<4D F736F F D20C1BCC344B2D7B5B2AACCA158A158C65BB9EEBB50B1C0B27AA46AA6D2C5E7A15DADD7A7EFABE1A15E2E646F63>
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- 庵 史
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1 國中小精緻化數學教學案例 1 謎題終結者 觀察與推理大考驗 臺北市國中數學輔導團吳如皓 林壽福 壹 教學活動設計 一 設計理念 : 生活中到處可見 數與形, 以及隱藏在 數與形 中的胚騰 (patterns), 學會和瞭解它們, 是學習數學的主要目的 本教材應用數學步道中的磚牆圖案設計題目, 融合偵探故事情節, 有系統的讓學生探索 發現到數學知識之外, 我們的目的也想透過文藝形式和偵探推理, 揭露數學內在的趣味, 讓學生感受到數學並不枯燥, 數學非常有趣, 讓他們喜歡數學 因為唯有喜歡, 才會主動想學, 願意花時間探索, 這樣才能深入體驗到數學的美和抽象化的威力, 也才能蓄積終身學習數學的動力 將回文詩和回文算式的趣味相結合, 可以引動學生認知上的好奇, 以及情感上的幻想, 對於激發學習動機很有助益, 未來還會在他們的情意和態度上造成深刻的影響 過程中我們嘗試讓學生運用歸納 推理的方法, 提供機會讓他們觀察胚騰 (patterns), 從中進行猜想, 最後導致規律的發現 大多數科學的探究, 包括數學的探究, 都是從歸納 推理開始的, 這是每個科學家都在實際使用的方法, 大數學家高斯說 : 在數論中常有這樣的事, 似乎由於某種意外的成功而得到的優美真理, 實際上是借助於歸納發現的 著名數學家波利亞 (Polya) 也說 : 對於正在從事數學研究的數學家來說, 數學也往往像猜想遊戲, 在你證明一個數學定理之間, 你先得猜想證明的思路 可見為了有所發現, 首先必須有所猜測 而最初的猜想才是數學最具創造力的部分 事實上, 學生透過觀察 實驗 歸納 類比 推理等思維作用, 可以獲得 n 位數回文數的一般式猜想 ; 而利用操作方程式的演繹推理方法, 學生也可以發現回文算式與回文鏡反數的變化規律 綜合言之, 本教材所佈設的數學活動中充滿著探索性和創造性, 這正是一個具有啟發性及教學意義的操作活動所不可或缺的重要成分 二 教學目標 : ( 一 ) 能觀察發現磚塊圖案中的胚騰, 並找出其最小單位和彼此間的關連 ( 二 ) 能預測並推算出磚塊圖案之任一項是什麼模樣 ( 三 ) 能利用嘗試法或解方程的方法, 推算回文算式中所缺之代表數字 ( 四 ) 能由偵探故事情境列出方程式, 並瞭解其解的意義 ( 五 ) 能欣賞回文古詩所隱含的文學 藝術之美 ( 六 ) 能經由實驗或操作活動, 察覺數字間的回文現象, 並猜測其一般式 ( 七 ) 能利用嘗試或解方程的方法, 推算出兩位數乘兩位數回文算式的所有解 ( 八 ) 能利用嘗試或類比的方法, 推算出兩位數乘三位數回文算式的所有解 三 教學資源 :PPT 檔 學習單 四 教學年級 : 八年級 五 教學節數 : 共九節 ( 每週利用彈性課程進行一節 ) 六 教學活動 ( 如下頁 ) ~ 179 ~
2 國中小精緻化數學教學案例 1 活動設計意圖 內容 方法 生活 趣味的 啟蒙例子 目的 規律性有助於記憶 藉由發現的技巧來刺激與保持興趣透過觀察 歸納 類比 演繹 推理等思維方法作出猜想 謎題終結者 觀察與推理大考驗第一關 : 觀察力大考驗第二關 : 胚騰的推理第三關 : 神奇的回文算式第四關 : 解讀 司令的勒索信第五關 : 救出人質第六關 : 瓦解毒窟 尋找規律, 預測任意項感受回文詩與回文算式的美與趣味扣人心弦的偵探故事隱含數式推理涵泳回文算式的規律之美與回文數猜想的魅力 體驗回文鏡反數的神奇性質 ~ 180 ~
3 國中小精緻化數學教學案例 1 人物介紹 姓名 : 伊克斯 普羅雪夫探長 ( 取自英文 炸藥 ":explousive) 職業 : 爆破專家專長 : 拆製炸彈 爆破 思考數學題目破案率 :100%破案方法 : 利用數學方法破解各種炸彈機關和陷阱特徵 : 一副墨鏡 八字鬍 動不動就耍帥 還有不管天氣多熱都會穿著一件皮大衣 北市興雅國中 910(94 年畢業 ) 詹祐嘉繪 ( 一 ) 小偵探養成訓練 歸納推理能力伊克斯 普羅雪夫探長, 也是一位業餘魔術師, 這天探長有感而發, 化身為記憶天才, 他在黑板上寫了許多行長長的數 : (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 然後說 : 這些數, 我只是按題號隨意寫出的 現在不論你說哪一題, 我都可以立即背誦出來! 伊克斯 普羅雪夫探長接下來要闖盪下面的關卡 : 第一關觀察力大考驗 (0.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第二關胚騰的推理 (0.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第三關神奇的回文算式 (1.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) ~ 181 ~
4 國中小精緻化數學教學案例 1 第四關解讀 司令的勒索信 (1 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第五關救出人質 (3 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第六關瓦解毒窟 (.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 貳 教學省思與建議 一. 第一關 觀察力大考驗 (0.5 節課 ) ( 一 ) 請老師們留意我們的目的是找出胚騰特徵和分享記憶的方法, 學生可能有不同的解法, 要讓他們發表, 並與同學溝通分享, 只要是合理的說明都值得鼓勵 讚許 ( 二 ) 讓學生體驗胚騰的規律美, 並藉由探索 發現的技巧來刺激與保持興趣, 這有助於培養學生創造與原創的風格 二. 第二關 胚騰的推理 (0.5 節課 ) ( 一 ) 這關可以和學生的舊經驗相連結, 因為小五 小六便有解過類似的題型 三. 第三關 神奇的回文算式 (1.5 節課 ) ( 一 ) 利用假設未知數解方程的方法, 這是回文算式的解法之一, 學生已經學過的一元一次方程式, 此處可以和舊經驗取得聯繫 而多數學生會以代入數字的嘗試法來找解, 一樣可以得出答案, 建議老師也應該加以鼓勵 讚許 ( 二 ) 回文詩本身具有高度的文學性和藝術性, 學生會很喜歡, 我們應用它的趣味性和回文算式相結合, 可以引動學生認知上的好奇, 以及情感上的幻想, 對於激發學習動機很有助益, 未來還會在他們的情意和態度上造成深刻的影響 四. 第四關 解讀 司令的勒索信 (1 節課 ) ( 一 ) 偵探故事情境很容易引動學生的學習慾望, 但提醒老師此處教學盡量讓學生自行閱讀, 以培養他們閱讀長篇文字的能力, 平常數學教學比較缺乏這樣的訓練 尤其台灣學生在 006 年公布的 PISA 測驗, 數學成績排名世界第一, 但閱讀能力卻只拿到第 16 名, 顯現我們學生的閱讀素養很不夠, 所以這裡的訓練結合了文學與數學的題材, 是比較珍貴題材! ( 二 ) 上課中老師應避免一下子就將所有可能的解法傾囊相授, 這樣將剝奪了學生發現的機會, 同時也會讓學生失去自行探索所帶來的樂趣 建議老師們上課時, 慢點提出, 盡量讓學生自己去探索和發現, 越少介入越好, 除非學生已面臨困境了 也建議學習單發放, 在做完一關題目後, 再發下一關的題目, 這樣可以保留一些學習的新鮮度 ( 三 ) 盡量鼓勵學生聯想各種已學或將學的方法, 引出不一樣的解題觀點, 這有助於鞏固概念和培養聯想能力 ( 四 ) 對於資優生這裡宜使用啟發性教學法, 不必給予提示, 讓他們自行感受探索的樂趣 ; 至於常態班也僅需稍加說明教材即可 事先不必有太多講解, 因為學生大多看得懂題目, 他們已或多或少具有觀察胚騰, 尋找規律的先備經驗, 老師過多的介入會阻礙學生的想像和創意 五. 第五關 救出人質 (3 節課 ) ( 一 ) 問題 1 盡量讓學生獨立思考, 或許會有多元的解法出現, 即使一般的學生仍可以利用嘗試的方法, 找出部分的解來 老師可以讓他們上台發表, 溝通分享, 當各組還無法找齊全時, 透過彼此的分享比較, 最後大夥會將答案補齊的 ~ 18 ~
5 國中小精緻化數學教學案例 1 ( 二 ) 問題 只需說明題目情境即可, 其餘盡量開放給學生思考, 這樣可以培養他們觀察 納 實驗的能力, 以及對回文算式的了解程度, 作為教學改進的參考 ; 另一方面還可偵測他們思考的多元性 ( 三 ) 若學生解題有困難, 或不知如何著手解題, 可以鼓勵他們動手操作, 再多觀察比較, 化被動成為主動更有益於瞭解問題的真諦 ( 四 ) 問題 3 需要看出解題的關鍵, 有些學生可能需要一些提示 此題解出後, 還可以玩一個有趣的 速算高手遊戲, 製造學習的驚奇! 答案是 =9801, 在被乘數 1089 中, 不論插入多少個 9, 所得到的積與被乘數間會持續保持 回文式 的形式 如右上圖所示 : ( 五 ) 上課時建議老師們, 能多利用此處佈題的層次關係和提問技巧, 刺激學生多元的想法, 培養學生以多樣的解法解決問題的能力 六. 第六關 瓦解毒窟 (.5 節課 ) ( 一 ) 此關題目的設計與教學, 掌握了變式練習的三原則 : 1. 同一性原則, 就是課題之間的情境, 保持了一定的類似性, 這有助於橫向遷移 ( 同化 ) 的實現. 變化性原則, 問題類型富相當的變化, 可逐漸演變成完全不同的新情境, 讓學生的概念規則產生縱向遷移 ( 轉化 ) 的效果 3. 及時反饋原則, 我們建議老師們能適當應用正確而及時的矯正, 來激發和維持學生的學習動力 參 參考資料一 李學數著 (1999) 數學和數學家的故事 中國北京: 新華出版社 二 李學數著 (1999) 數學和數學家的故事 4 中國北京: 新華出版社 三 談詳柏著 (1998) 談詳柏科普文集 台灣新竹: 凡異出版社 四 談詳柏著 (00) 數學與文史 中國上海: 上海教育出版社 五 林壽福 鄭勝鴻主編 (003) 胚騰(pattern) 就在您身邊 不一樣的數學步道 台北 : 興雅國中 六 易南軒著 (004) 數學美拾趣( 第二版 ) 中國北京: 科學出版社 七 侯萬勝著 (006) 回文數與鏡反數 延安教育學院學報第 0 卷第 4 期 PP.50~5 中國陝西延安 八 本單元教材第四關和第五關故事, 兩年前由王昱澄同學所編寫, 他 94 年畢業於興雅國中, 小小年紀即展現編劇的才華, 當年很順利參加甄選進入建中語文資優班就讀 感謝我的合作伙伴如皓老師, 能不辭辛勞將這個單元再詮釋, 並且生動活潑地傳達給我們數學營的學生, 學生們很喜歡上他的課 另外, 這個主題的名稱也是由如皓老師重新命名, 以及由勝鴻老師畫插圖, 在此一併致謝 ~ 183 ~
6 國中小精緻化數學教學案例 1 附件一 第一關觀察力大考驗 班號姓名 : 著名的大偵探 伊克斯 普羅雪夫探長, 在尤拉市幫助市長一連破了幾樁大案 但是近幾年, 探長卻不再公開露臉 他幹什麼去了? 研究數學 伊克斯探長本人是位數學家, 偵破案件只不過是他的業餘愛好 近年來數學界一直有一種主張出來, 多數教授認為學習數學最主要的目的, 是學會胚騰 (pattern) 探長本人閒暇之餘, 總喜歡拿幾題胚騰來練練腦袋, 畢竟身為一名大偵探, 擁有敏銳的觀察力和思考力是不可或缺的 生活中常常可以看到一些幾何胚騰, 如果我們留意觀察和多加思考的話, 這些胚騰常能為抽象的代數提供明晰的說明 興雅國中校園步道這片磚牆所彩繪的胚騰, 對思考能發揮一些啟迪的作用! 請循著探長的引導, 完成下列問題 : 1 你能說明這四列磚塊的胚騰特徵嗎?( ) 如果你必須記住這些胚騰, 有什麼好方法?( ) 3 由上而下, 第一與第二個胚騰, 它們之間有什麼關連? 請說說看! ( ) 4 由規律性來看, 請找出每列胚騰的最小單位?( ) 伊克斯探長說, 或許你會問 1 3 是這麼簡單的數, 因為 1+1=, +1=3, 這裏面有什麼數學呢? 有的, 這裡有一個世界著名的數學難題, 它是 1844 年比利時數學家卡達朗 (Catalan, 1814~1894 年 ) 提出的, 所以當時也叫 卡達朗猜想 " 你或許知道 3 =8,3 =9,9-8=1 吧! 卡達朗認為除了 x=3,m=,y=,n=3 滿足這樣的關係式 x m -y n =1(m>1,n>1) 以外, 再也找不到其他整數能滿足以上的等式 這問題經過一百多年直到 00 年 4 月, 才由羅馬尼亞數學家普雷達 米哈伊列斯庫 (Preda Mihăilescu) 證明了這猜想, 所以它現在是定理了 這個問題看 ~ 184 ~
7 國中小精緻化數學教學案例 1 似簡單, 卻讓數學家們花了這麼長的時間才解決, 可想見它的難度, 用中學的數學知識是不夠解決這樣的問題的 再探一番 1. 如圖所示, 請說明這四列磚塊的胚騰特徵? 並寫下你的觀察發現 ~ 185 ~
8 國中小精緻化數學教學案例 1 第二關胚騰的推理 班號姓名 : 5 你分別能預測它們的第 100 個, 是什麼模樣嗎?( ) 再探一番 1. 看了老師的魔術表演, 敏樺毫不謙虛地說 : 我也是記憶天才 說著, 他也在黑板上寫下了 : (1) 13,4,57,68,13,57,4,68 () 1,15,18,1,4,7,30,33 (3) 98,87,76,65,54,43,3,1 (4) 11,,44,88,176,35,704 (5) 81,7,54,18,36,1,4,8 他說 : 看! 我的數更多 不必分題號, 只要告訴我每一行前面的兩個數, 以後的數我可以接著背下去 請你評評理, 你相信敏樺的說法嗎? 為什麼?. 請你試著仿照上面兩個魔術的表演方式, 自行設計一個魔術 3. 如圖所示, 請你預測它們的第 89 個, 是什麼模樣? ~ 186 ~
9 國中小精緻化數學教學案例 1 第三關神奇的回文算式 班號姓名 : 6 如果我們將第三個胚騰以數字表達, 則正好是一個數字運算左右對稱的等式 ( 回文算式 ):1 31=13 1 請你仿造這個例子, 也將第四個胚騰也寫成數字運算左右對稱的等式 ( 回文算式 ) ( ) 7 承上題, 另外一個回文算式如下, 不過其中有一個數字沒有寫出來, 用一個小空格代替 : 1 46 = 64 1, 請你算出 所代表的數字?( ) 回文算式 : 是指等號兩端的數字由左到右和由右到左的次序一樣 伊克斯探長說, 一提到李白, 大家都知道他是唐代的大詩人 如果把 李白 " 兩個字顛倒一下, 變成 白李 ", 這也可以當成一個人的名字, 此人姓白名李 像這樣, 正著念 倒著念都有意義的詞語叫做回文 文學史上, 有許多與回文有關的故事 清代, 北京有個酒樓叫 天然居 " 有一次, 乾隆皇帝觸景生情, 以酒樓為題寫對聯, 上聯是 : 客上天然居, 居然天上客 但是, 這位博學多才的皇帝苦苦思索, 卻寫不出下聯 因為下聯的後五個字, 必須是前五個字的顛倒, 又要語意通順, 還要平仄協調, 的確是很難的事 直到很久以後, 才由紀曉嵐的同窗張璉給出了下聯 : 僧遊雲隱寺, 寺隱雲遊僧 與此類似, 數學裏也有 回文式 " 我們借用上面的對聯組成這樣一個式子 : 僧遊 雲隱寺 = 寺隱雲 遊僧 如果將不同的漢字用不同的數字 (0~9) 代替, 例如 :13 68=86 31; 而上面第三關第 6 題也有 1 31=13 1, 這都是所謂的 回文算式 另外, 還有 1 46=64 1,13 341=143 31, 我們看到, 這類等式不僅外形整齊 對稱, 內部構造 " 也很巧妙 但是這類回文算式不止一個 ~ 187 ~
10 問題 : 請你仔細觀察它們的奧妙處, 再至少找出三組來? 並說明你的方法 國中小精緻化數學教學案例 1 回文詩欣賞 楊振寧教授曾在香港大學演講 物理和對稱 ", 當時舉了蘇東坡的七律詩 游金山寺 作為對稱(Symmetry) 的例子 潮隨暗浪雪山傾, 遠浦漁舟釣月明 橋對寺門松徑小, 檻當泉眼石波清 迢迢綠樹江天曉, 靄靄紅霞晚日晴 遙望四邊雲接水, 碧峰千點數鷗輕 你試試倒讀就會變成另外一首詩 英語回文 英文中也存在回文現象, 同樣受到人們的歡迎 英文單詞 :dad( 爸爸 ),mum( 媽媽 ) 順讀和倒讀完全相同 你還能想到哪些單詞嗎? 請寫下來 : 或者你想到, 順讀和倒讀後, 意思不一樣的單詞 : 回文句 : 例如 :MADAMIMADAM 加上標點符號後, 成為 Madam, I ' m Adam ( 夫人, 我是亞當 ) 愛麗絲夢遊記 中有一句回文趣題: WASITACATISAW Was it a cat I saw?( 我看見的是一隻貓嗎?) 詩題 李白有一首五言名詩 靜夜思, 可以改編成算式謎如下 : 床前 = 明月 + 光, 疑是 = 地上 霜 ; 舉頭 望 = 明月, 低頭 思 = 故鄉 這首詩共有 0 個漢字 其中, 每個漢字代表 0~9 中的一個數字 ; 相同的漢字表示相同的數 ; 不同的漢字, 在每組兩個算式中表示不同的數, 從兩組算式來說, 也可能表示同一個數 這是怎樣的四個算式呢? ~ 188 ~
11 第四關解讀 司令的勒索信 國中小精緻化數學教學案例 1 班號姓名 : 尤拉市經過上次數學狂人的風波後, 最近又開始不平靜了 一個神秘組織滲透了這座城市 這個組織專門研製具有毀滅性的生化武器, 並從事大規模的犯罪活動 他們發現尤拉市由於長年相安無事, 治安管理鬆散, 是個理想的避風港, 便把生化武器的實驗室搬進了城裏 尤拉市從此失去了寧靜! 前幾天, 尤拉市的市民中心正要舉辦一個國際性的資訊大展 突然, 警察局長慌慌張張的跟市長說 : 糟了 有 0 位資訊展的參展商失蹤了 緊接著, 市長接到了一封匿名的 , 信上寫道 : 親愛的市長 : 那 0 位參展商正在接受我們妥善的招待 最近本組織的實驗經費稍有不足, 期望您能贊助 目前我們急需在 3 天內籌到 abcde 億元以購買炭疽病毒實驗用具, 若您無法贊助本組織, 嗯 我想這 0 位參展商就會是現成的白老鼠了 駐尤拉市司令官 市長看完信, 不出 秒鐘就氣得昏倒了 好不容易把市長救醒後, 市長的秘書也把伊克斯探長千請萬請請了過來, 於是市長立即召開緊急會議 大家看了這封匿名信後, 開始議論紛紛 重案組長搔著頭問 : 怪了, 上次才鬥垮了一個數學狂人, 怎麼這裡又冒出一個 司令來? 伊克斯探長發表了他的看法 : 在數學上來講, 是一個無理數, 這應該代表這名歹徒做事喜歡不按牌理出牌, 才會有這個稱號 市長著急地說 : 現在最要緊的, 是趕快把那無辜的 0 位參展商給救出來吧! 要是讓歹徒拿資訊展的參展商來做病毒實驗的話, 以後還有誰敢來我們這裡開展覽啊! 先來弄清楚歹徒到底要多少錢吧 這 abcde 億元是多少呢? 伊克斯探長把附加檔案打開, 看到裡面還有一封文件, 內容如下 : 1abcde 3 = abcde1; 交錢地點 : 尤拉市第某條大街某號 其中大街的序數和下面問題中乞丐數相同 ; 門牌號和我每天發出的錢數 ( 單位為分 ) 相同 我很有錢, 在窮人城時許多乞丐向我乞討, 我每天拿出一定數目的錢施捨給他們 如果我給每個乞丐 7 分錢, 還剩 4 分 ; 要是給每個乞丐 9 分錢, 就不夠 3 分 問題 : 同學們! 請你幫忙求出勒索金額, 和交錢地點是在第幾條大街 門牌幾號? ~ 189 ~
12 國中小精緻化數學教學案例 1 再探一番 1. 重案組長曾經與數學狂人交手鬥智過, 落敗被綁, 當時伊克斯探長前往營救 組長被關在石頭屋中, 石頭屋沒有窗戶, 只有一個鐵柵欄門, 門上有道密碼鎖 探長走近一看, 密碼鎖共有 6 位數字, 鎖的背面寫著兩行字 : 開鎖密碼是 abcdef, 這 6 個數字各不相同, 而且 b d=b,b+d=c,c c=a,a d+f=e+d 請你試試看, 體驗一下探長是怎麼救出重案組長的?. 鐵蛋想知道探長當年救出重案組長時的年齡 探長說 : 我的年紀嘛 對了, 我現在的年齡是 5 年後年齡的 5 倍與 5 年前年齡 5 倍之差, 你可以算算我的年紀有多大? 3. 探長說, 有一個六位數, 它的個位上的數字是 6 如果將這個 6 移到最高位前面時, 所得新的六位數是原來六位數的 4 倍 求原來的六位數 ~ 190 ~
13 國中小精緻化數學教學案例 1 第五關救出人質 班號姓名 : 伊克斯探長看完這封 後, 立刻找來紙筆 沒多久, 他就算出了歹徒勒索的金額和交錢地點 這時, 市長說 : 這個外號 的人想必就是這個犯罪組織的首腦 他綁架 0 名商人絕不會單單為了錢而已, 恐怕背後還有更大的陰謀 重案組長忙問 : 咱們該怎麼辦? 伊克斯探長說 : 歹徒拿了贖款, 一定會把錢送回他們的總部 我們只要跟蹤進去, 一舉殲滅他們, 還怕他們有什麼陰謀嗎? 當伊克斯探長一行人發現歹徒的巢穴後, 探長熟練的用炸彈把大門轟出了一個大洞, 重案組長馬上帶領精銳部隊殺了進去 歹徒們顯然沒料到警方會找上門來, 大多數歹徒不是在睡夢中被擒, 就是來不及掏槍抵抗 因此, 精銳部隊只受到一些零星的反抗 但是, 精銳部隊搜遍了建築物的每個角落, 就是不見那 0 名人質 重案組長厲聲逼問剛抓到的匪徒 : 說, 人質究竟藏在哪裡? 一名匪徒說 : 老大叫我們拿了贖款後, 到郊區的廢棄工廠去解開牢門上的密碼鎖, 把人放出來 他還特別交代, 若沒在 3 天內收到錢, 就趕快離開尤拉市 不過, 唯一知道密碼的人, 已經在剛才的槍戰中斃命了 為什麼 司令要求手下 3 天沒收到錢就閃人呢? 伊克斯探長很快就在郊區的工廠找到了答案 原來 司令在工廠內囚禁人質的牢房門上設置了密碼鎖, 而密碼鎖正連接著一座毒氣飛彈發射架, 有 3 枚毒氣彈瞄準尤拉市, 發射時間設定在 3 天後 發射架的周圍更佈滿了觸發式炸藥, 稍一不慎, 飛彈可能就當場炸開, 因此也不可能拆掉飛彈 要是為了救人而不小心弄壞了密碼鎖, 飛彈也可能提早發射 因此, 伊克斯探長只好嘗試解開密碼鎖 他趨前一看, 鎖上面寫著一個等式和兩句回文對聯 : 1 4 = 4 1( 二 ) 鬥雞山上山雞鬥龍隱洞中洞隱龍 伊克斯探長看完後, 面露微笑說 : 這是一個左右對稱的回文算式, 和緊接的回文對聯有著一樣的象徵意義, 等式是 上聯 ", 其實在徵求兩句類似的 下聯 ", 太簡單了! 難不倒我 問題 1 : 同學們! 請你也想想! 伊克斯探長是如何解開的 請你再找出至少 10 組兩位數相乘的回文算式 並寫下你在解題過程中, 有什麼發現? 問題 : 承上題, 在你解題過程中是否觀察到, 兩位數與兩位數相乘和兩位數與三位數相乘的回文算式, 彼此之間有何聯繫? 請加以對照說明 問題 3 : 如 A B C D 代表 0~9 中各不相同的一個數, 有 ABCD 9=DCBA 等式成立, 求 A B C D ~ 191 ~
14 國中小精緻化數學教學案例 1 破案餘暇, 伊克斯探長總會持續他的探究數學之路 他說, 有趣的是, 數學家族裏的主要成員 數 當中也有回文, 例如 :101,313,9999,, 我們稱為 回文數 " 它們的特徵是: 從左讀到右和從右讀到左完全一樣 其實在第三關所學 回文算式, 裡頭便隱含有回文數的影子, 例如 :1 31=13 1, 左右兩邊的運算結果都等於 77, 它就是一個回文數 兩個相同位數的回文數, 如果各位相加時能夠 就地容和 ( 融合 " 諧音 )", 不發生進位情況, 那麼其和仍是一個回文數 同樣, 在兩個回文數相減時 ( 規定要用大數減小數 ), 如果不需要從上一位元 借 " 位, 則其差也是一個回文數 例如 : 有趣的是, 某些回文數在相加時即使要發生 進位 ", 但其和數卻依然是個回文數 例如 : 問題 4 : 請你仔細觀察, 要滿足關係 : 相加時發生進位, 其和數卻依然是個回文數 則這兩個數需要有怎樣的條件限制? 伊克斯探長說, 環繞著回文數的研究, 數學家們發現, 有些回文數會隱身, 並不是明明白白的排列在數字的隊伍裡, 而是隱藏在其他數叢裡, 經過特殊換裝以後才會顯露真容 請看 : 83:83+38=11, 經過 1 步運算就能得到回文數 11; 68:68+86=154, =605, =1111,1111 是回文數, 只需 3 步運算 ; 195: =786, =1473, =514, =9339, 要運算 4 步, 得到回文數是 9339 是不是所有的數經過上述的運算, 都能產生回文數呢? 問題 5 : 請你任取三個自然數, 驗證這個想法 這就是有名的 回文數猜想 " 說它是一個猜想, 是因為它至今仍然是個謎 : 說它正確, 卻無法證明 ; 說它不正確, 又找不出一個反例 ~ 19 ~
15 國中小精緻化數學教學案例 1 可能成為說明 回文數猜想 " 不成立的反例是 196, 因為有人用電腦對這個數進行了幾十萬步計算, 仍然沒有出現回文數, 但是卻沒有人能證明這個數永遠產生不了回文數 後來, 數學家又發現, 在 10 萬個自然數當中, 有 5996 個數, 不管運算多久, 似乎也產生不出回文數 196 就是其中最小的一個 因為沒有確鑿的證據證明它們產生不了回文數, 所以只能用含糊的詞 似乎 " 來表述 另外, 數學家還對 回文質數 " 進行了大量研究, 也發現了一些 謎 " 101,131,353,919, 這些自然數既是回文數, 又是質數, 叫做 回文質數 " 數學家已經證明回文質數有無限多個 181 和 191,373 和 383,30103 和 3003 等等, 它們都是回文質數, 並且每一對中間的數字是連續的, 而其他數字都是相同的, 這樣的兩個數叫做 回文質數對 " 其中一個謎是 : 回文質數對有無窮多個嗎? 至今也沒有解決 藉助計算機, 數學家還發現, 在回文數中, 完全平方數 完全立方數非常多, 其比例要比一般自然數中回文數所佔的比例大得多 例如 11 = 11,131 = 111,13431 = 1111, LL, = ; = 7,1331 = 11, = 111, LLo 人們迄今未能 k 找到四次方 五次方, 以及更高次冪的回文數 於是數學家們猜想 : 不存在 n (k 4;n k 都是自然數 ) 形式的回文數 問題 6 : 同學! 你有否注意到上面所提到的 回文質數 ", 除了 11 之外, 它們的位數都是奇數位, 想想是為什麼? 問題 7 : 我們知道兩位數中只有 9 個回文數, 它們是 11,,33,44,,88,99 那麼請你找出三位數中所有的回文數, 它們是哪些? 四位數中所有的回文數, 又是哪些呢?, 依此類推, 你能推出 n 位數的回文數個數嗎? 問題 8 : 乾隆皇帝在 天然居 " 酒樓留下的回文對聯, 據說當時他的一名手下大臣名叫紀昀, 也曾對出下聯 : 人過大佛寺, 寺佛大過人 更有意思的是, 後人把這幅對聯又編成了回文數的趣題, 如右下算式, 供大家玩玩推理遊戲 這個乘法算式中, 每一 ~ 193 ~
16 國中小精緻化數學教學案例 1 個漢字代表一個數字, 不同的漢字代表不同的數字, 請你把這個算式還原出來 人過大佛寺 4 寺佛大過人 再探一番 1. 華人社會在民間常有許多回文詩詞的對聯, 對岸福建廈門鼓浪嶼魚脯浦就有一副有名的回文對聯 : 霧鎖山頭山鎖霧, 天連水尾 ( 缺字填答 ) 對仗工整, 只用八個字就把那裏的自然壯闊境界以及山與霧互鎖的迷韻意境表達出來 台北的芝山岩也有回文名詩流傳 : 芝山綠水流風涼, 水流風涼春日暖 暖日春涼風流水, 涼風流水 ( 缺字填答 ). 如 A B C D 代表 0~9 中各不相同的一個數, 有 ABCD 4=DCBA 等式成立, 求 A B C D (ABCD 和 DCBA 彼此互稱為是對方的鏡反數 ) 年 9 月 8 日, 一位廣播評論員在節目中提到, 如果把當天的日期縮寫成 8.9.8, 就成了有趣的數位回文 遇事喜歡追根究底的玉芬聽過節目之後, 也想去研究這一類回文日期的分佈情形 她很快就得出結論, 某些年份會比其他年份有更多的回文日期, 她還找出上一世紀 (0 世紀 ) 中最接近的兩個回文日期 你知道玉芬的研究結果是什麼嗎? 4. 有一個 4 小時制的數字鐘顯示的範圍從 00:00 到 3:59 請問在這一天之中有多少次鐘面顯示的數字是回文數? ( 註 : 回文數是指這個數字由正向和逆向讀起來的數值都一樣 例 :10:01) ~ 194 ~
17 國中小精緻化數學教學案例 1 第六關瓦解毒窟 班號姓名 : 伊克斯探長救出人質後, 再接獲密報, 消息指出 : 司令一夥人製作炭疽病毒的實驗室, 就混跡在克拉克住宅區附近一棟有庭院的透天樓房 探長和重案組長一行人很快就找到這棟建築, 歹徒早已逃之夭夭 這棟大樓外觀跟一般民宅沒兩樣, 但大夥還是小心翼翼地, 深怕不小心觸動陷阱或機關! 一進到宅院後, 才知道別有洞天 其中有一間密室很可能就是實驗室, 它的大門佈滿格子磚圖案, 很不一樣! 仔細檢查, 牆上另有兩行英文符號和數字 探長研判這很可能是另一種密碼鎖 經過一陣苦思後, 終於看到伊克斯探長露出慣有地笑容, 大夥也隨即放鬆了緊繃的神經! ( N ) MI( N ) MI = [ ], ( xy ) 10 :6 ( ) 10 xyz :15 看探長歡喜自信地模樣, 相當篤定! 已有了破解的腹案 探長說, 中文非常的優美, 如果你能靈活巧妙地應用, 那麼, 你一定將發現, 它不僅僅有音 律詞藻的美, 也有形式變化的神奇 譬如說宋代李禺的 夫妻互憶回文詩, 其中有一句 夫憶 妻兮父憶兒, 如果你從後面倒過來讀, 那就會變成 兒憶父兮妻憶夫, 同樣有意義, 真是妙極 了! 清初女詩人吳絳雪作有一首轆轤回文詩 : 長 香 日 蓮 香蓮碧水動風涼, 水動風涼夏日長 長日夏涼風動水, 涼風動水碧蓮香 夏 碧 涼 風 動 水 全詩只用了十個不同的字, 描繪了一幅風吹水動, 花香暗浮的夏日圖 妙的是詩的上兩句倒著讀過來就是詩的下兩句, 更妙的是把這十個字排成一個圓, 順時針讀是上兩句, 逆時針讀是下兩句, 就像是一隻來回旋轉的轆轤 在數學裏, 把一個數倒讀後所得的數, 稱為原數的 鏡反數 " (mirror image number) 鏡反數是一種相互的關係, 例如 134 與 431 就互為鏡反數 ~ 195 ~
18 國中小精緻化數學教學案例 1 探長接著說, 這面牆所隱藏的密碼, 如下圖所示 這些數的平方和它們在鏡子中反映 (inversion 或 mirror image) 的數的平方, 兩者在鏡子中的反映數恰巧相等 我們稱這樣的數為 平方鏡反數 ", 最早是 1979 年 3 月中旬, 由在美國紐約一所大學研究固態物理的華裔學者梅維甯先生所發現 1 1 (1) = =(1) 鏡子 (11) = =(11) 鏡子 MI N = [ MI N ], 則是對於上列數學關係的簡要表示法, 其中 ( N ) 至於 ( ) ( ) ( N ) MI 是 N 的平方鏡反數 另外, ( xy ) 10 :6 ( xyz ) 10 MI 是 N 的鏡反數, :15 分別表示徵求 : 二位數中共有 6 個平 方鏡反數, 三位數中共有 15 個平方鏡反數的答案 所以需要瞭解問題, 並能加以破解, 才有辦法進得了毒窟 同學們! 請你試試看, 探長是怎麼破解的? 問題 1. 二位數中共有 6 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程 問題. 三位數中共有 15 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程 再探一番 1. 四位數中共有 39 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程. 五位數中共有 91 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程 3. 能這樣六位數 七位數 繼續求解下去嗎, 在求解平方鏡反數的過程中, 你有什麼發現? 請你將想法寫下來 伊克斯探長破過大案後, 總會一如往常, 繼續他的數學研究之路 從這次破獲毒窟的過程中, 又讓他的數學能力再一次精進, 並且也獲得了不少啟發 例如 : 他進一步提出滿足 m(n n n) =m(n) m(n) m(n) 的立方鏡反數的概念 觀察 11 的立方, ( 11) 3 = 1331是立方鏡反數, 而 ~ 196 ~
19 國中小精緻化數學教學案例 1 ( ) 3 = 卻不是立方鏡反數 他提出問題如下 : 問題 3. (1) 尋找所有小於 的立方鏡反數? 這些立方鏡反數其中是否有回文數? () 尋找構造立方鏡反數的方法, 以此判斷立方鏡反數的個數是有限還是無限 問題 4. (1) 觀察 31 這個數,31-13=198= 99, 而 45 這個數也有 45-54=198= 99 證明任何三位數 N = ( a 1 a a 3 ) 10, 下面的絕對值 N MI( N ) 一定能被 99 整除 () 承上題, 能否證明 n 位數 N = ( a 1 a La n ) 10, 下面的絕對值 N MI( N ) 999 9(n-1 個 9) 整除 一定能被 再探一番 1. 據說有位數學家在一次偶然的機會, 看到一塊里程路標上的公里數 305 被折成兩段, 成為 30" 5", 心裡起了一陣顫動 他想 : 30+5=55,55 =305 又回到了原來的數, 真是奇怪極了! 這引起他的興趣, 也受到了不少數學家的關注 大家經過一番探索, 又找到了另外兩個這樣的數 : 觀察 05=45 =(0+5),9801=99 =(98+1) 事實上, 具有這一性質的數並不限於四位數, 例如 :81=9 =(8+1) 49409=703 =(494+09) 這些數是能把組成它的數字分成兩半, 然後取這兩半的數的和的平方而得到, 相當有趣 請你完成下列問題 : (1) 尋找小於 100 的所有這類整數 () 尋找小於 的所有這類整數 (3) 找出構造具有以上奇妙性質的數的一般方法由此證明這類數是有無窮多個. 找到一些數字, 使得 abc def=ghijk 與 cba fed=kjihg, 同時成立並不困難, 例如 : =14541 與 10 01=050 這與數字本身的對稱性有關, 但也可以找到沒有對稱性的解, 例如 :31 1=6895 將數字倒轉得 :13 1=5986 仍然成立 你能找到其他的解嗎? 試著找出數字 a b c 與 d e f 之間的關係, 取其被乘數和乘數的鏡反數時, 其乘積也恰等於原來乘積的鏡反數 ~ 197 ~
20 國中小精緻化數學教學案例 1 第一關 觀察力大考驗 (0.5 節課 ) 參考答案 : ( 第一關 ) 觀察力大考驗 : 重複模式為 : 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 : 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 因為掌握 pattern 的特徵 都是重複模式或先對稱再重複, 有助於記憶的發揮 3 第二個胚騰每段重複模式的前半部份, 其變化特徵相當於第一個胚騰各單位由內往外觀看的樣式 再探一番 : 重複模式為 : 重複模式為 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 : 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 第二關 胚騰的推理 (0.5 節課 ) 參考答案 : ( 第二關 ) 胚騰的推理 5 四個胚騰的第 100 個模樣分別為 : 再探一番 1 第 (1) 題 : 前半段是奇偶相間, 即 , 後半段是先奇數, 後偶數, 即 第 () 題 : 後一個數總比與它相鄰的前一個數多 3 第(3) 題 : 後一個數總比與它前一個數少 11 第(4) 題 : 後一個數總是前一個數的 倍 第 (5) 題 : 先將前一個數除以 3 得一個數, 跟隨的數是將商乘以, 用這個次序反覆列出來的 略 3 四個胚騰的第 89 個模樣分別為 :1 1 1 第三關 神奇的回文算式 (1.5 節課 ) 參考答案 : ( 第三關 ) 神奇的對稱運算式 6 可以用嘗試法得到答案: = 多數學生會嘗試使用代入數字的方法, 得到 =; 另外, 有學生會使用求解方程式的方法 : 設 =x, 則 1 (460+x)=(100x+ 64) 1, 求解後得到 x= 問題 : 三組參考答案可為 1 693=396 1;6 341=143 6;4 693=396 4 英語回文 順讀和倒讀完全相同單詞有 eye,madam: 順讀和倒讀後, 意思不一樣的單詞 :no 和 on,was( 是 ) 和 saw( 看見 ) ~ 198 ~
21 國中小精緻化數學教學案例 1 詩題 可以從第二式中的 頭 開始思考, 試驗結果 頭 不能取 6 5 7, 所以只能取 4, 這時 低 不能取, 否則就找不到 思 的數字 這樣便有 : 第二式為 第一式為 14 5=70, 34 =68 71=68+3, 90=45 第四關 解讀 司令的勒索信 (1 節課 ) 參考答案 : ( 第四關 ) 解讀 Π 司令的勒索信 (1) 設 abcde=x 根據題意列式 ( x) 3=10x+1, 求解得 x=4857 () 設乞丐數為 x 人, 根據題意列式 7x+4=9x-3, 求解得 x=8( 人 ), 再代入左式得 =0( 分 ) 答 : 第 8 條大街 0 號 再探一番 1 b 0( 否則 d=c), d=1,b+1=c, 因此 c 只能取 3,b=, a=9,9 1+f=e+1, e-f=8, e=8,f=0, 故 abcdef 為 設探長現齡 x 歲, 根據題意列式 5(x+5) -5(x-5)=x, 求解得 x=50( 歲 ) 3 設此六位數之前五位數為 x, 根據題意列式 4 (10x +6)= x, 求解得 x=15384, 答 : 此六位數為 第五關 救出人質 (3 節課 ) 參考答案 : ( 第五關 ) 救出人質 問題 1 : 設兩位數相乘的回文算式為 ab cd=dc ba, 則可以寫成 (10a+b) (10c+d)=(10d+c) (10b+a), 化簡得 a c=b d, 再加以討論之, 試驗後發現共有如下組合 : 1 4=,1 6= 3,1 8= 4,1 9=3 3, 6=3 4, 8=4 4, 9=3 6,3 8=4 6,4 9=6 6 進一步配對得出, 共有 14 組解如下 : 1 4 = 4 1,1 63 = 36 1,13 6 = 6 31, 1 84 = 48 1,14 8 = 8 41,13 93 = 39 31, 3 64 = 46 3,4 63 = 36 4,4 84 = 48 4, 3 96 = 69 3,6 93 = 39 6,34 86 = 68 43, = 48 63,46 96 = 問題 : 至於兩位數與三位數相乘的回文算式, 則可以透過兩位數相乘的回文算式得到 觀察 1 31=13 1,1 693=396 1,13 68=86 31, 我們發現, 這類等式不僅外形整齊 對稱, 內部構造 也很巧妙 : 每個等式中兩位數的十位數字和三位數的百位數字的乘積, 正好等於兩位數的個位數字和三位數的個位數字的乘積 ; 等式中三位數的十位數字恰好等於個位數字和百位數字的和 例如, 在 ~ 199 ~
22 國中小精緻化數學教學案例 =13 1 中,1 = 1, 且 3=+1; 在 1 693=396 1 中,1 6= 3, 且 9=6+3 等 所以透過兩位數相乘的回文算式共可得到兩位數與三位數相乘的回文算式, 得 17 組解如下 : 1 46 = 64 1,13 4 = 4 31,1 693 = 396 1, = 36 31,13 68 = 86 31,143 6 = 6 341, = 48 31,154 8 = 8 451, = , = 46 35,4 693 = 396 4,64 63 = 36 46, = 48 46,53 96 = 69 35,86 93 = 39 68, = , = 問題 3 : 觀察發現 A=1, D=9, 又 9B 不能進位, B=0, 因此 9 8+8=80, C= 8, 故 =9801 問題 4 : aal a ( 共有個 a) 與 bbl b ( 共有個 b),a 與 b 應滿足關係式 a+b=11, 以及 1< a,b<10 問題 5 : 略 問題 6 : 回文數如果是偶數位, 必含有 11 的因數, 那就不是質數了 所以除了 11 之外, 所有其他 回文質數 的位數必都是奇數位 問題 7 : 二位數回文數有 :11,,33,44,55,66,77,88,99 共 9 個 三位數回文數有 : 四位數回文數有 : 101,0,303,,909, 1001,00,3003,,9009, 111,1,313,,919, 1111,11,3113,,9119, 11,,33,,99, 11,,33,,99, 1331,33,3333,,9339, 191,91,393,,999, =90, 共有 ( 個 ) 1991,99,3993,,9999, =90, 共有 ( 個 ) ~ 00 ~
23 國中小精緻化數學教學案例 1 五位數回文數有 : 六位數回文數有 : 10001,10101,1001,,10901, ,101101,,109901, 11011,11111,1111,,11911, ,111111,,119911, 101,111,11,,191, 1001,1111,,1991, 19091,19191,1991,,19991, =100, 從 1 1 到 9 9 各有 100 個, 9 100=900( 個 ), 共有 9 10 ( 個 ) ,191191,,199991, =100( 個 ), 9 100=900( 個 ), 共有 9 10 ( 個 ) 依此類推到 n 位數 : 當 n 為偶數 (n=k) 時, 有回文數 9 10k-1( 個 ), 當 n 為奇數 (n=k+1) 時, 有回文數 9 10k( 個 ) 問題 8 : 人, 但人 =1, 不可能, 4 寺尾數不可能為 1, 人 = 又 4 過, 不能進位, 取過 =1 而 4 佛 +3= 1, 佛取 ( 不合 ) 或 7 4 大 +3=3 大, 大 =9, 故人過大佛寺為 1978 再探一番 1 水連天, 綠山芝 A 是 4 的倍數且 A, A=, 則 D=8 關鍵 4 B 不能進位, B 只能取 1 或 ( 不合 ), 則 4C+3 的個位數為 1, C=7, 故 ABCD= 世紀的 與.9.9 間隔只有 4 天而已 把同一月份或相鄰月份的二位數日期與一位數日期並排在一起, 比較容易找出相近的兩個回文日期 4 設鐘面為 AB:BA, 則 A=0 1,B= A(0,1,) 搭配 B(0,1,,3), 則共有 3 4=1( 次 );A(0,1) 搭配 B(4,5), 則共有 =4( 次 ), 合計共有 16( 次 ) 答案如下: 00:00;01:10;0: 0;03:30;04:40;05:50 有 6 次, 10:01;11:11;1:1;13:31;14:41;15: 51 有 6 次, 0:0;1:1;:;3:3 有 4 次 參考答案 : 第六關 瓦解毒窟 (.5 節課 ) 問題 1. 二位數的平方鏡反數 ( xy ) 10, 共有 6 個, 分別為 找法如下: y = y = y + y, 當 x=1 時, ( ) ( ) ( 1) = ( 10y + 1) = 100y + 0y 1 y, y>0 且 y<5, 否則 0y 會進位, 另外 y 9, 10 + y=1,,3 故此二位數可以為 11,1,13 ~ 01 ~
24 (1) =11 11=11 () = =1 國中小精緻化數學教學案例 1 (3) = = y = y = y + y, 當 x= 時, ( ) ( ) ( ) ( y ) = ( 10y + ) = 100y + ( 0y) 數可以為 1,,31, y 9 且 1 y, y=1 或, 故此二位 (4) = =1 (5) = = (6) = =13 問題. 三位數的平方鏡反數 ( xyz ) 10, 共有 15 個, 分別為 找法如下 : ( 100x + 10y + z) = 10000x + 100y + z ( xy) + 10( yz) + 100( xz) ( 100z + 10y + x) = 10000z + 100y + x ( zy) + 10( xy) + 100( xz) 如果兩式要對稱, 則 x,y,z,xy,yz,zx 都不能進位, 1 x y z 3, 且 1 xy yz zx<5, 即 x y z 中任兩個數不能同時出現 3, 如此可以去掉大部分的數, 共有 15 個, (1) = =101 (4) = =111 (7) = =11 () = =01 (5) = =11 (8) = =1 (3) = =301 (6) = =311 (9) = =10 ~ 0 ~
25 國中小精緻化數學教學案例 1 (10) = =0 (11) = =11 (1) = =1 (13) = =1 (14) = =103 (15) = =113 再探一番 1 四位數的平方鏡反數, 共有 39 個 : 1001,100,1003,1011,101,1013,101,10,1031,1101,110,1103, 1111,111,1113,111,11,101,10,111,11,1301,001,00, 011,01,01,0,101,10,111,11,01,0,11,3001, 3011,3101,3111 五位數平方鏡反數共有 91 個, 如下所示 : 3 都是由 所組成且平方鏡反數中間插入任意多個 0, 都可以得到更高位的鏡反 數 ~ 03 ~
26 國中小精緻化數學教學案例 1 問題 3. (1) 共有 6 個, 分別為 : 舉例說明如下 : 其中有 4 個立方鏡反數也為回文數, 如下所示 :11 3 =1331,101 3 = , = , = () 有無限多個, 例如在兩個 1 之間放入任意個 0, 則皆為立方鏡反數且為回文數 問題 4. (1) ( 100a + 10a + a ) ( 100a + 10a + a ) = ( a a ) 取絕對值後, 上式結果必為正數且能被 99 整除 () 承上題, 同理可證 再探一番 1 (1) 81 ( 8 + 1) = ;() 略 ;(3) 這類數有無窮多個, 舉例如下 : 9 99 ( 8 + 1) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) LLLL 利用試誤法可找到許多解答, 但要徹底瞭解此問題, 則需要分析一下 我們先考慮下列的乘法 : 999 = 81 = = 9801 = = = 1 3 因為乘積是五位數,g 9 k 9, 而且在每一位數並不牽涉到進位的問題, 所以對每一位元數字 (g h i j k) 而言, 下列式子為必要條件 : ad 9 ;ae+bd 9 ;af+be+cd 9 ;bf+ce 9 ;cf 9 ~ 04 ~
27 國中小精緻化數學教學案例 1 這意味著如果 a=, 則 d e f 4, 所以滿足條件的大部分解, 其每一位元數的數字將很小. 但是大數字的解也可能存在, 例如 : =89991, =19998 另外還有一些解答為 : =143, 13 10=1546, =90000, =341, 31 01=6451, =00009 ~ 05 ~
28 ~ 06 ~ 國中小精緻化數學教學案例 1
29 南區跨縣市國中 關鍵教學暨 ICT 教學 工作坊 南區跨縣市國中 關鍵教學暨 ICT 教學 工作坊項目適用作者教學資源年級教學案例二元一次方程式的王儀雅 / 七年級解臺南縣國中輔導團二元一次聯立方程陳秀湘 / GeoGebra 數學繪圖七年級式的幾何意義嘉義市國中輔導團軟體 教學內容二元一次方程式的解二元一次聯立方程式 不只是 感覺 廖惠儀 / 三角形的邊角關係高雄市國中輔導團 自製簡報八年級三角形 三角形的全等性質 李祐宗 / 的先導 澎湖縣國中輔導團 AMA& 小畫家軟體 電子教科書 八年級 三角形 完美的正五邊形 黃金比例與費氏數列 顏錦偉 / 高雄市國中輔導團 網路資源 八 九年級 正五邊形 工匠的幾何 尺規作圖 廖惠儀 / 高雄市國中輔導團 自製簡報 八 九年級 尺規作圖 GeoGebra 融入二次 顏琦華 / 函數教學 臺東縣國中輔導團 GeoGebra 數學繪圖軟體 九年級 二次函數 你說我動之平移二次函數 郭逸民 蔡震珊 陳乃毓 / 高雄市國中輔導團 網路資源自製 GSP 媒材 九年級 二次函數的平移 顏錦偉 / 一線 牽 里如此近高雄市國中輔導團 網路資源 國中 m n 畫一直線通過的方格數 ~ 07 ~
30 ~ 08 ~ 南區跨縣市國中 關鍵教學暨 ICT 教學 工作坊
HPM 通訊第十卷第五期第二版 驗, 加以現今評量制度之下, 考試所帶來的挫折, 於是, 數學對於大部份的學生而言, 除 了考試 升學所需為目的, 制式的教材內容, 往往難以引發學生的興趣與學習動機 這時, 適當地引入數學發展史上的相關故事 軼聞趣事 數學家的不同觀念與想法, 又或者著名 的數學問題
HPM 通訊第十卷第六期第一版 發行人 : 洪萬生 ( 台灣師大數學系教授 ) 主編 : 蘇惠玉 ( 西松高中 ) 副主編 : 林倉億 ( 家齊女中 ) 助理編輯 : 李建勳 陳春廷 趙國亨 ( 台灣師大數學所研究生 ) 編輯小組 : 蘇意雯 ( 成功高中 ) 蘇俊鴻 ( 北一女中 ) 黃清揚 ( 福和國中 ) 葉吉海 ( 新竹高中 ) 陳彥宏 ( 成功高中 ) 陳啟文 ( 中山女高 ) 王文珮 (
縣 94 學年度 上 學期 區 國民中學 Q 年級 R 領域教學計畫表 設計者：
高雄市立茄萣國中國中 103 學年度第一學期八年級 英文補救教學彈性學習課程計畫表 一 教材來源 : 二 教學節數 : 每週 (1) 節, 學期共 ( 20 ) 節 三 各單元內涵分析 : 週次 第一週 第二週 第三週 第四週 9/1 9/5 9/8 9/12 9/15 9/19 9/22 9/26 Lesson1 ( 一 ) Lesson1 ( 一 ) Lesson2 ( 二 ) Lesson2
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單元名稱 : 9 三角函數的積分 教學目標 : 使學生了解三角函數的積分 三角函數積分的類型及一些積分技巧 學習時數 : 約一小時 教學內容 :. [ 第一類型 ] 六個三角函數本身的積分. [ 第二類型 ] sin n 及 os n 的積分 sin os m n. [ 第三類型 ] 的積分 4. [ 第四類型 ] n 及 ot n 的積分 5. [ 第五類型 ] n 及 s n 的積分 m 6.
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4. 資料表示法 4.1 十進位與數字系統 (1). 基本觀念 數字系統的觀念 人們習慣以十進位的計量方式來計算 不同的數字系統有二進位 (Binary) 八進位 (Octal) 十進位 (Decimal) 十六進位(Hexadecimal) 二進位 電腦內部用來表達訊號的資料只有兩種符號 : 0 表示沒電,1 表示有電透過多個電路的組合表示出無數符號, 電腦便利用這些符號來表示不同的數字 利用兩條電線可以表示出
<4D F736F F D20B3AFABD8EA4D2DB9EFBAD9A668B6B5A6A1AABA652D68ABEDB5A5A6A15FA4555F>
對稱多項式的 h恆等式 ( 下 ): 將 h 用 的行列式表示 陳建燁 臺北市立第一女子高級中學數學教師 壹 前言 : 關於對稱多項式, 有一個很重要的事實, 稱為 對稱多項式的基本定理, 簡單地說, 即任何 元 (,,, ) 的對稱多項式, 總是可以寫成 個基本對稱多項式 ( 即,,, ) 的多項式 ( 參考資料 [4]) 例如: ( ) ( ) [ (,, )] (,, ) 那 麼, 既然 h(,,,
基本數學核心能力測驗_行為觀察記錄紙_G2版本
基本數學數學核心能力測驗 G2 行為觀察記錄記錄紙 學校 : 班級 : 姓名 : 日期 : 記錄者 : ~ 學生作答時, 請他 ( 她 ) 將雙手皆置於桌面 ~ 認識數字 ( 三 ): 數列 ( 共 1 頁 ) 注意事項 逐題觀察並作底下記錄, 等分測驗做完後, 每一個策略任選一題問 這一題你是怎麼算的? ( 如果只運用一種策略, 則再任選 2-3 題訪問 ) 利用學生的回答來作為 自己觀察記錄的證據
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練習 9A ( 9. 特殊角的三角比 T ( 在本練習中, 不得使用計算機 如有需要, 答案以根式或分數表示. 試完成下表 三角比 θ 0 4 60 sin θ cos θ tan θ 求下列各數式的值 (. cos 60. sin 4 4. tan 4. cos0 4 tan 0 7. sin 4 cos 4 8. cos 60 tan 4 9. tan 60sin 0 0. sin 60 cos
0 0 = 1 0 = 0 1 = = 1 1 = 0 0 = 1
0 0 = 1 0 = 0 1 = 0 1 1 = 1 1 = 0 0 = 1 : = {0, 1} : 3 (,, ) = + (,, ) = + + (, ) = + (,,, ) = ( + )( + ) + ( + )( + ) + = + = = + + = + = ( + ) + = + ( + ) () = () ( + ) = + + = ( + )( + ) + = = + 0
男人的大腦 女人的大腦
46 2014 6 498 男女大乾坤 男女的戀愛行為 男人的大腦 女人的大腦 2014 6 498 47 48 2014 6 498 女人的戀愛行為 70 900 男人的戀愛行為 8 2014 6 498 49 50 2014 6 498 對於愛與性的混淆 男女所面臨的問題 和我一樣喜歡做愛除了我, 不可以看別人相信我, 沒有問題現在, 和我做愛知道如何引燃我從不傷害我 朋友關係和性 嫉妒和占有欲
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中華民國第四十六屆中小學科學展覽會作品說明書 國中組數學科 0010 有 " 機 " 可呈 ~ 揭開無理數的神秘面紗 學校名稱 : 彰化縣立和美國民中學 作者 : 國二邱太乙 指導老師 : 粘憲昌 國三姚宏治 國三柯奕帆 國二楊政龍 關鍵詞 : 無理數 亂數與隨機實驗 解析幾何 率 不 率 來 率 行 不 EXCEL 亂數 落 了 10 9 亂數數 數.116070 理數 1.16008 1.599866
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北 年 度 領 參 II 北 III 陸 錄 參 錄 IV V 1 2 3 4 參 錄 5 6 參 錄 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 1 2 1 2 28 29 (三) 教學方法 躍華小學語文課程中的第一個板塊 教科書教學採用單元整體教學的思 路 教授一個主題單元時 可以把教學過程分成幾個模塊 自學模塊 字詞
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第 2 章神奇的質數 2.1.1 什麼是質數 1 1 1 打下好基礎 - 程式設計必修的數學思維與邏輯訓練 1 1 0 10 2 3 5 7 4 6 8 9 10 4 10000 1229 1000 168 2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131
44 說 : 數 : 數 數 數 數 列 律 :
中華民國第四十四屆中小學科學展覽會作品說明書國中組數學科 030405 臺北縣立丹鳳國民中學指導老師姓名朱蕙苓黃宇暄作者姓名林芸群許娟維白宇辰巫宗樺 44 說 : 數 : 數 數 數 數 列 律 : 錄..P.1......P.1 參......P.1.... P.1..... P.2 陸...... P.4 論........ P.18 論.....P.22 參 料..P.24 數 數 8 5 8
目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 二次方根與畢氏定理 因式分解 一元二次方程式
給同學的話 1 2 3 4 目次 CONTENTS 2 1 乘法公式與多項式 1-1 3 1-2 7 1-3 11 1 16 2 二次方根與畢氏定理 2-1 20 2-2 24 2-3 29 2 33 3 因式分解 3-1 37 3-2 41 3-3 45 3 49 4 一元二次方程式 4-1 53 4-2 57 4-3 61 4 65 3 1-1 乘法公式 本節性質與公式摘要 1 分配律 : ddd
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學校 : 學年度第學期第次段考科目名稱命題教師 : 年 班座號 : 姓名 : 得分 : 一 單選題 : ( ). 設 (x x6) (D) x Ax Bx Cx6, 則 A B C (A)6 (B) (C) 解答 :D ( ). 求 (x x x)( x x ) 的展開式中, x 項的係數為何? (A) (B) (C)6 解答 :A (D)7 9 統測 ( ). 下列何者為多項式? (A) x (B)
子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習 SAMS 台上講者從左至右 : 吳薇薇女士 羅陸慧英教授 佘孟先生 李芳樂教授 從 電子銀行服務 到 電子學習 題追3 專蹤電
鄭燕祥教授演講座座無虛席專題追蹤電子學習電子學習如何提升 學與教 模式? 學與教博覽 2010 論壇直擊報道 整理 : 蘇家輝 2 學與教博覽 2010 於本年 7 月 15 日至 17 日假灣仔會議展覽中心舉行, 其中 電子學習提升 學與教 模式 論壇邀請了多位學者 專家和官員就相關話題發表意見, 當中不乏具啟發性的觀點, 值得老師參考和細思 子學習3 電子學習的定位 傳統電子學習 與 新世代電子學習
目次 CONTENTS 1 數列與級數 幾何圖形 三角形的基本性質 平行與四邊形
給同學的話 1 3 4 目次 CONTENTS 1 數列與級數 1-1 3 1-8 1 13 幾何圖形 -1 18 - -3 6 30 3 三角形的基本性質 3-1 35 3-39 3-3 44 3 48 4 平行與四邊形 4-1 54 4-59 4-3 63 4 68 3 1-1 數列 本節性質與公式摘要 1 數列 : 1 1 a 3 a 3 n n a n 3 n n1 a n1 4 n n1
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2 3 4 5 ~ 6 1. 2. 3. 4. 7 ~ 8 9 ~ 10 11 12 13 14 15 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 五 執行方式 一 甄試過程照片 16 17 18 夣 19 20 21 22 23 24 25 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 26 27 28 . 29 30 31 32 33 . 34 . 35 96年原住民族電視節目增製計畫 結案報告 (
1-2 二元一次聯立方程式 21 例 1 代入法判斷二元一次聯立方程式的 { x3y5 2xy3 x1y2 x3y3 x2y1 xy 二元一次式 x y x+3y x-y x2y1 x2y1 { x3y5 2xy3 { 2x3y1 xy3 x2y1
1 20 1-2 二元一次聯立方程式 1 二元一次聯立方程式 2 代入消去法 3 加減消去法 主題 1 二元一次聯立方程式 列二元一次聯立方程式 6 x y 3 1 700 3xy700 5 2 1200 5x2y1200 { 3xy700 5x2y1200 二元一次聯立方程式 二元一次方程組 二元一次聯立方程式的 3xy700 5x2y1200 xy x y 共同 x200y100 3xy700
第二節 研究方法 本論文第一章 緒論 說明研究動機與目的 研究方法及研究的範圍及限制 並對 飲食散文的義界 作一觀念的釐清 第二章 文獻探討 就將本研究的理 論建構中的概念作釐清 分別為 現代文學 飲食文學的重要論著 等兩個部 分來描述目前文獻的研究成果 並探討其不足待補述的地方 本研究以 文化研 究 為主要研究基礎 統攝整個研究架構 在不同章節裡 佐以相關研究方法進 行論述 茲圖示如下 研究方法
理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13
12 科學發展 2012 年 12 月,480 期 你可能不知道的媒體影響 劉正山若用 選戰 的角度來看選舉和參與選舉, 你大腦裡情感的作用一定大過理性的作用, 便會很習慣地拿各種媒體或別人的觀點來使自己的選擇合理化 2012 理性真的普遍嗎 注意力的爭奪戰 科學發展 2012 年 12 月,480 期 13 14 科學發展 2012 年 12 月,480 期 agendasetting 報紙和網路新聞的頭版空間有限,
二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲
-1 圓方程式 第 章 二次曲線 38 二次曲線 人們對於曲線的使用及欣賞 比曲線被視為一種數學題材來探討要早 得多 各種曲線中 在日常生活常接觸的 當然比較容易引起人們的興趣 比如 投擲籃球的路徑是拋物線 盤子的形狀有圓形或橢圓形 雙曲線 是較不常見的 然而根據科學家的研究 彗星的運行軌道是雙曲線的一部 分 我們將拋物線 圓與橢圓 雙曲線合稱為圓錐曲線 因為在平面坐標 系中 其對應的方程式均為二元二次式
戒菸實務個案自助手冊105年Ver.2
本計劃經費來自 品健康福利捐支應 衛生福利部國民健康署 我 名字 為了 以下理由 1. 2. 3. 4. 5. 決定從 年 月 日起 簽署人 (簽章) 見證人 (簽章) 年 月 日 a 準備戒 V 環境的準備 排除讓自己想吸 自己戒 的環境 V 心理的準備 瞭解自己的吸 的環境 建立能提醒 行為 強化戒 決心 V 身體的準備 評估身體的尼古丁依賴度 必要時找尋 藥物降低戒 戒 的難度
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讀 理 念 讀 讀 論 來 例 不 了 良 讀 讀 力 力 讀 不 力 更 力 讀 更 了 讀 略 力 讀 樂 讀 識 識 讀 理 識 力 力 了 讀 讀 勵 論 識 讀 讀 讀 立 讀 落 行 年 度 讀 讀 讀 年 度 領 讀 樂 念 識 度 良 讀 欄 讀 論 讀 度 利 讀 讀 六 勵 良 略 歷 略 歷 路 讀 利 連 讀 年 路 讀 讀 讀 理 更 讀 連 1 老 老 六 良 讀 讀 讀
Catalan Numbers簡介
輪 紐 輪 紐 紐 輪 紐 行 紐 輪 類 數 ( -) 數 紐 輪 輪 行 0 4 6 7 8 9 0 4 數 Lucas(84-89) Sturm(80-8) Sturm 了 了 ( -) Lucas 說 數 紐 輪 行 來 0 4 6 7 8 9 04 67-7 -6 - -4 - - - 0 4 6 7 8 利 數 兩 行了 a b a b a + b = 7 a b N {0} ab 0
第一篇文概說第七章公文的用語及標點符號公本篇內容 第一章 緒論 第二章 公文的意義 第三章 公文與高 普 特各類考試 第四章 公文程式之意義及演變 第五章 公文之分類及其行文系統 第六章 公文之結構與行款 第一篇 第一章緒論 003 第一章緒論 等 等 004 最新應用公文 第一篇 第二章公文的意義 005 第二章公文的意義 第一節 一 須為公務員製作之文書 二 須為公務員 職務上 製作之文書 006
01 用 ActionScript 3.0 開始認識 Flash CS3 Flash 是應用在網路上非常流行且高互動性的多媒體技術, 由於擁有向量圖像體積小的優點, 而且 Flash Player 也很小巧精緻, 很快的有趣的 Flash 動畫透過設計師的創意紅遍了整個網際網路 雖然很多人都對 Fl
01 用 ActionScript 3.0 開始認識 Flash CS3 Flash 是應用在網路上非常流行且高互動性的多媒體技術, 由於擁有向量圖像體積小的優點, 而且 Flash Player 也很小巧精緻, 很快的有趣的 Flash 動畫透過設計師的創意紅遍了整個網際網路 雖然很多人都對 Flash 可以做精美的網路動畫並不陌生, 但是實際上 Flash 不僅如此, 只要搭配 ActionScript
高雄市光華國民中學九十二學年度第一學期一年級
05 三年級彈性課程教學計畫表 高雄市立壽山國民中學 05 學年度第 2 學期三年級 彈性課程 補救英語 教學計畫 壹 各單元教學目標 ( 一 ) 培養學生基本的英語溝通能力 ( 二 ) 培養學生學習英語的興趣與方法 ( 三 ) 增進學生對本國與外國文化習俗之認識 貳 各單元內涵分析 週次 2/3-2/9 日期單元名稱對應之能力指標節數評量方式 L Martin and Henry 2 2/20-2/26
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1 2 3 4 5 6 7 8 公式 2 4 2 1 能 整除 因此後玩 者贏 且關鍵數 字為3 的倍數 3 0 3 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵數字是 4的倍 數 2 先玩者贏 4 0 4 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為 5 的倍數 5 0 5 1 不能整除 所 以先拿餘數 2 關鍵 數字是 6的倍 數 2 先玩者贏 7 0 6 1 能整除 因此 後玩者贏 且 關鍵數字為7
中華民國第 四 十 七 屆中小學科學展覽會
中華民國第四十七屆中小學科學展覽會作品說明書 高中組生物 ( 生命科學 ) 科 040718 光鮮外表下的神秘面紗 - 探討草莓果實生長及其生殖 學校名稱 : 國立鳳新高級中學 作者 : 高二簡溥辰 指導老師 : 王美玲 高二謝宜芬 高二歐盈佛 高二陳柏維 關鍵詞 : 草莓 (Fagaria sp. ) 果實發育 (fruit develop) 萌芽 (germination) ~
n 123n2n1nn n P n k n P abc 123 x abcxx P C 5 3 oooxx C
2 1 2 1 2 3 n 123n2n1nn n P n k n P 5 3 5 53 5 2 60 abc 123 x abcxx 5 2 60 P 5 3 5 53 5 2 60 C 5 3 oooxx C 5 3 5 32 3 4 n 5 6 4 壹歷史與生活 2 2 2 4 3 10311095 1919 3 361 16481722 17681813 C n m nn1nm1 mm1 21
73 二 課程簡介
72 處 變 如何不驚? 談如何修讀 這門課 / 一 前言 73 二 課程簡介 74 Robert T. Golembiewski 三 教科書的研讀訣竅 75 76 cross reference 四 課程製作不易, 且成本昂貴, 一定要看 11 00 11 30 19 00 19 30 20 30 21 00 77 idea 1 78 五 輔助教材 是新知來源, 又是考試的範圍 六 面授教學提供解惑的機會,
1970 新技術的應用 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X
凡發生過的必留下痕跡 同位素分析的考古應用? 如何考古 06 2013 9 489 經由人骨中碳和氮同位素的分析, 提供考古學家另一個探討古代攝食系統的途徑 另外, 可以藉由鍶同位素分析了解人群的來源與遷移過程 1970 新技術的應用 13 15 13 12 15 14 13 15 13 12 15 13 15 13 X = 20 + B 13B δ13c X 1 X 2013 9 489 07 δ
C3特教班學習領域課程計畫
臺南市安南區土城國民小學 105 學年度第一學期資源班班領域教學進度表 ( 學習領域課程計畫表 ) 領域 : 社會技巧領域組別 :M/3 教學者 : 陳鴻佳老師每周教學節數 :1 節 1. 能加強多元性別互動技巧 (2-b-4) 2. 能加強學校基本適應技巧 (3-b-1) 3. 能加強社區基本適應技巧 (3-b-2) 第一週 8/29-9/3 第二週 9/4-9/10 第三週 9/11-9/17
一年二班 A081. 生活實業家 音樂教室三 一年二班 A071. 民主審議與公民行動 5F 多功七 一年二班 F191. 插畫設計與版畫創意 4F 圖書館 一年二班 A081. 生活實業家 音樂教室三 一年二班 C091. 打開潘朵拉的盒
107 學年度第一學期高一跨班 / 跨校選修課程 - 選課結果 班級 座號 科目 教室 一年一班 01 107A051. 探索生命世界的數學祕密 你我都是公民科學家 生物實驗室 一年一班 02 107F181. 動畫設計與邏輯思考 4F 圖書館 一年一班 03 107B111. 中崙趴趴 GO 廟宇篇 6F 多功能群組教室 一年一班 04 107B111. 中崙趴趴 GO 廟宇篇 6F 多功能群組教室
Chapter 3 Camera Raw Step negative clarity +25 ] P / Step 4 0 ( 下一頁 ) Camera Raw Chapter 3 089
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95 1 2 : 1. 3 20 4 5 1., ABCDEF 2. 01020304050 3. 101020304050 4. 1.41.42.84.25.67 ( 20) 5. 20 6. () A 0 B 10 C 20 D 30 E 40 F 50 () 1 0 2 0 3 0 5.4 7.8 7.2 13.5 12.1 12.8 18.9 18.6 23.9 25.3 29.2 26.8
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中華民國第四十六屆中小學科學展覽會作品說明書 國中組生物及地球科學科 031713 請螺入甕 學校名稱 : 臺中縣立北勢國民中學 作者 : 國一陳柏興 指導老師 : 吳淑滿 國一陳澤毅 國一王勛緯 關鍵詞 : 福壽螺 樣區法 陷阱器 螺 螺 來 螺 不 螺 數量 良 螺 北 螺 串 便 量 螺 便 螺 更 省 省力 省 見 了 來了 螺 便 老 老 說 來 螺類 螺 北 螺 螺 便 了 來 參 螺
005 The Master Key System 006 007 The Master Key System 008 009 The Master Key System 010 011 The Master Key System 012 013 The Master Key System 014 015 The Master Key System 016 017 Contents chapter
( ) A B C D ( ) A B C D A B C D A B C D A 8750 B C 6250 D 5000 A B C D A B C D
1 A B C D A B C D A B C D 1000 1200 900 A B C D ( ) A B C D ( ) A B C D A B C D A B C D 5000 6250 A 8750 B 11250 C 6250 D 5000 A B C D A B C D A B C D 1 200000 400 10 A 1000 B 1600 C 2000 D 2300 1 A B
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浙 江 省 水 利 专 业 高 级 工 程 师 资 格 评 价 业 务 考 试 基 础 知 识 题 集 (2014 年 修 订 版 ) 二 一 四 年 三 月 前 言 为 完 善 水 利 专 业 高 级 工 程 师 资 格 评 审 工 作, 建 立 健 全 科 学 公 平 公 正 的 评 价 机 制, 促 进 水 利 队 伍 能 力 建 设, 省 人 力 资 源 和 社 会 保 障 厅 省 经 济
中華民國 第49屆中小學科學展覽會
中華民國第 50 屆中小學科學展覽會 R 作品說明書 國小組數學科 佳作 08040 揭開 數 的神秘面紗 不同數字組合及其運算 關係 學校名稱 : 國立東華大學附設實驗國民小學 作者 : 指導老師 : 小六鍾沂廷 小六蕭亦廷 李瑜霏 陳貞泰 小六石慧醫 小六張弘軒 小六王元聖 關鍵詞 : 數字根 同價數字根 帶分數 ( 整數 + 假分 數 ) 摘要本作品是以 ~9 的 9 個數字為主軸, 藉由數
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北 一 女 中 95 學 年 度 第 二 學 期 高 一 第 二 次 期 中 考 歷 史 科 試 題 範 圍 : 歷 史 ( 下 ) 4-3~8-2 聯 合 命 題 電 腦 卡 務 必 寫 上 座 號 姓 名, 以 便 核 對 劃 記 有 無 錯 誤 未 劃 記 或 畫 卡 錯 誤, 以 致 電 腦 不 能 判 讀 者, 一 律 先 扣 5 分 一 單 選 題 75%( 每 題 3 分 ) 1. 大
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一 同餘, 剩餘類與剩餘系 (a) 同餘的性質 : (1) a b (mod m),c d (mod m), 則 a ± c b ± d (mod m) 且 ac bd (mod m) (2) a b (mod m),c N, 則 ac bc (mod cm) (3) a b (mod m),n N 且 n m, 則 a b (mod n) (4) 若 a b (mod m), 則 (a,m)=(b,m)
有你真好文山融合之愛 ( ) 孩子的另一扇門 ( 特生 / 郁絜爸爸 ) 3 82
(4) 屬於家長的感動 回首來時路點點滴滴 ( 特生 / 禮綸爸爸 ) 81 有你真好文山融合之愛 ( ) 孩子的另一扇門 ( 特生 / 郁絜爸爸 ) 3 82 儲存愛的能量 ~ 為 1 比 1 特教加油 ( 特生 / 承恩爸爸 ) 9 4 7 5 83 有你真好文山融合之愛 ADHD( ) 4 4 20 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 84 28 1 28 1 1 1 1
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前 言 根 据 教 育 部 办 公 厅 关 于 编 制 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告 的 通 知 ( 教 学 厅 函 2013 25 号 ) 和 关 于 做 好 2015 年 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告 编 制 发 布 工 作 的 通 知 ( 教
深 圳 大 学 2015 届 本 科 毕 业 生 就 业 质 量 报 告 ( 初 次 就 业 篇 ) 深 圳 大 学 学 生 就 业 指 导 中 心 二 〇 一 五 年 十 二 月 前 言 根 据 教 育 部 办 公 厅 关 于 编 制 发 布 高 校 毕 业 生 就 业 质 量 年 度 报 告 的 通 知 ( 教 学 厅 函 2013 25 号 ) 和 关 于 做 好 2015 年 高 校 毕 业
6 2012 8476你猜得到它是什麼嗎 它就是 高分子! 生活中的高分子 有種物質的重要性不亞於我們所呼吸的空氣, 不管身在何處, 都有它的存在, 它甚至就隱藏在人體裡面! 人類若失去了它, 就得回到遠古時代, 甚至可能終止生命 高分子是什麼 高分子是由千個 甚至萬個以上的原子所組成, 呈現柔軟的特性 日常生活中使用的塑膠袋就是由高分子製造的, 人體組成中的 DNA 也是一種高分子 2012 8476
二 戶外教學的性質
285 一 戶外教學的意涵 價值及其面對的挑戰 1999 1994174 1. 286 2. 3. 二 戶外教學的性質 6 1999 26 1. 2. 3. 287 4. 5. 三 鄉土戶外教學的教學目標 10-1 1. (curriculum) (subject material) 288 (1998) 10-2 (conceptualizing) (generalizing) 2. (Educational
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二位數乘法的速算 交乘簡化原則 林保平 臺北市立教育大學數學資訊教育學系 壹 前言去年有幸, 得便到大陸旅遊一趟, 有個晚上, 與大家一同到夜市逛街, 就在街上, 發現一個攤位, 不知賣些什麼 攤主弄了個小黑板, 就在街上表演二位數數字的速算起來, 蠻多觀眾對其表現, 嘖嘖稱奇, 不知他到底用了什麼規則 筆者記得大學剛畢業在國中教書時, 就利用了速算來吸引學生學習的注意力及興趣, 希望學生經由實例,
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聖人慶日及節日 五月十一日 聖斐理伯與聖雅各伯 宗徒 慶日 五月二十九日 耶穌升天 節日 五月三十一日 聖母天地元后 慶日 文章分享 淺談拉丁文在天主教會的重要性 緒論 一直以來 教會拉丁語被視為西方文化之基石和羅馬天主教會的官方語言 可是在 近四十年來 這種 天主教徒的特徵 (sensus catholicus) 已從教會禮儀 信友靈修生活 等逐漸褪色 這現象當然與人們 甚至神長和教會機構對拉丁語應用之誤解有關
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五 福 一 自 p1 高 雄 市 立 五 福 國 中 97 學 年 度 第 2 學 期 第 1 次 段 考 一 年 級 自 然 與 生 活 科 技 學 習 領 域 試 題 卷 一 選 擇 題 : 每 題 2 分,35 題 共 70 分 ㄧ 年 班 號 姓 名 : ( )1. 下 列 關 於 有 性 生 殖 的 特 色, 哪 一 項 敘 述 是 正 確 的? (A) 高 等 植 物 利 用 營 養 器
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瞞魔籬
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專題研究 大陸中央與地方關係改革現狀與問題 政治學研究 毛澤東思想研究 台聲. 新視角
第 6 卷第 1 期中華民國 97 年 1 月 大陸中央與地方關係改革 現狀與問題 Current Situations and Problems of the Central-Local Relation Reforms in China 林文軒 (Lin, Wen-Hsuan) 中國文化大學中山學術所博士生 1 摘要 關鍵詞 : 權力下放 職能轉換 地方主義 部門利益 壹 前言 1 76 吉首大學學報
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104-105 目錄 / 2 / 3 / 4 / 5 / 6 / 7 / 9 / 10 / 10 / 11 / 12 教育經營與管理學系課程與教學傳播科技研究所教育學系幼兒與家庭教育學系特殊教育學系心理與諮商學系社會與區域發展學系 / 16 語文與創作學系兒童英語教育學系藝術與造形設計學系音樂學系台灣文化研究所文化創意產業經營學系 / 20 數學暨資訊教育學系自然科學教育學系體育學系資訊科學系數位科技設計學系
6-1-1極限的概念
選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了
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資訊系統與實習 製作 : 林郁君 一 2009.09.28 9X9 'button 被按下後 ' Dim i, j As Integer For i = 1 To 9 'i 從 1 到 9' For j = 1 To 9 'j 從 1 到 9' If j * i < 10 Then ' 如果 j 乘上 i 是為個位數 ' Response.Write(i & "*" & j & " =" & i *
攜手拼出圓滿的幸福 2
國立台灣師範大學家庭教育研究與發展中心編撰教育部出版中華民國 96 年 9 月 攜手拼出圓滿的幸福 2 國立台灣師範大學 家庭教育研究與發展中心主任 林育瑋 3 目錄 幸福拼圖 序文...p.2 引言 能和心愛的人共度一生, 就是最大的幸福!...p.6 幸福方程式 : 我 + 你 = 幸福關鍵一 我...p.10 關鍵一 你...p.20 關鍵一 +...p.28 如果你還想知道更多撇步 附錄一...p.48
四技二專統測國文科 93 ~ 98 年 表一 單元名稱 字音辨正 ( 正確讀音 形近字讀音辨識 ) 字形測驗 ( 正確字形 同音字形使用辨識 ) 字 詞義 解釋 ( 一字多義 古今異義
93 98 臺中高工 張麗美老師 93 98 93 10 98 19 93 98 -- 四技二專統測國文科 93 ~ 98 年 表一 單元名稱 93 94 95 96 97 98 1. 字音辨正 ( 正確讀音 形近字讀音辨識 ) 1 2 1 1 1 1 2. 字形測驗 ( 正確字形 同音字形使用辨識 ) 3 3 3 3 2 4 3. 字 詞義 解釋 ( 一字多義 古今異義 2 2 3 2 2 3 4.
遞迴數列
第三冊 - 向量 - 向量的基本應用 應用. 在 中 分別是 兩邊的中點 試證 : 且 + + ( + 故 // 且. 向量的線性組合 : 設 a // 則在 a 與 所決定的平面上的每個向量 都有唯一的實數對 ( x y 使 xa + y 稱為 a 的線性組合. 三點共線 : ( P 三點共線 存在 t R t 0 使得 P t ( 設 s t R 且 OP s O + t O 若 P 共線 s
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北 麗 律 北 98 年 4 29 錄... 2 年... 2 立 度切 ---- 立精神 參... 2 1. 立... 2 2.... 4 行 度切... 5 1.... 5 2. 行... 5 3. 行... 8 參 參... 9 年 行 行... 9 年 數不... 10 行 不... 11 行 不 參 利... 11 論... 12 1 北 97 年 老 數 老 數 數 北 益 北 沈淪 令
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考试大2011年高考试题答案
持 续 更 新 中... 一 单 项 选 择 题 ( 本 类 题 共 30 小 题, 每 小 题 1 分, 共 30 分 每 小 题 备 选 答 案 中, 只 有 一 个 符 合 题 意 的 正 确 答 案 多 选 错 选 不 选 均 不 得 分 ) 1. 甲 乙 签 订 的 买 卖 合 同 中 订 有 有 效 的 仲 裁 条 款, 后 因 合 同 履 行 发 生 的 纠 纷, 乙 未 声 明 有
381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner Bandura Bandura (381) 學習輔導.indd /5/31 2:44:13 PM
學習輔導 課業輔導 381 19 學習輔導 五至七章重點整理 第五章 在學學生的學習輔導 / 第一節 中學生的學習特徵 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 1. 2. 3. 4. 5. 1. 2. 3. 4. (381)019-030 學習輔導.indd 19 2007/5/31 2:44:08 PM 381 課業輔導學習輔導 20 第二節 中學生的學習輔導 Skinner Skinner Skinner
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第一章三角函数 1. 三角函数的诱导公式 A 组 一 选择题 : 共 6 小题 1 ( 易诱导公式 ) 若 A B C 分别为 ABC 的内角 则下列关系中正确的是 A. sin( A B) sin C C. tan( A B) tan C ( 中诱导公式 ) B. cos( B C) cos A D. sin( B C) sin A sin60 cos( ) sin( 0 )cos( 70 ) 的值等于
以易經中簡易 變易 不易之原則探求遞迴數列之例 2 n 2
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05 年 入 学 MBA 联 考 综 合 试 卷 参 考 答 案 及 详 解 说 明 : 由 于 05 年 入 学 MBA 联 考 试 题 为 一 题 多 卷, 因 此 现 场 试 卷 中 的 选 择 题 顺 序 及 每 道 题 的 选 项 顺 序, 不 同 考 生 有 所 不 同 请 在 核 对 答 案 时 注 意 题 目 和 选 项 的 具 体 内 容 所 有 解 析 来 自 网 络, 仅 供
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中華民國第四十五屆中小學科學展覽會作品說明書 國中組生活與應用科學科 佳作 030827 Easy Come,Easy Go! 臺北縣立正德國民中學 作者姓名 : 國二柯宗敏 國二劉文琴 國二郭佳玟國二張俐婷 指導老師 : 陳玲 45 說 EASY COMEEASY GO! .... 參...... 陸 論.. 論.. 參 料.. 1 EASY COMEEASY GO 利 不 來 裡 女 不 不 狀
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樂! 林! 識 度 識 數 力 良 練 力 量 料 鈴 利 龍 年 3-6 樂 數 樂 數 識 數 - 1 - 樂 老 數? 來! 行 樂 - 2 - - 3 - 呂 1. 樂 識 2. 了 1. 2. 樂 3. 老 4. 1. 2. 練 樂 料. 落 2. 老 不 樂 3. 樂 識 練 4. 樂 5. 練 6. 老 樂 樂 樂 律 年 3~6 落 - 4 - 說 樂 樂 1. 識 2. 列 3.
臺北市103學年度國民中學（含完全中學國中部）學校課程計畫審閱
臺北市立百齡高中 ( 國中部 ) 10 學年度第 2 學期七年級數學學科 / 領域 ( 彈性學習 / 選修 ) 課程計畫 教科書 / 自選教材版本 : 康軒版 編撰教師姓名 : 七年級數學領域教師 本學期學習目標(以條列式文字敘述) 1. 能理解二元一次聯立方程式及其解的意義, 並能由具體情境中列出二元一次聯立方 程式 2. 能熟練使用代入消去法與加減消去法求二元一次聯立方程式的解 3. 能理解平面直角坐標系.
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論鄭玄對《禮記‧月令》的考辨
19997 183-196 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 183 論 鄭 玄 對 禮 記 月 令 的 考 辨 一 問 題 的 背 景 20b 8a 1 472 24 20a 33 7a 2 3 1 35 60 64 472 240241 2 1a 3 19b 184 4 5 二 鄭 玄 考 辨 月 令 成 書 時 代 及 來 源 的 論 證 65 4 20b 282 5 235244
科別
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單元6 小數及循環小數的性質
單元 6 小數及循環小數的性質 6 小數 (decials) 的概念 小數 (decials) 雖然是小學數學課程中的一個課題, 但它的很多有趣特 性, 大家在小學都不一定有機會接觸到 現在就讓我們從小數的定義及分 類開始吧! 定義 6 一個小數的整數部份如果為 0, 則它稱為 純小數 (pure decials); 一個小數的整數部份如果不是 0, 則它稱為 混小數 或 帶小數 (ixed decials)
東華人文學報 第二期
東華人文學報 第二期 2000 年 7 月 頁 69-82 東華大學人文社會科學學院 百回本 西遊記 之 敘事矛盾 孫悟空到底贏了誰的 瞌睡蟲 提要 關鍵字 : 西遊記 敘事矛盾 瞌睡蟲 天王 69 百回本 西遊記 之 敘事矛盾 孫悟空到底贏了誰的 瞌睡蟲 一 引言 兩種不同形態之 瞌睡蟲 70 二 兩種異說與兩種假設 71 72 73 74 75 76 三 內證上的思索 77 78 79 四 由完美之作看敘事矛盾
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中華民國九十八年十二月 第 四 十 三 期 發行單位 銘傳大學師資培育中心 發 行 人 沈佩蒂 主任 指導教授 張國保 教授 施明發 教授 編 輯 主編 莊偉聖 地 址 桃園縣 山鄉大同村德明路 5 號 電 話 (03)350-7001 分機3282 網 址 http://www.mcu.edu.tw/department/educlass/index.htm 電子信箱 yichuang@mail.mcu.edu.tw
71 新約聖經的福音 3
信徒的偽善 郭善熙牧師被稱為韓國 本世代最優秀的講道者 講道是他牧會的最大武器 一如他所說 : 這四十年來, 我惟一做的就是講道 他是擺上生命來講道, 曾以系列解經講道, 帶動盼望教會復興 經文 : 加拉太書二章 11 至 13 節 14 但我一看見他們行的不正, 與福音的真理 不合 71 新約聖經的福音 3 72, 干擾信仰的原因 30 然而, 有許多在前的, 將要在後 ; 在後的, 將要在前 73
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計算機程式及實習 期末報告 題目 : 六宿炒翻天 班級 : 奈米一乙姓名 : 陳洋翼學號 :4A514050 老師 : 謝慶存 程式說明 設計結帳系統, 選擇數量後, 在按下計算, 將會顯示總金額 若是老人或小孩, 將可享 8 折或 9 折的優惠 程式畫面 填選數量 在火腿蛋炒飯的數量選擇 1, 並按下計算, 可得總金額 50 元 程式畫面 打折 填選完後, 若客人是小孩或老人, 選擇欲打折項目,
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4: 18 5: 44 屬天之愛的超然特性, 是一直有主動性 創造性, 和救贖性 5: 44 5: : 44 23: 34 7: 60 5: : : 4 5: 5 它乃是一種出於內心 思想或意志的決定 決意去愛那些不可愛 我們不一定喜歡
5: 43-48 Stephen F. Olford 5: 43 神厭惡罪 神愛罪人 Henry Drummond 愛的偉大卻被它的缺乏所勝過 5: 48 200 N. Main Street, Milltown, NJ 08850, U.S.A Tel: 732-828-4545 Fax: 732-745-2878 E-mail: info@crmnj.org 237 118 Tel: (02)
1.1 1 () 擴展學習領域 () () 力求卓越創新 發皇通識教育 厚植職場發展的競爭能力 拓展國際交流 e 把握資訊網路的科技應用 () 精緻教育的學校特色 提升行政效率 發揮有效人力的整體力量 達成精緻大學的師資結構 勵應用科技的研發能力 在策略執行上
2012 1 2 1 2 E-mailhsiaoen@mail.chna.edu.tw; mshchen@mail.chna.edu.tw ()() 97 98 101 2011 1 848 6 2010 12 76 508 59 84.6430 71.5363 1.1 1 () 擴展學習領域 () () 力求卓越創新 發皇通識教育 厚植職場發展的競爭能力 拓展國際交流 e 把握資訊網路的科技應用
1 式子的運算 19 例 1 解 符號的簡記 ( 乘法 ) 1x 4x x 5 1xx 4x4x x 5 5 x 5 x 5x 除以一個不為 0 的數就是乘以該數的倒數 P5 1 1 x x 5 5 x 4 x 4 x 可視為 x 1x4 x 1 4 x4x x x 4 x x x
7 1 x y 基會試題 9 I 8 18 1 符號的簡記 x 第三章一元一次方程式 -1 xyz 1 4 x 4x x x 1500 x 1500x 4 y y x15 15x 15x x1.5 1.5x 1.5x x x x x 4 7 以符號代表數 式子的運算 1.. 4 7 x 4 7. x 4x 7 7-a-017-a-0 15x 15x 15x 1x 1x 1 1 x 簡記成 x (-1)
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年度 老 說 念 參 流 念 理 念 念 理 路 1 念 練 年數 年 年 年 年 練 數 量 數 若 數 若 數 若 數 若 數不 數 2 練 六 練 練 練 3 念 數 數 料 串 4 串 不 流 5 6 不 不 不 不 7 8 理 念 念 來 念 例 年 例 念 念 了 更 念 例 來 念 類 女 9 女 例 裡 念 例 參數 來 參數 來 來 量 念 念 例 念 更 10 理 念 讀 行 理
CU0594.pdf
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中市93學年度第45屆國民中小學科學展覽會
中華民國第四十五屆中小學科學展覽會作品說明書 國小組自然科 081526 多吃蔬果多健康?! 臺中市西區忠信國民小學 作者姓名 : 小六陳亭伃小六張競元 小六廖珮邑小六翁子庭 小六洪詩堯 小六卓東村 指導老師 : 張珮鳳 闕維正 說 利 易 便 理 葉 類 類 類 類 類 葉 類 降 不 說 聯 不 念不 勵 說 降 度 老 行 參 了 了 度 識 葉 類 類 類 類 類 數 六 1 1. 料 14.
題目：
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Microsoft Word - 972二下英語彈性課程計畫.doc
高雄市左營國民中學 97 學年度第 2 學期 2 年級英語領域 生活英語 彈性課程計畫 一 八年級下學期之學習目標. 能了解英美人士之溝通方式及基本言談禮儀 2. 能介紹自己的英文名字及詢問別人的英文名字 3. 能看懂及使用簡單的招呼語和問候語 4. 能以英語做簡要的自我介紹 5. 能了解篇章結構與意義 6. 能聽懂日常生活對話 7. 懂得如何問路 8. 能以簡易英語看圖說話, 描述各種人 事 物的位置