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1 CARR(Condiional Auo-Regression Range) CARR GARCH CARR GARCH Chou(00) S P500 CARR CARR GARCH

2 004 6 volailiy Hull Whie(987) vega( kappa) innovaion erm Poerba Summers(986) French, Schwer Sambaugh(987) Bollerslev, Engle Wooldridge (988) Bailie Degennaro(990) Andersen Bollerslev(997) Alizadeh, Brand Diebold(00) Morgan(976) heeroscedasiciy Mandelbro(963) Fama(965) lepokuric fa ail Mandelbro(963) clusering Cassuo(995) Engle(98) ARCH(Auo-Regression Condiional Heeroskedasiciy) Bollerslev(986) GARCH(Generalized Auo-Regression Condiional Heeroskedasiciy) vega kappa

3 3 (parsimony) ARCH/GARCH Bollerslev, Chou Kroner(99) Bollerslev, Engle Nelson(994) range proxy Mandelbro(963) Parkinson(980) Brand Jones(00) EGARCH Chou(00) CARR(Condiional Auo-Regressive Range) GARCH CARR dominance S&P500 Brand Jones(00) Chou(00) Chou(00) Brand Jones(00) CARR CARR Chou(00) Chou(00) CARR

4 ARCH/GARCH Hull Whie(987) (Sochasic Volailiy) Parkinson (980) Chou(00) Gallan, Hsu Tauchen(999) Alizadeh, Brand Diebold(00) Chou(00) GARCH CARR GARCH Brand Jones(00) EGARCH EGARCH CARR Engle Russell (998) ACD (Auoregressive Condiional Duraion) CARR CARR 3 GARCH CARR CARR(p,q) () R α R ε ~ iid f (.) = λ ε λ = ω + p + q i i i= = β λ () range duraion

5 5 High Low R P R = ln P ln P λ R λ E( R I ) λ 0 ε ω w > 0 α i α i 0 i =,..., p β β 0 =,..., q p α + i= i q = β CARR α + β p i= i q = < ω = ω /( ( p i= q α i + β ) α i + β = p i= q = ( ω ) Chou(00) ε CARR (log likelihood funcion) 4 i T,..., RT ) = [ln( λ ) + ] = λ R L( ω, α, β ; R () CARR (3) p q α i R i + β λ + i= = L λ = ω + φ X (3) l= l, l 3 4 Engle Russell(998)

6 CARRX (3) ( ) (leverage effec) 5 CARR (Quasi-Maximum- Likelihood Esimaion mehod QMLE) Engle Russell(998) QMLE Bollerslev Wooldridge(99) Robus 6 (realized volailiy) (Sum of Square Daily Reurn SSDR) (Weekly-Reurn-SQuared WRSQ) (Weekly RaNGe WRNG) (Absolue Weekly -RETurn AWRET) CARR GARCH CARR GARCH MV = γ + FV ( CARR) + u (4) 0 γ MV = γ + FV ( GARCH ) + u (5) 0 γ 0 + γ FV ( CARR) + γ MV = γ FV ( GARCH ) + u (6) 5 Black (976) Chrisie(98) leverage effec D E raio 6

7 7 MV (measured volailiy) (proxy) FV (CARR) FV (GARCH ) CARR GARCH (4) γ γ 0 ˆ γ CARR γ 0 CARR ˆ (4) (5) Ad.R-squared CARR GARCH (6) γ γ CARR GARCH 0 ˆ0 γ CARR GARCH CARR(,) k 7 λ f, + = E( λ+ I ) = ω + αr + ˆ ˆ ˆ βλ λ = ( λ ) ˆ ˆ ( ) ˆ I = ω + αe R I βe( λ f, + E I = ˆ ω + ˆ αe ( λ ) ˆ + I + βe( λ+ I = ˆ ω + ( ˆ α + ˆ) β E ( λ + I ) = ˆ ω + ( ˆ α + ˆ) β ˆ ω + ( ˆ α + ˆ) β λ ) ) 7 λ

8 k ˆ ω( ( ˆ α + ˆ) β ) λ ) ( ˆ α + ˆ) β k f k k E λ k I ˆ α ˆ, + = ( + ) = + ( + β λ (7) λ f, + k k GARCH(,) (8) ˆ ω( ( ˆ α + ˆ) β ) h ) ( ˆ α + ˆ) β k f k k E h k I ˆ ˆ, + = ( + ) = + ( α + β h (8) h f, + k k Roo Mean Square Error RMSE Mean Absolue Error MAE CARR GARCH = T +, T +,..., T +τ V FV (9) (0) = T + T + τ RMSE = ( FV V ) (9) τ MAE = τ T + τ = T + FV V (0) V MV CARR GARCH FV forecased volailiy MV (scale) FV adused forecased volailiy AFV () MV =ψfv + u =,..., T () AFV = ψfv

9 CARR GARCH CARR range GARCH reurn ( ) high low = 00 [(ln( P ) ln( P )] close close = 00 [ln( P ) ln( P )] WRNG WRET Jarque-Bera 50.89(0.000) 44.50(0.000). Jarque-Bera p-value. WRNG WRET

10 Jarque-Bera(JB) 9 JB JB JB 3 lepokuric CARR GARCH WRNG WRET 9 Jarque-Bera= N ( S + ( K 3) ) χ ( ) 6 4 N S K α = 5% χ α () = % Jarque-Bera 5.99

11 CARR CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH LR Likelihood Raio es 0 CARR GARCH CARR CARR(,) CARR(,) CARR(,) LR es CARR(,) LLF(Log Likelihood Funcion) CARR(,) CARR(,) LLF CARR(,) β CARR(,) α CARR(,) 0 LR = ( L L ) ~ null alernaive χ ( k) k k= α = 5% LR χ () > α =

12 /06/03~003/0/03 CARR R ε ~ iid = λ ε λ = ω + p α R i i i= = f (.) + q β λ log likelihood func. CARR(,) CARR(,) CARR(,) ω 0.387(3.409) 0.387(3.37) 0.37(.84) α 0.63(8.394) 0.65(6.47) 0.67(6.54) α -0.0(0.95) β 0.674(6.744) 0.655(3.498) 0.684(.63) β 0.07(0.0) ρ ρ Q() 7.30(0.836) 7.365(0.833) 7.399(0.830). R. -value wih robus sandard error p-value 3. ρ ρ 4. Q() Q 5. GARCH 3 GARCH(,) GARCH(,) GARCH(,) 3 LR es GARCH(,) LLF GARCH(,) GARCH(,) LLF GARCH(,) β GARCH(,) α GARCH(,) GARCH

13 3 3 CARR(,) GARCH(,) CARR GARCH CARR(,) α 0.63 GARCH(,) α 0.3 CARR GARCH 3 988/06/03~003/0/03 GARCH y h ε = ε = ω + Ω p q α iε i + i= = ~ N(0, h ) β h GARCH(,) GARCH(,) GARCH(,) log likelihood func ω.63(.98).83(.76).098(.877) α 0.3(3.798) 0.34(.36) 0.39(.43) α -0.04(0.36) β 0.85(6.577) 0.78(.808) 0.85(6.044) β 0.030(0.08) ρ ρ Q().388(0.045).448(0.044).555(0.043). y. -value wih robus sandard error p-value 3. ρ ρ 4. Q() Q 5.

14 CARR(,) GARCH(,) 4 CARR GARCH FV (CARR) FV (GARCH) FV (CARR) FV (GARCH) MV SSDR WRSQ WRNG AWRET 0 FV (GARCH) γ -value FV (CARR) γ 0 CARR(,) MV GARCH(,) FV (CARR) FV (GARCH) Ad.R-squared MV SSDR WRSQ WRNG AWRET FV (CARR) FV (GARCH) FV (CARR) FV (GARCH) MV CARR GARCH Chou(00) S&P500 S&P500 CARR GARCH

15 5 4 CARR(,) GARCH(,) MV = γ + FV ( CARR) + u 0 γ MV = γ + FV ( GARCH ) + u 0 γ MV = γ FV ( GARCH ) + u 0 + γ FV ( CARR) + γ MV γ 0 γ γ Ad.R-squared Durbin-Wason SSDR 0.57 (0.484) 0.49 (3.885) SSDR (0.06) (.994) SSDR (0.484) 0.44 (6.33) (-0.8) WRSQ (-0.369) 0.56 (4.65) WRSQ (0.30) 0.99 (4.05) WRSQ.0 (0.557).54 (3.08) -.37 (-.05) WRNG (-0.87).060 (4.96) WRNG (-.98).56 (3.883) WRNG (-0.68).0 (6.533) (-0.40) AWRET (-0.5) (6.85) AWRET (-0.) (6.47) AWRET 0.43 (0.30) (3.935) (-.34) Whie Heeroskedasiciy-Consisen Sandard Errors & Covariance -value. 4 MV(Measured Volailiy) (calendarweek) (Sum of Square Daily-Reurn SSDR) (Weekly-Reurn-SQuared WRSQ) (Weekly RaNGe WRNG) (Absolue Weekly-RETurn AWRET) 3. FV (CARR) FV (GARCH ) CARR(,) GARCH(,) MV SSDR WRSQ MV WRNG AWRET Durbin-Wason u FV (CARR) FV (CARR) FV (GARCH) Durbin-Wason

16 CARR(,) GARCH(,) CARR(,) GARCH(,) GARCH 644 CARR(,) GARCH(,) FV(CARR) FV(GARCH) MV RMSE MAE 5 5 CARR RMSE MAE GARCH CARR GARCH 5 00

17 7 5 RMSE = T = T + ( AFV MV ) MAE = T = T + AFV MV RMSE SSDR WRSQ WRNG AWRET CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH MAE SSDR WRSQ WRNG AWRET CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH CARR(,) GARCH(,) 3. AFV Robusness Over The Couner OTC

18 RMSE CARR GARCH 6 OTC RMSE = T = T + ( AFV MV ) MAE = T = T + AFV MV RMSE SSDR WRSQ WRNG AWRET CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH MAE SSDR WRSQ WRNG AWRET CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH CARR GARCH OTC. CARR(,) GARCH(,) 3. AFV 50

19 9 CARR Chou(00) CARR 4 GARCH Black (976) Chrisie(98) leverage effec D E raio CARR CARRX () λ ω + αr + βλ φ( re ) () = + r φ TGARCH TCARR (3) LR es λ (3) = ω + αr + βλ + γkr K K=0 R () (3) 7 CARRX(,) φ LR es LR φ CARR TCARR(,) 4

20 /06/03~003/0/03 CARR CARR(,) CARRX(,) TCARR(,) log likelihood funcion ω 0.059(6.53) 0.063(6.636) 0.058(6.6) α 0.06(7.343) 0.0(7.43) 0.84(4.897) β 0.765(55.49) 0.767(56.446) 0.77(57.633) φ γ -0.05(-4.79) 0.03(3.8) ρ ρ ρ Q().03(0.037).504(0.043) 7.53(0.3). -value wih robus sandard error p-value. ρ ρ 3. Engle(98) ARCH 0 ARCH Chou(00) GARCH Parkinson(980) CARR CARR CARR GARCH (candlesick plos) K

21 CARR GARCH Chou(00) OTC CARR CARR GARCH CARR CARR CARR GARCH. Alizadeh, S., M. Brand, and F. Diebold (00), Range-based esimaion of sochasic volailiy models, Journal of Finance,57, Andersen, T., and T. Bollerslev (997), Heerogeneous informaion arivals and reurn volailiy dynamics: Uncovering he long run in high frequency reurns, Journal of Finance,5, Ballie, R. T., and R.P. DeGennaro (990), Sock Reurns and Volailiy, Journal of Finance and Quaniaive analysis, 5, Black, F. (976), Sudies of Sock Price Volailiy Changes, Proceeding of he 976 Meeings of he Business and Economics Saisics Secion, American Saisical Associaion, 77-8.

22 Brand, M.W., and C.S. Jones (00), Volailiy Forecasing wih Ranged-Based EGARCH Models, working paper,universiy of Pennsylvania,USA. 6. Bollerslev, T., R. Chou, and K. Kroner (99), ARCH modeling in finance: a review of he heory and empirical evidence, Journal of Economerics,5, Bollersleve, T. (986), Generalized Auoregressive Condiional Heeroskedasiciy, Journal of Economerics, 3, Bollerslev, T., R. Engle, and D. Nelson (994), ARCH models, in Handbook of Economerics, IV, , ed.engle,r.f., and McFadden,D.C., Amserdam: Norh-Holland 9. Bollerslev, T., R. Engel, and J. Wooldridge (988), A Capial Asse Pricing Model wih Timing-vary Covariance, Journal of Poliical Economy, 96, Bollerslev, T., and J. Wooldridge (99), Quasi maximum likelihood esimaion and inference in dynamic models wih ime varying covariances, Economeric Reviews,, Cassuo, A.E. (995), Non-Normal Error Paerns: How o Handle Them, The Journal of Business Forecasing: Mehods and Sysems, 4, Chou, R. (00), Forecasing financial volailiies wih exreme values: he Condiional AuoRegressive Range (CARR) Model, Working paper, The Insiue of Economics Academia Sinica, Taiwan. 3. Chrisie, A.A., (98), The Sochasic Behavior of Common Sock Variances: Value,Leverage, and Ineres Rae Effecs, Journal of Financial Economics, 0, Engle, R. (98), Auoregressive condiional heeroscedasiciy wih esimaes of he variance of U.K. inflaion, Economerica, 50, Engle, R., and V, Ng (993), Measuring and esing of he impac of news on volailiy, Journal of Finance, 48, Engle, R., and J. Russell (998) Auoregressive condiional duraion: a new model for irregular spaced ransacion daa, Economerica, 66, Fama, E. F. (965), The Behavior of Sock Marke Prices, Journal of Business, 38, French, K., W. Schwer, and R. Sambaugh (987), Expeced sock reurns and volailiy, Journal of Financial Economics, 9, 3-9.

23 3 9. Galan, A., C. Hsu, and G. Tauchen (999), Calculaing volailiy diffusions and exracing inegraed volailiy, Review of Economics and Saisics, 8, Glosen, L.R., R. Jagannahan, and D. Runkle (993), On he Relaion Beween he Expeced Value and he Volailiy of he Nominal Excess Reurn on Socks, Journal of Finance, 48, Hull, J. and A. Whie (987), The pricing of opions on asses wih sochasic volailiies, Journal of Finance, 4, Lung, G.M., and G.E.P. Box (978), On a Measure of Lack of Fi in Time Series Models, Biomerika, 65, Mandelbro, B. (963), The Variaion of Cerain Speculaive Prices, Journal of Business, 36, Morgan, I.G.(976), Sock Price and Heeroskedasiciy, Journal of Business, 49, Nelson, D.B. (99), Condiional Heeroskedasiciy in Asse Reurns : A New Approach, Economerica, 59, Parkinson, M. (980), The exreme value mehod for esimaing he variance of he rae of reurn, Journal of Business, 53, Poerba, J., and L. Summers (986), The persisence of volailiy and sock marke flucuaions, American Economic Review, 76, Zakoian, J.M. (994), Threshold Heeroskedasic Models, Journal of Economic Dynamics and Conrol, 8,

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