内 容 简 介本书依据 年教育部新颁发的 理工科类大学物理课程教学基本要求 以近代物理为主线 对比介绍量子理论与光学 狭义相对论时空观与经典运动学 狭义相对论力学与经典力学 以现代科学统领热 电 磁 流体 振动和波 全书在内容基础扎实 简练的基础上 体现视点高 创意新的特色 注重贴近实际 注重物理思

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1 普通高等教育 十二五 重点规划教材中国科学院教材建设专家委员会 十二五 规划教材 大学物理教程 郭振平 主编 徐 晶 明 莹 副主编 北 京

2 内 容 简 介本书依据 年教育部新颁发的 理工科类大学物理课程教学基本要求 以近代物理为主线 对比介绍量子理论与光学 狭义相对论时空观与经典运动学 狭义相对论力学与经典力学 以现代科学统领热 电 磁 流体 振动和波 全书在内容基础扎实 简练的基础上 体现视点高 创意新的特色 注重贴近实际 注重物理思想和科学文化的传承 本书可作为高等学校理 工 农 医学类各专业课程的教材 也可作为经济 管理 自然地理 口腔 护理等专业本专科生的教学参考书 还可供其他物理爱好者作为自学读物 为了便于学生自主探究性学习 可选用本书配套教材 大学物理学习指导 作为同步辅助读物 图书在版编目 数据 大学物理教程 郭振平主编 北京 科学出版社 大 郭 物理学 高等教育 教材 中国版本图书馆 数据核字 第 号责任编辑 隽青龙 责任校对 马英菊责任印制 吕春珉 封面设计 子时文化 出版 北京东黄城根北街 号 邮政编码!"#$$$%&'&#& 印刷 科学出版社发行 各地新华书店经销 年 月第一版 开本 年 月第一次印刷 印张 字数 定价 元 如有印装质量问题 我社负责调换 销售部电话 编辑部电话 版权所有 侵权必究 举报电话

3 前 言 物理学是研究物质的基本结构 基本运动形式和相互作用的自然科学 它的基本 理论渗透在自然科学的各个领域 应用于生产技术的许多部门 是其他自然科学和工 程技术的基础 以物理学基础为内容的大学物理课程 是高等学校理 工 农 医学类各专业学 生一门重要的通识性必修基础课 该课程所教授的基本概念 基本理论和基本方法是 构成学生科学素养的重要组成部分 是一个科学工作者和工程技术人员所必备的知识 这门课程的作用一方面是为学生打好必要的物理基础 另一方面是让学生能够初步学 习科学的思维方法和研究方法 使其开阔思路 激发探索与创新精神 提高科学素质 这不仅对学生在校学习起着十分重要的作用 而且对学生毕业后的工作和在工作中进 一步学习新理论 新知识 新技术等也将产生深远的影响 本书按着教育部颁布的 理工科类大学物理课程教学基本要求 将教学内容分为 ( 两类 ( 类内容为基本知识 构成大学物理课程教学内容的基本框架 类内容是扩充知识 是理解现代科学技术进展的基础 这些内容可以使学生对大学物理的基 本规律的理解更加深刻和充实 考虑课时较少的现状 本书以 ( 类内容为重点 并考 虑理工农医部分专业的需求 适当增加流体力学部分 类内容主要在与本书配套的 大学物理学习指导 中补充介绍 本书具有如下主要特色 以近代物理为主线 将狭义相对论时空观与经典运动学对比介绍 并将狭义相对论力学与经典力学对比阐述 将量子理论与光学等相关知识点相融合 从现代科学 视角俯瞰经典物理内容 注重介绍经典物理知识在高新技术中的应用并渗透现代物理 学的观点 概念和方法 使学生从中感觉到 世纪建立起来的经典物理在 世纪仍 然焕发着勃勃生机 以学生为主体 遵循学生从易到难的认知规律 采用由简单到复杂 由浅入深 逐步递进的方式来组织教材内容 改变传统的运动学 力学 热学 电磁学 振动和波 光学 相对论 量子力学 粒子物理等分立体系 将对微积分知识要求不高的光学部分提至全书的最前面先 行学习 使学生不至于一开始就陷入数学微积分的疑难中 从而使学生学习大学物理 的兴致不断提升 这样做也可使 大学物理 课程与 大学数学 课程同一学期开设 便于后续专业课和实践教学的安排 为教学改革留有充足的空间 为了保证理论体系的完整性 将理论深度较高 数学推演较难的内容作为理论进阶和知识拓展部分在 大学物理学习指导 中介绍 适当开启新的 知识窗口 培 养学生的创新意识 在内容选取上切实保证贴近生活 并适当渗透前沿科学发展的精 华 注意突出物理学的思想性和哲理性 尤其注意介绍物理学的科学思维方法

4 大学物理教程 为了降低教材的难度 便于学生理解和学以致用 适当增选了例题 每介绍完一个基本概念或物理定律 都设置相应的例题 这些例题是与介绍的物理知识有机统 一的 是教材的重要组成部分 为了学生及时巩固每章所学的知识 在每一章末尾都安排适量的思考与讨论题及习题 这些题分为两类 一类是常规性的 从本章的内容很容易找出答案 目的是 让学生建立起自信心 因为学习的自信心是一个重要的非智力因素 而过多的难题很 容易使学生丧失信心 另一类则是灵活性的 以满足不同层次学生的需求和创新教育 的需要 可以作为课堂讨论的基础 注重与中学教学的衔接 对于中学阶段已熟悉的质点力学 几何光学 气体的状态方程 热力学第一定律 电力 磁力 静电感应及电磁感应现象等内容 在本书 中适度展开和提升 以避免重复 注重培养学生独立获取知识的能力 科学观察和思考的能力 分析问题和解决问题的能力 使学生逐步掌握科学的学习方法 通过解题指导启迪学生思维 激发学 生的智力和潜能 调动学生学习的主动性和积极性 注重加强物理学的人文色彩 全书尽量做到图文并茂 减少繁杂的数学推演 本书由郭振平担任主编 徐晶和明莹担任副主编 参加编写和审稿工作的还有陈 泽章等 本书编写过程中借鉴了部分国内外优秀教材和相关文献 并得到了哈尔滨工 业大学 大连海洋大学 延边大学 内蒙古科技大学和集宁师范学院等高校的大力支 持 特在此一并表示感谢 本书首次创新编排知识结构体系 加之编者水平有限 编写时间较为仓促 不足 之处在所难免 恳请读者提出宝贵意见和建议 编者联系邮箱 $)*'+,!&& 编 者 年 月

5 目 录 第 章 几何光学基础 基本概念 点光源和光束 物和像 光速 光程和介质的折射率 几何光学基本定律 光的直线传播定律和光的独立传播定律 光的反射定律和折射定律 光的全反射 光在平面上的反射和折射 光在平面上的反射 光在平面上的折射 光在球面上的反射和折射 光在单球面上的折射 横向放大率和角放大率 球面折射成像的作图方法 球面反射成像 薄透镜 薄透镜成像规律 薄透镜成像的作图法和横向放大率 思考与讨论 习题 第 章 光的偏振 光波的描述 光的偏振性 自然光与偏振光 偏振片的起偏和检偏 马吕斯定律 布儒斯特定律 反射光和折射光的偏振 玻璃片堆法获得偏振光 思考与讨论 习题 第 章 光的干涉 光的相干性

6 大学物理教程 光波的位相差 波程差和光程差 光的叠加原理和相干条件 相干光的获得 分波阵面干涉 杨氏双缝干涉实验 半波损失 分振幅干涉 薄膜的等倾干涉 劈尖的等厚干涉 牛顿环 增透膜 思考与讨论 习题 第 章 光的衍射 光的衍射原理 光的衍射及其分类 惠更斯 菲涅耳原理 夫琅禾费单缝衍射和菲涅耳半波带法 单缝夫琅禾费衍射的装置以及光强分布 菲涅耳半波带法 光栅衍射和光谱 光栅 光栅衍射 明纹条件和光栅方程 光栅光谱 缺级问题 光栅的衍射光强分布 眼睛和光学仪器的分辨率 眼睛视物的基本原理 光学仪器的分辨率 思考与讨论 习题 第 章 量子光学基础 热辐射与普朗克能量子假设 光电效应与爱因斯坦的光子理论 康普顿散射和光的波粒二象性 康普顿散射 光的波粒二象性 氢原子的玻尔理论

7 目 录 思考与讨论 习题 第 章 运动的相对性 质点相对运动的描述 质点和参考系 位置矢量和运动方程 位移 速度和加速度 匀变速直线运动 圆周运动 匀速圆周运动与法向加速度 变速圆周运动 平面曲线运动 运动叠加原理 斜抛运动 伽利略相对性原理与伽利略变换 相对运动 伽利略相对性原理 伽利略变换 伽利略相对性原理的局限性思考与讨论 习题 第 章 狭义相对论时空观 狭义相对论的两个基本假设 洛伦兹坐标变换和速度变换 洛伦兹坐标变换 洛伦兹速度变换关系 同时性的相对性 时间延缓和长度收缩 同时的相对性 时间延缓效应 长度收缩效应 思考与讨论 习题 第 章 质点动力学基础 牛顿运动定律及其应用 牛顿第一运动定律 牛顿第二运动定律 牛顿第三运动定律 牛顿运动定律的综合应用 质点与质点系的动量定理和动量守恒定律 质点的动量和动量定理

8 大学物理教程 质点系的动量定理 动量守恒定律 功和动能定理 功 动能和动能定理 质点系的势能 保守力的功 质点系的势能 机械能守恒定律和功能原理 机械能守恒定律 非保守力的功 功能原理 相对论质量和动量 狭义相对论质能关系思考与讨论 习题 第 章 刚体转动 质心和质心运动定理 质心与刚体的平动 质心运动定律 刚体定轴转动 力矩 转动定律和转动惯量 力矩 刚体定轴转动的角动量 转动惯量 刚体定轴转动定律 角动量定理和角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量定理 刚体定轴转动的角动量守恒定律 力矩的功和刚体绕定轴转动的动能定理 力矩的功 刚体绕定轴转动的动能定理思考与讨论 习题 第 章 机械振动和机械波 简谐振动 简谐振动方程 振幅和相位 简谐振动的旋转矢量法 简谐振动的能量

9 目 录 一维简谐振动的合成 两个同方向 同频率简谐振动的合成 两个同方向 不同频率简谐振动的合成 机械波 机械波的基本特征 平面简谐波的波函数 波的能量 波的能量传输特性 能量密度 能流密度 思考与讨论 习题 第 章 流体运动基础 理想流体的稳定流动 理想流体 稳定流动 连续性方程 伯努利方程及其应用 伯努利方程 伯努利方程的应用 黏性流体的运动规律 流体的黏性 泊肃叶定律 斯托克斯定律 液体表面性质 液体的表面张力 弯曲液面的附加压强 毛细现象和气体栓塞现象 思考与讨论 习题 第 章 气体动理学基础 平衡态和状态参量 理想气体模型 理想气体内能和能量均分原理 麦克斯韦气体分子速率分布律 气体分子速率的实验测定 分子速率分布 麦克斯韦分子速率分布律 统计速率 气体分子的平均碰撞频率和平均自由程

10 大学物理教程 气体分子的平均碰撞频率 气体分子的平均自由程 思考与讨论 习题 第 章 热学基础 准静态过程 准静态过程与弛豫时间 准静态过程的功 热力学第一定律 理想气体的等体过程和等压过程 理想气体的等体过程 理想气体的等压过程 理想气体的等温过程和绝热过程 理想气体的等温过程 绝热过程 循环过程与热机效率 循环过程 卡诺循环 卡诺定理 热力学第二定律和熵增加原理 可逆过程与不可逆过程 热力学第二定律概述 熵与熵增加原理 玻尔兹曼关系 热力学第三定律 思考与讨论 习题 第 章 真空中的静电场 电荷守恒定律和库仑定律 电荷与电荷守恒定律 点电荷的概念与库仑定律 库仑定律和万有引力定律的主要异同 氢核聚变的困难所在 静止电荷的电场强度 静电场和电场强度 静电场的叠加原理和点电荷系的电场强度 连续带电体电场中的场强 静电场的高斯定理 电通量 真空中静电场的高斯定理

11 目 录 用高斯定理求电场强度 静电场的环路定理 电势能与电势 电势能 电势差和电势 电势叠加原理 在单个点电荷产生的电场中任意一点的电势 在多个点电荷产生的电场中任意一点的电势 在任意带电体产生的电场中任意一点的电势 电场强度和电势的关系 等势面 电势与电场强度的关系 思考与讨论 习题 第 章 导体和电介质中的静电场 导体的静电平衡 金属导体的静电平衡 导体表面的电荷和电场 导体空腔 导体静电平衡性质的应用 有电介质存在时的电场 电介质 极化电荷与自由电荷的关系 有电介质时的高斯定理 电容 孤立导体的电容 电容器 电容的计算 带电体系的静电能 电容器的静电能 静电场的能量 思考与讨论 习题 第 章 稳恒磁场 恒定电流 电流密度和电动势 恒定电流和电流密度 电源和电动势 磁感应强度和毕奥萨伐尔定律 奥斯特实验 磁感应强度

12 大学物理教程 毕奥萨伐尔定律 毕奥萨伐尔定律应用举例 运动电荷的磁场 稳恒磁场的高斯定理和安培环路定理 磁通量 磁场的高斯定理 安培环路定理 安培环路定理的应用 思考与讨论 习题 第 章 磁相互作用和磁介质 洛伦兹力 安培定律 磁场对载流线圈的作用 在匀强磁场中的载流线圈 在非均匀磁场中的载流线圈 有磁介质存在时的磁场 磁介质 磁化强度矢量与磁化电流 磁介质中的高斯定理和安培环路定理 磁介质中的高斯定理 磁介质中的安培环路定理 思考与讨论 习题 第 章 变化的电磁场和电磁波 电磁感应定律 电磁感应现象 法拉第电磁感应定律 楞次定律 动生电动势和感生电动势 动生电动势 感生电动势 电磁感应的应用举例 自感和互感 自感 互感 磁场的能量 自感线圈中的磁能 互感线圈中的磁能 位移电流和麦克斯韦方程组

13 目 录 位移电流 麦克斯韦方程组 电磁振荡和电磁波 电磁振荡 电磁波 思考与讨论 习题 第 章 量子力学基础 德布罗意波和微观粒子的波粒二象性 德布罗意关系 波粒二象性的实验证明 德布罗意波的概率诠释 不确定关系 波函数及其统计解释 波函数 波函数的统计解释 薛定谔方程 一维无限深势阱 一维势垒和隧道效应 电子自旋和泡利不相容原理 思考与讨论 习题 常用基本物理常数 参考文献

14 第 章 几何光学基础 光与人类生活息息相关 人们所见到的任何物体都在不同程度地发射或反射着光 为此 本书首先从光的传播规律入手 几何光学通过 光线 这一简单的模型 用几何作图的方法来研究光线的反射 折射以及沿直线传播的原理 是一种处理光的成像的唯象理论 几何光学也称为高斯光学或光线光学 几何光学研究的范围是光在障碍物尺度比光波长大得多的情况下的传播规律 本章将重点学习几何光学的基本定律和近轴光学成像的分析方法 讨论光在平面和球面上的反射 折射以及薄透镜成像等问题 基本概念 为了讨论光的传播规律 我们有必要先了解若干基本概念 点光源和光束 点光源和光线凡是能发光的物体都是光源 若光源本身的几何线度比它所传播的距离小得多 为了简单起见 则可以把它抽象成一个几何点 只考虑它的几何位置而不考虑大小和形状 这样的光源称为点光源 点光源只是一个发光点 光线只是表示光的传播方向的一条具有方向性的几何线 如图 所示 图 点光源 光线 同心光束 光束和同心光束同一光源发出的光线的集合称为光束 或者说光束是由许多光线构成的 如图 所示 从同一点发出的或会聚到同一点的光线 称为同心光束 由发光点 发出的同心光束称为发散光束 如图 所示 向中心 会聚的同心光束称为会聚光束 如图 所示 如果光源无限远 所发出的光束可以视为由许多平行光线构成 这样的光束称为

15 大学物理教程 平行光束 例如 照到地上的太阳光就是平行光束 实发光点和虚发光点 实际的光源总是有一定大小的 点光源和光线都是为了使用上的方便而引入的理 图 实发光点和虚发光点 物和像 想化模型 若光线实际发自某点 则该点为实发光点 如图 所示 若某点并不发出光线 而是诸光 线延长线的交点 则该点为虚发光点 如图 所示 是实发光点 是经水面 反射的各光线反向延 长线的交点 是虚发光点 物体可以自己发光 也可以反射光或透射光 一切能够反射光和透射光的物体统 称为光学系统 从光源发出的光经过一定的光学系统后 由出射的实际光线或实际光 线的反向延长线会聚成的图形称为像 如图 所示 从物点 发出的同心光束经光 学系统出射后 所有的光线交于 点 成为一个以 为顶点的同心光束 我们把 称为 的像点 若如图 所示 出射的同心光束是会聚的 则像 称为实像 若如图 所示 出射的同心光束是发散的 则其反向延长线会聚成的像 称为虚像 实像可由人眼或接收器所接收 虚像不可以被接收器所接收 但是却可以被人眼所观察 图 物与像 物和像都是由一系列的点构成的 物点和像点一一对应 于是就得到了对应的物 像 从光线的性质看 物上的每一点都发出同心光束 而对应的像点都由同心光束会 聚得到 所以成像的基本条件是要满足同心光束的不变性 当然 这仅仅是对点成像 的要求 从整个物和像的对应关系看 还必须要满足物像间的相似性 即空间上各个 点之间的相互位置要一一对应 我们将物空间与像空间点与点对应而成的像称为完善 像 完善像与物相比只有大小的变化没有形状的改变 能严格地保持光束的同心性的 光学系统 叫做理想光学系统

16 第 章 几何光学基础 以光学系统为界 物所在的空间称为物方空间 像所在的空间称为像方空间 一 般地 实像和实物是对称的 如果将实物置于实像所在处 将会看到实像刚好位于原 来实物所在处 如图 所示 我们把实物所在处 和实像所在处 这两点称为 共轭点 实物和实像的对称关系反映出光线具有可逆性 当光线沿着和原来相反的方 向传播时 其路径不变 这称为光路可逆性原理 不仅像点有虚实之分 物点也有虚实之别 如图 所示 光束透过单球面 后 是会聚的 应该形成实像 但不待光束到达会聚点 又再次透过 面 这时会聚光束的 顶点对于 面来说就是物 不过由于会聚光束的顶点 在像方区域 应将它看成虚物 人眼在观察光束时 光束本身不会产生视觉效应 所能感受到的是光束的顶点 即光束顶点在视网膜形成的像 光束本身是不能被人眼感受到的 人眼在观察光束时 如果观察对象为实物 光的传播方向不变 物直接在视网膜上形成像 而被人眼感受 如果传播方向发生变化 人眼感觉仍然是沿刚刚进入眼睛的光线的方向 光速 光程和介质的折射率 光速 无数事实证明 无论什么光源发出的光 无论什么颜色的光 真空中的光速都是 恒定的 通常以符号 来代表 国际科技数据委员会 年公布的真空 中光速的准确值为!"#$ # %& 物理上 将这类恒定不变的物理量统称为恒量或常量 然而 在水中或浓重的大雾中 光速总是小于真空中的光速 我们将水 空气 玻 璃等透明的物体称为光的介质 在真空中 光每秒传播 万千米 称为真空中的光速 介质的折射率 定义 在真空中 光速 与光在介质中传播速度的比值称为介质的折射率 即 折射率与构成介质的材料和光的波长有关 在同一种介质中 长波的折射率小 短波 的折射率大 某一种介质的折射率通常由实验测定 表 列出常见的几种介质对钠 黄光的折射率 表 常见介质的折射率 媒质空气水普通玻璃冕牌玻璃火石玻璃重火石玻璃 折射率!# " "" 由表 可见 普通空气的折射率非常接近 因此我们周围的湿度不大的空气可以近似当作真空 当两种介质进行比较时 折射率相对较大的介质称为光密介质 折射率较小的介质 称为光疏介质 显然 光在折射率较大的光密介质中的传播速度较小 在折射率较小的

17 ! 大学物理教程 光疏介质中的传播速度较大 两种介质的折射率之比等于两种介质中的光速的倒比 即 这称为介质 对介质 的相对折射率 光程 在同样的时间内 光在不同的介质中通过的几何路程是不同的 我们把某一介质 的折射率 与光在该介质中通过的几何路程 的乘积称为光程 用 表示 即 以均匀介质为例 说明光程的意义 对于均匀介质 有! 式中 表示光在介质中通过实际路程所需的时间 由此可见 光程表示光在真空中 时间内所能传播的路程 换句话说 光程就是光在介质中通过的几何路程 按相同时 间折合到真空中的路程 式! 还可改写为 " 借助光程这个概念 可将光在各种介质中所通过的路程 折算为光在真空中的路程 这样便于比较光在不同介质中通过一定路程所需要时间的长短 光程相等表示光在两 种介质中传播的时间相同 理想光学系统在成像时 有一个重要性质 即从物点 到像点 的各个光线的光 程相等 这称为物像之间的等光程性 因此 能完善成像的光学系统是等光程的 例 在相等的时间内 光在真空中传播的距离为 % 则在水中传播的距离 是多少 光程为多大 解 由表 知 水的折射率为 因在相等的时间内 光在两种介质中传 播的光程是相等的 所以 光在水中传播的光程为 % 由光程的定义式 即得光在水中传播距离为 % "% 几何光学基本定律 经过长期的观察实践 科学家揭示了光传播的科学规律 为光学成像的研究和应 用奠定了坚实的基础 光的直线传播定律和光的独立传播定律 光的直线传播定律 在同一种各向同性的均匀介质中 光在两点之间总是沿着连接这两点的直线传播

18 第 章 几何光学基础 " 光的直线传播是几何光学的基本规律之一 称为光的直线传播定律 光照射到不透明物体时 在物体后面产生影子 以及小孔成像现象 都是光的直线传播的例证 普通光学仪器 如投影机 照相机 潜望镜 望远镜和显微镜等 都是以光的直线传播规律为基础的 在天文观测和大地测量以及射击的瞄准中 也是以它为根据的 我国古代对光的直线传播已有明确的认识 早在春秋战国时 墨经 已记载了小孔成像的实验 景 光之人 煦若射 下者之人也高 高者之人也下 足蔽下光 故成景于上 首蔽上光 故成景于下 意思是说照射在人上部的光线 则成像于下部 而照射在人下部的光线 则成像于上部 于是 直立的人通过小孔成像 投影便成为倒立的 如图! 所示 由于日常生活中 在光线照射下 影随时随处可以见到 人们很早就发现 立竿见影 的现象 而且光影随着太阳的移动有规律地移动 后来用此方法测影定向 发明了圭表来辨定方位和计量时间 如图 " 所示 注意 光的直线传播定律只适用于障碍物或孔的线度比光的波长大得多的场合 图! 小孔成像 图 " 圭表 光的独立传播定律 实验发现 在光的强度不太大且非相干的条件下 来自不同方向或不同物体的光线同时通过空间某点时 传播方向和强度都保持原来的传播方向和强度 对每一光线的独立传播互不影响 这称为光的独立传播定律 光的反射定律和折射定律如图 所示 光从一种介质射向另一种介质的交界面时 一部分光返回原来介质中 使光的传播方向发生了改变 这种现象称为光的反射 另一部分光进入新的介质中 使光发生了弯折 这种现象称为光的折射 实验发现 反射光线 的方向由入射光线 决定 反射角 总是随入射角 的增大而增大 随入射角的减小而减小 当垂直入射时 入射角为零 反射角也变为零 入射光线 反射光线和交界面的法线 相重合 注意发生反射的条件是两种介质的交界面 反射光线始于入射点 返回原介质中 图 光线的反射和折射

19 大学物理教程 光的反射遵从反射定律 反射光线 入射光线和法线在同一平面内 并且入射光 线和反射光线分别位于法线的两侧 反射角总是等于入射角 即 折射光线也与入射光线和法线在同一平面内 折射光线与法线之间的夹角 称为 折射角 折射角与入射角的正弦之比与入射角的大小无关 仅由两介质的性质决定 当温度 压强和光的波长一定时 其比值为一常数 等于前一介质与后一介质的折射 率之比 即 &' &' 称为光的折射定律 式 中 和 分别是入射光线所在介质和折射光线通过的 介质的折射率 式 常表示为 &'&' # 式 # 表明 若光的几何路程 和 等长 则两种介质中光程在与界面平行的 方向上的分量相等 在界面法线方向上的分量也相等 规定 入射角 反射角和折射角均以锐角来量度 由入射光线沿锐角转向法线 顺时针转成的角为正 逆时针转成的角为负 按此规定 图 " 中的入射角 和折射 角 均为正 反射角 为负 式 应该改写为 人们发现 光在介质中传播时 光速和波长均改变 同一介质中不同波长光的折 射率不同 介质的折射率不仅与介质的种类有关 而且与光的波长有关 光在折射时 不同波长的光将分散开来 这种现象叫做色散 如图 所示 夏天 一场大雨过后 天空中常常会出现虹 如图 # 所示 它是一道横跨半个 天空的拱形光带 这是因为 大雨过后 天空中还残留着很多小水滴 这些小水滴密 密麻麻悬浮在空中 当太阳光射入水滴 雨滴或雾滴 后 经过了两次折射和一次反 射 被分散成为单色光 发生了色散 可在雨幕或雾幕上形成红 橙 黄 绿 蓝 靛 紫排列的 色彩虹 有时候 我们在虹的旁边 还会看到副虹 又称霓 和虹相 似 但颜色稍浅 如图 所示 它是由于太阳光射入水滴后 经过了两次折射和两 次反射形成的 图 色散图 # 虹图 霓光的颜色取决于波长 具有单一波长的光称为单色光 其实 严格的单色光是不存在的 光源发出的光都有一定的波长范围 表 列出了常见的种颜色的可见光

20 第 章 几何光学基础 对应的波长范围 普通光源发的光包含了各种不同的波长成分 称为复色光 表 光的颜色和波长对照表 颜色红橙黄绿青蓝紫 波长 % " " " "!!!"!"!"!" 光的全反射若光线由光密介质射向光疏介质 因为 则 当逐渐增大入射角 到某一值 时 折射角 达 使折射光线沿界面射出 如图 所示 此时 若入射角继续增大 则有 &' 显然这是不可能的 实验表明 这时光线将被全部反射回原介质 这种现象称为光的全反射 图 光的折射和全反射 对应于折射角 的入射角 称为临界角 由式 可知 &' 由式 可知 当光线由光疏介质向光密介质传播时 不存在 不会发生全反射 全反射现象在生活中有广泛的应用 计算机网络用的光纤 就是利用了光的全反射原理 如图 所示 光纤在结构上 有内芯和外套两种不同介质 光沿内芯传播时遇到光纤弯曲 处 会发生全反射现象 从而保证光线不会泄漏到光纤外 图 光纤的结构 光在平面上的反射和折射 根据光的反射定律和折射定律 我们首先讨论光在平面上的反射和折射成像的特性 光在平面上的反射光照射到像镜子这样的表面很光滑的不透明材料上 在无漫射的情形下 按照几何光学的定律进行反射 这时光分布的立体角没有改变 就出现规则反射现象 称为

21 # 大学物理教程 镜面反射 如图 所示 图 镜面反射 如图 所示 由物点 发出的同心光束被平面镜 反 射 其中任意一条光线 经反射后沿 方向射出 另一条光线 垂直于镜面入射 并由原路反射 显然 点发射出的发散光束照射在平面镜上时 其反射光也是发散光束 所有反射光的反 向延长线仍交于一点 这就是物点 经平面镜所成的像 像位 于镜后 物点与像点的连线 与镜面法线 相平行 且物点 与像点相对镜面来说是对称的 由几何关系容易看出 注意由于不是实际光 线相交所成的像 所以平面镜所成的像是虚像 同理 由会聚光束照射在平面镜上时 其反射光也是会聚光束 交于像点 如图! 所示 这是实际光线相交所成的像 所以是实像 如果不考虑反射界面 则入射光束将会聚在 点 点与 点相对镜面 也是对称的 可以将 点视为与像点 相对应的物点 不过由于平面镜阻挡 实际的 入射光束不能会聚在 点 因此 点不是真实的物点 故称 点为虚物 图 单个平面镜成像 实物成虚像 图! 单个平面镜成像 虚物成实像 由于其对称性 如果物体为右手坐标系!"# 其像的大小与物相同 但却是左 手坐标系!"# 如图 " 所示 这种物像不一致的像 叫做非一致像或镜像 因此 像与物对比 出现如图 所示的性质 沿镜面上下方向一致 而沿镜面左右 方向反向 图 " 平面镜成镜像

22 第 章 几何光学基础 从图 和图! 可见 平面镜所成的像是实物成虚像 虚物成实像 不论哪种情况 像与物都是以镜面为轴的对称图形 即平面镜是物和像连线的中垂面 物空间一点所成的像仍是一点 平面镜使同心光束保持同心性 物空间与像空间点与点对应 显然 平面镜所成的像是完善像 平面镜是理想光学系统 平面镜还有一个性质 即若保持入射光线的方向不变 而使平面镜转动 角 则反射光线将转动 角 如图 所示 现证明如下 表示平面镜 转过 角以后的位置 为入射光线 为平面镜转动前的法线 为平面镜转动前的反射光线 当平面镜绕入射点 顺时针转动 角时 其法线变为 反射光线变为 入射角和反射角同时改变 角 和 之间有下列关系 所以 有 图 平面镜绕垂直入射面的轴转动综上所述 单个平面镜的成像特性可归纳如下 像和物的连线与镜面垂直成镜像 物和像以平面镜对称 像和物到镜的距离相等 实物成虚像 虚物成实像! 平面镜的转动具有 光放大作用 光在平面上的折射为了明确物与像的关系 有必要先对线段和角度的正负号做一规定 线段以光学系统界面为起始 沿光线传播方向为正 逆光线传播方向为负 角度由界面法线为起始转一锐角至光线时 顺时针旋转角度为正 逆时针旋转角度为负 如图 所示 物点 发出的一光线 入射到透射界面上将发生折射 入射角为 折射角为 另一光线垂直入射到界面不发生偏折 两条折射光线的反向延长线交于 点 该

23 大学物理教程 点即为物点 的像 光线不发生偏折的方向 即 连线及通过界面的延长线称为光 轴 物点 到界面的垂直距离称为物距 像点 到界面垂直距离称为像距 由图 中几何关系可知 即 根据折射定律 $ $ %$%$& %% $ $ &'&' 将式 和式 代入式! 得 &'$ &'$ 再将式 " 代入式 即得! " %% &$ &$ 式 式称为平面折射的基本公式 由此就能够确定任意一条光线经过平面折射 后的光路 可见 对于一个折射平面来说 像距 % 是物距 % 入射角 $ 和折射角 $ 的函 数 表明由光轴上同一物点发出的不同方向的光线 经过平面折射之后 并不能全部 相交于同一点 也就是说不能成完善像 图 平面折射 如果入射角 很小 光线为近轴光线 则式 " 和式 可近似表示为 % % 可以看出 折射角与入射角之比等于物距与像距之比 近轴光线经过平面折射 可以 近似成完善像 例 在水中深度为 处有一发光点 ' 作 ' 垂直于水面 求射出水面折射线 的延长线与 ' 交点 ' 的深度 " 与入射角 的关系 如图 # 所示

24 第 章 几何光学基础 解 在 ' 中 在 ' 中 根据折射定律 有 所以 图 # 例 图示 "!!" &'&' "" "&'&&&' " &' & 上式表明 由 ' 发出的不同方向的光线 折射后的延长线不再交于同一点 但对 于那些接近法线方向的光线 近似地有 &' & 所以 "" 与 无关 即折射线的延长线近似地交于同一点 ' 深度为 "" 在 ' 点之上 说明在垂直 点向下看 ' 点能看到其像点 ' 偏离 点侧看 看不到 ' 点的像 ' 光在球面上的反射和折射 光在平面上的反射和折射成像的研究方法同样适用于球面上的反射和折射问题 光在单球面上的折射如图 所示 从物点 ' 发出的光线在折射率为 的介质中 向折射率为 的球形介质界面 入射 经折射后会聚于像点 ' 下面将要建立单球面成像的物像关系式

25 大学物理教程 在图 中 折射球面 的曲率半径为 球面的曲率中心为 将物点 ' 和球心 的连线 ' 称为主光轴 将球面 与主光轴的交点 称为顶点 主光轴就是过顶点 的球面 的法线 显然 主光轴对于从 ' 发出而入射于球面的同心光束 具有轴对称性 设入射线 ' 在球面上 点处的入射角为 折射角为 表示 点处球面法线和主光轴的夹角 入射光线 ' 经球面折射后 交主轴于 ' 我们称 ' 的距离为物距 用 表示 称 ' 的距离为像距 用 表示 图 单球面折射成像 假设光线自左向右入射 物点在球面顶点左侧 像点在球面顶点右侧 线段和角 度的符号规定如下 线段以球面顶点为起始沿光线进行方向为正 逆光线进行方向为负 线段在主光轴之上为正 在主光轴之下为负 球面曲率中心在顶点右侧 其曲率半径 球面曲率中心在顶点左侧 角度自主光轴或球面法线为起始转一锐角至光线时顺时针旋转角度为正 逆时针旋转角度为负 现在 我们先讨论由物点 ' 发出的所有光线是否都交于 ' 点 根据三角形的正弦定理 对 ' 和 ' 有 ' ' &' &' ' ' &' &' &' &' 两式相乘 并由折射定律 得 于是 得到 ' ' ' ' &' &' &' &' ' ' ' ' # 式 # 说明 像点 ' 的位置与球面 上 点的位置有关 由图 所示平面 内的光线可知 从物点 ' 发出的各条光线方向不同 折射后的光线与主光轴的交点是不 同的 显然 同心光束经球面折射后失去同心性 这说明单球面折射不能形成完善像

26 第 章 几何光学基础 欲使折射光线保持同心性 必须满足近轴 傍轴 条件 即只考虑与主轴成微小 夹角的近轴光线 此时 入射角 和折射角 都非常小 必然满足 同时也有 &'&' '''' 这就是说 在 ' 向折射球面 发出的同心光束中 只有近轴光线经折射后才能会聚于 主轴上的同一点 ' 成为物点 ' 的像 光学系统中满足这样条件的区域称傍 近 轴区 在图 中 对于近轴光线 根据折射定律有 由图 中三角形外角关系有 即 考虑近轴条件 有 $ $ $$ $ & $ & & 将以上结果代入式 约去 & 即得 式 就是近轴光线单球面折射成像的物像关系式 式中 表示凸球面 表示凹球面 这个关系式给出了主光轴上物点 ' 与 像点 ' 之间位置的共轭关系 从式 还可以看出 主光轴上存在一个特殊点 当物点 ' 处在这一位置时 它入射于球面的同心光束 经球面折射后的出射光线都平 行于主光轴 这个点称为物方焦点或第一焦点 记为 从顶点 到 的距离称为物 方焦距 记为 将 ( 代入式 得 主光轴上同样还存在另一个特殊点 平行于主光轴的入射光线 经球面折射后的出射 光线都将会聚于该点 这个点称为像方焦点或第二焦点 记为 从顶点 到 的距 离称为像方焦距 记为 将 ( 代入式 得 由式 和式 可以得到 式 表明像方焦距与物方焦距之比等于像方折射率与物方折射率之比 而式中 的 号则表明 和 分别位于球面两侧 将式 式 代入式 得到更为简洁的物像关系式

27 ! 大学物理教程 ) 式! 称为近轴区单球面折射成像的高斯公式! 横向放大率和角放大率如图 所示 在近轴光线和近轴物的条件下 垂直于主轴 过物点 ' 的平面称为物平面 而与其共轭的过像点 ' 的平面则称为像平面 横向放大率又称垂轴放大率 给出这两个平面内物 像间图形相似性的关系 若在主轴上过点 ' 作垂直于主轴的线段 ' 高为 " 则经球面折射后成像为 高为 " 像高 " 与物高 " 的比值定义为横向放大率 即 " " " 图 物 像间的关系 规定垂直方向的线段在主轴上方为正 在下方为负 显然 表示物像的上下 关系是同向的 简称为 正立 表示像比物大 是放大的 则为倒立的缩小像 在图 中 入射光线 的折射光线为 在近轴条件下 &' 折射 定律可表示为由图 可知 " " " " 所以 单球面折射系统的横向放大率 为 " " 由 ' 点发出的近轴光线 经球面折射后成像于 ' 点 显然也改变了同心光束的张角 如图 所示 设入射的近轴光线与主轴的夹角为 $ 与其共轭的折射光线与主轴的夹角为 $ 将它们的比值定义为角放大率 以表示球面折射改变同心光束张角大小的

28 第 章 几何光学基础 " 能力 则有 $ $ 若某条光线入射于球面后不发生偏折 那么入射光线及其共轭的出射光线与主轴 的夹角相等 即有 $$ 此时 对单球面折射系统 这一对共轭光线与主轴的交 点重合 它就是球面的曲率中心 由图 可知 在近轴条件下有 所以 角放大率可表示为 $$ $ $ 把 的定义式 代入上式 得 "$"$ 常量 # 式 # 称为拉格朗日亥姆霍兹恒等式 它给出在近轴区域球面折射成像时 物 像空间各共轭量之间的制约关系 式 # 虽由单球面得到 但对多个折射球面的 共轴成像系统也适用 球面折射成像的作图方法 根据焦点和球面曲率中心的特征 对一个从物点入射于球面的近轴光线 总可以 找出三条典型光线 如图 所示 其中任意两条光线的交点即为相应的像点 过物方焦点 的入射光线 其折射光线平行于主轴 平行于主轴的入射光线 其折射光线过像方焦点 过球面曲率中心 的入射光线 其折射光线不发生偏折 对于任意的近轴入射光线 求它的折射光线时 需要添加辅助光线 添加的辅助 光线应当是与入射光线相关的典型光线 例如 在图 中求入射光线 的 折射光线时 可过 作平行于 的辅助线 然后作过 平行于主轴与过 垂直 于主轴的两条辅助线得交点 连接 即为 的折射光线 图 球面折射成像作图 球面反射成像 光线在球面上反射成像时 物空间与像空间将重合 且入射光线与反射光线行

29 大学物理教程 进方向相反 我们可以把球面反射视为球面折射在此条件下的特例 将 代入式 可以得到 ) 由式 和式 得到反射球面的焦距为 可见 反射球面的物方焦点 和像方焦点 重合 处于图 主轴上 ' 连线的中 点 而且焦距只与球面的曲率半径有关 与外界因素无关 由此 球面反射成像的高 斯公式为 ) 例 一个点状物体放在离凹球面镜前 "% 处 凹球面镜的曲率半径为 % 试确定像的位置和性质 解 若光线自左向右进行 这时 "%% 由 ) 可得 " % 所成的是在凹面镜后 % 处的一个虚像 如果光线自右向左进行 那么 由式! 可得 "%% " % 得到的仍然是在凹面镜后 % 处的一个虚像 这说明无论光线自左向右进行 还是 自右向左进行 只要按照前述符号法则 物像公式都是适用的 薄 透 镜 球面透镜在生活中到处可见 近视镜 远视镜都是透镜 透镜也是照相机 望远 镜 显微镜等许多光学仪器的重要部件 为简单起见 本节只讨论厚度很小的薄透镜 成像的分析方法 薄透镜成像规律 把玻璃等透明物质磨成薄片 其两表面都为球面或有一面为平面 即组成透镜 凡中间部分比边缘部分厚的透镜叫做凸透镜 凡中间部分比边缘部分薄的透镜叫做凹 透镜 连接透镜两球面曲率中心的直线称为透镜的主轴 包含主轴的任一平面 称为 主截面 透镜都制成圆片形 而以主轴为对称轴 圆片的直径称为透镜的孔径 物点

30 第 章 几何光学基础 在主轴上时 由于对称性 任一主截面内的光线分布都相同 故通常只研究一个主截面 透镜两表面在其主轴上的间隔称为透镜的厚度 若透镜的厚度与球面的曲率半径相比不能忽略 则称为厚透镜 若厚度可略去不计 则称为薄透镜 由几个折射球面组成的光学系统 前面光学系统的像是后面光学系统的物 要确定某光束的心是像还是物 首先要确定光学系统 单球面折射是一种最简单的光学系统 实际的系统一般都由多个主轴重合的折射球面组成 称为共轴球面系统或光具组 透镜是一个简单的共轴球面系统 由两个曲率半径分别为 和 的单球面组成 两顶点 相距 ( 为正 通常分凸透镜和凹透镜两大类 如图 所示 图 透镜当 ( 远小于 及焦距时 可认为 ( 即 重合在 成为最简单的共轴球面系统 称为薄透镜 称为光心 如图 所示 薄透镜成像可利用单球面相继成像的方法得到 因透镜很薄 两个顶点可以看作是重合在一点 若透镜两边的折射率相同 则通过 点的光线都不改变原来的方向 这样的点称为透镜的光心 在薄透镜中量度距离都从光心算起 图 薄透镜成像下面我们利用逐次成像法导出薄透镜成像的公式 设主轴上一物点 ' 离薄透镜光心 的距离为 薄透镜材料的折射率为 * 对薄透镜左方第一折射球面 物方折射率为 像方折射率为 * 利用式 得 * * 式中 * 仅与第一折射球面的曲率半径及其两侧介质的折射率有关 对于

31 # 大学物理教程 一定的介质和确定形状的球面是一个不变量 可以表征这个球面的光学特征 称为第一折射球面的光焦度 对薄透镜右方第二折射球面 物方折射率为 * 像方折射率为 且有 由式 得 同理 式中 是第二折射球面的光焦度 将式 与式 相加 得 式中 为薄透镜的光焦度 即 ) ) * ) * 它由组成薄透镜的两个单球面的光焦度相加而得 式 便是薄透镜的成像公式 对于薄透镜而言 式 中下标为 的 量属于物方 下标为 且上标带撇 的量则属于像方 我们可以去掉下标而直接以 物方和带撇的像方表示 这样 薄透镜的成像公式便与式 相似 即! 在式! 中 当 ( 时 有 为薄透镜的像方焦距 同理 当 ( 时 有 为薄透镜的物方焦距 再将薄透镜的焦距代入式! 可得到薄透镜的高斯公式 ) " 其形式与单球面折射成像的高斯公式也完全一致 式中 物距 和像距 都从光心 算起 光焦度是光学系统会聚或发散光束本领的量度 根据前面的推导 我们可得薄透 镜的光焦度为 在国际单位制中 光焦度的单位称为屈光度 用 表示 对于空气中一焦距为 "% 的薄凹透镜 其光焦度为 "! 通常所讲眼镜的度数是屈光度 的 倍 因此这个薄凹透镜是度数为! 度的近视眼镜 薄透镜成像的作图法和横向放大率 薄透镜的一般作图成像法 即利用经过两焦点和光心的三条典型光线中的两条画 出像点的方法 这要在近轴条件下才成立

32 第 章 几何光学基础 利用焦点 焦面和光心的特征 作图求薄透镜在近轴光线下成像的方法 与单球 面的情况相同 由于过单球面曲率中心 的光线不偏折 故 即为单球面的光心 对 薄透镜需注意 仅当其处于同一介质 即物方和像方折射率相同 时 过薄透 镜光心 的光线才不偏折 如图! 所示 薄透镜成像的三条典型光线描述如下 过物方焦点 的入射光线 其出射光线平行于主轴 平行于主轴的入射光线 其出射光线过像方焦点 对像方和物方为同一介质中的薄透镜 过光心 的入射光线 其出射光线不发生偏折 图! 薄透镜成像作图的三条典型光线 对于任意的近轴入射光线 同样可通过添加与入射光线平行的辅助光线 利用物 方焦点 或光心 的性质来决定它的出射光线 上述作图法实际上也可推广到轴外不远处一物点发出的近轴光线的情况 同一物 点的任意这样两条光线通过透镜折射后的交点 便是对应的像点 薄透镜由两个单折射球面构成 利用对每个单球面折射逐步成像的方法 不难得 到垂直于主轴的物高为 " 时的横向放大率 设由第一单球面折射后像高为 " 而对于 第二单球面而言 " 是物高 即 "" 经折射后的像高为 " 它就是薄透镜所成的 像 即 "" 所以薄透镜的横向放大率为 即 " " " " " " " " " " 式 与单球面折射的横向放大率式 具有完全相同的形式 式中 和 分别是薄透镜的像距和像方折射率 由式 也不难推广到多个共轴的薄透镜系统 同样可有 当 时 为正立放大像 而当 时 为倒立缩小像 薄透镜作为最简单的共轴系统 在近轴光线条件下自然也满足拉格朗日亥姆霍兹 恒等式 所以角放大率也由式 表示 即 $ $ " "

33 大学物理教程 由于我们经常使用的是空气中的薄透镜 若将 代入式 和式 则有 这时的高斯公式为 * # 例 有两块玻璃薄透镜的两表面均各为凸球面及凹球面 其曲率半径为 % 一物点在主轴上距镜 % 处 若物和镜均浸入水中 分别用作图法和计算法求像点的位置 设玻璃的折射率为 " 水的折射率为 解 因透镜放在同一种介质中 所以物方和像方焦距的绝对值相等 已知 " 由凸透镜两表面曲率半径分别为 %% 物距为 %% 得 % 由 % % 解得像距为 %!% 由凹透镜两表面曲率半径分别为 %% 物距为 %% 得 % 由 % % 解得像距为 %% 作图如图 " 所示 图 " 像点的距离 思考与讨论 平面镜反射成像时 像和物左右互易 为什么像和物并不上下颠倒 试用作图法论证单球面反射和折射能否保持光束的单心性 实物放在凹面镜前什么位置能成倒立的放大像 为什么 是实像还是虚像! 一物体经薄透镜成一实像 在什么情况下当物与像之间距离不变时可有二次成像 什么条件成像时 " 以物距为横坐标 像距为纵坐标 作薄透镜的物像关系曲线 并指出各种情

34 第 章 几何光学基础 况下物像的性质 习 题 如图 所示 人眼前有一小物体 距人眼 "% 今在人眼和小物体之间放置一块平行平面玻璃板 玻璃板的折射率为 " 厚度为 "%% 试问此时看小物 体相对它原来的位置移动多远 如图 所示 表示恒偏向棱镜 选择相当于两个 棱镜与一个!"!" 棱镜按图示方式组合在一起 白光沿 方向入射 旋转这个棱镜来 改变 从而使任意波长的光可以依次循着图中的路径传播 出射光线为 求证 若 &' 则 且光束 与 相互垂直 图 习题 图示 图 习题 图示 高为 "% 物体放在距凹面镜顶点 % 处 凹面镜的焦距是 % 求像的位置及高度 并作光路图! 若折射凸球面的曲率半径为 % 物点 ' 在折射球面顶点左侧 % 处 左方 物方 折射率为 右方 像方 折射率为 " 试计算像的位置 " 扁圆柱形体温计的断面如图 # 所示 顶点 处的曲率半径 %% 为圆柱部分在纸面内的曲率中心 水银柱 在主轴上的高度为 ""%% 离顶点 的距离为 "%% 设玻璃的折射率 " 从空气中看到水银柱的像在顶点的哪一 侧 距顶点的距离为多少 像有多大 像的性质如何 图 # 习题 " 图示

35 大学物理教程 一凸透镜在空气中的焦距为!% 在水中的焦距为 #% 问此透镜的折射率是多少 设水的折射率为 若将此透镜放置在 + 中 + 的折射率为 其焦距又为多少 两片极薄的玻璃片 曲率半径分别为 % 和 "% 将两玻璃片的边缘粘起来 形成一内含空气的双凸透镜 把它置于水中 求其焦距为多少 # 有一个患有远视眼的人 其远视眼的近点在眼前 % 处 欲使他最近能看清眼前 "% 处的物体 应佩戴多少度的凸透镜镜片 某人眼近点在眼前!"% 处 戴上 )" 度镜片后能看清的最近物体在何处 焦距为 % 的薄凸透镜 和焦距为!% 的薄凹透镜 共轴地放置在空气中 两者相距 % 今把物放在 左侧 % 处 求最后像的位置

36 第 章 光的偏振 在第 章中主要讨论了光的直线传播 光的反射和折射 其实反射光线和折射光线与入射光线并非只是传播方向不同 而是具有不同的偏振性 光的偏振现象表明光是一种横波 因为只有横波才有偏振现象 本章重点学习光的起偏 检偏 马吕斯定律和布儒斯特定律 光波的描述 我们知道 光是可引起视觉反应的那部分电磁波 称为光波 而电磁波是变化的 电场和变化的磁场的传播过程 在电磁波中每一点都有一振动的电场强度矢量 和磁 场强度矢量 和 的振动方向与光波传播方向 都是互相垂直的 如图 所 示 这样的波称为横波 中主要起感光作用和生理作用的是电场强度矢量 所 以将 称为光矢量 电场强度 随时间 的变化而周期性往复变化 称为光振动 光 矢量 与传播方向 构成的平面 称为振动面 图 描绘出一列振动面确定的光波 图中 轴表示光波传播的方向 为光波 传播的速度 称为波速 真空中就是光速 易见光矢量 的大小既随时间 变化也随 空间位置 改变 其变化关系可以用余弦函数表示为 & ) ) 式中 是光矢量 的最大值 称为振幅 ) 是光波传播一个波长距离 所需要的时 间 称为周期 单位是 & 周期的倒数称为频率 用 表示 单位是,- ) 称为圆频率或叫角频率 显然 ) ) 是确定在 处 时刻光矢量 的变化的主要物理量 称为位相 也称相位 简称相 称为初位相 也叫初相 从光源 开始 随着 的增大 位相依次落后 每两点之间的位相之差称为位相差 和 ' 两点之间的距离就是光波波长 相应的位相差为 和 ' 的中点 向下偏离 轴 最大 其值等于 两点之间的距离是半波长 对应的位相差为 图 电磁波 图 光波

37 ! 大学物理教程 波长 频率 或周期 和波速是描述光波基本特性的物理量 波长反映了光波的 空间周期性 频率 或周期 反映了光波的时间周期性 波速则反映了光波传播的快 慢 它们之间有着密切的联系 这种联系表现为 ) 式 也可以用波速和圆频率改写为 & ) 光波传播到的空间称为波场 在波场中 代表光波的传播方向的射线 称为波射线 简称为波线 波场中同一时刻振动位相相同的点的轨迹 称为波面 某一时刻光源最初的振动状态传到的波面叫做波前或波阵面 即最前方的波面 因此 任一时刻只有一个波前 而波面可以有任意多个 如图 所示 按波面的形状 波可以分为平面波 球面波等 在各向同性介质中 波线恒与波面垂直 就是几何光学中的光线 光的亮度由光波的发光强度 以下简称为光强 描述 它与光矢量的振幅的平方成正比 即 *! 式中 为比例常量 图 波面 波前和波线 光的偏振性 为人们生活带来光明的太阳光和常见的各种灯光统称为自然光 如何获得偏振光 呢 本节将重点讨论光的偏振性 起偏和检偏的基本方法 自然光与偏振光 实验和理论都证明 一个原子 或分子 每次发光的光矢量始终在一个确定的平 面上振动 这样的光称为线偏振光或完全偏振光 也称为平面偏振光 第 " 章将学到 原子或分子的能量是量子化的 即能量具有分立值 当原子或分 子由较高能态跃迁到较低能态时就发出一列光波 它持续的时间约为 # & 原子或分

38 第 章 光的偏振 " 子发出一列光波后 它还可以从外界吸收能量 由低能态跃迁到高能态 当它再次由高能态向低能态跃迁时它就再发出一列光波 这是一个随机的过程 每一个原子或分子先后发射的各列光波以及不同原子或分子同时发射的各列光波 彼此之间在位相上没有联系 振动方向也各不相同 频率也可以不同 我们所观察到的普通光源所发出的光看起来是连续的光波 实际上是由大量原子 或分子 所发射的许许多多彼此完全独立的光波组成的 如图! 所示 这些光波的振动方向和位相是随机变化的 在垂直光传播方向的平面上看 几乎各个方向都有光矢量的振动 图! 波列彼此独立按统计平均来说 无论哪一个方向的振动都不比其他方向更占优势 即光矢量的振动在各个方向上的分布是对称的 各个方向上的振幅可看作完全相等 这种光称为自然光 如图 " 所示 可以设想将每列光波的光矢量都沿图 " 中任意取定的两个垂直方向分解 然后将所有各列光波的光矢量的两个分量分别叠加起来 成为总的光波的光矢量的两个分量 由于各列光波的位相和振动方向都是随机分布的 所以这两个分量之间没有固定的位相关系 这样 我们可以把自然光分解为两个相互独立 振幅相等 振动方向相互垂直的线偏振光 其中每个线偏振光的光强各等于自然光光强的一半 因此 自然光可以用图 " 所示的方法表示 即用短线和点分别表示在纸面内和垂直于纸面的光振动 注意 由于自然光内各光矢量间无固定的位相关系 因而其中任何两个取向不同的光矢量不能合成为一光矢量 图 " 自然光采用某种方法可以把自然光两个垂直的独立光振动分量中的一个完全消除或移走 只剩下另一个方向的光振动 就获得了线偏振光 如果只是部分地移走一个分量 使得两个独立分量不相等 这样的光叫做部分偏振光 线偏振光和部分偏振光的表示方法如图 所示

39 大学物理教程 图 线偏振光和部分偏振光如果光在传播过程中光矢量的端点不断的左旋或者右旋且光矢量的端点轨迹是一个圆 则称这样的光为圆偏振光 如图 所示 如果光矢量的端点轨迹是一个椭圆的 则称这样的光为椭圆偏振光 如图 # 所示 从迎着光的传播方向看时 光矢量顺时针旋转的 称为右旋椭圆偏振光或右旋圆偏振光 而光矢量逆时针旋转的 称为左旋椭圆偏振光或左旋圆偏振光 这种左旋或右旋的方向性称为手征 图 圆偏振光 偏振片的起偏和检偏 图 # 椭圆偏振光 在自然光中 由于一切可能的方向都有光振动 因此产生了以传播方向为轴的对 称性 为了考虑光振动的本性 我们设法从自然光中分离出沿某一特定方向的光偏振 也就是把自然光改变为线偏振光 从自然光获得偏振光的过程称为起偏 产生起偏作用的光学元件称为起偏器 一 束自然光经起偏器后将变成原来光强一半的偏振光 如图 所示 生成的偏振光的 振动方向与起偏器的偏振化方向一致 检验入射光是否为偏振光的过程称为检偏 具有检偏作用的光学元件称为检偏器 如图 所示 当检偏器以光传播方向为轴旋转时 自然光经旋转的检偏器后光强是 恒定的 而偏振光经旋转的检偏器后光强将随检偏器的偏振化方向改变而改变 由此 就可以分辨出射入检偏器的光是否为偏振光 图 起偏 图 检偏

40 第 章 光的偏振 起偏器和检偏器都可以用偏振片实现 偏振片是由天然或人造材料制成的 其特点是在这些材料的内部存在一个确定的方向 当光矢量的振动方向与该方向相垂直时 光因为被吸收强烈而不能通过该种材料 当光矢量的振动方向与该方向平行时 则因为光被吸收少而通过该种材料 这种对光振动的方向具有选择性吸收的性质称为物质的二向色性 现今在工业生产中广泛使用的是人造偏振片 它利用某种只有二向色性的物质的薄透明体做成 为了便于使用 在所用的偏振片上标出记号 表示该偏振片允许通过的光振动方向 这个方向称为偏振化方向 也叫做透光轴方向 如图 所示 光强为 * 的自然光垂直入射到偏振片 后 透射光是振动方向与 的偏振化方向平行的线偏振光 以光的传播方向为轴转动 时 线偏振光的偏振面随之转动 但光强不发生改变 始终为 * * 因为偏振片只允许与自身偏振化方向相同的光矢量通过或者是其他方向的光矢量在偏振化方向的分量通过 图 通过偏振片的自然光 如果光强为 * 的线偏振光垂直入射到偏振片 在以光的传播方向为轴转动 的过程中 透射光的光强明显发生变化 当 的偏振化方向平行于 * 的光矢量时 透射光最强 ** 随着 的旋转 * 逐渐地减弱 直到 的偏振化方向与入射 光矢量垂直时 * 减小到 即没有光通过 这称为消光现象 继续转动偏振片 光强开始逐渐地增强 直至出现光强最大现象 此时的偏振化方向与光矢量的方向是 平行的 如图 所示 其中 为偏振化方向转过的角度 由此可以得到如下结论 线偏振光入射到偏振片上后 偏振片以入射光线为轴旋转一周过程中 发现透射光两次最明和两次消光 若自然光入射到偏振片上 则以入射光线为轴转动偏振片一周时透射光光强不变 若部分偏振光入射到偏振片上 当偏振片以入射光线为轴转动一周时 则透射光有两次最明和两次最暗 但不消光

41 # 大学物理教程 图 通过偏振片的线偏光 马吕斯定律 如图 所示 自然光入射到偏振片 上 透射光又入射到偏振片 上 这 里 为起偏振器 相当于检偏振器 透过 的线偏振光其光强的变化规律如何 这就是马吕斯定律要阐述的内容 图 偏振片的起偏与检偏

42 第 章 光的偏振 如图! 所示 设 的二偏振化方向为 夹角为 自然光经 后变成线偏振光 光强为 * 光矢量振幅为 光振动振幅 分解成与 平行及 垂直的两个分矢量 标量形式分量为 &! &' 显然 只有 能透过 在无光吸收的条件下 透过 的光振动振幅为 比为 即 & 光强正比于光振动振幅的平方 入射光与透射光强之 * * & & **& " 图! 光矢量的分解 这个规律是马吕斯 # 年由实验发现的 称为马吕斯定律 它表明 透过一偏振 片的光强等于入射线偏振光光强乘以入射偏振光的光振动方向与偏振片偏振化方向夹 角余弦的平方 讨论 **%.* 最明 或 * 消光 ** 例 自然光通过两个偏振化方向相交 的偏振片 透射光强为 * 再在这两 个偏振片之间插入另一偏振片 它的方向与前两个偏振片均成 角 求透射光强 分析 设入射自然光强为 * 偏振片 是起偏振器 透射的偏振光光强恒为 * 而偏振片 是检偏振器 满足马吕斯定律 将偏振片 插入两块偏振片之间后 偏振 片 为检偏振器 可以两次应用马吕斯定律求出透射光强 解 根据以上分析 入射光通过偏振片 和 后 透射光强为 插入偏振片 后 其透射光强为 两式相比可得 * * & * * & & *"* 布儒斯特定律 除了用偏振片起偏和检偏之外 还可以用玻璃片堆获得偏振光 反射光和折射光

43 大学物理教程 都是部分偏振光 反射光和折射光的偏振 自然光在两种各向同性介质界面上反射和折射 反射光和折射光一般都是部分偏 振光 通常把入射光线与界面法线所构成的平面称为入射面 当一束自然光入射到两 种介质的分界面上时 便产生了反射和折射 用偏振片检验反射光时 发现当偏振片 的偏振化方向与入射面垂直时 透过偏振片的光强最大 当偏振片的偏振化方向与入 射面平行时 透过偏振片的光强最小 这个结果说明反射光为偏振方向垂直入射面成 分占优的部分偏振光 同样方法可以检测出折射光为偏振方向平行入射面成分占优的 部分偏振光 如图 " 所示 在特殊情况下 反射光将成为线偏振光 这一偏振现象 为我们提供了产生线偏振光的又一种方法 #" 年 布儒斯特在研究反射光的偏振化程度时发现 当入射角为某一特定的 时 反射光成为振动方向垂直于入射面的线偏振光 如图 所示 此时平行入射面 的振动完全不被反射 这个特定的入射角 称为布儒斯特角或起偏角 它由式 决定 这个规律称为布儒斯特定律 式中 分别是两个介质的折射率 当入射角为 时 折射角为 根据折射定律 则有 再根据布儒斯特定律可得即 &' &' 这表明 当入射角为起偏角时 反射光和折射光相互垂直 &'& # 图 " 反射和折射的偏振图 布儒斯特角由此可知 当自然光以起偏角从一种介质入射到第二种介质的表面上时 若入射角为布儒斯特角 则反射光为垂直于入射面的线偏振光 并且该线偏振光与折射光线垂直 而折射光为部分偏振光 平行入射面振动占优势 此时偏振化程度最高

44 第 章 光的偏振 若让这样的部分偏振光连续几次做同样的反射和折射 则最后获得的折射光也必定 是线偏振光 例 某一物质对空气的临界角为!" 光从该物质向空气入射 求布儒斯特角 解 设 为该物质折射率 为空气折射率 根据折射定律 有 又由布儒斯特定律 有 &'!" &' 联立上述两式 得 即 &'!" &' 槡 " 玻璃片堆法获得偏振光 前面讲过 当 时 折射光的偏振化程度最大 相对 而言 实际上 时 折射光与线偏振光还相差很远 例如 当自然光从空气射向普通玻璃上时 入射光中垂直振动的能量仅有 "/ 被反射 其余 #"/ 没全部平行振动的能量都折射到 玻璃中 可见通过单个玻璃的折射光 其偏振化程度不高 为了获得偏振化程度很高 的折射光 可令自然光通过多块平行玻璃 称为玻璃堆 如图 所示 使 入射 则射到各玻璃表面的入射角均为起偏角 入射光中垂直振动的能量有 "/ 被 反射 而平行振动能量全部通过 所以 每通过一个面 折射光的偏振化程度就增加 一次 如果玻璃体数目足够多 最后透射出的几乎全部为平行于入射面的光振动 图 玻璃堆的反射和折射

45 大学物理教程 证明 自然光入射角为 时 折射角为 通过各面入射时 均以起偏角入射 则按布儒斯特定律有 根据光的折射定律 及 得 &' &' &'&' & &' &' &' & 因此 是光从玻璃中向空气界面入射时的起偏角 思考与讨论 什么是偏振光 为什么自然光是非偏振的 随着激光技术的发展自然光也成为偏振光的可能性是否存在 自然光和圆偏振光都可以看作由两个振幅相等 振动方向互相垂直的线偏振光合成 它们的主要区别是什么 自然光射到前后放置的两个偏振片上 这两个偏振片的取向使得光不能透过 如果把第三个偏振片放在这两个偏振片之间 问是否有光可以通过! 自然光与线偏振光 部分偏振光有何区别 用哪些方法可以获得线偏振光 " 某光束可能是自然光 线偏振光 部分偏振光 如何通过实验加以区分 什么是寻常光 什么是非常光 它们的振动方向一定相互垂直吗 习 题 将三个偏振片叠放在一起 第二个与第三个的偏振化方向分别与第一个的偏振化方向成!" 和 角 强度为 * 的自然光垂直入射到这一堆偏振片上 试求经每一偏振片后的光强和偏振状态 如果将第二个偏振片抽走 情况又如何 平行放置两个偏振片 使它们的偏振化方向成 夹角 若两个偏振片对光振动平行于其偏振化方向的光线均无吸收 则让自然光垂直入射后 其透射光的光强与入射光的光强之比是多少 若两个偏振片对于光振动平行于其偏振化方向的光线分别吸收了 / 的能量 则透射光的光强与入射光的光强之比为多少

46 第 章 光的偏振 今在这两偏振片之间再平行地插入另一偏振片 使它的偏振化方向与前两个偏振片均成 角 此时 透射光的光强与入射光的光强之比又是多少 先按各偏振片均无吸收计算 再按各偏振片均吸收 / 的能量计算 一束由线偏振光与自然光混合而成的部分偏振光 当通过理想的偏振片时 发现透过的最大光强是最小光强的 倍 试问这部分偏振光中 自然光成分占多少! 一个自然光源 当两偏振片偏振化方向之间的夹角为 时 测得其透射光强度为 * 当夹角为 时 在同一位置换上另一自然光光源 测得透射光的强度仍为 * 则来自两自然光光源的光波的强度之比 *0* 是多少 " 具有平行表面的玻璃板放置在空气中 空气的折射率近似为 玻璃的折射率为 " 当入射光以布儒斯特角入射到玻璃板的上表面时 折射角是多少 并证明折 射光在下表面被反射时 其反射光也是线偏振光 一光束由强度相同的自然光和线偏光混合而成 次光束垂直入射到几个叠在一起的偏振片上 欲使最后出射光振动方向垂直于原来入射光中线偏光的振动方向 并且入射光中两种成分的光出射光强相等 则至少需要几个偏振片 它们的偏振化方向应该如何 放置 这种情况下最后出射光强与入射光强的比值是多少 一束自然光从空气投射到玻璃表面上 空气的折射率为 当折射角为 时 反射光是完全偏振光 求此玻璃板的折射率 # 水的折射率为 玻璃的折射率为 " 则当光由水中射向玻璃而反射时 起偏角为多少 当光由玻璃射向水面而反射时 起偏角又为多少

47 第 章 光的干涉 可见光是波长范围在 % 之间的电磁波 在一定的条件下 两束 或多束 光波相遇时产生的光强分布不等于各束光单独产生的光强之和 而出现明暗相间的现象 称为光的干涉 本章重点讨论光的相干性 杨氏双缝干涉 薄膜的等倾干涉 劈尖的等厚干涉和半波损失的形成条件 光的相干性 要认识光的干涉 应首先从光源本身的相干性和光波的相干条件入手 光波的位相差 波程差和光程差 对于第 章中图 所示的光波 我们知道光波在介质中的波长 与位相差 相 对应 据此知光波在介质中的波程差 与位相差 的关系为 即 由式 " 又知光波在介质中的波程 在介质中的波速 与真空中光速 和光 程 的关系是 也可以说光波的波程差 与位相差 有以下关系 将式 代入式 有 即光程差与相位差有以下关系 利用光波在介质中的波长 波速 光速 和周期 ) 的关系式 式 可以改写为 )

48 第 章 光的干涉 " )! 式中 ) 是光波在真空中的波长 显然 光波在真空中的波长 与介质中的波长之比 等于光速之比 亦等于介质 的折射率 即 " 换句话说 光波在介质中的波长是真空中波长的 分之一 式 " 代入式! 得光程差 相应的波程差 式 和式! 比较 形式完全相同 且在真空中 在折 射率为 的介质中 式 也归为式! 因此 采用光程 差取代波程差 不管什么介质 光的波长都可以统一用真空中的波长表示 以后为了 书写简便 光的波长一律写为 而不必特别区别真空或哪种介质 光的叠加原理和相干条件 在第 章我们已学过光的独立传播定律 即当几列光波在空间传播时 它们都将 保持原有的振动方向 频率 位相和传播方向等特性 光还具有光的叠加原理 在真空和线性介质中 当光的强度不是很强时 在几列 光波交叠的区域内光矢量将相互叠加 当如图 所示的振动方向相同 频率和波长都相同的两列光波在空间相遇叠加 后 总光强为 * # 式中 为合振幅 它不仅与原来的两列光波的振幅有关 而且与它们的位相差 或 波程差 有关 一般有如下三种情况 若两列光波同相 即 + 对应光程差 ++11 则合振幅有最大值为 %.) 光强也最大 如图 所示 若两列光波反相 即 + ) 对应光程差 +)+ 11 则合振幅有最小值为 %' 光强也最小 如图 所示 当两列光波既不是同相 也不是反相时 合振幅介于最大值 %.) 与之间 光强介于 和 两种情况之间 最小值 %' 这样的振幅叠加称为相干叠加 它使两列光同时在空间传播时 在相交叠的区域 内某些地方光强始终加强 而另一些地方光强始终减弱 这样的现象称为光的干涉 因此 产生干涉的条件如下 两列光波的频率相同

49 大学物理教程 两列光波的振动方向相同且振幅相接近 在交叠区域 两列光波的位相差恒定 满足这些条件的光源或光波 称为相干光源或相干光波 相干光的获得 图 同相叠加 图 反相叠加 由第 章已讲到 普通光源发出的光是由光源中各个原子或分子发出的许多列光 波组成的 每一列光波持续的时间不超过 # & 的数量级 每隔 # & 左右 就要被另 一列新的光波所代替 各列光波的振动方向 频率和位相是随机变化的 因此 两个 普通光源或同一光源的两部分发出的两列光波相互叠加时并不产生干涉现象 因而不 是相干光 称为非相干光 两列非相干光叠加后的光强等于两列光波的光强之和 即 **)* 对于普通的光源 要想得到相干光 只有一种途径 就是设法将同一个原子或分 子在同一时刻所发出的一列光波分为几部分 这几部分光波由于来自同一列光波 所 以有可能振动方向相同 频率相同 位相也可能满足干涉条件 可以说 干涉是一列 光波自己和自己的干涉 可以有两种方法 分波阵面法和分振幅法 分波阵面法是从同一波阵面上分出两个或两个以上的部分 使它们继续传播互相叠加而发生干涉 杨氏的双缝干涉 菲涅耳双镜和劳埃德镜属于这一种方法 分振幅法是使一束入射光波在两种光学介质的分界面处一部分发生反射 另一部分发生折射 然后使反射波和折射波在继续传播中相遇而发生干涉 薄膜干涉 牛 顿环和迈克耳孙干涉仪属于这一种方法 对激光光源 所有发光的原子或分子都是步调一致的动作 所发出的光具有高度 的相干稳定性 激光束中任意两点的光波都是相干的 可以方便地观察到干涉现象 分波阵面干涉 分波阵面法是科学家研究的一种从非相干光源中获得干涉现象的简单方法 杨氏双缝干涉实验 英国物理学家托马斯 杨在 # 年首先用实验观察到了光的干涉现象 为光的波 动说的确立奠定了基础 他的实验方法是让日光通过一个针孔 射到相隔很近的两个

50 第 章 光的干涉 针孔上 然后从两个针孔射出的光互相叠加就产生了干涉现象 现在实验室中的杨氏 实验是用狭缝代替了针孔 这种实验现象叫做双缝干涉 双缝干涉实验原理如图 所示 如果用激光器做光源 则可以不用狭缝 直接使激光照射到狭缝 和 上 在观察屏 上就可以看到明暗相间的条纹 图 双缝干涉实验如图! 所示 设双缝 和 到观察屏上任一点 的距离分别为 和 介质折射率为 如果从 和 发出的两列光波到达屏上 点的光程差 等于波长 的整数倍 两列光波到达 点时的位相相同 叠加后互相加强 点就出现亮条纹 如果光程差等于半波长 的奇数倍 两列光波到达 点时的位相相反 叠加后互相减弱或抵消 这里就出现暗条纹 图! 双缝干涉示意图 通常实验装置放在空气中 且双缝间距, 和 点离开 点的距离! 远远小 于观察屏到双缝距离 这时 角很小 近似有,&',,!

51 # 大学物理教程 按前边的分析 亮条纹和暗条纹对应的光程差分别为 亮条纹,! 1+ + 暗条纹,! 1+ + 即亮条纹和暗条纹中心分别为 亮条纹中心!1+, + 暗条纹中心!1 +, + 任意相邻亮条纹 或暗条纹 中心之间的距离! 称为条纹间距 显然!!+)!+, 表明干涉条纹是等间距分布的 综上所述 双缝干涉条纹具有如下特点 以 点 + 的中央亮条纹中心 对称排列的平行的明暗相间的条纹 在 角不太大时条纹等间距分布 与干涉级 + 无关 白光入射时 中央为白色亮条纹 其他级次出现彩色条纹 有重叠现象 如图 " 所示 图 " 双缝干涉条纹分布 例 在双缝干涉实验中 用波长 ""% 的绿光照射 双缝与屏的距离 % 测得中央明纹两侧的两个第五级亮条纹的间距为 %% 求双缝间的距离 分析 双缝干涉在屏上形成的条纹是上下对称且等间隔的 如果设两个亮条纹间 隔为! 则由中央亮条纹两侧第五级亮条纹间距!"!"! 可求出! 再由公 式!, 即可求出双缝间距, 解 根据分析 有 双缝间距为 半波损失!!"!"$ %,!"$! % #! 年 爱尔兰物理学家劳埃德发现了一种更简单的干涉装置 他直接利用一块平面镜 或一面涂黑的玻璃板 从反射光观察到干涉现象 如图 所示 从狭缝 发出的光 一部分直接射向光屏 另一部分掠射到镜面 上 然后反射到光屏 上 这两束光在图中阴影区中相互叠加 因光程差不同 在光屏上可以观察到明暗相

52 第 章 光的干涉 间的干涉条纹 劳埃德平面镜的干涉 相当于光源和 它在平面镜中的虚像 发出的两束光的 干涉 与杨氏双缝干涉类似 劳埃德将光 屏 移到与平面镜接触的 处 发现 处的光屏上出现的是暗条纹 而此处到 和 光程相等 似乎应该出现亮条纹 为什么观察到的却是暗条纹呢 唯一合理 图 劳埃德平面镜干涉 的解释就是经平面镜反射的光波的相位改变了 相当于多走了半个波长的光程 这种 现象称为半波损失 进一步研究发现 光从光疏介质 折射率较小的介质 射向光密 介质 折射率较大的介质 的分界面时 在反射光中可产生半波损失 而透射光中不 产生半波损失 当光从光密介质射向光疏介质的分界面时 在反射光中也没有半波 损失 例 在杨氏双缝干涉实验中 双缝间距为!"%% 用波长为 "!% 的单色 光照射 要使光屏 上条纹间距为 %% 光屏应离双缝多远 若用折射率为 " 厚度为 % 的薄玻璃片遮盖狭缝 光屏上干涉条纹将发生什么变化 解 根据干涉条纹间距的表达式!, 得,! $$!"$ %% "!$ 在 未被玻璃片遮盖时 光程差为,! 中央亮条纹的中心应处于! 的地方 遮盖厚度为 & 的玻璃片后 透射光中没有半波损失 但是中央亮条纹的光程差变为 &)&& )& ),! 中央亮条纹应满足 的条件 即 & ),! 于是可得! & $ %, 因此 当遮盖玻璃片后干涉条纹整体向下平移了 %

53 ! 大学物理教程 分振幅干涉 在日常生活中 我们常见到在阳光的照射下 肥皂膜 水面上的油膜呈现出色彩 缤纷的花纹 这是一种光波经薄膜两表面反射后相互叠加所形成的干涉现象 称为薄 膜干涉 如图 所示 在薄膜的界面处入射光可分为反射和折射两部分 折射部分再经下界面的反射又从上界面射出 在折射率为 的介质中 就有,- 一系列光波 由于这些光都是从同一列光分得的 所以满足相干的条件 而且 这些光是将原入射 光的能量 振幅 分为几部分得到的 被称为分振幅干涉 实际生活中见到比较多的 主要有两种薄膜干涉 一种是薄膜厚度均匀在无限远处形成的等倾干涉条纹 另一种 是厚度不均匀薄膜表面上的等厚干涉条纹 薄膜的等倾干涉 几束光发生干涉时 光的加强或减弱的条件只决定于光束方向的一种干涉现象称 为等倾干涉 例如 光通过两面平行的透明介质薄膜时 从上下表面反射的光产生的 干涉就属于这种干涉 图 薄膜的等倾干涉 设薄膜的厚度为. 折射率是 薄膜周围介 质的折射率是 光射入薄膜时的入射角是 在 薄膜中的折射角是 透镜 的作用是将,- 两 束平行光会聚到位于透镜焦平面的观察屏 上 使它们相互叠加形成干涉 如图 所示 由 - 光束向, 光束作垂线 则 &' 而. 注意到当 时在反射光中要考虑半波损失,- 两束 光的光程差 )) 而且.& 根据折射定律 &'&' 不难得到. & &' ).&). 槡 &' ) 按干涉条件 当 + 时 干涉加强 从反射光中可观察到亮条纹 当 +) 时 干涉相消 从反射光中可观察到暗条纹 因此亮条纹和暗条纹分别对应 亮条纹. 槡 &' +! 暗条纹. 槡 &' +! + 由此可以看出 对厚度均匀的薄膜 在 和. 都确定的情况下 对于某一波长

54 第 章 光的干涉! 而言 两反射光的光程差只取决于入射角 因此 以同一倾角入射的一切光线 其反 射相干光将有相同的光程差 并产生同一干涉条纹 换句话说 同一条纹都是由来自 同一倾角的入射光形成的 这样的条纹称为等倾干涉条纹 在所有的反射光和透射光中 相互平行的光将汇聚在无穷远处 则它们的干涉也 将在无穷远处发生 如果用凸透镜观察 则所有相互平行的光将汇聚在凸透镜的焦平 面上 在这种干涉装置中 只需要考虑相互平行的光即可 由于物像之间具有等光程 性 透镜的使用不会引起附加的光程差 但是 相对于界面法线 入射角相同的各点 在透镜的焦平面上 干涉条纹可以呈现一系列同心圆环 对于等倾干涉来说 不仅点光源可以产生清晰的干涉条纹 扩展光源也可以产生 清晰的干涉条纹 即光源的大小对等倾干涉条纹的形状没有影响 实际上 光源上每 一点都会产生一组等倾干涉条纹 而且这些条纹的位置互相重合 因此使干涉条纹更 加明亮 等倾干涉条纹也可以从薄膜的透射光中看到 透射光中没有半波损失 因此透射光 干涉中亮条纹对应. 槡 &' + 暗条纹对应. 槡 &' +) + 由于直接透射的光比经过两次或更多次反射后透射出的光强大得多 所以透射光 的干涉条纹不如反射光的条纹清晰 薄膜的厚度对条纹的影响比较大 厚度越大 相 邻亮条纹间的距离越小 即条纹越密 越不易辨认 劈尖的等厚干涉 光在厚度不同的薄膜表面发生干涉时 光的加强或减弱的条件只决定于膜的厚度 的一种干涉现象称为等厚干涉 观察等厚干涉现象 通常让光线垂直射到薄膜的表面 上 入射角 这时由膜的上下表面反射出的两束相干光的光程差近似等于. 是膜的折射率. 是该处膜的厚度 如图 # 所示 折射率为 的两块玻璃片 一端互相 叠合 另一端夹一细金属丝或薄金属片 这时 在两玻璃片 之间形成的空气薄膜称为空气劈尖 考虑到空气的折射率 在下边的玻璃片的上表面反射时有半波损失 而在上边的玻璃片的下表面反射光没有半波损失 则劈尖上下表 面反射的两束光的光程差应为 图 # 等厚干涉示意图.) " 为入射光的波长 因此 劈尖反射光干涉极大 明纹 的条件为.) + + 产生反射光干涉极小 暗纹 的条件为.) + ) +

55 ! 大学物理教程 厚度. 相同的各处 产生的干涉条纹的明暗情况相同 因此这种干涉条纹叫做等厚干涉条纹 如果用白光照射 由于各色光产生的干涉条纹的位置不同 互相叠加后就出现不同的颜色 肥皂泡上的彩色花纹就是这样出现的 等厚干涉在光学测量中有很多应用 例如 测量微小角度 细小的直径 微小的长度 以及检查光学元件表面的不平度 都可以利用光的等厚干涉 由式 可得 两相邻明纹和两相邻暗纹之间所对应劈尖的厚度差都等于..+).+ + ) + 如图 所示 设 为劈尖夹角 两相邻明纹或两相邻暗纹的间距为 / 则有 /&'.+).+ / &' 通常 很小 所以 &' 上式可改写为 / # 可见 对于单色光 劈尖干涉形成的干涉条纹是等间距的 且条纹的间距只与劈 尖的夹角 有关 愈小 干涉条纹愈疏 愈大 干涉条纹愈密 当 大到一定程度 时 干涉条纹将密得无法分开 所以 一般只有在劈尖夹角很小的情况下 才能观察 到劈尖的干涉条纹 图 等厚干涉条纹 例 折射率! 的劈尖 在单色光照射下 测得干涉条纹间距 /"$ % 已知单色光的波长 % 求劈尖的夹角 解 由式 # 得 牛顿环 &' / $ $! $!$"$ 把一个曲率半径 0 很大的平凸透镜 放在一块平面玻璃板 上 其间有一厚度逐 渐变化的劈尖形空气薄层 如图 所示 用单色光垂直照射 从反射光中可 以看到一组明暗相间的圆环 如图 所示 这是光从空气层上下表面反射后 产生的等厚干涉条纹 这是牛顿最先详细研究过的一种等厚干涉现象 这些环形的干 涉条纹就叫做牛顿环 由于有半波损失 中心 点处是暗点 由图 的几何关系易见 空气薄

56 第 章 光的干涉! 层厚度. 处到透镜中心 点处的距离为 槡 0 0. 槡 0.. 一般 0. 上式可近似为 槡 0. 该处两相干光的光程差为.) 因此 从中心计第 + 个暗环的半径为 第 + 个亮环的半径为 槡 槡 0 + 显然 随着级数 + 增大 干涉条纹变密 从透射光中也可以看到环形的明暗条纹 但 明暗条纹的位置与反射光中的相反 它的中心是亮点 图 牛顿环 牛顿环可用来检查生产出的光学元件 透镜 表面的曲率是否合格 并能判断应 如何进一步研磨使其符合标准 例 在牛顿环实验中 用波长为 "#% 的钠黄光作光源 测得某级暗环的 直径为 "%% 此环以外的第 个暗环的直径为!%% 试求平凸透镜的曲率 半径 0 解 设第 + 级暗环的直径为 "%% 由式 有 +) + +)0+00 由此得平凸透镜的曲率半径 增透膜 0 +) +! " %%##% $"#$ 光在空气中垂直射到玻璃表面时 反射光能约占入射光能的 "/ 反射损失并不 大 但在各种光学仪器中为了矫正像差或其他原因 常常要用多个透镜 例如 照相 机的物镜有的用 个透镜 变焦距物镜有十几个透镜 潜水艇用的潜望镜中约有 个 透镜 透镜的每个界面上都有反射损失 合计起来损失的光能就很多了 上述照相机

57 !! 大学物理教程 物镜损失的光能可达!"/ 潜望镜中损失的光能可达 / 此外 大量的反射光会产 生有害的杂光 影响成像的清晰度 为了减小反射损失 利用薄膜的干涉可使透射光 增强而反射光减小的特性 近代光学仪器中采用真空镀膜或化学镀膜的方法 在透镜 表面镀上一层透明薄膜 这种膜叫做增透膜 也叫做减反射膜 膜上方的介质通常是空气 折射率为 膜下方的介质通常是玻璃 折射率为 设膜的折射率为 且 当膜的厚度. 满足. +)+ 时 从膜上下两表面反射出的两束光的相位差是 相干后光强最小 从理论上可进一 步证明 当 槡 时从膜的上下表面反射出的两束光波的振幅大致相等 干涉后相消 可使反射光几乎全部消失 目前常用于增透膜的材料是氟化镁 它的折射率 # 由于减反射膜只能使一 定波长的反射光达到极小 通常助视光学仪器或照相机 一般是针对可见光的中部对 人眼视觉最敏感的黄绿光 波长为 """% 来选取膜的厚度的 因此 这种镜头的反 射光中由于缺乏黄绿光而呈现出与它互补的蓝紫色 与增透膜相反 利用薄膜的干涉也可以使反射光得到加强 这种膜叫做高反射膜 例如 氦氖激光器谐振腔的全反射镜镀 " 层的硫化锌氟化镁薄膜 可使 #% 的红光的反射率达到 / 例 在折射率 " 的照相机镜头表面涂有一层折射率 # 的 增透膜 若此膜仅适用于波长 ""% 的光 则此膜的最小厚度为多少 分析 在薄膜干涉中 膜的材料及厚度都将对两反射光 或两透射光 的光程差 产生影响 从而可使某些波长的光在反射 或透射 中得到加强或减弱 这种选择性 使薄膜干涉在工程技术上有很多应用 本题所述的增透膜 就是希望波长 ""% 的 光在透射中得到加强 从而得到所希望的照相效果 因感光底片对此波长附近的光最 为敏感 具体求解时应注意在. 的前提下 + 取最小的允许值 解 方法 由于空气的折射率 且有 则对透射光而言 两相 干光的光程差.) 由干涉加强条件 + 得 取 + 则膜的最小厚度.%'%. +! 解 方法 因干涉的互补性 波长为 ""% 的光在透射中得到加强 则在反射 中一定减弱 两反射光的光程差. 由干涉相消条件 +) 得 取 + 则.%'%. + )! 思考与讨论 试证明在杨氏实验中减少两衍射孔的间距只能增加在观察屏上可观察到条纹的范围 而不能增加可见条纹的数目

58 第 章 光的干涉!" 近视眼 不戴眼镜 能否看到等倾条纹 能否看到等厚条纹 为什么 从光源相干性讨论出发 说明薄膜干涉对光源的时间相干性和空间相干性有什么要求! 能否用牛顿环测量双凹透镜的曲率半径 能否用它测量很小的曲率半径 " 在迈克耳孙干涉仪中如果不用补偿板 用白光照明 会看到什么景象 为什么多光束干涉会产生细而亮的干涉条纹 是不是只要相干光束多就能产生细而亮的干涉条纹 习 题 在杨氏实验装置中 光源波长为!% 两缝间距为!%% 光屏离缝的距离为 "% 试求光屏上第一亮条纹与中央亮条纹之间的距离 若 点离中央亮条纹为 %% 则两束光在 点的相位差是多少 求 点的光强度和中央点的光强度之比 在杨氏实验装置中 两小孔 的间距为 "%% 光屏离小孔的距离为 "% 当以折射率为 的透明薄片贴住小孔 时 如图 所示 发现屏上的条纹移动了 % 试确定该薄片的厚度 图 习题 图示 在双缝实验中 缝间距为!"%% 观察屏离缝 "% 现用读数显微镜测得 个干涉条纹 准确说是 个亮条纹或暗条纹 之间的距离为 "%% 试求所用波 长 用白光实验时 干涉条纹有什么变化! 一波长为 ""% 的绿光入射到间距为 %% 的双缝上 求离双缝 % 远处的观察屏上干涉条纹的间距 若双缝间距增加到 %% 条纹间距又是多少 " 在菲涅耳双面镜干涉实验中 光波长为 "% 光源和观察屏到双面镜交线的距离分别为 "% 和 "% 双面镜夹角为 求观察屏上条纹间距 屏上最多可以看到多少条亮条纹 已知肥皂膜的折射率为 且平行光与法线成 角入射 试求能产生红

59 ! 大学物理教程 光 % 的二级反射干涉条纹的肥皂薄膜厚度 波长为! % 的可见光正入射在一块厚度为 $ % 折射率为 " 的薄玻璃片上 试问从玻璃片反射的光中哪些波长的光最强 # 图 绘出了测量铝箔厚度 的干涉装置结构 两块薄玻璃板尺寸为 "%%$"%% 在钠黄光 "#% 照明下 从劈尖开始数出 个条纹 准确说应为 个亮条纹或暗条纹 相应的距离是 %% 试求铝箔的厚度 若改用绿光 照明 从劈尖开始数出 个条纹 其间距离为!%% 试求绿光的波长 如图 所示的尖劈形薄膜 右端厚度 & 为 "% 折射率 " 波长为 % 的光以 角入射到上表面 求在这个面上产生的条纹数 若以两块玻 璃片形成的空气劈尖代替 产生多少条条纹 图 习题 # 图示 图 习题 图示 在利用牛顿环测未知单色光波长的实验中 当用波长为 "#% 的钠黄光垂直照射时 测得第一和第四暗环的距离为 /!$ % 当用波长未知的单色光 垂直照射时 测得第一和第四暗环的距离为 /#"$ % 试求该单色光的波长 在牛顿环实验中 当透镜与平板玻璃间为空气时 第 个亮环的直径为!$ % 当在其间充满某种均匀液体时 假定液体的折射率小于透镜和平板玻璃的折射率 第 个亮环的直径变为 $ % 试求这种液体的折射率 在牛顿环装置中 透镜的曲率半径 0!% 用单色光垂直照射 在反射光中观察某一级暗环的半径为 "%% 现把平板玻璃向下平移 ("% 上述被 观察的暗环半径变为何值 利用牛顿环装置可测量凹曲面镜的曲率半径 把已知的平凸透镜的凸面放置在待测的凹面上 如图! 所示 在两镜面之间形成空气层 可观察到环状的干涉 条纹 已知入射光的波长 "#% 平凸透镜的半径为 0 环的半径 0% 测得第四暗环的半径!"% 求待测凹面镜的曲率半径 0 图! 习题 图示

60 第 章 光的衍射 当光遇到小孔 狭缝或其他的很小障碍物时 传播方向将发生偏转 而绕过障碍物继续前行 并在光屏上形成明暗相间的圆环或条纹 光波的这种现象称为光的衍射 也称为光的绕射 本章将基于惠更斯菲涅耳原理 利用半波带法 重点分析夫琅禾费单缝衍射和光栅衍射的性质 讨论人眼和光学助视仪器的分辨率 光的衍射原理 实验发现 同心光束和平行光束分别入射到小孔或狭缝时 衍射条纹具有不同的特性 光的衍射究竟遵从什么规律呢 光的衍射及其分类光源 发出的光穿过狭缝 1 射向观察屏 当缝宽比光的波长大得多时 屏上出现一条光带 如图! 所示 可认为光沿直线传播 若缝宽小于光的波长 倍时 在屏上光直线传播的阴影区出现明暗相间的条纹 如图! 所示 这就是光的衍射 图! 光的直线传播 图! 光的衍射现象 光的衍射现象通常分为两类 菲涅耳衍射和夫琅禾费衍射 菲涅耳衍射指的是光 源 观察屏 或者是两者之一 到衍射屏 1 的距离是有限的 因而这类衍射又称 为近场衍射 如图! 所示 夫琅禾费衍射指的是光源 观察屏 到衍射屏 1 的距 离均为无限远 这类衍射也称为远场衍射 如 图!! 所示 夫琅禾费衍射可以利用两个会聚 透镜来实现 如图! " 所示 处于透镜 的焦点上 使入射到衍射屏 1 上的光为平 行光 透镜 再将通过衍射屏的平行光会聚 在焦平面即观察屏 上 图! 菲涅耳衍射

61 !# 大学物理教程 图!! 夫琅禾费衍射 图! " 夫琅禾费衍射装置图 惠更斯菲涅耳原理 究竟是什么原因使光通过狭缝和小孔能偏离直线传播的方向而进入阴影区形成明 暗相间的衍射图样呢 第 章看到光的相干叠加在观察屏上形成明暗相间的干涉条纹 在杨氏双缝干涉 等实验中 我们把两个狭缝当成点光源 其实每个狭缝都有一定的尺度 不只是发出 一条光线 自身发出的每两条光线在观察屏上也是相干叠加的 年 惠更斯仿照机械波 认为光波在空间传播到的各点 都可以看作一个子波源 发出新的子波 由此使得光波在更大的范围向前传播 如图! 和图! 所示 这个观点称为惠更斯原理 利用这个原理可以很容易理解为什么会出现光偏离直 线传播现象 但是不能解释为什么光的衍射中会出现明暗相间条纹 直到 ## 年 菲涅耳提出 从同一波面上各点发出的子波 在传播到空间某一点 时 各个子波之间可以相互叠加 这称为惠更斯菲涅耳原理 具体地说 子波在任意 一点 处引起的振动振幅 与 时刻波面 上的面元 的面积成正比 与距离 成反 比 并与 有关 这里 是子波传播方向 与面元 的法线方向 之间的夹角 如 图! # 所示 菲涅耳认为衍射是由各子波在 点的振幅相干叠加决定的 他还提出了 一种简易的衍射分析方法 图! 平行光的子波 半波带法 图! 点光源的子波 图! # 相干的子波 夫琅禾费单缝衍射和菲涅耳半波带法 在这一节中 我们将通过简单的夫琅禾费单缝衍射的分析 学习菲涅尔半波带法

62 第! 章 光的衍射! 单缝夫琅禾费衍射的装置以及光强分布 当光源和观察衍射现象的屏离单缝均为无限远或 相当于无限远时 入射光和衍射光均为平行光 这种 衍射现象是夫琅禾费首先研究的 故称为单缝夫琅禾 费衍射 单缝夫琅禾费衍射的实验装置如图! 所 示 当一束平行光垂直照射到一个单狭缝时 如果 狭缝宽度接近光的波长 则这束光会向阴影区衍射 光源 位于透镜 的焦平面上 透镜 把光源 发 图! 夫琅禾费单缝衍射示意图 出的光变为平行光 相当于光源位于无限远处 透镜 的作用是把平行光会聚到置于 焦平面的光屏上 相当于观察屏位于无限远处 实验会发现光在观察屏上形成衍射条纹 如图! 所示 为单缝夫琅禾费衍射的示意图 为单缝的截面 其宽度为, 当单色平行光垂直照射单缝时 根据惠更斯菲涅耳原理 上的各点都是子波源 这些子波向前传播 被透镜 会聚到屏上时 就会相互叠加 从而形成衍射条纹 图 中 为衍射光线与狭缝法线的夹角 称为衍射角 屏上光强的分布规律要通过分析各衍 射光线的光程差或位相差来确定 图! 夫琅禾费衍射原理图以及光强分布图 菲涅耳半波带法如图! 所示 将宽度为, 的缝 沿着与狭缝平行方向分成一系列宽度相等的窄条 + 对于衍射角为 的各条光线 相邻窄条对应点发出的光线到达观察屏的光程差为半个波长 这样等宽的窄条称为半波带 这种分析方法称为菲涅耳半波带法 从图! 和图! 可以看出 对应于衍射角为 的屏上 点 缝上下边缘两条光线之间的光程差为

63 " 大学物理教程,&' 下面分两种情况用菲涅耳半波带法讨论 处是明纹或暗纹 的长度恰等于两个半波长 即!,&' 图! 菲涅耳半波带 如图! 所示 将 分成二等份 过等分点作平行于 的平面 将单缝上波 阵面分为面积相等的两部分 每一部分叫做一个半波带 每一个半波带上 各点发出的子波的振幅可认为近似相等 两个半波带上的对应点 如 的中点与 的中点 所发出的子波光线到达 面上时光程差为 即位相差为 它们到达观察屏上 点位相差也是 结果由 及 两个半波带上发出的光在 点完全 抵消 所以出现暗条纹 图! 两个半波带叠加 的长度恰为三个半波长 即,&'

64 第 章 光的衍射 如图 所示 将 分成三等份 过等分点作平行于 面的平面 这两个平面将单缝 分成三个半波带 依照以上解释 相邻两个波带发出的光在 点互相干涉抵消 剩下一个波带发出的光束没有被抵消 所以 处出现明纹 一般地 的长度恰为 个半波长 即 这时可将 分成 个半波带 若 为偶数 则每个相邻的半波带发出的光在 点成对地互相抵消 点为暗纹 若 为奇数 则有 个半波带发出的光在 点成对地相消 剩下的一个波带发出的光未被抵消 点为明纹 归纳起来 可得如下结论 图 三个半波带叠加 明纹条件 暗纹条件 当 时 称为中央明纹 分别称为第一 二 级明纹 或暗纹 式中 为衍射级次 中央明纹是零级明纹 因为所有光波到达中央明纹中心 点的光程相同 即光程差为零 所以中央明纹中心 处光强最大 明暗条纹以中央明纹为中心两边对称分布 依次为第一级 第二级 暗纹和明纹 如图 所示 各级明纹都有一定的宽度 我们把相邻暗纹间的距离称为明纹宽度 把相邻暗纹对应的衍射角之差称为明纹的角宽度 中央明纹的宽度决定于紧邻中央明纹两侧的暗纹 由中央明纹范围满足的光程差条件是 在近轴条件下 很小 故 则第一级暗纹的衍射角为 第一级暗纹离开中心轴的距离为

65 大学物理教程 中央明纹的角宽度为 在观察屏上 中央明纹的线宽度为! 式中 为透镜的焦距 还需要指出 当半波带的数目不是整数时 点光强介于明暗纹之间 实际上观 察屏上光强的分布是连续变化的 因为衍射角 越大 半波带的数目越多 同一缝宽 中每个半波带的面积越小 因而明纹光强随着衍射级次的增加而减小 显然 在给定的缝宽 和波长 的情况下 半波带的数目的多少和半波带面积的大 小 仅仅取决于衍射角 半波带的数目可以是整数 也可以是非整数 单缝衍射的光强分布如图 所示 其特点是 中央明纹最宽 而且最亮 两侧 的其他级明纹的光强迅速地减弱 衍射图样具有如下特征 中央明纹的宽度是各级明纹的宽度的两倍 且绝大部分光能都落在中央明纹上 暗条纹是等间隔的 当入射光为白光时 除中央明区为白色条纹外 两侧为由紫到红排列的彩色的衍射光谱 当波长一定时 狭缝的宽度越小 衍射越显著 例 在单缝夫琅禾费衍射实验中 波长为 的单色光的第三级明纹与波长 " 的单色光的第二级明纹恰好重合 求前一单色光的波长 分析 采用比较法来确定波长 对应于同一观察点 两次衍射的光程差相同 明 纹重合时 相同 由衍射明纹条件 有 在两明纹级次和其中一种波长已知的情况下 即可求出另一种未知波长 得 解 根据题意和分析 将 " 代入 " # 光栅衍射和光谱 杨氏双缝中的每一个狭缝是否都会产生衍射现象呢 衍射条纹和干涉条纹之间有 什么关系 如果这样的狭缝再多一些 那么各个狭缝的衍射条纹互相又有什么影响呢 ## 光栅 在单缝衍射中 若缝较宽 明纹亮度虽较强 但相邻明条纹的间隔很窄而不易分 辨 若缝很窄 间隔虽可加宽 但明纹的亮度却显著减小 在这两种情况下 都很难 精确地测定条纹宽度 所以用单缝衍射并不能精确地测定光波波长 那么 我们是否

66 第 章 光的衍射 可以使获得的明纹本身既亮又窄 且相邻明纹分得很开呢 利用光栅可以获得这样的 衍射条纹 广义地说 具有周期性空间结构或光学性能 如透射率 反射率和折射率等 的 衍射屏 统称为光栅 光栅的种类很多 有透射光栅 平面反射光栅和凹面光栅等 构造光栅有许多方法 例如 在一块不透明的平板上刻出一系列等宽又等间隔的平行狭缝 就是一种透射光栅 在一块很平的金属表面上刻上一系列等间隔的平行槽纹 就是一种反射光栅 两束平行光干涉条纹 将其记录在一张感光底片上 就得到一张一维正弦光栅 晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然的三维光栅 光栅是光谱仪 单色仪及许多光学精密测量仪器的重要元件 下面着重介绍透射 光栅对光产生的衍射和干涉效应 ## 光栅衍射 透射光栅是由大量等间距 等宽度的平行狭缝所组成的光学元件 若透光部分的 狭缝宽度为 挡光部分的宽度为 那么每两条狭缝间距离 称为光栅常数 一般情况下 光栅常数的值很小 例如 在 $" 的平板上刻有 万条等宽等间距的平 行狭缝 那么 ""#"" 如图 所示 平行单色光垂直照射在光栅 上 光栅后面的衍射光束通过透 镜 后会聚在透镜焦平面处的屏 上 并在屏上产生一组明暗相间的衍射条纹 一般 说来 这些衍射条纹与单缝衍射条纹相比有明显的差别 其主要特点是 明纹很亮很 细 明纹之间有较暗的背景 并且随着缝数的增加 屏上明纹越来越细 也越来越亮 相应地 这些又细又亮的条纹之间的暗背景也越来越暗 如果入射光由波长不同的成 分组成 则每一波长都将产生和它对应的又细又亮的明纹 即光栅有色散分光作用 正是由于光栅衍射条纹这一特点 促使近几十年来光栅刻制技术飞速发展 迄今已能 在 "" 内刻制数千条平行狭缝 图 光栅衍射示意图 ## 明纹条件和光栅方程平行单色光垂直入射到光栅上 使光栅成一波阵面 考虑到所有缝发出的沿与光轴成 角的方向的光线经 后会聚于 处 下面讨论一下在屏上 处出现光栅衍射明条纹所应满足的条件

67 大学物理教程 从图 可以看出 两相邻狭缝发出的沿 角衍射的平行光 当它们会聚于屏上 点时 其光程差为 称为衍射角 若光程差恰为入射光波长 的整数倍 则这两束光线为相互加强 显然 其他任意相邻两缝沿 方向的衍射光也将会聚 于相同点 且光程差亦为 的整数倍 它们的干涉效果也都是相互加强的 所以总起 来看 光栅衍射明纹的条件是衍射角 必须满足下列关系式 图 光栅衍射原理图 式 通常称为光栅方程 式中对应于 的条纹叫做中央明纹 的明纹分别叫做第一级 第二级 明纹 亦称为各级主极大 正 负号表示各级明纹对称分布在中央明纹两侧 ## 光栅光谱 对于一个确定的光栅 光栅常数 确定 于是由光栅方程式 知 同一 级谱线的衍射角 的大小与入射光的波长有关 用白色光照射光栅时 由于白色光中包 含的不同波长的单色光产生衍射角各不相同的明纹 因此除了中央明纹外 将形成彩 色的光栅条纹 叫做光栅光谱 因为各波长的中央明纹的衍射角都为零 是重叠的 所以光栅光谱的中央仍是白色明纹 中央明纹的两侧 对称地排列着第一级光谱 第 二级光谱 如图 所示 图中只画了中央明纹一侧的光谱 各级光谱中 都包 含了几条波长由小到大的彩色明条纹 由于各谱线间的距离随光谱的级数而增加 所 以级数较高的光谱彼此有所重叠 图 光栅光谱及其重叠 观察光栅光谱的实验装置称为光栅光谱仪 探测的结果发现 不同元素的物质有 不同的光谱 测定光谱中各谱线的波长和相对强度 可以确定发光物质的成分及其含 量 而通过测定物质中原子或分子的光谱 又可以揭示原子或分子的内部结构和运动 规律

68 第 章 光的衍射 ## 缺级问题 如果满足光栅方程 的 角同时又满足单缝衍射的暗纹公式 则 角方向既是光栅的某个主极大出现的方向又是单缝衍射的光强为零的方向 亦即屏上光栅衍射的某一级主极大刚好落在单缝的光强为零处 则 光栅衍射图样上便缺少这一级明纹 这一现象称为缺级 缺级现象产生的原因是光栅 上所有缝的衍射图样是彼此重合的 例如 通过 光轴的缝 它有一衍射图样 它上边的缝可看作是由它平移而得到的 因为平移狭缝时并不改变衍射条纹位置 因此各 缝都有相同的衍射图样 也就是说它们的衍射图样是重合的 即在某一处一个缝衍射 极小时 其他各缝在此也都是衍射极小 这样就造成缺级现象 缺级的条件是 即 因此 发生缺级的主极大级次为 例如 时 缺级的级次是 时 缺级的级次是 例 白光入射到光栅上 若波长为 的光波的第三级明纹和橙色光 %" 的第二级明纹相重合 求 解 光栅方程为 由题意 知 即 % 所以 % % &"" ## 光栅的衍射光强分布当一束平行单色光照射到光栅上时 每一狭缝都要产生衍射 而缝与缝之间透过的光又要发生干涉 用透镜把光束会聚到屏幕上 便形成一组光栅衍射花样 该花样是单缝衍射与各单缝的光线相互干涉的总效果 即在单缝衍射的明纹区域内 如图 中的虚线所示 光强的分布是不均匀的 存在着干涉条纹 各干涉条纹的光强要受单缝衍射条纹的调制 从而形成如图 所示的光栅衍射的光强分布 其中

69 大学物理教程 为光的波长 横坐标 表征光程差 纵轴 表征衍射光强 它与振幅 的平方成正比 图 光栅衍射条纹光强分布示意图 # 眼睛和光学仪器的分辨率 人的眼睛和望远镜 显微镜等光学仪器的尺度都是有限的 会产生衍射现象 从 而影响他们对物体的分辨率 ## 眼睛视物的基本原理 # 眼睛的结构 标准眼和简约眼 眼睛是人体视物的重要器官 人眼呈球状 直径约 "" 眼睛的内部构造如 图 所示 眼球被一层坚韧的膜所包围 前面凸出的透明部分称为角膜 其余部 分称为巩膜 角膜在外层 处与眼皮相连 角膜后是充满折射率为 # 的透明液体 的前室 前室的后壁为虹膜 其中央部分有一圆孔 称为瞳孔 随着外界光亮程度的 不同 瞳孔的直径能自主地在 "" 范围内变化 以调节进入眼睛的光能量 虹膜 之后是晶状体 它是由多层薄膜构成的一个双凸透镜 但各层折射率不同 内层约为 # 外层约为 # 其前表面的曲率半径比后表面大 并且在与之相连的睫状肌的作用下 前表面的半径可本能地发生改变 使不同距离的物体都能在视网膜上成像 晶状体的后面是后室 也称为眼腔 内部充满折射率为 # 的胶状透明液体 称为 玻状液 后室的内壁与玻状液紧贴的部分是由视神经末梢组成的膜 称为视网膜 是 眼睛系统所有成像的接收器 它具有非常复杂的结构 共有 层 前 层对光透明但 不引起刺激 第 层是感光层 布满作为感光元素的视神经细胞 第 层直接与脉络 膜相连 脉络膜是视网膜外面包围着的一层黑色膜 它吸收透过视网膜的光线 使感 光器官免受强光的过分刺激 在视神经进入眼腔处! 点附近的视网膜上 有一个椭圆 形区域 这个区域内没有感光细胞 不产生视觉 称为盲斑 通常我们感觉不到盲斑 的存在 是因为眼球不时在眼窝内转动的缘故 距盲斑中心 ' 在太阳穴方向有一 椭圆形区域 大小为 "" 水平方向 &#"" 垂直方向 称为黄斑 在黄斑中 心有一 #""&#"" 的凹部 称为中心凹 这里密集了大量的感光细胞 是视网膜 上视觉最灵敏的区域 当眼睛观察外界物体时 会本能地转动眼球 使像成在中心凹

70 第 章 光的衍射 上 因而称通过眼睛节点和中心凹的直线为眼睛的视轴 图 人眼的基本结构由上所述 整个眼睛犹如一只自动变焦和自动收缩光 的照相机 眼睛作为一个光学系统 其有关参数可由专门的仪器测出 根据大量的测量结果 定出了眼睛的各项光学常数 包括角膜 水状液 玻状液和晶状体的折射率 各光学表面的曲率半径以及各有关距离 称满足这些光学常数值的眼睛为标准眼 为了方便地做近似计算 可把标准眼简化为一个折射球面的模型 称为简约眼 如图 所示 简约眼的有关参数如下 折射面的曲率半径为 #"" 像方介质的折射率为 视网膜的曲率半径为 #"" 可算得简约眼的物方焦距为 #"" 像方焦距为 #"" 光焦度为 # 屈光度 例 求如图 所示的简约眼的第一 第二焦距 解 " # # # &"""" # # # &"""" 图 简约眼 图 例 图示

71 大学物理教程 # 圆孔衍射及瑞利判据 如图 所示 无限远处一个点光源经圆孔衍射后形成的衍射花样 是在中央亮 斑 叫做艾里斑 外面出现一些明暗交替的同心圆环 如图 所示 光量的 集中在中央亮斑 中央亮斑的大小由第一暗环对应的衍射角 决定 # " 图 圆孔衍射 式中 是光波的波长 " 是圆孔 的直径 如果无限远处有两个点光 源 经圆孔衍射后 则形成两个衍 射花样 当两个点光源离得较远 时 可以毫无困难地判断这是两个 点光源的像 即可以完全分辨 如 图! 所示 当两个点光源 离得较近时 两个衍射花样叠加 就难以区分了 英国物理学家瑞利 提出 能够区分两点的极限是 一个点的衍射图样的中央极大值与另一点的衍射图样 的第一极小值重合 这时由两个衍射图样合成后的光强分布曲线仍有两个极大值 如 图 所示 两极大值之间的最小值约为极大值的 大多数人的视觉仍能 判断这是两个点的像 两点的距离再小就难以判断了 如图 $ 所示 上述判 据叫做瑞利判据 图 圆孔衍射图样 图 瑞利判据

72 第 章 光的衍射 # 眼睛的分辨率用眼睛观察远处物体时 视网膜上的像是物体各点发出的光经过瞳孔后产生的衍射图样 设瞳孔的直径是 光在眼内的波长是 根据瑞利判据 眼睛的最小分辨角为 # # 式中 是光在真空中的波长 是眼内物质的折射率 对于远处物体上的两点 如 果它们对眼睛的张角大于或等于式 的 则能够分辨 否则不能分辨 由 于人眼的焦距很小 约 "" 对于明视距离 眼前 "" 处的物体 也可用 式 估计其最小分辨角 白天 人眼瞳孔的直径约 "" 折射率可取 # 对 于绿光 #& "" 由式 可得最小分辨角为 #&! 实验表明 人 眼的最小分辨角约为 为 #&! 与式 的计算结果基本相符 眼睛能分辨开两个很靠近的点的能力称为眼睛的分辨率 刚能分辨开的两个点对 眼睛光心的张角称为眼睛的极限分辨角 显然 分辨率与极限分辨角成反比 根据上述分析 瞳孔为 " 的理想光学系统的极限分辨角为 # " 对 " 的黄绿色光而言 若瞳孔单位取毫米 极限分辨角的单位取秒 则有 $ " 当瞳孔直径为 "" 时 极限分辨角约为 $ 当瞳孔直径增大到 "" 时 分辨角 还可小些 若瞳孔直径继续增大 则由于眼睛像差的影响 分辨角反而增大 所以一 般认为眼睛的极限分辨角为 $ 对应于视网膜上的大小为 " 这个尺寸大于视 神经细胞的直径 因此 视网膜的结构不会限制眼睛的分辨率 眼睛的分辨率随被观察物体的亮度和对比度而异 当对比度一定时 亮度越大则 分辨率越高 当对比度不同时 对比度越大则分辨率越高 当背景亮度增大时分辨率 与对比度的这一关系十分明显 同时 照明光的光谱成分也是影响分辨率的一个重要 因素 由于眼睛有较大的色差 单色光的分辨率要比白光为高 并以 " 的黄绿光 为最高 此外 视网膜上的成像位置对此也有影响 当成像于黄斑处时分辨率最高 由于分辨率的限制 当我们看很小或很远的物体时 必须借助显微镜 望远镜等 光学仪器 这些目视光学仪器应具有一定的放大率 以使能被仪器分辨的物体像放大 到能被眼睛分辨的程度 否则 光学仪器的分辨率就被眼睛所限制而不能充分利用 ## 光学仪器的分辨率 望远镜 显微镜等助视光学仪器都是由透镜等光学元件组成的 由于光通过透镜 等光学元件要产生衍射现象 任何光学仪器都不可能得到无限放大的完全清晰的像 而有一定的分辨率 分辨率一般可通过圆孔衍射的瑞利判据来决定

73 大学物理教程 # 望远镜的分辨率 设望远镜物镜的通光孔径的直径为 " 它的最小分辨角由式 决定 由于 望远镜的通光孔径 " 大于人眼的瞳孔 所以用望远镜观察远处物体时 提高了对物 体的分辨率 提高的倍数等于 " 为了充分利用这个分辨率 望远镜必须有足够的 放大率 放大率不足 " 望远镜的分辨率就得不到充分利用 放大率过大 " 并不能提高分辨率 只是使像的形状放大得更大 # 显微镜的分辨率 显微镜是用来观察近处小物体的 显微镜的分辨率通常不用角度 而用刚好能分 辨开的物体上两点的最小距离 % 来表示 % # & 式中 是物体所在空间的折射率 对于油浸镜头为油的折射率 一般为空气的折射 率 为光的波长 & 是物点对物镜张角的一半 其中 & 的值叫做物镜的数值孔 径 通常用 表示 显微镜物镜上一般都标出这个数值 如 # 就表示它的数 值孔径是 # 从式 可以看出 波长 越小 物镜的数值孔径越大 可分辨的两点间距 离 % 越小 即它的分辨率越大 为了增大数值孔径 应使物体尽量靠近物镜 张角接 近 ' 时 & 若物体在空气中 数值孔径 就等于 这是最大值 如果用油 浸物镜 油的折射率 # 则数值孔径可达 # 分辨率也增大到 # 倍 如果减小 波长 如使用紫外线 由于紫外线的波长 & #& "" 比可见光的波长 短一半 显微镜的分辨率可增大两倍 但使用紫外线的显微镜不能直接用眼睛观察 可以进行照相 显微镜的分辨率比眼睛的分辨率约大 倍 显微镜的目镜只能把物 镜所成的像进一步放大 但不能增大分辨率 例 照相机物镜的分辨率以底片上每毫米能分辨的线条数 ' 来量度 现有一 架照相机 其物镜直径 " 为 #$" 物镜焦距 为 #$" 取波长 为 " 问这 架照相机的分辨率为多少 解 每毫米能分辨的线条数 ' 即照相机的分辨率 为最小距离的倒数 所以 ' " # # 条 毫米 思考与讨论 # 为什么声波 无线电波能绕过山峦和建筑物 而光波却不能 # 在单缝衍射中 为什么衍射角 越大的那些明条纹的光强越小 # 用半波带法定性说明单缝夫琅禾费衍射明条纹中心的光强随条纹级次的增大而单调下降 # 用白光垂直入射单缝时 夫琅禾费衍射条纹分布如何

74 第 章 光的衍射 # 光学仪器的分辨率是如何确定的 纸上两点至少相距多远时我们用 $" 的明视距离观察时还能将它们区分开来 # 光栅衍射和单缝衍射有何区别 为何光栅衍射的明条纹特别明亮 # 在光栅衍射中 总缝数 ' 光栅常数 和缝宽 对于衍射条纹各有什么影响 当 为整数时 在单缝衍射中央明纹范围内 共包含多少条光栅衍 射主极大明纹 缺级情况怎样 # 在分析光栅衍射明暗条纹分布时 如果把每个缝都用菲涅耳半波带法分成若干波带 再把所有缝的各个半波带发出的光进行叠加 其结果是否与光栅方程算出的 结果相同 为什么 习 题 在单缝夫琅禾费衍射实验中 波长为 " 的单色光的第二级亮纹恰好重合 计算 的值 的单色光的第三级亮纹与 用波长为 的平行单色光进行单缝夫琅禾费衍射实验 已知缝宽为 会聚透镜的焦距为 "" 分别求出中央明条纹和第二级明条纹的宽度 某种单色平行光垂直入射在单缝上 单缝宽为 #"" 缝后放一个焦距为 "" 的凸透镜 在透镜的焦平面上 测得中央明条纹两个第三级暗条纹之 间的距离为 #"" 求入射光的波长 在单缝夫琅禾费衍射实验中 若想将第三级暗纹处变为第一级明纹 不改变实验装置部件和入射光波长 只调整缝宽 则调整后缝宽与原来缝宽之比为多少 在圆孔的夫琅禾费衍射中 设圆孔半径为 #"" 透镜焦距为 $" 所用单色光波长为 " 求在透镜焦平面处屏幕上呈现的艾里斑半径 月球距离地面约 #& (" 设月光波长为 " 问在月球表面距离为多远的两点才能直接被地面上直径为 "" 的天文望远镜所分辨 波长为 " 的单色光垂直照射到宽度为 #"" 的单缝上 紧贴缝后放一个焦距为 #" 的凸透镜 使衍射光射于放在透镜焦平面处的光屏上 求 光屏上第一级暗条纹离中心的距离 光屏上第二级明条纹离中心的距离 如果单色光以入射角 ' 斜射到单缝上 则第二级明条纹离中央明纹中心距离是多少 提示 注意! 的条件是否满足 一衍射光栅 每厘米有 条透光缝 每条透光缝宽为 & $" 在光栅后放一个焦距为 " 的凸透镜 现以 " 的单色平行光垂直照射光 栅 求 透光缝 的单缝衍射中央明纹宽度为多少 在该宽度内 有几个光栅衍射主极大 用白光 波长 " 垂直照射每厘米有 条刻线的光栅 光栅后放一个焦距为 $" 的凸透镜 求第一 第二级光谱的宽度

75 大学物理教程 复色光由波长为 " 与 " 的单色光组成 垂直入射到光栅上 测得屏幕上距离中央明纹中心 $" 处的 的 级谱线与 的 级谱线重合 若会聚透镜的焦距 $" 求 的值 光栅常数 波长为 " 的单色光垂直入射在一光栅上 第二 第三级明条纹分别出现在衍射角 满足 # 与 # 处 第四级缺级 试问 光栅上相邻两缝的间距是多大 光栅狭缝的最小可能宽度 是多大 按上述选定的 值 试列出屏幕上可能呈现的全部级数 用白光 入射每厘米中有 条刻线的平面光栅 求第三级光谱张角 提示 白光波长为 "

76 第 章 量子光学基础 光源是如何发光的 科学家们在几个世纪漫长的岁月中苦苦探索 直到 世纪初方见端倪 量子光学理论应运而生 本章通过揭开热辐射 光电效应 氢原子光谱 康普顿散射等神秘面纱 引出量子化的概念 着重介绍光的波粒二象性的物理思想和爱因斯坦的光子理论 进而洞悉光源发光的物理机理 # 热辐射与普朗克能量子假设 我们在日常生活中都熟知这样的现象 把一根铁棍插在炉火中 它会被烧得通红 起初在温度不太高时 我们看不到它发光 却可感到它辐射出来的热量 当温度达到 左右时 铁棍开始发出可见的辉光 随着温度的升高 不但光的强度逐渐增大 颜色也由暗红转为橙红 这种与温度有关的辐射现象称为热辐射 也叫黑体辐射 它 是物体由于自身温度高于环境温度而产生的向外辐射电磁波的自然现象 实际上 热 辐射不一定需要高温 任何温度的物体都能发出一定的热辐射 只不过在低温下辐射 不强 其中包含的主要是波长较长的红外线 现在人们利用这个原理设计出了实用的 红外夜视仪 随着温度的升高 辐射的总功率增大 强度在光谱中的分布由长波向短波转移 一般的热辐射具有的明显特征如下 当温度低于 ) 时 物体的热辐射波长在红外和远红外波段 随着温度的升高 物体热辐射的能量逐渐增强 辐射波长趋向短波段 在 ) 范围内 物体呈现暗红色 辐射波段开始进入可见光区域 当物体温度继续升高后 辐射的波长进一步向短波方向移动 物体变得鲜红 甚至白热 总之 在不同温度下 辐射能量集中的波长范围不同 如图 所示 为了解释 这种特征 德国物理学家威廉 维恩于 年首先发现物体所发出的最强的辐射能量 对应的波长 "!* 与温度 成反比 即 式 称为维恩位移定律 "!* 常数 为了更深入地研究热辐射的规律 维恩设计了只有一个微小开口的空腔 如 图 所示 当有光射入这个空腔时 几乎被完全吸收 光线很难再从小口反射出 来 这样的物体称为绝对黑体 简称黑体 他给出了适用于波长不很短的区域的维恩 公式 +

77 大学物理教程 图 热辐射 图 黑体 式中 是两个常量 是在温度 下波长为 的光的单色辐出度 定义 为在单位时间内从物体表面单位面积上所发出的波长在 附近的辐射能与波长间隔的 比值 年间 英国物理学家瑞利和金斯又给出了适用于波长很长的区域的瑞利金斯公式 式中 是常量 这期间还有许多物理学家对此进行研究 都没有很好地解释在短波的紫外区的实 验结果 这在历史上称为 紫外灾难 年 月 日 德国物理学家马克斯 普朗克经过长期深入研究后 终于独辟蹊径 大胆地提出了一个关键的能量子假设 对于一定频率 的辐射 物体只能以 为能量单位吸收或发射它 这个能量单位称为能量子 说得再具体一些 物体只能吸收或发射能量为 的整数倍 如 的电磁波 在此基础上 他给出 了普适的黑体辐射公式 ( + 称为普朗克公式 式中 #&, 称为普朗克常量 为玻耳兹曼

78 第 章 量子光学基础 常量 ( 为真空中的光速 相应地 用波长表示的公式为 ( + ( 由式 绘出普朗克黑体辐射曲线 如图 所示 该图表明 普朗克黑体辐射理论与实验结果符合 从图中也可以看出 由维恩公式和瑞利 ) 金斯公式计算的结果 显然都与实验结果偏差较大 而普朗克理论的成功源自能量量子化的创新理念 这是 世纪伟大的科学成果之一 现在人们把 月 日定为量子理论的诞生日 图 普朗克黑体辐射曲线 # 光电效应与爱因斯坦的光子理论 发射 在光的照射下 物体内部的电子会逸出物体表面 这种现象叫做光电效应或光电 年 -#%# 赫兹通过紫外光对放电影响的实验发现了光电效应 光电效应的实验现象是 当用紫外光照射到某些金属 如钠 的表面上时 立刻就会有电子发射 表现为在电路中立刻有电流通过 如图 所示 由于电子是由光引发的 故称为光电子 实验结果告诉我们 光电子的能量仅依 赖于照射光的频率 而光的强度则只决定光电子数目的多少 而且 只有当照射光的 频率 高于某个值 阈值 时 才有光电子发射 否则 不论光强有多强 也不会引起光电子的发射 图 所示为几种金属的阈值 图中 * 是遏制电压 按经典理 论 无论何种频率的入射光 只要其强度足够大 就能使电子具有足够的能量逸出 金属 其实 要使金属中的电子脱离金属表面 必须使电子具有一个最小的能量 称此最小能量为脱出功 实验上观察到的光电子是金属中的这样一些电子 它们吸收的光的能量不但足以克服脱出功 而且 还至少具有 +. 的动能 按经典理论粗略地估算 一个电子由照射光获取 ++. 的能量所需要的时间至少为 年 但是在实验中 当紫光照到金属钠表面上时 电路中几乎立刻就有电流通过 显然 用经典理论

79 大学物理教程 解释光电效应是行不通的 因此 在当时将光电效应和黑体辐射称为笼罩在经典物理 天空中的两片乌云 图 光电效应实验 图 遏制电压和阈值 爱因斯坦受普朗克能量子假设的启发 大胆地提出了光量子的概念来解释光电效 应 他认为光是由光量子组成的 每个光量子的能量 与辐射频率 的关系是 此即爱因斯坦的光量子假说 年 这个光量子关系被实验所证实 具有关系 爱因斯坦还指出光量子的动量和能量, ( 考虑辐射波长与频率的关系 ( 将式 代入式 有 ( 将式 再代入式 得出光量子的动量与辐射波长的关系, 年 康普顿散射实验证实了这一设想是正确的 有了上述能量和动量的关系式 就可以把具有确定频率 与波长 的光量子看作具 有确定能量 和动量, 的一种粒子 后来 人们把它称为光子 利用爱因斯坦提出的光量子的能量和动量的关系式 不难解释在光电效应中出现 的疑难 当光照射到金属表面时 一个光子的能量立刻被金属中的电子吸收 但是 只有当光子的能量足够大时 电子才有可能克服脱出功 + 而逸出金属表面 成为光电 子 光电子的动能为 - +

80 第 章 量子光学基础 式中 - 是光电子的速度 是光子的频率 由上式可以看出 只有当光子的频率 不 小于阈值 + 时 才有光电子的发射 否则 无光电效应发生 光电子的动能只依 赖照射光的频率 而与照射光的强度无关 当 时 光强越大 光子数目越多 即单位时间内产生光电子数目越多 光电流越大 所以出现图 中的线性效应 至 此 爱因斯坦的光量子理论克服了经典理论遇到的困难 成功地解释了光电效应中观 察到的实验现象 年 爱因斯坦因为正确解释了光电效应获得了诺贝尔物理学奖 光电效应分为外光电效应和内光电效应 内光电效应是被光激发所产生的载流子 仍在物质内部运动 使物质的电导率发生变化或产生光生伏特的现象 外光电效应是 被光激发产生的电子逸出物质表面 形成放电的现象 利用光电效应可以制造多种光 电器件 如光敏电阻 光电池 光敏二极管 光敏晶体管 光电倍增管 电视摄像管 电光度计等 可以用于自动控制 如自动计数 自动报警 自动跟踪等 尤其在光伏 发电方面为人类提供了丰富的绿色能源 # 康普顿散射和光的波粒二象性 光电效应揭示了光的粒子性 又激起了人们对牛顿的光微粒说和惠更斯的光波动 说的论辩 究竟光是粒子还是波 康普顿通过光的散射实验论证了光既有波动性又有 粒子性 ## 康普顿散射 光子在介质中和物质微粒相互作用时 可能使得光向任何方向传播 这种现象称 为光的散射 年 美国物理学家康普顿在研究石墨中的电子对 / 射线的散射时发现 有些散射波的波长比入射波的波长略大 如图 所示 这种现象称为康普顿效应 图 / 射线散射 图 显示散射曲线有以下三个特点 除原波长 外出现了移向长波方面的新的散射波长 新波长 随散射角的增大而增大 当散射角增大时 原波长的谱线强度降低 而新波长的谱线强度升高 根据经典电磁波理论 当电磁波通过散射物质时 物质中带电粒子将做受迫振动

81 大学物理教程 图 不同角度的散射 其频率等于入射波频率 所以它所发射的散射波波长应等于入射波波长 这无法解释波长改变与散射角的关系 按爱因斯坦的光子理论 康普顿认为这是光子和电子碰撞时 光子有一部分能量转移给了电子 康普顿假设光子和电子 质子这样的实物粒子一样 不仅具有能量 也具有动量 在碰撞过程中能量守恒 动量也守恒 当光子和被原子核束缚很紧的内层电子相碰撞时 就相当于和整个原子相碰撞 由于光子质量远小于原子质量 碰撞过程中光子传递给原子的能量很少 碰撞前后光子能量几乎不变 故在散射光中仍然保留有波长 的成分 因为 / 射线射入物质而被散射后 碰撞中交换的能量和碰撞的角度有关 所以在散射波中 除了原波长的波以外 还出现波长增大的波 且波长改变和散射角有关 按照这个思想列出方程后求出了散射前后的波长差 结果跟实验数据完全符合 这样就证实了他的假设 也第一次从实验上证实了爱因斯坦提出的关于光子具有动量的假设 ## 光的波粒二象性 从关于光电效应和康普顿散射的解释中可以看出 描述粒子特征的物理量 能 量和动量跟描述波动特征的物理量 频率和波长 可由爱因斯坦光子理论公式, 联系起来 这表明光既具有波动性又具有粒子性 人们把这种属性称为波粒二象性 应该注意的是 我们不可能同时观测到物质的波动性和粒子性 光子的行为更像 波还是更像粒子 不仅取决于光子本身 也部分地取决于光子的周围环境 当光子与 一个能指示其位置的装置相互作用时 它的粒子性就比波动性更占优势 当光子与 一个能测量其动量的装置发生相互作用时 它的波动性就比粒子性更占优势 波动 性和粒子性的矛盾 可以通过统计性的概念统一起来 在光的衍射实验中 如果入射 光的强度很大 在单位时间内有许多光子穿过狭缝 照相底片上立即出现衍射图样 如 图 所示 如果入射光强度很小 在整个衍射过程中光子几乎是一个一个地穿过狭缝 在照相底片上就出现一个个感光点 这些感光点开始时是无 规则分布的 如图! 所示 但随着时间的延长 感光点的数目增多 如图 图 所示 最终它们也会在底片上形成衍射图样 如图 + 所 示 由此可见 在衍射过程中 每一个光子的行为与其他 光子无关 也就是说衍射图样不是光子之间相互作用形成 的 而是光子具有波动性的结果 这种波动性表现在 尽 管单个光子没有确定的轨迹 出现在什么地方是不确定 的 但当我们考察大量光子的运动时 光子的运动就表现 图 光的衍射图样

82 第 章 量子光学基础 出与波动理论结果一致的规律性 因此 光的衍射现象表现为许多光子在同一实验中的统计结果 或者表现为一个光子在多次相同实验中的统计结果 从统计的观点看 大量光子衍射和它们一个个地衍射之间的差别 仅在于前一实验是对空间的统计平均 后一实验是对时间的统计平均 在前一种情况下可以说 从空间上看光子在某些地方出现得稠密些 在后一种情况下可以说 从时间上看光子在某些地方出现得频繁些 由此可以得出 波在某一时刻在空间某点的强度就是该时刻在该点出现粒子的概率 图 光子的衍射图样 # 氢原子的玻尔理论 光电效应和光的波粒二象性的发现以及普朗克能量子理论吹响了向微观世界进军的号角 激发了人们揭示原子世界奥秘的欲望 原子的尺寸大约为 #" 即一米的十亿分之一 相对观测仪器而言 它实在是太小了 很长时期以来 人们不可能直接观察到原子的结构 通常情况下 需要通过实验观察到的原子的光谱来了解原子的结构 光经过一系列光学透镜及棱镜后 会在底片上留下若干条线 每个线条就是一条光谱线 把所有光谱线的总和称之为光谱 实验发现 原子光谱是由一条条断续的光谱线构成的 即所谓的线状光谱 有趣的是 对于给定的原子而言 在各种激发条件下得到的光谱总是完全一样的 也就是说 它表示了该原子的特征 这样的线状光谱被称为标识线状光谱 相当于原子的身份证 对原子光谱的研究是从最简单的氢原子开始的 年 瑞士数学家兼物理学家约翰 巴耳末发现氢原子的线光谱在可见光部分的谱线具有如图 所示的特征 年 月 日 他在巴塞尔自然科学协会的演讲中公开发表了氢光谱波长的公式 #&

83 大学物理教程 按此式 当 时 得到 #" 这与图 中的实验值. 的波长 #" 是相当吻合的 其他结果也符合得很好 因此 该式反映了氢原子光谱中可见光范围 内谱线按波长分布的规律 这个谱线系叫做巴耳末系 年 瑞典物理学家约翰尼斯 里德伯开始研究元素的物理 化学性质和结构 发表了题为 化学元素发射光谱结构的研究 的论文 里德伯认为 元素的光谱线是 由三种不同类型的线系叠加而成的 它们分别是 位于可见光波段 谱线比较尖锐的 锐线系 位于近红外波段 密度比较稀疏 谱线比较弥散的漫线系以及位于紫外波段 的主线系 并且大部分谱线都属于主线系 里德伯观测了一系列元素的谱线 并从 他的同行方面搜集了大量光谱资料 经过仔细研究后 里德伯采用了前人已经提出 的用波数 波长的倒数 表示谱线的方法 于 年总结出具有普遍意义的光谱线 公式 里德伯公式 / 式中 /#& " 称为里德伯常量 和 皆为整数 且 不同 的 对应不同的谱系 如图 所示 典型的几条谱线系如下 图 氢原子光谱的巴耳末系 莱曼线系 为紫外线 巴耳末线系 为可见光 帕邢线系 为红外线 图 氢原子的光谱系 年 瑞士物理学家瓦尔特 里兹引入一个称为光谱项的整数函数

84 第 章 量子光学基础 (/ 把式 可以改写成 该式称为谱线并合原理 它的意思是 氢原子的任何一条谱线的频率都等于断续系列 中的某两个光谱项之差 由两个已知谱线的加减组合能找到新的谱线 这种奇妙的氢 原子谱线的存在意味着在原子内有分立能级之间的跃迁发生 要考察原子内部的结构 必须寻找一种能射到原子内部的粒子作为探针 这种粒 子就是从天然放射性物质中放射出的 粒子 年 欧内斯特 卢瑟福和他的助手 进行了 粒子的散射实验 实验装置如图 所示 在一个铅盒里放有少量的放射性 元素钋 01 它发出的 射线从铅盒的小孔! 射出 形成一束很细的射线射到金箔 0 上 当 粒子穿过金箔后 射到荧光屏 上产生一个个的闪光点 这些闪光点可用显 微镜 来观察 为了避免 粒子和空气中的原子碰撞而影响实验结果 整个装置放在 一个真空容器内 带有荧光屏的显微镜能够围绕金箔在一个圆周上移动 实验发现绝 大多数的 粒子都径直穿过薄金箔 偏转很小 但有少数 粒子发生大角度的偏转 大 约有 的 粒子偏转角大于 ' 甚至观察到偏转角等于 ' 的散射 如图 所示 称为大角散射 图 粒子散射实验 图 粒子大角度散射 为了正确理解 粒子散射实验的结果 卢瑟福于 年提出了原子的核模型 即原子中心是一个重的带正电的 核 电子围绕这个核运动 好像行星围绕太阳转动一样 如图 所示 这个模型不仅能解释 粒子散射实验 而且与其他实验符合 所以很快为大家所接受 根据 粒子散射实验 可以估算出原子核的直径为 图 原子的有核模型 " 原子直径大约是 " 所以原子核的直径大约是原子直径的万分之一 原子核的体积只相当于原子体积的万亿分之一 在原子的有核模型基础上 倘若利用经典电磁理论来解释实验上观察到的氢原子 光谱 至少将会遇到如下两个困难 在原子中作加速运动的电子会产生辐射 其辐 射频率应该是连续的 电子通过辐射放出能量后 它的能量要不断减少 会沿着螺 图 原子塌陷 旋线不断地向原子核靠近 最终会掉到原子核上去 致使整个原 子塌陷 如图 所示 然而 事实并非如此 自然界的原子是 一个稳定的系统 而且 由原子辐射的电磁波 光波 中包含的 各种频率成分往往不是连续的 一定的原子辐射具有一定的分立

器之 间 向一致时为正 相反时则为负 ③大量电荷的定向移动形成电 流 单个电荷的定向移动同样形成电流 3 电势与电势差 1 陈述概念 电场中某点处 电荷的电势能 E p 与电荷量 q Ep 的比值叫做该点处的电势 表达式为 V 电场中两点之间的 q 电势之差叫做电势差 表达式为 UAB V A VB 2 理解概念 电势差是电场中任意两点之间的电势之差 与参考点的选择无关 电势是反映电场能的性质的物理量

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