以下是一些直接從定義得到的微分公式 : 例 1: 無理式 Qx 的微分 : Q(WxW+WhW)-Qx h = (Q(WxW+WhW)-Qx)(Q(WxW+WhW)+Qx) h(q(xw+whw)+qx) = 1 Q(WxW+WhW)+Qx = 1 2Qx 例 2: 三角函數 six 的微分 : 0

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申萼孙
7 years ago
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1 多項式的微積分中正大學數學系余文卿教授翰林出版公司高中數學總召本來多項式的微分與積分就有公式可依循, 對任意非負整數, 或更一般的與 x x =x -1 x,ú 0 t t= x+1 +1, x (ax +a -1x a 1x+a 0)=a x -1 +(-1)a -1x a 1 x Ú 0(at +a -1t a 1t+a 0)t= a +1 x+1 + a-1 x + + a1 2 x2 +a 0x 是不是記得這兩個公式就能遊走於多項式的微積分? 事實上不然, 多項式的微積分其實是介紹微分與積分的基本理論與應用, 只是用例以多項式為主, 不摻雜其他的超越函數, 如指數函數對數函數與三角函數, 故學完多項式的微積分後, 再熟習這些超越函數的微分公式, 如 x ex =e x, x lx= 1 x, x six=cosx, x cosx=-six, 就算完成了微積分的初步, 以下詳細敘述這個發展的過程一極限的概念函數的微分是利用極限定義 : f 8(x)= f(x+h)-f(x) h 很自然地, 談微分就從極限談起, 於是考慮一些 0 0 形式的極限做計算的對象, 準備用於計算各類函數的微分, 如較有名的式子, 如 sih h =1 用於計算三角函數的微分, 而對多項式而言, 單項式的微分只是 (x+h) -x h = x 0 =x -1 x -1 + ( 2 ) x-2 h+ + ( ) h-1 e ZX 數學天地

2 以下是一些直接從定義得到的微分公式 : 例 1: 無理式 Qx 的微分 : Q(WxW+WhW)-Qx h = (Q(WxW+WhW)-Qx)(Q(WxW+WhW)+Qx) h(q(xw+whw)+qx) = 1 Q(WxW+WhW)+Qx = 1 2Qx 例 2: 三角函數 six 的微分 : 0 si(x+)-six = 0 cosx si+six cos-six =cosx 0 si +six 0 cos-1 =cosx 1+six 0 =cosx 此處利用極限值 0 si =1, 0 cos-1 = si 2 =0 例 3 : 指數函數 e x 的微分 : 此處利用極限值 e h -1 h =1 e x+h -e x e h -1 =e x h h =ex 微分源於求過函數圖形上一點切線的斜率, 是利用通過 (a4f(a)) 與 (x4f(x)) 兩點割線的斜率 f(x)-f(a) x-a 來逼近切線的斜率, 其實是把極限 x a f(x)-f(a) x-a =f 8(a) 定義為通過點 P(a4f(a)) 切線的斜率, 因而切線方程式是 y=f(a)+f 8(a)(x-a) 第 32 期 e

3 圖一當 x 趨近 a 時, 割線逼近切線的情形最困擾的問題莫過於切線的定義圓的切線非常明確, 同一平面上, 與圓相交於一點的直線是圓的切線, 對橢圓拋物線與雙曲線, 也可明確定義出切線, 如橢圓的切線是與橢圓在同一平面上且只有一交點的直線, 但對眾多的函數圖形, 難有統一的切線定義, 就乾脆不定義切線是什麼, 而直接定出切線的斜率是 f 8(a), 再把方程式是 y=f(a)+f 8(a)(x-a) 定為切線的方程式, 有些人把切線定義為通過曲線上連續兩點的直線, 但又如何解釋什麼是兩連續點? 二微分的法則微分依據的不只是定義而已, 而是需透過種種微分的法則, 特別是加減乘除的微分法則都不可或缺, 現列出如下 : 1 加法法則 x {f(x)+g(x)}= x f(x)+ x g(x), 2 減法法則 x {f(x)-g(x)}= x f(x)- x g(x), 3 乘法法則 x {f(x)g(x)}=g(x) x f(x)+f(x) x g(x), 4 除法法則 x f(x) g(x) = 1 g(x) 2 g(x) x f(x)-f(x) x g(x) 鏈鎖定則在計算微分時用得最廣, 專門用於合成函數的微分, 這也充分證明背多項式的微分公式 k=0 x akxk = k=1 ka kx k-1 不足以應付微分的問題, 如函數 (x 2 +x+1) 20 的微分, 是透過乘法法則或鏈鎖定則 e ZX 數學天地

4 隱函數的微分雖不見於課程大綱, 但課文多少會提到, 特別是用於計算 x p 的微分, 令 y=x p, 則 y p =x, 兩邊對 x 微分得出 py p-1 y8=x -1, 因此 y8= p x -1 y p-1 = p x -1 x p (p-1) = p x p -1 以下是一些利用微分法則求函數微分的例子例 1: 隱函數微分 : 給定 x 2 +y 2 =1, 求 y x 等式兩邊對微分 : 解出 2x+2y y x =0, y x =- y x 例 2: 反函數微分 : 1 由 x ex =e x, 求 x lx 解 e lx =x, 對 x 微分得 e l x x lx=1, 但故 e lx =x, x lx= 1 x 2 由 x six=cosx, 求 x si-1 x 解 si(si -1 x)=x,-12x21, 對 x 微分得 cos(si -1 x) x si-1 x=1, 設 si -1 x=, 則 - p 2 22 p 2 且 si=x, 因此 cos=a1-x 2, 即 cos(si -1 x)=a1-x 2, 得出 x si-1 x= 1 A1-x 2 第 32 期 e

5 3 計算 x tax 與 x ta-1 x 解 x tax= x six cosx = cosx cosx + six six cos 2 x = cos2 x+si 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x =sec 2 x ta(ta -1 x)=x, 對 x 微分得 sec 2 (ta -1 x) x ta-1 x=1, 但 sec 2 (ta -1 x)=ta 2 (ta -1 x)+1=x 2 +1, 得出 x ta-1 x= 1 1+x 2 三導函數的應用一函數的導函數有時也稱為斜率函數, 擺明是用於求切線的斜率, 這同時也反應出函數值的變化率, 切線斜率為正, 表示函數值向上攀升 ; 斜率為負, 表示函數值向下降, 這用物理上描述直線運動的距離函數 s(t) 與速度函數 (t) 來說明會貼切由於 (t)= s(t) t 當 (t)>0, 表示運動質點向前進, 自然距離遞增加, 而在 (t)<0 時, 表示運動質點向後退, 自然距離遞減以下是一實例, 實例 :f(x)=3x 4-4x 3-12x 2 +5 f 8(x)=12x 3-12x 2-24x=12x(x-2)(x-1) 1 f 在 (- 4-1) 遞減, 2 f 在 (-140) 遞增, e ZX 數學天地

6 3 f 在 (042) 遞減, 4 f 在 (24 ) 遞增雖然直觀上很容易解釋一函數 f(x) 的增減與其導函數 f 8(x) 正負之間的關聯性, 但真正解開這謎題的是均值定理, 這定理把函數 f 在一區間 a4b 的變化率 f(b)- f(a) b-a 表示為這函數的微分 f 8(c), 其中 a2c2b 求函數的極值是導函數的另一應用, 先解方程式 f 8(x)=0, 找出函數的臨界值, 再透過函數在臨界值左右的變化, 找出函數的極值, 導函數應用的最高境界是用於處理日常生活中的最佳化問題, 最早把導函數應用於最佳化問題的是法國業餘數學家費馬 (Pierre e Fermat, ) 而使拉普拉斯 (Pierre imo Laplace, ) 推崇他為微積分的真正發明人, 當然這頭銜不得不跟牛頓與萊布尼茲共同分享, 他們兩人才是公認的微積分發明人以下是一典型的例子光的折射現象 ell 定理 : si1 = si2 1 2 證明光線從 A 到 B 所需時間是 Aa 2 +x Ab2 +(c-x) 2 2 第 32 期 e

7 根據費馬原理, 光是走最省時間的路線因此即 2x 1Aa 2 +x + -2(c-x) 2 2 Ab 2 +(c-x) =0 2 si si2 2 =0 四黎曼和雖然積分比微分發明得早, 公認是發明於約西元前 300 年的阿基米德時代, 但積分的理論卻很晚才成形, 是由德國數學家黎曼 (Georg Frierich Berhar Riema, ) 所提出, 後世的人把它用於逼近定積分的和稱為黎曼和, 針對黎曼和解釋如下 Ú a b f(x)x k=1 f(xk* )Dx k (1) 先把積分的範圍 a4b 做一分割, 分割點由左而右是若採取等距分割, 這時 x 0=a<x 1<x 2< <x -1<x =b x j=a+jdx,dx= b-a 分割的原則是使每一分割出來的區間長度 Dx j=x j-x j-1 會隨著變大而趨近於 0, 如令則 9 Dx=0 (2) 分割出來有個區間, Dx=max{Dx 14Dx 24 4Dx } x 04x 1, x 14x 2,, x k-14x k,, x -14x, 在每一區間中取一參考點, 由區間 x k-14x k 取出的參考點是 x k *, 而黎曼和就是 k=1 f(xk* )Dx k 當然, 這樣的黎曼和依切割方式與參考點選擇而有成千上萬個, 而我們關心的是這些和會不會有共同的極限值得一提的是這些和的極限並不是單純數列或級數的極限, 尚有深奧的學問在後頭求定積分的值, 一般是透過微積分的基本定理, 而非透過黎曼和求極限, 只有少數的場合是充做說明的例題, 如計算拋物線 y=x 2 在 02x21 範圍內函數圖形下的面積, 把 041 等分為長度為 1 的區間, 並以 k 為區間 k-1 4 k 的參考點, 這時的黎曼和為 k=1( k ) 2 1 = 1 3 k=1 k 2, e ZX 數學天地

8 計算上面數值在趨近於無窮大的極限時, 需動用到級數和 k=1 k2 = (+1)(2+1) 6 這樣土法煉鋼的方法也適用於函數 y=x m, 其中 m 是正整數, 這時的黎曼和為引發的問題是求級數的和, 其實只要知領導係數是則有 m = k=1 k m - -1 k=1 km 1 m+1 k=1( k ) m 1 = 1 m+1 k=1 k m k=1 km 即可, 這不難辦到設 k=1 km =b 0 m+1 +b 1 m + +b m+b m+1, =b 0{ m+1 -(-1) m+1 }+b 1{ m -(-1) m }+ 比較兩邊 m 的係數, 得故 b 0= 1 m+1, 因此 1 1 Ú 0 x m x= 9 m+1 k=1 k m 1=b 0(m+1) 1 1 = 9 m+1 m+1 m+1 + 低次項 = 1 m+1 五微積分基本定理微分發明於十七世紀, 用於求切線的斜率與極值問題, 積分發明於西元前三世紀左右, 用於計算面積與體積, 特別是阿基米德早已算出半徑是 r 的球體體積是 4pr3 3 且表面積是 4pr 2, 微分與積分似是兩個毫不相關的數學領域, 但牛頓的啟蒙老師巴洛 (Isaac Barrow, ) 卻發現了微積分基本定理, 微分與積分只是彼此的逆運算, 巴洛是英國劍橋大學的講座教授, 引導牛頓去翻閱當代數學的主要經典書籍, 藉著不斷的研讀與思考, 牛頓才從一個普通人飛躍成當代的大師第 32 期 e

9 微積分基本定理第一種形式 : 若 f(x) 是定義在 a4b 上的連續函數且 x F(x)=Ú a f(t)t,a2x2b, 則 F(x) 是定義在 a4b 上的連續函數,F(x) 在 (a4b) 可微分且 F8(x)= f(x),a<x<b 第二種形式 : 若 f(x) 是定義在 a4b 上的連續函數而 F(x) 是 f(x) 反導函數, 則 b Ú a f(x)t=f(b)-f(a) 示例 : 知道半徑是 r 的圓周長 =2pr, 半徑是 r 的圓面積 =pr 2 解將半徑是 r 的圓分成環狀區域, 圓半徑分別為 1 2 r 由內而外, 第 j 個環狀區域面積約為 2p ( jr ) * r =2pr2 j 2, 因而 1 圓面積 = 2pr j=1 j = 9 2pr * (+1) 2 =pr 2 反過來說, 知半徑是 r 的圓面積, 則周長為 Dr 9 p(r+dr) 2 -pr 2 = Dr r pr2 =2pr 同樣定理運用於球表面積與球體積 : 半徑是 r 的球表面積 =4pr 2 積分微分半徑是 r 的球體體積 = 4pr3 3 參考資料 1. 高中數學, 選修 II, 余文卿主編, 翰林出版公司, e ZX 數學天地

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01.dvi 物理資優營微積分教材 1 y = f ( ) (, f ( ) ) 點的切線斜率 : =lim f ( + ) f () 若 f () = n,n 為自然數 =lim ( + ) n n 微分的基本性質 : (i) 線性 : 若 a, b 是常數 (ii) 萊布尼茲律 : n n 1 + O ( ) = n n 1 {af ()+bg ()} = a + bg {f () g ()} = g + f