3.1 AR-GJR-GARCH 重新檢視第 (11) 式, 以 GARCH 模型估計風險值, 其風險值估計為 V ar α = ˆµ + ˆσ t W N 1 (α) 風險值估計可分成三個部份, ˆµ 為條件一階動差的估計, ˆσ t 為條件二階動差的估計, W N 1 (α) 為白噪音分配第 α

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1 3 研究方法 圖 3 為本文主要研究流程圖 本文以 Glosten, Jagannathan and Runkle (1993) 提出的 GJR-GARCH 模型為基礎, 白噪音分配加入厚尾與不對稱的特性, 針對不同分配假設進行配適, 再以模型衡量指標比較不同分配配適程度 此外以一步預測法 (one-step-ahead forecasting) 做樣本外預測, 進一步結合動態極值理論與動態歷史模擬法, 透過回溯測試 (back-testing) 檢定在不同分配假設下風險值預測的可靠度 最後使用損失函數 (loss function) 選擇最適 的模型 AR(3)-GJR-GARCH(1,1) 不同分配假設 樣本內估計 樣本外預測 模型衡量指標 log-likelihood value AICC BIC KS test QQ-plot 挑選配適最佳模型 動態極值理論動態歷史模擬法 回溯測試 損失函數 挑選預測風險值最佳模型 圖 3: 研究流程 1

2 3.1 AR-GJR-GARCH 重新檢視第 (11) 式, 以 GARCH 模型估計風險值, 其風險值估計為 V ar α = ˆµ + ˆσ t W N 1 (α) 風險值估計可分成三個部份, ˆµ 為條件一階動差的估計, ˆσ t 為條件二階動差的估計, W N 1 (α) 為白噪音分配第 α 分量 因此若希望準確的估計風險值, 必須掌握其一階動差 二階動差及白噪音的分配 為了進一步捕捉條件變異數在報酬率正負之間可能存在不對稱的情形, 在 此, 我們使用 Glosten, Jagannathan and Runkle (1993) 提出的 GJR-GARCH 模型 GJR-GARCH 模型以 0 為門檻, 刻劃前期報酬率正負之間條件變異 數不對稱的情形 而為了捕捉條件一階動差, 進一步加入自我相關 一般化的 AR(p)-GJR-GARCH(m, s) 模型可表示為 r t = µ t + ε t p µ t = φ 0 + φ i r t i i=1 h t = α 0 + m (α i + I i γ i ) ε t 1 + i=1 s β i h t i ε t W N(0, h t ) 其中 I i 為指標函數, 當 ε t 1 0 時, I i = 1 ; 當 ε t 1 > 0 時, I i = 0 為確保變異數為正且模型穩定, 還須滿足 0 α i, β i, γ i 1, α i + β i +0.5 γ i < 1 的條件 i=1 3. 白噪音設定實證資料顯示, 財務資料通常存在厚尾及不對稱的特性, 白噪音為常態分配的假設下, 模型配適與風險值估計結果通常都不盡理想 因此愈來愈多的研究改採用厚尾及不對稱的分配來配適, 文獻上最常使用的厚尾分配可分為 Student t 分配一族與 EPD 一族 13

3 圖 4 顯示 Student t 分配一族與 EPD 一族之間的關係, 本文白噪音的機率分配假設為 normal skew-normal Student t skew-t EPD SEPD AEPD 等七種分配, 以最概似法參數估計, 並以概似比檢定 (likelihood ratio test, LR test) 虛無假設 M : ˆθ = θ 雖然 EPD 分配在參數 p = 與 Student t 分配自由度 ν 時, 皆收斂至常態分配, 但在兩者皆為厚尾分配時 (EPD 分配參數 p < ), 機率分配是不同的型態 t 分配一族 Skew t M 1: λ= 0 t M : ν M 6: p = Skew Normal M 8: α= 0.5 Normal EPD 分配一族 AEPD M 4: p1 = p = p M 5: α= 0.5 SEPD EPD 圖 4: Student t 分配一族與 EPD 一族關係圖 M 7: p = 14

4 Student t 分配一族 Student t 分配為最廣泛使用的厚尾分配, 其機率密度函數表示如下 f(x) = Γ( ν+1 ) πνγ( ν ) ) ν+1 (1 + x ν (14) 為了更符合白噪音期望值為 0 變異數為 1 的要求, 在此我們採用標準化 t 分配, 其機率密度函數表示如下 f(x) = Γ( ν+1 ) ) ν+1 (1 + x π(ν )Γ( ν ) ν (15) Hansen (1994) 提出一般化的 Student t 分配, 增加一不對稱參數 λ, 一般 稱之為 skew-t 分配 機率密度函數表示如下 其中 ( bc ( bx + a ν 1 λ f(x) = ( bc ( bx + a ν 1 + λ a = 4λc ( ) ν ν 1 ) ) ν+1 ) ) ν+1, b = 1 + 3λ a, c = if x < a b if x a b Γ ( ) ν+1 π(ν )Γ ( ) ν (16) skew-t 分配期望值為 0, 變異數為 1, 參數 ν 為自由度 若 λ > 0 時, skew-t 分配為右偏分配 ; 若 λ < 0 時, skew-t 分配為左偏分配 ; 若 λ = 0, skew-t 分 配退化為標準化的 t 分配 ; 若 λ = 0 且 ν, skew-t 分配退化為標準常態 分配 以最概似法參數估計, 對數概似函數為 l(θ; r) = T { ( )} rt µ t ln h t + log f y h t β t=1 15

5 其中 β = (ν, λ), f y ( β) 為 skew-t 分配機率密度函數 因此白噪音假設為 t 分配一族, 風險值估計為 V ar = ˆµ t + ˆσ t F 1 (α) (17) 其中 F 1 為 skew-t 分配的分量函數 ( ( ) ) 1 ν u (1 λ) G 1 F 1 b ν 1 λ ; ν a (u; ν, λ) = ( ( ) ) 1 ν u + λ (1 + λ) G 1 b ν 1 + λ ; ν a if 0 < u < 1 λ if 1 λ u < 1 G 1 為 Student t 分配自由度為 ν 的分量函數 EPD 分配一族 EPD 分配又稱為 generalized error distribution (GED) 或 generalized laplace distribution, 4 機率密度函數表示如下 其中 K EP (p) = f(x) = 1 σ K EP (p) exp 1 p 1/p Γ(1 + 1/p) ( 1 p x µ σ p) (18) EPD 分配參數 µ = E(x) = Med(x), σ = (E x µ p ) 1/p, 在此, 我們使 用標準 EPD 分配 ( 令 µ = 0, σ = 1) 標準 EPD 分配當 p > 時為細尾分 4 一般常見的 GED 分配函數型式表示如下 p ( g(z) = 1+1/p λγ(1/p) exp 0.5 z p ) λ 其中 ( /p ) Γ(1/p) λ = Γ(3/p) GED 分配可視為將標準 EPD 分配標準化後, 使其期望值為 0, 變異數為 1 16

6 配 ; 當 p < 時, 為厚尾分配 ; 當 p = 時, 標準 EPD 分配退化為標準常態 分配 ; 當 p = 1 時, 標準 EPD 分配退化為拉普拉斯分配 (Laplace distribution) Zhu and Zinde - Walsh (009) 提出更為一般化的 EPD 分配, 稱之為 asymmetric exponential power distribution (AEPD), 其機率密度函數表示如下 ( ) ( α 1 α f(x) = σ K EP (p 1 ) exp 1 x µ p 1 ) p 1 α σ if x < µ ( ) ( 1 α 1 1 α σ K EP (p ) exp 1 x µ p ) (19) p (1 α )σ if x < µ 其中 K EP (p) 與 EPD 分配定義相同, α = αk EP (p 1 ) αk EP (p 1 ) + (1 α)k EP (p ) 若 AEPD 參數 p 1 = p = p 時, AEPD 退化為 skewed exponential power distribution (SEPD), 5 機率密度函數表示如下 ( 1 σ K EP (p) exp 1 x µ p) p ασ f(x) = ( 1 σ K EP (p) exp 1 x µ p) p (1 α)σ if x < µ if x µ 若 SEPD 參數 α < 1 時, 為右偏分配 ; 若 α > 1 時, 為左偏分配 標準 AEPD 分配 (µ = 0, σ = 1) 期望值與變異數為 E(x) = 1 [ (1 α) p Γ(/p ) B Γ (1/p ) p ] 1Γ(/p 1 ) α Γ (1/p 1 ) V ar(x) = 1 { B (1 α) 3 p Γ(3/p ) Γ 3 (1/p ) α3 p 1 Γ(3/p 1) Γ 3 (1/p 1 ) [ (1 α) p Γ(/p ) Γ (1/p ) p ] } 1Γ(/p 1 ) α Γ (1/p 1 ) (0) 其中 B = αk EP (p 1 ) + (1 α)k EP (p ) 5 文獻上 SEPD 有許多種函數型態, 但透過函數轉換仍可得到一致的結果, 本文採用 Zhu and Zinde - Walsh (009) 的型式 17

7 雖然標準 AEPD 分配不保證期望值恆等於 0, 變異數恆等於 1, 若直接以 標準 AEPD 分配配適, 並不滿足白噪音的要求, 但其期望值與變異數為參數 α, p 1, p 的函數 因此參數估計時可透過標準化的動作, 使白噪音仍滿足期望 值為 0, 變異數為 1 以最概似法參數估計, 對數概似函數為 l(θ; r) = T ( {ln δ ln h t + log f y ω + δ r )} t µ t h t β t=1 其中 β = (α, p 1, p ), f y ( β) 為 APED 分配機率密度函數, ω = ω(β) 為 AEPD 分配的期望值, δ = δ(β) 為 AEPD 分配的變異數 因此白噪音假設為 EPD 分配一族, 風險值估計為 V ar = ˆµ t + ˆσ t H 1 (α) (1) 其中 H 1 為標準 AEPD 分配的分量函數 ( ( ) ) 1 ν u (1 λ) G 1 a H 1 b ν 1 λ (u; α, p 1, p ) = ( ( ) ) 1 ν u + λ (1 + λ) G 1 a b ν 1 + λ G 1 為 Gamma 分配的分量函數 if 0 < u < 1 λ if 1 λ u < 1 18

8 3.3 模型配適 本節以對數概似值 (log-likelihood value, L) AICC 及 BIC, 比較白噪音在 不同分配假設下模型整體配適程度 AICC = L + T (k + 1) T k BIC = L + k ln(t ) T 另外針對白噪音分配進行檢定, 理論上若白噪音為某一分配, 估計出的標 準化殘差應與該分配一致 在此, 我們採用 Kolmogorov-Smirnov (KS) test 與 QQ-plot 檢驗標準化殘差與理論分配是否一致 Kolmogorov-Smirnov test KS test 為無母數方法, 透過比較樣本資料與理論分配機率密度函數的差 距, 來檢定樣本資料是否服從該分配 在此, 我們利用 KS test 檢定標準化殘 差與白噪音設定的分配是否一致 實證分配 F n (x) 定義為 F n (x) = 1 n n i=1 I Xi x 在給定特定分配的累積機率密度函數 F (x) 下, KS test 檢定統計量為 在虛無假設為真情況下 D n = sup x F n (x) F (x) 其中 B(t) 為 Brownian bridge ndn sup B(F (t)) () t 由於 KS test 檢定統計量不是標準的分配, 雖然絕多數的統計軟體皆內 建常用的機率分配, 但特殊的機率分配 ( 如本文使用的 skew-t 分配 AEPD 分 配 ) 仍無法直接得到其 p-value, 因此本文採用兩樣本的 KS test 19

9 所謂兩樣本的 KS test 則是透過比較兩樣本資料機率密度函數的差距, 來 檢定此兩樣本資料是否取自相同母體 其檢定統計量為 在虛無假設為真情況下 D n1,n = sup F n1 (x) F n (x) x n1 n D n sup B(F (t)) (3) n 1 + n t 以下列步驟實行兩樣本 KS 檢定 步驟 1 產生 T 個 0 到 1 之間的等差數列, U = { } T i, U [0, 1] T i=1 步驟 將 u i 代入欲檢定分配的分量函數 x i = F 1 (u i ˆθ) 步驟 3 使用兩樣本的 KS test, 在虛無假設為真情況下, 當 T 時, 第 (3) 式會收斂到第 () 式 QQ-plot KS test 雖然可以幫助我們檢定樣本資料是否服從某一特定分配, 但風險值著重在分配的尾端, KS test 卻無法提供這方面的資訊 因此我們再透過 QQplot, 觀察標準化殘差與設定的分配在尾端的差異 首先將標準化殘差排序, 得到排序後的樣本資料, 再與欲比較分配對應的分量繪製成 QQ-plot QQ-plot 中直線代表的該特定分配的理論分量, 若樣本分量與理論分量重合, 表示樣本與認定的分配一致 而在 QQ-plot 的左半部, 若樣本分量低於理論分量, 表示樣本分配左尾較該特定分配厚尾 ; 若樣本分量高於理論分量, 表示樣本分配左尾較該特定分配細尾 QQ-plot 的右半部則呈現相反的狀況, 若樣本分量高於理論分量, 則樣本分量右尾較理論分量厚尾 ; 若樣本分量低於理論分量, 表示樣本分配右尾較該特定分配細尾 0

10 3.4 回溯測試 (Back-testing) 回溯測試為利用真實樣本資料與預測的風險值做比較, 檢定模型預測風險值的可靠性 本文透過一步預測法, 以樣本外預測的結果來檢定白噪音在不同分配假設下, 真實資料穿透出估計風險值的比例與預期是否相等 若穿透率與預期穿透比例相近, 則認為估計的風險值具有可信的預測能力 Unconditional Converage Test Kupiec (1995) 提出以概似比檢定估計出的風險值是否正確, 假設過去 T 期 內樣本資料穿透風險值的次數為 n = T t=1 I t, I t 為指標函數, 若 r t < V ar t 時, I t = 1 ; 若 r t V ar t 時,I t = 0 因此樣本穿透次數可視為一柏努力試驗, 服從二項分配 虛無假設 檢定統計量為 LR UC = [ ln ( (N T P (x) = n p x (1 p) n x x H 0 : ˆp = p v.s. H 1 : ˆp p ) N ( 1 N T ) T N ) ( ln p N (1 p) T N)] (4) 在虛無假設為真條件下, LR UC χ (1) Conditional Converage Test 由於 Unconditional Converage Test 檢定僅針對穿透率是否與預期相等, 未 考慮到兩相臨時間點穿透率是否獨, Chridtofersen (1998) 提出聯合檢定 1

11 1 穿透率與預期相等 ˆp = p 穿透率各期之間為獨 π = π 01 = π 11 檢定統計量為 [ ( LR CC = ln p N (1 p) T N) ] + ln((1 π01 n00 ) πn01 (1 πn10 11 ) πn11 ) (5) 其中 n ij 為前期狀態為 i 時, 當期狀態為 j 的樣本個數 ; π ij 為前期狀態為 i 時, 當期狀態為 j 的比例 在虛無假設為真條件下, LR CC χ () 圖 5 為分別以靜態預測 (Variance-Covariance 模型 ) 與動態預測 (GARCH 模型 ) 估計在 DGP 為 GARCH (1,1) 左尾 0.05 的風險值 6 靜態預測所估計 的風險值為平坦的直線, 對波動的適應性較差 ; 動態預測所估計的風險值則隨 時間改變, 雖然兩者 Unconditional Converage Test 皆不拒絕虛無假設, 但靜 FIGURE 1 態預測在 Conditional Converage Test 拒絕虛無假設, 表示各期之間穿透率不 GARCH(1,1)-NORMAL PROCESS WITH ONE-STEP-AHEAD, LOWER 5% CONDITIONAL AND UNCONDITIONAL INTERVAL FORECASTS 是獨, 而且穿透的點部分皆集中在高波動的時期 Unconditional Forecast GARCH Conditional Forecast 圖 5: Unconditional Forecast 與 Conditional Forecast NOTE: The line labeled GARCH is a realization of 500 portfolio returns from a GARCH(1,1)-normal data-generating process. The variance dynamics are characterized as h t+1 = ε t h t, which imply an unconditional variance of 1.5. The unconditional interval forecasts are based on the unconditional N(0,1 1 / ) distribution, and the conditional interval forecasts are based on the true data-generating process. Although both forecasts exhibit correct unconditional coverage with 5 exceptions (that is, α* = α = 5%), only the conditional confidence intervals exhibit correct conditional coverage or, in other words, provide 5% coverage at each point in time. Evaluation of VaR estimates using regulatory loss functions. The loss function evaluation method proposed here is based not on a hypothesis-testing framework, but on assigning to VaR estimates a numerical score that reflects specific regulatory concerns. Although this method forgoes the benefits of statistical inference, it provides a measure of relative performance that can be used to compare VaR estimates across time and across institutions. To use this method, the regulatory concerns of interest must be translated into a loss function. The general form LOPEZ / METHODS FOR EVALUATING VALUE-AT-RISK ESTIMATES 7 where f(x,y) and g(x,y) are functions such that f(x,y) g(x,y). The numerical scores are constructed with a negative orientation; i.e., lower values of C mt+1 are preferred since exceptions are given higher scores than non-exceptions. Numerical scores are generated for individual VaR estimates, and the score for the complete regulatory sample is 50 C m = C mt+ i. i=1 Under very general conditions, accurate VaR estimates will generate the lowest possible numerical score. 9 Once a loss function is defined and C m is calculated, a benchmark can be constructed and used to evaluate the performance of a set of VaR mt estimates. Although many regulatory loss functions can be constructed, the three analyzed in this paper are described below. Loss function implied by the binomial method. The loss function implied by the binomial method is C mt+1 = 1 if ε t+1 < VaR mt. 0 if ε t+1 VaR mt Note that the appropriate benchmark is E[C mt+1 ] = 0.01, which for the full sample is E[C m ] =.5. As before, only the number of exceptions is of interest, and no additional information beyond that contained in the binomial method is included in this analysis. 6 圖 5 摘錄至 Lopez (1999), DGP 為 GARCH (1,1), 參數 h t+1 = ε t h t Loss function analogous to the adjustment schedule for the S mt multiplier. The numerical score assigned to a set of 50 VaR estimates can be generated by assigning a score to each element of the set or by assigning a score based on the entire set. The adjustment to the S mt multiplier embodied in the MRA is based on the entire set of VaR estimates. Phrased in the notation above, the loss function that generates an analogous numerical score is 0 if ε t +1 VaR mt 0 if ε t +1 < VaR mt and 0 < x / 5 if ε t +1 < VaR mt and x = / 6 if ε t +1 < VaR mt and x = 6 C mt +1 (x) = 0.65 / 7 if ε t +1 < VaR mt and x = 7, 0.75 / 8 if ε t +1 < VaR mt and x = / 9 if ε t +1 < VaR mt and x = 9 1/ x if ε t +1 < VaR mt and x 10

12 3.5 損失函數 (Loss Function) 回溯測試雖然可以檢定樣本資料穿透以不同模型估計風險值的機率是否與預 期相符, 但在風險管理的角度, 我們能希望可以找到在通過回溯測試的模型中, 使損失最小的模型 目前仍沒有公認最佳的方法可以判斷各種模型下估計出 的風險值何者為最佳 因此我們採用 Lopez (1999) 提出的損失函數, 一般化 的型式表示為 f(r t+1, V ar t+1 ) if r t+1 < V ar t+1 C t+1 = g(r t+1, V ar t+1 ) if r t+1 V ar t+1 其中 f(x, y) 與 g(x, y) 可以為任意函數形式, 只要滿足 f(x, y) > g(x, y) 即可 Lopez (1999) 提出二次方形式的損失函數 1 + (r t+1 V ar t+1 ) if r t+1 < V ar t+1 C t+1 = (6) 0 if r t+1 V ar t+1 Blanco and Ihle (1999) 則建議採用比例形式的損失函數 r t+1 V ar t+1 if r t+1 < V ar t+1 C t+1 = V ar t+1 (7) 0 if r t+1 V ar t+1 損失函數的概念是當樣本資料穿透風險值, 則給予一個正的分數, 損失函 數的和愈, 表示導致的損失愈 觀察損失函數設定的形式, 損失函數的缺 點 ( 同時也可視為優點 ) 在於以不同方法估計出的風險值, 會傾向給予較為保 守的方法較低的分數, 但這也較符合風險管理的角度 我們先透過回溯測試挑選出可接受的模型, 再透過損失函數來決定最合適 的模型 3

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