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1 R e g r e s s i o n A n a l y s i s 簡單線性迴歸分析 研究問題欲分析遊客滿意度, 是否具有預測消費金額的能力? 分析方法 自變數 ( 自變項 ) 為遊客的滿意度, 屬於等距變項 (scale variable), 為連續變項, 因變數 ( 依變項 ) 消費金額為連續變項 自變數連續變項 因變數連續變項 X 1 Y 1 簡單線性迴歸分析 Y( 因變數 ) = b 0 + b 1 X( 自變數 ) Durbin-Watson 統計量 檢定相鄰殘差項間是否相關的一種統計量, 若相鄰殘差項間是相關, 則其總差異必小或大, 因此可用相鄰殘差項間的總差異, 來判斷殘差項是否相關或獨立 DW = n i= 2 ( Ei Ei 1) n i= 1 E 2 i 2 Where, E i = Y i - Ŷ i, i = 1, 2, 3,, n Y i = i 位置的實際值 Ŷ i = 為 E(Y i ) 的不偏估計統計量 若殘差項間是正相關時, 則其差異必小, 反之若殘差項間是負相關, 則差異必大 故若 DW 值小時, 表示殘差是正相關 ; 若大時, 表示負相關 當 DW 值愈接近 2 時, 殘差項間愈無相關 當 DW 值愈接近 0 時, 殘差項間正相關愈強 當 DW 值愈接近 4 時, 殘差項間負相關愈強 迴歸模式的基本假設 ( 迴歸模式的殘差分析 ) 1. 每一誤差變數 ( 變項 ) 均具有常態分配 ( 常態分佈 ), 其期望值為 0, 變異數為 σ 2, 即 N(0, σ 2 ) 2. 誤差變項彼此間是獨立 3. 迴歸共線假設 ( 迴歸線性假設 ) 1

2 簡單線性迴歸分析 SPSS 操作方法 1.Analyze/Statistics( 統計分析 ) Regression( 迴歸分析 ) Linear ( 線性 ), 即會出現 Linear Regression( 線性迴歸 ) 對話視窗 Linear Regression # 動機 # 態度 # 消費金額 [cost_in] # 服務滿意度指標 [qua] WLS>> Dependent: # 消費金額 [cost_in] Previous Block 1 of 1 Next Independent(s): # 服務滿意度指標 [qua] Method: Enter Selection Variable: Rule Case Labels: Statistics Plots Save Options 2 OK Paste Reset Cancel Help 2. 在 Linear Regression( 線性迴歸 ) 對話視窗中, 點選左邊方塊中的依變數 ( 因變項 ): 消費金額 [cost_in] 進入右邊的 Dependent: ( 因變項 ) 下面方塊中, 點選左邊方塊中的自變項 : 服務滿意度指標 [qulit_in] 進入右邊的 Independent(s): ( 自變數 獨立變數 ) 下面的方塊中 3. 在右邊中間的 Method: 選項中, 共有五種篩選變數的選擇 : Enter : 設定強制一次進入的迴歸分析方法, 此為預定 ( 內定 ) 方法 強制選取法 簡單線性迴歸均選取此種方法 Stepwise : 設定逐步迴歸選取法 將前向選取法和後向選取法的綜合, 首先依據前向選取法的方式, 一次考慮一個自變數, 判斷其貢獻是否已達設定的標準, 若是則將其 納入 多元迴歸方程式中 之後, 在依據後向選取法的方式, 檢驗目前多元迴歸方程式中的所有自變數, 一一評估是否應被剔除, 在分析過程中, 被剔除的自變數無法再進入多元迴歸方程式中 使用於多元 ( 複 ) 迴歸分析中 Remove : 設定強制一次移除的迴歸分析法 Backward : 設定反向移除式的迴歸分析法, 後向 ( 向後 ) 選取法, 先將全部的自變數納入多元迴歸方程式中, 然後一次評估一個自變數, 判斷其貢獻是否無法達到設定的標準, 若是則將其自迴歸方程式中 剔除 之, 此法在分析過程中, 並不再考慮任何已被剔除的自變數 Forward : 設定正向選取式的迴歸分析法, 前向 ( 向前 ) 選取法, 一次考慮一個自變數, 判斷其貢獻是否已達設定的標準, 若是則將其 納入 複 ( 多元 ) 迴歸方程式中 此分析法在選取過程中並不剔除任何已在迴歸方程式中的自變數 上述各種選取方法所獲得的迴歸模式並不能保證是 最好的 (Best), 他只能說在所採用的方法內, 是 最佳的 (Optimum) 故要評估各種方法所獲得的迴歸模式, 何者是最好的, 有必要再進一步分析比較, 並檢驗是否合乎各種迴歸模式的假設 4. 點選下面的 Statistics 按鈕, 會出現 Linear Regression: Statistics 對話方塊, 在左上角 Regression Coefficients 方塊中勾選 Estimates( 此為預定選項, 用以顯示迴歸係數 迴歸

3 係數的標準差 標準化的迴歸係數 t 值和 t 分佈的雙尾機率 ) 和 Confidence intervals( 顯示每個非標準化迴歸係數之 95% 的信賴區間 ) 選項 5. 在 Linear Regression: Statistics 對話方塊右上角勾選 Model fit( 此為預定選項, 顯示相關係數 R 判定係數 R 2 調整之判定係數 標準誤和 Anova 表 ) Descriptives( 顯示平均值 標準差 單尾機率之相關係數矩陣 ) 和 Collinearity diagnostics[ 執行共線性的診斷, 顯示變異數擴張因子 (Variance inflation factor: VIF) 交互離差矩陣 (cross-product deviation matrix) 條件指標 (Condition indices) 和變異數分解比例 亦顯示在迴歸方程式中之變異數的寬容度 (Tolerance); 不在迴歸方程式中之變數, 則顯示若在下一步中, 它要進入方程式時, 該變數的寬容度 ] 選項 6. 在 Linear Regression: Statistics 對話方塊下面的 Residuals 方塊中, 勾選 Durbin-Watson( 顯 示 Durbin-Watson 檢定統計量, 標準化 非標準化之殘差和預測值之摘要統計量 ) 選項 Linear Regression: Statistics Regression Coefficients Estimates Confidence intervals Covariance matrix Residuals Durbin-Watson Casewise diagnostics Outliers outside 3 standard deviations All cases Model fit R squared change Descriptives Part and partial correlations Collinearity diagnostics Continue Cancel Help 7. 在 Linear Regression: Statistics 對話方塊中, 點選右上角的 Continue 回到 Linear Regression 對話方塊 8. 在 Linear Regression 對話視窗中, 點選下面的 Plots 按鈕, 會出現 Linear Regression: Plots 對話視窗 Linear Regression: Plots DEPENDNT *ZPRED *ZRESID *DRESID *SRESID *SDRESID Standardized Residual Plots Histogram Normal probability plot Previous Scatter 1 of 1 Next Y: *ZRESID X: DEPENDNT Produce all partial plots Continue Cancel Help 9. 在 Linear Regression: Plots 對話視窗中, 左邊方塊內有數項資料名稱, 其意義如下 (*: 表示暫時性的殘差變數 ): DEPENDNT : 為因變數 ( 依變數 ) *ZPRED : 標準化的迴歸預測值 3

4 *ZRESID : 標準化的殘差 *DRESID : 刪除型的殘差 (deleted residual) *ADJPRED : 調整的迴歸預測值 (adjusted predicted values) *SRESID :studentized 殘差 *SDRESID :studentized 刪除型的殘差 10. 在 Linear Regression: Plots 對話視窗中, 點選 *ZRESID ( 標準化的殘差 ) 進入 Y: (Y 軸 ) 右邊的方塊, 點選 DEPENDNT ( 因變數 / 依變數 ) 進入 X: (X 軸 ) 右邊的方塊 11. 在 Linear Regression: Plots 對話視窗下面的 Standardized Residuals Plots( 標準化殘差圖 ) 方塊中, 勾選 Histogram( 顯示標準化殘差值的次數分配圖, 同時產生一常態分配曲線 ) 和 Normal probability plot[ 顯示標準化殘差值的常態機率 (P-P) 圖 ] 選項 12. 在 Linear Regression: Plots 對話視窗右上角, 按 Continues 鈕, 回到 Linear Regression 對話視窗 13. 在 Linear Regression 對話視窗中按 OK 鈕, 執行簡單線性迴歸程序 14. 獲得以下分析成果 Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 消費金額 服務滿意度指標 兩變數的相關係數為 Correlations 消費金額 服務滿意度指標 Pearson Correlation 消費金額 服務滿意度指標 Sig. (1-tailed) 消費金額..000 服務滿意度指標.000. N 消費金額 服務滿意度指標 Variables Entered/Removed Model Variables Entered Variables Removed Method 1 服務滿意度指標. Enter a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: 消費金額 2. 判定係數 (R 2 ) 為 0.973, 此模式的解釋能力 ( 預估能力 ) 相當高, 達 97.3 % 3. 統計量 Durbin-Watson 為 0.187, 相當接近於 0, 可判定殘差彼此間相關性相當強 Model R R Square Adjusted R Square Model Summary b Std. Error Change Statistics Durbin-Wa of the R Square Estimate Change F Change df1 df2 Sig. F tson Change 4

5 Change Statistics Model R R Square Adjusted R Std. Error Durbin-Wa of the R Square Square Estimate Change F Change df1 df2 Sig. F tson Change a a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額 4. 適合性檢定 : 從變異數分析中顯示 P 值 (Sig.) 為 0.000, 達到顯著水準 0.05, 表示此模式適合利用服務滿意度指標 ( 自變數 ) 來解釋 ( 預估 ) 消費金額 ( 因變數 / 依變數 ) ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression a Residual Total a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額 5. 簡單線性迴歸方程式 :Y( 消費金額 ) = *X( 服務滿意度指標 ) 6. 方程式的斜率與截距的檢定 P 值 (Sig.) 為 達到 0.05 顯著水準, 故斜率與截距在方程式中均是存在, 不為數值 0 7. 因為獨立變數只有一個, 故 Tolerance 和 VIF 值均為 因此, 當獨立變數只有一個時, 其 Tolerance 和 VIF 值均沒有意義 The tolerance statistics, which assess the potential impact of multicollinearity among the independent variables on the accuracy of regression coefficients, were all higher than 0.1, thereby indicating that the results were reliable. Coefficients a Unstandardized Standardized Model Coefficients Coefficients t Sig. 95% Confidence Interval for B Collinearity Statistics B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Tolerance VIF (Constant) 服務滿意度指標 a. Dependent Variable: 消費金額 Collinearity Diagnostics a Variance Proportions Model Dimension Eigenvalue Condition Index (Constant) 服務滿意度指標 E a. Dependent Variable: 消費金額 8. 利用服務滿意度指標來預測消費金額是相當合適的一個變數 ( 因素 ), 而且所建立的模式也令人滿意, 惟不代表此時可用該模式進行預測 尚須進行評估該模式是否符合簡單線性迴歸模式的假設, 故尚須進行殘差分析 Residuals Statistics Minimum Maximum Mean Std. Deviation N Predicted Value Residual E Std. Predicted Value Std. Residual a. Dependent Variable: 消費金額 9. 標準化殘差次數分配表顯示殘差的機率分配不接近常態機率分佈 屬向左偏斜態勢 5

6 10. 標準化殘差常態機率分配 P-P 圖, 不接近常態機率分配 11. 標準化殘差對依變數散佈圖 : 顯示明顯的圖樣, 故此迴歸模式並不適當 12. 結論 : 從基本的迴歸分析, 可獲得此迴歸模式均符合所需的檢定, 且判定係數很高 惟從殘差分析中, 獲得此迴歸模式並不符合假設, 故此模式並不適當 然而此模式的判定係數高達 97.3%, 顯示利用服務滿意度指標來解釋 ( 預測 ) 消費金額是很恰當, 不需要再考慮其他的變數 13. 以下將利用變數轉換的方法, 繼續探討一較合適的迴歸模式 考慮的變數轉換方法 : 將消費金額 ( 因變數 / 依變數 ) 取對數 開平方和平方, 再利用服務滿意度指標 ( 自變數 ) 進行迴歸分析 簡單線性迴歸分析變數轉換 SPSS 操作方法 1. 針對因變數 ( 依變數 ) 消費金額進行數值對數轉換, 在 SPSS 軟體中選取 Tranform Compute, 即會出現 Compute Variable 對話方塊 2. 在 Compute Variable 對話視窗中左上角 Target Variable: 下面的空格中輸入數值轉換後的變數名稱 cost_log, 在右邊的 Functions: 下面選項中選取 LG10(numexpr) 函數進入上面的 Numeric Expression: 空格中, 再將欲轉換的依變數 : 消費金額 (cost_in) 選入 Numeric Expression: 空格中, 其方程式表示為 LG10(cost_in) 3. 在 Compute Variable 對話視窗中, 勾選下面的 OK 按鈕, 以執行數值轉換程序, 即會在 SPSS Data Editor 視窗中出現 cost_log 的變數欄位 Compute Variable Target Variable: Numeric Expression: Cost_log = LG10[cost_in] Type&Label #id + < > Functions: # 消費金額 [cost_in] - <=>= ARTAN[numexpr] # 服務滿意度指標 [quli] * = ~= CDFNORM[zvalue] #item3 CDF.BERNOULLI[q,p] #item4 / & 0. LG10[numexpr] #item5 ** ~ [] Delete LN[numexpr] #item6 #item10 If OK Paste Reset Cancel Help 4. 針對因變數 ( 依變數 ) 消費金額進行數值開平方 ( 開根號 ) 轉換, 在 SPSS 軟體中選取 Tranform Compute, 即會出現 Compute Variable 對話視窗 5. 在 Compute Variable 對話視窗中左上角 Target Variable: 下面的空格中輸入數值轉換後的變數名稱 cost_ns, 在右邊的 Numeric Expression: 空格中, 將欲轉換的依變數 : 消費金額 (cost_in) 選入, 其方程式表示為 cost_in** 在 Compute Variable 對話視窗中, 勾選下面的 OK 按鈕, 以執行數值轉換程序, 即會在 6

7 SPSS Data Editor 視窗中出現 cost_ns 的變數欄位 對數轉換依變數 ( 消費金額 ) 的分析結果 Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 消費金額取對數 服務滿意度指標 兩變數的相關係數為 Correlations 消費金額取對數 服務滿意度指標 Pearson Correlation 消費金額取對數 服務滿意度指標 Sig. (1-tailed) 消費金額取對數..000 服務滿意度指標.000. N 消費金額取對數 服務滿意度指標 判定係數 (R 2 ) 為 0.969, 此模式的解釋能力 ( 預估能力 ) 相當高, 達 96.9 % 3. 統計量 Durbin-Watson 為 0.142, 相當接近於 0, 可判定殘差彼此間相關性相當強 Model Summary b Change Statistics Model R R Square Adjusted R Std. Error Durbin-Wa of the R Square Square Estimate Change F Change df1 df2 Sig. F tson Change a E a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額取對數 4. 適合性檢定 : 從變異數分析中顯示 P 值 (Sig.) 為 0.000, 達到顯著水準 0.05, 表示此模式適合利用服務滿意度指標 ( 自變數 ) 來解釋 ( 預估 ) 消費金額取對數 ( 因變數 / 依變數 ) ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression a Residual E-03 Total a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額取對數 5. 簡單線性迴歸方程式 :log(y)( 消費金額取對數 ) = *10-2 *X( 服務滿意度指標 ) 6. 方程式的斜率與截距的檢定 P 值 (Sig.) 為 達到 0.05 顯著水準, 故斜率與截距在方程式中均是存在, 不為數值 0 7. 因為獨立變數只有一個, 故 Tolerance 和 VIF 值均為 因此, 當獨立變數只有一個時, 其 Tolerance 和 VIF 值均沒有意義 Model Coefficients a Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval Collinearity T Sig. Coefficients Coefficients for B Statistics B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Tolerance VIF 7

8 Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval Collinearity T Sig. Model Coefficients Coefficients for B Statistics B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Tolerance VIF 1 (Constant) 服務滿意度指 2.367E 標 a. Dependent Variable: 消費金額取對數 Collinearity Diagnostics a Variance Proportions Model Dimension Eigenvalue Condition Index (Constant) 服務滿意度指標 E a. Dependent Variable: 消費金額取對數 Residuals Statistics a Minimum Maximum Mean Std. Deviation N Predicted Value Residual E E Std. Predicted Value Std. Residual a. Dependent Variable: 消費金額取對數 8. 標準化殘差次數分配表顯示殘差的機率分配不接近常態機率分佈 屬稍向右偏斜態勢 惟與原始消費金額所獲得的機率分佈圖相比, 消費金額經取對數後分析所獲得的機率分 佈比較趨近常態分佈 9. 標準化殘差常態機率分配 P-P 圖, 比較接近常態機率分佈 10. 標準化殘差對依變數散佈圖 : 顯示明顯的圖樣, 故此迴歸模式並不適當 11. 結論 : 從基本的迴歸分析, 可獲得此迴歸模式均符合所需的檢定, 且判定係數很高 惟從殘差分析中, 獲得此迴歸模式並不符合假設, 故此模式並不適當 開平方轉換依變數 ( 消費金額 ) 的分析結果 Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 消費金額開平方 服務滿意度指標 消費金額開平方與服務滿意度指標的相關係數為 Correlations 消費金額開平方 服務滿意度指標 Pearson Correlation 消費金額開平方 服務滿意度指標 Sig. (1-tailed) 消費金額開平方..000 服務滿意度指標

9 N 消費金額開平方 服務滿意度指標 判定係數 (R 2 ) 為 0.997, 此模式的解釋能力 ( 預估能力 ) 最高, 達 99.7 % 3. 統計量 Durbin-Watson 為 1.333, 比較接近於 2, 可判定殘差彼此間相關性相對較低 Model Summary b Change Statistics Model R R Square Adjusted R Std. Error Durbin-Wa of the R Square Square Estimate Change F Change df1 df2 Sig. F tson Change a a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額開平方 4. 適合性檢定 : 從變異數分析中顯示 P 值 (Sig.) 為 0.000, 達到顯著水準 0.05, 表示此模式 適合利用服務滿意度指標 ( 自變數 ) 來解釋 ( 預估 ) 消費金額開平方 ( 因變數 / 依變數 ) ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression a Residual Total a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額開平方 5. 簡單線性迴歸方程式 : Y ( 消費金額開平方 ) = *X( 服務滿意度指標 ) 6. 方程式的斜率與截距的檢定 P 值 (Sig.) 為 達到 0.05 顯著水準, 故斜率與截距在方程式中均是存在, 不為數值 0 7. 因為獨立變數只有一個, 故 Tolerance 和 VIF 值均為 因此, 當獨立變數只有一個時, 其 Tolerance 和 VIF 值均沒有意義 Coefficients a Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval for Collinearity T Sig. Coefficients Coefficients B Statistics Model B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Tolerance VIF 1 (Constant) 服務滿意度指標 a. Dependent Variable: 消費金額開平方 Collinearity Diagnostics a Variance Proportions Model Dimension Eigenvalue Condition Index (Constant) 服務滿意度指標 E a. Dependent Variable: 消費金額開平方 Residuals Statistics a Minimum Maximum Mean Std. Deviation N Predicted Value Residual E Std. Predicted Value Std. Residual a. Dependent Variable: 消費金額開平方 8. 標準化殘差次數分配表顯示殘差的機率分配較接近常態機率分佈 9

10 9. 標準化殘差常態機率分配 P-P 圖, 較接近常態機率分配 14. 標準化殘差對依變數散佈圖 : 顯示沒有明顯的圖樣, 故此迴歸模式較適當 15. 結論 : 從基本的迴歸分析, 可獲得此迴歸模式均符合所需的檢定, 且判定係數很高 從殘差分析中, 獲得此迴歸模式並較符合假設, 故此模式最適當 平方轉換依變數 ( 消費金額 ) 的分析結果 Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 消費金額平方 服務滿意度指標 Correlations 消費金額平方 服務滿意度指標 Pearson Correlation 消費金額平方 服務滿意度指標 Sig. (1-tailed) 消費金額平方..000 服務滿意度指標.000. N 消費金額平方 服務滿意度指標 Model R R Square Adjusted R Square a a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額平方 Model Summary b Std. Error of Change Statistics Durbin-Wat the R Square Estimate Change F Change df1 df2 Sig. F son Change ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression 5.496E E a Residual 9.506E E+13 Total 6.447E a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Dependent Variable: 消費金額平方 Coefficients Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval Collinearity t Sig. Model Coefficients Coefficients for B Statistics B Std. Error Beta Lower BoundUpper Bound Tolerance VIF 1 (Constant) -1.18E E E E+08 服務滿意度指標 7.22E E E E a. Dependent Variable: 消費金額平方 10

11 Collinearity Diagnostics a Variance Proportions Model Dimension Eigenvalue Condition Index (Constant) 服務滿意度指標 E a. Dependent Variable: 消費金額平方 Residuals Statistics a Minimum Maximum Mean Std. Deviation N Predicted Value -7.49E E E E Residual -5.89E E E E Std. Predicted Value Std. Residual a. Dependent Variable: 消費金額平方 11

12 Multiple Regression Analysis 多元迴歸分析研究問題遊客的 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 服務期望指標 是否可以預測或影響 消費金額, 其預測能力為何? 分析方法 研究問題中, 預測變數包括 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 服務期望指標 等四個, 因變數為 消費金額 變項一個, 可採用多元迴歸分析法 (multiple regression) 或稱為複迴歸法 預測變數 (N 個連續變項 ) 校標變項自變數 ( 因變數 / 依變數 ) A1 A2 A3 一個連續變項 Y : An 若預測變項非連續變數 ( 非等距變項 非比率變項而是名義變項或次序變項 ), 則此預測變數要化為虛擬變數 (dummy variable), 如家庭狀況 性別 年齡組距等是類別變項, 要納入為預測變項, 其數據資料要化為 等, 以虛擬變項方式轉化變項的方式, 將此種類別變項作為一個預測變項 預測變數 (N 個連續變項 ) 校標變項 ( 二分變數 ) 區分分析 對數式迴歸分析 A1 A2 A3 : A n 進行多元迴歸分析時, 若因變數不是連續變項, 而是二分類別變項或二分次序變項時, 應以 區分分析 或對數式迴歸分析(Logistic regression analysis), 若因變數是多分類別變項或多分次序變項 ( 水準數在三個以上 ), 則需進行區別分析 預測變數 (N 個連續變項 ) 校標變項 ( 多分變數 ) 區分分析 A1 A2 A3 : A n 多元迴歸分析需要注意其 共線性 問題, 即其由於自變數 ( 自變項 ) 間的相關性太高, 造成迴歸分析之情境困擾 共線性 問題, 表示一個預測變項是其他自變項的線性組合, 以二個自變項 X 1,X 2 為例, 完全共線性代表的是 X 1 是 X 2 的線性函數,X 1 =a+bx 2, 若模式中, 有嚴重的共線性存在, 則模式之參數就不能完全被估計出來 Y1 Y2 Y1 Y2 Y3 Y4 Y m 12

13 自變數 ( 自變項 ) 間是否有共線性問題, 可由下列指標判斷 1. 容忍度 (Tolerance) 容忍度等於 1-R 2, 其中 R 2 是此自變數與其他自變數間的多元相關係數的平方, 若 R 2 值太大, 代表模式中其他自變數可以有效解釋此自變數 容忍度的值界於 0 與 1 間, 若一個自變數的容忍度太小, 表示此變項與其他自變項間有共線性問題 ; 其值若接近 0, 表示變項幾乎是其他變項的線性組合, 此種情況下迴歸係數的估算值不夠穩定, 而迴歸係數的計算值也會有很大誤差 2. 變異數膨脹因素 (variance inflation factor; VIF) 變異數膨脹因素為容任度的倒數,VIF 的值愈大, 表示自變數的容忍度愈小, 愈有共線性的問題 3. 條件指標 (Condition index; CI) 條件指標 CI 值愈大, 愈有共線性問題 在自變項相關矩陣之因素分析中, 特徵值可作為變項間有多少層面 (Dimension) 的指標, 若特徵值接近 0, 表示原始變項間有高的內在相關存在, 此組自變項間的相關矩陣就是一個 不佳的條件 (ill condition), 資料數值若稍微變動, 即可能導致係數估計的大波動 條件指標為最大特徵值與個別特徵值比例的平方根, 條件指標若在 15 以上, 表示可能有共線性問題, 條件指標若在 30 以上, 則表示有嚴重的共線性問題,CI 值愈大, 愈有共線性問題 在迴歸分析中, 最好先呈現預測變數間相關矩陣, 以探討變數間的相關情況, 若某些自變數間的相關係數太高, 可考量只挑選其中一個較重要的變項投入多元迴歸分析多元迴歸分析基本假設 1. 存在性 (existence) 就自變數 X 1,X 2,X 3,,X k 的特殊組合而言,Y 變項 ( 單變量 ) 是一個隨機變數, 具有某種機率分佈情況, 有一定的平均數與變異量 2. 獨立性 (independent) 每一個觀測值 Y 彼此間是統計獨立的, 觀察值間沒有關聯 3. 直線性 (linearity) 關係 Y 變數 ( 自變數 X 1,X 2,X 3,,X k 的線性組合 ) 的平均數是 X 1,X 2,X 3,,X k 變項間的一個線性函數, 此線性函數即為迴歸方程式 4. 變異數同質性就 X 1,X 2,X 3,,X k 任何一個線性組合, 因變數 Y 的變異數均相同 5. 常態性就 X 1,X 2,X 3,,X k 任何一個線性組合而言, 因變數 Y 的分佈是常態性的 多元迴歸分析的原始迴歸方程式 標準化迴歸方程式 Y = B 0 +B 1 X 1 +B 2 X 2 +B 3 X 3 + +B k X k 其中 B 0 為截距 B k 為原始迴歸係數 Z Y = β 1 Z X1 + β 2 Z X2 + β 3 Z X3 + + β k Z Xk 其中 β k 為標準化迴歸係數 13

14 虛擬變數 ( 虛擬變項 ) 的轉換, 均需以 0 1 的方式表示, 虛擬變項數等於水準數減一 若是二分變數, 便以一個虛擬變數表示, 此虛擬變項的兩個水準數值直接以 0 1 表示 即可 若間斷變項有三個水準, 則應以二個虛擬變數表示, 二個虛擬變項的數值如下 虛擬變項原變項 Homd1 Homd2 說明 :1 表示是,0 表是否 單親家庭組 是單親家庭組, 不是他人照顧組 他人照顧組 不是單親家庭組, 是他人照顧組 雙親家庭組 不是單親家庭組, 也不是他人照顧組, 即為雙親家庭組 若間斷變數有四個水準, 如地理位置變項 (loc), 進行迴歸分析時, 會有三個虛擬變項, 三個 虛擬變項如下 虛擬變項 Locd1 Locd2 Locd3 說明 :1 表示是,0 表是否原變項 北部 是北部, 非中部, 亦非南部 中部 是中部, 非北部, 亦非南部 南部 是南部, 非北部, 亦非中部 東部 非北部, 非中部, 亦非南部, 因而是東部 除非是重要預測變項, 否則不應輕易將間斷變項投入迴歸分析中 多元迴歸分析 ( 強制選入法 )SPSS 操作方法 1. 欲投入迴歸分析的自變數若為間斷變項, 應先將原始變數轉換為 虛擬變數 (dummy variables) 以性別為例, 原始數值 1 代表男生 2 代表女生, 需將其轉換為 0 1, 亦即 0 代表男生 1 代表女生 使用 Transform( 轉換 ) Recode( 重新編碼 ) Into Different Variables ( 成不同一變數 ) 等指令轉換 2.Analyze/Statistics( 統計分析 ) Regression( 迴歸分析 ) Linear ( 線性 ), 即會出現 Linear Regression( 線性迴歸 ) 對話視窗 Linear Regression # 動機 # 態度 # 消費金額 [cost_in] # 服務滿意度指標 [qua] # 停留天數 [day_n] # 同行人數 [p_number] # 服務期望指標 [ex_id] WLS>> Dependent: # 消費金額 [cost_in] Previous Block 1 of 1 Next Independent(s): # 服務滿意度指標 [qua] # 停留天數 [day_n] # 同行人數 [p_number] Method: Enter Selection Variable: Rule Case Labels: Statistics Plots Save Options 14 OK Paste Reset Cancel 3. 將欲進行迴歸分析的因變數 ( 依變數 因變項 ): 消費金額 (cost_nr) 自左邊的方塊中, 點選 Help

15 進入右上角的 Dependent: ( 依變數 ) 下方的方塊中 4. 將欲進行迴歸分析的自變數 ( 預測變數 自變項 ): 服務滿意度指標 (qulit_nr) 停留天數 (day_n) 同行人數 (p_number) 和服務期望指標 (ex_nr) 自左邊的方塊中, 點選進入右邊的 Independent(s): ( 自變數 ) 下方的方塊中 5. 在 Independent(s): ( 自變數 ) 下方 Methods: 下拉式選項中, 選取 Enter ( 強制選取法 ) 6. 接著按下方的 Statistics ( 統計量 ) 鈕, 即會出現 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗 Linear Regression: Statistics Regression Coefficients Model fit Continue Estimates R squared change Cancel Confidence intervals Descriptives Help Covariance matrix Part and partial correlations Collinearity diagnostics Residuals Durbin-Watson Casewise diagnostics Outliers outside 3 standard deviations All cases 7. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗中, 左上角 Regression Coefficients( 迴歸係數 ) 方塊中, 勾選 Estimates( 估計值 ) 和 Confidence intervals( 信賴區間 ) 選項 8. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗中, 勾選右邊的 Model fit( 迴歸模式適合度檢定 ) R squared change( 解釋量的改變量 ) Descriptive( 統計量 ) Collinearity diagnostics( 共線性診斷 ) 等選項 9. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗下面的 Residuals 方塊中, 勾選 Durbin-Watson( 顯示 Durbin-Watson 檢定統計量, 標準化 非標準化之殘差和預測值之摘要統計量 ) 選項 10. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗, 按 Continue 鈕, 即會回到 Linear Regression( 線性迴歸 ) 對話視窗 11. 在 Linear Regression 對話視窗中, 點選下面的 Plots 按鈕, 會出現 Linear Regression: Plots 次對話視窗 Linear Regression: Plots DEPENDNT *ZPRED *ZRESID *DRESID *ADJPRED *SRESID *SDRESID Standardized Residual Plots Previous Scatter 1 of 1 Next Y: *ZRESID X: DEPENDNT Produce all partial plots 15 Continue Cancel Help

16 Histogram Normal probability plot 12. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗中, 左邊方塊內有數項資料名稱, 其意義如下 (*: 表示暫時性的殘差變數 ): DEPENDNT : 為因變數 ( 依變數 ) *ZPRED : 標準化的迴歸預測值 *ZRESID : 標準化的殘差 *DRESID : 刪除型的殘差 (deleted residual) *ADJPRED : 調整的迴歸預測值 (adjusted predicted values) *SRESID :studentized 殘差 *SDRESID :studentized 刪除型的殘差 13. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗中, 點選 *ZRESID ( 標準化的殘差 ) 進入 Y: (Y 軸 ) 右邊的方塊, 點選 DEPENDNT ( 因變數 / 依變數 ) 進入 X: (X 軸 ) 右邊的方塊 14. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗下面的 Standardized Residuals Plots( 標準化殘差圖 ) 方塊中, 勾選 Histogram( 顯示標準化殘差值的次數分配圖, 同時產生一常態分配曲線 ) 和 Normal probability plot[ 顯示標準化殘差值的常態機率 (P-P) 圖 ] 選項 15. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗右上角, 按 Continues 鈕, 回到 Linear Regression 對話視窗 16. 按 OK( 確定 ) 鈕, 以執行多元迴歸分析程序 17. 獲得以下多元迴歸分析成果 Descriptive Statistics Mean Std. Deviation N 消費金額 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 服務期望指標 Correlations 消費金額 服務滿意服務期望停留天數同行人數度指標指標 Pearson Correlation 消費金額 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 服務期望指標 Sig. (1-tailed) 消費金額 服務滿意度指標 停留天數 同行人數

17 消費金額 服務滿意服務期望停留天數同行人數度指標指標 服務期望指標 N 消費金額 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 服務期望指標 Model a. All requested variables entered. b. Dependent Variable: 消費金額 1 Variables Entered/Removed b Variables Entered 服務期望指標, 同行人數, 服務滿意 a 度指標, 停留天數 Variables Removed Method. Enter Model Summary b Change Statistics Model R R Square Adjusted R Std. Error Durbin-Wat of the R Square F Square Estimate Change Change df1 df2 Sig. F son Change a a. Predictors: (Constant), 服務期望指標, 同行人數, 服務滿意度指標, 停留天數 b. Dependent Variable: 消費金額 ANOVA b Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression a Residual Total a. Predictors: (Constant), 服務期望指標, 同行人數, 服務滿意度指標, 停留天數 b. Dependent Variable: 消費金額 17

18 Coefficients a Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval Collinearity t Sig. Model Coefficients Coefficients for B Statistics B Std. Error Beta Lower BoundUpper Bound Tolerance VIF 1 (Constant) 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 服務期望指標 a. Dependent Variable: 消費金額 Model Dimension Eigenvalue Condition Index Collinearity Diagnostics a Variance Proportions (Constant) 服務滿意度指標 停留天數 同行人數 E E E E a. Dependent Variable: 消費金額 Residuals Statistics a Minimum Maximum Mean Std. Deviation N Predicted Value Residual E Std. Predicted Value Std. Residual a. Dependent Variable: 消費金額 服務期望指標 18

19 多元迴歸分析 ( 逐步迴歸法 )SPSS 操作方法 1.Analyze/Statistics( 統計分析 ) Regression( 迴歸分析 ) Linear ( 線性 ), 即會出現 Linear Regression( 線性迴歸 ) 對話視窗 Linear Regression # 動機 # 態度 # 消費金額 [cost_in] # 服務滿意度指標 [qua] # 停留天數 [day_n] # 同行人數 [p_number] # 服務期望指標 [ex_id] WLS>> Dependent: # 消費金額 [cost_in] Previous Block 1 of 1 Next Independent(s): # 服務滿意度指標 [qua] # 停留天數 [day_n] # 同行人數 [p_number] Method: Stepwise Selection Variable: Rule Case Labels: Statistics Plots Save Options 19 OK Paste Reset Cancel Help 2. 將欲進行迴歸分析的因變數 ( 依變數 因變項 ): 消費金額 (cost_nr) 自左邊的方塊中, 點選進入右上角的 Dependent: ( 依變數 ) 下方的方塊中 3. 將欲進行迴歸分析的自變數 ( 預測變數 自變項 ): 服務滿意度指標 (qulit_nr) 停留天數 (day_n) 同行人數 (p_number) 和服務期望指標 (ex_nr) 自左邊的方塊中, 點選進入右邊的 Independent(s): ( 自變數 ) 下方的方塊中 4. 在 Independent(s): ( 自變數 ) 下方 Methods: 下拉式選項中, 選取 Stepwise ( 逐步迴歸法 ) 5. 接著按下方的 Statistics ( 統計量 ) 鈕, 即會出現 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗 Linear Regression: Statistics Regression Coefficients Model fit Continue Estimates R squared change Cancel Confidence intervals Descriptives Help Covariance matrix Part and partial correlations Collinearity diagnostics Residuals Durbin-Watson Casewise diagnostics Outliers outside 3 standard deviations All cases 6. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗中, 左上角 Regression Coefficients( 迴歸係數 ) 方塊中, 勾選 Estimates( 估計值 ) 和 Confidence intervals( 信賴區間 ) 選項 7. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗中, 勾選右邊的 Model

20 fit( 迴歸模式適合度檢定 ) R squared change( 解釋量的改變量 ) Descriptive( 統計量 ) Collinearity diagnostics( 共線性診斷 ) 等選項 8. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗下面的 Residuals 方塊中, 勾選 Durbin-Watson( 顯示 Durbin-Watson 檢定統計量, 標準化 非標準化之殘差和預測值之摘要統計量 ) 選項 9. 在 Linear Regression: Statistics ( 線性迴歸 : 統計量 ) 次對話視窗, 按 Continue 鈕, 即會回到 Linear Regression( 線性迴歸 ) 對話視窗 10. 在 Linear Regression 對話視窗中, 點選下面的 Plots 按鈕, 會出現 Linear Regression: Plots 次對話視窗 Linear Regression: Plots DEPENDNT *ZPRED Previous Scatter 1 of 1 Next *ZRESID *DRESID *ADJPRED Y: *ZRESID *SRESID *SDRESID X: DEPENDNT Standardized Residual Plots Histogram Normal probability plot 20 Produce all partial plots Continue Cancel Help 11. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗中, 左邊方塊內有數項資料名稱, 其意義如下 (*: 表示暫時性的殘差變數 ): DEPENDNT : 為因變數 ( 依變數 ) *ZPRED : 標準化的迴歸預測值 *ZRESID : 標準化的殘差 *DRESID : 刪除型的殘差 (deleted residual) *ADJPRED : 調整的迴歸預測值 (adjusted predicted values) *SRESID :studentized 殘差 *SDRESID :studentized 刪除型的殘差 12. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗中, 點選 *ZRESID ( 標準化的殘差 ) 進入 Y: (Y 軸 ) 右邊的方塊, 點選 DEPENDNT ( 因變數 / 依變數 ) 進入 X: (X 軸 ) 右邊的方塊 13. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗下面的 Standardized Residuals Plots( 標準化殘差圖 ) 方塊中, 勾選 Histogram( 顯示標準化殘差值的次數分配圖, 同時產生一常態分配曲線 ) 和 Normal probability plot[ 顯示標準化殘差值的常態機率 (P-P) 圖 ] 選項 14. 在 Linear Regression: Plots 次對話視窗右上角, 按 Continues 鈕, 回到 Linear Regression 對話視窗 15. 按 OK( 確定 ) 鈕, 以執行多元迴歸分析程序

21 16. 獲得以下多元迴歸分析成果 Variables Entered/Removed a Model Variables Entered Variables Removed Method 1 服務滿意度指標. Stepwise (Criteria: Probability-of-F-to-enter <=.050, Probability-of-F-to-remove >=.100). 2 服務期望指標. Stepwise (Criteria: Probability-of-F-to-enter <=.050, Probability-of-F-to-remove >=.100). 3 停留天數. Stepwise (Criteria: Probability-of-F-to-enter <=.050, Probability-of-F-to-remove >=.100). a. Dependent Variable: 消費金額 選取變數的順序, 進入模式的變數標準是 F 的機率 0.05者, 移除模式的變數標準是 F 的機率 0.10者 Model Summary d Std. Error Change Statistics R Adjusted R Durbin-Wa Model R of the R Square Square Square Estimate Change F Change df1 df2 Sig. F tson Change a b c a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標, 服務期望指標 c. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標, 服務期望指標, 停留天數 d. Dependent Variable: 消費金額 R 為多元相關係數 (Multiple correlation coefficient) R Square(R 2 ) 為多元決定係數 (Multiple determination coefficient) Adjusted R Square 為調整後的決定係數 Adjusted R 2 = 1-[(1-R 2 n 1 ) ] n p 1 n: 樣本總人數 p: 迴歸方程式的自變數的個數 若自變數的個數很多, 有時就要以調整後的決定係數代替原先的決定係數, 因為增加新的自 變數 ( 預測變項 自變項 ) 後, 均會使 R 2 變大, 此時以調整後的 R 2 表示較佳 以樣本的 R 2 估計母群參數時, 常會有高估的傾向, 為避免高估之偏差情形發生, 應採用調整 後的 R 2 值, 因為調整後的 R 2 是迴歸模式中變項數與樣本大小的函數, 以調整後的 R 2 來估計母 群性質, 才不會有錯誤 ANOVA d Model Sum of Squares df Mean Square F Sig. 1 Regression a Residual Total Regression b Residual Total Regression c Residual Total

22 a. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標 b. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標, 服務期望指標 c. Predictors: (Constant), 服務滿意度指標, 服務期望指標, 停留天數 d. Dependent Variable: 消費金額 Coefficients a Unstandardized Standardized 95% Confidence Interval for Collinearity Model Coefficients Coefficients t Sig. B Statistics B Std. Error Beta Lower Bound Upper Bound Tolerance VIF 1 (Constant) 服務滿意度指標 (Constant) 服務滿意度指標 服務期望指標 (Constant) 服務滿意度指標 服務期望指標 停留天數 a. Dependent Variable: 消費金額 B 為原始迴歸係數,Beta 為標準化的迴歸係數從容忍度 (Tolerance) 指標看數學態度和探究動機數值較低 (<0.4), 表示可能有共線性問題存在 數學態度的容忍度數值為 0.257, 表示模式中其餘七個自變數 ( 預測變數 自變項 ) 對數學態度變項的解釋量為 74.3%[( ) 100] 解釋量愈高, 代表容忍度愈小, 愈有共線性問題 Excluded Variables d Model Beta In T Sig. Partial Correlation Tolerance Collinearity Statistics VIF Minimum Tolerance 1 停留天數 a 同行人數.068 a 服務期望指標.251 a 停留天數 b 同行人數.061 b 同行人數 c a. Predictors in the Model: (Constant), 服務滿意度指標 b. Predictors in the Model: (Constant), 服務滿意度指標, 服務期望指標 c. Predictors in the Model: (Constant), 服務滿意度指標, 服務期望指標, 停留天數 d. Dependent Variable: 消費金額 Collinearity Diagnostics a Variance Proportions Model Dimension Eigenvalue Condition 服務滿意服務期望 Index (Constant) 停留天數度指標指標 E E E E E E

23 a. Dependent Variable: 消費金額 Residuals Statistics a Minimum Maximum Mean Std. Deviation N Predicted Value Residual E Std. Predicted Value Std. Residual a. Dependent Variable: 消費金額 23

24 表數學態度 性別 自我投入 課堂焦慮 壓力 工作投入和探究動機預測數學成績之逐步 多元迴歸分析 選出的變數順序 多元相關決定係數係數 R R 2 R 2 標準化迴改變量 F 值 F 值改變量歸係數 Beta 數學態度 SEXDV 自我投入 課堂焦慮 壓力 工作投入 探究動機 個預測變項 ( 自變數 自變項 ) 預測效標變項 ( 數學成績 ) 時, 進入迴歸分析方程式的顯著變項 共有七個, 多元相關係數為 0.529, 其聯合解釋變異量為 0.280, 即上述七個變項能聯合預測 數學成績 ( 因變數 )28.0% 的變異量 就個別變項的解釋量以 數學態度 的預測力最佳, 其解釋量為 17.0%, 其餘依次為 性別 (sexdv) 自我投入, 其解釋量分別為 2.9% 2.2%, 此前三個變項的聯合預測力達 22.0% 標準化迴歸方程式 數學成績 = 數學態度 SEXDV 自我投入 課堂焦慮 壓力 工作投入 探究動機 24

25 Path Diagram Analysis 徑路 ( 路徑 ) 分析研究問題 : 研究模式圖 ( 研究架構圖 ) 是否可以獲得支持? 統計方法 : 多元迴歸分析法 - 強迫進入法 (Enter) 根據研究理論與相關文獻提出可能的因果模式, 並以徑路圖 (Path diagram) 說明各變項間可能的因果關係 研究架構圖所提出的因果模式圖中, 變數的影響有其先後的次序關係, 且此因果關係為單向, 徑路圖上的徑路係數即為迴歸方程式中的 標準化迴歸係數, 所使用的統計方法為多元迴歸分析法之 強迫進入法 (Enter) 徑路分析又稱 結構方程式模式 (Structural Equation Models) 或 同時方程式考驗模式 (Simultaneous Equation Models), 因為此模式同時讓所有預測變項 ( 自變數 ) 進入迴歸模式中 徑路分析基本步驟 1. 根據相關理論與文獻資料, 建構一個可以考驗的初始模式, 並繪出一個沒有徑路係數的徑路圖 在徑路圖以方塊文字 ( 節點 ) 代表變數, 而以箭號表示變項的因果關係, 箭號起始點變數 ( 自變數 : 預測變數 ) 為 因 (cause), 箭號所指的變數 ( 依變數 / 因變數 : 校標變數 ) 為 果 (effect) 2. 選用適當的迴歸模式 ( 通常選用 Enter 法 ), 以估計徑路係數並考驗其是否顯著, 進而估計殘差係數 (residual coefficient) 研究架構圖所提出的因果模式圖中, 變數的影響有其先後的次序關係, 且此因果關係為單向, 徑路圖上的徑路係數即為迴歸方程式中的 標準化迴歸係數 (standardized regression coefficients), 所使用的統計方法為多元迴歸分析法 (multiple regression analysis) 之 強迫進入法 (Enter) 殘差係數是指依變項變異量中自變數無法解釋的部分, 此為殘差變異, 所代表的圖示稱為 殘差變量路徑 (residual variable path) 殘差係數 = 2 1 R Where R 2 = 決定係數 3. 評估理論模式, 可在刪除不顯著的徑路係數, 重新計算新模式的徑路係數 在刪除部分的影響路徑後, 會成為一種 限制模式 (restrict model), 由於預測變項數的改變, 徑路係數也會跟著改變, 因而需要重新進行多元迴歸分析 徑路分析 原型圖 (Prototype) 的特徵 (Tacq,1997) 1. 量化 (quantitative): 量化的研究, 相關與迴歸分析的應用 2. 辨認 (identified): 辨認求出模式的最佳方程式 3. 遞迴 (recursive): 反覆使用最小平方估計法, 來解決代表因果模式的方程式 4. 靜態 (static): 普通多數均使用一次短暫時間的調查資料, 以致不會有外在 干擾問題發生 5. 直接觀察 (directly observed): 不必探究因果變項與指標變項間或潛在變項與外顯變項的差異 25

26 無法觀察的變項又稱 潛在變項 (latent variables) 假設構念 (hypothetical constructs) 或 理論概念 (theoretical concepts) 要整體考量或結合因果結果分析(CSA) 與潛在結構分析 (LSA), 應採用統計學家 Jorekog 等人發展出來的 線性結構關係 (LISREL) 方法, 此方法可同時進行潛在變項 觀察變項間因果模式的考驗 6. 線性 (linear): 變項間線性關係才能應用相關與迴歸分析方法, 並使結果易於解釋 7. 相加性 (additive): 只有相加而沒有乘積性質, 因而不會包括與交互作用有關的名詞 8. 標準化 (standardized): 在一個群體或相似群體可以相互比較 9. 沒有多元共線性問題 (multicollinearity): 多元共線性愈大, 容忍度愈小, 標準誤 (standard error) 就變得很大, 正確率會變得很小 沒有多元共線性問題, 可避免無效參數之估計 26