三角形內的比例線段 ( 二 ) 6 圖 (i) 由 Menelaus 定理, 得知 FA DB GC CF AD BG = GC BG = 4 再應用 Menelaus 定理 FG CB AD DF GC BA = FG DF = FI (ii) 將 =, FG =, 代入公式 I- ID 2 DF

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划庄
7 years ago
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1 三角形內的比例線段 ( 二 ) 劉俊傑一. 前言從本文開始, 我將嘗試以在第一篇文章中所得到的比例公式, 來進行嚴謹的邏輯推理, 導引出一系列關於平面幾何學的性質我所要研究的主要圖形, 是在三角形各邊取等比例點, 連接它們形成新的小三角形, 然後重覆這個作圖方法, 如圖 A 所示, 為便於討論將稱之為比例三角形線及共線點在這單純的圖形中, 等這些性質被推理證明後, 又由它們製造出新的平行線及點共線等題材, 如此不斷地衍生擴展, 一道接著一道的性質被發現並予以解決在做這個幾何圖形的研究過程中, 深深體會到, 只需利用比例的性質, 就可以盡情地討論點共線, 線共點, 平行線, 線段比等題材事實上, 我是在大量處理比例三角形的性質時, 發現到有許多過程完全相同的比例計算, 為了節省時間, 便於求值, 遂逐步地將這些計算過程整理成公式, 爾後只要遇見符合條件的情況, 立即代入公式, 就可以很快地圖 A 我們將驚訝地發現到, 在這個看似簡單的規律圖形中, 存在著許許多多點共線, 線共點, 平行線等的幾何關係, 而在這些點線彼此之間也都互有關連, 它們相互架構出一套完整的推理系統及美麗的幾何圖形比例三角形原本只是一個簡單的作圖方法, 但只需要拿把直尺一比, 就會發現有平行得到所想要的比例值, 這些公式就是前篇文章的 37 個比例公式 [8] 二. 本文性質. 已知 : AD DB = BE EC = CF FA = DH HE = FI ID = 2 求證 : HI//BC ( 如圖 ) 60

2 三角形內的比例線段 ( 二 ) 6 圖 (i) 由 Menelaus 定理, 得知 FA DB GC CF AD BG = GC BG = 4 再應用 Menelaus 定理 FG CB AD DF GC BA = FG DF = FI (ii) 將 =, FG =, 代入公式 I- ID 2 DF DI (2), 得到 = BE 將 =, GI = IG 2 EG 3 ID 2, DH =, 代入公式 III-(4), 得知 HE 2 DJ = AD 將 = DJ =, 代入公式 JB 2 DB JB 2 AJ I-(5), 得到了 = 5 JB 4 BE (iii) 綜合 = AD =, AJ = 5, EH = EC DB 2 JB 4 HD 性質 2. 已知 : 2, CK 套入公式 V-(5), 得有 = 4, KA 5 由 (ii), (iii) AJ = AK 因此得證 JB KC HI//BC JE EG = GH HI = IK KJ = EB BH = KC CE = 2 延長 BC, 交 GJ, JI 於 A, D 求證 : AD GI = 5 9, 且 BG GI = 3 ( 如圖 2) 圖 2 (i) 利用性質., 得知 JA JG = 5 9 (ii) 因為 //GH 且且 AD//GI AD GI = 5 9 EB EH = 3 = 3 GH = 9 GI 過 E 點, 作 EF//GI, 同前理 CD = 3 EF = 9 GI, 由於 AD = 5 9 GI, 而 BC =AD CD= 3 9 GI = 3 GI 得證 BC GI = 3 說明 : 這兩個邊長的比例關係, 在後續的推理性質 3. 中, 將常被引用已知 : 圖 3 是在 C 各邊取 : 2 比例點, 連接比例點成新三角形, 並重覆作圖, 以後將以 : 2 S 簡稱之

3 62 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月被用來導引其它證明, 因此特別列在這裡性質 5. 已知 : AD = BE =, BN = NC, DB EC 2 求證 : DE//AN ( 如圖 5) 圖 3 求證 : C DEF 由性質, 得有 HI//BC, HJ//AC, IJ//, 所以 C JIH 同理可知 DEF JIH, 所以得證 C DEF 因為 BE EC = 2, BN = NC, 代入公式 I-(4) BE EN = 2, 所以 BD DA = BE EN, 得證 DE//AN 性質 4. 已知 : : 2 S, 如圖 4 圖 5 性質 6. 已知 : AD DB = BE EC = CL LA = 2, O 為 C 圖 4 求證 : G, I, C 共線由第一篇文章中的例題, 即可得知這條線因為它很重要, 也很漂亮, 又常的重心, 中線 BF 交 DL 於點 G, 中線 CP 交 DE 於點 H 求證 : HG//BC ( 見圖 6)

4 三角形內的比例線段 ( 二 ) 63 圖 6 (i) O 是重心, AF = FC 依據性質 5, 知 EL//BF 得 LW EW = FO BO = 2 (ii) 同理 CP//LD, DH HE 性質 7. 同理可證 HG//BC = LW WE = 2, LG GD = 2 再由性質, 得證性質 8. 圖 7 已知 : : 2 S,O 為 HIC 的重心求證 : = BC ( 如圖 8) (i) 由前文例題 2 O 亦為 DAK 的重心因為性質 5, DE//FG 再由性質, FG//HC, 綜合得知 DB//HC 所以 (ii) 將 CB = HD BI = DI 2 IA =, IB = 2 代入公式 I-(4), AC 2 BC 即可得證 = BC 已知 : AD DB = BE EC = CL LA = 2, O 為 C 的重心求證 : C 三中線, 三等切分 DEL 的邊 ( 如圖 7) 利用性質 6 的推理過程, 可得 H, W 為三分點, 即 DH HE = LW WE = 2, 同理可知 Z, T, K, G 亦為三分點由此得圖 8 證本題性質 9.

5 64 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月已知 : : 2 S 求證 : A, B, C 共線 ( 如圖 9) 由已知有比例式 CF FA = BE EC = EG FG = 2 代入公式 III-(2) 得 AD DB = 4 所 BE CF AD 以 EC FA = 依據 Ceva 定理, DB 得證 AE, BF, CG 共點性質. 已知 : : 2 S 求證 : A, B, C, D, E, F 共線 ( 圖 ) 圖 9 由題意 C 為三分點因為性質 7 重心 O 在 AC 線上 B 亦為三分點 ; 同理 O 在 BC 線上由以上可得 A 在 OC 線上, B 在 OC 線上, 得證 A, B, C 共線性質 0. 已知 : : 2 S 求證 : AE, BF, CG 共點 ( 圖 0) 圖由性質 0 B, E 落在 AF 線上, 又因性質 4 C 落在 AF 線上, 再由性質 0 D 落在 AC 線上綜合以上結果, 可得知 A, B, C, D, E, F 六點共線性質 2. 已知 : : 2 S ( 如圖 2) 圖 0 求證 : ACHE 是平行四邊形從性質, 知 CH//AE 由性質得 CH = KE = AE 由此可知 3 ACHE 是平行四邊形

6 三角形內的比例線段 ( 二 ) 65 性質 3. 圖 2 已知 : : 2 S, AD, HL 交於點 B 求證 : EB//HF ( 如圖 3) 圖 3 性質 4. 已知 : : 2 S 求證 : AH//DG ( 圖 4) (i) 已知 HK KI = AE EH = EL LK = 2, 代入公 AG 式 III-(2), 得 = ; IC 同理 = GI 4 CH 4 作 IB 交 AH 於 J, 由 Ceva 定理 AJ JH = 6 AJ (ii) 因 =, HC JH 6 CI (3), 有 BC = 4 經由公式 II- = 5 6 在性質 2 時得知 AD DC = 5 4 現在將 BC = 5 6, AD DC = 5 4, 代入公式 I-(4) 運算得 BD = 3 4 (iii) 再將 ED DF = 2, BD = 3 4, 代入公式 II- (2), 知 AM MF = 2 因為 AM MF = AE EH, 得證 EB//HF 圖 4 (i) 引性質 3-(i) 的步驟 BM MC = 4 由性質 -(i) 的步驟, 有 CI = 3 BC 及 DF = FI IF EG (ii) 將 =, =, 代入公式 II-4, FD GF 2 EO 得 = 即 EO = BC OI = OI BC 由以上可得知 OC = OI 5

7 66 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月 CI = 7 BC, OM = OC CM = 5 4 BC, BO = BE + EO = 8 BC 5 5 BO = 2 = BD, 因此得證 OM DA AH//DG 已知 : : 2 S 求證 : BE//IJ ( 如圖 6) 性質 5. 已知 : : 2 S, AC 交 KJ 於 B, EH 交 NJ 於 I 求證 : BI//AE ( 如圖 5) 圖 6 圖 5 AJ (i) 因 = MC =, 應用公式 II-(3) JM CK 2 = 3 BC 4 DG (ii) 由性質 4-(ii) 的步驟, 有 = 8, GE 7 DF 配合 = 4, 代入公式 I-(4), 得 FE GF 到 = 4 再依據性質 4. FE 3 EI NJ//MH 所以 = EF = 3, 綜 IH FG 4 合 () 知道 = EI BC IH (iii) 依據性質 2. ACHE 是平行四邊性質 6. 形, 因此 AC//HE 配合 (ii) 的結論得證 BI//AE (i) 已知 : 2 S, 由公式 II-(3), 得 = 3 AJ 再由公式 II-(), 得 = 6 BC 4 JC 代入公式 I-(4), 有 = BJ (ii) 從性質 5 的推論 IE 平行四邊性質 7. 形因此 = EI, 所以 EI = BJ 由性質 4, AC//EH BEIJ 平行四邊形, 得證 BE//IJ 已知 : : 2 S 求證 : //IH ( 如圖 7) 由性質 JD//BC 及 HJ//AC 故 CGJF 是平行四邊形, 得 C = J 再由性質 2, 知 HJ = 3 AC, JD = BC 因此 IJ = 3 JD = 3 BC IJ BC = HJ AC = 3 所以 C HIJ, 有 C = HIJ 因性質 JD//BC; BEJ = C( 內

8 三角形內的比例線段 ( 二 ) 67 錯角 ) BEJ = HIJ, 得證 //HI 圖 8 性質 8. 已知 : 圖 7 (i) D, E, F 為 3 分點 (ii) L 為中點 (iii) G 為 C 的重心求證 : IG//LJ( 如圖 8) (i) 由公式 II-3 及公式 I-(4) 可得 AI = IJ 已知 L 為的中點, 因此 LI//BJ, 同理 LJ//MK, 得到 LMKJ 為平行四邊形 LM = JK (ii) 因 AM//LJ LJI = MAI, AIM = JIL, AI = IJ, 有 ILJ = IMA, 知 LI = IM LI = 2 LM G 為 C 的重心, 由前文例題 2, 可知 G 亦為 IJK 的重心因此 JO = OK JO = 2 JK, 綜合 (i)(ii) 可證 IG//LJ 性質 9. 已知 : : 2 S( 如圖 9) 圖 9 求證 : GLK 的外心和 IJF 的外心, 重心共線 (i) 設 A 為 IJF 的外心, C 為 GLK 的外心, 由性質 KL//IJ 因 AD IJ, CE KL AD//CE 所以 D ECB 再利用性質 3 的 IJF LKG 及從性質 2 知

9 68 數學傳播 20 卷 3 期民 85 年 9 月 KL : IJ = : 3 得到 AD = 3CE, 所以 BD = 3BE, DF = 3GE (ii) 由性質 2, 得 FH FI = 5 9, 因此 FH HI = 5 4 = FE ED, BE+BD = DE, 3 BD+BD = 4 9 FD, BD = 3 FD, D 為 IJ 中點, 得知 B 為 IJF 重心得證 GLK 性質 20. 的外心, 和 IJF 的外心, 重心共線已知 : : 2 S 求證 : DEF, GFH 和 IFJ 三重心共線 ( 如圖 20) IC (ii) 將 = 2, IM = MN, 代入公式 I- CM IC (2), 得 =, LA 並且 =, LF = CN 2 AF 2 LA FN, 代入公式 I-(2), 得 =, 再 AN 5 LA 將 =, NM AN 5 MI =, NC CI = 2, 代入 LB 公式 VI-(), 得到 = 4 BM 5 (iii) LI//FM 且 FH = HI MH = 2 HL, LB 配合 = 4, 代入公式 I-(4) 2 BM 5 LB/BH = 2 (iv) 因為 LF//GH 且 LF = 3 PJ = GH LFHG 為一平行四邊形所以 HK 為中線且 LK = KH 配合 LB KB BH = = 2, 代入公式 I-(4), 得 BH 得知 B 為 GFH 的重心得證 2 DEF, GFH 和 IFJ 三重心共線三. 結論圖 20 設 A 為 DEF 的重心, C 為 IFJ 的重心, 由公式 IV () 可知 LHM 共線, 如圖 AC 與 LM 的交點為 B (i) 如圖延長中線 LF 交中線 IM 於 N, 因 LN//PJ 且 FM = MJ IM = MN; 同理可得 LF = FN 比例三角形所討論的題材, 及使用的定理, 只需要對平面幾何學有些基礎的中學生, 都應該可以看得懂主要的是想向他們介紹推理程序, 每一道性質都是由前面已得證的性質建立出來的, 而每一個推理步驟都是有憑有據, 毫不含糊, 如此所有的定理, 性質都能一路往前追溯, 直到幾個無法證明, 人訂出來的公設, 這也就是公設推理系統的結構在本文中許多的平行線或共線的性質, 不僅是對比例為 : 2 時成立, 事實上對於任何一般的 a:b 都是可以成立的, 當然討論起來會比較複雜些, 以後將有專篇研討在往後的幾篇文章中, 將以本文所獲得的結果做基礎, 繼續對比例三角形進行更詳

10 三角形內的比例線段 ( 二 ) 69 盡的解析, 我們將會見到更多有趣的幾何性質, 展現於比例三角形中四. 參考資料. 九章編輯部譯, 幾何學辭典, 九章出版社, D.R. Davis, Modern College Geometry, Otto Schreier, Projective Geometry of n dimensions, Chelsea Publishing company, Roger A. Johnson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publications, INC 孫文先, 平面幾何, 九章出版社,986, P.3 6. Howard Eves, A Survey of Geometry, Vol. 7. 趙文敏, 幾何學概論, 九章出版社, 劉俊傑, 三角形內的比例線段, 數學傳播, 第十九卷第二期, 84 年 6 月, pp 本文作者任教於臺灣省立西螺農工數學科

1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) ()

1 2 / 3 1 A (2-1) (2-2) A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A ( () 4 A4, A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () (39mm E-Mail ( )( ), : : 1 1 ( ) 2 2 ( ) 29mm) WSK ( 1 2 / 3 1 A4 2 1 3 (2-1) 2-1 4 (2-2) 2-2 5 A4 6 A4 7 A4 8 A4 9 A4 10 11 ( () 4 A4, 5 6 7 8 A4 7 ) 1 (2-1) (2-2) () 1 2 (2-1) 3 (2-2) 4 5 6 7 (8 ) 9