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针统苗
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1 學測解析數學考科屏東高中 / 劉玉芳前言一各冊配分情形 : 冊別單元題型單選題多選題選填題配分第數與坐標系 0 一數列與級數 0 冊多項式 BF 1 第指數與對數二三角函數的基本概念 8 冊三角函數的性質與應用 EG 10 第向量三空間中的直線與平面 11 AD 0 冊圓與球面 6 第圓錐曲線 7 H 10 四排列組合 1 10 C 1 冊機率與統計 (I) 1 10 合計由上表可看出單純的第一冊之數與坐標系數列與級數兩章的題目並沒出現但並不是該兩章節不重要取而代之的是跨章節考題來涵蓋這兩章的概念 ( 例如多選題第 10 題 ). 數乙指考中列入題幹不考的單元 ( 三角函數第三冊圓錐曲線 ) 試題仍出現且比重不輕且明年甄選比例上限又提高到 60% 同學在校學習或復習時仍應將每個單元好好研讀不可有所偏頗二試題題型特色分析 : 1. 本年度考題中跨章節的考題比往年多 ( 單選題第題多選題第 6 題第題第 10 題選填題 A G ) 且計算量增加對於中後段的同學明顯不利但依最後大考中心公佈的成績分布高分群並不因此而減少仍是 0 分才能獲得 1 級分所以對數學成績優異的同學並沒有特別的影響

2 學測解析. 學習數學最重要的是基本觀念觀念清楚的同學一題甚至有多種解法本年度仍和前幾年一樣一題多解的情形仍不少. 以下列出幾題筆者認為比較特殊的題目與各位分享 : (1) 單選 6: 除了向量內積的基本性質外本題是所謂的軌跡方程式的問題這類問題對一般中下程度的同學其實有些難當同學依照題意找出 P 點符合的兩條方程式 ( 一為平面方程式一為球面方程式 ) 時他必須了解到 P 點的軌跡就是要判斷這兩個幾何圖形的相交情形 () 多選 8: 本題將餘弦函數的性質好好的考了一下對觀念清楚的同學得分是易如反掌但對觀念不甚明瞭的同學而言就不那麼有趣了 () 多選 10: 本題以遞迴關係式為題幹但問的選項包含第一冊數論的觀念對程度普通的同學真的有點難 () 多選 1: 今年信賴區間的考題比去年學測的那題簡單多了得分關鍵在計算能力其實去年指考乙所考的那題就有這個味道以後的趨勢應是如此 () 選填 D: 本題做法可利用前兩式求得的 ( x y ) 解代入第三式或者利用矩陣的列運算求得甚至高三選修數學 (I) 中三線共點的三階行列式做法也可 ( 此方法更快速計算更簡單所以同學們千萬不要為了準備學測而全盤不理高三課程 ) 此定理如下 : 平面上三相異直線 L 1 :a 1 x+b 1 y=c 1 L :a x+b y=c L :a x+b y=c 兩兩不平行則此三線共點的充要條件為 a 1 b 1 c 1 a b c =0 a b c (6) 選填題 H: 筆者在復習圓錐曲線這單元時常常提醒同學此單元的考題特別注重拋物線橢圓雙曲線的定義很多年的試題都是利用此定義變化出新題目出來例如看到拋物線上點到焦點的距離就要轉成點到準線的距離去思考通常題目就迎刃而解了

3 數學考科試題詳解第壹部分 : 選擇題 ( 佔 60 分 ) 一單選題 ( 佔分 ) 說明 : 第 1 至 7 題每題選出最適當的一個選項劃記在答案卡之解答欄每題答對得分答錯不倒扣 1. 若數列 a 1 a a k a 10 中每一項皆為 1 或 -1 則 a 1 +a + +a k + +a 10 之值有多少種可能? (1) 10 () 11 () P 10 () C 10 () 10 答案 () 概念中心排列組合的基本原理加法原理命題出處南一版第四冊第二章排列組合試題解析 1 若有 10 個 10 個 -1 則和為 10 若有個 11 個 -1 則和為 8 若有 8 個 1 個 -1 則和為若有 0 個 110 個 -1 則和為 -10 a 1 +a + +a k + +a 10 共有 11 種可能故選 (). 已知 ab 為整數且行列式 a b 7 = 則絕對值 a+b 為何? (1) 16 () 1 () () () 條件不足無法確定答案 () 概念中心 1 二階行列式的運算 ; 質數的分解命題出處南一版第三冊第二章空間中的直線與平面試題解析 a b 7 = -ab= ab=1 ab 二者為 1 與 1 或 -1 與 -1 二種可能 a+b= 或 - a+b = 故選 ()

4 學測解析. 箱中有三顆紅球與三顆白球一摸彩遊戲是從箱中隨機同時抽出兩顆球如果抽出的兩球顏色不同則得獎金 100 元 ; 如果兩球顏色相同則無獎金請問此遊戲獎金的期望值為何? (1) 0 元 () 0 元 () 0 元 () 0 元 () 60 元答案 () 概念中心機率的定義與期望值的求法命題出處南一版第四冊第三章機率與統計 (I) C 1C 1 試題解析抽出一紅一白的機率為 C 6 = 1 = 期望值為 100=60 ( 元 ) 故選 (). 坐標平面上給定兩點 A ( 1 0 ) 與 B ( 0 1 ) 又考慮另外三點 P (π 1 ) Q ( - 6 ) 與 R ( log ) 令 PAB 的面積為 p QAB 的面積為 q RAB 的面積為 r 請問下列哪一個選項是正確的? (1) p<q<r () p<r<q () q<p<r () q<r<p () r<q<p 答案 (1) 概念中心 1 同底三角形高愈大者面積愈大 ; 對數的基本運算 ; 平面上點到直線的距離公式命題出處南一版第三冊第一章向量試題解析 PAB QAB RAB 具有相同的底邊 AB 高愈大者面積愈大又 AB 直線方程式為 x+y-1=0 π+1-1 且 d ( P AB )= = π d ( Q AB )= = - +log d ( R AB )= = d ( P AB )<d ( Q AB )<d ( R AB ) PAB< QAB< RAB p<q<r 故選 (1).68 = 7 =.

5 數學考科. 在密閉的實驗室中開始時有某種細菌 1 千隻並且以每小時增加 8% 的速率繁殖如果依此速率持續繁殖則 100 小時後細菌的數量最接近下列哪一個選項? (1) 千隻 () 108 千隻 () 00 千隻 () 00 千隻 () 000 千隻答案 () 概念中心 1 利用對數估計相當大的數字 : 對數內插法命題出處南一版第二冊第一章指數與對數試題解析細菌總量為 1000 ( 1+8% ) 100 隻又 log ( 1+8% ) 100 =100 log1.08=100log 108 =100 ( log108-log100 ) 100 =100 ( log -log100 )=100 ( log+log- ) =100 ( )= =.=+0. 設 logx=0. a loga 0.01 x x- 由內插法可得 - = x- = x +0.16=.16 log( 1+8%) 100 =+log.16=log10 +log.16=log ( ) ( 1+8% ) 100 = 即所求為 00 千隻故選 () 6. 坐標空間中 O 為原點點 A 的坐標為 ( 1 1 ) 設 S 是以 O 為球心為半徑的球面請問在 S 上滿足內積 OA.OP=6 的所有點 P 所成的圖形為何? (1) 空集合 () 一個點 () 兩個點 () 一個圓 () 兩個圓答案 () 概念中心 1 內積的定義 ; 空間中球面與平面的相交情形命題出處南一版第三冊第三章圓與球面試題解析球面 S 為以 O 為球心為半徑之球面 S:x +y +z =16 設球面 S 上點 P ( x y z ) 則 P 點滿足 x +y +z =16 又 OA.OP =6 ( 1 1 ).( x y z )=6 x+y+z-6=0-6 球心 O 到平面 x+y+z-6=0 之距離為 1++1 = 6 < x +y +z =16 x+y+z-6=0 之圖形為一圓即所有 P 點所成的圖形為一個圓故選 ()

6 6 學測解析 7. 令橢圓 Γ 1 : x + y =1 Γ : x + y = Γ : x + y = x 的長軸長分別為 l 1 l l 請問下列哪一個選項是正確的? (1) l 1=l =l () l 1=l <l () l 1<l <l () l 1=l <l () l 1<l <l 答案 () 概念中心由橢圓的標準式求長軸長命題出處南一版第四冊第一章圓錐曲線試題解析 Γ 1 : x + y =1a 1=l 1 =a 1 = =10 二多選題 ( 佔分 ) Γ : x. + y. =1a = l = =10 Γ : x -10x + y =0 ( x- ) + y =1a =l = =10 l 1 =l <l 故選 () 說明..第 8 至 1 題每題的五個選項各自獨立其中至少有一個選項是正確的選出正確選項劃記在答案卡之解答欄每題皆不倒扣五個選項全部答對者得分只錯一個選項者可得. 分錯兩個或兩個以上選項者不給分 8. 設 θ 1 θ θ θ 分別為第一第二第三第四象限角且都介於 0 與 π 之間已知 cosθ 1 = cosθ = cosθ = cosθ = 1 請問下列哪些選項是正確的? (1)θ 1 < π ()θ 1 +θ =π () cosθ =- 1 () sinθ= ()θ =θ + π 答案 ()() 概念中心廣義角三角函數的求值及其在四個象限的對稱關係命題出處南一版第二冊第二章三角函數的基本概念試題解析 cosθ 1 =cosθ 1 = 1 cosπ = 1 < 又 y=cosx 在 ( 0 π ) 間為遞減 θ 1 > π 又 cosθ 1 = cosθ = cosθ = cosθ 得 θ 1 +θ =π cosθ =-cosθ 1 =- 1 sinθ = - <0 cosθ = 1 不滿足 θ =θ + π 故選 ()()

7 數學考科 7. 下列哪些方程式有實數解? (1) x +x-1=0 () x + -x =0 () log x+log x =1 () sin x+cosx= () sin x+cos x= 答案 (1)() 概念中心各類方程式的實根存在與否命題出處 1 南一版第一冊第三章多項式 ; 南一版第二冊第一章指數與對數第三章三角函數的性質與應用試題解析 (1) :x +x-1=0 為實係數三次多項式方程式必有實根 () : x + 1 x =0 ( x ) +1=0 x >0 無實數解 () :log x+ 1 log x -1=0 ( log x ) -( log x ) +1=0 D=( -1 ) -=-<0 log x 無實數解 x 無實數解 () :sinx 1cosx 1 sinx+cosx 不可能存在 sin x+cosx= () : - sinx+cosx sinx+cosx= 有實數解故選 (1)() 10. 設 a 1 a a n 為一實數數列且對所有的正整數 n 滿足 a n +1= n ( n+1 ) 問下列哪些選項是正確的? (1) 如果 a 1 =1 則 a =1 () 如果 a 1 是整數則此數列的每一項都是整數 () 如果 a 1 是無理數則此數列的每一項都是無理數 () a a a n (n 為正整數 ) () 如果 a k 是奇數則 a k +a k + a k +n 都是奇數 (n 為正整數 ) 答案 ()()() 概念中心 1 遞迴關係式 ; 整數與有理數的運算性質命題出處 1 南一版第一冊第一章數與坐標系第二章數列與級數 ; 南一版第四冊第二章排列組合試題解析 (1) :a = 1 () : -a 1 =1-a 1 若 a 1 =1 則 a =1-1=0 n ( n +1 ) 為連續二個整數相乘除以其必為整數若 a 1 是整數則此數列的每一項都是整數 () : 有理數與無理數的差必是無理數若 a 1 是無理數 a = 整數 - 無理數 = 無理數以下各項皆是無理數 -a n 請

8 8 學測解析 ( n +1 ) ( n+ ) () : a n += 又 a n +1= n ( n +1 ) -a n ( n +1 ) ( n+ ) a n += 即 a n +-a n =n+1>0 a a a 6 a 8 () : 由 a -a =+1= a 6 -a =+1= -a n +1 -( n ( n +1 ) -a n )=( n+1 )+a n. 得若 a 是奇數則 a 是偶數 a 6 是奇數 a 8 是偶數故選 ()()() 11. 坐標空間中直線 L 上距離點 Q 最近的點稱為 Q 在 L 上的投影點已知 L 為平面 x-y= 上通過點 ( ) 的一直線請問下列哪些選項中的點可能是原點 O 在 L 上的投影點? (1) ( ) () ( 0 ) () ( () ( - - ) () ( ) 答案 (1)()() - 0 ) 概念中心直線落在平面上時直線的方向向量與平面的法向量垂直之性質命題出處南一版第三冊第二章空間中的直線與平面試題解析設 A ( ) 則原點 O 在 L 上之投影 H 必滿足 H 在平面 x-y= 上且 HO.HA =0 (1) : 若 H ( ) 則 ( ) 在 x-y= 上且 HO.HA=(- - - ).( )=0 () : 若 H ( 0 ) ( 0 ) 不在 x-y= 上不合 () : 若 H ( () : 若 H ( () : 若 H ( 故選 (1)()() - 且 HO.HA=( - - 但 HO.HA=( 且 HO.HA=( -8 0 ) 則 ( - ) 則 ( - 0 ).( - ).( ) 則 ( ) 在 x-y= 上 - 6 ).( )=0 - ) 在 x-y= 上 )=8 0-0 ) 在 x-y= 上 )= =0

9 數學考科 1. 想要了解台灣的公民對某議題支持的程度所作的抽樣調查依性別區分所得結果如下表 : 女性公民男性公民贊成此議題的比例 p^ p^ 的標準差 p^ ( 1-p^ ) n 請問從此次抽樣結果可以得到下列哪些推論? (1) 全台灣男性公民贊成此議題的比例大於女性公民贊成此議題的比例 () 在 % 的信心水準之下全台灣女性公民贊成此議題之比例的信賴區間為 ( 計算到小數點後第二位以下四捨五入 ) () 此次抽樣的女性公民數少於男性公民數 () 如果不區分性別此次抽樣贊成此議題的比例 p^ 介於 0. 與 0. 之間 () 如果不區分性別此次抽樣 p^ 的標準差 p^ ( 1-p^ ) 介於 0.0 與 0.0 之間 n 答案 ()() 概念中心信心水準與信賴區間意義的解讀與計算命題出處南一版第四冊第三章機率與統計 (I) 試題解析 (1) : 表中所得的數據是抽樣所得的資料並非普查所得的資料故不可說全台男性公民贊成的比例大於女性公民的比例 () : 全台女性公民贊成此議題的 % 信賴區間為 = () : n 1 =0.0 n 1 = =6 ( 人 ) n =0.0 n = 此次抽樣女性公民數大於男性公民數 () :p^ = = 約 11 人 () : p^ ( 1-p^ ) n 故選 ()() <0.0

10 10 學測解析第貳部分 : 選填題 ( 佔 0 分 ) 說明.. 1. 第 A 至 H 題將答案劃記在答案卡之解答欄所標示的列號 ( 1- ). 每題完全答對得分答錯不倒扣未完全答對不給分 A. 坐標平面上有一個平行四邊形 ABCD 其中點 A 的坐標為 ( 1 ) 點 B 的坐標為 ( 8 ) 點 C 在第一象限且知其 x 坐標為 1 若平行四邊形 ABCD 的面積等於 8 平方單位則點 D 的坐標為 ( 1 1 ) 答案 68 概念中心 1 向量相等的概念 ; 利用行列式求平行四邊形面積命題出處南一版第三冊第二章空間中的直線與平面試題解析設 C ( 1 y ) 又 ABC 面積為平行四邊形 ABCD 的面積之半 AB =( 6 1 ) AC =( 10 y-1 ) ABC= y-1 = 1 8 6y-6-10 =8-6y-16 =8 6y-16=8 或 -8 y= 或 ( 不合 ) C ( 1 ) 設 D ( a b ) AD=BC ( a- b-1 )=( ) ( a b )=( 6 8 ) 即點 D 的坐標為 ( 6 8 ) 6 B. 設 f (x) 為滿足下列條件的最低次實係數多項式 :f (x) 最高次項的係數為 1 且 -i i 皆為方程式 f (x)=0 的解 ( 其中 i =-1) 則 f (x) 之常數項為答案 -6 概念中心實係數方程式虛根成對定理命題出處南一版第一冊第三章多項式試題解析由實係數方程式虛根成對定理知 f (x)=0 的根有 -i+ii-i 滿足條件的最低次多項式為 f (x)= x-( -i ) x-( +i ) ( x-i ) ( x+i ) ( x- ) 其常數項為 ( -1 ) ( -i ) ( +i ) (i) (i) () =1 (-1 ) =-6

11 數學考科 11 C. 有一個兩列三行的表格如右圖在六個空格中分別填入數字 1 6( 不得重複 ) 則 1 這兩個數字在同一行或同一列的方法有種答案概念中心分類討論與組合的計算命題出處南一版第四冊第二章排列組合試題解析 (1) 1 在同一行 C 1!!= =1 () 1 在同一列 C 1 P!= 6 =88 由 (1)() 得共有 1+88= ( 種 ) x-y=1 D. 設實數 a>0 若 x y 的方程組 x-y=a x-ay=1 有解則 a= 1 答案 1 概念中心二元一次方程組解三線共點問題命題出處南一版第三冊第二章空間中的直線與平面 1-1 x-y=1 試題解析 x-y=a 之解為 x= a - = -+a = -a y= 1 a = a-1 = 1-a a 方程組有解 ( 1-a ) 必也在直線 x-ay=1 上 -a 1-a ( )-a ( ) =1 -a-a+a =66 a -a-18=0 ( a-1 ) ( a+1 )=0 a=1 或 -1 ( 不合 ) a=1

12 1 學測解析 E. 如右圖直角三角形 ABD 中 A 為直角 C 為 AD 邊上的點已知 BC =6 AB = ABD= ABC 則 BD = ( 化成最簡分數 ) 答案 0 7 概念中心 1 三角函數的定義 ; 餘弦的二倍角公式命題出處南一版第二冊第三章三角函數的性質與應用試題解析設 ABC=θ 則 ABD=θ cosθ= 6 又 cosθ=cos θ-1= ( BD = ) -1= BD = 7 F. 設 a b 為實數已知坐標平面上拋物線 y=x +ax+b 與 x 軸交於 P Q 兩點且 PQ =7 若拋物線 y=x +ax+( b+ ) 與 x 軸的兩交點為 R S 則 RS = 6 7 答案 1 概念中心 1 了解方程式的根就是函數圖形與 x 軸交點的 x 坐標 ; 根與係數關係的應用命題出處南一版第一冊第三章多項式試題解析設 y=x +ax+b=0 之二根為 pq p+q=-a 則 pq=b 又 PQ =7 p-q =7 ( p-q ) = ( p+q ) -pq= a -b= 1 設 y=x r+s=-a +ax+( b+ )=0 之二根為 rs 則 rs=b+ RS = r-s = ( r-s ) = ( r+s ) -rs = a - ( b+ ) = a -b-8 = -8 = 1

13 數學考科 1 G. 已知 ABC 中 AB = BC = 且 A= C 則 AC = ( 化成最簡分數 ) 答案概念中心 1 正弦定理 ; 二倍角公式三倍角公式的運用命題出處南一版第二冊第二章三角函數的基本概念第三章三角函數的性質與應用 sinθ 試題解析由正弦定理得 = sinθ sinθcosθ = sinθ cosθ sinθ 0 = 1 cosθ= 又 B=180 - ( θ+θ )=180 -θ 由正弦定理得 sin ( 180 -θ ) = sinθ sinθ AC = sinθ AC sinθ-sin θ AC = sinθ sinθ 0 AC = ( -sin θ)=6-8sin θ=6-8 ( 1-cos θ)=6-8 ( 1-16 )= 8 H. 坐標平面上給定點 A ( ) 直線 L:y=- 與拋物線 Γ:x =8y 以 d ( P L ) 表示點 P 到直線 L 的距離若點 P 在 Γ 上變動則 d ( P L ) - AP 之最大值為 ( 化成最簡分數 ) 答案 1 概念中心拋物線的定義與應用命題出處南一版第四冊第一章圓錐曲線試題解析 Γ:x =8y=..y c= 即 Γ 之焦點為 F ( 0 ) 設 Γ 之準線為 L :y=- d ( P L )=d ( P L )+ 且由拋物線定義知 PF =d ( P L ) d ( P L ) - AP = PF +- AP 作 FA 與 Γ 之交點 P 則 PF - AP 有最大值 FA = 所求最大值為 + = 1 0 1

14 1 學測解析結論一考題趨勢 : 1. 依筆者的觀察從年學測以來試題難度似乎比年之前有增加些所以今後同學復習時準備的方向應在基本觀念多加強計算能力再加以提升才可以. 今年排列組合機率的題目出現的不少但都不難有些同學在初學這單元時都做太難的題目而對此單元有恐懼症甚至在高三復習時就有放棄的想法其實大可不必如此因為只要會基本觀念定義甚至有些題目慢慢排就會得出答案所以準備此單元的方法就是好好的把歷屆考題拿出來做做看並詳讀基本概念就可以了. 以上考題趨勢在本人所參與編著的焦點攻略總復習講義皆曾提及並要同學多加留心注意焦點攻略一書近幾年皆大改版以更符合現今考題趨勢期望各位先進不吝加以指導二結語 : 聽了今年考生出考場時對本年度試題的反應及大考中心一再強調本份試題是屬於中間難度再參考最後出爐的分析結果後深深感覺同學們與出題教授在對試題看法的差異建議同學們在學習數學時的態度應再朝向觀念清楚並勤於計算兩方面同時著手更重要的是不論對數學是否有強烈的興趣永不放棄是成功的不二法門試想學測並不是要選拔能成為數學家的人才所以題目並不會艱澀不堪一分耕耘一定會有一分收穫的!

學測精彩析第壹部分 ( 占 84 分 ) 楊慧媛老師聯合題師大附中姚翰玲老師聯合題梁蕙蓉老師聯合題說明 : 第 1 題皆計分第 1 題皆是單選題, 請選出一個最適當的選項標示在答案卡之選擇題答案區每題答對得 2 分, 答錯不倒扣 1 4 A B C D 圖一答案

學測精彩析第壹部分 ( 占 84 分 ) 楊慧媛老師聯合題師大附中姚翰玲老師聯合題梁蕙蓉老師聯合題說明 : 第 1 題皆計分第 1 題皆是單選題, 請選出一個最適當的選項標示在答案卡之選擇題答案區每題答對得 2 分, 答錯不倒扣 1 4 A B C D 圖一答案歷史 : 師大附中 / 楊慧媛地理 : 師大附中 / 姚翰玲三民主義與現代社會 : 師大附中 / 梁蕙蓉老師老師老師 76 (06)2619621#314 http: www.worldone.com.tw http: www.hle.com.tw E-mail:periodical@hanlin.com.tw 學測精彩析第壹部分 ( 占 84 分 ) 楊慧媛老師聯合題師大附中姚翰玲老師聯合題