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1 使用柯西曲線轉換後之門診與人口分佈探討空間相關係數 Using Cauchy Transform to Detect the Spatial Correlation of Clinic and Population Distribution 夏大明洪錦墩陳淑雯 Dah-Ming Shiah 1 Chin-Tun Hung 2 Shu-Wen Chen 3 摘要 醫療資源的空間分佈是否理想, 是一個複雜的問題, 其中最關鍵的因素是如何表示醫療供給與醫療需求之間的關係, 至今在空間統計或空間分析中, 討論如何將空間資料轉換成統計資料, 然後可以用一般的統計相關係數計算, 用以表示兩類形之點資料在空間分佈之相關性高低者尚不多見 本研究主要探討此問題, 並提出一個以柯西曲線分配 (Cauchy Distribution) 為基礎的空間擴散模型轉換的方法, 使得一般統計中的相關係數足以代表空間中的相關性, 以台中市之門診醫療資源與人口分佈點做為範例, 以實證其可行性 在方法上是以空間自相關 (Auto Correlation) 與可變網格採樣問題 (MAUP) 這兩個觀點, 就二者間之矛盾與關聯, 以大量的實證資料佐證, 嘗試證明科西曲線與點在相關係數比較上, 科西曲線較趨近於一般的認知 關鍵詞 : 區位研究, 空間相關係數, 空間自相關, 可變網格採樣問題 ABSTRACT Medical resources distribution in space is a complicate problem regard to equity. The key factor is how to interpret the relation between medical resource, also called supply, and user, demand. Currently, not much focus on transferring spatial point data into space grids and then uses correlation coefficient to measure the correlation. In this study we suggest by using Cauchy Distribution as the transfer tool and using Taichung City as the study area to prove its feasibility. We discuss the conflicts and connection between Auto-Correlation and MAUP to prove that the Cauchy Distribution did provide better result. Keywords:Location, Spatial Correlation, Spatial Auto-Correlation, MAUP 1 中臺科技大學護理系兼任講師 2 中臺科技大學醫管系副教授 3 中臺科技大學護理系講師通訊作者

2 背景與問題 以全臺各縣市來說, 依據行政院衛生署民國 95 年醫療機構現況及醫療服務量統計摘要中 (http://www.doh.gov.tw/statistic/data/ 醫療服務量現況及服務結果摘要 /95 摘要表 / 表 10.xls,2007/08/03), 其中 表 10: 醫療院所每萬人口醫事人員數 - 按縣市別分 所記載, 臺中市每萬人之醫師數為 人, 遠高於全臺之平均數 人, 也遠高於臺中縣的 11.32, 是全臺第二高之縣市, 僅次於臺北市之 人 這代表臺中市的醫師資源充裕, 但是否因此而提供了更公平的醫療資源分配, 或是有局部的醫療資源浪費或甚至不足的情況, 在統計資料中卻是無法得知 要偵測此不公平的現象, 在傳統的作法上, 是運用地理資訊套裝軟體中的主題圖的方式, 如 Mapinfo, 在有限的條件下, 使用所給定的指數次方函數, 將點的空間相關性分散至四周之指定半徑範圍內, 計算出點的影響範圍, 再以重疊部分相加的方式, 成為一個平滑的曲面, 藉此看出高低的差異性, 但是此作法在比較兩種以上之點分佈時, 卻又受到套裝軟體所限制, 必須要以圖形同時展示兩種曲面, 無法實際計算出指定區域內之差異, 尤其是當二種的點資料數量相差很大時, 更容易造成解讀能力太差, 而無法明確的判斷二空間分佈之差異 如果門診的分佈, 在空間上是與人口的分佈有高度的一致性, 在可接受的誤差條件下, 應該可以說台中市提供了公平的醫療資源, 但是此高度的一致性在沒有明顯差異的區域內, 是否會有人口過多而醫師不足, 或相反的情況產生? 這類的問題有許多研究嘗試回答, 但是大多以足與不足的觀點出發, 也就是只考慮兩類點資料中數量較少者之空間影響, 而忽略另一個點類別資料應該有的空間影響, 例如 Catchments(Lou, et al.,2003;2004;2005) 在討論類似的問題時, 有兩個觀賞經常被提出並質疑, 也就是空間自相關 (Auto-correlation) 與可變網格採樣問題 (MAUP), 雖然此二者均沒有堅實的理念基礎, 只是一般性的認定或假設條件, 因此, 本研究將以此二觀點, 配合研究區域台中市之門診點與地址點, 以不同的網格大小分析與計算, 經過轉換後的空間點分佈, 如柯西分配曲線, 其相關係數較接近於一般的認知 也就是本研究嘗試將兩類型的點資料, 同時的考慮其各別的空間影響力, 以空間資料轉換之方式, 再以統計中一般人所熟知的相關係數計算, 表示二者之相關性, 或二者之差異性, 如此可以讓對空間問題較陌生的醫療管理研究, 可以有更標準的操作方法與工具進行更深入的醫療資源公平性研究 空間自相關 (Spatial Auto-Correlation) 主要是想回答一個空間的一般認知現象, 也就是空間的物件中, 靠近的物件影響力會比較遠的物件要大, 但是這種概念還無法以幾何語言完整的表達 (Anselin, 1988), 也就是說此一現象存在於人們的認知概念中, 但是卻無法完整的或明顯的表達出該如何的運算或處理, 可以說還處於尚未被科學證實的感覺階段, 但卻是常常被引用於處理空間問題的質疑上, 造成空間方法研究上的重大阻礙 另外, 一般在網格狀空間比較時,Pearson s Correlation Coefficient 是普遍被接受, 認為可以比較兩群資料之相關性, 但是此做法會受 MAUP 所影響, 同時也會受到 Spatial Auto-Correlation 所影響 在 MAUP 中, 認為採樣空間越大, 平均值及變異數會趨近於穩定, 相關係數也會越來越高 Armhein(1995), 此一論點事實上只解釋了部份的問題, 對採樣空間越大, 相關係數會趨近於 1, 且對採樣空間越小, 相關係數會趨近於常數, 這一現象則並未發現, 本研究除嘗試提出更完整的 MAUP 問題並證明此現象如下外, 也將提出轉換方法, 用以迴避所謂的 MAUP

3 採樣空間在極端值時, 相關係數會趨於穩定之現象, 可以用以下的範例解釋與證明, 就可以了解其影響之問題所在 假設在一定的研究區域內 V, 所有網格採樣點 i, 各類型內之點均無重疊, 但不同類型之點可以重疊, 也就是本研究中門診點 (xi V) 可以是地址點 (yj V), 但反之未必然 在相關係數的計算公式, 普遍所使用的是 Pearson s 的公式 rxy=σ(xi-x - )(yj-ȳ)/[(n-1)sxsy] =[nσxiyj-σxiσyj]/[ nσxi 2 -(Σxi) 2 nσyj 2 -(Σyj) 2 ], (i, j) n 如果如前述本研究之假設可以成立的話, 引用碎形理論中空間無限的概念, 以縮小採樣之網格面積的方式, 直到任何一個採樣用的網格內, 只包含每類別點資料中最多一個點資料, 如此改變採樣大小的作法, 事實上觸碰到 MAUP, 成為空間分析中較困難, 且尚未解決之問題 當符合前述的採樣網格大小可以被決定後, 會變成空間分佈的一個特例, 因為每一採樣的網格中, 對每一類別的點資料, 只有 0 與 1 的樣本數, 也就是只有一個樣本或是沒有樣本, 因此, 我們可以發現 Σxiyj=Σxi Σxi Σyj Σxi 2 =Σxi xi {0,1} Σyj 2 =Σyj yj {0,1} 經過替換與簡化後, 相關係數的計算公式可以改寫成 rxy=[ Σxi * n-σyj] / [ Σyj * n-σxi], (I, j) n 再假設如果採樣用的網格面積變小, 而研究範圍不變時, 採樣的格子 n 會變的很大,{n>>(i,j)}, 此時公式又可以簡化為 rxy= Σxi/Σyi, (i, j)<<n 也就是說當空間分析以網格採樣時, 當網格小到任何相同大小的採樣格子內, 最多只有一個或更少的樣本時, 使用一般統計的相關係數公式, 會得到一個常數, 而且此常數是這兩類資料數量比的開更號值 再者, 由於 {n (i, j)} 的條件, 統計的相關係數公式會產生隨 n 值變小, 而相關係數隨之變大, 以至於收斂至常數 1 的現象 ( 見圖 1), 如此, 違反了使用者對統計相關係數的基本認知 由此可知, 傳統的空間資料, 如果以網格採樣的方式, 直接進行統計相關係數分析, 可能會產生非預期的結果 當然, 在統計中常以信度與效度來加以限制, 使得樣本數過少之採樣, 其相關係數變得不穩定之問題得以迴避, 也就是相關係數其實應該代表二數列之相關性, 此相關性在資料量大到一定的程度的時候, 其相關係數不應受採樣方式的影響, 而應該維持在一個較小的範圍內變動, 使用者才能說此二資料是否有相關性, 但前述已證明統計的相關係數, 在網格採樣不同時, 會收斂至可預見的極大極小值, 在極大與極小值之間, 似乎是以一線性的曲線連續現象 ( 見圖 1), 並未有在一個較小的範圍內變動之趨勢, 違反了一般對相關係數的認知與信賴 這類的問題在 MAUP 中經常被提及, 但未見任何的實證或是解決的方法, 也許是因為在極大與極小的採樣格子, 會產生樣本過多, 導致現有的地理資訊套裝軟體無法負荷, 而必須要轉為客製軟體, 導致大部份的研究無法如本研究般的深入 本研究即基於前述之問題提出解決的方法, 並以台中市為界, 嘗試以柯西曲線 (Cauchy Distribution) 為平均之空間分佈曲線, 找出小區域門診醫療資源的供

4 需失恆位置與整體分佈狀況 如前所述 Pearson s Correlation Coefficient 是可以比較兩群資料之相關性, 普遍被接受與了解, 但是受 MAUP 所影響, 也受 Spatial Auto-Correlation 所影響, 如何排除此二影響, 又能以 Pierson s Correlation 來代表空間中兩群點分佈之相關性, 是本研究之另一個重點重點 本文除問題與背景的闡述外, 第二部分是相關的文獻回顧, 再者是研究範圍內所使用各項資料的介紹, 之後是空間資料轉換法, 最後是結論與討論與參考文獻 文獻回顧 本研究所探討之問題, 屬於基礎類的研究, 使用到的相關領域較廣, 本文將討論 MAUP Spatial Auto-Correlation 碎形理論及 Catchments 等 MAUP (Modifiable Area Units Problem) 可調整地區單元問題, 主要是論述地理現象在分格區分後, 其運算結果會隨著最小空間單元 (scale effect) 以及加總方式 (aggregation effect 或稱 zonation effect) 之不同, 而得到不同的結果 根據 Nakaya(2000) 之回顧,MAUP 最早是由 Openshaw and Taylor(1979) 所提出,Openshaw and Taylor(1981) 以及 Wong(1996), 均有完整的回顧 Armhein(1995) 認為採樣空間越大, 平均值及變異數會趨近於穩定, 相關係數也會越來越高, 因為在大的採樣空間裡, 個別點資料會被較多的其他樣本所均化, 喪失其特殊性 此一論述並未解釋採樣空間大小, 極端值的情況會產生甚麼樣的影響, 而且本文也證實在特定情況下, 採樣空間極大與極小均會造成收斂與穩定, 相關係數自定值漸增至 1, 當採樣空間自最小到最大所造成的收斂與穩定現象, 似乎與特殊性較無關係 空間統計在學術界似乎並未有適當的定位, 許多的研究引用空間統計一詞, 但卻未給予適當的定義, 如 ( 溫國忠,2006; 陳艷芬等,2005; 藍儀芳等,2005) 有適當定義之研究較少, 且散見於少數特定研究領域中, 如在水文學研究中較常見的方法有算數平均法 徐昇氏多邊形法 反距離權重法以及克利金法 ( 楊政潭, 2003) 林文苑 (2000;2004) 則指出, 空間統計方法為空間分析方法 (Spatial Analysis Techniques) 的一種, 一般而言空間分析方法可分為模型導向 (Modeldriven) 與資料導向 (Data-driven) 兩大類 (Anselin, 1988), 此一空間統計方法的特性, 可以彌補傳統統計方法中, 無法充分反映出資料的空間分佈屬性的問題 空間自相關 (Spatial Auto-Correlation) 之相關研究較為完備, 空間自相關主要是想回答一個空間的一般認知現象, 也就是空間的物件中, 靠近的物件影響力會比較遠的物件要大, 但是這種概念還無法以幾何語言完整的表達 空間自相關中 Moran's I (Cliff & Ord,1973) 與 G statistics (Getis & Ord,1992;1995) 屬於分析全區 (Global) 的空間統計方法, 而 Gi statistics (Getis & Ord,1992; 1995) 與 Local Moran (Anselin,1995) 是屬於分析各分區 (Local) 的空間統計方法 由以上回顧可知, 現今的空間統計研究, 專注在空間聚集現象的判斷, 並未提及空間相關的問題 碎形 (fractal) 是指具有自相似特性的現象 圖像或者物理過程等 碎形學誕生於 1970 年代中期, 屬於現代數學中的一個分支 碎形學的創始人是具有法國和美國雙重國籍的曼德勃羅, 他在 1982 年出版的 大自然的碎形幾何學 (The Fractal Geometry of Nature) 是碎形學的經典著作 (FRACTAL-Wikipedia) 碎形一般有幾個特質 : 一 碎形有無限精細的結構 二 碎形難以用傳統的幾何語言來描述 三 碎形有統計的或近似的自相似的形式 四 碎形的維數大於其拓撲維數 五 碎形可以由簡單的方法定義, 例如迭代 由此可知, 碎形理論創造出沒有極限的空間無限大與無限小概念, 這點可以做為本研究之假設與認定之一,

5 本研究中採樣網格也沒有無限大小的限制, 端視採樣資料最後的數量與電腦處理的能量 FCM(Floating Catchments Method), 近年來被運用於醫療資源可及性之研究,Lou(2004) 以及 Lou 與 Wang(2003;2005) 運用 GIS, 以該方法估計芝加哥地區醫生短缺現象, 並能說明跨邊界潛在病患與醫生相互作用 夏大明等 (2005) 指出 FCM 是一個較新的研究方向, 以供給面 (Clinic) 與需求面 (Client) 兩方面, 先界定各自對醫療行為的需要與距離間的關係, 然後在空間上計算特定距離下, 供需間的關係與比例, 做為供需不協調的判斷依據 FCM 是 GIS 中的一種較特殊的做法, 不容易在其他領域中發現, 但是它只對醫療設施進行服務範圍的界定, 並未對供給的人口做任何的空間轉換, 並且該研究也受到資料精細程度影響, 無法滿足運算的要求, 以至結果較粗略 由前述之回顧可以發現, 空間上的分析發展至今, 還是停留在以圖形展示結果, 並由主觀的對圖的判讀, 呈現研究的結果, 這種做法往往造成不同個體解讀不同的困擾, 如何避免這種狀況, 在難以用幾何語言表達的圖形結構中, 尋找出適當且易懂的方法, 足以充分的表達對一的複雜的空間結構, 不產生偏移或誤導之解釋 資料處理介紹 本研究所使用之資料, 在空間資料部份, 主要是使用台中市 2000 年所完成的航照 GIS 電子圖檔, 使用其中之地址圖檔 道路中心線圖檔與市界圖檔, 其中將原始之地址檔 371,716 筆資料中重疊的點刪除, 以符合本研究之要求, 此獨立地址點圖約 132,196 筆 依據台中市民政局民國 95 年人口統計資料, 台中市所列之總人口數為 1,044,392 人, 戶數為 353,682 戶, 因此每戶之人口數約為 2.95 人, 因此, 落於每一獨立地址點之戶數為 2.68 戶, 人數為 7.9 人, 如果以原始之地址點, 則每一地址點之戶數為 0.95 戶, 人數為 2.8 人 另外台中市各門診地址資料取自中央健康保險局民國 94 年之健保特約醫事機構資料庫, 僅收錄其中分類為門診之項目, 在將其中之地址文字資料, 由本研究自行數化為門診點圖檔, 共 1,312 筆資料點, 其位置符合本研究之要求 依據行政院衛生署民國 95 年醫療機構現況及醫療服務量統計摘要中, 台中市共有約 2,763 位醫師, 因此平均每一門診含有 2.1 位醫師, 每位醫師平均服務台中市內之 378 人口, 每一門診點平均服務台中市內之 796 人口, 也等於約 100 點獨立地址點, 或約 284 點原始地址點 在採樣網格製作時, 是使用 Mapinfo 所附屬之 GRADMAKR.MBX 執行, 採樣的間格自 2M 5M 10M ~90M 間隔 10M 100M~3,000M 間隔 100M 3,500M~10,000M 間隔 500M, 共 53 組不同大小的網格樣本, 其樣本數與平均數如表 1 所示 表 1: 不同採樣網格之基本敘述 採樣距離 樣本數 獨立地址點平均數 門診點平均數 獨立地址點與門診點相關係數 2 40,361, ,464, ,982, , , , , , , , , , , , , ,

6 , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , 資料來源 : 本研究統計 由表 1 中在採樣距離是 2 公尺時, 可以達到本研究所要求之每一網格中只有最多一的獨立地址點之現象, 而其樣本數高達四千萬筆, 每一樣本之獨立地址點平均數僅 , 而門診點平均數更只有 , 可以認定在 2 米的採樣結果, 其樣本數是相對極大 此距離下所產生之採樣結果, 獨立地址點與門診點之相關係數為 , 極接近本研究在前言中所預測之 , 證明前言中公式推導之論點是正確的 雖然極端值在網格最小時, 並沒有被其他研究所證明, 但是許多研究也指出, 網格愈大會影響相關係數的可靠程度, 圖 1 2 中也證實了這件事 相關係數 r 門診點與獨立地址點之相關係數因網格大小之變化 門診點與獨立地址點之相關係數 採樣網格大小距離 M 圖 1: 門診點與獨立地址點之相關係數因網格大小而產生之變化樣本圖 1.00 相關係數 r 門診點與獨立地址點之相關係數因網格大小之變化散佈圖 ,000 9,500 9,000 8,500 8,000 7,500 7,000 6,500 6,000 5,500 5,000 4,500 4,000 3,500 3,000 2,500 2,000 1,500 1, 門診點與獨立地址點之相關係數採樣網格大小距離 M 圖 2: 門診點與獨立地址點之相關係數因網格大小而產生之變化散佈圖 當採樣網格變大的時候, 相同的獨立地址點與門診點之相關係數會隨之變大, 自表 1 與圖 2 中也可以發現, 當樣本數小於 28 時, 也就是採樣網格大小為 3,500 米以上時, 其相關係數非常的接近於 1, 似乎並不合乎對相關係數的認知, 即使在 1,900 米以下, 其採樣數大於 100, 較符合統計中最低樣本數量之要求 ( 如果最少樣本數高於 300 個的時候, 可以採用 1,000 米以下之網格 ), 其相關係數也高達 0.94 (1,000 米時為 0.9), 也可以看的出收斂至 1 的趨勢 另外, 相關係數會隨樣本數減少而曲線增加 ( 見圖 2), 也證明其無法直接用來敘述空間的相關性 在平均數方面, 由表 1 中可以看出, 當網格之採樣距離變化時, 各樣本的平均數僅是隨網格之

7 採樣距離變大而變大, 因為平均數中的分子為獨立地址點, 不會改變, 但是分母為採樣數, 會隨網格變小而增加, 這點似乎也與 MAUP 所指稱之平均數收斂的問題並不一致 由圖 1 與 2 中可以看出, 在水平軸方向所代表者為距離公尺, 在最左側當採樣距離小至 2 公尺時, 其相關係數接近於 0.1, 在最右側當採樣距離為 10,000 公尺, 也就是 10 公里時, 其相關係數極為接近於 1 以 10 公里為最大採樣距離, 是因為研究區域台中市最長的距離, 約為東西向之 22 公里, 而南北之距離只有約 16 公里, 以至要採樣更大的距離時, 容易產生樣本數太少的問題, 而無法計算相關係數 由以上之資料分析可以發現, 以一般的統計要求樣本資料數量在 100 以上 ( 或 300 以上 ) 之條件, 由圖 1 2 與表 1 可知, 相關係數的計算會有收斂至常數與趨近於 1 的現象, 而平均數則是依樣本數量而改變, 而樣本數量又是依採樣網格大小而改變 本研究認為平均數的改變是比較容易發現的現象, 一般人在統計操作時都會注意, 但是相關係數的操作, 則因為公式與空間的影響較為複雜, 容易誤導, 因為有必要加以改善, 在本研究所建議之柯西曲線轉換後, 再執行統計的相關係數之計算, 可以產生更趨近於一般認知的結果 此一般的認知, 在相關係數來說, 應該定義為在統計可以接受的最小樣本數以上, 如前所述之 100 或 300 左右, 空間點之網格採樣後之相關係數, 應該大部份落於一個 0 與 1 之間的一個部分, 而此部分的上下界範圍或是平均數值, 應足以代表此二類空間點位置分佈之空間相關性, 而唯一有直接影響相關係數結果者, 只有點在空間自相關中的分佈方式, 也就是分佈公式, 由此, 本研究建議下述之空間資料轉換法 空間資料轉換法 由前述論證相關係數兩端收斂至常數的現象, 違反了使用者對統計相關係數的基本認知, 本研究建議以下的轉換方法, 嘗試避免這類的問題產生, 使用者可以依資料或應用之需要, 將柯西曲線改為其他曲線 本研究所提出之空間資料轉換方法, 是將空間中相同點資料間, 因距離遠近所自然產生之相關性, 以線性遞減的假設, 也就是距離越遠影響愈小, 將此影響記錄在樣本區的每一網格內, 如此可以包含空間資料的 Spatial Auto Correlation, 並依以下敘述之最大的唯一樣本網格大小方式, 排除 MAUP 所帶來的問題 空間採樣的方式, 如果以碎形理論為依據, 可以認為空間中的面與體, 並沒有極大或最大, 以及極小或最小的問題, 所有空間的物件都是相對的大小 因為, 空間中的任何面或體, 皆可以無限的被切割或合併, 而不會碰觸到極限的問題 由碎形理論我們可以假設空間中同一種類之點樣本中, 任何兩樣本點可以有不重疊的特性, 只要網格大小能細小到一定的程度, 在最大可能唯一樣本網格大小下, 取得最大的網格大小, 使每一網格只有一個或更少的樣本存在 如此的假設如本研究之前言中所述, 是在採樣網格的極小值情況下分析, 使用最大可能的唯一樣本網格大小, 也就是再增加網格數量或是再減少網格面積, 也都不會再受到 MAUP 的影響, 如此, 事實上我們已避開了傳統相關係數會不穩定的網格大小區域, 而在極端小的網格採樣中處理 本研究假設以數學的方式表示本問題可以依下列之假設與條件為之, 在一定的研究區域內 V, 所有網格採樣點 i,j, 其中第一種類型之點為 xi ( 門診點 ), 第二種類型之點為 yj( 地址點 ), 而 i,j V, 且各類型內之點均無重疊, 不同類型之點可以重疊, 也就是門診點可以是地址點 門診點 xi 的資料中, 每一點的看診量或點的容量是均值且沒有差異的, 而地址點 yj 對就診次數或醫療產之生產量也是均值且沒有差異的, 地址點 yj 在就醫過程中只有道路距離之遠近問題, 沒有其他的問題, 而

8 且所有道路的使用狀況也視為均值沒有差異, 就醫過程中只能依道路的連接到達門診之地點 研究範圍內之二類型點資料, 其供給量或需求量在空間上的影響力分配, 是以柯西曲線為機率分配公式 柯西分配曲線 f(x), 是常態分配曲線外的一個統計中常用的曲線, 它的優點在於, 其極端值並未收斂至零, 符合空間自相關的假設, 再者, 其曲線較常態分配曲線平緩, 並隨距離愈遠而影響愈少, 因此經常被空間分析研究所引用, 或是拿來解釋常態分配不適合做空間分配之理由 其公式如下 f(x)=1/[sπ(1+((x-t)/s) 2 )] 其中 t 是位置的修正參數 (Location Parameter),s 是大小幅度修正參數 (Scale Parameter), 當 t=0 且 s=1 時, 其機率函數成為 f(x)=1/[π(1+x 2 )] 其曲線機率函數所包含的面積為 - f(x)=(1/π)arctan[(x-t)/s]+1/2 如果進一步假設, 柯西曲線所包含的面積, 是該門診地址點醫療設施的機率總合之容量, 則每一門診地址點需要醫療服務的人約 796 人, 如以獨立地址點代表約 100 點, 可以符合本文在背景與問題所論述之假設條件, 如以原始之地址點代表約 283 點, 則較符合研究區域實際的狀況 距離門診中心點之遠近, 引用空間自相關中空間物件之距離影響現象, 可以假設在柯西曲線上的高度, 即是使用該門診設施之可能性機率 此一假設也符合一般的認知, 即為當醫療的需求是較緊急時, 距離是優先的考慮, 因此門診點最近的四周, 使用該門診的機會最高, 但是如果醫療的需求較不緊急時, 則一般人可能會依個人偏好, 選擇與距離無關的門診 因為距離近者會使用附近門診之機率較高, 距離遠時較低, 也符合柯西曲線距離遠時, 機率明顯降低, 但不會收斂至零, 也就是不否定跨區使用門診醫療資源的習慣問題, 但其降低之趨勢為何, 本研究並未加以深入研究探討, 只假設為柯西曲線之模式 如果可以接受前述之假設, 則柯西曲線所包含的面積, 也是該門診醫療設施的容量, 則可以將此面積改為台中市平均每一醫師之服務範圍半徑, 再換算為台中市每一門診點之服務範圍半徑, 假設每一門診平均有 2.1 位醫師, 因此每一門診點約服務 796 人, 換算成地址點約 100 個獨立地址點 以此平均的門診容量, 計算最短路徑所圍成的凸面體, 並計算其平均的空間直線半徑, 就可以依此面積之半徑, 推估柯西曲線之平均高度 因此, 如果假設全市所有的門診均擁有與平均值相同的服務人口數量時, 則其差異只有門診點在空間分佈的位置問題, 可以用來做為均值狀況下之良好的分析工具, 因為只表達了空間位置的差異, 而不含其他的問題 也就是每一門診點都只表現其在平均時的應該使用的半徑, 或是標準化後之範圍, 如果有兩個門診有距離太近或過遠之狀況, 則必須要靠其間的地址點的分佈來平衡供需 因此, 在門診點的空間分佈上, 只顯示了門診點間之疏密, 此時柯西曲線的轉換, 只是將每一門診該有的平均服務人口數量, 以柯西曲線之機率分佈給空間上所有的採樣網格內 此外, 在人口地址點的分佈上, 同樣將其如前述之標準化, 就可以與前述之門診點標準化分佈做一比較, 找出相關性的係數, 或是每一個差異值較大的網格區域 人口的代表如果是以獨立地址點代表, 也是門診需求的供給者, 則使用與

9 門診點平均服務面積之 100 分之一, 做為每一地址點之空供給面積, 換算成半徑值計算其柯西曲線, 並將其供給量 7.9 人分配給四周所有的網格內 人口的代表如果是以原始地址點代表, 則使用與門診點平均服務面積之 284 分之一, 並將其供給量 2.8 人分配給四周所有的網格內 如同門診點, 標準化後之地址點供給機率, 其中只含有空間位置之問題, 並沒有每一點之特性 假設門診點所代表者為需求, 而地址點所代表者為供給, 在標準化轉換之後, 二者均只含有空間位置的問題尚未解答, 因此, 將此二空間分佈加以比較, 計算傳統的 Pearson s Correlation Coefficient 相關係數, 或是直接將減後產生供需差異之分佈, 就可以歸類出差異大與小網格的實際範圍, 如此標準化後之差異, 較能代表空間上兩類點分佈, 在位置上應該有的差異 由研究結果顯示, 以獨立地址點代表時, 每一門診點其服務範圍含蓋 100 個獨立地址點, 其面積平均值為 35,809.5 米平方, 最大為 1,084,470.9 米平方, 最小為 米平方, 變異數非常的大為 2,414,322,745, 顯示其服務範圍之面積大小差異極大 ( 圖 3) 如果以前述之面積平均值換算成正圓之半徑, 則可得半徑為 米, 若將柯西曲線所包含的面積, 換算成三角形之面積, 可得 5.4 米之影響高度, 此一參考高度, 可以視為是平均門診點在台中市空間分佈之最高點, 也就是中心點之位置 在柯西曲線的條件下, 當中心點之高度可以確定, 則該點之影響可依科西曲線分佈至不同之距離外, 也就是將其影響因素分佈於所有四周的網格內 因此, 此一轉換步驟, 可以將空間中的自相關因素, 以網格採樣的方式處理完成, 此一結果可以做為下一步統計中之相關係數計算所使用 如果以相同的假設, 但是將門診點改為獨立地址點, 並將中心點高度取門診點之 1/100, 則理想狀況時, 此二者之空間影響力分佈會極相近, 也就是每 100 個獨立地址點相加後, 會與門診點之影響力相同, 唯一的差異只剩下各點在空間中的分佈狀況差異 圖 3: 門診點含蓋與獨立地址點分佈圖 圖 4: 門診點含蓋與地址點分佈圖 以原始之地址點代表時, 每一門診點其服務範圍含蓋 283 個地址點, 其面積平均值為 68,886.9 米平方, 最大為 2,279,576.8 米平方, 最小為 1.2 米平方, 變異數非常的大為 17,037,832,328, 顯示其服務範圍之面積大小差異也非常大 ( 圖 4) 如果換算成正圓之半徑, 則可得半徑為 米, 若將柯西曲線所包含的面積, 換算成三角形之面積, 可得 7.5 米之影響高度 比較獨立地址點與原始地址點之差異, 可以發現相同的條件下, 此二者不重疊與有重疊地址點, 在服務範圍之面積之相關係數為 0.59, 由此可知, 本研究所推論之相關係數有極限之問題, 在獨立地址點時雖然可以成立, 但在原始地址點時卻不一定 若以平均數來觀察, 獨立地址點時平均數為 35,809.5 平方米, 標準差為 491,574.5, 每一門診服務範圍內平均含 85 點, 而在原始地址點時為 68,886.9, 以及 130,578.8, 每一門診服務範圍內平均含 257 點 平均數有 1.92 倍之差異, 低於地址點數之差 2.83 倍, 正好位於重疊與不重疊之中央, 顯示台中市之地址點有重疊與不重疊之分佈是平均的

10 由圖 5 中可以看出, 柯西曲線分佈前後相關係數之比較, 不論採樣網格距離為 2,000 或 1,000 米 ( 樣本資料量為 100 或 300), 可以發現其相關係數均介於於 0.7 與 0.1 之間, 尤其當採樣網格距離介於 400 至 2,000 之間時, 其相關係數在 0.7 與 0.2 之間變化, 如果以一般的 0.7 是可以接受的有相關數據, 則似乎可以代表此二類空間點資料的分佈, 其相關性並未如預期之高 但是以整體來看, 似乎以科西曲線轉換後之相關係數, 還是會隨網格大小變大而增加, 只是其增加幅度較沒有轉換時平緩許多 1.0 相關係數 r 採樣網格大小距離 M 柯西曲線分配前後門診點與獨立地址點之相關係數因網格大小之變化散佈圖 門診點與獨立地址點之相關係數門診點與地址點之相關係數 Cauchy 門診點與獨立地址點之相關係數 Cauchy 門診點與地址點之相關係數 圖 5: 柯西曲線分配前後門診點與獨立地址點相關係數網格大小變化散佈圖 若以柯西曲線轉換後之每一網格, 在供需差異上之數據, 以一倍的標準差做分割, 低於平均數加減一倍標準差做為過多或過少之標準, 如圖 6 7 所示, 因為受限於套裝軟體之限制, 圖 6 中是以 100 米網格大小之柯西曲線轉換, 做為成果之展示, 圖 7 中是以 800 米網格大小之柯西曲線轉換, 做為成果之展示 似乎過多與過少的數量很少, 分佈也大多靠近市中心, 且相當的零散, 無法看出明顯的趨勢, 在圖 6 7 中依視覺應該判斷應為高度相關, 這點確與前述圖 5 中柯西曲線轉換後之結果不合 這是否代表視覺圖形所代表的錯誤, 或是曲線轉換的不適當, 在本研究中尚無法解釋其原因 圖 6a 中柯西曲線轉換之地址點與門診點差異, 其標準差約 0.007, 極大值為 , 極小值為 , 平均值接近於零為 , 因此, 圖 6a 中之深色方格為超過一倍標準差之方格, 約佔總樣本數之 1%, 應該可以認為是高度相關之樣本 圖 6b 中柯西曲線轉換之獨立地址點與門診點差異, 其標準差約 0.006, 極大值為 , 極小值為 , 平均值接近於零為 , 因此, 圖 6b 中之深色方格為超過一倍標準差之方格, 約佔總樣本數之 1.6%, 應該也可以認為是高度相關之樣本 相同的在圖 7a 中柯西曲線轉換之地址點與門診點差異, 其標準差約 , 極大值為 , 極小值為 , 平均值接近於零為 , 因此, 圖 7a 中之深色方格為超過一倍標準差之方格, 約佔總樣本數之 4.0%, 應該可以認為是高度相關之樣本 圖 7b 中柯西曲線轉換之獨立地址點與門診點差異, 其標準差約 , 極大值為 , 極小值為 , 平均值接近於零為 , 因此, 圖 7b 中之深色方格為超過一倍標準差之方格, 約佔總樣本數之 7.6%, 應該也可以認為是高度相關之樣本 在圖 8a 中柯西曲線轉換之地址點與門診點差異, 其標準差約 0.002, 極大值為 , 極小值為 , 平均值接近於零為 , 因此, 圖 8a 中之深色方格為超過一倍標準差之方格, 約佔總樣本數之 3.5%, 應該可以認為是高度相關

11 之樣本 圖 8b 中柯西曲線轉換之獨立地址點與門診點差異, 其標準差約 0.002, 極大值為 , 極小值為 , 平均值接近於零為 , 因此, 圖 8b 中之深色方格為超過一倍標準差之方格, 約佔總樣本數之 4.5%, 應該也可以認為是高度相關之樣本 a b 圖 6:100 米柯西曲線轉換成果 a b 圖 7:400 米柯西曲線轉換成果 a b 圖 8:800 米柯西曲線轉換成果 結論與討論 在 MAUP 的相關研究中, 一般認為採樣空間越大, 平均值及變異數會趨近於穩定, 相關係數也會越來越高 Armhein(1995) 但是並未討論到極端值出現時之狀況, 本研究花費了許多的時間, 在地理資訊套裝軟體的處理能力極限也無法處理本研究之資料的條件下, 嘗試證明 MAUP 所認為的現象, 與本研究所運算之結果是有出入, 希望能進一步釐清空間分析中網格採樣大小的問題 本研究提供柯西分配曲線轉換後的空間點資料, 在每一網格只最多包含一個樣本的最大網格條件下, 是可以直接的使用一般統計的相關係數計算公式, 並獲得與一般認知接近的結果, 可以供未來的相關研究使用 柯西分配曲線較常態分配曲線好的原因, 主要是柯西分配曲線不會在極端值時收斂, 而且許多的空間分佈問題, 似乎較接近於柯西分配曲線, 而不是常態分配曲線, 因此, 本研究嘗試以柯西分配曲線做為機率分配之依據, 由前述之結果

12 看來似乎可以產生預期的效應 本研究之結果顯示, 當一倍的標準差的誤差範圍內, 可以視為是高度相關時, 則自圖 6a 6b 7a 7b 8a 8b 中可以發現, 在 與 800 米的狀況下, 大於一倍的標準差的資料網格皆小於 10%, 最高者僅 7.6%, 此觀察之結果似乎指向此二空間點資料屬於高度相關 但是依圖 5 所示, 在 800 米以下, 經轉換後之相關係數並沒有超過 0.5 者, 也就是相關性並不高, 這點似乎與一倍的標準差的圖形與認定相違背, 是否因為本研究依柯西曲線所包含之面積計算為假設無法代表真實, 因而需要修正, 或是需要引用其他的分配曲線, 則尚待更深入之研究 參考文獻 Amrhein C G,1995,"Searching for the elusive aggregation effect: evidence from statistical simulations",environment and Planning A 27(1),pp Anselin, L.,1988,What is Special About Spatial Data? Alternative Perspectives on Spatial Data Analysis,Santa Barbara, CA: National Center for Geographic Information & Analysis Anselin, L.,1995,Local Indicators of Spatial Association-LISA, Geographical Analysis,pp Cliff, A. D. & Ord, J. K.,1973,Spatial Autocorrelation,London: Pion FRACTAL-Wikipedia, the free encyclopedia, /Fractal Getis, A. & Ord, J. K.,1992,The Analysis of Spatial Association by Use of Distance Statistics,Geographical Analysis,pp Getis, A. & Ord, J. K.,1995,Local Spatial Autocorrelation Statistics: Distributional Issues and an Application,Geographical Analysis,pp Lou, W. and Wang, F.,2003,Measures of spatial accessibility to health care in a GIS environment: synthesis and a case study in the Chicago region,environment and Planning B: Planning and Design 2003,Volume 30,pp Lou, W. and Wang, F.,2005,Assessing spatial and nonspatial factors for healthcare access: towards an integrated approach to defining health professional shortage areas,health & Place 11,pp Lou, W.,2004,Using a GIS-based floating catchment method to asses areas with shortage of physicians,health & Place 10,pp 1-11 Nakaya T,2000,"An information statistical approach to the modifiable areal unit problem in incidence rate maps",environment and Planning A 32(1), pp Openshaw S, Taylor P J,1979,"A million or so correlation coefficients, three experiments on the modifiable areal unit problem",in Statistical Applications in the Spatial Science Ed. N Wrigley (Pion, London), pp Openshaw S, Taylor P J,1981,"The modifiable areal unit problem",in Quantitative Geography Eds N Wrigley, R Bennett (Routledge and Kegan Paul, London),pp 60 69

13 Wong D,1996,"Aggregation effects in geo-referenced data", in Practical Handbook of Spatial Statistics Ed. S L Arlinghaus (CRC Press, Boca Raton, FL),pp 林文苑,2000," 空間統計方法於規劃需求面中潛在遊客屬性空間聚集性分析之應用探討 ", 國科會 NSC H SSS 林文苑,2004," 遊憩活動參與者之居住地空間聚集顯著性分析 -- 以台南市為例 ", 旅遊管理研究,pp 林漢良 (2004)," 可調整地區單元問題 ",http://gisclass.geo.ncu.edu.tw/ 93gisapp/GIS2004/PAPER/ 地理資料探勘之可調整地區單元問題.pdf 夏大明 沈永堂,2005," 二度空間等面積可重疊裝箱問題效率指標之研究 ",2005 年台灣地理資訊學會年會暨學術研討會 楊政潭,2003," 雷達回波應用於颱風降雨空間分佈與總量之研究 以納莉颱風為例 ", 國立中央大學, 碩士論文,p 9 溫國忠,2006," 都市火災危險度評估資訊系統之研究 ", 第一屆數位地球國際研討會,C1-4 藍儀芳 溫國忠,2005," 宜蘭市都市計畫開發評估之研究 ",2005 年台灣地理資訊學會年會暨學術研討會論文集

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