6-1-1極限的概念

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1 選 修 數 學 (I-4 多 項 式 函 數 的 極 限 與 導 數 - 導 數 與 切 線 斜 率 定 義. f ( 在 的 導 數 : f ( h 對 實 函 數 f ( 若 極 限 存 在 h h 則 稱 f ( 在 點 可 微 分 而 此 極 限 值 稱 為 f ( 在 的 導 數 以 f ( 表 示 f ( f ( 函 數 f ( 在 的 導 數 也 可 以 表 成 f ( 註 : 為 了 符 號 方 便 我 們 常 以 變 數 h 取 代 f ( h 於 是 導 數 f ( 可 以 定 義 為 f( h h. f ( 在 I 可 微 分 : f ( 在 I 上 每 一 點 都 可 微 分 時 則 稱 f ( 在 I 上 可 微 分 性 質. 函 數 f ( 在 點 連 續 時 未 必 在 點 可 微 分 但 f ( 在 點 可 微 分 時 就 必 定 在 點 連 續 f ( f ( 因 為 導 數 f ( 及 極 限 ( 均 存 在 故 由 極 限 的 加 法 及 乘 法 運 算 性 質 可 得 f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( f ( 因 此 f ( 在 點 連 續 9

2 定 義. 切 線 方 程 式 法 線 方 程 式 : 曲 線 y f ( 若 時 f ( 存 在 此 時 f 表 示 以 f ( 為 切 點 的 切 線 斜 率 ( ( 當 f '( 時 ( 切 線 方 程 式 為 y f f '( ( ( 而 法 線 方 程 式 為 y ( f '( ( 當 f '( 時 切 線 方 程 式 為 y f ( 而 法 線 方 程 式 為. 導 函 數 : 對 於 一 實 函 數 f( 當 f( 在 點 可 微 分 時 我 們 用 f ( 表 示 f( 在 點 的 導 數 當 可 以 看 成 一 個 變 數 時 f ( 也 是 一 個 函 數 稱 為 f( 的 導 函 數 其 定 義 域 可 視 為 { c f ( 在 點 c 可 微 分 } 除 了 f ( 外 我 們 也 常 用 f ( 來 表 示 f( 的 導 函 數 3. 第 一 階 導 函 數 第 二 階 導 函 數 : 若 f '( 的 導 函 數 存 在 則 此 導 函 數 記 為 f ''( 也 可 記 為 f '( 或 f ( 或 y '' 或 y 此 時 f ( 及 f ( 分 別 稱 為 f ( 的 第 一 階 導 函 數 及 第 二 階 導 函 數 註 : 仿 此 我 們 可 以 定 義 函 數 f( 的 第 三 階 導 函 數 f ( ( 或 一 般 的 階 導 函 數 f (

3 應 用 3. 設 函 數 f ( b c 則 第 一 階 導 函 數 為 f ( 3 b c 第 二 階 導 函 數 為 f ( 6 b 3 3 f ( f ( ( b c ( b c f( 3 3 ( b( c( ( ( b( c 3 b c 3 b c 因 此 f( 的 導 函 數 為 f ( 3 b c 而 第 二 階 導 函 數 為 f ( 3 b 6 b. 求 函 數 f ( 的 導 函 數 解 答 : 當 時 ( ( f ( f ( f ( ( ( ( ( 因 此 導 函 數 f ( 3. 求 函 數 函 數 的 導 函 數 解 答 : 當 時 h g ( h ( h h h h h hh ( h h ( h

4 4. 設 f( 求 f ( f ( ( 並 求 f( 的 階 導 函 數 f ( 為 任 意 正 整 數 解 答 : ( 對 任 意 f ( f ( f ( ( ( ( ( ( 因 此 f( ( ( 對 任 意 f ( f ( ( ( f( ( [( ( ] ( ( ( ( 3 ( ( ( 因 此 f( 3 ( ( ( (! (3 可 歸 納 得 : 為 正 整 數 時 f ( ( ( 當 時 由 ( 已 證 (b 假 設 時 此 命 題 成 立 即 f 則 當 時 對 任 意 ( ( (! ( ( ; ( ( (! ( (! f ( ( ( ( ( f ( f ( ( ( ( ( ( (! ( [( ( ( ( ] ( (! ( ( ( ( (! ( ( [( ( ( ( ] ( ( ( (! ( (! ( ( ( 即 時 命 題 亦 成 立 由 數 學 歸 納 法 可 知 此 命 題 成 立 即 f ( ( (! ( (

5 定 義. 平 均 速 度 平 均 加 速 度 : 若 f ( 表 示 運 動 質 點 的 位 置 函 數 則 在 運 動 學 上 f ( f ( 的 意 義 是 質 點 在 時 的 平 均 速 度 f 而 ( f ( 表 示 質 點 在 時 的 平 均 加 速 度. 瞬 時 速 度 瞬 時 加 速 度 : 若 f ( 表 示 運 動 質 點 的 位 置 函 數 則 在 運 動 學 上 f ( f ( 第 一 階 導 數 f ( 的 意 義 是 質 點 在 時 的 瞬 時 速 度 f ( f ( 而 第 二 階 導 數 f ( 表 示 質 點 在 時 的 瞬 時 加 速 度 註 : 這 就 是 科 學 家 牛 頓 (Newto 為 了 要 探 討 運 動 質 點 的 瞬 時 速 度 及 瞬 時 加 速 度 而 引 進 導 數 的 原 因 之 一 3

6 性 質 由 函 數 f( 求 導 函 數 f ( 的 計 算 過 程 我 們 稱 之 為 將 函 數 f( 微 分. 微 分 公 式 ( 一 : 若 函 數 f ( 與 g ( 在 開 區 間 I 內 部 可 微 分 且 h( f ( 則 h ( 在 I 內 也 可 微 分 且 h ( f ( 對 任 意 I 由 極 限 的 加 法 運 算 性 質 可 得 ( f ( ( f ( h( f ( f ( f ( ( f ( 因 此 h ( 在 可 微 分 且 h ( f (. 微 分 公 式 ( 二 : 若 函 數 f ( 與 g ( 在 開 區 間 I 內 部 可 微 分 且 h( f ( 則 h ( 在 I 內 也 可 微 分 且 h ( f ( f ( 對 任 意 I 由 極 限 的 加 法 運 算 性 質 可 得 f ( f ( h( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( f ( 其 中 是 因 為 g ( 在 連 續 因 此 h ( 在 可 微 分 且 h ( f ( f ( 3. 微 分 公 式 ( 線 性 組 合 : 若 f( f( f( 在 開 區 間 I 內 部 可 微 分 且 c c c 是 實 數 則 函 數 h c f ( c f ( c f ( 在 I 內 也 可 微 分 ( 且 h c f '( c f '( c f '( ( 4

7 4. 微 分 公 式 ( 三 : f ( 設 f( 與 g ( 在 開 區 間 I 內 部 可 微 分 g ( 且 h( f ( f ( 則 h ( 在 I 內 也 可 微 分 且 h ( ( 解 答 : f( 令 h ( 因 為 f( 與 g ( 在 點 可 微 且 g ( g ( 所 以 g ( g ( f ( f ( h( h( h( f ( f ( ( g ( g ( ( f ( f ( f ( ( ( f ( f ( ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( ( f ( f ( f ( ( g ( h ( 在 可 微 分 又 可 為 h ( 的 定 義 域 內 的 任 意 數 f( 故 h ( 為 可 微 分 函 數 g ( ( f ( f ( ( f ( 且 ( ( 5

8 應 用. 設 為 正 整 數 則 利 用 數 學 歸 納 法 證 明 如 下 : 當 時 顯 然 成 立 當 時 假 設 成 立 則 當 時 由 微 分 公 式 可 得 ( ( ( 故 由 數 學 歸 納 法 得 知 : 對 每 一 正 整 數 皆 成 立. 實 係 數 多 項 式 函 數 f ( 在 每 一 點 都 可 微 分 且 導 函 數 為 f ( ( f ( ( ( ( ( ( 3. 若 函 數 f ( 可 微 分 則 對 任 意 正 整 數 恆 有 ( f ( ( f ( f '( 註 : ( 利 用 數 學 歸 納 法 可 以 證 明 ( 特 別 的 對 任 意 的 實 數 b ( b ( b 6

9 4. 設 為 正 整 數 則 令 f ( 則 任 意 正 數 使 得 f ( f ( f( ( ( 因 為 任 意 正 數 f( 因 此 f( 的 導 函 數 f( 即 r r 5. 設 r 為 正 有 理 數 r 因 為 r 為 正 有 理 數 則 r 可 表 成 的 形 式 m 其 中 m 為 正 整 數 此 時 r m m m 令 f ( 則 知 : f ( m m m r m m 又 ( ( f ( 則 由 乘 積 微 分 公 式 可 得 r ( f ( ( f ( f ( m 即 m m m r r r m m m r r m m 7

10 6. 設 f ( 是 一 實 係 數 多 項 式 且 為 實 數 則 ( 是 f ( 的 因 式 之 充 要 條 件 是 f ( f ( ( 若 ( 是 f ( 的 因 式 則 可 令 f ( ( 其 中 g ( 是 一 實 係 數 多 項 式 顯 然 f ( ( 又 由 微 分 公 式 可 得 f ( ( ( ( ( ( 因 此 f ( ( ( ( 若 f ( f ( 則 由 因 式 定 理 可 知 是 f ( 的 因 式 ; 於 是 可 令 f ( ( h( 其 中 h ( 是 一 實 係 數 多 項 式 利 用 微 分 公 式 可 得 f ( ( ( h( ( h( h( ( h( 因 此 f ( h( ( h( h( 因 f ( 即 h ( 可 知 也 是 h ( 的 因 式 ; 故 可 令 h( ( ( 其 中 ( 也 是 一 實 係 數 多 項 式 由 此 可 得 f ( ( h( ( ( 有 ( 的 因 式 7. 已 知 函 數 f ( ( ( 滿 足 f ( 及 f ( 都 是 整 數 其 中 為 實 數 試 證 : 必 為 有 理 數 由 f ( ( ( 得 f ( ( ( ( 3 因 此 f( 4 f( 8 ( 若 則 是 有 理 數 f ( ( 若 則 也 是 有 理 數 ( 已 知 f ( 及 f ( 都 是 整 數 f ( 3 8. 已 知 f ( b c 是 一 實 係 數 三 次 多 項 式 函 數 且 f ( f ( f ( 及 f ( 都 是 有 理 數 試 證 : b c 也 都 是 有 理 數 由 f ( b c f ( 3 b c f ( 6 b f( 6 都 是 有 理 數 可 依 序 推 得 b c 也 都 是 有 理 數 8

11 9. 正 弦 函 數 的 導 函 數 : (si cos 先 證 明 在 點 的 導 數 再 寫 成 一 般 型 式 f ( f ( si si cos. 餘 弦 函 數 的 導 函 數 : (cos si 先 證 明 在 點 的 導 數 再 寫 成 一 般 型 式 cos si cos si f ( f ( cos cos si si si. 正 切 函 數 的 導 函 數 : (t sec 先 證 明 在 點 的 導 數 再 寫 成 一 般 型 式 f ( f ( t t si( ( coscos. 餘 切 函 數 的 導 函 數 : (cot csc 先 證 明 在 點 的 導 數 再 寫 成 一 般 型 式 f ( f ( cot cot si( ( si si 3. 正 割 函 數 的 導 函 數 : (sec sect 先 證 明 在 點 的 導 數 再 寫 成 一 般 型 式 f ( f ( sec sec cos cos ( coscos sec t 4. 餘 割 函 數 的 導 函 數 : (csc csccot 先 證 明 在 點 的 導 數 再 寫 成 一 般 型 式 f ( f ( csc csc si si ( si si cos cot si cos si (si cos (cos si si sec csc 9

12 起 源 在 本 附 錄 中 我 們 要 介 紹 以 牛 頓 法 求 ( 為 正 整 數 的 近 似 值 ; 早 在 公 元 67 年 牛 頓 在 他 的 微 分 法 一 書 中 就 率 先 提 出 函 數 的 實 數 根 之 近 似 值 求 法 其 方 法 原 理 介 紹 如 下 方 法 以 牛 頓 法 求 整 數 開 平 方 根 的 近 似 值. 牛 頓 法 : 考 慮 實 函 數 f( 在 閉 區 間 [ b ] 上 是 連 續 且 在 開 區 間 ( b 內 可 微 分 在 f( 與 f( b 異 號 的 情 形 下 則 由 連 續 函 數 的 中 間 值 性 質 可 知 f( 在 ( b 內 至 少 有 一 個 根 假 設 先 估 計 這 個 根 c的 近 似 值 如 圖 (c 所 示 ; 若 過 ( f ( 的 切 線 在 ( b 內 與 軸 相 交 此 時 可 利 用 切 線 方 程 式 求 得 此 切 線 與 軸 相 交 的 位 置 : y f ( f ( ( y f ( ( f ( f( 令 y 得 f ( ( f( f( 於 是 得 f ( 如 圖 ( 繼 續 以 作 新 的 估 計 值 f( 依 此 法 求 得 第 3 個 估 計 值 3 f ( ( f( 重 複 以 上 的 過 程 利 用 這 樣 的 方 式 求 得 f( 的 近 似 根 之 方 法 就 稱 作 牛 頓 法 3

13 . 假 設 f( c 且 f 在 包 含 c 點 的 開 區 間 ( b 可 微 分 f ( f ( b 則 可 以 利 用 下 列 步 驟 來 求 得 c 的 近 似 值 : 第 步 : 先 取 一 個 接 近 c 的 近 似 估 計 f( 第 步 : 求 得 下 一 個 近 似 值 f ( 3 f( 第 3 步 : 若 已 達 到 所 預 定 準 確 的 範 圍 則 取 為 最 後 所 求 的 近 似 值 ; 否 則 再 繼 續 第 步 計 算 新 的 估 計 值 註 : 這 個 過 程 的 每 一 次 操 作 稱 為 一 個 迭 代 範 例. 下 面 舉 例 說 明 如 何 利 用 牛 頓 法 求 得 的 近 似 值 為 此 取 f ( 先 計 算 f ( 第 步 : 因 f( f( 故 f( 在 之 間 有 一 根 取 第 步 : 3 計 算 3 次 的 迭 代 列 表 如 下 : f( f ( f ( f( f( f ( 依 此 我 們 得 到 的 近 似 值. 446與.443 已 經 準 確 到 小 數 第 5 位! 若 想 求 的 近 似 值 可 假 設 f ( 用 上 述 步 驟 如 法 炮 製 均 可 求 得 很 好 的 近 似 值 3

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