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航用萧
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1 8// Chapter 矩陣 Part 大綱. 矩陣轉換旋轉與放大.6 線性轉換電腦繪圖與碎形.7 Leontief 輸出入經濟模式.8 馬可夫鏈族群遷徙及基因.9 聯繫模式與社會學之群體關係 Ch_

2 8//. 矩陣轉換旋轉與放大一個由 R n 到 R m 的轉換 (transformation) T 為一個對 R n 中每一向量 u 均指定 R m 中惟一向量 v 與之對應的規則 R n 稱為 T 之論域 (domain), 而 R m 稱為 T 之對應論域 (codomain) u 與 v 之關係可以寫成 T(u) v, 其中 v 稱為 u 在 T 映射之下的像 (image) 有時轉換也可以稱為映射 (mapping) 或函數 (funcion) R n Rm domain u T v codomain Ch_ 範例假定轉換 T : R R 之定義如下 : T( x,, z) ( x, z) T之論域為 R, 其對應論域為 R T (, 4, ) (, 6) 若以行向量方式表示, T 可寫成如下的式子 : x x T x z Ch_4

3 8// 放大與縮小 x x r x T r, r r 為一純量 T將 R 中每一點 r 映射至與原點距離為原先距離之倍 x Ch_ 線對稱 x x x T Ch_6

4 8// 以原點為中心的旋轉 x' Oc rcos( α θ) rcosαcosθ rsinαsinθ xcosθ sinθ ' Bc rsin( α θ) rsinαcosθ rcosαsinθ cosθ xsinθ x cosθ sinθx T sinθ cosθ O OB r 註 : 逆時針旋轉的角度為正, 否則為負 Ch_7 矩陣轉換 (Matrix Transformation) 令為 m n 之矩陣,x 為以行向量形式表示之 R n 向量, 則定義一個由 R n 到 R m 的矩陣轉換 T(x) x, 其中 x 是 x 的像,T 的論域為 R n, 而對應論域為 R m 範例 T : R R 4 定義如下的矩陣轉換 x x z T( x) 4 4z z Ch_8 4

5 8// 矩陣轉換將一線段映射至另一線段 ; 若該矩陣為可逆矩陣, 則可映射一組平行線至另一組平行線 Ch_9 例題 4 由矩陣定義之 T : R R 之轉換, 試決定單位正方形經此轉換後的像 P, Q, R, O 4 6 P', Q', R', O' Ch_

6 8// 合成轉換 (Composite Transformation) T( x) x, T ( x) x 合成轉換 T T T 定義如下 : T( x) T ( T( x)) T ( x) ( x) ( ) x Ch_ 我們可以很自然地延伸上述的結果至 n 個轉換組成之合成轉換令 T, T,, T 為由矩陣,,, 所定義之一系列轉換 n 則 T T T T 可由乘積矩陣定義 n n n n n Ch_ 6

7 8// 例題 T : x軸對稱轉換 : cos( π ) sin( π ) T : 旋轉 9度 : sin( π ) cos( π ) T : 三倍放大 : T T T T, 其矩陣為 Ch_ 正交轉換 (Orthogonal Tramsformation) 一矩陣稱為, 如果它 t 正交矩陣滿足條件一矩陣轉換 T( x) x 稱為正交轉換, 若是一個正交矩陣例 : 前述之線對稱與旋轉都是正交轉換正交轉換會維持原來之範數距離與角度一幾何形狀經過正交轉換後, 仍維持原先之形狀, 所以正交轉換又稱為剛體運動 (rigid motion) Ch_4 7

8 8// n n 令 T 為一定義在 R 上之正交轉換, u, v R. T 保持內積, 即 T( u) T( v) u v t t t T( u) T( v) ( u) ( v) ( u) ( v) ( u )( v) t t t t t u ( ) v u ( ) v u v u v u v. T 保持範數, 即 T ( u) u T( u) u ( u) ( u) uu ( 由於 T 保持內積 ) u Ch_. T 保持角度令 u 和 v 之間的夾角為 α, T ( u ) 和 T ( v ) 之間的夾角為 β u v T( u) T( v) cosα, cos β u v T( u) T( v) 已証知 u v T( u) T( v) u T( u) 和 v T( v), 所以 cosα cos β 亦即 α β Ch_6 8

9 8// 4. T 保持距離因為 OP OR, OQ OS, 及 α β, 所以 ΔOPQ 和 ΔORS 全等因此, PQ RS Ch_7 平移轉換 (Translation) n n 平移指由下式定義之 T : R R 轉換 : 其中 v T ( u) u v 是一個給定的向量例 : x x 4 T Ch_8 9

10 8// 仿射轉換 (ffine Transformation) n n 仿射轉換指由下式定義之 T : R R 轉換 : T( u) u v 其中是一矩陣, 而 v 是一個給定的向量例 : x x T Ch_9.6 線性轉換電腦繪圖與碎形 n n m 令 uv, 為 R 之向量 c為純量, 則稱轉換 T : R R 為線性 (linear), 若 T ( u v ) T ( u ) T ( v ) ( 保守向量加法 ) Tc ( u) ct( u) ( 保守純量乘積 ) 例 : 前述的放大線對稱旋轉與正交轉換都是線性轉換, 但是平移與仿射則為非線性轉換 Ch_

11 8// 例題. 試証明 T( x, ) ( x, x) 是線性轉換. 試証明 T ( x,, z ) ( x, z ) 不是線性轉換 Ch_ 矩陣表示 n n 令 T 為 R 中一線性轉換,{ e, e,, e } 為 R 之一組標準基底, n 而 u為 R 中任意向量將上述的向量都以行向量表之假定 u ce c e c e 因為 T 是線性轉換, 所以 n n T( u) T( ce ce cnen) ct ( e) ct ( e) ct n ( en) c [ T( e) T( en) ] c n c 矩陣稱為線性轉換 T 之標準矩陣 (standard matrix) c n n Ch_

12 8// 例題 x x 試推導可用來描述線性轉換 T 之矩陣解 T, T 所以, T 之標準矩陣 x x 因此, T Ch_ 例題 x T x x 定義直線之線對稱轉換 x x T, T T Ch_4

13 8// 轉換在電腦繪圖的應用齊次座標為了簡化矩陣的操作, 電腦圖學常使用齊次座標系統 (homogenous coordinate sstem) 齊次座標系統用 n 維的座標來表示 n 度空間的點譬如 : 三維座標點 (x,, z) 在齊次座標系統中變成 (hx, h, hz, h), 其中第四個座標值 h 稱為齊次座標, 它的值只要不等於即可反過來說, 齊次座標系統上的點 (x,, z, w) 代表三度空間的點 (x/w, /w, z/w) 利用齊次座標, 平移也可以用矩陣轉換的形式表之 Ch_ 齊次座標下的平移 x x h x h T k k x x 選作為之齊次座標 x hx x h T k k h k Ch_6

14 8// x cosθ sinθ sinθ cosθ 點旋轉線對稱 r h r k 放大 / 縮小平移 Ch_7 解例題試求解可定義平面上以點 P(h, k) 為中心, 旋轉 θ 角之轉換矩陣我們把此轉換分成以下三個步驟 : (a) T : 把 P 平移至原點 (b) T : 以原點為中心旋轉 θ 角 (c) T : 平移回 P 點 Ch_8 4

$Mandelbrot 所言 : 雲彩並非球形, 山峰亦非圓錐, 海岸線不是圓形, 樹皮不會平滑, 而光線也不是在一條直線上行進在同一物件中相同的形狀以不同的尺寸不斷地重複著在 97 年, Mandelbrot 介紹了一種可以用來描述自然現象的新幾何, 他稱此為碎形幾何 (fractal geometr) Ch_$

15 8// h cosθ sinθ h T k, R sinθ cosθ, T k x x R p T R T hcosθ sinθ h x k sinθ cosθ k cosθ sinθ hcosθ ksinθ h x sinθ cosθ hsinθ kcosθ k Ch_9 大自然之碎形數學家 Benoit B. Mandelbrot 所言 : 雲彩並非球形, 山峰亦非圓錐, 海岸線不是圓形, 樹皮不會平滑, 而光線也不是在一條直線上行進在同一物件中相同的形狀以不同的尺寸不斷地重複著在 97 年, Mandelbrot 介紹了一種可以用來描述自然現象的新幾何, 他稱此為碎形幾何 (fractal geometr) Ch_

16 8// 假定下列四個仿射轉換與對應的使用機率 : x.86. x T, p x..x T, p.8... x..7x T, 6 4 p x x T4, p4..7 Ch_ 下列的演算法可以產生之前所展示的蕨類植物 :. 令 x,. 按照機率選取仿射轉換 T i. 令 (x, ) T(x, ) 4. 繪製點 (x, ). 令 (x, ) (x, ) ) 6. 重複步驟 - 二萬次 Ch_ 6

17 8//.7 Leontief 經濟模式考量一個涵括 n 個彼此相互依存企業的封閉式經濟體, 即其中每一企業之產出 ( 輸出 ) 均成為其他企業 ( 甚至為其本身 ) 生產產品時所需之原料 ( 輸入 ), 我們將嘗試以線性方程式系統建構數學模式來分析此種情形為簡化討論, 首先假設每一企業僅生產一種產品 ; 令 a ij 為每生產 j 產品單位所需耗用之產品單位數, 於此我們定義單位為元, 例如,a 4.4 表示每生產元價值的產品 4 需要耗用.4 元價值的產品即 a ij 每生產元價值的 j 產品所需耗用之 i 產品價值輸出入矩陣 (input-output matrix) 為用以描述經濟體內各企業相互依存關係的工具, 而輸入係數 (input coefficients) a ij 則為矩陣之元素 Ch_ d x i i 開放部門對企業 i之需求所有企業及開放部門對企業 i之總需求 x ax ax ax d i i i in n i 企業 i 總產量企業需求量企業需求量企業 n 需求量 x a a a x d n x a a a n x d xn an an annxn dn 開放部門需求量 X X D 總輸出滿足企業間需求部分滿足開放部門需求部分 Ch_4 7

18 8// 8 Example 考量一個含有三個企業且具輸出入矩陣之經濟體, 試求解在下列 GNP 情形下, 該經濟體內各企業為滿足需求而須達到之最低生產數量, 若 8 及, 8 9 6, 6 9 分別為 D 其中 D 之單位為百萬元 Solution Ch_ Solution 我們須計算對應於不同 GNP 值矩陣之輸出需求 X, 由 X X D 可得, X X D ( )X D X ( ) D ( ) Ch_6 相對輸出值各式 GNP 值 ) ( ) ( D X

19 8// 9 由上列計算可知, 滿足不同 GNP 值及, 66 9, 之最小產最小產量 8 及, 9 6, 9 上述向量之單位為百萬元有關計算之考量 ) ( ) ( ) )( ( m m m Ch_7 m m ) )( ( m ) (.8 馬可夫鏈族群遷徙及基因定義 : 隨機矩陣 (stochastic matrices) 指矩陣元素之意義為機率, 且各行元素和均為之方陣下列矩陣為隨機矩陣 Ch_8 下列矩陣則不是隨機矩陣 4

20 8// Example 根據估計, 美國在公元年有約五千八百萬人住在都會區, 而住在周邊郊區則有約一億四千二百萬人, 由此可建構向量 X 8 4 考量人口自都會區至周邊郊區間之遷移在公元年, 都會區居民留在都會區之機率為.96, 因此搬往郊區之機率為.4 郊區居民搬往都會區之機率為., 亦即留在郊區之機率為.99, 我們可利用這些機率值建構隨機矩陣 P 如下 : ( 由 ) 都會區郊區.96. P.4.99 ( 至 ) 都會區郊區 Ch_9 Theorem.9 若矩陣與 B 為相同大小之隨機矩陣, 則 B 亦為一隨機矩陣 Ch_4

21 8// 年都會區人口仍居住在都會區者自郊區遷入都會區者 (.96 8) (. 4) 7. ( 百萬 ) 年郊區人口自都會區遷入郊區者仍居住在郊區者 (.4 8) (.99 4) 4.9 ( 百萬 ) 利用矩陣乘積獲得上列結果.96 X PX Ch_4 以年為基準年, 令 X 為年之人口, 則有 X PX 假設由 P 所代表之人口遷移趨勢不變, 則二年後的人口分布為 X PX 三年後的人口分布為而 n 年後的人口分布則為 X PX X n PX n- 由此模式所得之推估 ( 至四位小數 ) 分別為 X 8 都會 7. X X 4 郊區 X X 4 等等 Ch_4

22 8// 觀察都會區人口逐年減少, 而郊區人口則逐年增加我們在 6. 節將再討論本模式, 屆時將發現數列 X, X, X, 逼近 4 6, 亦即如果條件保持不變, 都會區人口將趨近於四千萬, 而郊區人口則將趨近一億六千萬此外, X, X, X,, X n 可直接藉由 X 求得, 即 X PX, X P X, X P X,, X n P n X, 矩陣 P n 為一隨機矩陣, 可在 n 個階段將 X 轉成 X n, 這個結果可進一步一般化, 即無論已知年期為何, 均可用來預測該年期 n 年之後的分布情形, X in P n X i P n 稱為 n 次轉換矩陣 (n-step transition matrix),p n 之第 (i, j) 元素代表經過 n 個階段後由 j 狀態至 i 狀態之機率 Ch_4.7 聯繫模式與社會學之群體關係 a ij 若有 Pi 至 Pj之直接有向路徑若無 Pi 至 Pj之直接有向路徑若 i j Ch_44

23 8// 定義 : 定義 : 有向圖 (digraph) 為一組由有向弧線 (directed arcs) 連接有限個頂點 (vertices) P, P,, P n所形成的圖形集合頂點間之路徑 (path) 為可允許自一頂點連續通過並抵達另一頂點的一系列弧線 ; 一路徑之長度 (length of a path) 定義為所通過之弧線個數, 而一個長度為 n 的路徑稱為 n-path 定義 : 考量一具有 n 個頂點 P, P,, P n 的有向圖, 其鄰接矩陣 (adjacenc matrix) a ij 之元素可定義如下若有 Pi 至 Pj之直接有向路徑 aij 若無 Pi 至 Pj之直接有向路徑若 i j Ch_4 Theorem. 若矩陣為一有向圖之鄰接矩陣, 令 (a ij ) (m) 為 m 之第 i 列第 j 行元素, 則由 P i 至 P j 之 m-paths 總數 (a ij ) (m) Proof 考量一具有 n 頂點之有向圖,a i 為 P i 至 P 之聯繫路徑個數, 而 a j 為 P 至 P j 之聯繫路徑個數, 因此 a i a j 為 P i 經由 P 到 P j 的 - paths 個數將所有可能成為中繼點之情形依上式計算並加總, 則可得所有由 P i 到 P j 的 -paths 總數, 即 a i a j a i a j a in a nj 上式恰為之第 i 列第 j 行元素, 因此 (a ij ) () 為由 P i 到 P j 的 - paths 個數 Ch_46

24 8// 若考量 -paths, 我們將一個 -path 表示成一個 -path 與另一路徑之銜接, 則由 P i 到 P 的 -paths 再由 P 到 P j 的 -path 個數為 (a i ) () a j, 將所有可能成為中繼點之情形依上式計算並加總, 則可得所有由 P i 到 P j 的 -paths 總數, 即 (a i ) () a j (a i ) () a j (a in ) () a nj 上式為矩陣乘積 ~ 亦即之第 i 列第 j 行元素, 因此 (a ij ) () 為由 P i 到 P j 的 -paths 總數準此, 我們亦可將一個 4-path 表示成一個 -path 與另一路徑之銜接, 並依此類推, 則可推知 (a ij ) (m) 為由 P i 至 P j 之 m-paths 總數 Ch_47 有向圖中之距離有向圖中一頂點到另一頂點之距離 (distance), 定義為該二頂點之最短路徑長度如果兩頂點間無路徑則稱其距離為未定 (undefined), 一有向圖中各頂點間的距離亦可組成一矩陣 ~ 距離矩陣 (distancet matrix), ti) 其定義如下 : 自 P i 至 P j 最短路徑之連繫弧線個數 d ij 若 i j x 若 P i 與 P j 之間無聯繫路徑 Ch_48 4

25 8// 社會學之群體關係表. 群體成員被其重視意見者 M M 4 M M M M M 4 M M M 4 M M M M M 4 Figure.6 Ch_49 M M M M M 4 列總和 8 6 D x x x x 4x 7 x x x x 4x Figure.6 列總和愈小者, 在群體中的影響力愈大 Ch_

B3C1

B3C1 - B(. AB. A( ( 3. AA PP 0 a a a 4. ( 5. Ex. ABCDEF Ans8305 Ex. ABCDE Ans00. a+ b a+ b b. a+ b = b + a a b a ( a+ b + c = a+ ( b + c a+ 0= a = 0+a a + ( a = 0 = ( a + a b a b 3. a b = a+ ( b a 4.(P AB =