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1 國中小精緻化數學教學案例 1 謎題終結者 觀察與推理大考驗 臺北市國中數學輔導團吳如皓 林壽福 壹 教學活動設計 一 設計理念 : 生活中到處可見 數與形, 以及隱藏在 數與形 中的胚騰 (patterns), 學會和瞭解它們, 是學習數學的主要目的 本教材應用數學步道中的磚牆圖案設計題目, 融合偵探故事情節, 有系統的讓學生探索 發現到數學知識之外, 我們的目的也想透過文藝形式和偵探推理, 揭露數學內在的趣味, 讓學生感受到數學並不枯燥, 數學非常有趣, 讓他們喜歡數學 因為唯有喜歡, 才會主動想學, 願意花時間探索, 這樣才能深入體驗到數學的美和抽象化的威力, 也才能蓄積終身學習數學的動力 將回文詩和回文算式的趣味相結合, 可以引動學生認知上的好奇, 以及情感上的幻想, 對於激發學習動機很有助益, 未來還會在他們的情意和態度上造成深刻的影響 過程中我們嘗試讓學生運用歸納 推理的方法, 提供機會讓他們觀察胚騰 (patterns), 從中進行猜想, 最後導致規律的發現 大多數科學的探究, 包括數學的探究, 都是從歸納 推理開始的, 這是每個科學家都在實際使用的方法, 大數學家高斯說 : 在數論中常有這樣的事, 似乎由於某種意外的成功而得到的優美真理, 實際上是借助於歸納發現的 著名數學家波利亞 (Polya) 也說 : 對於正在從事數學研究的數學家來說, 數學也往往像猜想遊戲, 在你證明一個數學定理之間, 你先得猜想證明的思路 可見為了有所發現, 首先必須有所猜測 而最初的猜想才是數學最具創造力的部分 事實上, 學生透過觀察 實驗 歸納 類比 推理等思維作用, 可以獲得 n 位數回文數的一般式猜想 ; 而利用操作方程式的演繹推理方法, 學生也可以發現回文算式與回文鏡反數的變化規律 綜合言之, 本教材所佈設的數學活動中充滿著探索性和創造性, 這正是一個具有啟發性及教學意義的操作活動所不可或缺的重要成分 二 教學目標 : ( 一 ) 能觀察發現磚塊圖案中的胚騰, 並找出其最小單位和彼此間的關連 ( 二 ) 能預測並推算出磚塊圖案之任一項是什麼模樣 ( 三 ) 能利用嘗試法或解方程的方法, 推算回文算式中所缺之代表數字 ( 四 ) 能由偵探故事情境列出方程式, 並瞭解其解的意義 ( 五 ) 能欣賞回文古詩所隱含的文學 藝術之美 ( 六 ) 能經由實驗或操作活動, 察覺數字間的回文現象, 並猜測其一般式 ( 七 ) 能利用嘗試或解方程的方法, 推算出兩位數乘兩位數回文算式的所有解 ( 八 ) 能利用嘗試或類比的方法, 推算出兩位數乘三位數回文算式的所有解 三 教學資源 :PPT 檔 學習單 四 教學年級 : 八年級 五 教學節數 : 共九節 ( 每週利用彈性課程進行一節 ) 六 教學活動 ( 如下頁 ) ~ 179 ~

2 國中小精緻化數學教學案例 1 活動設計意圖 內容 方法 生活 趣味的 啟蒙例子 目的 規律性有助於記憶 藉由發現的技巧來刺激與保持興趣透過觀察 歸納 類比 演繹 推理等思維方法作出猜想 謎題終結者 觀察與推理大考驗第一關 : 觀察力大考驗第二關 : 胚騰的推理第三關 : 神奇的回文算式第四關 : 解讀 司令的勒索信第五關 : 救出人質第六關 : 瓦解毒窟 尋找規律, 預測任意項感受回文詩與回文算式的美與趣味扣人心弦的偵探故事隱含數式推理涵泳回文算式的規律之美與回文數猜想的魅力 體驗回文鏡反數的神奇性質 ~ 180 ~

3 國中小精緻化數學教學案例 1 人物介紹 姓名 : 伊克斯 普羅雪夫探長 ( 取自英文 炸藥 ":explousive) 職業 : 爆破專家專長 : 拆製炸彈 爆破 思考數學題目破案率 :100%破案方法 : 利用數學方法破解各種炸彈機關和陷阱特徵 : 一副墨鏡 八字鬍 動不動就耍帥 還有不管天氣多熱都會穿著一件皮大衣 北市興雅國中 910(94 年畢業 ) 詹祐嘉繪 ( 一 ) 小偵探養成訓練 歸納推理能力伊克斯 普羅雪夫探長, 也是一位業餘魔術師, 這天探長有感而發, 化身為記憶天才, 他在黑板上寫了許多行長長的數 : (1) () (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) 然後說 : 這些數, 我只是按題號隨意寫出的 現在不論你說哪一題, 我都可以立即背誦出來! 伊克斯 普羅雪夫探長接下來要闖盪下面的關卡 : 第一關觀察力大考驗 (0.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第二關胚騰的推理 (0.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第三關神奇的回文算式 (1.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) ~ 181 ~

4 國中小精緻化數學教學案例 1 第四關解讀 司令的勒索信 (1 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第五關救出人質 (3 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 第六關瓦解毒窟 (.5 節, 教材詳附件一 ; 參考答案詳附件二 ) 貳 教學省思與建議 一. 第一關 觀察力大考驗 (0.5 節課 ) ( 一 ) 請老師們留意我們的目的是找出胚騰特徵和分享記憶的方法, 學生可能有不同的解法, 要讓他們發表, 並與同學溝通分享, 只要是合理的說明都值得鼓勵 讚許 ( 二 ) 讓學生體驗胚騰的規律美, 並藉由探索 發現的技巧來刺激與保持興趣, 這有助於培養學生創造與原創的風格 二. 第二關 胚騰的推理 (0.5 節課 ) ( 一 ) 這關可以和學生的舊經驗相連結, 因為小五 小六便有解過類似的題型 三. 第三關 神奇的回文算式 (1.5 節課 ) ( 一 ) 利用假設未知數解方程的方法, 這是回文算式的解法之一, 學生已經學過的一元一次方程式, 此處可以和舊經驗取得聯繫 而多數學生會以代入數字的嘗試法來找解, 一樣可以得出答案, 建議老師也應該加以鼓勵 讚許 ( 二 ) 回文詩本身具有高度的文學性和藝術性, 學生會很喜歡, 我們應用它的趣味性和回文算式相結合, 可以引動學生認知上的好奇, 以及情感上的幻想, 對於激發學習動機很有助益, 未來還會在他們的情意和態度上造成深刻的影響 四. 第四關 解讀 司令的勒索信 (1 節課 ) ( 一 ) 偵探故事情境很容易引動學生的學習慾望, 但提醒老師此處教學盡量讓學生自行閱讀, 以培養他們閱讀長篇文字的能力, 平常數學教學比較缺乏這樣的訓練 尤其台灣學生在 006 年公布的 PISA 測驗, 數學成績排名世界第一, 但閱讀能力卻只拿到第 16 名, 顯現我們學生的閱讀素養很不夠, 所以這裡的訓練結合了文學與數學的題材, 是比較珍貴題材! ( 二 ) 上課中老師應避免一下子就將所有可能的解法傾囊相授, 這樣將剝奪了學生發現的機會, 同時也會讓學生失去自行探索所帶來的樂趣 建議老師們上課時, 慢點提出, 盡量讓學生自己去探索和發現, 越少介入越好, 除非學生已面臨困境了 也建議學習單發放, 在做完一關題目後, 再發下一關的題目, 這樣可以保留一些學習的新鮮度 ( 三 ) 盡量鼓勵學生聯想各種已學或將學的方法, 引出不一樣的解題觀點, 這有助於鞏固概念和培養聯想能力 ( 四 ) 對於資優生這裡宜使用啟發性教學法, 不必給予提示, 讓他們自行感受探索的樂趣 ; 至於常態班也僅需稍加說明教材即可 事先不必有太多講解, 因為學生大多看得懂題目, 他們已或多或少具有觀察胚騰, 尋找規律的先備經驗, 老師過多的介入會阻礙學生的想像和創意 五. 第五關 救出人質 (3 節課 ) ( 一 ) 問題 1 盡量讓學生獨立思考, 或許會有多元的解法出現, 即使一般的學生仍可以利用嘗試的方法, 找出部分的解來 老師可以讓他們上台發表, 溝通分享, 當各組還無法找齊全時, 透過彼此的分享比較, 最後大夥會將答案補齊的 ~ 18 ~

5 國中小精緻化數學教學案例 1 ( 二 ) 問題 只需說明題目情境即可, 其餘盡量開放給學生思考, 這樣可以培養他們觀察 納 實驗的能力, 以及對回文算式的了解程度, 作為教學改進的參考 ; 另一方面還可偵測他們思考的多元性 ( 三 ) 若學生解題有困難, 或不知如何著手解題, 可以鼓勵他們動手操作, 再多觀察比較, 化被動成為主動更有益於瞭解問題的真諦 ( 四 ) 問題 3 需要看出解題的關鍵, 有些學生可能需要一些提示 此題解出後, 還可以玩一個有趣的 速算高手遊戲, 製造學習的驚奇! 答案是 =9801, 在被乘數 1089 中, 不論插入多少個 9, 所得到的積與被乘數間會持續保持 回文式 的形式 如右上圖所示 : ( 五 ) 上課時建議老師們, 能多利用此處佈題的層次關係和提問技巧, 刺激學生多元的想法, 培養學生以多樣的解法解決問題的能力 六. 第六關 瓦解毒窟 (.5 節課 ) ( 一 ) 此關題目的設計與教學, 掌握了變式練習的三原則 : 1. 同一性原則, 就是課題之間的情境, 保持了一定的類似性, 這有助於橫向遷移 ( 同化 ) 的實現. 變化性原則, 問題類型富相當的變化, 可逐漸演變成完全不同的新情境, 讓學生的概念規則產生縱向遷移 ( 轉化 ) 的效果 3. 及時反饋原則, 我們建議老師們能適當應用正確而及時的矯正, 來激發和維持學生的學習動力 參 參考資料一 李學數著 (1999) 數學和數學家的故事 中國北京: 新華出版社 二 李學數著 (1999) 數學和數學家的故事 4 中國北京: 新華出版社 三 談詳柏著 (1998) 談詳柏科普文集 台灣新竹: 凡異出版社 四 談詳柏著 (00) 數學與文史 中國上海: 上海教育出版社 五 林壽福 鄭勝鴻主編 (003) 胚騰(pattern) 就在您身邊 不一樣的數學步道 台北 : 興雅國中 六 易南軒著 (004) 數學美拾趣( 第二版 ) 中國北京: 科學出版社 七 侯萬勝著 (006) 回文數與鏡反數 延安教育學院學報第 0 卷第 4 期 PP.50~5 中國陝西延安 八 本單元教材第四關和第五關故事, 兩年前由王昱澄同學所編寫, 他 94 年畢業於興雅國中, 小小年紀即展現編劇的才華, 當年很順利參加甄選進入建中語文資優班就讀 感謝我的合作伙伴如皓老師, 能不辭辛勞將這個單元再詮釋, 並且生動活潑地傳達給我們數學營的學生, 學生們很喜歡上他的課 另外, 這個主題的名稱也是由如皓老師重新命名, 以及由勝鴻老師畫插圖, 在此一併致謝 ~ 183 ~

6 國中小精緻化數學教學案例 1 附件一 第一關觀察力大考驗 班號姓名 : 著名的大偵探 伊克斯 普羅雪夫探長, 在尤拉市幫助市長一連破了幾樁大案 但是近幾年, 探長卻不再公開露臉 他幹什麼去了? 研究數學 伊克斯探長本人是位數學家, 偵破案件只不過是他的業餘愛好 近年來數學界一直有一種主張出來, 多數教授認為學習數學最主要的目的, 是學會胚騰 (pattern) 探長本人閒暇之餘, 總喜歡拿幾題胚騰來練練腦袋, 畢竟身為一名大偵探, 擁有敏銳的觀察力和思考力是不可或缺的 生活中常常可以看到一些幾何胚騰, 如果我們留意觀察和多加思考的話, 這些胚騰常能為抽象的代數提供明晰的說明 興雅國中校園步道這片磚牆所彩繪的胚騰, 對思考能發揮一些啟迪的作用! 請循著探長的引導, 完成下列問題 : 1 你能說明這四列磚塊的胚騰特徵嗎?( ) 如果你必須記住這些胚騰, 有什麼好方法?( ) 3 由上而下, 第一與第二個胚騰, 它們之間有什麼關連? 請說說看! ( ) 4 由規律性來看, 請找出每列胚騰的最小單位?( ) 伊克斯探長說, 或許你會問 1 3 是這麼簡單的數, 因為 1+1=, +1=3, 這裏面有什麼數學呢? 有的, 這裡有一個世界著名的數學難題, 它是 1844 年比利時數學家卡達朗 (Catalan, 1814~1894 年 ) 提出的, 所以當時也叫 卡達朗猜想 " 你或許知道 3 =8,3 =9,9-8=1 吧! 卡達朗認為除了 x=3,m=,y=,n=3 滿足這樣的關係式 x m -y n =1(m>1,n>1) 以外, 再也找不到其他整數能滿足以上的等式 這問題經過一百多年直到 00 年 4 月, 才由羅馬尼亞數學家普雷達 米哈伊列斯庫 (Preda Mihăilescu) 證明了這猜想, 所以它現在是定理了 這個問題看 ~ 184 ~

7 國中小精緻化數學教學案例 1 似簡單, 卻讓數學家們花了這麼長的時間才解決, 可想見它的難度, 用中學的數學知識是不夠解決這樣的問題的 再探一番 1. 如圖所示, 請說明這四列磚塊的胚騰特徵? 並寫下你的觀察發現 ~ 185 ~

8 國中小精緻化數學教學案例 1 第二關胚騰的推理 班號姓名 : 5 你分別能預測它們的第 100 個, 是什麼模樣嗎?( ) 再探一番 1. 看了老師的魔術表演, 敏樺毫不謙虛地說 : 我也是記憶天才 說著, 他也在黑板上寫下了 : (1) 13,4,57,68,13,57,4,68 () 1,15,18,1,4,7,30,33 (3) 98,87,76,65,54,43,3,1 (4) 11,,44,88,176,35,704 (5) 81,7,54,18,36,1,4,8 他說 : 看! 我的數更多 不必分題號, 只要告訴我每一行前面的兩個數, 以後的數我可以接著背下去 請你評評理, 你相信敏樺的說法嗎? 為什麼?. 請你試著仿照上面兩個魔術的表演方式, 自行設計一個魔術 3. 如圖所示, 請你預測它們的第 89 個, 是什麼模樣? ~ 186 ~

9 國中小精緻化數學教學案例 1 第三關神奇的回文算式 班號姓名 : 6 如果我們將第三個胚騰以數字表達, 則正好是一個數字運算左右對稱的等式 ( 回文算式 ):1 31=13 1 請你仿造這個例子, 也將第四個胚騰也寫成數字運算左右對稱的等式 ( 回文算式 ) ( ) 7 承上題, 另外一個回文算式如下, 不過其中有一個數字沒有寫出來, 用一個小空格代替 : 1 46 = 64 1, 請你算出 所代表的數字?( ) 回文算式 : 是指等號兩端的數字由左到右和由右到左的次序一樣 伊克斯探長說, 一提到李白, 大家都知道他是唐代的大詩人 如果把 李白 " 兩個字顛倒一下, 變成 白李 ", 這也可以當成一個人的名字, 此人姓白名李 像這樣, 正著念 倒著念都有意義的詞語叫做回文 文學史上, 有許多與回文有關的故事 清代, 北京有個酒樓叫 天然居 " 有一次, 乾隆皇帝觸景生情, 以酒樓為題寫對聯, 上聯是 : 客上天然居, 居然天上客 但是, 這位博學多才的皇帝苦苦思索, 卻寫不出下聯 因為下聯的後五個字, 必須是前五個字的顛倒, 又要語意通順, 還要平仄協調, 的確是很難的事 直到很久以後, 才由紀曉嵐的同窗張璉給出了下聯 : 僧遊雲隱寺, 寺隱雲遊僧 與此類似, 數學裏也有 回文式 " 我們借用上面的對聯組成這樣一個式子 : 僧遊 雲隱寺 = 寺隱雲 遊僧 如果將不同的漢字用不同的數字 (0~9) 代替, 例如 :13 68=86 31; 而上面第三關第 6 題也有 1 31=13 1, 這都是所謂的 回文算式 另外, 還有 1 46=64 1,13 341=143 31, 我們看到, 這類等式不僅外形整齊 對稱, 內部構造 " 也很巧妙 但是這類回文算式不止一個 ~ 187 ~

10 問題 : 請你仔細觀察它們的奧妙處, 再至少找出三組來? 並說明你的方法 國中小精緻化數學教學案例 1 回文詩欣賞 楊振寧教授曾在香港大學演講 物理和對稱 ", 當時舉了蘇東坡的七律詩 游金山寺 作為對稱(Symmetry) 的例子 潮隨暗浪雪山傾, 遠浦漁舟釣月明 橋對寺門松徑小, 檻當泉眼石波清 迢迢綠樹江天曉, 靄靄紅霞晚日晴 遙望四邊雲接水, 碧峰千點數鷗輕 你試試倒讀就會變成另外一首詩 英語回文 英文中也存在回文現象, 同樣受到人們的歡迎 英文單詞 :dad( 爸爸 ),mum( 媽媽 ) 順讀和倒讀完全相同 你還能想到哪些單詞嗎? 請寫下來 : 或者你想到, 順讀和倒讀後, 意思不一樣的單詞 : 回文句 : 例如 :MADAMIMADAM 加上標點符號後, 成為 Madam, I ' m Adam ( 夫人, 我是亞當 ) 愛麗絲夢遊記 中有一句回文趣題: WASITACATISAW Was it a cat I saw?( 我看見的是一隻貓嗎?) 詩題 李白有一首五言名詩 靜夜思, 可以改編成算式謎如下 : 床前 = 明月 + 光, 疑是 = 地上 霜 ; 舉頭 望 = 明月, 低頭 思 = 故鄉 這首詩共有 0 個漢字 其中, 每個漢字代表 0~9 中的一個數字 ; 相同的漢字表示相同的數 ; 不同的漢字, 在每組兩個算式中表示不同的數, 從兩組算式來說, 也可能表示同一個數 這是怎樣的四個算式呢? ~ 188 ~

11 第四關解讀 司令的勒索信 國中小精緻化數學教學案例 1 班號姓名 : 尤拉市經過上次數學狂人的風波後, 最近又開始不平靜了 一個神秘組織滲透了這座城市 這個組織專門研製具有毀滅性的生化武器, 並從事大規模的犯罪活動 他們發現尤拉市由於長年相安無事, 治安管理鬆散, 是個理想的避風港, 便把生化武器的實驗室搬進了城裏 尤拉市從此失去了寧靜! 前幾天, 尤拉市的市民中心正要舉辦一個國際性的資訊大展 突然, 警察局長慌慌張張的跟市長說 : 糟了 有 0 位資訊展的參展商失蹤了 緊接著, 市長接到了一封匿名的 , 信上寫道 : 親愛的市長 : 那 0 位參展商正在接受我們妥善的招待 最近本組織的實驗經費稍有不足, 期望您能贊助 目前我們急需在 3 天內籌到 abcde 億元以購買炭疽病毒實驗用具, 若您無法贊助本組織, 嗯 我想這 0 位參展商就會是現成的白老鼠了 駐尤拉市司令官 市長看完信, 不出 秒鐘就氣得昏倒了 好不容易把市長救醒後, 市長的秘書也把伊克斯探長千請萬請請了過來, 於是市長立即召開緊急會議 大家看了這封匿名信後, 開始議論紛紛 重案組長搔著頭問 : 怪了, 上次才鬥垮了一個數學狂人, 怎麼這裡又冒出一個 司令來? 伊克斯探長發表了他的看法 : 在數學上來講, 是一個無理數, 這應該代表這名歹徒做事喜歡不按牌理出牌, 才會有這個稱號 市長著急地說 : 現在最要緊的, 是趕快把那無辜的 0 位參展商給救出來吧! 要是讓歹徒拿資訊展的參展商來做病毒實驗的話, 以後還有誰敢來我們這裡開展覽啊! 先來弄清楚歹徒到底要多少錢吧 這 abcde 億元是多少呢? 伊克斯探長把附加檔案打開, 看到裡面還有一封文件, 內容如下 : 1abcde 3 = abcde1; 交錢地點 : 尤拉市第某條大街某號 其中大街的序數和下面問題中乞丐數相同 ; 門牌號和我每天發出的錢數 ( 單位為分 ) 相同 我很有錢, 在窮人城時許多乞丐向我乞討, 我每天拿出一定數目的錢施捨給他們 如果我給每個乞丐 7 分錢, 還剩 4 分 ; 要是給每個乞丐 9 分錢, 就不夠 3 分 問題 : 同學們! 請你幫忙求出勒索金額, 和交錢地點是在第幾條大街 門牌幾號? ~ 189 ~

12 國中小精緻化數學教學案例 1 再探一番 1. 重案組長曾經與數學狂人交手鬥智過, 落敗被綁, 當時伊克斯探長前往營救 組長被關在石頭屋中, 石頭屋沒有窗戶, 只有一個鐵柵欄門, 門上有道密碼鎖 探長走近一看, 密碼鎖共有 6 位數字, 鎖的背面寫著兩行字 : 開鎖密碼是 abcdef, 這 6 個數字各不相同, 而且 b d=b,b+d=c,c c=a,a d+f=e+d 請你試試看, 體驗一下探長是怎麼救出重案組長的?. 鐵蛋想知道探長當年救出重案組長時的年齡 探長說 : 我的年紀嘛 對了, 我現在的年齡是 5 年後年齡的 5 倍與 5 年前年齡 5 倍之差, 你可以算算我的年紀有多大? 3. 探長說, 有一個六位數, 它的個位上的數字是 6 如果將這個 6 移到最高位前面時, 所得新的六位數是原來六位數的 4 倍 求原來的六位數 ~ 190 ~

13 國中小精緻化數學教學案例 1 第五關救出人質 班號姓名 : 伊克斯探長看完這封 後, 立刻找來紙筆 沒多久, 他就算出了歹徒勒索的金額和交錢地點 這時, 市長說 : 這個外號 的人想必就是這個犯罪組織的首腦 他綁架 0 名商人絕不會單單為了錢而已, 恐怕背後還有更大的陰謀 重案組長忙問 : 咱們該怎麼辦? 伊克斯探長說 : 歹徒拿了贖款, 一定會把錢送回他們的總部 我們只要跟蹤進去, 一舉殲滅他們, 還怕他們有什麼陰謀嗎? 當伊克斯探長一行人發現歹徒的巢穴後, 探長熟練的用炸彈把大門轟出了一個大洞, 重案組長馬上帶領精銳部隊殺了進去 歹徒們顯然沒料到警方會找上門來, 大多數歹徒不是在睡夢中被擒, 就是來不及掏槍抵抗 因此, 精銳部隊只受到一些零星的反抗 但是, 精銳部隊搜遍了建築物的每個角落, 就是不見那 0 名人質 重案組長厲聲逼問剛抓到的匪徒 : 說, 人質究竟藏在哪裡? 一名匪徒說 : 老大叫我們拿了贖款後, 到郊區的廢棄工廠去解開牢門上的密碼鎖, 把人放出來 他還特別交代, 若沒在 3 天內收到錢, 就趕快離開尤拉市 不過, 唯一知道密碼的人, 已經在剛才的槍戰中斃命了 為什麼 司令要求手下 3 天沒收到錢就閃人呢? 伊克斯探長很快就在郊區的工廠找到了答案 原來 司令在工廠內囚禁人質的牢房門上設置了密碼鎖, 而密碼鎖正連接著一座毒氣飛彈發射架, 有 3 枚毒氣彈瞄準尤拉市, 發射時間設定在 3 天後 發射架的周圍更佈滿了觸發式炸藥, 稍一不慎, 飛彈可能就當場炸開, 因此也不可能拆掉飛彈 要是為了救人而不小心弄壞了密碼鎖, 飛彈也可能提早發射 因此, 伊克斯探長只好嘗試解開密碼鎖 他趨前一看, 鎖上面寫著一個等式和兩句回文對聯 : 1 4 = 4 1( 二 ) 鬥雞山上山雞鬥龍隱洞中洞隱龍 伊克斯探長看完後, 面露微笑說 : 這是一個左右對稱的回文算式, 和緊接的回文對聯有著一樣的象徵意義, 等式是 上聯 ", 其實在徵求兩句類似的 下聯 ", 太簡單了! 難不倒我 問題 1 : 同學們! 請你也想想! 伊克斯探長是如何解開的 請你再找出至少 10 組兩位數相乘的回文算式 並寫下你在解題過程中, 有什麼發現? 問題 : 承上題, 在你解題過程中是否觀察到, 兩位數與兩位數相乘和兩位數與三位數相乘的回文算式, 彼此之間有何聯繫? 請加以對照說明 問題 3 : 如 A B C D 代表 0~9 中各不相同的一個數, 有 ABCD 9=DCBA 等式成立, 求 A B C D ~ 191 ~

14 國中小精緻化數學教學案例 1 破案餘暇, 伊克斯探長總會持續他的探究數學之路 他說, 有趣的是, 數學家族裏的主要成員 數 當中也有回文, 例如 :101,313,9999,, 我們稱為 回文數 " 它們的特徵是: 從左讀到右和從右讀到左完全一樣 其實在第三關所學 回文算式, 裡頭便隱含有回文數的影子, 例如 :1 31=13 1, 左右兩邊的運算結果都等於 77, 它就是一個回文數 兩個相同位數的回文數, 如果各位相加時能夠 就地容和 ( 融合 " 諧音 )", 不發生進位情況, 那麼其和仍是一個回文數 同樣, 在兩個回文數相減時 ( 規定要用大數減小數 ), 如果不需要從上一位元 借 " 位, 則其差也是一個回文數 例如 : 有趣的是, 某些回文數在相加時即使要發生 進位 ", 但其和數卻依然是個回文數 例如 : 問題 4 : 請你仔細觀察, 要滿足關係 : 相加時發生進位, 其和數卻依然是個回文數 則這兩個數需要有怎樣的條件限制? 伊克斯探長說, 環繞著回文數的研究, 數學家們發現, 有些回文數會隱身, 並不是明明白白的排列在數字的隊伍裡, 而是隱藏在其他數叢裡, 經過特殊換裝以後才會顯露真容 請看 : 83:83+38=11, 經過 1 步運算就能得到回文數 11; 68:68+86=154, =605, =1111,1111 是回文數, 只需 3 步運算 ; 195: =786, =1473, =514, =9339, 要運算 4 步, 得到回文數是 9339 是不是所有的數經過上述的運算, 都能產生回文數呢? 問題 5 : 請你任取三個自然數, 驗證這個想法 這就是有名的 回文數猜想 " 說它是一個猜想, 是因為它至今仍然是個謎 : 說它正確, 卻無法證明 ; 說它不正確, 又找不出一個反例 ~ 19 ~

15 國中小精緻化數學教學案例 1 可能成為說明 回文數猜想 " 不成立的反例是 196, 因為有人用電腦對這個數進行了幾十萬步計算, 仍然沒有出現回文數, 但是卻沒有人能證明這個數永遠產生不了回文數 後來, 數學家又發現, 在 10 萬個自然數當中, 有 5996 個數, 不管運算多久, 似乎也產生不出回文數 196 就是其中最小的一個 因為沒有確鑿的證據證明它們產生不了回文數, 所以只能用含糊的詞 似乎 " 來表述 另外, 數學家還對 回文質數 " 進行了大量研究, 也發現了一些 謎 " 101,131,353,919, 這些自然數既是回文數, 又是質數, 叫做 回文質數 " 數學家已經證明回文質數有無限多個 181 和 191,373 和 383,30103 和 3003 等等, 它們都是回文質數, 並且每一對中間的數字是連續的, 而其他數字都是相同的, 這樣的兩個數叫做 回文質數對 " 其中一個謎是 : 回文質數對有無窮多個嗎? 至今也沒有解決 藉助計算機, 數學家還發現, 在回文數中, 完全平方數 完全立方數非常多, 其比例要比一般自然數中回文數所佔的比例大得多 例如 11 = 11,131 = 111,13431 = 1111, LL, = ; = 7,1331 = 11, = 111, LLo 人們迄今未能 k 找到四次方 五次方, 以及更高次冪的回文數 於是數學家們猜想 : 不存在 n (k 4;n k 都是自然數 ) 形式的回文數 問題 6 : 同學! 你有否注意到上面所提到的 回文質數 ", 除了 11 之外, 它們的位數都是奇數位, 想想是為什麼? 問題 7 : 我們知道兩位數中只有 9 個回文數, 它們是 11,,33,44,,88,99 那麼請你找出三位數中所有的回文數, 它們是哪些? 四位數中所有的回文數, 又是哪些呢?, 依此類推, 你能推出 n 位數的回文數個數嗎? 問題 8 : 乾隆皇帝在 天然居 " 酒樓留下的回文對聯, 據說當時他的一名手下大臣名叫紀昀, 也曾對出下聯 : 人過大佛寺, 寺佛大過人 更有意思的是, 後人把這幅對聯又編成了回文數的趣題, 如右下算式, 供大家玩玩推理遊戲 這個乘法算式中, 每一 ~ 193 ~

16 國中小精緻化數學教學案例 1 個漢字代表一個數字, 不同的漢字代表不同的數字, 請你把這個算式還原出來 人過大佛寺 4 寺佛大過人 再探一番 1. 華人社會在民間常有許多回文詩詞的對聯, 對岸福建廈門鼓浪嶼魚脯浦就有一副有名的回文對聯 : 霧鎖山頭山鎖霧, 天連水尾 ( 缺字填答 ) 對仗工整, 只用八個字就把那裏的自然壯闊境界以及山與霧互鎖的迷韻意境表達出來 台北的芝山岩也有回文名詩流傳 : 芝山綠水流風涼, 水流風涼春日暖 暖日春涼風流水, 涼風流水 ( 缺字填答 ). 如 A B C D 代表 0~9 中各不相同的一個數, 有 ABCD 4=DCBA 等式成立, 求 A B C D (ABCD 和 DCBA 彼此互稱為是對方的鏡反數 ) 年 9 月 8 日, 一位廣播評論員在節目中提到, 如果把當天的日期縮寫成 8.9.8, 就成了有趣的數位回文 遇事喜歡追根究底的玉芬聽過節目之後, 也想去研究這一類回文日期的分佈情形 她很快就得出結論, 某些年份會比其他年份有更多的回文日期, 她還找出上一世紀 (0 世紀 ) 中最接近的兩個回文日期 你知道玉芬的研究結果是什麼嗎? 4. 有一個 4 小時制的數字鐘顯示的範圍從 00:00 到 3:59 請問在這一天之中有多少次鐘面顯示的數字是回文數? ( 註 : 回文數是指這個數字由正向和逆向讀起來的數值都一樣 例 :10:01) ~ 194 ~

17 國中小精緻化數學教學案例 1 第六關瓦解毒窟 班號姓名 : 伊克斯探長救出人質後, 再接獲密報, 消息指出 : 司令一夥人製作炭疽病毒的實驗室, 就混跡在克拉克住宅區附近一棟有庭院的透天樓房 探長和重案組長一行人很快就找到這棟建築, 歹徒早已逃之夭夭 這棟大樓外觀跟一般民宅沒兩樣, 但大夥還是小心翼翼地, 深怕不小心觸動陷阱或機關! 一進到宅院後, 才知道別有洞天 其中有一間密室很可能就是實驗室, 它的大門佈滿格子磚圖案, 很不一樣! 仔細檢查, 牆上另有兩行英文符號和數字 探長研判這很可能是另一種密碼鎖 經過一陣苦思後, 終於看到伊克斯探長露出慣有地笑容, 大夥也隨即放鬆了緊繃的神經! ( N ) MI( N ) MI = [ ], ( xy ) 10 :6 ( ) 10 xyz :15 看探長歡喜自信地模樣, 相當篤定! 已有了破解的腹案 探長說, 中文非常的優美, 如果你能靈活巧妙地應用, 那麼, 你一定將發現, 它不僅僅有音 律詞藻的美, 也有形式變化的神奇 譬如說宋代李禺的 夫妻互憶回文詩, 其中有一句 夫憶 妻兮父憶兒, 如果你從後面倒過來讀, 那就會變成 兒憶父兮妻憶夫, 同樣有意義, 真是妙極 了! 清初女詩人吳絳雪作有一首轆轤回文詩 : 長 香 日 蓮 香蓮碧水動風涼, 水動風涼夏日長 長日夏涼風動水, 涼風動水碧蓮香 夏 碧 涼 風 動 水 全詩只用了十個不同的字, 描繪了一幅風吹水動, 花香暗浮的夏日圖 妙的是詩的上兩句倒著讀過來就是詩的下兩句, 更妙的是把這十個字排成一個圓, 順時針讀是上兩句, 逆時針讀是下兩句, 就像是一隻來回旋轉的轆轤 在數學裏, 把一個數倒讀後所得的數, 稱為原數的 鏡反數 " (mirror image number) 鏡反數是一種相互的關係, 例如 134 與 431 就互為鏡反數 ~ 195 ~

18 國中小精緻化數學教學案例 1 探長接著說, 這面牆所隱藏的密碼, 如下圖所示 這些數的平方和它們在鏡子中反映 (inversion 或 mirror image) 的數的平方, 兩者在鏡子中的反映數恰巧相等 我們稱這樣的數為 平方鏡反數 ", 最早是 1979 年 3 月中旬, 由在美國紐約一所大學研究固態物理的華裔學者梅維甯先生所發現 1 1 (1) = =(1) 鏡子 (11) = =(11) 鏡子 MI N = [ MI N ], 則是對於上列數學關係的簡要表示法, 其中 ( N ) 至於 ( ) ( ) ( N ) MI 是 N 的平方鏡反數 另外, ( xy ) 10 :6 ( xyz ) 10 MI 是 N 的鏡反數, :15 分別表示徵求 : 二位數中共有 6 個平 方鏡反數, 三位數中共有 15 個平方鏡反數的答案 所以需要瞭解問題, 並能加以破解, 才有辦法進得了毒窟 同學們! 請你試試看, 探長是怎麼破解的? 問題 1. 二位數中共有 6 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程 問題. 三位數中共有 15 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程 再探一番 1. 四位數中共有 39 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程. 五位數中共有 91 個平方鏡反數, 請你將它們一一找出來, 並寫出解法和討論過程 3. 能這樣六位數 七位數 繼續求解下去嗎, 在求解平方鏡反數的過程中, 你有什麼發現? 請你將想法寫下來 伊克斯探長破過大案後, 總會一如往常, 繼續他的數學研究之路 從這次破獲毒窟的過程中, 又讓他的數學能力再一次精進, 並且也獲得了不少啟發 例如 : 他進一步提出滿足 m(n n n) =m(n) m(n) m(n) 的立方鏡反數的概念 觀察 11 的立方, ( 11) 3 = 1331是立方鏡反數, 而 ~ 196 ~

19 國中小精緻化數學教學案例 1 ( ) 3 = 卻不是立方鏡反數 他提出問題如下 : 問題 3. (1) 尋找所有小於 的立方鏡反數? 這些立方鏡反數其中是否有回文數? () 尋找構造立方鏡反數的方法, 以此判斷立方鏡反數的個數是有限還是無限 問題 4. (1) 觀察 31 這個數,31-13=198= 99, 而 45 這個數也有 45-54=198= 99 證明任何三位數 N = ( a 1 a a 3 ) 10, 下面的絕對值 N MI( N ) 一定能被 99 整除 () 承上題, 能否證明 n 位數 N = ( a 1 a La n ) 10, 下面的絕對值 N MI( N ) 999 9(n-1 個 9) 整除 一定能被 再探一番 1. 據說有位數學家在一次偶然的機會, 看到一塊里程路標上的公里數 305 被折成兩段, 成為 30" 5", 心裡起了一陣顫動 他想 : 30+5=55,55 =305 又回到了原來的數, 真是奇怪極了! 這引起他的興趣, 也受到了不少數學家的關注 大家經過一番探索, 又找到了另外兩個這樣的數 : 觀察 05=45 =(0+5),9801=99 =(98+1) 事實上, 具有這一性質的數並不限於四位數, 例如 :81=9 =(8+1) 49409=703 =(494+09) 這些數是能把組成它的數字分成兩半, 然後取這兩半的數的和的平方而得到, 相當有趣 請你完成下列問題 : (1) 尋找小於 100 的所有這類整數 () 尋找小於 的所有這類整數 (3) 找出構造具有以上奇妙性質的數的一般方法由此證明這類數是有無窮多個. 找到一些數字, 使得 abc def=ghijk 與 cba fed=kjihg, 同時成立並不困難, 例如 : =14541 與 10 01=050 這與數字本身的對稱性有關, 但也可以找到沒有對稱性的解, 例如 :31 1=6895 將數字倒轉得 :13 1=5986 仍然成立 你能找到其他的解嗎? 試著找出數字 a b c 與 d e f 之間的關係, 取其被乘數和乘數的鏡反數時, 其乘積也恰等於原來乘積的鏡反數 ~ 197 ~

20 國中小精緻化數學教學案例 1 第一關 觀察力大考驗 (0.5 節課 ) 參考答案 : ( 第一關 ) 觀察力大考驗 : 重複模式為 : 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 : 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 因為掌握 pattern 的特徵 都是重複模式或先對稱再重複, 有助於記憶的發揮 3 第二個胚騰每段重複模式的前半部份, 其變化特徵相當於第一個胚騰各單位由內往外觀看的樣式 再探一番 : 重複模式為 : 重複模式為 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 : 先對稱 ( 逆序 ) 再重複 第二關 胚騰的推理 (0.5 節課 ) 參考答案 : ( 第二關 ) 胚騰的推理 5 四個胚騰的第 100 個模樣分別為 : 再探一番 1 第 (1) 題 : 前半段是奇偶相間, 即 , 後半段是先奇數, 後偶數, 即 第 () 題 : 後一個數總比與它相鄰的前一個數多 3 第(3) 題 : 後一個數總比與它前一個數少 11 第(4) 題 : 後一個數總是前一個數的 倍 第 (5) 題 : 先將前一個數除以 3 得一個數, 跟隨的數是將商乘以, 用這個次序反覆列出來的 略 3 四個胚騰的第 89 個模樣分別為 :1 1 1 第三關 神奇的回文算式 (1.5 節課 ) 參考答案 : ( 第三關 ) 神奇的對稱運算式 6 可以用嘗試法得到答案: = 多數學生會嘗試使用代入數字的方法, 得到 =; 另外, 有學生會使用求解方程式的方法 : 設 =x, 則 1 (460+x)=(100x+ 64) 1, 求解後得到 x= 問題 : 三組參考答案可為 1 693=396 1;6 341=143 6;4 693=396 4 英語回文 順讀和倒讀完全相同單詞有 eye,madam: 順讀和倒讀後, 意思不一樣的單詞 :no 和 on,was( 是 ) 和 saw( 看見 ) ~ 198 ~

21 國中小精緻化數學教學案例 1 詩題 可以從第二式中的 頭 開始思考, 試驗結果 頭 不能取 6 5 7, 所以只能取 4, 這時 低 不能取, 否則就找不到 思 的數字 這樣便有 : 第二式為 第一式為 14 5=70, 34 =68 71=68+3, 90=45 第四關 解讀 司令的勒索信 (1 節課 ) 參考答案 : ( 第四關 ) 解讀 Π 司令的勒索信 (1) 設 abcde=x 根據題意列式 ( x) 3=10x+1, 求解得 x=4857 () 設乞丐數為 x 人, 根據題意列式 7x+4=9x-3, 求解得 x=8( 人 ), 再代入左式得 =0( 分 ) 答 : 第 8 條大街 0 號 再探一番 1 b 0( 否則 d=c), d=1,b+1=c, 因此 c 只能取 3,b=, a=9,9 1+f=e+1, e-f=8, e=8,f=0, 故 abcdef 為 設探長現齡 x 歲, 根據題意列式 5(x+5) -5(x-5)=x, 求解得 x=50( 歲 ) 3 設此六位數之前五位數為 x, 根據題意列式 4 (10x +6)= x, 求解得 x=15384, 答 : 此六位數為 第五關 救出人質 (3 節課 ) 參考答案 : ( 第五關 ) 救出人質 問題 1 : 設兩位數相乘的回文算式為 ab cd=dc ba, 則可以寫成 (10a+b) (10c+d)=(10d+c) (10b+a), 化簡得 a c=b d, 再加以討論之, 試驗後發現共有如下組合 : 1 4=,1 6= 3,1 8= 4,1 9=3 3, 6=3 4, 8=4 4, 9=3 6,3 8=4 6,4 9=6 6 進一步配對得出, 共有 14 組解如下 : 1 4 = 4 1,1 63 = 36 1,13 6 = 6 31, 1 84 = 48 1,14 8 = 8 41,13 93 = 39 31, 3 64 = 46 3,4 63 = 36 4,4 84 = 48 4, 3 96 = 69 3,6 93 = 39 6,34 86 = 68 43, = 48 63,46 96 = 問題 : 至於兩位數與三位數相乘的回文算式, 則可以透過兩位數相乘的回文算式得到 觀察 1 31=13 1,1 693=396 1,13 68=86 31, 我們發現, 這類等式不僅外形整齊 對稱, 內部構造 也很巧妙 : 每個等式中兩位數的十位數字和三位數的百位數字的乘積, 正好等於兩位數的個位數字和三位數的個位數字的乘積 ; 等式中三位數的十位數字恰好等於個位數字和百位數字的和 例如, 在 ~ 199 ~

22 國中小精緻化數學教學案例 =13 1 中,1 = 1, 且 3=+1; 在 1 693=396 1 中,1 6= 3, 且 9=6+3 等 所以透過兩位數相乘的回文算式共可得到兩位數與三位數相乘的回文算式, 得 17 組解如下 : 1 46 = 64 1,13 4 = 4 31,1 693 = 396 1, = 36 31,13 68 = 86 31,143 6 = 6 341, = 48 31,154 8 = 8 451, = , = 46 35,4 693 = 396 4,64 63 = 36 46, = 48 46,53 96 = 69 35,86 93 = 39 68, = , = 問題 3 : 觀察發現 A=1, D=9, 又 9B 不能進位, B=0, 因此 9 8+8=80, C= 8, 故 =9801 問題 4 : aal a ( 共有個 a) 與 bbl b ( 共有個 b),a 與 b 應滿足關係式 a+b=11, 以及 1< a,b<10 問題 5 : 略 問題 6 : 回文數如果是偶數位, 必含有 11 的因數, 那就不是質數了 所以除了 11 之外, 所有其他 回文質數 的位數必都是奇數位 問題 7 : 二位數回文數有 :11,,33,44,55,66,77,88,99 共 9 個 三位數回文數有 : 四位數回文數有 : 101,0,303,,909, 1001,00,3003,,9009, 111,1,313,,919, 1111,11,3113,,9119, 11,,33,,99, 11,,33,,99, 1331,33,3333,,9339, 191,91,393,,999, =90, 共有 ( 個 ) 1991,99,3993,,9999, =90, 共有 ( 個 ) ~ 00 ~

23 國中小精緻化數學教學案例 1 五位數回文數有 : 六位數回文數有 : 10001,10101,1001,,10901, ,101101,,109901, 11011,11111,1111,,11911, ,111111,,119911, 101,111,11,,191, 1001,1111,,1991, 19091,19191,1991,,19991, =100, 從 1 1 到 9 9 各有 100 個, 9 100=900( 個 ), 共有 9 10 ( 個 ) ,191191,,199991, =100( 個 ), 9 100=900( 個 ), 共有 9 10 ( 個 ) 依此類推到 n 位數 : 當 n 為偶數 (n=k) 時, 有回文數 9 10k-1( 個 ), 當 n 為奇數 (n=k+1) 時, 有回文數 9 10k( 個 ) 問題 8 : 人, 但人 =1, 不可能, 4 寺尾數不可能為 1, 人 = 又 4 過, 不能進位, 取過 =1 而 4 佛 +3= 1, 佛取 ( 不合 ) 或 7 4 大 +3=3 大, 大 =9, 故人過大佛寺為 1978 再探一番 1 水連天, 綠山芝 A 是 4 的倍數且 A, A=, 則 D=8 關鍵 4 B 不能進位, B 只能取 1 或 ( 不合 ), 則 4C+3 的個位數為 1, C=7, 故 ABCD= 世紀的 與.9.9 間隔只有 4 天而已 把同一月份或相鄰月份的二位數日期與一位數日期並排在一起, 比較容易找出相近的兩個回文日期 4 設鐘面為 AB:BA, 則 A=0 1,B= A(0,1,) 搭配 B(0,1,,3), 則共有 3 4=1( 次 );A(0,1) 搭配 B(4,5), 則共有 =4( 次 ), 合計共有 16( 次 ) 答案如下: 00:00;01:10;0: 0;03:30;04:40;05:50 有 6 次, 10:01;11:11;1:1;13:31;14:41;15: 51 有 6 次, 0:0;1:1;:;3:3 有 4 次 參考答案 : 第六關 瓦解毒窟 (.5 節課 ) 問題 1. 二位數的平方鏡反數 ( xy ) 10, 共有 6 個, 分別為 找法如下: y = y = y + y, 當 x=1 時, ( ) ( ) ( 1) = ( 10y + 1) = 100y + 0y 1 y, y>0 且 y<5, 否則 0y 會進位, 另外 y 9, 10 + y=1,,3 故此二位數可以為 11,1,13 ~ 01 ~

24 (1) =11 11=11 () = =1 國中小精緻化數學教學案例 1 (3) = = y = y = y + y, 當 x= 時, ( ) ( ) ( ) ( y ) = ( 10y + ) = 100y + ( 0y) 數可以為 1,,31, y 9 且 1 y, y=1 或, 故此二位 (4) = =1 (5) = = (6) = =13 問題. 三位數的平方鏡反數 ( xyz ) 10, 共有 15 個, 分別為 找法如下 : ( 100x + 10y + z) = 10000x + 100y + z ( xy) + 10( yz) + 100( xz) ( 100z + 10y + x) = 10000z + 100y + x ( zy) + 10( xy) + 100( xz) 如果兩式要對稱, 則 x,y,z,xy,yz,zx 都不能進位, 1 x y z 3, 且 1 xy yz zx<5, 即 x y z 中任兩個數不能同時出現 3, 如此可以去掉大部分的數, 共有 15 個, (1) = =101 (4) = =111 (7) = =11 () = =01 (5) = =11 (8) = =1 (3) = =301 (6) = =311 (9) = =10 ~ 0 ~

25 國中小精緻化數學教學案例 1 (10) = =0 (11) = =11 (1) = =1 (13) = =1 (14) = =103 (15) = =113 再探一番 1 四位數的平方鏡反數, 共有 39 個 : 1001,100,1003,1011,101,1013,101,10,1031,1101,110,1103, 1111,111,1113,111,11,101,10,111,11,1301,001,00, 011,01,01,0,101,10,111,11,01,0,11,3001, 3011,3101,3111 五位數平方鏡反數共有 91 個, 如下所示 : 3 都是由 所組成且平方鏡反數中間插入任意多個 0, 都可以得到更高位的鏡反 數 ~ 03 ~

26 國中小精緻化數學教學案例 1 問題 3. (1) 共有 6 個, 分別為 : 舉例說明如下 : 其中有 4 個立方鏡反數也為回文數, 如下所示 :11 3 =1331,101 3 = , = , = () 有無限多個, 例如在兩個 1 之間放入任意個 0, 則皆為立方鏡反數且為回文數 問題 4. (1) ( 100a + 10a + a ) ( 100a + 10a + a ) = ( a a ) 取絕對值後, 上式結果必為正數且能被 99 整除 () 承上題, 同理可證 再探一番 1 (1) 81 ( 8 + 1) = ;() 略 ;(3) 這類數有無窮多個, 舉例如下 : 9 99 ( 8 + 1) = ( ) = ( ) = ( ) = ( ) LLLL 利用試誤法可找到許多解答, 但要徹底瞭解此問題, 則需要分析一下 我們先考慮下列的乘法 : 999 = 81 = = 9801 = = = 1 3 因為乘積是五位數,g 9 k 9, 而且在每一位數並不牽涉到進位的問題, 所以對每一位元數字 (g h i j k) 而言, 下列式子為必要條件 : ad 9 ;ae+bd 9 ;af+be+cd 9 ;bf+ce 9 ;cf 9 ~ 04 ~

27 國中小精緻化數學教學案例 1 這意味著如果 a=, 則 d e f 4, 所以滿足條件的大部分解, 其每一位元數的數字將很小. 但是大數字的解也可能存在, 例如 : =89991, =19998 另外還有一些解答為 : =143, 13 10=1546, =90000, =341, 31 01=6451, =00009 ~ 05 ~

28 ~ 06 ~ 國中小精緻化數學教學案例 1

29 南區跨縣市國中 關鍵教學暨 ICT 教學 工作坊 南區跨縣市國中 關鍵教學暨 ICT 教學 工作坊項目適用作者教學資源年級教學案例二元一次方程式的王儀雅 / 七年級解臺南縣國中輔導團二元一次聯立方程陳秀湘 / GeoGebra 數學繪圖七年級式的幾何意義嘉義市國中輔導團軟體 教學內容二元一次方程式的解二元一次聯立方程式 不只是 感覺 廖惠儀 / 三角形的邊角關係高雄市國中輔導團 自製簡報八年級三角形 三角形的全等性質 李祐宗 / 的先導 澎湖縣國中輔導團 AMA& 小畫家軟體 電子教科書 八年級 三角形 完美的正五邊形 黃金比例與費氏數列 顏錦偉 / 高雄市國中輔導團 網路資源 八 九年級 正五邊形 工匠的幾何 尺規作圖 廖惠儀 / 高雄市國中輔導團 自製簡報 八 九年級 尺規作圖 GeoGebra 融入二次 顏琦華 / 函數教學 臺東縣國中輔導團 GeoGebra 數學繪圖軟體 九年級 二次函數 你說我動之平移二次函數 郭逸民 蔡震珊 陳乃毓 / 高雄市國中輔導團 網路資源自製 GSP 媒材 九年級 二次函數的平移 顏錦偉 / 一線 牽 里如此近高雄市國中輔導團 網路資源 國中 m n 畫一直線通過的方格數 ~ 07 ~

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