方法計算出來下面我們就列出所有圓錐曲線 ( 橢圓雙曲線拋物線 ) 標準式的切線公式 ( 如果斜率是已知的話 ), 但詳細的計算過程, 請讀者自行驗證已知斜率的切線公式類型標準式 M 計算 um 1 u T = 0 所得切線方程式橢圓或雙曲線 x 2 A + y2 B = 1 y = mx ± Am 2 + B 拋物線 ( 上下型 ) x 2 = 4cy y = mx cm 2 拋物線 ( 左右型 ) y 2 = 4cx y = mx + c m

19 如何計算圓錐曲線的切線 45 當然, 跟前面一樣, 我們列出這個公式表, 並不是要讀者去背誦它, 我們的目的還是在展示最重要的一個觀念 : 切線齊次座標方程式是通用的, 而且它不是只能用在標準式而已喔! 下面我們再展示一個更神奇的例子給你看如果我們不知道圓錐曲線本身的方程式, 但知道它的某些切線方程式, 我們甚至可以反推出這個圓錐曲線是誰, 請看! 例題 8: 如右下圖, 我們連接 (1, 0), (0, 9) (2, 0), (0, 8), (9, 0), (0, 1) 等直線假設這些直線都是某個圓錐曲線的切線, 請問這個圓錐曲線的方程式是什麼? 解答 : 從右圖這些連接線的連接法, 我們可以知道它們的截距式為 : x 1 + y 9 = 1 x 2 + y 8 = 1. x 9 + y 1 = 1 它們可以統一寫成 : x m + y n = 1, 其中 m + n = 10 換句話說, 我們可以假設這些線的齊次座標為 : u = [u v 1], 其中 u = 1 m, v = 1 n 這樣一來, 因為 m + n = 10, 所以可以推得 : 1 u 1 v = 10 10uv + u + v = 0 而且如果這些線都是某個圓錐曲線的切線, 那麼它們會符合切線齊次座標的方程式 : um 1 u T = 0 但我們知道 : 10uv + u + v = 0, 所以可以推得 : 0 5 1/2 M 1 = 5 0 1/2 1/2 1/2 0

20 46 數學傳播 33 卷 2 期民 98 年 6 月最後我們可以得到 : 1/4 1/4 5/2 M adj(m 1 = 1/4 1/4 5/2 5/2 5/ 也就是原來的圓錐曲線方程式為 : x 2 2xy+y 2 20x 20y+100 = 0 進一步的分析讓我們知道它是一個拋物線, 如上圖... 附錄 ( 新符號運算性質的證明 ) 假設 P = (x 1, y 1, z 1 ) Q = (x 2, y 2, z 2 ) R = (x 3, y 3, z 3 ), t 為實數, 則有 (1) 加法分配律 : [P + Q, R] M = [P, R] M + [Q, R] M 或 [P, Q + R] M = [P, Q] M + [P, R] M (2) 純量積 : [tp, Q] M = t[p, Q] M = [P, tq] M 證明我們先證明加法分配律假設 : M = a b c d e f g h i

21 如何計算圓錐曲線的切線 47 則 : [P + Q, R] M = x 3 y 3 z 3 x 1 + x 2 a b c y 1 + y 2 d e f z 1 + z 2 g h i = a(x 1 + x 2 )x 3 + b(x 1 + x 2 )y i(z 1 + z 2 )z 3 = ax 1 x 3 + bx 1 y iz 1 z 3 + ax 2 x 3 + bx 2 y iz 2 z 3 x 3 y 3 z 3 x 3 y 3 z 3 = x 1 a b c y 1 d e f + x 2 a b c y 2 d e f = [P, R] M + [Q, R] M z 1 g h i z 2 g h i 另一邊的加法分配律請讀者自行驗證... 接下來, 我們再證明純量積 [tp, Q] M = x 2 y 2 z 2 tx 1 a b c ty 1 d e f tz 1 g h i = atx 1 x 2 + btx 1 y itz 1 z 2 = t(ax 1 x 2 + bx 1 y iz 1 z 2 ) x 2 y 2 z 2 = t x 1 a b c y 1 d e f = t[p, Q] M z 1 g h i 另一邊的純量積也請讀者自行驗證... 參考文獻 1. Brannan, D. A., Esplen, M. F. and Gray, J. J., Geometry, Cambridge, p 本文作者任教台北市立陽明高中數學科

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲

二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲 -1 圓方程式第章二次曲線 38 二次曲線人們對於曲線的使用及欣賞比曲線被視為一種數學題材來探討要早得多各種曲線中在日常生活常接觸的當然比較容易引起人們的興趣比如投擲籃球的路徑是拋物線盤子的形狀有圓形或橢圓形雙曲線是較不常見的然而根據科學家的研究彗星的運行軌道是雙曲線的一部分我們將拋物線圓與橢圓雙曲線合稱為圓錐曲線因為在平面坐標系中其對應的方程式均為二元二次式